MODELAREA IDENTIFICAREA I SIMULAREA ACIONRILOR ELECTRICE

1

IV. MODELAREA MAINII DE CURENT CONTINUU

4.3. Modelul matematic discret al sistemelor de acionare cu maini de curent continuu

Semnalele numerice sunt obinute n dou etape: - eantionare, - cuantizare. Prin eantionare se obine semnalul discret n timp din semnalul continuu, iar operaia de

cuantizare, realizat cu ajutorul convertorului analog-digital, ncadreaz fiecare eantion ntr-un interval al amplitudinii semnalului i transmite valoarea numeric corespunztoare acelui eantion. Pentru evitarea pierderilor de informaie trebuie aleas corespunztor perioada de eantionare. Teorema Shannon-Nyquist ne ofer limita superioar de alegere a perioadei de eantionare:

un semnal x(t) a crui dinamic este definit de constanta de timp T0, poate fi descris n forma

discret de seria de valori x(kTe), dac 01

2eT T , Te reprezentnd perioada de eantionare.

Perioada de eantionare depinde de dinamica sistemului discretizat i de viteza procesorului utilizat. Alegerea perioadei de eantionare este un compromis ntre performan i cost. Practic se alege cea mai mic perioad de eantionare care asigur toate performanele impuse. Pentru asigurarea unui rspuns neted i fr pierderi de informaie din semnalul continuu, perioada de eantionare trebuie s fie cuprins ntre (1/401/10) din cea mai mic constant de timp a buclei de reglare.

Fig. 4.8 Alegerea perioadei de eantionare Te

a)

b)

c)

Modelul discret al SAE de curent continuu

2

Exemplul din figura 4.8 prezint un semnal sinusoidal 0 0 0 0( ) sin , 2 /x t x t T pentru

discretizarea cruia s-au folosit trei valori diferite ale pasului de eantionare Te:

a) 01

10eT T

b) 01

4eT T

c) 01

2eT T

Dac pasul de eantionare este mult mai mic dect perioada semnalului x(t), reconstrucia semnalului iniial este uoar cazul a).

Mrind pasul de eantionare, semnalul discret aproximeaz o sinusoid, dar semnalul iniial este greu de recunoscut. Mai precis, dac tim apriori c semnalul este sinusoidal, putem determina perioada i amplitudinea, ceea ce ne va permite s reconstruim complet semnalul x(t) cazul b).

Depirea valorii limit impus pentru Te de teorema Shannon-Nyquist duce la pierderea informaiei asupra semnalului x(t) i la imposibilitatea reconstruciei acestuia cazul c).

MCC

=+ Convertor

c.a-c.cTG

k4-s

k3

+

Filtru Filtru+

k2-s

k1 Te Te Te

+

--

+*(s)

Te

Te

n cazul mainii de curent continuu, cele dou bucle de reglare sunt sincronizate, perioadele de eantionare fiind identice, analiza cu ajutorul transformatei Z putnd fi uor aplicat. n vederea efecturii analizei numerice, transformata Z transfer ecuaiile difereniale corespunztoare sistemelor continue n ecuaii algebrice liniare corespunztoare sistemelor discrete. Obinerea semnalului numeric din semnalul continuu, prin procesul de eantionare, a fost prezentat n figura 9 prin contactul dispozitivului de eantionare, contact care se nchide cu frecvena de eantionare 1/Te.

n cazul automatizrii convenionale, utiliznd regulatoare continue conectate n cascad, acordarea optimal a acestora se realizeaz utiliznd criteriile modulului, respectiv simetriei (varianta Kessler), caracteristice proceselor rapide.

Astfel, adoptnd un sistem unificat de reglare n tensiune, regulatorul de curent rezult de tip proporional-integral cu funcia de transfer

43RIk

H s ks

, (4.22)

cu urmtorii parametri

3

4

2

2

A A

I D I

A

I D I

T Rk

T k k

Rk

T k k

, (4.23)

Fig. 4.9 Schema bloc de reglare a turaiei SAE de curent continuu

MODELAREA IDENTIFICAREA I SIMULAREA ACIONRILOR ELECTRICE

3

unde:

10

ND

Uk este funcia de transfer a convertorului static, echivalent cu o constant de

amplificare,

max

10I

A

kI

, factorul de atenuare al traductorului de curent,

I IT T , suma constantelor de timp parazite corespunztoare buclei interioare, de curent, fiind egal cu constanta de timp a traductorului de curent.

Funcia de transfer a regulatorului de vitez are forma

21Rk

H s ks

, (4.24)

avnd parametrii

1

2 2

2

8

I

I

k Jk

T k k

k Jk

T k k

, (4.25)

n care:

10

N

k este factorul de atenuare al traductorului de turaie,

2 IT T T , suma constantelor de timp parazite corespunztoare buclei exterioare, de vitez, T fiind constanta de timp a traductorului de vitez.

Deoarece semnalul de intrare al elementului de execuie este continuu n timp, iar ieirea regulatorului este o funcie discret, semnalul numeric trebuie convertit ntr-un semnal continuu. Acest lucru se realizeaz cu ajutorul extrapolatoarelor.

Extrapolatorul de ordin zero menine ultima valoare primit (blocheaz aceast valoare) n timpul perioadei de eantionare care urmeaz, fiind caracterizat prin urmtoarea funcie de transfer:

1 e

sT

EOZe

H ss

, (4.26)

Fig. 4.10 Reconstrucia semnalului

cu un extrapolator de ordinul zero

+

1-s

S1-s

e-sTe

- x(t)x(kTe)

Fig. 4.11 Funcia de transfer a extrapolatorului de ordinul zero

Modelul discret al SAE de curent continuu

4

Extrapolatorul de ordinul 1. Acesta realizeaz o extrapolare liniar a evoluiei semnalului, utiliznd ultimele dou eantioane. Funcionarea extrapolatorului de ordin 1 este ilustrat n fig. 4.12.

4.3.1. Modelarea matematic discret a buclei de reglare a curentului

Schema bloc pentru obinerea modelului discret al buclei de curent este prezentat n figura

4.13.

Te

I*A +

-

kD 1

1A AR sT4

3

kk

s

1

1 FIsT

1

I

I

k

sT

Te

Te

Te

UcUA IAI*FI

IR

Folosind un extrapolator de ordinul zero, trecerea din domeniul complex s n domeniul discret Z se face conform relaiei:

1FI EOZ FIH z Z H s H s , (4.27) sau sub alt form:

1 1 11

esT

FIFI

eH z Z

s sT

. (4.28)

innd cont c esTz e , relaia (4.28) devine:

1

1 1 1

11

FIFI

FI

zH z Z

Ts s

T

. (4.29)

Deoarece lucrm n domeniul s, pentru a determina transformata Z din relaia (4.29) utilizm metoda de calcul indirect

* pe baza transformatei Laplace. Astfel, aplicnd teorema reziduurilor pentru

poli simpli, forma final a funciei de transfer n domeniul discret devine:

Fig. 4.12 Reconstrucia semnalului cu un extrapolator de ordinul 1

Fig. 4.13 Bucla de reglare a curentului rotoric

*THEORIE DE LA COMMANDE DES SYSTEMES E. Ceang et. all, Editura Tehnic, 2001

MODELAREA IDENTIFICAREA I SIMULAREA ACIONRILOR ELECTRICE

5

1 1

1

11

e

FI

e

FI

T

T

FI T

T

z z eH z

z e

(4.30)

sau

* 1

1

* 1

FI

FI

A

I zH z

I z

. (4.31)

innd cont de (4.30) i (4.31) obinem relaia de recuren:

* * *1 1 1e e

FI FI

T T

T TFI FI AI k I k e I k e

. (4.32)

Plecnd de la funcia de transfer a traductorului de curent:

1

R I

A I

I s k

I s sT

, (4.33)

se obine o ecuaie asemntoare pentru relaia de curent sub forma:

1 1 1e e

I I

T T

T TR R A II k I k e I k e k

. (4.34)

Implementarea numeric a regulatorului de curent avnd funcia de transfer:

43RIk

H s ks

, (4.35)

se face utiliznd relaiile (4.27), (4.28) i proprietatea de liniaritate a transformatei Z sub forma:

1 1 13 4 21 1

1 1RIH z k z Z k z Zs s

. (4.36)

Pentru a calcula transformata Z a celui de-al doilea termen din membrul drept al relaiei (4.36) se utilizeaz teorema reziduurilor pentru poli multipli, obinnd:

11

3 4 211

eRI

T zH z k k

z

. (4.37)

Pe de alt parte

1

1

* 1 1

c

RI

FI R

U zH z

I z I z

, (4.38)

astfel nct ecuaia de implementare numeric a regulatorului de curent este:

* *3 4 31 1 1c c FI R e FI RU k U k k I k I k k T k I k I k . (4.39)

Tensiunea aplicat rotorului mainii de curent continuu este:

A D cU k k U k . (4.40)

Mrimea de ieire a buclei interioare de curent: - considernd rotorul calat

1

1 1 1

e e

A A

T T

T TA A A

A

I k I k e U k eR

, (4.41)

- cu rotorul n micare

Modelul discret al SAE de curent continuu

6

1

1 1 1 1

e e

A A

T T

T TA A A

A

I k I k e U k k k eR

. (4.42)

4.3.2. Modelarea matematic discret a buclei de reglare a vitezei

Schema bloc a modelului discret al buclei de vitez este prezentat n figura 4.14, unde funcia

de transfer n circuit nchis a buclei de reglare a curentului este aproximat prin cea reprezentat n

figura 4.15.

Te

I*A+

-

bucla de curent1

sJ

21

kk

s

1

1 FsT

1

k

sT

Te

Te

Te

Ms

-

+

* *

F

k

R

IA

1

1 2I Ik sT

I*A IA

Viteza unghiular impus filtrat este dat de:

* * *1 1 1e e

F F

T T

T TF Fk k e k e

. (4.43)

Semnalul de pe reacia de turaie are forma:

*1 1 1e eT T

T TR Rk k e k k e

. (4.44)

Forma discret a regulatorului de turaie este dat de ecuaia:

* * * *1 2 11 1 1A A F R e F RI k I k k k k k T k k k , (4.45)

iar semnalul de ieire al sistemului de acionare este:

1 1 1e A sT

k k k I k M kJ

. (4.46)

Fig. 4.14 Bucla de reglare a vitezei

Fig. 4.15 Funcia de transfer a

buclei de reglare a curentului

MODELAREA IDENTIFICAREA I SIMULAREA ACIONRILOR ELECTRICE

7

Pentru obinerea ecuaiilor necesare simulrii buclelor de reglare ale sistemului de acionare electric, vom stabili aceste ecuaii ntr-un bloc de relaii de recuren, ecuaii care vor fi aezate n ordinea fireasc de continuitate i compatibilitate ntre elementele componente ale sistemului, adic n ordinea (4.43), (4.44), (4.45), (4.32), (4.34), (4.39), (4.40), (4.41), (4.46).

Setul de ecuaii de mai sus se poate obine i folosind transformata Z biliniar. Pentru a trece o funcie de transfer H(s) din planul complex s ntr-o funcie de transfer H(z) din planul discret Z, cu ajutorul transformatei Z biliniare se consider exemplul din figura 4.16.

H sU(s) Y(s)

Fie elementul integrator caracterizat prin

1

H ss

. (4.47)

n domeniul timp se obine ecuaia:

y t u t dt . (4.48)

Pentru o perioad de eantionare T putem scrie:

1

1e

e

k T

kT

y k y k u t dt

. (4.49)

Folosind metoda trapezelor putem aproxima integrala:

1 12

eTy k y k u k u k . (4.50)

Scris n domeniul Z, ecuaia (4.50) conduce la:

1 1 1 1 1 12

eTY z z Y z U z z U z ,

(4.51)

de unde funcia de transfer se obine sub forma:

1

1

1

1

2 1

eT zH zz

, (4.52)

sau

1 11

1

2 1

1e

H zz

T z

. (4.53)

innd cont de ecuaiile (4.47) i (4.53), trecerea din domeniul s n domeniul Z se face nlocuind 1

1

2 1

1e

zs

T z

. (4.54)

Funcia de transfer a filtrului pe viteza unghiular impus avnd ecuaia

*

*

1

1

F s

sTs

(4.55)

dup prelucrri algebrice i utiliznd (4.54), conduce la ecuaia n diferene finite de forma:

* * * *2

1 12 2

e F eF F

e F e F

T T Tk k k k

T T T T

.

(4.56)

Fig. 4.15 Funcia de transfer

a elementului integrator

Modelul discret al SAE de curent continuu

8

n acelai mod se determin ecuaiile: - regulatorului de vitez

* * * *1 2 2 11 1 12 2

e eA A F R F R

T TI k I k k k k k k k k k

, (4.57)

- curentului rotoric impus

* * * *2

1 12 2

e FI eFI FI A A

e FI e FI

T T TI k I k I k I k

T T T T

(4.58)

- reaciei de curent

2

1 12 2

e I eR R I A A

e I e I

T T TI k I k k I k I k

T T T T

. (4.59)

- i regulatorului de curent

* *3 4 4 31 1 12 2

e ec c FI R FI R

T TU k U k k k I k I k k k I k I k

. (4.60)

Tensiunea aplicat rotorului rmne de forma

A D cU k k U k . (4.61)

Ecuaiile de calcul al curentului rotoric rezult de forma: - cu rotorul calat

2 1

1 12 2

e A eA A A A

e A e A A

T T TI k I k U k U k

T T T T R

, (4.62)

- cu rotorul n micare

2 1

1 1 12 2 2

e A e eA A A A

e A A e A A e A

T T T TkI k I k U k U k k k

T T R T T R T T

. (4.63)

Viteza unghiular la arborele motorului, calculabil n acelai mod, este dat de:

1 1 12

eA A s s

Tk k k I k I k M k M k

J . (4.64)