I. DUDA A. DUNCA
LECŢII DE GEOMETRIE ANALITICĂ
© Editura Fundaţiei România de Mâine, 2007 Editură acreditată de Ministerul Educaţiei şi Cercetării prin Consiliul Naţional al Cercetării Ştiinţifice din Învăţământul Superior
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României DUDA, I Lecţii de geometrie analitică. / I. Duda, A.Dunca– Bucureşti, Editura Fundaţiei România de Mâine, 2007
ISBN 978-973-163-059-5 A.Dunca 514.12(075.8)
Reproducerea integrală sau fragmentară, prin orice formă şi prin orice mijloace tehnice, este strict interzisă şi se pedepseşte conform legii.
Răspunderea pentru conţinutul şi originalitatea textului revine exclusiv autorului/autorilor
UNIVERSITATEA SPIRU HARET FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ
I. DUDA A. DUNCA
LECŢII DE GEOMETRIE ANALITICĂ
EDITURA FUNDAŢIEI ROMÂNIA DE MÂINE Bucureşti, 2007
Cuprins
1 Vectori liberi 91.1 Vectori liberi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala . 121.3 Produsul scalar a doi vectori . . . . . . . . . . . . 151.4 Produsul vectorial a doi vectori . . . . . . . . . . . 171.5 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Dreapta ın spatiu 332.1 Dreapta determinata de un punct si un vector nenul 332.2 Dreapta determinata de doua puncte . . . . . . . . 352.3 Dreapta orientata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Planul ın spatiu 463.1 Ecuatia normala a planului . . . . . . . . . . . . . 503.2 Distanta de la un punct la un plan . . . . . . . . . 513.3 Unghiul a doua plane . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Pozitii relative ın spatiu 594.1 Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane . 594.2 Intersectia dintre o dreapta si un plan . . . . . . . 614.3 Alte moduri de determinare a ecuatiei unui plan . 624.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5
5 Transformari afine 695.1 Translatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2 Omotetii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.3 Rotatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.4 Simetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.5 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6 Aplicatii ale transformarilor geometrice ın proce-sarea de imagini 986.1 Organizarea fisierelor brute de imagini . . . . . . . 986.2 Translatii, rotatii, dilatari ın fisiere de imagini . . . 100
7 Conice 1047.1 Reducerea la forma canonica a unei conice . . . . . 1057.2 Intersectia dintre o conica si o dreapta . . . . . . . 1097.3 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.4 Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.5 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.6 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8 Curbe ın 2 si 3 dim 1208.1 Ecuatia carteziana a unei curbe . . . . . . . . . . . 1208.2 Ecuatia unei curbe ın coordonate polare . . . . . . 1218.3 Ecuatia parametrica a unei curbe . . . . . . . . . . 122
8.3.1 Vectori tangenti la curbe . . . . . . . . . . 1238.4 Intersectii de curbe . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.5 Cum apar curbele ın practica? . . . . . . . . . . . 1258.6 Lungimea unei curbe . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9 Cuadrice si corpuri de rotatie 1359.1 Volumul corpurilor de rotatie . . . . . . . . . . . . 1369.2 Cuadrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6
Prefata
Prezentele notite de curs se adreseaza studentilor din anul 1,Facultatea de Matematica-Informatica a Universitatii Spiru Haretcare sunt ınscrisi la cursul de Geometrie Analitica, an 1, sem. 1.
Prezentele notite au fost redactate utilizand pachetul MikTex,www.miktex.org, versiunea pentru Windows a sistemului LATEX.Editia electronica utilizeaza formatul PDF al companiei AdobeSystems. Figurile au fost realizate cu pachetele grafice Xfig, Gimpsi pachetul software Maple al companiei Maple Soft.
Prof. univ. dr. I. Duda & Lector dr. A. DuncaFacultatea de Matematica-Informatica
Universitatea Spiru Haret, Bucuresti, 2007
7
8
9
1 Vectori liberi
1.1 Vectori liberi.
Notam cu E3 spatiul euclidian tridimensional ale carui proprietatiau fost studiate la geometria elementara din liceu, iar cu Vmultimea vectorilor liberi asociati lui E3. Dupa cum se stie dingeometria elementara, fiecarei perechi ordonate de puncte (P,Q)
din E3 i se asociaza segmentul orientat−−→PQ denumit vector legat.
Marimea |−−→PQ| a vectorului legat−−→PQ este egala cu distanta d(P,Q)
dintre punctele P si Q. Daca d(P,Q)=0, atunci vectorul−−→PQ se
numeste vectorul legat nul.
Definitia 1.1 Doi vectori legati−−→PQ si
−−→P ′Q′ se numesc echipolenti
si se scrie−−→PQ ≈
−−→P ′Q′ daca sunt amandoi nuli sau sunt paraleli si
au acelasi sens si aceeasi marime (fig. 1).
Fig. 1. Doi vectori echipolenti
Definitia 1.2 Multimea vectorilor legati care sunt echipolenti cu
vectorul legat−−→PQ se numeste vectorul liber definit de
−−→PQ. Acest
vector are prin definitie marimea, directia si sensul lui−−→PQ.
1.1 Vectori liberi. 10
Definitia 1.3 Un vector liber −→a0 de marime unitara, ||−→a0|| = 1,se numeste versor. Daca −→a este un vector dat, atunci
−→a0 =1
||−→a ||−→a
este un versor.
Vectorul liber definit de perechea de puncte (P,P) se noteaza cu−→0
si se numeste vectorul nul. Se observa ca vectorul nul are marimeanula si directia nedeterminata.
Daca −→u este vectorul liber definit de−−→PQ, atunci vectorul liber
definit de−−→QP se noteaza −−→u si se numeste vectorul opus lui −→u .
Operatiile cu vectori liberi se definesc prin operatii ıntre vec-tori legati corespunzatori, rezultatul lor fiind ınsa independent dealegerea vectorilor legati. Tinand cont de aceasta se pot vizualizasi vectori liberi prin segmente orientate.
Definitia 1.4 Suma −→u + −→v a doi vectori liberi −→u , −→v se obtinedupa regula paralelogramului (fig. 2, a)) sau a triunghiului (fig. 2,b)), vezi [2].
Observatia 1.1 Daca un contur format din mai multi vectori seınchide atunci suma lor este nula.
Proprietatea 1.1 Fie −→u ,−→v ,−→w vectori liberi oarecare. Atunciau loc urmatoarele proprietati:
1. −→u + −→v = −→v + −→u
2. −→u + (−→v + −→w ) = (−→u + −→v ) + −→w
1.1 Vectori liberi. 11
Fig. 2. a) regula paralelogramului b) regula triunghiului
3. −→u +−→0 = −→u
4. −→u + (−−→u ) =−→0
Definitia 1.5 Prin ınmultirea unui vector liber −→u cu un scalarλ ∈ R se obtine un vector −→v = λ−→u avan¡d aceeasi directie casi −→u , marimea |λ|||−→u || si avan¡d sensul lui −→u sau contrar lui −→udupa cum λ > 0 sau λ < 0.
Proprietatea 1.2 Inmultirea dintre un vector si un scalar areproprietatile urmatoare:
1 · −→u = −→u , α(β−→u ) = (αβ)−→u , α(−→u + −→v ) = α−→u + α−→v
Proprietatea 1.3 Adunarea vectorilor este distributiva fata deınmultirea cu un scalar:
λ(−→a +−→b + −→c ) = λ−→a + λ
−→b + λ−→c (1)
Proprietatile de mai sus arata ca multimea vectorilor liberi V esteun spatiu vectorial peste R.
1.2 Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala 12
1.2 Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogo-
nala
Definitia 1.6 Doi vectori nenuli −→a ,−→b se zic coliniari daca auaceeasi directie.
Teorema 1.1 Doi vectori nenuli sunt coliniari daca si numai dacasunt liniar dependenti.
Demonstratie: Fie doi vectori coliniari nenuli −→a si−→b . Atunci
exista un versor −→a0 asa ca pentru numere reale nenule α1, α2 ∈ R
−→a = α1−→a0,
−→b = α2
−→a0 (2)
de unde −→b =
α2
α1
−→a sau−→b = λ−→a (3)
unde λ = α2
α1∈ R. Reciproc, daca −→a si
−→b sunt liniar dependenti
atunciα1
−→a + α2
−→b = 0, (α1, α2 6= 0), (4)
implica−→b = −α1
α2
−→a sau−→b = β−→a unde β = −α1
α2
Observatia 1.2 Relatia de coliniaritate−→b = λ−→a ne arata ca si
raportul marimilor celor doi vectori este |λ|, adica α2
α1= λ. Cand
λ < 0, vectorii au sensuri opuse iar cand λ = −1 ei sunt opusi.
Definitia 1.7 Trei vectori situati ın acelasi plan sau paraleli cuacelasi plan se numesc vectori coplanari.
Definitia 1.8 Fie trei vectori coplanari −→a ,−→b ,−→c pe care ıi de-plasam astfel ıncat sa aiba aceeasi origine, (fig. 3). Se duce prin
C, extremitatea vectorului −→c , CA′||−→b si CB′||−→a atunci−−→OA′ +
1.2 Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala 13
−−→OB′ = −→c . Daca definim λ, µ prin
−−→OA′ = λ−→a si
−−→OB′ = µ
−→b deci
−→c = λ−→a + µ−→b
Vectorii−−→OA′ si
−−→OB′ se numesc componentele vectorului −→c dupa
directiile vectorilor −→a si−→b . Astfel s-a descompus vectorul −→c dupa
directiile vectorilor −→a si−→b .
Fig. 3. Descompunerea unui vector dupa doua directii
Teorema 1.2 Descompunerea unui vector dupa directiile a doivectori necoliniari si nenuli este unica.
Demonstratie: Presupunem ca descompunerea nu ar fi unica,
adica −→c = λ−→a + µ−→b si −→c = λ′−→a + µ′
−→b unde λ, µ, λ′, µ′ ∈ R si
λ 6= λ′ sau µ 6= µ′ atunci
0 = (λ− λ′)−→a + (µ− µ′)−→b
prin urmare −→a si−→b sunt fie coliniari, fie cel putin unul este nul,
ceea ce nu se poate. Deci λ = λ′ si µ = µ′.
1.2 Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala 14
Teorema 1.3 Trei vectori sunt coplanari daca si numai daca suntliniar dependenti.
Demonstratie: Daca −→a1,−→a2,
−→a3 sunt liniar dependenti atunci
α1−→a1 + α2
−→a2 + α3−→a3 = 0, α2
1 + α22 + α2
3 6= 0, (αi ∈ R) (5)
si fie α3 6= 0, atunci
−→a3 = −α1
α3
−→a1 −α2
α3
−→a2 (6)
deci vectorul −→a3 este descompus dupa directiile −→a1 si −→a2, deci ceitrei vectori sunt coplanari.
Reciproc este evident.
Teorema 1.4 Spatiul vectorial real al vectorilor liberi din E3 aredimensiunea 3.
Demonstratie: exercitiu.
Observatia 1.3 Analog se poate descompune un vector dupa treidirectii necoplanare, iar descompunerea este unica.
Definitia 1.9 Expresia care da descompunerea unui vector dupatrei axe rectangulare se numeste expresia analitica a vectorului,
adica −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k unde:
−→i = (1, 0, 0),
−→j = (0, 1, 0),−→
k = (0, 0, 1) este baza ortonormata.([1], Algebra liniara).
1.3 Produsul scalar a doi vectori 15
Definitia 1.10 (Proiectia unui vector) Fie vectorul−−→AB = −→a pe
care ıl proiectam pe axa x′x (fig. 4). Proiectia lui−−→AB, adica
segmentul A′B′ o notam ax(proiectia lui −→a pe axa x). Notamcu ϕ unghiul format de directia vectorului cu directia axei (adica
versorul−→i ) atunci exista relatia
pr−→i−→a = ax = ||−→a ||cosϕ (7)
Fig. 4. Proiectia vectorului ~a pe vectorul ~i
Teorema 1.5 Proiectia sumei vectorilor dintr-un contur poligo-nal este egala cu suma proiectiilor vectoriale.
Demonstratie: evidenta
1.3 Produsul scalar a doi vectori
Notiunea de produs scalar se cunoaste de la algebra liniara. Fie
V3 spatiul vectorilor liberi si −→a ,−→b ∈ V3. Pentru −→a ,−→b 6= 0 notam
cu ϕ ∈ [0, 2π] unghiul dintre vectorii −→a si−→b .
Teorema 1.6 Functia (·, ·) : V3 × V3 → R definita prin
1.3 Produsul scalar a doi vectori 16
(−→a ,−→b ) =
||−→a ||||−→b ||cosϕ pentru −→a 6= −→0 ,
−→b 6= −→
0
0 pentru −→a =−→0 sau
−→b =
−→0
este un produs scalar pe V3.
Demonstratie: evidenta.
Observatia 1.4 Expresia analitica a produsului scalar a doi vec-
tori este (−→a ,−→b ) = axbx + ayby + azbz, deoarece
X =
−→i
−→j
−→k
−→i 1 0 0−→j 0 1 0−→k 0 0 1
Unghiul a doi vectori nenuli este dat de
cos(ϕ) =(−→a ,−→b )
||−→a ||||−→b ||=
axbx + ayby + azbz√
a2x + a2
y + a2z ·
√
b2x + b2y + b2z
(8)
Prin urmare −→a ⊥ −→b ⇔ cosϕ = 0 ceea ce implica (−→a ⊥ −→
b ) = 0
sau axbx + ayby + azbz = 0. Daca −→a ||−→b si au acelasi sens atunci
produsul lor scalar este (−→a ,−→b ) = ||−→a ||||−→b || deoarece cosϕ = 1.
Propozitia 1.1 Produsul scalar a doi vectori este egal cu marimeaunuia dintre ei ınmultita cu proiectia celuilalt pe el.
Demonstratie: Prin definitie(−→a ,−→b ) = ||−→a ||||−→b ||cosϕ dar ||−→a ||cosϕ = pr−→
b−→a deci (−→a ,−→b ) =
||−→b ||pr−→b−→a .
1.4 Produsul vectorial a doi vectori 17
Propozitia 1.2 Produsul scalar este distributiv fata de adunareavectorilor.
1.4 Produsul vectorial a doi vectori
Definitia 1.11 Produsul vectorial al vectorilor liberi nenuli sineparaleli −→a si
−→b este vectorul −→c = −→a ×−→
b ∈ V a carui directie
este perpendiculara pe planul vectorilor −→a si−→b , al carui sens
corespunde miscarii burghiului drept, daca se roteste −→a spre−→b
cu burghiul, si a carui marime este egala cu aria paralelogramului
construit pe cei doi vectori −→a si−→b , adica
||−→a ×−→b || = ||−→a ||||−→b ||sinϕ
unde ϕ < π este unghiul dintre cei doi vectori.
Propozitia 1.3 1) Daca cel putin unul dintre vectorii −→a si−→b
este nul sau daca vectorii sunt paraleli, produsul vectorial este egalprin definitie cu 0.2) Produsul vectorial a doi vectori este o aplicatie biliniara de laV3 × V3 la V3.
Se considera doua puncte O,M ∈ E3. Vectorului−−→OM ıi core-
spunde tripletul ordonat de numere (x, y, z) ∈ R3 numite coordo-
natele euclidiene ale vectorului−−→OM ın raport cu baza −→i ,−→j ,−→k , .
Vom scrie−−→OM = x
−→i + y
−→j + z
−→k .
1.4 Produsul vectorial a doi vectori 18
Fig. 5. Produsul vectorial
Definitia 1.12 Se numeste reper cartezian ın E3 multimea
O,−→i ,−→j ,−→k . Punctul O se numeste originea reperului iar
−→i ,−→j ,−→k se numeste baza reperului. Coordonatele euclidi-
ene (x, y, z) ale vectorului de pozitie −→r =−−→OM se numesc
coordonatele carteziene ale punctului M fata de reperul ortonor-
mat O,−→i ,−→j ,−→k , unde
• x = (−→i ,−→r ) = pr−→
i−→r = abscisa
• y = (−→j ,−→r ) = pr−→
j−→r = ordonata
• z = (−→k ,−→r ) = pr−→
k−→r = cota
Bijectia dintre E3 si R3 determinata prin fixarea reperuluicartezian se numeste sistem de coordonate carteziene si se noteazaprin M(x, y, z).
Versorilor−→i ,
−→j ,
−→k le atasam axele de coordonate Ox, Oy, Oz
care au acelasi sens cu sensul pozitiv al acestor versori. Coor-donatele carteziene ale punctului M reprezinta marimile algebrice
1.4 Produsul vectorial a doi vectori 19
ale proiectiilor ortogonale ale vectorului−−→OM pe cele trei axe de
coordonate (fig. 6).
Axele au ecuatiile: Ox : y = 0, z = 0;Oy : z = 0, x = 0;Oz :x = 0, y = 0; cele trei axe determina trei plane xOy, yOz, zOx nu-mite plane de coordonate care au ecuatiile: xOy: z=0, yOz: x=0,zOx: y=0.
Cele trei plane de coordonate ımpart spatiul ın opt regiuni nu-mite octante.
Fig. 6. Sistemul de coordonate carteziene
1.5 Exercitii 20
1.5 Exercitii
Adunarea, scaderea si ınmultirea cu scalari a vectorilor.
Exercitiu 1.1 Consideram vectorul −→a =< 1, 2 > (= 1−→i + 2
−→j )
si vectorul−→b =< −2, x > (= −2
−→i + x
−→j ). Sa se afle numarul x
pentru ca suma celor doi vectori sa aiba aceeasi directie ca vectorul< 2, 1 >.
Demonstratie: Sa notam cu −→c suma celor doi vectori, deci
−→c = −→a +−→b =< 1, 2 > + < −2, x >=< −1, 2 + x >
Daca −→c si < 2, 1 > au aceeasi directie ınseamna ca unul e multiplude celalalt, deci
< 2, 1 >= α−→c = α < −1, 2 + x >=< −α,α(2 + x) >
pentru un numar real α. Prin egalarea componentelor deducemca
2 = −α, 1 = α(2 + x) >
de unde rezulta ca α = −2, x = −5/2.
Exercitiu 1.2 Asupra unui obiect actioneaza doua forte ca ın fig.
7, unde α = 45o si β = 30o, |−→F1| = 30, |−→F2| = 25. Sa se gaseascaforta rezultanta.
Demonstratie: Forta rezultanta este suma celor doua forte.Avem
−→F1 = 30 < cosα, sinα > si
−→F2 = 25 < cosβ,−sinβ >.
Rezulta ca−→F1 = 30 < cos45o, sin45o >= 30 < 1/
√2, 1/
√2 > si−→
F2 = 25 < cos30o,−sin300 >= 25 <√
3/2,−1/2 >. Prin sumare
se obtine apoi−→R .
1.5 Exercitii 21
Fig. 7. Forta rezultanta
Exercitiu 1.3 Sa se gaseasca un vector −→v care e paralel cu vec-torul < 1, 2 > si are aceeasi lungime ca vectorul < 3, 1 >.
Demonstratie: Daca −→v si < 1, 2 > sunt paraleli ınseamna cavectorul −→v se poate obtine din < 1, 2 > prin ınmultire cu unscalar:
−→v = α < 1, 2 >
Lungimea lui −→v este |−→v | = |α|√
12 + 22 = |α|√
5 si ea trebuie safie egala cu| < 3, 1 > | =
√32 + 12 =
√10. Urmeaza ca
|α|√
5 =√
10
si deci |α| =√
2 . Deci α = ±√
2. Sunt deci doi vectori ce satisfacconditiile problemei, anume −→v = ±
√2 < 1, 2 >
1.5 Exercitii 22
Exercitiu 1.4 Sa se descompuna vectorul < 7, 5 > pe directiile< 1, 3 > si < 3, 1 >.
Demonstratie: Trebuie sa gasim scalarii α si β asa ca
α < 1, 3 > +β < 3, 1 >=< 7, 5 >
Egaland componentele vectorilor gasim ca:
α+ 3β = 7, 3α+ β = 5
Deci α = 1 β = 2. Descompunerea este:
1· < 1, 3 > +2· < 3, 1 >=< 7, 5 >
Exercitiu 1.5 Cu ce forta−→F trebuie sa actionam asupra unui
obiect de masa 1000Kg pe directia < 1, 1 > (fig. 8) pentru ca subactiunea acestei forte obiectul sa se deplaseze pe orizontala?
Demonstratie:−→F trebuie sa aiba aceeasi directie ca < 1, 1 > si
prin urmare putem scrie−→F = α < 1, 1 > pentru un numar real
α. Forta de greutate−→G e data de formula
−→G =< 0,−mg >=<
0,−9800 > unde m este masa obiectului iar g este acceleratiagravitationala. Forta rezultanta este suma celor doua forte:
−→R =
−→F +
−→G =< α,α− 9800 >
Pentru ca obiectul sa se miste pe orizontala trebuie ca forta rezul-tanta sa fie pe directia orizontala si deci a doua componenta a eiva trebui sa fie 0: α− 9800 = 0
1.5 Exercitii 23
Fig. 8. Forta rezultanta
si deci α = 9800. In concluzie−→F =< 9800, 9800 >= 9800
−→i +
9800−→j .
Exercitiu 1.6 Consideram doi vectori −→v =< v1, v2 >= v1−→i +
v2−→j si −→w =< w1, w2 >= w1
−→i + w2
−→j . Sa se arate ca formulele
de calculare a produsului scalar
−→v · −→w = v1w1 + v2w2 (9)
si−→v · −→w = |−→v ||−→w |cosα (10)
unde α este unghiul dintre cei doi vectori, sunt echivalente.
Demonstratie: Din fig. 9 rezulta descrierea ın coordonate polarea celor doi vectori: v1 = r1cosβ, v2 = r1sinβ,
1.5 Exercitii 24
w1 = r2cosγ, w2 = r2sinγ si |−→v | = r1, |−→w | = r2. Reprezentareapolara a celor doi vectori este
v = r1(cosβ, sinβ), w = r2(cosγ, sinγ)
Va rezulta ca formula (9) e echivalenta cu
Fig. 9. Reprezentare polara
−→v · −→w = r1cosβr2cosγ + r1sinβr2sinγ =
= r1r2(cosβcosγ + sinβsinγ) = r1r2cos(β − γ)
A doua formula (10) devine −→v ·−→w = r1r2cosα = r1r2cos(γ−β) =r1r2cos(β − γ) si deci cele doua formule sunt echivalente. Pentruvectori ın spatiu o solutie similara poate fi data.Alta metoda:Aplicand teorema lui Pitagora generalizata gasim ca:
|−→v |2 + |−→w |2 − |−→v −−→w |2 = 2|−→v ||−→w |cosα
1.5 Exercitii 25
Utilizand formula |−→v |2 = v21 + v2
2 rezulta ca
v1w1 + v2w2 = |−→v ||−→w |cosα
Fig. 10. Teorema lui Pitagora generalizata
Exercitiu 1.7 (Lucrul mecanic) Asupra unui obiect actioneaza o
forta rezultanta−→F de marime 20N ce face un unghi de 40o cu
axa orizontala. Obiectul e deplasat sub actiunea acestei forte pe opanta de ınclinatie 10o (ca ın fig. 11) pe distanta 20m. Sa se aflelucrul mecanic efectuat de forta.
Demonstratie:Atunci cand aceasta forta e constanta ca marime vectoriala iardeplasarea se face pe o linie dreapta lucrul mecanic efectuat deforta e dat de formula:
L =−→F · −→d
In cazul nostru pentru calculul lucrului mecanic vom utiliza for-mula (10):
L = |−→F ||−→d |cosα = 20N × 20mcos30o = 200√
3J
1.5 Exercitii 26
Fig. 11. Lucru mecanic
Exercitiu 1.8 (Ortogonalitate) Consideram doi vectori −→v1 =<1, 2 >,−→v2 =< 2, x >. Gasiti x pentru ca −→v1 ⊥ −→v2.
Demonstratie: Daca cei doi vectori sunt perpendiculari produsullor scalar trebuie sa fie egal cu 0: ⇒ < 1, 2 > · < 2, x >= 0 ceeace implica 2 + 2x = 0 si deci x = −1.
Exercitiu 1.9 (Ortogonalitate) Consideram o curba de ecuatiecarteziana γ(x) = x2 + 1 din fig. (12). Sa se afle un vectornormal la curba ın punctul P (1, 2).
Demonstratie:Stim ca derivata functei γ evaluata la 1 ne va da panta liniei tan-gente la graficul lui γ ınpunctul P (1, 2).
Aceasta panta este γ′(1) = 2. Prin urmare ecuatia dreptei prin Psi de panta 2 este y−2 = 2(x−1). Un alt punct pe aceasta dreapta
1.5 Exercitii 27
este Q(2, 4). Prin urmare−−→PQ =< 2, 4 > − < 1, 2 >=< 1, 2 >
este un vector tangent la curba γ ın punctul P (1, 2). Un vector
normal la curba ın P este atunci un vector perpendicular pe−−→PQ,
de exemplu n =< 2,−1 >
Fig. 12. Directia normala la un grafic ıntr-un punct
Exercitiu 1.10 (Proiectia ortonormala) Sa se afle proiectia vec-toriala a vectorului −→v1 =< 1, 2 > pe vectorul −→v2 =< 3, 1 > farautilizarea formulei de calcul a proiectiei.
Demonstratie: Sa notam pr−→v2
−→v1 proiectia lui −→v1 pe −→v2 . Aceastaproiectie are aceeasi directie ca si −→v2 prin urmare pr−→v2
−→v1 = α−→v2pentru un numar α pe care urmeaza sa-l aflam. Conditia sat-isfacuta de proiectie este ca
1.5 Exercitii 28
−→v1 − pr−→v2
−→v1 ⊥ −→v2 prin urmare −→v1 − α−→v2 ⊥ −→v2Inlocuind gasim (< 1, 2 > −α < 3, 1 >) ⊥< 3, 1 > ceea ce implica
(< 1, 2 > −α < 3, 1 >)· < 3, 1 >= 0
Fig. 13. Proiectia vectoriala
si deci (1 − 3α)3 + (2 − α)1 = 0 de unde rezulta ca α = 1/2 prinurmare
pr−→v2
−→v1 =1
2−→v2 =< 1.5, 0.5 >
Exercitiu 1.11 (Proiectia ortonormala) Sa se afle proiectia vec-toriala a vectorului −→v1 =< 1, 2, 0 > pe subspatiul liniar generat devectorii −→v2 =< 2, 1, 1 > si −→v3 =< 1, 0, 1 >.
Demonstratie:Deoarece aceasta proiectie −→pv1 e continuta ın subspatiul liniar gen-erat de vectorii −→v2 si −→v3 , ea va fi o combinatie liniara de cei doivectori:
−→pv1 = α−→v2 + β−→v3 (11)
1.5 Exercitii 29
Pe de alta parte, −→pv1 fiind proiectia lui −→v1 pe subspatiul liniargenerat de vectorii −→v2 si −→v3 trebuie ca vectorul −→c = −→v1 −−→pv1 sa fieperpendicular pe fiecare vector din acest subspatiu (vezi fig. 14),prin urmare −→c = −→v1 − −→pv1 va fi perpendicular si pe vectorii −→v2 si−→v3 . Vom avea deci
Fig. 14. Proiectia vectoriala pe un subspatiu
(−→v1 −−→pv1) · −→v2 = 0(−→v1 −−→pv1) · −→v3 = 0
(12)
Utilizand formula (11) rezulta
−→v1 · −→v2 − α−→v2 · −→v2 − β−→v3 · −→v2 = 0−→v1 · −→v3 − α−→v2 · −→v3 − β−→v3 · −→v3 = 0
(13)
Avem −→v1 ·−→v2 = 4 −→v2 ·−→v2 = 6 −→v3 ·−→v2 = 3 −→v1 ·−→v3 = 1 −→v2 ·−→v3 =3 −→v3 · −→v3 = 2Inlocuind ın (13) gasim ca
4 − 6α− 3β = 01 − 3α− 2β = 0
(14)
1.5 Exercitii 30
Rezolvand acest sistem gasim α = 5/3 si β = −2. Prin urmare,proiectia lui −→v1 este
−→pv1 = 5/3−→v2 + (−2)−→v3 =< 4/3, 5/3,−1/3 > (15)
Exercitiu 1.12 (Proiectia ortonormala) Sa se afle distanta de lapunctul P (1, 2, 0) la planul paralel cu vectorii −→v2 =< 2, 1, 1 > si−→v3 =< 1, 0, 1 > ce trece prin origine.
Demonstratie: Avem exact numerele din problema anterioara cuamanuntul ca punctul P de aici este varful vectorului de pozitie−→v1 din problema anterioara.Prin urmare distanta de la P la planul paralel cu−→v2 =< 2, 1, 1 > si −→v3 =< 1, 0, 1 > ce trece prin origine va fi exactlungimea vectorului de la varful lui −→pv1 la varful lui −→v1 care e exactdiferenta acestor doi vectori, vom avea deci
distanta = |−→v1 −−→pv1| = | < −1/3, 1/3, 1/3 > | = 1/√
3
Exercitiu 1.13 (ortogonalitate) Consideram punctele P (0, 2) siQ(3, 1). Sa se afle lungimea ınaltimii din O din triunghiul OPQutilizand proprietatile vectorilor.
Demonstratie:Avem
−−→PQ =< 3, 1 > − < 0, 2 >=< 3,−1 >. Notam ınaltimea cu−−→
OH ca ın fig. 15. Avem−−→OH ⊥ −−→
PQ. O directie perpendiculara pe−−→PQ este < 1, 3 > si deci
−−→OH = α < 1, 3 >. Pe de alta parte, avem
1.5 Exercitii 31
ca−−→OH ⊥ −−→
OH − −−→OP . De aici rezulta ca
−−→OH · (−−→OH − −−→
OP ) = 0 sideci
α < 1, 3 > ·(α < 1, 3 > − < 0, 2 >) = 0
Rezolvand aceasta ecuatie gasim ca α(10α−6) = 0 si, cum α 6= 0,
rezulta ca α = 3/5 si−−→OH =< 3/5, 9/5 >. Lungimea ınaltimii,
adica lungimea vectorului−−→OH este
√90/5.
Fig. 15. Calculul ınaltimii ıntr-un triunghi
Exercitiu 1.14 (produsul mixt) Sa se arate ca vectorii−→v1 =< 1, 0, 2 >,−→v2 =< 1, 1, 2 >,−→v3 =< −1,−2,−2 > sunt copla-nari ( sunt continuti ın acelasi plan).
Demonstratie: Trei vectori sunt coplanari daca si numai dacaprodusul lor mixt este 0.
−→v1 ∧−→v2 ∧ −→v3 =
1 0 21 1 2
−1 −2 −2= 0 (16)
1.5 Exercitii 32
Exercitiu 1.15 (produsul vectorial) Sa se arate ca produsul vec-torial −→u =< u1, u2, u3 > a doi vectori −→v =< v1, v2, v3 >,−→w =< w1, w2, w3 > este dat de formula
−→u = −→v ×−→w =
−→i
−→j
−→k
v1 v2 v3w1 w2 w3
(17)
Demonstratie: Deoarece produsul vectorial este o aplicatiebiliniara este suficient sa aratam ca formula e adevarata pentruv,w elemente din baza canonica a lui R
3. Acest fapt este evident.
33
2 Dreapta ın spatiu
O dreapta ın spatiu poate fi determinata de:
1. un punct si un vector nenul;
2. doua puncte;
3. intersectia a doua plane.
2.1 Dreapta determinata de un punct si un vector
nenul
Fie M0(x0, y0, z0) un punct, −→r0 = x0
−→i + y0
−→j + z0
−→k vectorul lui
de pozitie, iar −→a (l,m, n) un vector nenul din V3. Dreapta ce treceprin M0 si are directia lui −→a o notam cu (D) (fig. 16).Punctul M(x, y, z) ∈ D, D fiind o dreapta determinata de M0 side −→a daca si numai daca
(−→r −−→r0) ×−→a =−→0 (18)
Ecuatia (18) se numeste ecuatia vectoriala a dreptei D determi-
nata de un punct si o directie. Vectorul −→a 6= −→0 se numeste vector
director, iar coordonatele sale l, m, n se numesc parametrii direc-tori ai dreptei. Evident orice vector λ−→a cu λ 6= 0 joaca acelasi rolca −→a . Coliniaritatea vectorilor −→r −−→r0 si −→a mai poate fi scrisa si−→r −−→r0 = t−→a , t ∈ R sau
−→r = −→r0 + t−→a , t ∈ R (19)
2.1 Dreapta determinata de un punct si un vector nenul34
Fig. 16. Ecuatia vectoriala a unei drepte
Ecuatia (19) este echivalenta cu ecuatiile:
x = x0 + tly = y0 + tmz = z0 + tn, t ∈ R
(20)
Ecuatiile (20) se numesc ecuatiile parametrice ale dreptei (D). Ecu-atiile (20) pot fi ınlocuite cu
x− x0
l=y − y0
m=z − z0n
(21)
numite ecuatiile carteziene ın R3.Se face conventia ca daca un numitor este nul atunci numaratorulrespectiv trebuie egalat cu 0.
2.2 Dreapta determinata de doua puncte 35
Observatia 2.1 1. Daca l = 0, mn 6= 0 atunci:
x = x0,y − y0
m=z − z0n
si este o dreapta paralela cu planul yOz.
2. Daca l = m = 0, n 6= 0 atunci:
x = x0, y = y0
si este o dreapta paralela cu axa Oz.
2.2 Dreapta determinata de doua puncte
Fie doua puncte distincte M1(x1, y1, z1) si M2(x2, y2, z2). Se stieca doua puncte distincte determina o dreapta unica. Vom folosicazul precedent, adica punctul va fi M1 si vectorul director va fi
dat de−−−−→M1M2 (fig. 17). Directia va fi (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1).
2.3 Dreapta orientata
O dreapta (D) ın spatiu pe care am ales un sens de parcurs senumeste dreapta orientata.Fie −→a vectorul director al dreptei (D), atunci sensul pozitiv pe(D) este sensul vectorului director −→a si acest sens ıl vom nota cu+. Fie M0 ∈ D, atunci multimea
D′ = M |−−−→M0M = λ−→a , λ ≥ 0
2.3 Dreapta orientata 36
Fig. 17. Dreapta orientata
se numeste partea pozitiva a lui D iar
D′′ = M |−−−→M0M = λ−→a , λ ≤ 0
se numeste partea negativa a lui D. De exemplu axele de coordo-nate Ox,Oy,Oz sunt drepte orientate. Vectorului director −→a 6= −→
0al dreptei D i se poate atasa versorul −→e = −→a /||−→a || numit versordirector sau directie orientata.Deci dreapta D poate fi scrisa ın forma: D = M |−−−→M0M = t−→e , t ∈R. Versorul director −→e ımpreuna cu axele de coordonate formeazacu axele unghiurile α, β, γ numite unghiuri directoare ale drepteiD (fig. 22). Coordonatele lui −→e se numesc cosinusurile directoareale dreptei D. Se poate scrie:
−→e = (−→e ,−→i )−→i + (−→e ,−→j )
−→j + (−→e ,−→k )
−→k
2.3 Dreapta orientata 37
sau−→e = cos(α)
−→i + cos(β)
−→j + cos(γ)
−→k
Deoarece ||−→e || = 1 ⇒ cos2α+ cos2β + cos2γ = 1.Unghiul a doua drepte orientate. Fiind date doua drepte D1
si D2 orientate, de vectori directori −→a si−→b , atunci unghiul lor
este dat de
cosα =(−→a ,−→b )
||−→a ||||−→b ||, ϕ ∈ [0, 2π]
deci
cosα =l1l2 +m1m2 + n1n2
√
l21
+m21+ n2
1
√
l22
+m22+ n2
2
cu ϕ ∈ [0, 2π] sau
Fig. 18. Cosinusurile directoare
2.3 Dreapta orientata 38
sinϕ =||−→a ×−→
b ||||−→a ||||−→b ||
Atunci D1 ⊥ D2 ⇔ (−→a ,−→b ) = 0 ⇔ l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 si
D1||D2 ⇔ −→a ×−→b =
−→0 ⇔ l1
l2= m1
m2= n1
n2
2.4 Exercitii 39
2.4 Exercitii
Exercitiu 2.1 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se gaseasca ecuatiavectoriala a dreptei care trece prin P (1, 1, 1) si are directia data de−→a =< −2, 3, 4 >. Sa se transforme ecuatia vectoriala ın ecuatiaparametrica a dreptei.
Demonstratie: Conform formulei ecuatiei vectoriale−−→r(t)−−→r0 =
t−→a unde −→r0 =−−→OP =< 1, 1, 1 > si deci
−−→r(t) =< 1 − 2t, 1 +
3t, 1 + 4t >. Ecuatia parametrica este: x(t) = 1 − 2t, y(t) =1 + 3t, z(t) = 1 + 4t.Ecuatia carteziana a dreptei se poate gasi prin eliminarea variabileit din ecuatia parametrica a dreptei:
x− 1
−2=y − 1
3=z − 1
4
Fig. 19. Ecuatia vectoriala a unei drepte
2.4 Exercitii 40
Exercitiu 2.2 (ecuatia vectoriala a dreptei) Aceeasi ıntrebare camai sus dar pentru −→a =< 0, 3, 4 >.
Demonstratie: Ecuatie vectoriala:−−→r(t) −−→r0 = t−→a deci
−−→r(t) =<
1, 1, 1 > + < 0, 3t, 4t >=< 1, 3t + 1, 4t + 1. Ecuatia parametrica:x(t) = 1, y(t) = 3t+1, z(t) = 4t+1. Ecuatia carteziana(obtinutaprin eliminarea parametrului t) x = 1, y−1
3= z−1
4. De notat ca
din moment ce pentru orice punct de pe dreapta coordonata x esteconstanta egala cu 1, aceasta dreapta va fi paralela cu planul yOz
Exercitiu 2.3 (ecuatia vectoriala a dreptei) Aceeasi ıntrebare camai sus dar pentru −→a =< 3, 0, 0 >.
Demonstratie:
Ecuatie vectoriala:−−→r(t) − −→r0 = t−→a deci
−−→r(t) =< 1, 1, 1 > + <
3t, 0, 0 >=< 1 + 3t, 1, 1 >. Ecuatia parametrica:x(t) = 1 + 3t, y(t) = 1, z(t) = 1.
Ecuatia carteziana (obtinuta prin eliminarea parametrului t) y =1, z = 1 De notat ca, din moment ce pentru orice punct de pedreapta coordonatele y si z sunt constante, aceasta dreapta va fiparalela cu axa Ox.
Exercitiu 2.4 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se gaseascaintersectia dreptei din exercitiul (2.1) cu planul xOy.
Demonstratie: Ecuatia parametrica a dreptei este
x(t) = 1 − 2t, y(t) = 1 + 3t, z(t) = 1 + 4t
In locul unde intersecteaza planul xOy trebuie sa avem z = 0.Deci 1 + 4t = 0 ⇒ t = −1/4. Inlocuind obtinem:
x = 1 − 2(−1/4) = 3/2, y = 1 + 3(−1/4) = 1/4
2.4 Exercitii 41
Deci punctul de intersectie este P (3/2, 1/4, 0).
Exercitiu 2.5 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se calculeze ecuatiaparametrica a dreptei ce trece prin P (−1, 1, 0) si e perpendicularape planul ce contine punctele Q(1, 2, 1), R(0, 2, 1), S(0, 0, 2).
Demonstratie: Din moment ce avem un punct pe dreapta, netrebuie doar directia dreptei pentru a aplica formula.Dreapta e perpendiculara pe planul ce contineQ(1, 2, 1), R(0, 2, 1),
S(0, 0, 2), prin urmare e perpendiculara si pe vectorii−−→QR =<
−1, 0, 0 >,−→QS =< −1,−2, 1 > ce sunt continuti ın acel plan.
Deci directia dreptei e directia perpendiculara pe acesti doi vectorice e data de produsul lor vectorial. Calculam produsul vectorialal celor doi vectori:
−→a =−−→QR×−→
QS =
−1 0 0−1 −2 1−→i
−→j
−→k
=−→j + 2
−→k =< 0, 1, 2 > (22)
Putem acum aplica formula de calcul a ecuatiilor vectoriale, para-metrice si carteziene exact ca ın exemplul (2.2).
Exercitiu 2.6 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se arate ca dreptelede ecuatii vectoriale
(D1)−−→r1(t) =< 1 + 2t, t, 2 + t >
(D2)−−−→r2(s) =< 1 − s, 1, 2 + 2s >
(23)
nu sunt nici paralele si nici coplanare.
2.4 Exercitii 42
Demonstratie: Avem
(D1)−−→r1(t) =< 1, 0, 2 > +t < 2, 1, 1 >
(D2)−−−→r2(s) =< 1, 1, 2 > +s < −1, 0, 2 >
(24)
De aici rezulta ca directiile celor doua drepte sunt date de vectorii< 2, 1, 1 > si respectiv < −1, 0, 2 >. Deoarece acestia nu suntlinear dependenti rezulta ca cele doua drepte nu sunt paralele.Deci daca ar fi coplanare ele s-ar intersecta. Sa egalam compo-nentele:
1 + 2t = 1 − s, t = 1, 2 + t = 2 + 2s
Din prima ecuatie avem s = −2 iar din a treia s = 1/2. Imposibil.Deci nu exista punct de intersectie.
Exercitiu 2.7 (ecuatia vectoriala a dreptei) In conditiile proble-mei (2.6) sa se gaseasca lungimea perpendicularei comune a celordoua drepte.
Demonstratie: Perpendiculara comuna exista! Alegem ın gen-eral doua drepte D1 si D2 care nu sunt paralele si nici nu se in-tersecteaza, ca ın fig. 20. Alegem un punct P pe D1 si trasamprin el o dreapta D3 paralela cu D2. Proiectam D2 pe planulP generat de dreptele D1 si D3. Proiectia si D1 se intersecteazaın Q. Trasam prin Q normala E la planul P . Avem atunci caE intersecteaza D1 si e perpendiculara pe D1 si pe de alta partedeoarece Q este pe proiectia pe P a lui D2 si D2||P trebuie ca Esa fie perpendiculara pe D2 si sa o si intersecteze.
2.4 Exercitii 43
Fig. 20. Perpendiculara comuna a doua drepte
Perpendiculara comuna este unica! Intr-adevar, daca ar exista oalta perpendiculara comuna atunci cele doua perpendiculare vorfi paralele pentru ca sunt ambele perpendiculare pe doua directiidiferite (date de D1 si D2). Rezulta ca D1 si D2 sunt ın planulgenerat de cele doua perpendiculare, ceea ce contrazice exercitiulanterior.Pentru determinarea lungimii perpendicularei comune a celor douadrepte date ın exercitiul 2.6 folosim ecuatia vectoriala a celor douadrepte. Observam ca orice vector ce incepe pe D2 si se terminape D1 e dat de formula:
−→r = −→r1(t) − −→r2(s) =< 1 + 2t, t, 2 + t > − < 1 − s, 1, 2 + 2s >pentru anumite valori ale parametrilor t si s. Noi trebuie sa gasimt si s ın asa fel ıncat vectorul −→r = −→r1(t) − −→r2(s) e perpendicular
2.4 Exercitii 44
atat pe directia lui D1 cat si pe directia lui D2, cu alte cuvinte
−→r · < 2, 1, 1 >= 0, −→r · < −1, 0, 2 >= 0
Inlocuind −→r obtinem
Fig. 21. Calculul lungimii perpendicularei comune
< 3t− 2s+ 1,−4t+ s,−t− 2s > · < 3,−4,−1 > = 0< 3t− 2s+ 1,−4t+ s,−t− 2s > · < 2,−1,−2 > = 0
(25)
Rezulta t = 1/6, s = 0 si deci −→r =< 1/3,−5/6, 1/6 > si lungimeaperpendicularei comune este |−→r | = | < 1/3,−5/6, 1/6 > | =2√
2/3.
Exercitiu 2.8 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se calculeze ecuatiaparametrica a dreptei ce trece prin punctele P (1, 2, 1) si Q(0, 2, 1).
2.4 Exercitii 45
Demonstratie: Deoarece cele doua puncte sunt pe dreapta
ınseamna ca directia dreptei e data de vectorul −→a =−−→PQ =<
0, 2, 1 > − < 1, 2, 1 >=< −1, 0, 0 >. Putem acum aplica formulade calcul a ecuatiilor vectoriale, parametrice si carteziene exact caın exemplul (2.3).
46
3 Planul ın spatiu
Planul poate fi determinat de:
• trei puncte necoliniare;
• doua drepte paralele;
• o dreapta si un punct exterior ei;
• un punct si un vector normal la plan.
Propozitia 3.1 Ecuatia vectoriala a planului determinat de unpunct M0 perpendicular pe un vector dat −→n este:
((−→r −−→r0),−→n ) = 0
Demonstratie:Fie un plan P determinat de un punct M0 si care este perpendic-ular pe un vector dat −→n (fig. 22). Consideram un punct M ∈ P ,M punct curent al planului (poate genera planul). Deoarece−→n ⊥ P ⇒ −→n este perpendicular pe orice dreapta din plan.Unind
pe M0 cu M obtinem vectorul−−−→M0M = −→r −−→r0 si cum −→n ⊥ −−−→
M0Mrezulta
−−−→M0M · −→n
sau(−→r −−→r0) · −→n = 0
47
Fig. 22. Ecuatia unui plan
Teorema 3.1 (Ecuatia generala a planului) Intr-un sistem de co-ordonate carteziene, un plan este definit de ecuatia:
Ax+By + Cz +D = 0
unde cel putin unul din coeficientii A,B,C este nenul.
Demonstratie: Daca M0(x0, y0, z0),M(x, y, z) si −→n = (A,B,C)atunci
−−−→M0M = (x− x0)
−→i + (y − y0)
−→j + (z − z0)
−→k
Din conditia de ortogonalitate rezulta:
A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0 (26)
unde D = −(Ax0 + By0 + Cz0), ecuatia (26) se numeste ecuatiagenerala a planului.
48
Teorema 3.2 Reciproca teoremei (3.1): Orice ecuatie de gradulıntai
Ax+By + Cy +D = 0
defineste ın sistemul de coordonate carteziene un plan.
Demonstratie: Daca (x0, y0, z0) este o solutie a ecuatiei (2)atunci Ax0 +By0 +Cz0 +D = 0 sau D = −(Ax0 +By0 +Cz0) siınlocuind ın (2) se obtine
A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0
care este ecuatia unui plan ce trece prin punctul M0(x0, y0, z0) sieste perpendicular pe vectorul nenul (A,B,C).
Observatia 3.1
1. Ecuatia unui plan ın spatiu este nucleul unei functii liniarafine f : R3 → R, f(x, y, z) = Ax+By + Cz +D.
2. Doua ecuatii de gradul ıntai reprezinta acelasi plan daca sinumai daca au coeficientii proportionali:
A1
A2
=B1
B2
=C1
C2
=D1
D2
3. Ecuatii particulare ale planului:
(a) Ax+ By + Cz = 0 – ecuatia unui plan care trece prinorigine.
(b)
Ax+By +D = 0 plan paralel cu axa OzAx+ Cz +D = 0 plan paralel cu axa OyBy + Cz +D = 0 plan paralel cu axa Ox
(27)
49
(c)
Ax+D = 0 plan paralel cu planul yOzBy +D = 0 plan paralel cu planul xOzCz +D = 0 plan paralel cu planul xOy
(28)
Teorema 3.3 Ecuatia planului determinat de trei puncte necol-iniare M1(x1, y1, z1),M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) este
x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1
= 0 (29)
Demonstratie:Fie trei puncte necoliniare M1,M2,M3 si vectorii de pozitie−→r1(x1, y1, z1),
−→r2(x2, y2, z2),−→r3 (x3, y3, z3) si un punct curent
M(x, y, z) cu vectorul de pozitie −→r (x, y, z). Pentru ca M sa fie ın
plan trebuie ca vectorii−−−→M1M,
−−−−→M1M2,
−−−−→M1M3 sa fie coplanari, deci
produsul mixt trebuie sa fie nul.
−−−→M1M ·(−−−−→M1M2×
−−−−→M1M3) = 0 sau (−→r −−→r1)[(−→r2−−→r1)×(−→r3−−→r1)] = 0
saux− x1 x2 − x1 x3 − x1
y − y1 y2 − y1 y3 − y1
z − z1 z2 − z1 z3 − z1
= 0 (30)
care e echivalent cu
x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1
= 0 (31)
3.1 Ecuatia normala a planului 50
Observatia 3.2
1. Ecuatia planului prin taieturi: xz + y
b + zc = 1.
2. Patru puncte sunt coplanare daca
x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1x4 y4 z4 1
= 0 (32)
3.1 Ecuatia normala a planului
Teorema 3.4 Fie cosα, cosβ, cosγ cosinusurile directoare ale nor-malei de plan si p distanta de la origine la plan. Ecuatia planuluiastfel determinat este:
xcosα+ ycosβ + zcosγ − p = 0 (forma lui Hesse) (33)
Demonstratie:Fie ıntr-un sistem de axe rectangulare Oxyz (fig. 23) vec-
torul−−→OP dus din origine, perpendicular pe planul Π, |−−→OP |,
cu −→n (cosα, cosβcosγ). Punctul P, piciorul perpendicularei dusedin origine pe plan are coordonatele (pcosα, pcosβ, pcosγ). Fie
M ∈ Π,M(x, y, z). Cum−−→OP ⊥ Π ⇔ −−→
PM · −→n = 0 ceea ce implica
3.2 Distanta de la un punct la un plan 51
Fig. 23. Ecuatia normala a planului
[(x− pcosα)−→i + (y − pcosβ)
−→j + (z − pcosγ)
−→k ]·
·[cosα−→i + cosβ−→j + cosγ
−→k ] = 0
sau
xcosα+ ycpsβ + zcosγ − p(cos2α+ cos2β + cos2γ) = 0
si cum cos2α+ cos2β + cos2γ = 1 rezulta ecuatia 33.
Observatia 3.3 Trecand ecuatia generala a planului: Ax+By+Cz +D = 0 la forma normala se obtine
Ax+By + Cz +D
±√A2 +B2 + C2
= 0
3.2 Distanta de la un punct la un plan
Daca un plan este definit prin ecuatia normala atunci distanta dde la un punct M0(x0, y0, z0) la acest plan este egala cu
3.2 Distanta de la un punct la un plan 52
d = |x0cosα+ y0cosβ + z0cosγ − p| (34)
Daca planul este dat sub forma generala, distanta d de la punctulM0(x0, y0, z0) la plan este:
d =|Ax0 +By0 + Cz0 +D|√
A2 +B2 + C2(35)
Intr-adevar, fie un punct M1(x1, y1, z1) ın planul dat si se con-sidera vectorul normal −→n (cosα, cosβ, cosγ) la plan ın acest punct(fig.24). Oricare ar fi pozitia punctului M0(x0, y0, z0), atunci:
d = |−−−→M1M · −→n |. Deoarece−−−→M1M si −→n au, respectiv proiectiile pe
axe−−−→M1M(x0 − x1, y0 − y1, z0 − z1) si −→n (cosα, cosβ, cosγ) atunci
se va obtine
d = |(x0 − x1)cosα+ (y0 − y1)cosβ + (z0 − z1)cosγ| =
= |x0cosα+ y0cosβ + z0cosγ − (x1cosα+ y1cosβ + z1cosγ)|
Fig. 24. Distanta de la un punct la un plan
3.3 Unghiul a doua plane 53
d = |(x0 − x1)cosα+ (y0 − y1)cosβ + (z0 − z1)cosγ| =|x0cosα+ y0cosβ + z0cosγ − (x1cosα+ y1cosβ + z1cosγ)|
Dar punctul M1 este ın planul considerat: x1cosα + y1cosβ +z1cosγ − p = 0, de unde rezulta
x1cosα+ y1cosβ + z1cosγ = p
Deci
d = |x0cosα+ y0cosβ + z0cosγ − p|In cazul cand planul este dat ın forma generala se reduce aceastaecuatie ın forma normala
Ax+By + Cz +D
±√A2 +B2 + C2
= 0
Atunci conform celor de mai sus rezulta ca distanta este
d =|Ax0 +By0 + Cz0 +D|√
A2 +B2 + C2
3.3 Unghiul a doua plane
Cosinusurile unghiurilor ıntre doua plane, date de ecuatiile
A1x+B1y + C1z +D1 = 0A2x+B2y + C2z +D2 = 0
(36)
sunt date de
cosα1,2 =A1A2 +B1B2 + C1C2
±√
A21+B2
1+ C2
1
√
A22+B2
2+ C2
2
(37)
3.3 Unghiul a doua plane 54
Pentru a obtine relatia (37) vom considera normalele la cele doua
plane (fig. 25)−→N1(A1, B1, C1),
−→N2(A2, B2, C2). Unghiul format
de vectorii−→N1 si
−→N2 este dat de formula cos(
−→N1,
−→N2) = cosϕ =
−→N1·
−→N2
|−→N1||−→N2|
⇔
cosϕ1,2 =A1A2 +B1B2 + C1C2
±√
A21+B2
1+C2
1
√
A22+B2
2+ C2
2
Se observa ca planele sunt perpendiculare daca si numai daca
A1A2 +B1 +B2 + C1C2 = 0
Fig. 25. Unghiul a doua plane
Cele doua plane sunt paralele daca
A1
A2
=B1
B2
=C1
C2
3.4 Exercitii 55
3.4 Exercitii
Exercitiu 3.1 (ecuatia vectoriala a planului) Sa se afle ecuatiavectoriala a planului ce contine P (1,−1, 2) si e perpendicular pevectorul −→n =< 1, 1, 1 >.
Demonstratie:Ecuatia vectoriala este (−→r −−→r0) · −→n = 0 unde−→r0 =
−−→OP =< 1,−1, 2 > Avem:
(−→r − < 1,−1, 2 >)· < 1, 1, 1 >= 0.
Daca −→r =−−→OM unde M(x, y, z) este un punct de pe plan rezulta
ca −→r =< x, y, z > si deci
(< x, y, z > − < 1,−1, 2 >)· < 1, 1, 1 >= 0
de undex+ y + z = 2
Exercitiu 3.2 Sa se gaseasca un vector normal la planul 2x+y−3z = 5.
Demonstratie: Ecuatia se scrie ın forma canonica 2(x−1)+1(y−0) + (−3)(z + 1) = 0 ceea ce inseamna ca vectorul < 2, 1,−3 >e normal la planul 2x + y − 3z = 5. Alta metoda: Se pot gasidoi vectori continuti ın plan si apoi se poate calcula produsul lorvectorial.
Exercitiu 3.3 (plane paralele)Sa se arate ca planele 2x+y−3z = 5 si x+y = 2 nu sunt paralele.
3.4 Exercitii 56
Demonstratie: Daca cele doua plane sunt paralele atunci sidirectiile normale la ele vor fi paralele. Un vector normal la primulplan este < 2, 1,−3 > iar la al doilea < 1, 1, 0 >. Acesti doi vec-tori nu sunt paraleli pentru ca nu exista niciun scalar α asa ca< 2, 1,−3 >= α < 1, 1, 0 >. Concluzia e ca nici planele nu vor fiparalele.
Exercitiu 3.4 (plane paralele) Sa se arate ca planele A1x+B1y+C1z = D1 si A2x+ B2y + C2z = D2 sunt paralele daca si numaidaca exista un scalar α asa ca A2 = αA1,B2 = αB1,C2 = αC1.
Demonstratie: ⇒ Daca cele doua plane sunt paralele si directiilenormale la ele sunt paralele. Rezulta ca < A1, B1, C1 > si <A2, B2, C2 > sunt paraleli de unde concluzia.
⇐ Daca A2 = αA1,B2 = αB1,C2 = αC1 rezulta ca directiilenormale la plane sunt paralele si deci si cele doua plane sunt par-alele.
Exercitiu 3.5 (plane paralele) Sa se afle distanta dintre planeleparalele de ecuatii x+ y + z = 1 si x+ y + z = 3.
Demonstratie:Un vector normal la primul plan este −→n =< 1, 1, 1 >. Un punct
pe primul plan este P (1, 0, 0). Alegem α ın asa fel ıncat−−→OP +α <
1, 1, 1 > (=< 1 + α,α, α >) sa aiba varful pe al doilea plan adica1 + α+ α + α = 3 de unde rezulta ca α = 2/3. Concluzia este cadistanta dintre plane este exact egala cu|2/3 < 1, 1, 1 > | = 2/
√3.
Metoda 2: Se poate alege punctul P (1, 0, 0) de pe primul plansi apoi calcula distanta de la P (1, 0, 0) la planul dat de ecuatiax+ y + z = 3 ca ın exercitiul 3.7.
3.4 Exercitii 57
Exercitiu 3.6 (plan prin trei puncte) Sa se gaseasca ecuatia plan-ului ce contine punctele P (1, 1, 0), Q(−1, 0, 2), R(0, 1, 3).
Demonstratie: Fie un punct M(x, y, z) din plan. Vectorii−−→PM,
−−→PQ,
−→PR sunt ın acelasi plan deci produsul lor mixt este 0:
x− 1 y − 1 z−1 − 1 0 − 1 2 − 00 − 1 1 − 1 3 − 0
=x− 1 y − 1 z−2 −1 2−1 0 3
= 0 (38)
adica −3x+ 4y − z = 1.
Exercitiu 3.7 (distanta de la un punct la un plan)Se proiecteaza punctul P (x0, y0, z0) pe planul ax+ by+ cz+ d = 0
ın punctul Q. Sa se gaseasca vectorul−−→PQ.
Demonstratie:Un vector normal la plan este < a, b, c >, prin urmare
−−→PQ =
α < a, b, c > unde α este un scalar pe care urmeaza sa-l aflam.
Avem−−→OQ =
−−→OP +
−−→PQ = < x0, y0, z0 > +α < a, b, c >=
=< x0 + αa, y0 + αb, z0 + αc > si cum acest vector are varful Qpe plan trebuie ca
ax0 + by0 + cz0 + d+ α(a2 + b2 + c2) = 0
Deci α = −(ax0 + by0 + cz0 + d)/(a2 + b2 + c2). Prin urmare
3.4 Exercitii 58
Fig. 26. Distanta de la un punct la un plan
−−→PQ = α < a, b, c >=
−(ax0 + by0 + cz0 + d)
a2 + b2 + c2< a, b, c >
Ca o consecinta imediata, distanta de la punctul P la plan estedata de formula
distanta = |−−→OP | =|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
59
4 Pozitii relative ın spatiu
4.1 Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane
Vom considera doua plane:
A1x+B1y + C1z +D1 = 0A2x+B2y + C2z +D2 = 0
(39)
Aceste plane se intersecteaza atunci cand coeficientii lui x, y, z dinecuatiile planelor nu sunt proportionali.Intr-adevar daca tripletul A1, B1, C1 nu este proportional cu triple-tul ordonat A2, B2, C2 atunci cel putin unul din determinantii
B1 C1
B2 C2
,C1 A1
C2 A2
,A1 B1
A2 B2
(40)
este diferit de 0.Sistemul format de ecuatiile (44) este un sistem de doua ecuatiicu trei necunoscute si presupunand ca
A1 B1
A2 B2
6= 0 (41)
atunci sistemul este compatibil, simplu nedeterminat. Rezolvandsistemul se obtine o dreapta ai carei parametri directori sunt:
l =B1 C1
B2 C2
, m =C1 A1
C2 A2
, n =A1 B1
A2 B2
(42)
Cazul a trei plane, de ecuatii
(F1) A1x+B1y + C1z +D1 = 0(F2) A2x+B2y + C2z +D2 = 0(F3) A3x+B3y + C3z +D3 = 0
(43)
4.1 Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane 60
Aceste ecuatii formeaza un sistem de trei ecuatii cu trei necunos-cute.
1. Daca
∆ =A1 B1 C1
A2 B2 C2
A3 B3 C3
6= 0 (44)
atunci sistemul are solutie unica, deci planele se intersecteazaıntr-un punct.
2. Daca ∆ = 0, iar unul din determinantii de ordinul doi estenenul, de exemplu
δ =A1 B1
A2 B2
6= 0 (45)
acesta va fi determinantul principal al sistemului. Daca de-terminantul caracteristic
∆1 =A1 B1 D1
A2 B2 D2
A3 B3 D3
6= 0 (46)
atunci sistemul este simplu nedeterminat iar planele trecprintr-o dreapta D = P1 ∩ P2.
Daca ∆1 = 0 atunci sistemul este incompatibil si cum δ 6= 0rezulta ca cele trei plane se intersecteaza doua cate doua,dupa drepte paralele, deci ele formeaza o prisma nelimitata.
3. Daca ∆ = 0 si toti determinantii de ordin doi sunt nuli,presupunandA1 6= 0 determinantul principal, este de ordinul
4.2 Intersectia dintre o dreapta si un plan 61
ıntai. Daca determinantii caracteristici corespunzatori suntnenuli sistemul este incompatibil deci cele trei plane luatedoua cate doua nu au puncte comune si planele sunt paraleleıntre ele.
Daca determinantii caracteristici sunt nuli, ecuatiile se reducla una singura deci planele sunt confundate.
Definitia 4.1 Multimea tuturor planelor care trec prin dreapta deintersectie a doua plane date numite plane de baza formeaza unfascicul de plane avand ca axa acea dreapta.
Ecuatia fascicului de plane este:
A1x+B1y + C1z +D1 + λ(A2x+B2y + C2z +D2) = 0
4.2 Intersectia dintre o dreapta si un plan
Fie o dreapta de ecuatie
(D) :x− x0
l=y − y0
m=z − z0n
si planul:
(P ) : Ax+By + Cz = 0.
Coordonatele punctului de intersectie se obtin rezolvand sistemulformat de cele doua ecuatii. Egaland rapoartele din ecuatia dreptei(D) cu λ se obtine
(D) : x = x0 + λly = y0 + λmz = z0 + λn
(47)
Sistemul format din aceste ecuatii si ecuatia planului (P ) duce la
4.3 Alte moduri de determinare a ecuatiei unui plan 62
Ax0 +By0 + Cz0 +D + λ(Al +Bm+ Cn) = 0 (48)
de unde
λ = −Ax0 +By0 + Cz0 +D
Al +Bm+ Cn(49)
Daca Al + Bm + Cn 6= 0 atunci D ∩ P = punct. Daca Al +Bm+ Cn = 0 si Ax0 +By0 +Cz0 +D 6= 0 atunci ecuatia nu aresolutii finite, deci aceasta dreapta este paralela cu planul. DacaAl+Bm+Cn = 0 si Ax0 +By0 +Cz0 +D = 0 ecuatia (2) are oinfinitate de solutii si deci aceasta dreapta este continuta ın plan.
4.3 Alte moduri de determinare a ecuatiei unui plan
Fie doua drepte concurente D1 ∩D2 = M0(x0, y0, z0).
• (D1) :x− x0
l1=y − y0
m1
=z − z0n1
,
• (D2) :x− x0
l2=y − y0
m2
=z − z0n2
Ducem prin punctul de concurenta M0 doi vectori coliniari cuvectorii directori ai celor doua drepte D1 si D2,
−→v1(l1,m1, n1),−→v2(l2,m2, n2). Acesti vectori fiind situati pe dreptele D1 si D2,sunt continuti ın planul (P ) determinat de cele doua drepte con-curente. FieM(x, y, z) un punct curent ın acest plan. Deci vectorii−−−→M0M,−→v1 ,−→v2 sunt coplanari:
−−−→M0M · (−→v1 ×−→v2) = 0 de unde
(F ) :
x− x0 y − y0 z − z0l1 m1 n1
l2 m2 n2
= 0
4.3 Alte moduri de determinare a ecuatiei unui plan 63
Fie o dreapta
(D) :x− x0
l=y − y0
m=z − z0n
si un punct M2(x2, y2, z2),M2 /∈ D.Dreapta D si punctul M2 determina un plan. Ducem prin M1
vectorul director −→v (l,m, n) al dreptei D. Vectorii−−−→M1M ,−−−−→
M1M2 si −→v sunt coplanari adica
−−−→M1M · (−−−−→M1M2 ×−→v ) = 0
sau
(P ) :x− x1 y − y1 z − z1x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
l m n= 0 (50)
Fig. 27. Planul determinat de o dreapta si un punct
In mod analog se obtine ecuatia planului determinat de douadrepte
4.3 Alte moduri de determinare a ecuatiei unui plan 64
(D1) : x−x1
l = y−y1
m = z−z1
n ,
(D2) : x−x2
l = y−y2
m = z−z2
n
(51)
(P ) :x− x1 y − y1 z − z1x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
l m n= 0 (52)
4.4 Exercitii 65
4.4 Exercitii
Exercitiu 4.1 (separare) Consideram doua puncte P (x0, y0, z0)si Q(x1, y1, z1) si planul Π : ax+ by + cz + d = 0. Sa se demon-streze ca daca
(ax0 + by0 + cz0 + d)(ax0 + by0 + cz0 + d) > 0
atunci cele doua puncte P si Q sunt de aceeasi parte a planului Πiar daca
(ax0 + by0 + cz0 + d)(ax0 + by0 + cz0 + d) < 0
atunci cele doua puncte sunt de o parte si de alta a planului Π.
Demonstratie:Proiectam punctele P , respectiv Q pe planul Π ın punctele P ′
respectiv Q′. Atunci, conform problemei 3.7 avem ca
−−→PP ′ =
−(ax0 + by0 + cz0 + d)
a2 + b2 + c2< a, b, c >
si−−→QQ′ =
−(ax1 + by1 + cz1 + d)
a2 + b2 + c2< a, b, c >
Cele doua puncte vor fi de aceeasi parte a lui Π atunci cand ceidoi vectori au acelasi sens, adica atunci cand (ax0 + by0 + cz0 + d)si (ax1 + by1 + cz1 + d) au acelasi semn
4.4 Exercitii 66
Fig. 28. Separare
deci atunci cand (ax0 + by0 + cz0 + d)(ax1 + by1 + cz1 + d) > 0.Cele doua puncte vor fi de o parte si de alta a planului Π atuncicand cei doi vectori au sensuri diferite, adica atunci cand (ax0 +by0 + cz0 + d)(ax1 + by1 + cz1 + d) < 0.
Exercitiu 4.2 (separare) Consideram punctul P (x0, y0, z0) siplanele paralele Π1 : ax+by+cz+d = 0 si Π2 : ax+by+cz+e =0. Sa se demonstreze ca daca
(ax0 + by0 + cz0 + d)(ax0 + by0 + cz0 + e) < 0
atunci punctul P este ıntre cele doua plane.
Demonstratie: Utilizam iar rezultatul din problema 3.7.Proiectam punctul pe cele doua plane ın P1 si respectiv P2. Punc-
tul P se va afla ıntre cele doua plane daca vectorii paraleli−−→PP1 si
4.4 Exercitii 67
−−→PP2 au sensuri opuse. Conform formulelor de calcul pentru
−−→PP1
si−−→PP2 demonstrate ın 3.7 rezulta ca cei doi vectori au sensuri
opuse atunci cand (ax0 + by0 + cz0 + d)(ax0 + by0 + cz0 + e) < 0.
Exercitiu 4.3 Sa se demonstreze ca punctele P (1, 2, 3) siQ(3, 2, 1) se afla de o parte si de alta a planului (P ) : x+y−5 = 0.
Demonstratie: Utilizam metoda din exercitiul 4.1. Avem(1 + 2 − 5)(3 + 2 − 5) = −2 < 0, deci planul separa cele douapuncte.
Exercitiu 4.4 Sa se demonstreze ca dreapta (D) de ecuatie para-metrica (D) : x = 3, y = t−1, z = t+1 si planul (P ) : x+y = 5nu sunt paralele.
Demonstratie: Directia dreptei e data de −→a =< 0, 1, 1 >.Alegem un punct pe plan, de pilda Q(5, 0, 0). Putem scrie atunciecuatia planului sub forma
1(x− 5) + 1(y − 0) + 0(z − 0) = 0
din care vedem ca o directie normala la planul P este −→n =<1, 1, 0 >. Daca planul si dreapta ar fi paralele atunci va trebui ca−→n si −→a sa fie perpendiculare:
−→n · −→a = 0
Dar −→n · −→a =< 1, 1, 0 > · < 0, 1, 1 >= 1. Prin urmare planul sidreapta nu sunt paralele.
Exercitiu 4.5 Consideram planul (P ) : x + y + z = 3. Acestplan este “mutat” ın spatiu dupa directia −→a =< 4, 4, 2 > ca ın fig.29. Sa se gaseasca ecuatia carteziana a noului plan P ′.
4.4 Exercitii 68
Demonstratie: Fie Q′(x, y, z) ın planul P ′. Lui ıi va corespundeun punct Q pe planul P ca ın fig. 29. Rezulta ca varful vectorului
de pozitie−−→OQ′ −−→a =< x− 4, y − 4, z − 2 > este ın planul P si ın
consecinta satisface ecuatia planului P : (x−4)+(y−4)+(z−2) = 3si deci:
x+ y + z = 13
Fig. 29. Translatie de vector ~a
F (x− x0, y − y0, z − z0) = 0
69
5 Transformari afine
Consideram un reper cartezian 0,−→i ,−→j ın planul Π si un reper
cartezian 0,−→i ,−→j ,−→k ın spatiu.
Definitia 5.1 Transformarile afine ın plan sunt functii date deformula
T (x, y) = (a1x+ a2y + c1, b1x+ b2y + c2) (53)
sau, ın scriere matriceala T (x, y) = (ψ, η) unde[
ψη
]
=
[
a1 a2
b1 b2
] [
xy
]
+
[
c1c2
]
(54)
Transformarile afine ın spatiu sunt functii date de formula
T (x, y) = (a1x+a2y+a3z+d1, b1x+b2y+b3z+d2, c1x+c2y+c3z+d3)
sau, ın scriere matriceala T (x, y, z) = (ψ, η, τ) unde
ψητ
=
a1 a2 a3
b1 b2 b3c1 c2 c3
xyz
+
d1
d2
d3
(55)
Definitia 5.2 Pentru transformarea T de mai sus se noteaza
mat(T ) =
[
a1 a2
b1 b2
]
si det(T)=a1 a2
b1 b2(56)
daca transformarea e 2-dimensionala si
mat(T ) =
a1 a2 a3
b1 b2 b3c1 c2 c3
si det(T)=a1 a2 a3
b1 b2 b3c1 c2 c3
(57)
daca transformarea e 3-dimensionala.
70
Definitia 5.3 Transformarile afine pentru care det(T ) 6= 0 senumesc transformari afine nedegenerate.
Problema 5.1 (Operatii cu transformari afine) Suma, diferentasi ınmultirea cu scalari a transformarilor afine T si S sunt trans-formari afine. Avem de asemenea ca: mat(A + B) = mat(A) +mat(B), mat(A−B) = mat(A)−mat(B) si mat(tA) = t·mat(A),t parametru real.
Demonstratie: Evident.
Problema 5.2 (Compunerea transformarilor afine) Se dau douatransformari afine 2-dimensionale
T :
[
ψη
]
=
[
a1 a2
b1 b2
] [
xy
]
+
[
c1c2
]
(58)
si
S :
[
ts
]
=
[
d1 d2
e1 e2
] [
ψη
]
+
[
f1
f2
]
Se poate construi ST , compunerea ca functii a lui T si S care e ofuncte ce transforma coordonatele carteziene (x, y) ın coordonatelecarteziene (t, s). Atunci ST este o transformare afina data deformula
ST :
[
ts
]
=
[
d1 d2
e1 e2
] [
a1 a2
b1 b2
] [
xy
]
+ (59)
+
[
d1 d2
e1 e2
] [
c1c2
]
+
[
f1
f2
]
(60)
Mai mult, avem ca
mat(ST ) = mat(S)mat(T ) (61)
71
Demonstratie: Evidenta.
Observatia 5.1 Aceasta teorema se rescrie similar ın cazul trans-formarilor afine tridimensionale. In particular, pentru doua trans-formari afine tridimensionale
mat(ST ) = mat(S)mat(T ) (62)
Teorema 5.1 Inversa unei transformari afine nedegenerate
T :
[
ψη
]
=
[
a1 a2
b1 b2
] [
xy
]
+
[
c1c2
]
(63)
e transformarea afina data de formula:
T−1 :
[
xy
]
=
[
a1 a2
b1 b2
]−1 [
ψη
]
−[
a1 a2
b1 b2
]−1 [
c1c2
]
(64)
Mai mult,mat(T−1) = mat(T )−1 (65)
Demonstratie: Evidenta .
Observatia 5.2 Aceasta teorema se rescrie similar ın cazul trans-formarilor afine tridimensionale. In particular, pentru o transfor-mare afina tridimensionala nedegenerata
mat(T−1) = mat(T )−1 (66)
.
Teorema 5.2 Transformarile afine nedegenerate transforma odreapta ın alta dreapta.
72
Demonstratie: Cazul 2-dimensional.Fie o dreapta D : ax + by + c = 0. Fie (x, y) un punct de pedreapta D. Din teorema anterioara avem ca
[
ψη
]
−[
c1c2
]
=
[
a1 a2
b1 b2
] [
xy
]
+ (67)
Sa notam[
a1 a2
b1 b2
]−1
cu
[
A1 A2
B1 B2
]
(68)
Stim ca aceasta inversa exista deoarece det(T ) 6= 0. Revenind laecuatia (69) avem ca
[
A1 A2
B1 B2
]
(
[
ψη
]
−[
c1c2
]
)
=
[
xy
]
(69)
adica (x, y) = (A1(ψ − c1) +A2(η − c2), B1(ψ − c1) +B2(η − c2)).Deoarece (x, y) este pe dreapta D ınseamna ca (x, y) satisfaceecuatia dreptei: ax+ by + c = 0. Inlocuind obtinem:
(aA1+bB1)ψ+(aA2+bB2)η+c−(aA1c1+aA2c2+bB1c1+bB2c2) = 0
care este ecuatia unei drepte de coordonate carteziene ψ, η.Cazul transformarilor afine tridimensionale este tratat ın mod sim-ilar.
Observatia 5.3 Ca o consecinta , orice transformare afina nede-generata transforma un triunghi ın alt triunghi, un patrulater ınalt patrulater si ın general, un poligon ın alt poligon. In pluso transformare afina nedegenerata tridimensionala transforma unpoliedru ın alt poliedru.
73
Teorema 5.3 (Generalizare) Fie Ω un obiect geometric dat deecuatia carteziana F (x, y) = 0 si T o transformare afina 2-dimensionala nedegenerata
T :
[
ψη
]
=
[
a1 a2
b1 b2
] [
xy
]
+
[
c1c2
]
(70)
Atunci T (Ω) este colectia punctelor (ψ, η) ce satisfacF (T−1(ψ, η)) = 0
Demonstratie: Avem
[
xy
]
= T−1
[
ψη
]
(71)
si pentru puncte (x, y) de pe Ω rezulta ca (ψ, η) satisfacF (T−1(ψ, η)) = 0.
Observatia 5.4 Aceasta teorema se rescrie similar ın cazul trans-formarilor afine tridimensionale. Fie Ω un obiect geometric datde ecuatia carteziana F (x, y, z) = 0 si T o transformare afina3-dimensionala nedegenerata Atunci T (Ω) este colectia punctelor(ψ, η, τ) ce satisfac F (T−1(ψ, η, τ)) = 0
Teorema 5.4 Orice transformare afina nedegenerata 2-dimensionala
T :
[
ψη
]
=
[
a1 a2
b1 b2
] [
xy
]
+
[
c1c2
]
(72)
este determinata ın mod unic de valoarea ei ın trei puncte necol-iniare din plan.
74
Demonstratie: Consideram punctele necoliniare(x0, y0),(x1, y1),(x2, y2) si sa presupunem ca
T (x0, y0) = (X0, Y0), T (x1, y1) = (X1, Y1), T (x2, y2) = (X2, Y2)(73)
Din (144) rezulta ca
x0 y0 1 0 0 0x1 y1 1 0 0 0x2 y2 1 0 0 00 0 0 x0 y0 10 0 0 x1 y1 10 0 0 x2 y2 1
a1
a2
c1b1b2c2
X0
Y0
X1
Y1
X2
Y2
(74)
Determinantul matricii A a sistemului de mai sus este
det(A) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x0 y0 1x1 y1 1x2 y2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2
=
∣
∣
∣
∣
x1 − x0 y1 − y0
x2 − x0 y2 − y0
∣
∣
∣
∣
2
(75)
dar determinantul din dreapta este 0 daca si numai daca cele treipuncte (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) sunt necoliniare. Rezulta ca sis-temul (74) are solutie si aceasta solutie e unica, ceea ce ınseamnaca exista o unica transformare afina care sa satisfaca conditiile(144).
Observatia 5.5 Aceasta teorema se rescrie similar ın cazul trans-formarilor afine tridimensionale. Orice transformare afina nede-generata 3-dimensionala este determinata ın mod unic de valoareaei ın patru puncte necoplanare din spatiu.
75
Teorema 5.5 Transformarea afina 2-dimensionala care duce tri-unghiul (0, 0), (1, 0), (0, 1) ın triunghiul (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)este data de formula (ψ, η) → (x, y)
[
xy
]
=
[
x1 − x0 x2 − x0
y1 − y0 y2 − y0
] [
ψη
]
+
[
x0
y0
]
(76)
Demonstratie: Se verifica faptul ca varfurile (0, 0), (1, 0), (0, 1)se duc prin transformare exact ın (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2).
Propozitia 5.1 In teorema (5.5), notam cu ∆ triunghiul cu varfuri(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2). Atunci aria(∆) = |det(T )|/2.
Demonstratie: Din teorema (5.5) avem ca
det(T ) =
∣
∣
∣
∣
x1 − x0 x2 − x0
y1 − y0 y2 − y0
∣
∣
∣
∣
(77)
Stim ınsa ca modulul determinantului∣
∣
∣
∣
x1 − x0 x2 − x0
y1 − y0 y2 − y0
∣
∣
∣
∣
(78)
este exact dublul ariei triunghiului cu varfuri(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), ceea ce ıncheie demonstratia.
Teorema 5.6 Sa consideram o transformare afina T (x, y) = (ψ, η)unde
[
ψη
]
=
[
a1 a2
b1 b2
] [
xy
]
+
[
c1c2
]
(79)
care transforma un triunghi ∆ de varfuri (x0, y0), (x1, y1) si (x2, y2)ın triunghiul ∆′. Sa se arate ca
aria(∆′) = |det(T )|aria(∆) (80)
76
Demonstratie: Consideram transformarea afina S1 de la tri-unghiul (0, 0), (1, 0), (0, 1) la triunghiul ∆ si transformarea afinaS2 de la triunghiul (0, 0), (1, 0), (0, 1) la triunghiul ∆′. Vom aveaca T = S2S
−1
1. Din teorema anterioara avem ca aria(∆) =
|det(S1)|/2, aria(∆′) = |det(S2)|/2 si det(T ) = det(S2)det(S1)−1.
De aici rezulta ca:
aria(∆′) = |det(S2)|aria(∆)/|det(S1)| = |det(T )|aria(∆)
Propozitia 5.2 O transformare afina T transforma un poligon Pıntr-un poligon P ′. Atunci
aria(P ′) = |det(T )|aria(P )
Demonstratie: Aceasta este o consecinta a teoremei anterioaredeoarece orice poligon se poate descompune ın reuniune de tri-unghiuri. Acest proces se numeste triagulare.
Propozitia 5.3 O transformare afina T transforma un domeniumarginit cu frontiera continua Lipschitz P ıntr-un domeniu P ′.Atunci
aria(P ′) = |det(T )|aria(P )
Demonstratie: Aceasta este o consecinta a teoremei anterioaredeoarece orice domeniu se poate aproxima cu un poligon. Cream oretea de n puncte aproximativ echidistante pe frontiera domeniuluiP si apoi cream poligonul Pn. Vom avea ca pentru Pn din teoremaanterioara
(aria lui T (Pn)) = |det(T )|(aria lui Pn)
77
Luam apoi limita cand n→ ∞ si obtinem
(aria lui P ′) = |det(T )|(aria lui P )
Propozitia 5.4 Transformarea afina 3-dimensionala care trans-forma tetraedrul (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) ın tetraedrul cuvarfuri (x0, y0, z0), (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) este data deformula (ψ, η, τ) → (x, y, z)
xyz
=
x1 − x0 x2 − x0 x3 − x1
y1 − y0 y2 − y0 y3 − y1
z1 − z0 z2 − z0 z3 − z1
ψητ
+
x0
y0
z0
(81)
Demonstratie: Similara cu demonstratia de la teorema (5.5).
Propozitia 5.5 In propozitia (5.4), notam cu ∆ tetraedrul cuvarfuri (x0, y0, z0), (x1, y1, z1), (x2, y2, z2). Atunci volum(∆) =|det(T )|/6.
Demonstratie: Similar cu (5.1). Se foloseste faptul ca
1/6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x1 − x0 x2 − x0 x3 − x0
y1 − y0 y2 − y0 y3 − y0
z1 − z0 z2 − z0 z3 − z0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(82)
este exact volumul tetraedrului.
Teorema 5.7 Sa consideram o transformare afina 3-dimensionalaT (x, y) = (ψ, η, τ) care transforma un tetraedru ∆ ın tetraedrul∆′. Sa se arate ca
volum(∆′) = |det(T )|volum(∆) (83)
78
Demonstratie: Similar cu (5.6).
Propozitia 5.6 O transformare afina 3-dimensionala T trans-forma un poliedru P ıntr-un poliedru P ′. Atunci
volum(P ′) = det(T )volum(P )
Demonstratie: Aceasta este o consecinta a teoremei anterioaredeoarece orice poliedru este o reuniune de tetraedre.
Propozitia 5.7 O transformare afina 3-dimensionala T trans-forma un domeniu marginit cu frontiera continua Lipschitz P ıntr-un domeniu P ′. Atunci
volum(P ′) = |det(T )|volum(P )
Demonstratie: Similar cu (124).
Exemplu 5.1 Aflati aria elipsei de ecuatie x2 + y2/4 = 1.
Demonstratie: Observam ca
[
xy
]
=
[
ψ2η
]
(84)
iar ψ si η satisfacψ2 + η2 = 1
deci sunt coordonatele carteziene ale cercului unitate. Rezulta deaici ca
(arie elipsa) = det
[
1 00 2
]
(arie cerc) = 2π
Observatia 5.6 Determinarea ariei unui domeniu din plan. Pedomeniu se poate genera o retea cu ajutorul unui generator deretea. Se poate calcula aria fiecarui triunghi si apoi acestea se potsuma pentru aproximarea ariei triunghiului.
5.1 Translatii 79
5.1 Translatii
Sa consideram un vector −→v =< x0, y0 >. Fiecarui punct P (x, y)din plan ıi asociem punctul P ′(x′, y′) ale carui coordonate suntdate de x′ = x + x0 si y′ = y + y0. Aceasta se mai poate scrie−−→OP ′ =
−−→OP + v. Aceasta transformare care asociaza lui P punctul
P ′ se numeste translatia de vector −→v .
Fig. 30. Translatia de vector v
Definitia 5.4 Translatia de vector −→v =< x0, y0 > este transfor-mare afina T data de formula
T :
[
x′
y′
]
=
[
xy
]
+
[
x0
y0
]
(85)
Observatia 5.7 Matricea unei translatii mat(T ) este matriceaidentica:
mat(T ) = I2 =
[
1 00 1
]
5.1 Translatii 80
Observatia 5.8 Atunci cand o translatie de vector −→v este apli-cata unui obiect geometric Ω, obiectul geometric este mutat ın planın directia vectorului −→v pe toata lungimea lui.
Propozitia 5.8 O functe T : Π → Π este o translatie daca sinumai daca pentru oricare doua puncte P (x1, y1) si Q(x2, y2) din
plan avem ca−−−−→PT (P ) =
−−−−→QT (Q).
Demonstratie: ⇒ Avem ca pentru orice punct P vectorul−−−−→PT (P )
este dat de−−−−→PT (P ) = −→v .
⇐ Pentru un punct P din plan sa notam −→v =−−−−→PT (P ). Sa notam
componentele lui −→v cu c1, c2. Rezulta ca−−−−→OT (P ) =
−−→OP + −→v si
deci, scriind pe componente rezulta ca
T
[
xy
]
=
[
xy
]
+
[
c1c2
]
(86)
Teorema 5.8 Fie Ω un obiect geometric ın plan dat de ecuatiacarteziana F (x, y) = 0 si T o translatie de vector −→v =< x0, y0 >.Transformarea geometrica a lui Ω prin T este obiectul geometricΩ′ dat de ecuatia F (x− x0, y − y0) = 0
Demonstratie: Aceasta este o consecinta directa a teoremei (5.8)
5.1 Translatii 81
Fig. 31. Translatia de vector v a lui Ω
Observatia 5.9 Aplicam translatia de vector −→v =< x0, y0 >dreptei de ecuatie carteziana
ax+ by + c = 0
Ecuatia translatiei dreptei este: a(x− x0) + b(y − y0) + c = 0.
Propozitia 5.9 Aplicam translatia de vector −→v =< x0, y0, z0 >dreptei de ecuatie vectoriala
−→r (t) = −→r 0 + t−→a
Ecuatia vectoriala a translatiei dreptei este:
−→q (t) = −→v + −→r 0 + t−→a
Demonstratie: Evidenta , −→q (t) = −→v + −→r (t).
5.2 Omotetii 82
Fig. 32. Translatia unei drepte
5.2 Omotetii
Sa consideram un scalar α. Fiecarui punct P (x, y) din plan ıiasociem punctul P ′(x′, y′) ale carui coordonate sunt date de x′ =
αx si y′ = αy. Aceasta se mai poate scrie−−→OP ′ = α
−−→OP . Aceasta
transformare care asociaza lui P punctul P ′ se numeste omotetiade scalar α ın raport cu originea O.
Definitia 5.5 Omotetiile ın raport cu originea sunt transformariafine de tipul:
T :
[
x′
y′
]
=
[
α 00 α
] [
xy
]
(87)
pentru un scalar α.
5.2 Omotetii 83
Fig. 33. Omotetia de scalar α
Observatia 5.10 O omotetie nu modifica forma obiectelor ci nu-mai marimea lor.
Fig. 34. Transformarea punctelor printr-o omotetie
Observatia 5.11 Matricea unei omotetii de scalar α ın raport cuoriginea este
[
α 00 α
]
5.2 Omotetii 84
Determinantul unei omotetii de scalar α este det(T ) = α2.
Observatia 5.12 O omotetie de scalar α > 0 transforma un seg-ment IJ ıntr-un segment I ′J ′ paralel cu el si de masura |I ′J ′| =α|IJ |.
Propozitia 5.10 Fie T o omotetie de scalar α si Ω un obiectgeometric ın plan. Atunci
aria(T (Ω)) = α2aria(Ω).
Definitia 5.6 Sa consideram un scalar α si un punct O′(x0, y0).Fiecarui punct P (x, y) din plan ıi asociem punctul P ′(x′, y′) astfel
ıncat−−→O′P ′ = α
−−→O′P . Aceasta transformare care asociaza lui P
punctul P ′ se numeste omotetia de scalar α ın raport cu O′.
Propozitia 5.11 O omotetie T de scalar α ın raport cu punctulO′(x0, y0) este aplicata unei drepte
D : ax+ by + c = 0 (88)
Dreapta nou-formata va avea ecuatia: T (D) : a(x−x0)/α+b(y−y0)/α + c+ ax0 + by0 + c = 0.
Demonstratie:Fiecarui punct P (x, y) din plan ıi asociem punctul P ′(x′, y′) astfel
ıncat−−→O′P ′ = α
−−→O′P . Rezulta ca: x′ − x0 = α(x − x0), y′ − y0 =
α(y − y0) de unde rezulta ca x = (x′ − x0)/α + x0, y = (y′ −y0)/α + y0. Inlocuind x si y ın (88) ıncheie demonstratia. Dacanotam cu Oα omotetia de scalar α ın raport cu originea si cu T−→vtranslatia de vector −→v =
−−→OO′ atunci se poate vedea ca omotetia
de scalar α ın raport cu O′ este exact
OαT−−→v + T−→v
5.3 Rotatii 85
Fig. 35. Transformarea unei drepte printr-o omotetie
Definitia 5.7 Omotetia de scalar α ın raport cu O′(x0, y0) estetransformarea afina de ecuatie:
T :
[
x′
y′
]
=
[
α 00 α
] [
x− x0
y − y0
]
+
[
x0
y0
]
(89)
pentru un scalar α.
5.3 Rotatii
Sa consideram transformarea prin care punctele din plan suntrotite α radiani ın jurul originii ca ın fig. 36 astfel ıncat punc-
tul P (x, y) este transformat ın P ′(x′, y′). Vectorul de pozitie−−→OP
formeaza un unghi ϕ cu axa Ox si are lungimea r. Rezulta ca−−→OP = r(cos(ϕ), sin(ϕ)), adica
x = rcosϕ, y = rsinϕ
5.3 Rotatii 86
Vectorul de pozitie−−→OP ′ formeaza un unghi α + ϕ cu axa Ox si
are lungimea r. Rezulta ca−−→OP ′ = r(cos(α+ϕ), sin(α+ϕ)). Prin
urmare avem ca
Fig. 36. Rotatie de unghi α
x′ = rcos(α+ ϕ) = rcosαcosϕ− rsinαsinϕ = xcosα− ysinα
De asemenea
y′ = rsin(α+ ϕ) = rsinαcosϕ+ rcosαsinϕ = xsinα+ ycosα
Definitia 5.8 Rotatia de unghi α ın jurul originii este data deformula:
T :
[
ψη
]
=
[
cosα −sinαsinα cosα
] [
xy
]
(90)
Observatia 5.13 Compunerea a doua rotatii de unghiuri α si βeste o rotatie de unghi α+β. Inversa unei rotatii de unghi α esteo rotatie de unghi −α.
5.3 Rotatii 87
Observatia 5.14 Multimea rotatiilor din plan ımpreuna cu operatiade compunere a rotatiilor formeaza un grup.
Propozitia 5.12 Rotatiile sunt transformari izometrice, adicapastreaza lungimea segmentelor carora le sunt aplicate.
Demonstratie: Notam cu Tα rotatia de unghi α ın jurul originii.Se observa din (90) ca |Tα(x, y)| = |(x, y)| pentru orice punctde coordonate x, y. Daca (x, y),(x′, y′) sunt doua puncte ın planatunci
dist(P (x, y), P ′(x′, y′)) = |Tα(x, y) − TTα(x′, y′)| =
= |Tα(x− x′, y − y′)| = |(x− x′, y − y′)| = dist((x, y), (x′, y′)|
Fig. 37. Rotatia conserva lungimea segmentului PQ
Observatia 5.15 Sa consideram un scalar α si un punct O′(x0, y0).Fiecarui punct P (x, y) din plan ıi asociem punctul P ′(x′, y′) obtinut
5.3 Rotatii 88
prin rotirea lui P α radiani ın jurul lui O′.Aceasta transformare se poate obtine printr-o translatie de vector
−−−→OO′,urmata de o rotatie α ın jurul originii si apoi o translatie
de vector−−→OO′.
Fig. 38. Rotatia ın jurul unui punct arbitrar O’
Schematic, prin aceste transformari coordonatele se transformadupa cum urmeaza:
[
xy
]
→[
x− x0
y − y0
]
→[
cosα −sinαsinα cosα
] [
x− x0
y − y0
]
→ (91)
→[
cosα −sinαsinα cosα
] [
x− x0
y − y0
]
+
[
x0
y0
]
(92)
ceea ce da ın final[
x′
y′
]
=
[
cosα(x− x0) − sinα(y − y0) + x0
sinα(x− x0) + cosα(y − y0) + y0
]
(93)
5.4 Simetrii 89
Propozitia 5.13 Ca o consecinta a propozitiei (145), rotatiilepastreaza si unghiurile dintre segmentele carora le sunt aplicate.
Propozitia 5.14 Fie T o rotatie de unghi α si Ω un obiect geo-metric ın plan. Atunci
det(T ) = 1, aria(T (Ω)) = aria(Ω).
5.4 Simetrii
Fie (D) o dreapta care trece prin origine si face un unghi α cuaxa Ox. Sa consideram transformarea prin care punctelor P (x, y)din plan le sunt asociate simetricele lor P ′(x′, y′) fata de dreaptaD ca ın prima figura din (39). Aplicam o rotatie de unghi −αpunctelor planului. Transformatul lui P respectiv P ′ prin rotatieare coordonatele
[
cos(−α)x − sin(−α)ysin(−α)x+ cos(−α)y
]
,
[
cos(−α)x′ − sin(−α)y′
sin(−α)x′ + cos(−α)y′
]
(94)
Fig. 39. Simetria fata de o dreapta arbitrara
5.4 Simetrii 90
Observam ca transformatele punctelor P si P ′ au aceleasi coor-donate ın directia Ox si coordonate de semn contrar si egale ınmodul ın directia Oy. Egaland, rezulta:
cos(−α)x− sin(−α)y = cos(−α)x′ − sin(−α)y′
−sin(−α)x− cos(−α)y = sin(−α)x′ + cos(−α)y′(95)
sau, ın notatie matriceala:
[
cos(α) sin(α)sin(α) −cos(α)
] [
xy
]
=
[
cos(−α) −sin(−α)sin(−α) cos(−α)
] [
x′
y′
]
(96)Utilizam acum ın (96) faptul ca inversa rotatiei de unghi −α esterotatia de unghi α adica
[
cos(−α) −sin(−α)sin(−α) cos(−α)
]−1
=
[
cos(α) −sin(α)sin(α) cos(α)
]
(97)
[
cos(α) −sin(α)sin(α) cos(α)
] [
cos(α) sin(α)sin(α) −cos(α)
] [
xy
]
=
[
x′
y′
]
(98)
care e echivalenta cu formula (99)
Definitia 5.9 Simetria fata de dreapta D ce trece prin originesi face un unghi α cu axa Ox este transformarea afina data deformula
T :
[
x′
y′
]
=
[
cos2α sin2αsin2α −cos2α
] [
xy
]
(99)
Simetria fata de o dreapta arbitrara (D): Sa presupunem cadreapta face un unghi α cu axa Ox. Alegem un punct arbitrarO′ = (x0, y0) pe dreapta. Simetria fata de D se poate calcula ca
5.4 Simetrii 91
ın (5.15). Se aplica mai ıntai o translatie de vector −−−→OO′, dupa
care se aplica simetria fata de transformata dreptei D, dupa care
aplicam translatia de vector−−→OO′. Se gaseste ın final ca simetria
fata de D transforma punctul P (x, y) ın punctul P ′(x′, y′) dat de
[
x′
y′
]
=
[
cos2α(x− x0) + sin2α(y − y0) + x0
sin2α(x− x0) − cos2α(y − y0) + y0
]
(100)
5.5 Exercitii 92
5.5 Exercitii
Exercitiu 5.1 Se considera planul 2x+y-z=3. Sa se gaseasca si-metricul punctului P (1, 1, 1) fata de acest plan.
Demonstratie: O directie normala la plan este −→v =< 2, 1,−1 >.
Proiectam punctul P pe plan ın Q. Vectorul−−→PQ e un multiplu
de −→v si deci exista α asa ca−−→PQ = α−→v . Pe de alta parte, din
moment ce Q e proiectia lui P trebuie sa avem ca varful vectorului−−→OP +
−−→PQ =< 1, 1, 1 > +α < 2, 1,−1 >=< 1 + 2α, 1 + α, 1 − α >
e pe plan prin urmare 2(1 + 2α) + (1 + α) − (1 − α) = 3 de
unde 2 + 6α = 3, adica α = 1/6. Deci−−→PQ = 1/6 < 2, 1,−1 >.
Rezulta ca simetricul P ′ al lui P fata de plan e dat de−−→OP ′ =−−→
OP + 2−−→PQ =< 1, 1, 1 > +1/3 < 2, 1,−1 >=< 5/3, 4/3, 2/3 > de
unde P ′ = (5/3, 4/3, 2/3).
Exercitiu 5.2 Consideram transformarea afina
T (x, y) =
[
1, 10, 1
] [
xy
]
Adica T (x, y) = (x + y, y). Sa se afle mat(T ),det(T ). Aceastatransformare se aplica punctelor din plan. Sa se afle ın ce puncteste transformat punctul P (1, 2). Sa se afle ın ce este transformatadreapta x+ y = 3.
Demonstratie:
mat(T ) =
[
1, 10, 1
]
det(T ) = 1. T (1, 2) = (1 + 2, 2) = (3, 2). T (0, 3) = (0 + 3, 3) =(3, 3). T (D) contine doua puncte T (3, 0) = (3, 0), T (0, 3) = (3, 3).Ecuatia ei este x = 3.
5.5 Exercitii 93
Exercitiu 5.3 Consideram transformarea afina T (x, y) = (x +y + 1, x − y − 1). Stim ca T (0, 0) = (1,−1),T (1, 0) = (2, 0)si T (0, 1) = (2,−2). Sa se afle aria triunghiului cu varfuri(1,−1), (2, 0), (2,−2).
Demonstratie: aria = 1/2 · det(T ) = 1.
Exercitiu 5.4 Consideram transformarea afina T (x, y, z) =(ψ, η, τ) unde
ψητ
=
1 1 00 1 00 0 2
xyz
(101)
Prin aceasta transformare, planul x+ y + z = 1 se transforma ınalt plan. Sa se afle ecuatia acestui plan.
Demonstratie: Avem Q(ψ, η, τ) punct pe noul plan, deci ψ =x + y,η = y, τ = 2z sau x = ψ − η, y = η, z = τ/2. Le punem ınecuatie deci
ψ − η + η + τ/2 = 1
sauψ + τ/2 = 1
plan paralel cu axa Oy.
Exercitiu 5.5 Consideram transformarea afina T (x, y) = (ψ, η)unde
[
ψη
]
=
[
1 11 0
] [
xy
]
(102)
Prin aceasta transformare, dreapta x+y = 1 se transforma ın altadreapta. Sa se afle ecuatia acestei drepte.
5.5 Exercitii 94
Demonstratie: Fie Q(x′, y′) din T (D). (x′, y′) = (x+ y, x) decix′ = x+ y, y′ = x. Rezolvam sistemul si gasim x = y′, y = x′ − y′.Dar 2x+y = 1 deci 2y′ +x′−y′ = 1 de unde rezulta ca x′ +y′ = 1
Exercitiu 5.6 Gasiti o transformare afina care sa duca dreaptaD : x+ y = 1 ın dreapta E : x− y = 1.
Demonstratie:Sunt multe astfel de transformari. Putem alege x′ = x, y′ = −y.Transformarea este T (x, y) = (x,−y)
Exercitiu 5.7 Dreapta r =< 0, 0, 1 > +t < 1, 1, 1 > e translatataın directia v =< 1, 2, 3 >. Sa se afle ecuatia dreptei nou-formate.
Demonstratie: s(t) = r(t) + v = t < 1, 1, 1 > + < 1, 2, 4 >
Exercitiu 5.8 Planul 2x+y−z = 3 e translatat ın directia v =<−1, 0, 2 >. Sa se afle ecuatia planului nou-format.
Demonstratie: Prin translatie x′ = x − 1, y′ = y, z′ = z + 2deci x′ + 1 = x, y′ = y, z′ − 2 = z. Inlocuind ın ecuatie rezulta ca2(x′ + 1) + y′ − z′ + 2 = 3 echivalent cu 2x′ + y′ − z′ = −1
Exercitiu 5.9 Omotetia de scalar 2 ın raport cu originea e apli-cata dreptei x+ y = 1. Sa se afle ecuatia dreptei nou-formate.
Demonstratie: Prin omotetie x′ = 2x, y′ = 2y de unde x′/2 =x, y′/2 = y. Inlocuind ın ecuatie rezulta x′/2 + y′/2 = 1 saux′ + y′ = 2
Exercitiu 5.10 Punctul P (1, 2) este rotit 30o ın jurul originii.Sa se afle coordonatele noului punct.
5.5 Exercitii 95
Demonstratie:[
x′
y′
]
=
[
cosα −sinαsinα cosα
] [
xy
]
(103)
Inlocuind rezulta ca[
x′
y′
]
=
[
cos(π/6) −sin(π/6)sin(π/6) cos(π/6)
] [
12
]
≈[
−0.133972.23205
]
(104)
Exercitiu 5.11 Este
T :
[
x′
y′
]
=
[
3/5 −4/54/5 3/5
] [
xy
]
(105)
o rotatie?
Demonstratie: Da, e o rotatie de unghi α, unde cosα = 3/5,sinα = 4/5.
Exercitiu 5.12 Sa se gaseasca simetricul punctului P (1, 2) fatade dreapta x+ y = 1.
Demonstratie: O directie perpendiculara pe dreapta este −→n =<1, 1 >. Putem apoi cauta α asa ca < 1, 2 > +α < 1, 1 > sa aibavarful pe dreapta adica 1+α+2+α = 1. De aici rezulta ca α = −1.Va rezulta ca simetricul este < 1, 2 > +2 < −1,−1 >=< −1, 0 >.
Exercitiu 5.13 Sa se arate ca pentru oricare doi vectori −→v =<x0, y0 > si −→w =< x1, y1 > aria triunghiului de laturi −→v ,−→w si varfO este egala cu modulul determinantului
1/2
∣
∣
∣
∣
x0 x1
y0 y1
∣
∣
∣
∣
(106)
5.5 Exercitii 96
Demonstratie: Alternativ, putem aplica o rotatie ın asa fel ıncatprimul vector se suprapune axei Ox. O rotatie nu modofica ariadin moment ce nu modifica unghiul dintre vectori si lungimile lor.De asemenea, o rotatie nu modifica determinatul pentru ca ınurmarotatiei de unghi α determinantul devine
1/2
∣
∣
∣
∣
cosα −sinαsinα cosα
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x0 x1
y0 y1
∣
∣
∣
∣
= 1/2
∣
∣
∣
∣
x0 x1
y0 y1
∣
∣
∣
∣
(107)
In urma rotatiei componenta y a noului vector −→v este 0 si egali-tatea este evidenta.
Exercitiu 5.14 Sa se arate ca pentru oricare trei vectori −→u =<x0, y0, z0 >, −→v =< x1, y1, z1 > si −→w =< x2, y2, z2 > avem cavolumul tetraedrului de laturi −→u , −→v ,−→w si varf O este egala cumodulul determinantului
1/6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x0 x1 x2
y0 y1 y2
z0 z1 z2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(108)
Demonstratie: Putem descompune −→w = α−→u +β−→v +−→w′ si
−→w′ ⊥
−→v ,−→u . Se observa ca volum(O,−→u ,−→v ,−→w ) = volum(O,−→u ,−→v ,−→w′)
si, de asemenea, prin inlocuirea lui −→w cu−→w′ determinantul (108)
nu se schimba. Procedand ın acelasi mod putem presupune ca−→u ,−→v ,−→w sunt perpendiculari unul pe celalalt. Daca vectorii suntperpendiculari unul pe celalalt rezulta ca volumul tetraedrului este1/6||−→u ||||−→v ||||−→w ||. Pe de alta parte determinantul (108) se scriesub forma
1/6||−→u ||||−→v ||||−→w ||
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x0/||−→u || x1/||−→v || x2/||−→w ||y0/||−→u || y1/||−→v || y2/||−→w ||z0/||−→u || z1/||−→v || z2/||−→w ||
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(109)
5.5 Exercitii 97
Dar determinantul matricii din (109) ale carei coloane formeaza obaza ortonormata este 1 sau -1 deoarece aceasta matrice ınmultitacu transpusa ei este egala cu identitatea. Aceasta observatie ıncheiedemonstratia.
98
6 Aplicatii ale transformarilor geometrice
ın procesarea de imagini
6.1 Organizarea fisierelor brute de imagini
Fisiere brute de imagini sunt fisiere ın care, excluzand headerul dinfisier, fiecare octet din fisier corespunde unui pixel din imagine.
Fisier Imagine
Pixeli
Octeti
Un exemplu de fisiere brute de imagini sunt fisierele cu extensii.pgm (Portable Grayscale). Avantajele utilizarii fisierelor brutesunt ca datorita corespondentei bijective octet din fisier - pixeldin imagine ele sunt foarte usor de modificat.
Dezavantajele sunt ca, ın cazul imaginilor relativ simple, fisierelebrute ocupa ın mod inutil cantitati mari de memorie.
Fisierele optimizate de imagine cu extensii .jpg, .gif, .png suntfisiere ce contin atat date cat si instructiuni.
Ele sunt mai mici dar modificarea lor nu este atat de simpla ca ın
6.1 Organizarea fisierelor brute de imagini 99
cazul fisierelor brute.Sa consideram fisierul imagine p.pgm de 58×58 pixeli. El continelitera m ca ın imaginea alaturata:
Daca fisierul p.pgm va fi deschis cu un editor de text (de exemplu,emacs) editorul va afisa:
Indicatorul P5 arata ca este vorba de un fisier brut, 58×58 indicafaptul ca avem o imagine de 58 pe 58 de pixeli iar ultimul numarindica cifra maxima ce poate fi continuta ın fiecare octet din fisier.Numarul 255 corespunde culorii albe iar 0 culorii negre.Editorul de text citeste fiecare numar din fiecare octet si afiseazacaracterul al carui cod ASCII este egal cu acel numar. Nu sun-tem interesati deci ın caracterele pe care le afiseaza editorul cinumai ın codurile lor ASCII pentru ca ele decid culoarea pixelilorce corespund caracterelor respective.
6.2 Translatii, rotatii, dilatari ın fisiere de imagini 100
6.2 Translatii, rotatii, dilatari ın fisiere de imagini
Intr-un cod simplu putem trece peste headerul din fisierul p.pgm siapoi copia toate numerele din octetii fisierului p.pgm intr-o matricea(x, y) de dimensiune 58×58. Va ınsemna de pilda ca a(0, 0) = 255adica primul pixel din imagine, cel din stanga sus, este alb.
In general, daca a(i, j) = 255 ınseamna ca pixelul de pe linia isi coloana j din imagine este alb. Daca a(i, j) = 0 atunci pixeluleste negru.
Putem apoi crea un alt fisier dataout.pgm. Copiem headerul dinp.pgm ın dataout.pgm si fixam dimensiunea la 300×300 de pixeli.Cu alte cuvinte scriem ın fisierul dataout.pgm urmatorul text:——————–
P5
300 300
255
——————–Alocam memorie unei matrici b(X,Y ) de dimensiune 300× 300 siapoi fixam pentru fiecare X,Y b(X,Y ) = 255.Intr-o bucla peste valorile x, y ıntre 1 si 58 fixam apoib(X,Y ) = a(x, y) pentru
X = x+ 100, Y = y + 100 (110)
matricea b(X,Y ) este apoi copiata ın fisierul dataout.pgm.
Transformarea (110) este pasul esential. Practic, prin aceastatransformare, pixelul din imaginea p.pgm de pe linia x, coloana yeste suprapus peste pixelul din imaginea dataout.pgm de pe linia
6.2 Translatii, rotatii, dilatari ın fisiere de imagini 101
x+100, coloana y+100. Din punct de vedere practic, s-a efectuato translatie a literei m cu 100 pixeli ın directia x si 100 pixeli ındirectia y.
Putem apoi mari succesiv ıncepand de la 10 pixeli lungimea vec-torului de translatie si ın acelasi timp scrie imaginea ce rezulta lafiecare pas ın fisiere separate. De pilda, efectuam exact aceeasiprocedura dar de data asta transformarea (110) va fi
X = x+ 10, Y = y + 10 (111)
si scriem imaginea ce rezulta ın fisierul output10.pgm. Daca vomefectua aceasta procedura intr-o bucla de 10 de iteratii vom obtine10 fisiere .pgm ce contin pozitii succesive ale literei m pe diago-nala unui patrat de 300 pe 300 de pixeli. Cu ajutorul functeiconvert din pachetul software ImageMagick putem “lipi” toateaceste fisiereıntr-un fisier dataout.gif care atunci cand este deschis
6.2 Translatii, rotatii, dilatari ın fisiere de imagini 102
cu un browser web va prezenta miscarea literei m pe diagonalaunui patrat de 300 pe 300 de pixeli.
In acelasi mod se pot crea animatii cu rotatii sau dilatari core-spunzand unor modificari corespunzatoare ale transformarii (110).Daca de pilda definim
X = x, Y = y + 100 (112)
[
XY
]
=
[
cos45o −sin45o
sin45o cos45o
] [
XY
]
(113)
atunci efectul este o translatie a lui m 100 de pixeli ın jos, urmatde o rotatie de 45o ın sens contrar acelor de ceasornic cu centrulın coltul din stanga sus.
6.2 Translatii, rotatii, dilatari ın fisiere de imagini 103
Daca facem o bucla ın care unghiul rotatiei ın centrul imaginii vari-aza ıntre 0 si 360o cu o incrementare de 10o efectul este o rotatiea literei m ın jurul centrului imaginii de 300 pe 300 de pixeli.
Pentru a efectua o dilatare a literei m ın centrul imaginii, efectuamtransformarea
X = 4x, Y = 4y (114)
Daca intr-o bucla marim succesiv factorul de dilatare care este 4ın transformarea anterioara va rezulta o animatie ın care litera mse dilata din coltul din stanga sus.
Exemple de scripturi ce implementeaza transformarile geomet-rice de mai sus se pot gasi pe situl www.matbin.ro.
104
7 Conice
Definitia 7.1 Pentru numerele a11, a12, a22, a10, a20, a00 date cua2
11 + a222 + a2
12 6= 0 multimea tuturor punctelor (x, y) ce satisfac
g(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + a10x+ a20y + a00 = 0 (115)
se numeste conica.
Observatia 7.1 Relatia (158) se mai poate scrie matricial
XTAX + bTX + c = 0 (116)
unde
X =
(
xy
)
, A =
(
a11 a12
a12 a22
)
, b =
(
a10
a20
)
, c = a00 (117)
Exemplu 7.1
x2 + y2 = r2 Cerc de raza rx2
a2+y2
b2= 1 elipsa
x2
a2− y2
b2= 1 hiperbola
y2 = 2px parabolax2
a2− y2
b2= 0 drepte concurente
x2 − a2 = 0 drepte paralelex2 = 0 drepte confundate
x2
a2+y2
b2= 0 multime cu un singur element
x2
a2+y2
b2= −1 multime vida
(118)
Oricare alta conica din plan se poate transforma printr-o rotatieurmata de o translatie ıntr-una din conicele de mai sus.
7.1 Reducerea la forma canonica a unei conice 105
7.1 Reducerea la forma canonica a unei conice
Deoarece matricea
A =
(
a11 a12
a12 a22
)
(119)
este simetrica ea va avea doua valori proprii reale (care pot fi egale)λ1,2 carora le corespund doi vectori proprii −→v =< v1, v2 >,−→w =<w1, w2 > pe care noi ıi putem alege asa ca ei sa formeze o bazaortonormala. Avem deci ca λ1,2 sunt radacinile ecuatiei de graduldoi:
∣
∣
∣
∣
a11 − λi a12
a12 a22 − λi
∣
∣
∣
∣
= 0, i = 1, 2 (120)
ın timp ce cei doi vectori satisfac ecuatiile
(
a11 − λ1 a12
a12 a22 − λ1
)(
v1v2
)
=
(
00
)
(121)
(
a11 − λ2 a12
a12 a22 − λ2
)(
w1
w2
)
=
(
00
)
(122)
si sunt alesi ın asa fel ıncat sa fie unitari si∣
∣
∣
∣
v1 w1
v2 w2
∣
∣
∣
∣
= 1 (123)
In cazul ın care valorile proprii sunt distincte cei doi vectori suntautomat ortogonali. Daca avem o valoare proprie dubla atuncialegem cei doi vectori ın asa fel ıncat sa fie ortogonali si (123) safie adevarata.Sa consideram matricea
R =
(
v1 w1
v2 w2
)
7.1 Reducerea la forma canonica a unei conice 106
Rezulta atunci ca matricea A se diagonalizeaza ın forma
RTAR =
(
λ1 00 λ2
)
(124)
Consideram acum transformarea afina prin care fiecarui punctX = (x, y) i se asociaza punctul X ′ = (x′, y′) dat prin relatia
X = RX ′ sau X ′ = RTX (125)
Aceasta este o rotatie ın jurul originii de unghi arctan(w1/w2).Folosind relatia de mai sus si (124) ın ecuatia (116) rezulta ca
X ′TRTARX ′ + bTRX ′ + c = 0 (126)
adica
X ′T(
λ1 00 λ2
)
X ′ + bTRX ′ + c = 0 (127)
ceea ce conduce la ecuatia pentru x′, y′
λ1x′2 + λ2y
′2 + a′10x+ a′20y + a′00 = 0 (128)
pentru numerele a′10, a′20, a
′00. Completam acum patratele si gasim
caλ1(x
′ + a′′10)2 + λ2(y
′ + a′′20)2 + a′00 = 0 (129)
Translatia x′′ = x′ + a′′10,y′′ = y′ + a′′20 duce la forma canonica
λ1x′′2 + λ2y
′′2 + a′00 = 0 (130)
Sa observam ca pasul de completare a patratelor ce duce la formula(129) nu se poate efectua daca una din valorile proprii este 0 siın acest caz conica e de tip parabolic. Apoi, observam ca dacacele doua valori proprii au acelasi semn, conica este de tip eliptic
7.1 Reducerea la forma canonica a unei conice 107
iar daca semnele valorilor proprii sunt diferite conica este de tiphiperbolic.Din moment ce
δ =
∣
∣
∣
∣
a11 a12
a12 a22
∣
∣
∣
∣
= λ1λ2 (131)
putem colecta informatiile de mai sus ın urmatoarea concluzie:
daca δ = 0 , atunci conica e de tip parabolicdaca δ > 0 , atunci conica e de tip elipticdaca δ < 0 , atunci conica e de tip hiperbolic
(132)
Exemplu 7.2 Sa se aduca conica
3x2 − 4xy − 2x+ 4y − 3 = 0 (133)
la forma canonica.
Demonstratie: Matricea A a formei patratice din demonstratiaanterioara este
A =
(
3 −2−2 0
)
(134)
Ecuatia caracteristica pentru valorile proprii λ1,2 este
A =
∣
∣
∣
∣
3 − λ −2−2 −λ
∣
∣
∣
∣
= 0 (135)
ceea ce implica λ1 = −1, λ2 = 4. Lui λ1 ıi corespunde un vectorpropriu< 1, 2 > iar lui λ2 ıi corespunde< 2,−1 >. Normalizandu-i obtinem
v =< 1/√
5, 2/√
5 > si w =< 2/√
5,−1/√
5 >
7.1 Reducerea la forma canonica a unei conice 108
Se observa ca∣
∣
∣
∣
v1 w1
v2 w2
∣
∣
∣
∣
= 1
Rezulta ca rotatia din exercitiul anterior este
(
xy
)
=
(
1/√
5, −2/√
5
2/√
5, 1/√
5
)(
x′
y′
)
(136)
adica
x = 1/√
5x′ − 2/√
5y′
y = 2/√
5x′ + 1/√
5y′(137)
Inlocuind ın ecuatia initiala se obtine
− x′2 + 4y′2 +6√5x′ +
8√5y′ − 3 = 0 (138)
Prin completarea patratelor se ajunge la
− (x′ − 3√5)2 + 4(y′ +
1√5)2 = 2 (139)
Facem acum translatia
x′′ = x′ − 3√5, y′′ = y′ +
1√5
(140)
de unde obtinem ecuatia redusa a conicei
x′′2/2 − y′′2/(1/2) = −1 (141)
ın raport cu sistemul de referinta canonic definite de versorii v,wsi punctul (− 3√
5, 1√
5).
7.2 Intersectia dintre o conica si o dreapta 109
7.2 Intersectia dintre o conica si o dreapta
Consideram o dreapta (D) de ecuatii parametrice
(D) :
x = x0 + lty = y0 +mt
, t ∈ R
si o conica de ecuatie carteziana
(Γ) : g(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + a10x+ a20y + a00 = 0
Intersectia D∩Γ corespunde radacinilor t1,2 ∈ R ale ecuatiei poli-nomiale ın t:
g(x0 + lt, y0 +mt) = a11(x0 + lt)2 +2a12(x0 + lt)(y0 +mt)+ (142)
+a22(y0 +mt)2 + a10(x0 + lt) + a20(y0 +mt) + a00 = 0
Dupa gruparea termenilor ce contin t2, t se obtine:
t2(a11l2 + 2a12lm+ a22m
2)+ (143)
+t[l(2a11x0 + 2a12y0 + 2a10) +m(2a12x0 + 2a22y0 + 2a20)]+
+a11x20 + 2a12x0y0 + a22y
20 + +2a10x0 + 2a20y0 + a00 = 0
Notam ϕ(l,m) = a11l2 + 2a12lm + a22m
2 si observam ca ecuatia(143) se poate scrie ın forma
t2ϕ(l,m) + t(lgx0+mgy0
) + g(x0, y0) = 0 (144)
Asadar punctele de intersectie dintre dreapta si conica sunt decisede radacinile ecuatiei de mai sus.Discutie:1) Ecuatia (144) este de gradul doi daca ϕ(l,m) 6= 0. Daca
δ = (lgx0+mgy0
)2 − 4ϕ(l,m)g(x0, yo) > 0 (145)
7.2 Intersectia dintre o conica si o dreapta 110
atunci ecuatia are doua radacini reale si distincte deci dreaptaintersecteaza conica ın doua puncte distincte. Daca δ = 0, atunciexista un singur punct de intersectie si concluzionam ca dreaptaeste tangenta la conica. Observam ca ın acest caz daca P (x0, y0)este punctul de intersectie, avem din ecuatia (145) ca lgx0
+mgy0=
0, deci directia dreptei tangente este perpendiculara pe vectorul< gx0
, gy0> si deci ecuatia dreptei tangente este
(x− x0)gx0+ (y − y0)gy0
= 0
Dreapta care trece prin P (x0, y0) si este perpendiculara pe dreaptatangenta se numeste dreapta normala la conica ın punctul P (x0, y0).Directia ei este < −gy0
, gx0> deci ecuatia dreptei normale este
−(x− x0)gy0+ (y − y0)gx0
= 0
Daca δ < 0 atunci ecuatia de gradul doi (144) nu are solutii realedeci dreapta nu intersecteaza conica.
2) Cand ϕ(l,m) = 0 ecuatia (144) este de gradul ıntai.
t(lgx0+mgy0
)g(x0, y0) = 0
Ea are solutia
t = − g(x0, y0)
lgx0+mgy0
daca lgx0+mgy0
6= 0 deci D ∩ Γ contine un singur punct.Daca lgx0
+mgy0= 0 si g(x0, y0) 6= 0 ecuatia (144) nu are solutie
deci nu exista un punct de intersectie.Daca ınsa lgx0
+ mgy0= 0 si g(x0, y0) = 0 ecuatia este identic
satisfacuta si D ⊆ Γ.
7.3 Elipsa 111
7.3 Elipsa
Consideram o elipsa de ecuatie g(x, y) = 0. Am vazut ın sectiuneaanterioara ca exista un reper x′O′y′ ın raport cu care elipsa areecuatia
x′2/a2 + y′2/b2 = 1 (146)
Reperul x′O′y′ se numeste reperul canonic iar ecuatia (146) senumeste ecuatia redusa a elipsei fata de reperul canonic. Sa pre-supunem ca a > b > 0. In cele ce urmeaza vom renota repe-rul canonic cu xOy. Punctele F1(
√a2 − b2, 0),F2(−
√a2 − b2, 0) se
numesc focarele elipsei iar distanta c =√a2 − b2 semi-distanta
focala a elipsei. Intersectiile curbei cu axele Ox,Oy se numescvarfurile ei: V1(a, 0),V2(−a, 0), V3(0, b), V4(0,−b).
Teorema 7.1 Elipsa descrisa mai sus este locul geometrical punctelor P (x, y) din plan pentru care distanta(P,F1) +distanta(P,F2) = 2a.
Demonstratie: Sa consideram un punct P (x, y) pe elipsa. Vomavea atunci ca
dist(P,F1) + dist(P,F2) =√
(x− c)2 + y2 +√
(x+ c)2 + y2
Pe de alta parte, din ecuatia canonica a elipsei avem ca y2 =b2(1 − x2/a2). Inlocuind rezulta ca
dist(P,F1) + dist(P,F2) =
=√
(x− c)2 + b2(1 − x2/a2) +√
(x+ c)2 + b2(1 − x2/a2) =√
(cx/a − a)2 +√
(cx/a+ a)2 = 2a
7.4 Hiperbola 112
Teorema 7.2 Aria elipsei de ecuatie
x2/a2 + y2/b2 = 1 (147)
este egala cu πab.
Demonstratie: Consideram transformarea afina
x′ = x/a, y′ = y/b
sau
(
x′
y′
)
=
(
1/a 00 1/b
)(
xy
)
Se observa ca elipsa se duce prin aceasta transformare ın cerculunitate centrat ın origine
x′2 + y′2 = 1
Rezulta atunci ca aria se transforma dupa formula:
aria cerc =
∣
∣
∣
∣
1/a 00 1/b
∣
∣
∣
∣
· aria elipsa
De aici rezultaaria elipsa = πab
7.4 Hiperbola
Ecuatia redusa a hiperbolei ın raport cu reperul canonic xOy este
x2
a2− y2
b2= 1 (148)
Focarele hiperbolei sunt puncteleF1(
√a2 + b2, 0), F2(−
√a2 + b2, 0).
7.5 Parabola 113
Teorema 7.3 Hiperbola este locul geometric al punctelor din planpentru care
|dist(P,F1) − dist(P,F2)| = 2a
7.5 Parabola
Ecuatia redusa a parabolei ın raport cu reperul canonic xOy este
y2 = 2px (149)
Focarul parabolei este F (p/2, 0).
Teorema 7.4 Parabola este locul geometric al punctelor din planpentru care
dist(P,F ) = dist(P,Q)
unde Q este proiectia lui P pe axa Oy.
7.6 Exercitii 114
7.6 Exercitii
Exercitiu 7.1 Consideram conica de ecuatie
g(x, y) = 13x2 − 48xy + 27y2 − 50x− 76 = 0 (150)
1. Sa se determine tipul conicei.
2. Sa se determine forma redusa a acestei conice.
3. Sa se determine axele (sau axa) de simetrie ale acestei con-ice.
4. Sa se determine focarele acestei conice.
Demonstratie: Se procedeaza exact ca ın exemplul (7.2) dinacest capitol referitor la reducerea unei conice la forma canonica.Mai ıntai incercam sa anulam termenul −48xy din expresia coniceiprin utilizarea unei rotatii. Fie
A =
(
13 −24−24 27
)
(151)
Valorile proprii λ1,2 ale lui A satisfac ecuatia
∣
∣
∣
∣
13 − λ −24−24 27 − λ
∣
∣
∣
∣
= 0 (152)
de unde rezulta ca λ1 = 45, λ2 = −5.Suntem acum ın masura sa raspundem la prima ıntrebare. Dinmoment ce cele doua valori proprii sunt nenule si de semn contrarconica este de tip hiperbolic.Determinam acum vectori proprii v =< v1, v2 >,w =< w1, w2 >corespunzatori lui λ1 si respectiv λ2. Pentru v =< v1, v2 > trebuieca
7.6 Exercitii 115
(
13 − 45 −24−24 27 − 45
) (
v1v2
)
=
(
00
)
(153)
Alegem v1 = 3 si rezulta v2 = −4 Dupa normalizare avem cav =< 3/5,−4/5 >.In mod similar gasim ca w =< 4/5, 3/5 >.Se poate vedea ca
∣
∣
∣
∣
v1 w1
v2 w2
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
3/5 4/5−4/5 3/5
∣
∣
∣
∣
= 1. (154)
Facem acum schimbarea de variabile(
xy
)
=
(
3/5 4/5−4/5 3/5
)(
x′
y′
)
(155)
(
x′
y′
)
=
(
3/5 −4/54/5 3/5
)(
xy
)
Mai putem scrie:
x = 3/5x′ + 4/5y′
y = −4/5x′ + 3/5y′(156)
Din teoria expusa ın acest capitol rezulta ca forma patratica 13x2−48xy + 27y2 devine
45x′2 − 5y′2
Putem scrie expresia ıntreaga prin utilizarea formulei (156)
45x′2 − 5y′2 − 30x′ − 40y′ − 76 = 0
Dupa completarea patratelor rezulta ca
7.6 Exercitii 116
5(3x′ − 1)2 − 5(y′ + 4)2 = 1 sau 45(x′ − 1/3)2 − 5(y′ + 4)2 = 1
Facem acum schimbarea de variabile
x′′ = x′ − 1/3, y′′ = y′ + 4 (157)
de unde rezulta ca
45x′′2 − 5y′′2 = 1
Aceasta este ecuatia redusa a conicei. Sa determinam acum repe-rul canonic. Avem ca daca x′′ = 0, y′′ = 0, atunci x′ = 1/3, y′ =−4 si deci din ecuatiile (156)x = 1/3·3/5+(−4)·4/5 = −3, y = 1/3·(−4)/5+(−4)·3/5 = −8/3.Prin urmare originea sistemului canonic este la (−3,−8/3). Sadeterminam axele de simetrie ale hiperbolei.x′′ = 0 este echivalent cu x′− 1/3 = 0 de unde 3/5x− 4/5y = 1/3.Aceasta este axa O′′y′′. Axa Ox′′ are ecuatia y′′ = 0 de undey′ + 4 = 0 ceea ce ne da 4/5x + 3/5y + 4 = 0.Pentru determinarea focarelor folosim aceasi metoda de schimbarede variabile. Stim ca ın reperul canonic x′′O′′y′′ focarele suntdate de F1(
√a2 + b2, 0) si F2(−
√a2 + b2, 0). Va rezulta atunci
F1(√
(1/45)2 + (1/5)2, 0) si F2(−√
(1/45)2 + (1/5)2, 0) ın reperulx′′O′′y′′. Pentru determinarea coordonatelor ın reperul xOy putemfolosi formulele (156) si(157).
Exercitiu 7.2 Consideram conica de ecuatie
g(x, y) = 29x2 + 24xy + 36y2 − 50x = 0 (158)
1. Sa se determine tipul conicei.
7.6 Exercitii 117
2. Sa se determine forma redusa a acestei conice.
3. Sa se determine axele (sau axa) de simetrie ale acestei con-ice.
4. Sa se determine focarele acestei conice.
Demonstratie: Se procedeaza exact ca ın exemplul (7.2) dinacest capitol referitor la reducerea unei conice la forma canonica.Mai ıntai incercam sa anulam termenul 24xy din expresia coniceiprin utilizarea unei rotatii. Fie
A =
(
29 1212 36
)
(159)
Valorile proprii λ1,2 ale lui A satisfac ecuatia
∣
∣
∣
∣
29 − λ −1212 36 − λ
∣
∣
∣
∣
= 0 (160)
de unde rezulta ca λ1 = 45, λ2 = 20.Suntem acum ın masura sa raspundem la prima ıntrebare. Dinmoment ce cele doua valori proprii sunt nenule si au acelasi semnconica este de tip eliptic.Determinam acum vectori proprii v =< v1, v2 >,w =< w1, w2 >corespunzatori lui λ1 si respectiv λ2. Pentru v =< v1, v2 > trebuieca
(
29 − 45 1212 36 − 45
) (
v1v2
)
=
(
00
)
(161)
Alegem v1 = 3 rezulta v2 = 4 Dupa normalizare avem ca v =<3/5, 4/5 >.In mod similar gasim ca w =< −4/5, 3/5 >.Se poate vedea ca
7.6 Exercitii 118
∣
∣
∣
∣
v1 w1
v2 w2
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
3/5 −4/54/5 3/5
∣
∣
∣
∣
= 1. (162)
Facem acum schimbarea de variabile(
xy
)
=
(
3/5 −4/54/5 3/5
)(
x′
y′
)
(163)
(
x′
y′
)
=
(
3/5 4/5−4/5 3/5
)(
xy
)
Mai putem scrie:
x = 3/5x′ − 4/5y′
y = 4/5x′ + 3/5y′(164)
Din teoria expusa ın acest capitol rezulta ca forma patratica 29x2+24xy + 36y2 devine
45x′2 + 20y′2
Putem scrie expresia ıntreaga prin utilizarea formulei (164)
45x′2 + 20y′2 − 30x′ + 40y′ = 0
Dupa completarea patratelor rezulta ca
5(3x′ − 1)2 + 20(y′ + 1)2 = 25 sau 45(x′ − 1/3)2 + 20(y′ + 1)2 = 25
Facem acum schimbarea de variabile
x′′ = x′ − 1/3, y′′ = y′ + 1 (165)
de unde rezulta ca
45x′′2 + 20y′′2 = 25
7.6 Exercitii 119
Aceasta este ecuatia redusa a conicei. Sa determinam acum repe-rul canonic. Avem ca daca x′′ = 0, y′′ = 0 atunci x′ = 1/3, y′ = −1si deci din ecuatiile (164)x = 1/3 ∗ 3/5 + 4/5 = 1, y = 1/3 ∗ 4/5 − 3/5 = −1/3 prin urmareoriginea sistemului canonic este la (1,−1/3). Sa determinam axelede simetrie ale elipsei.x′′ = 0 este echivalent cu x′− 1/3 = 0 de unde 3/5x+4/5y = 1/3.Aceasta este axa O′′y′′. Axa Ox′′ are ecuatia y′′ = 0 de undey′ + 1 = 0 ceea ce ne da −4/5x + 3/5y + 1 = 0.Pentru determinarea focarelor folosim aceeasi metoda de schim-bare de variabile. Stim ca ın reperul canonic y′′O′′x′′ focarele suntdate de F1(
√a2 − b2, 0) si F2(−
√a2 − b2, 0). Va rezulta atunci
F1(√
−(5/9)2 + (5/4)2, 0) si F2(−√
−(5/9)2 + (5/4)2, 0) ın repe-rul y′′O′′x′′. Pentru determinarea coordonatelor ın reperul xOyputem folosi formulele (164) si(165).
120
8 Curbe ın 2 si 3 dim
8.1 Ecuatia carteziana a unei curbe
Curbele ın 2d sunt colectii de puncte (x, y) ce satisfac ecuatiicarteziene de tipul f(x, y) = 0 unde f este o functe de doua vari-abile. In 3d curbele sunt colectii de puncte (x, y, z) ce satisfacecuatii carteziene de tipul f(x, y, z) = 0, g(x, y, z) = 0 unde f, gsunt functii de trei variabile.
Exemplu 8.1 Dreapta si conicele sunt exemple de curbe.
Exemplu 8.2 Curba cardioida este data de ecuatia carteziana
(x2 + y2 − ax)2 = a2(x2 + y2), a ∈ R (166)
Fig. 40. Curba cardioida
8.2 Ecuatia unei curbe ın coordonate polare 121
Exemplu 8.3 Trifoiul este dat de ecuatia carteziana
(x2 + y2)2 = ax(x2 − 3y2) (167)
Fig. 41. Trifoiul
8.2 Ecuatia unei curbe ın coordonate polare
Uneori prin utilizarea coordonatelor polare ınlocul celor carteziene,ecuatia poate fi simplificata. Coordonatele carteziene x, y suntınlocuite de coordonatele polare r, θ utilizand formulele x = rcosθ, y =rsinθ, r > 0, θ ∈ [0, 2π).In coordonate polare ecuatia cercului unitate centrat ın origineeste r = 1.
Exemplu 8.4 Curba cardioida este data de ecuatia ın coordonate
8.3 Ecuatia parametrica a unei curbe 122
polarer = a(1 + cos(θ))
Exemplu 8.5 Trifoiul este dat de ecuatia ın coordonate polare
r = acos(3θ)
8.3 Ecuatia parametrica a unei curbe
Ecuatiile parametrice ale unei curbe de ecuatie cartezianaf(x, y) = 0 se obtin prin exprimarea coordonatelor x, y ın functede un parametru t ∈ I
x = x(t), y = y(t)
ın asa fel ıncat expresiile x(t), y(t) sa satisfaca ecuatiaf(x(t), y(t)) = 0.
Exemplu 8.6 De pilda cercul de raza r centrat ın origine si deecuatie carteziana x2 + y2 = r2 se poate parametriza ın formaurmatoare:
x(t) = rsin(t), y(t) = rcos(t), t ∈ [0, 2π) (168)
deoarece x(t), y(t) satisfac
x(t)2 + y(t)2 = r2(sin(t)2 + cos(t)2) = r2. (169)
Se observa ca de asemenea
x(t) = rcos(t), y(t) = rsin(t), t ∈ [0, 2π) (170)
este o parametrizare valida a cercului, ın ambele cazuri multimeax(t), y(t)|t ∈ [0, 2π) este cercul de raza r centrat ın origine. In
8.3 Ecuatia parametrica a unei curbe 123
primul caz, ın timp ce parametrul t parcurge intervalul [0, 2π),punctul corespunzator x(t), y(t) parcurge cercul ın sens contraracelor de ceasornic ıncepand din punctul (0, r). In al doilea caz,ın timp ce parametrul t parcurge intervalul [0, 2π), punctul core-spunzator x(t), y(t) parcurge cercul ın sens contrar acelor de cea-sornic, ıncepand din punctul (r, 0).
Exemplu 8.7 Ecuatia parametrica a elipseiElipsa de ecuatie carteziana x2/a2+y2/b2 = 1 se poate parametrizadupa cum urmeaza
x(t) = acos(t), y(t) = bsin(t), t ∈ [0, 2π) (171)
Exemplu 8.8 Ecuatia parametrica a cardioidei:
x(t) = 2a(1 − t2)/(1 + t2)2, y(t) = 4at/(1 + t2)2 (172)
8.3.1 Vectori tangenti la curbe
Pentru o curba diferentiabila (adica x(t), y(t) sunt functii diferentiabileun vector tangent la curba ın punctul (x, y) ce corespunde parametru-lui t este (x′(t), y′(t)).
Exemplu 8.9 Aflati un vector tangent la cercul unitate centratın origine ınpunctul (3/5, 4/5).
Demonstratie: Alegem parametrizarea
x(t) = cos(t), y(t) = sin(t) (173)
Alegem parametrul t pentru care x(t) = 3/5,y(t) = 3/5 adica
cos(t) = 3/5, sin(t) = 4/5 (174)
Din propozitia anterioara avem ca un vector tangent la curbaınpunctul (3/5, 4/5) este dat de v = (x′(t), y′(t)) = (−sin(t), cos(t)) =(−4/5, 3/5).
8.4 Intersectii de curbe 124
8.4 Intersectii de curbe
In rare cazuri (intersectia a doua drepte sau a unei conice cu odreapta sunt doua exemple) intersectia a doua curbe poate fi cal-culata cu o metoda generala. De cele mai multe ori se recurge lao metoda adaptata problemei respective.
Exemplu 8.10 Sa se calculeze intersectia cercurilor
x2 + y2 = 1, (x − 1)2 + y2 = 1 (175)
Daca (x, y) se afla pe ambele cercuri atunci el va satisface sistemul
x2 + y2 = 1(x− 1)2 + y2 = 1
(176)
Se scade prima ecuatie din a doua si se obtine
x = 1/2
de unde rezulta y =√
3/2,−√
3/2. Se poate, de asemenea, utilizaparametrizarea celor doua cercuri
x(t) = cos(t), y(t) = sin(t), t ∈ [−ππ)x′(s) = cos(s) + 1, y′(s) = sin(s), s ∈ [−ππ)
(177)
ce duce la un sistem trigonometric.si deci
cos(t) = cos(s) − 1sin(t) = sin(s)
(178)
Daca t > 0 rezulta ca s = π−t de unde cos(t) = 1/2 si x = 1/2, y =√3/2. Daca t < 0 rezulta ca s = −π − t de unde cos(t) = 1/2 si
x = 1/2, y = −√
3/2.
8.5 Cum apar curbele ın practica? 125
8.5 Cum apar curbele ın practica?
Curbele pot aparea ın practica, de pilda, ca traiectorii ale unorobiecte sau particule ın miscare sub actiunea anumitor forte sauca intersectii de suprafete.Sa consideram miscarea unui obiect aruncat sub un unghi α cuaxa orizontala cu o viteza initiala v0. Ignoram efectul frecarii cuaerul.
Sa notam cu x(t), y(t) pozitia obiectului la momentul t. Deci y(t)reprezinta ınaltimea la care se afla obiectul la momentul t iar x(t)reprezinta distanta parcursa de obiect pe directia orizontala. Dinlegile mecanicii avem ca F = ma. Pe de o parte, F = G =<0,−mg >, pe de alta parte a =< x′′(t), y′′(t) >. Obtinem de aicica
< 0,−mg >= m < x′′(t), y′′(t) >
de unde rezulta ca x′′(t) = 0, y′′(t) = g = −9.8. Utilizandproprietatile primitivelor obtinem ca x(t) = Ct + D si y(t) =−9.8t2/2 + Et + F . Deoarece initial x(0) = 0, y(0) = 0 obtinemca D = F = 0. Pe de alta parte, viteza initiala (ca vector) este
8.5 Cum apar curbele ın practica? 126
V0 = v0 < cosα, sinα > ceea ce ınseamna ca x′(0) = v0cosα siy′(0) = v0sinα. Rezulta de aici ca C = v0cosα si E = v0cosα.
Exemplu 8.11 O piatra este aruncata la un unghi de 45o cuviteza initiala 20
√2m/sec aprox. de la nivelul solului. Sa se afle
distanta pana la locul unde piatra loveste pamantul.
Din teoria expusa anterior avem ca x(t) = 20t si y(t) = −9.8t2/2+20t. In locul unde piatra loveste pamantul avem ca y(t) = 0 decit = 40/9.8. Pentru a afla distanta pana la locul unde y(t) = 0punem t = 40/9.8 ın formula x(t) = 20t.
Exemplu 8.12 Pozitia unei particule ce se misca ın linie dreaptaeste data de ecuatia x(t) = t2 − t. Sa se afle distanta parcursa departicula dupa doua secunde.
In intervalul de timp 0, 1/2 particula se misca ınspre stanga panaın punctul −1/4. Dupa aceea se misca numai ınspre dreapta. Lamomentul 2 ea va fi ın pozitia 2 deci distanta totala este 2.5.
8.6 Lungimea unei curbe 127
Exemplu 8.13 Sa se parametrizeze cercul unitate centrat ın orig-ine ınasa felıncat cercul sa fie parcurs ıncepand din punctul(√
3/2, 1/2) si ın sensul acelor de ceasornic.
Parametrizarea x = cost, y = sint parcurge cercul ıncepand din(1, 0) si ın sens contrar acelor de ceasornic. Pentru a muta punctulde pornire adunam π/6 la t. Pentru a schimba sensul de parcurgereinlocuim t cu −t.
x = cos(−t+ π/6), y = sin(−t+ π/6)
8.6 Lungimea unei curbe
Pentru a calcula lungimea unei curbe γ(t) = (x(t), y(t))diferentiabile cu derivata continua, se ımparte intervalul I = [a, b]pe care se parametrizeaza curba ın n subintervale de lungime egala,ca ın figura de mai jos, deci lungimea fiecarui subinterval va fiδt = (b − a)/n. Construim, de asemenea, numerele ti = a + i∆t
8.6 Lungimea unei curbe 128
ca ın figura. Se observa ca t0 = a si tn = b. Acestor numere ti levor corespunde puncte Pi pe curba date de formula Pi = γ(ti).
Construim segmente ce unesc punctele consecutive Pi si Pi+1, i =0..n−1 si aproximam lungimea curbei γ cu suma lungimilor acestorsegmente:
l(γ) ≈ Σn−1
i=0d(Pi, Pi+1) = (179)
Σn−1
i=0
√
(x(ti+1) − x(ti))2 + (y(ti+1) − y(ti))2
Utilizam teorema de medie pentru a scrie
x(ti+1) − x(ti) = x′(ηi)∆t, y(ti+1) − y(ti) = y′(ψi)∆t (180)
pentru numere intermediare ηi, ψi ∈ [ti, ti+1].Inlocuind ın formula (179) rezulta ca
8.6 Lungimea unei curbe 129
l(γ) ≈ Σn−1
i=0∆t
√
x′(ηi)2 + y′(ψi)2 (181)
Suma din dreapta este o suma de tip Riemann si daca se ia limitaacestei sume cand n→ ∞ vom obtine egalitatea
l(γ) = limn→∞Σn−1
i=0∆t
√
x′(ηi)2 + y′(ψi)2 =
∫ b
a
√
x′(t)2 + y′(t)2dt
(182)adica
l(γ) =
∫ b
a
√
x′(t)2 + y′(t)2dt (183)
Observatia 8.1 (Lungimea graficului unei functii) Graficul uneifunctii f : [a, b] → R este o curba de ecuatie γ(t) = (t, f(t)) undet ∈ [a, b]. Prin urmare lungimea graficului Γ(f) poate fi calculatadupa formula (183) obtinandu-se
l(Γ(f)) =
∫ b
a
√
1 + f ′(t)2dt (184)
Observatia 8.2 (Lungimea unei curbe ın 3d) Lungimea unei curbeγ(t) = (x(t), y(t), z(t)) din spatiu se calculeaza ın mod asemanatorsi se gaseste
l(γ) =
∫ b
a
√
x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt (185)
Exemplu 8.14 Un acoperis are forma ca ın figura de mai josunde profilul este dat de curba g(t) = (t, 3 − 3| t
5|3/2), t ∈ [−5, 5].
Toate lungimile sunt ın metri. Pretul pe m2 de acoperis este 20RON. Care e pretul total al acoperisului?
8.6 Lungimea unei curbe 130
Aria totala a acoperisului este egala cu
A = l(g) · 10
Pe de alta parte utilizand formula (183) l(g) =2∫
5
0
√
1 + 81/500tdt = de unde rezulta ca pretul acoperisului este2362.31.
Exemplu 8.15 Un acoperis are profilul dat de curba g(t) = (t, 3a−3a(t/5)2), t ∈ [−5, 5] unde a > 0 e un parametru. Sa se afleparametrul a astfel ıncat ınclinatia acoperisului la margini sa fiede 30o, ca ın figura de mai jos.
8.6 Lungimea unei curbe 131
Exemplu 8.16 (Lucrul mecanic efectuat de o forta variabila) Unobiect este miscat de o forta de marime variabila ınlinie dreapta ınasa fel ıncat la distanta x forta care actioneaza asupra obiectuluieste F (x). Sa se calculeze lucrul mecanic efectuat de forta.
Se ımparte intervalul I = [0, l] ın n subintervale de lungime egalaca ın figura de mai sus, deci lungimea fiecarui subinterval va fi∆t = (b − a)/n. Construim deasemenea numerele ti = i∆t ca ınfigura.Lucrul mecanic total L este egal cu suma lucrurilor mecanice Li
efectuate pentru a muta obiectul ıntre pozitiile ti si ti+1. Atuncicand n este foarte mare ( si deci ∆t foarte mic) forta ce actioneazaasupra obiectului ıntre pozitiile ti si ti+1 este aproape constantasi egala cu F (ti) (sau F (ti+1)). Rezulta deci ca Li ≈ F (ti)∆t sisumand obtinem ca L ≈ Σn
i=0F (ti)∆t.
Trecand la limita cand n→ ∞ obtinem ca L =∫ l0F (t)dt.
Exemplu 8.17 O funie de greutate 10N/m si lungime 10m esteridicata pe un bloc de 10m ınaltime ca ın figura de mai jos. Sa secalculeze lucrul mecanic efectuat.
8.6 Lungimea unei curbe 132
Se fixeaza originea ca ın figura si se ımparte intervalul I = [0, 10]ın n subintervale de lungime egala ca ın figura de mai sus, decilungimea fiecarui subinterval va fi ∆t = (b− a)/n. Construim, deasemenea, numerele ti = i∆t ca ın figura.Lucrul mecanic total L este egal cu suma lucrurilor mecanice Li
efectuate pentru a muta capatul de jos al funiei ıntre pozitiile ti siti+1. Atunci cand n este foarte mare forta necesara pentru a muta
8.6 Lungimea unei curbe 133
capatul funiei ıntre pozitiile ti si ti+1 este aproape constanta siegala cu greutatea funiei ın acel moment adica F (ti) = lungime ·10N/m = (10−ti) ·10N . Rezulta ca Li ≈ F (ti)∆t = (10−ti)10∆tde unde
L ≈ Σni=0(10 − ti)10∆t (186)
Trecand la limita cand n→ ∞ se obtine
L =
∫
10
0
(10 − t)10dt (187)
Exemplu 8.18 O bara din metal are densitatea pe lungime datade o functe ρ(x) unde x este distanta de la capatul din stanga panala locul unde se masoara densitatea (vezi figura de mai jos). Sa seafle masa totala a barei de metal.
Se fixeaza originea, ca ın figura ın partea din stanga jos, se ımparteintervalul I = [0, L] ın n subintervale de lungime egala, deci lungimeafiecarui subinterval va fi ∆t = (b−a)/n. Construim, de asemenea,numerele ti = i∆t ca ın figura.Masa totala m a barei este egala cu suma maselor mi a partilordin bara ıntre planele verticale prin ti si ti+1.Atunci cand n e foarte mare ( deci ti foarte aproape de ti+1) vomavea ca densitatea bucatii din bara ıntre planele verticale prin tisi ti+1 este aproape constanta si egala cu ρ(ti). Rezulta atunci ca
mi ≈ ρ(ti)πR2∆t (188)
8.6 Lungimea unei curbe 134
si sumand obtinem
m ≈ Σni=0ρ(ti)πR
2∆t (189)
Trecand la limita cand n→ ∞ se obtine
m =
∫ L
0
πR2ρ(t)dt (190)
135
9 Cuadrice si corpuri de rotatie
Un corp de rotatie se obtine prin rotirea unei curbe ın jurul uneidrepte.De pilda, sfera unitate centrata ın origine este corpul de rotatieobtinut prin rotirea graficului functei f(t) =
√1 − t2, t ∈ [−1, 1]
ın jurul axei Ox. Torul se obtine prin rotirea cercului de raza Rcentrat ın (a, 0) cu a > R ın jurul axei Oy.
Fig. 42. Torul
Prin rotirea unei elipse ın jurul unei din axele ei de simetrie se vaobtine un elipsoid.
9.1 Volumul corpurilor de rotatie 136
Fig. 43. Elipsoidul
9.1 Volumul corpurilor de rotatie
Sa studiem cazul corpurilor de rotatie obtinute prin rotirea grafi-cului unei functii f : [a, b] → R ın jurul axei Ox.Se ımparte intervalul [a, b] ın n subintervale de lungime egala caın figura de mai jos, deci lungimea fiecarui subinterval va fi ∆t =(b − a)/n. Construim, de asemenea, numerele ti = a + i∆t ca ınfigura.
9.1 Volumul corpurilor de rotatie 137
Fig. 44. Corp obtinut prin rotatie ın jurul lui Ox
Rezulta ca volumul total al corpului de rotatie este egal cu sumavolumelor Vi ale partilor din corpul de rotatie aflate ıntre planeleverticale prin ti si ti+1 ca ın figura.
V = Σn−10
Vi
Pe de alta parte, deoarece pentru n foarte mare ti va fi foarteaproape de ti+1 putem spune ca partea din corpul de rotatie aflataıntre planele verticale prin ti si ti+1 este aproape un cilindru si ınconsecinta avem ca
9.1 Volumul corpurilor de rotatie 138
Vi ≈ ∆tπf(ti)2
Prin ınsumare rezulta ca
V ≈ Σn−10
∆tπf(ti)2
Trecand la limita dupa n→ ∞ rezulta ca
V = limn→∞Σn−10
∆tπf(ti)2
.Suma Riemann din dreapta converge la
∫ ba πf(ti)
2dt si deci
V =
∫ b
aπf(t)2dt (191)
Exemplu 9.1 Sa se calculeze volumul sferei unitate centrate ınorigine.
Sfera unitate centrata ın origine este obtinuta prin rotirea functeif : [−1, 1] → R,f(t) =
√1 − t2. Aplicand formula (191) rezulta ca
V ol(sfera) =
∫
1
−1
π(1 − t2)dt = 4/3π
Sa studiem cazul corpurilor de rotatie obtinute prin rotirea grafi-cului unei functii f : [a, b] → R ın jurul axei Oy.Se ımparte intervalul [a, b] ın n subintervale de lungime egala caın figura de mai jos, deci lungimea fiecarui subinterval va fi ∆t =(b − a)/n. Construim, de asemenea, numerele ti = a+ i∆t, ca ınfigura de mai jos.
9.1 Volumul corpurilor de rotatie 139
Fig. 45. Corp obtinut prin rotatie ın jurul lui Oy
Volumul V al corpului de rotatie este egal cu suma volumelor Vi
ale corpurilor obtinute prin rotirea regiunii din grafic ıntre liniileverticale prin ti si ti+1, ca ın figura de mai jos.
Fig. 46. Shell
9.1 Volumul corpurilor de rotatie 140
Volumul acestor corpuri poate fi aproximat dupa cum urmeaza:
Vi ≈ ınaltimea ∗ (aria bazei) ≈ f(ti) ∗ ∆t ∗ 2πti
Prin ınsumare rezulta ca
V ≈ Σn−1
i=0f(ti) ∗ ∆t ∗ 2πti
Trecand la limita cand n→ ∞ rezulta ca
V = limn→∞Σn−1
i=0f(ti) ∗ ∆t ∗ 2πti
si deci
V =
∫ b
a2πtf(t)dt
Exemplu 9.2 O cupola se obtine prin rotirea functei f : [0, 5] →R, f(t) = 3 − 3(t/5)2 ın jurul axei Oy. Calculati volumul cupolei.
Exemplu 9.3 O cupola se obtine prin rotirea functei f : [−5, 5] →R, f(t) = 3−3(t/5)2 ın jurul axei Oy. Atunci integrala
∫
5
−52πtf(t)dt
este egala cu1) volumul cupolei;2) dublul volumului cupolei;3) triplul volumului cupolei ;4) niciuna din variantele anterioare.
Exemplu 9.4 Torul se obtine prin rotirea cercului de raza R sicentru (a, 0) cu a > R ın jurul axei Oy. Sa se calculeze volumultorului.
9.2 Cuadrice 141
9.2 Cuadrice
Cuadricele sunt colectii de puncte de coordonate(x, y, z) ce satisfaco ecuatie carteziana de tipul
a11x2 + a22y
2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz+ (192)
+2a10x+ 2a20y + 2a30z + a00 = 0
Exemplu 9.5 Exemple de cuadrice:
Elipsoidul: x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1. Un exemplu este prezentatın figura de mai sus. Elipsoidul este un corp de rotatie. Hiper-boloidul cu o panza: x2/a2+y2/b2−z2/c2 = 1 este corp de rotatie.
Fig. 47. Hiperboloidul cu o panza
9.2 Cuadrice 142
Hiperboloidul cu doua panze:
x2/a2 + y2/b2 − z2/c2 = −1 (193)
Hiperboloidul cu doua panze este corp de rotatie.
Fig. 48. Hiperboloidul cu doua panze
Paraboloidul eliptic:
x2/a2 + y2/b2 = 2pz (194)
Paraboloidul eliptic este corp de rotatie.
9.2 Cuadrice 143
Fig. 49. Paraboloidul eliptic
Paraboloidul hiperbolic:
x2/a2 − y2/b2 = 2pz (195)
Paraboloidul hiperbolic nu este corp de rotatie.
9.2 Cuadrice 144
Fig. 50. Paraboloidul hiperbolic
Exemplu 9.6 (Alte cuadrice)
x2/a2 + y2/b2 = 1, – cilindru elipticx2/a2 − y2/b2 = 1, – cilindru hiperbolic
y2 = 2px, – cilindru parabolicx2/a2 − y2/b2 = 0, – pereche de plane concurente
x2 = a2, – pereche de plane paralelex2 = 0, – pereche de plane confundate
x2/a2 + y2/b2 = 0, – o dreaptax2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 0, – un punctx2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = −1, – multimea vida
x2/a2 + y2/b2 = −1, – multimea vidax2/a2 = −1, – multimea vida
(196)
9.2 Cuadrice 145
Aducerea unei cuadrice generale la forma canonica.Cuadricele expuse mai sus sunt ın forma canonica, ınsensul ca nuapar termeni de tipul xy, xz, yz si, de asemenea, ın cazul ın caretermeni de tipul x2, y2, z2 sunt prezenti, termenii corespunzatorix, y, z nu mai apar. Din punct de vedere geometric, atunci cand ocuadrica e ın forma canonica, axele ( sau axa) de simetrie (daca ex-ista) sunt unele din axele reale Ox,Oy,Oz. De pilda, paraboloiduleliptic ın forma canonica x2 + y2 = z are ca axa de simetrie axaOz.In cele ce urmeaza vom incerca sa aducem la forma canonica ocuadrica de ecuatie generala data de (192).Teoria este aceeasi ca si ın cazul conicelor, cuadricei i se aplica maiıntai o rotatie (in spatiu) care sa puna cuadrica ın forma canonicaın raport cu o translatie a reperului nostru. Rotatia este apoiurmata de o translatie.Pentru aflarea rotatiei se calculeaza valorile proprii (λi)i=1..3 alematricii A a formei patratice asociate cu ecuatia (192).
A =
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
(197)
Valorile proprii (λi)i=1..3 sunt solutiile λ ale ecuatiei
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 − λ a12 a13
a12 a22 − λ a23
a13 a23 a33 − λ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0 (198)
Apoi, la fel ca ın cazul conicelor, se calculeaza o baza ortonormalaorientata pozitiv formata din vectori proprii (vi)i=1..3 pentru valo-rile proprii (λi)i=1..3. Prin urmare ei trebuie sa satisfaca ecuatiile
Avi = λivi
9.2 Cuadrice 146
sa fie liniar independenti, unitari, iar det(v1|v2|v3) > 0.Deoarece matricea formei patratice este simetrica astfel de vectoriproprii exista. Cu acesti vectori proprii se construieste matriceaR care are pe coloane vectorii vi
R = (v1|v2|v3).
Notatia de mai sus are urmatoarea semnificatie: daca notam vi =(v1
i , v2i , v
3i ) atunci
R =
v11 v1
2 v13
v21 v2
2 v13
v31 v3
2 v33
(199)
Ea corespunde rotatiei ın spatiu
xyz
= R ·
x′
y′
z′
(200)
Observam deasemenea ca
RtAR =
λ1 0 00 λ2 00 0 λ3
(201)
Ecuatia cuadricei ın forma matriceala este
XtAX + 2bX + c = 0 (202)
unde
X =
xyz
, b =
a10
a20
a30
, c = a00 (203)
9.2 Cuadrice 147
Inlocuind ın egalitatea de mai sus X cu RX ′ unde
X ′ =
x′
y′
z′
(204)
si utilizand relatia (201) rezulta ca ecuatia ın coordonatele x′, y′, z′
devine
λ1x2 + λ2y
2 + λ3z2 + (termeni de ordin 1 sau 0) = 0
Pentru eliminarea termenilor de ordin 1 din ecuatia de mai sus secompleteaza patratele.
9.2 Cuadrice 148
LISTA DE FIGURI 149
Lista de figuri
Fig. 1. Doi vectori echipolenti . . . . . . . . . . . . . . . 9Fig. 2. a) regula paralelogramului b) regula triunghiului 11Fig. 3. Descompunerea unui vector dupa doua directii . 13Fig. 4. Proiectia vectorului ~a pe vectorul ~i . . . . . . . 15Fig. 5. Produsul vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Fig. 6. Sistemul de coordonate carteziene . . . . . . . . 19Fig. 7. Forta rezultanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Fig. 8. Forta rezultanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Fig. 9. Reprezentare polara . . . . . . . . . . . . . . . . 24Fig. 10. Teorema lui Pitagora generalizata . . . . . . . . 25Fig. 11. Lucru mecanic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Fig. 12. Directia normala la un grafic ıntr-un punct . . 27Fig. 13. Proiectia vectoriala . . . . . . . . . . . . . . . . 28Fig. 14. Proiectia vectoriala pe un subspatiu . . . . . . 29Fig. 15. Calculul ınaltimii ıntr-un triunghi . . . . . . . . 31Fig. 16. Ecuatia vectoriala a unei drepte . . . . . . . . . 34Fig. 17. Dreapta orientata . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Fig. 18. Cosinusurile directoare . . . . . . . . . . . . . . 37Fig. 19. Ecuatia vectoriala a unei drepte . . . . . . . . . 39Fig. 20. Perpendiculara comuna a doua drepte . . . . . 43Fig. 21. Calculul lungimii perpendicularei comune . . . 44Fig. 22. Ecuatia unui plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Fig. 23. Ecuatia normala a planului . . . . . . . . . . . 51Fig. 24. Distanta de la un punct la un plan . . . . . . . 52Fig. 25. Unghiul a doua plane . . . . . . . . . . . . . . 54Fig. 26. Distanta de la un punct la un plan . . . . . . . 58Fig. 27. Planul determinat de o dreapta si un punct . . 63Fig. 28. Separare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Fig. 29. Translatie de vector ~a . . . . . . . . . . . . . . 68
LISTA DE FIGURI 150
Fig. 30. Translatia de vector v . . . . . . . . . . . . . . 79Fig. 31. Translatia de vector v a lui Ω . . . . . . . . . . 81Fig. 32. Translatia unei drepte . . . . . . . . . . . . . . 82Fig. 33. Omotetia de scalar α . . . . . . . . . . . . . . . 83Fig. 34. Transformarea punctelor printr-o omotetie . . . 83Fig. 35. Transformarea unei drepte printr-o omotetie . . 85Fig. 36. Rotatie de unghi α . . . . . . . . . . . . . . . . 86Fig. 37. Rotatia conserva lungimea segmentului PQ . . 87Fig. 38. Rotatia ın jurul unui punct arbitrar O’ . . . . . 88Fig. 39. Simetria fata de o dreapta arbitrara . . . . . . 89Fig. 40. Curba cardioida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Fig. 41. Trifoiul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Fig. 42. Torul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Fig. 43. Elipsoidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Fig. 44. Corp obtinut prin rotatie ın jurul lui Ox . . . . 137Fig. 45. Corp obtinut prin rotatie ın jurul lui Oy . . . . 139Fig. 46. Shell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Fig. 47. Hiperboloidul cu o panza . . . . . . . . . . . . 141Fig. 48. Hiperboloidul cu doua panze . . . . . . . . . . 142Fig. 49. Paraboloidul eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . 143Fig. 50. Paraboloidul hiperbolic . . . . . . . . . . . . . 144
Index
componentele unui vector dupadirectii date, 13
Compunerea transformarilor afine,70
conica, 104coordonate carteziene, 18cosinusurile directoare, 36
determinantul unei transformariafine, 69
dreapta orientata, 35drepte confundate, 104
ecuatia generala a planului, 47ecuatia normala a planului, 50ecuatia vectoriala, 33ecuatiile parametrice ale dreptei,
34elipsa, 111expresia analitica a unui vector,
14
fascicul, 61focarele unei elipse, 111focarele unei hiperbole, 112focarul parabolei, 113
hiperbola, 112
Inversa unei transformari afinenedegenerate, 71
matricea unei transformari afine,69
omotetia, 82originea reperului cartezian, 18
parabola, 113Perpendiculara comuna, 42plane de coordonate, 19produsul scalar a doi vectori, 15Produsul vectorial a doi vectori,
17Proiectia unui vector, 15
regula paralelogramului , 10regula triunghiului, 10reper cartezian, 18rotatie, 86
Simetria fata de dreapta D cetrece prin origine si faceun unghi α cu axa Ox,90
Simetria fata de o dreapta arbi-trara, 90
spatiul euclidian tridimensional,9
transformari afine nedegenerate,70
INDEX 152
Transformarile afine ın plan, 69translatia de vector −→v , 79
unghiul dintre doi vectori, 16
vector director, 33vector legat, 9vector legat nul, 9vector liber, 9vectori coliniari , 12vectori coplanari, 12vectori legati echipolenti, 9vectorul nul, 10versor, 10
BIBLIOGRAFIE 153
Bibliografie
[1] V. Cruceanu. Algebra liniara. Editura tehnica, 1969.
[2] I. Duda. Geometrie Analitica(note de curs). Facultatea dePompieri, Academia de Politie, 1992.
Bun de tipar: 5.12.2007; Coli tipar: 9,75 Format: 16/61×86
Editura Fundaţiei România de Mâine
Bulevardul Timişoara nr. 58, Bucureşti, Sector 6 Tel./Fax: 021/444.20.91; www.spiruharet.ro e-mail: [email protected]
Top Related