8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
1/283
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
2/283
2
Figura 1: Câmp de direcție
Definiție: Câmp de direc ț ie/fluxul solu ț iilor este graficul tuturor pantelortraiectoriilor determinate de o ecuație diferențială.
Nu este posibil să considerăm toate perechile (x,y) din plan,Putem considera numai perechile ( x, y) asociate unei pante fixe.
Notămm panta fixă a funcției f ( x, y), adică toate perechile (x, y) pentru care panta funcției este egală cum.
f ( x,y)=m se numește isoclină(isocuantă/curbădeindiferență ).
Determinarea isoclinei pentru funcția:
mbyaxdydx y x f ),(
.
Isoclina (isocuanta)este o curbă convexă. În ecuaţia:
mbyax explicităm y în funcție de x:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
3/283
3
bm
bax
y , este tocmai isoclina f ( x,y)=m scrisă în formă explicită.
Diagrama în spațiul fazelor pentru modelele dinamice cu o singură variabilă
(Spațul fazelor pentru un sistem dinamic este stațiul în care se pot reprezenta toatestările posibile ale unui sistem, și mișcarea acestora. Conceptul de spațiul fafelora fost introdus la sfârșitulsec al XIXlea, de cătreLudwig Boltzmann, HenriPoincaré, Willard Gibbs).
Considerăm x(t) funcție continuă de timp.
Considerăm o ecuație diferențială ))(()( t x f t x .Soluția ecuației diferențiale, pentru t variabil, se numeștetraiectorie .
Când 0)( t x , soluția xt x )( se numește punct fix, punct deechilibru, punct critic sau solu ț ie sta ț ionară.
Dacă traiectoria converge din orice punct inițial, către punctul de echilibru x , putem spune că punctul fix este de tip atractor.
Punct fi x atractor , traiectoria x(t) crește până la x și scade după x .Este un punct fix stabil.Dacă traiectoria se îndepărtează de x , din orice punctinițial, spunem că punctulfix este de tip repelor.
https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmannhttps://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Willard_Gibbshttps://en.wikipedia.org/wiki/Willard_Gibbshttps://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
4/283
4
Punct fix repelor : traiectoriax(t) se îndepărtează de x , este un punct fixinstabil.
Analiza dinamicii pentr u modelele dinamice uni dimensionale continue
Exemplul 1:
Modelul de cre ș tere a popula ț iei Malthus:
k t pt p
)()(
(3)
p(t)= populația la momentult
k - rata constantă de creș tere a populației, k>0.
Ecuația (3) este ecuație diferențială de ordinul unu liniară omogenă, cu variabileseparabile.
Rezolvare:
)()()()(
t kpt pk t pt p
kdt t pt dp )(/)( Integram ecuația de mai sus:
dt k t pt dp )(/)( C kt t p ln)(ln
Unde C este constanta generalizată arbitrară.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
5/283
5
Aplicăm proprietățile logaritmilor și funcția exponențială pentru eliminarealogaritmului.
kt C t p
kt C t p
C kt t p
exp)(
expln)(ln
lnexpln)(ln
Determinarea constantei de integrare:
Aplicăm condițiile inițiale (Cauchy):
Pentru 0t ,
0)0( p p
C p 0 Obținem soluția:
kt e pt p 0)( Care satisface condițiile inițiale:
0)0( p p Temă:Determinați traiectoria de evoluție a populației pentru
p0=20, k=0,03și k=0,05;
p0=50, k=0,03și k=0,05;
p0=100, k=0,03și k=0,05,
t=1,20.
Reprezentați graficele cu ajutorul EXCEL.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
6/283
6
Figura: Creșterea Malthusiană a populației
Figura: Câmpul de direcție pentru modelul creșterii Malthusiene a populației
Punctul fi x , soluția staționară, satisface ecuația:
00)( pt p Stabilitatea punctului fix este dată de comportarea traiectoriei pentrut .
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
7/283
7
t t kt pt p )exp(lim)(lim 0
deci sistemul este instabil,câmpul de direcție se va îndepărta de punctul fix, punctul fix este de tiprepelor. În cazul sistemelor dinamice unidimensionale de ordinul întâi omogene, soluţia
generală a ecuaţiei omogene este de format Ce .
Dacă 0 , stabilitatea este asigurată (vezi cursurile de „Bazele ciberneticiieconomice”).
Exemplul 2: M odelul de cre ș tere economică Harrod - Domar1939-Roy Harrod1946-Evsey DomarEste un model post Keynesian timpuriu de creș tere economică. I s-a reproșat instabilitatea soluției.Controversele academice au dus, după 1950 la dezvoltarea modelului Solow-Swan.
Notaţii, ipoteze:S(t) - economiile sunt propor ționale cu venitulY(t);
I(t) -investițiile (modificările în stocul de capital) sunt propor ționale cumodificările venitului; S(t)=I(t) -la echilibru, economiile sunt egale cu investițiile. s- propensitatea medie(egală cu cea marginală) către economisire; v- ponderea investițiilor în sporul total al venitului, sau inversul productivitățiimarginale a capitalului.
Modelul:
)()(
)()()(
)()(
t S t I
t Y t K t I
t sY t S
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
8/283
8
Rezolvarea modelului:
0)()(
)()(
t Y st Y
t sY t Y
Ecuaţie diferenţială liniară, de ordinul unu, cu coeficienţi constanţi, omogenă.
)()(
t Y s
dt t dY
dt st Y t dY
)()(
dt st Y t dY
)()(
C t s
t Y ln)(ln
C t s
t Y lnexpln)(ln
)exp()( t s
C t Y Determinarea constantei de integrare:
0)0(0 Y Y t C Y x
sC Y t 00 )0exp(0
)exp()( 0 t s
Y t Y
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
9/283
9
Temă:
Scrieți rezolvarea ecuației:
0)()(
t Y st Y
Cu condițiile inițiale:
0)0( Y Y Interpretare economică:
În soluție, (traiectoria venitului):t seY t Y )/(0)(
/ s -“warranted rate of growth” rata justificată de creștereeconomică: se justifică prin structura economică dată de parametrii modelului: s
și Punct fix:
00 Y Y Tipul de punct fix:
t
t s
t eY t Y )lim()( )/(
0lim
Punct fix de tiprepelor , sistem global instabil.
Se spune „global” stabil/instabil, dacă există un singur punct fix.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
10/283
10
Figura: Cîmpul de direcție pentru modelul Harrod-Domar
Temă: Folosind EXCEL; determinați traiectoriile pentru indicatorii:Y(t), I(t),
C(t), cunoscând datele:
7,03,0
..1000
smuY
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
11/283
11
)(7,0)(
)(3,0)()(
100)()7,0/3,0(
t Y t C
t Y t S t I
et Y t
Exercițiu:
75,0
25,0
500
s
Y
Exemplul 3:
Modelul de creștere echilibrată al lui Solow Ipoteze:
1. ))(),(()( t Lt K F t Y funcția de producție macroeconomică, de douăori diferențiabilă, omogenă de grad unu;
)(
)(
)( t L
t K
t k înzestrarea tehnică a muncii;
)()(
)(t Lt Y
t y venitul per capita;
Calculul venitului per capita:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
12/283
12
Presupunem funcția de producție omotetică (omogenă de grad unu:0),;(),( L K F L K F )
yk f k F L K F
L L K F
LY )()1,()1,(),(
2.Forța de muncă crește cu o rată constantăn, care este independentă devariabilele celelalte ale sistemului:
0)0(),()( L Lt nLt L nt e Lt L 0)(
3. Economiile sunt o pondereconstantă în valoarea venitului, (S = sY ), s esterata economiilor, dată exogen: modelul lui Solow este model de creștereeconomică exogenă.
4. Economiile în echilibru,sunt egale cu investițiile:).()( t I t S
.
4. Investițiile brute sunt egale cu variația stocului de capital (investițianetă) plus înlocuirea capitalului fix uzat:
)()()( t K t K t I
Unde este rata amortizării. Modelul lui Solow în mărimi totale:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
13/283
13
nt e Lt L
K K t K t I t K
t sY t S t S t I
0
0
)(
)0()()()(
)()()()(
Înlocuind primele două ecuații în a treia, obținem:
)()()( t K t sY t K Ecuația de dinamică a capitalului sau investiția netă.
Transformăm modelul în mărimi per capita:
k nk sf
nk k k sf L L
L K
L K sY
L L K L K
k
)()(
)(2
Atunci:
)()())(()( t k nt k sf t k Modelul lui Solow în mărimi percapita constă în ecuația de dinamică a înzestrăriitehnice a muncii sau investiția netă în mărimi per capita de mai sus
și condiția inițială:
00
0)0( k L
K k
Putem rezolva ecuația dinamică a capitalului per capita dacă dăm o formăanalitică funcției de producție per capia.
Presupunem că este o funcție Cobb-Douglas omotetică (omogenă de grad unu):
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
14/283
14
ak k f y L K a
LY
LaK Y
)(
)(
10,1
Ecuația de dinamică a capitalului per capita va fi:
)()()()( t k nt sak t k Ecuația diferențială obținută este:
)()()()( t sak t k nt k ecuație diferențială neliniară, omogenă, de tip Bernoulli. Rezolvarea ecuației Bernoulli:
Schimbarea de variabilă:
1k Derivăm în raport cu timpul:
k k )1(
Explicităm k din relația de mai sus:
)1( k
k
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
15/283
15
Împărțim ecuația de dinamică la k :
sak nk k
1
)(
Înlocuim
)1( k
k în ecuația de mai sus:
Obținem:
))(1()1( n sa
Adică o ecuație liniară de ordinul unu, neomogenă în .Rezolvăm ecuația omogenă:
0))(1( n
Căutăm o soluție de forma: t et )( Punem condiția ca soluția să verifice ecuația omogenă:
0))(1( t t ene
Împărțim ecuația lat e :
0))(1( n Ecuația de mai sus se numeșteecuație caracteristică.
Determinăm soluția , a ecuației caracteristice: ))(1( n
Soluția generală a ecuației omogene este:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
16/283
16
))(1()( nt G CeCet Unde C este constantă generalizată arbitrară.
Soluția particulară este de forma termenului liber:
Dt P )( Punem condiția ca soluția particulară să verifice ecuația neomogenă:
Dn sa ))(1()1(0 Determinăm constanta D:
P
n sa
D )(
Soluția generală a ecuației neomogene este suma între soluția generală a ecuațieiomogene, plus o soluție particulară:
P G t t t )()()(
nas
Cet t n ))(1()(
Determinarea constantei de integrare:
Pentru
nasC t 00)0(0
Rezultă soluția:
t ne
n
as
n
as ))(1(0 )(
Determinarea traiectoriei venitului per capita:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
17/283
17
Considerăm condițiile inițiale:
100 k Atunci:
t nen
ask
nas
k ))(1(101 )(
Sau:
11
))(1(10 )()(
t nen
ask
nas
t k
Aceasta este traiectoriaechilibrată de evoluție a înzestrării tehnice a muncii (corespunde traiectoriei staționare/echilibrate, determinate din condiția de
echilibru/staționariate 0)( t k ).
Temă: Deduceți traiectoria de evoluție a înzestrării tehnice a muncii în cazul modeluluide creștere echilibrată al lui Solow.
Traiectoria de evoluție astocului total de capital (se obține multiplicând
traiectoria venitului per capita, cunt e Lt L 0)( ):
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
18/283
18
)1/(1
1
0
))(1(
0)(
n
ask e
n
ase Lt K t nnt
------------------------------------------------------------
Temă: Deduceți traiectoria de evoluție a capitalului total.
Punctele staționare:
0)(t k 0)( k n sak
0)( 1 n sak k Punctele fixe/staţionare/de echilibru sunt:
01 k și)1/(1
2
sank Modelul Solow aredeci două puncte fixe.
Nu poate fi global stabil, întrucât aceasta este o proprietate posibilă pentrusistemele cu un singur punct fix.
La sistemele cu mai multe puncte fixe stabilitatea/instabilitatea se stabilește pentru fiecare punct fix în parte: este stabilitate/instabilitate locală, într -ovecinătate a punctului fix .
Pentru modelul Solow, primul punct fix este local instabil, iar al doilea este localstabil:
2)1/(1
)1/(110
))(1( )()(lim k n
as
n
ask e
n
as t nt
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
19/283
19
Rezultă că:
2)(lim k t k t
, deci 2k este atractor
Dacă traiectoria converge către 01
)1/(1
2 k nas
k
, rezultă
01 k este repelor , întrucât traiectoria se depărtează de acest punct fix,când t .Într-o vecinătate a lui 2k , traiectoria tinde către 2k , sistemul este local
stabil.
Întrucât traiectoria tinde asimptotic către2k , sistemul estelocal , asimptoticstabil .
Figura: Traiectoria înzestrării pentru diferite valori inițiale ale lui k(t).
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
20/283
20
Figura: Câmpul de direcție pentru modelul lui Solow.
Analiza traiectoriei în spațiul fazelor )(),(( t k t k :Reprezentăm grafic funcția
0)(0)( k n sak t k
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
21/283
21
Reprezentăm grafic curba 0)( t k , adică 0)( k n sak , în planul ),( k k
Puncte singulare:
Derivăm funcţia ))(( k n sak
în raport cuk şi egalăm derivata cu zero, pentru a afla punctele singulare.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
22/283
22
)1/(1
1 0)(0
asn
k nk ask nask dk d
, este k punct singular.Pentru a afla natura punctului singular, calculăm derivata a doua:
0)1( 222
k ask nask
dk
d
, k punct de maxim.
k(t) 1k k 2k
k nask 0 max 0 nk as 1 + + + + + +0- - - - - -
Rezultă 0)( t k deasupra abscisei (la stânga lui 2k )ș i 0)( t k subabscisă (la dreapta lui 2k ).
Investiția brută și investiția de compensare Investiția de compensare este destinată înlocuirii capitalului fix uzat și dotării cucapital a personalului intrat în activitate.
În punctul 2k k , investiția brută este egală cu investiția de compensare:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
23/283
23
Figura: Investițiile bruteși investițiile de compensare
Pentru k= 2k , k n sak )(
, respectiv investițiile brute sunt egalecu investițiile de compensare.
Dacă 2k k , investițiile de compensare sunt mai mici decât investițiile brute și stocul de capital per capita va crește.
Dacă k> 2k , investițiile de compensare devin mai mari decât investițiile brute,ceea ce determină scăderea stocului de capital per capita, cu valoarea capitaluluinecesar înzestrării sporului de for ță de muncăși a capitalului fix uzat.
sf(k) sunt investițiile brute,care în condiții de echilibru, trebuie să fie egale cueconomiile;
k n )( sunt investițiile de compensare: compensează capitalul fix uzatșiînzestrarea tehnică amuncii pentru sporul populației.
Am obţinut rezultatele:
k nk sf k )()(0 capitalul creș te;
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
24/283
24
k nk sf k )()(0 capitalul scade;
k nk sf k )()(0 capitalul rămâne la valoareastaționară, pe temen indefinit.
Temă: Determinați traiectoria înzestrării tehnice a muncii, a capitalului total, a populațieitotale, a venitului per capita și a venitului total, cunoscând datele:
3,0,100,35,0,05,0,009,0,50,1000 00 san L K , pentru T=10 ani.
Rata de creștere echilibrată:
Este rata de creștere a indicatorilor macroeconomici pe traiectoria echilibrată.
Rata de creștere echilibrată a venitului
)()( 0 t ak e Lt Y nt
)()()()()( 01
00 t ak enLt k t k ae Lt ak enLt Y nt nt nt
Rezultă:
)()( 0 t ak enLt Y nt
Atunci:
nt ak e Lt ak enL
t Y t Y
nt
nt
)()(
)()(
0
0
Rata de creștere echilibrată a venitului este n, egală cu rata de creștere a populației.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
25/283
25
Pentru stocul total de capital )()( 0 t k e Lt K nt
:
nt k e Lt k e Lt k enL
t K t K
nt
nt nt
)()()(
)()(
0
00
Pe traiectoria de creştere echilibrată, rata de creș tere a capitalului ș i a venitului sunt constante ș i egale cu rata de cre ș tere a popula ț iei, n.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
26/283
26
Curs 2
Efectul cre ș teri i r atei economiil or :
Problematica creșterii economice: care este sursa ratelor de creștere a țărilordezvoltate, careeste cauza diferențelor mari între țări și zone geografice din punctul de vedere al venitului per capita, indicatorul esențial care reflectăcreșterea economică.
Presupunem că s crește de la s0 la s1.
Creșterea lui s va muta curba investițiilor brute (acumularilor) în sus, astfelk 2 se va muta la dreapta, va crește.
Figura: Efectul creșterii ratei economiilor, asupra echilibrului.
Modificările ratei economiilor au unefect de ni vel asupra capitalului per capitaș i asupra veni tului per capita, nu au un efect de creștere, nu afectează ritmul de
creștere al venitului per capita LY . Rezultă că nu acumulările sunt sursa ratelor
crescătoare de creștere ale țărilor dezvoltate.
Efectul cre ș teri i ratei economiil or asupra consumului:
Introducem gospodăriile în model:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
27/283
27
- bunăstarea gospodăriilor depinde de consum – investițiile sunt privite ca
input în producție pentru consumul viitor.
)()1()( t y st c este consumul per capita. Dacăconsiderăm propensitățile marginaleegale cu propensitățile mediiadică
c , funcția de consum este tocmai funcția Keynesiană:
)()( t yct c
Figura: Consumul de echilibru este diferenţa între
k nk f c )()( întrucât k nk sf )()( Derivăm în raport cu s funcția de consum scrisă ca:
k nk f c )()(
sn sk
nn sk f s
c ),,()()),,((
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
28/283
28
Când s crește, creșterea luic depinde de semnul relației din parantezadreaptă.
Dacă: )()(
nk f , creșterea lui s va avea ca efect creșterea luic(t) ;
Dacă )()( nk f creș terea lui s va avea ca efect scăderea lui
c(t);
Dacă )()( nk f creșterea lui s nu va avea nici un efect
asupra luic.
Variația consumului la creș terea ratei economiilor, s, depinde de pantele
celor două curbe: a venitului per capita și a investiției de compensare.Panta curbei venitului (sau productivitatea marginală a capitalului):
)(k f ;Panta investiției de compensare este: )( n .
Temă: Aplicație numerică
Se cunosc datele:
3,0,10,35,0
,05,0,1000,008,0,100 00 sa
K n L
a) Calculați traiectoria înzestrării tehnice a muncii pentru t=1-10 și facețigraficul în EXCEL:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
29/283
29
b) Calculați traiectoria stocului total al capitalului pentru t=1-10și faceți graficulîn EXCEL.
)1/(110
))(1(0)(
n
ask e
n
ase Lt K t nnt
)(100)( 008,0 t k et K t c) Calculați venitul per capitași venitul total ș i faceți graficele
corespunzătoare în EXCEL
)()( t ak t y )()()()( 01 t k eaLt Lt aK t Y nt d) Calcuați punctele fixe ale traiectoriei:
01 k
960,432)1/(1
2
sa
nk
e) Calculați traiectoria de echilibru a stocului total al capitaluluiș i avenitului de echilibru pentru t-1-10, faceți graficele în EXCEL:
20)( k e Lt K nt
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
30/283
30
1020 )()()(
nt nt e Lk e Lat Y
f)
Calculați investițiile bruteși consumul pentru t=1-10, în mărimi percapita, în mărimi totaleș i faceți graficele.
Investiţiile per capita şi consumul per capita sunt respectiv: sak şi
ak s)1( .
I Y C
sY I , sunt investițiile și respectiv consumul, în mărimi
actuale.
g) Analizați efectele creșterii ratei economiilor de la s0=0,3, la s1=0,35.-asupra traiectoriei de echilibru;
-asupra consumului: stabiliți numeric că dacă )()( 12 nk f ,
consumulcrește , sau dacă )()( 12
nk f consumul scade.
M odelul l ui Solow cu func ț ie de produc ț ie Cobb-Douglas cu progrestehnic H arrod
Am stabilit că acumulările execită un efect de nivel asupra venitului, nuun efect de creștere.
Pentru investigarea surselor creșterii economice, introducem progresultehnologic neutral în sens Harrod (acționează asupra muncii):
1))()()(()( t Lt At K t Y
• Modelul Solow presupune progresul tehnologic exogen.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
31/283
31
• Presupunem căA, funcția de progres tehnologic,creşte cu o rată
constantă:
g
A
A
.Se păstrează celelalte ipoteze ale modelului. Ecuațiile modelului:
L(t ) = L(0) e n t
A(t) = A(0) e gt
t K t sY t K Capitalul per capita este acum:
AL K
k , capitalul pe o unitate efectivă de muncă.
Dinamica modelului:
k (t) = sf (k(t)) – (n+g+ ) k(t)Seminar:
Determina ț i ecua ț ia de dinamică a modelului cu progres tehnologic.
k (t)= )()()()()()()(
)()()(
2 t At Lt Lt At Lt A
t K t Lt A
t K =
)()(
)()()(
)()(
)()()(
)()()(
t At A
t Lt At K
t Lt L
t Lt At K
t Lt At K
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
32/283
32
k k nk sf k
gk nk k ALY
s gk nk AL
K sY k
)()(
Cu ALY
k f )( venitul per capita.
Puncte sta ț ionare:
0)()( k g nk sf k Pentru a determina punctele staţionare, dăm o formă analitică funcţieide producţie: considerăm funcția Cobb-Douglas:
1)( ALaK Y
ak y
0)( k g n sak 0))(( 1 g n sak k
01 k )1/(1
2
as g n
k
Pentru 2k k investiția brută este egală cu investiția de compensare.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
33/283
33
Figura: Investiția brutăși investiția de compensare pentru modelul cu progrestehnologic.
Temă:
a. Arătați că rata de creștere echilibrată a venitului actual este egală cu ratade creștere a capitalului actual, egale cu (n+g ):
k k ae Ae Lak e gAe Lak enAe LY gt nt gt nt gt nt 1
000000
)(00
0000 g nak e Ae L
ak e gAe Lak enAe LY Y
gt nt
gt nt gt nt
Rata de creș tere a venitului depinde de rata de creștere a populației și a progresului tehnologic.
b. Refaceți tema precedentă, adăugând la datele numerice g=0,03 (rata de
creștere a progresului tehnologic de 3%)ș i A0=50.
Concluzie: În raport cu problematica generală a creș terii economice, modelul lui
Solow relevă faptul că diferen ț ele mari între ț ări din punct de vedere al venitului
na ț ional pe locuitor și al ritmului de creștere economică (respectiv al venitului
per capita), nu se pot datora exclusiv acumulărilor ( deci inzestrării tehnice a
muncii).
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
34/283
34
O sursă de creştere pe termen lung este progresul tehnologic.
Măsurarea creș
ter ii economice:Reziduul Solow
În modelul lui Solow creșterea pe termen lung depinde numai de progresultehnologic
creșterea pe termen scurt depinde atât de progresul
tehnologic câtși de acumularea capitalului.
Considerăm : Y(t) =F(K(t),A(t).L(t))
Derivăm funcția de producție în raport cu timpul:
)()(
)()(
)(
)()(
)(
)()( t A
t A
t Y t L
t L
t Y t K
t K
t Y t Y
Împăr țim la Y(t)cei doi membrii ai ecuației; împăr țim și înmulțim termenii dinmembrul drept respectiv cu K, L, A:
)(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
t R
t L
t Lt
t K
t K t
t A
t A
t A
t Y
t Y
t A
t Lt L
t Lt Y
t Y t L
t K t K
t K t Y
t Y t K
t Y t Y
Lk
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
35/283
35
Notăm:
k (t) elasticitatea outputului in raport cu capitalul
L(t)
elasticitatea outputului in raport cu munca.
)()(
)()(
)()(
)(t At A
t At Y
t Y t A
t R
Ratele de creștere ale lui K și L cât şi elasticităţile venitului în raport cu K şi L,se măsoară direct din datele empirice.
R(t) se numește reziduu Solow – reziduul Solow poate fi poate fi interpretatca o măsură a progresului tehologic – el reflectă toate sursele de creșterealtele decât acumularea de capital.Relația ratei de creștere venitului furnizează o decompoziție a creșteriieconomice în contribuția capitalului, a munciiș i contributia celorlalți factori.
Temă: Considerăm funcția de producție Cobb-Douglas cu progres tehnologicHarrod din exercițiul precedent. Calculați reziduul Solow și reprezentațigrafic.
)()(
)()()(
)()()(
)(t Lt L
t t K t K
t t Y t Y
t R Lk
Ecua ții diferențiale neliniare Aproximările liniare ale ecuațiilor diferențiale neliniare Considerăm ecuația:
)()( x f t x f(.)este neliniară dar continuă și diferențiabilă.
În general, aceste ecuații nu se pot rezolva analitic.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
36/283
36
Trebuie să găsim punctele fixe pentru 0)( t x , deci pentru0))((( t x f .
Presupunem f este continuă diferențiabilă într -un interval deschis care-l conține pe x = x (punctul fix) .
Aproximăm f folosind dezvoltarea Taylor:
),( x x Rn este restul.Aproximarea liniară de ordinul unu are forma:
Dacă punctul inițial este suficient de aproape de punctul fix x , atunci
, iar 0)( x f prin construcție. Dacă x este chiar punctul fix, atunci:Putem aproxima f(x) în punctul x prin:
.
Exemplu:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
37/283
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
38/283
38
Rezultă că panta curbei pentru 2k k este
0)1)(()( 2 nk f
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
39/283
39
Rezultă aproximarea liniară:
Întrucât iarn și δ sunt pozitive, atunci funcția f(k) are pantă
negativă în și deci sistemul este local stabil, punctul fix este de tipatractor.
Aproximarea de ordinul unu în jurul echilibrului este:
))(1)(()()( 2 k k nk f t k Este ecuație diferențială liniară de ordinul unu.
Ecuația omogenă:
t nGt Cet k
)1)(()(
Dt k P t )( Verifică ecuația neomogenă:
2)1)(()()1)(()( k nt k nt k
22)1)(()1)(( k Dk n Dn
2)1)(()()()( k Cet k t k t k t n P Gt
Aplicăm condițiile Cauchy:
k nt k )1)(()(
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
40/283
40
20 k k C
Cu soluția:
Pentru aproximarea liniară 2)(lim k t k t
, respectiv 2k este punct fixasimptotic local stabil pentru aproximarea liniară.
////
Temă:
Cunoscând datele din exercițiile precedente, folosind aproximarea liniarș aecuației de dinamică a înzestrării tehnice a muncii, calculați traiectoria înzestrăriitehnice a muncii, a venitului per capita, a investițiilor și consumului per capita,cât și a indicatorilor corespunzători în mărimi actuale. Faceți graficeletraiectoriilor.
Calculați deviațiile absolute și relative ale celor două soluții (traiectoria k(t) prinrezolvarea ecuației Bernoulli și prin aproximarea liniară).
////
Ecuații diferențiale de ordin superiorCazul general
Ecuație diferențială de ordinul n, liniară, cu coeficienți constanți, neomogenă:
)(... 1)1(
1)(
0 t g ya ya ya ya nnnn
Rezolvăm ecuația omogenă:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
41/283
41
0... 1)1(
1)(
0 ya ya ya ya nnnn Facem ipoteza că soluția are forma t e y și o punem să verifice ecuațiaomogenă:
0... 11
10 t nt nt nt n eaeaeaea Împărțim la 0t e , obținem ecuația caracteristică:
0... 1110 nnnn aaaa Ecuația caracteristică este o ecuație algebrică liniară, de gradn, care aren soluțiicare pot fi reale (diferitesau multiple) și complexe conjugate.
Soluția generală a ecuației omogene, cazulrădăcinilor reale, distincte:
)exp(...)(exp)exp()( 2211 t At At At y nnG
unde A1 ,A2 ,…An sunt constante generalizate arbitrare.Cazul rădăcinilor multiple de ordin m
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
42/283
42
k - numărul de rădăcini distincte.
În cazul rădăcinilor complexe conjugate avem, pentru fiecare pereche avem:
)sincos( 21 t At Ae t
Cu , respectiv partea reală și imaginară a numărului complex. Soluția particulară o putem determina cu ajutorulmetodei coeficiențilornedeterminați:
Facem ipoteza că soluția particulară )(t y P este de forma termenului liber și punem condiția ca aceasta să verifice ecuația neomogenă.
Soluția ecuației neomogene este suma între soluția generală a ecuației omogeneți soluția particulară:
)()()( t yt yt y P G
Exemplu:
Modelul politicilor de stabilizare între cerere agregată și oferta agregată alluiPhillips
Notăm:
)(t D cererea agregată
)(t Y oferta agregată Dacă există cerere excedentară, oferta crește; dacă există ofertă excedentară,oferta scade:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
43/283
43
0
))()(()(
t Y t Dt Y
0 coeficient dereacție care arată viteza de ajustare între cerereaagregată și oferta agregată.
)()1()( t Y st D Unde s este propensitatea/înclinația marginală și medie spre economisire,
10 s .Presupunem că cererea agregată este afectată de o perturbație adversău=1.
1)()1()()1()( t Y sut Y st D Determinarea ecuației de dinamică a venitului în aceste ipoteze Înlocuim în ecuația de dinamică a venitului:
)()(
(1)()1())()(()(
t sY t Y
t Y t Y st Y t Dt Y
Ultima relație este o ecuație diferențială de ordinul unu, neomogenă.
Rezolvareaecuației liniare de ordinul unu, neomogenă: Ecuația omogenă:
)()( t sY t Y Este ecuație cu variabile separabile.
Soluția generală a ecuației omogene:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
44/283
44
st G Cet Y )( Soluția particulară:
Dt Y P )( soluția particulară are forma termenului liber, o constantă.
Punem condiția ca )(t Y P
să verifice ecuația neomogenă:
sD0 s
Dt Y P 1
)( Rezultă traiectoria venitului:
sCet Y st
1)(
Condiția inițială:
se
st Y
sC Y Y
st 11)(
1)0( 0
Stabilitatea:
st Y
t
1)(lim
Sistemul este stabil.
Punct fix, staționar, de echilibru:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
45/283
45
sY t sY t Y
10)(0)(
În cazul existenței unei perturbații exogene asupra cererii agregate,valoarea deechilibru este negativă, ceea ce, pe termen lung înseamnă că traiectoria venituluiva conduce la valori negative ale venitului.
Pentru înlăturarea acestei situații, Phillips propune trei politici de stabilizareîntre cerere și ofertă, prin intermediul cheltuielilor guvernamentale
)( t G :1. Politica de stabilizare proporțională:
Cheltuielile guvernamentale sunt egale și de semn contrar cu ofertaagregată:
)()( t Y f t G p 0 p f este coeficientul de proporționalitate.
2. Politica de stabilizare diferențială:
Cheltuielile guvernamentale sunt egale și de semn contrar cu variația oferteiagregate:
)()( t Y f t G d
0d f 3. Politica de stabilizare integrală:
Cheltuielile guvernamentale sunt egale și de semn contrar cu suma întremomentul inițial și momentulcurent al ofertelor agregate:
t
oi dt t Y f t G )()(
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
46/283
46
0i f Determinarea ecuației de dinamică a venitului:
Între nivelul teoretic )(t G și cel actualG(t) al cheltuielilorguvernamentale există o întârziere (obs. Întârzieri interne și externe în politicile macroeconomice, vezi cursul de“Macroeconomie cantitativă”):
)()( t Gt G Ajustarea diferenței între )(t G și G(t) este dată de ecuația:
))()(()( t Gt Gt G 0 este coeficient de reacție și indică viteza de ajustare.
a. Pornim de la ecuația cererii agregate, care va include cheltuielileguvernamentale, întrucât în model s-a introdus guvernul:
)(1)()1()( t Gt Y st D Derivăm în raport cu timpul:
)()()1()( t Gt Y st D Înmulțim ecuația cererii agregate cu :
)()()1()( t Gt Y st D Adunăm cele două relații:
)()()1()()()1()()( t Gt Y st Gt Y st Dt D
Rescriem ))()(()( t Gt Gt G ca:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
47/283
47
)())()( t Gt Gt G și înlocuim în ecuația de mai sus,obținem:
)()()1()()1(
)()(
t Gt Y st Y s
t Dt D
(a)
b. Pornim acum de la variația venitului:
))()(()( t Y t Dt Y Explicităm pe D(t):
)()(
)( t Y t Y
t D
Înmulțim cu :
))()(()( t Y t Y t D
Derivăm:
)()(
)( t Y t Y
t D
Adunăm ultimele relații:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
48/283
48
)()())()(()()(
t Y t Y t Y t Y t Dt D
(b)
Egalăm membrii drepți din ecuațiile (a) și (b):
)()())()((
)()()1()()1(
t Y t Y t Y t Y
t Gt Y st Y s
Obținem ecuația de dinamică a venitului:
)()()()()( t Gt sY t Y st Y Politica de stabilizare proporțională:
)()()()()( t Y f t sY t Y st Y p Ecuația omogenă:
0)()()()()( t Y f t sY t Y st Y p Căutăm soluție de forma:
t et Y )(
0)()(2 t pt t e f se se
Ecuația caracteristică:
0)()(2 p f s s Discriminantul:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
49/283
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
50/283
50
D f s p )(
p f s D 1
Soluția:
p
G
f st Y t Y 1)()(
Dacă traiectoria este stabilă: 2,1,0Re ii , atunci:
pt f s
t Y 1
)(lim
Observăm că traiectoria de echilibru este tot negativă, dar mai mică în valoareabsolută:
s f s p
11ceea ce relevă faptul că politica
proporțională are o anumită eficiență, dar nu reușește să transforme valoareanegativă a echilibrului într -o valoare pozitivă.
Seminar
Aplicație numerică:
Considerăm următoarele valori:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
51/283
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
52/283
52
ticăcaracterisecuatie0632
i936,15,12,1 ))936,1sin()936,1cos(()( 21
5,1 t At Aet Y t G Dt Y P )(
33,168)( t Y P
33,1))936,1sin()936,1cos(()( 215,1 t At Aet Y t
33,133,1)0sin0cos(0)0( 1210 A A AeY
(Obs: 0)0sin(,1)0cos( )
)936,1(cos(936,1)936,1sin(936,1))936,1sin()936,1cos((5,1)(
215,1
215,1
t At Ae
t At Aet Y t
t
Obs: )cos()(nsi
)sin()(sco
t t
t t
21 936,15,144)0( A AY 033,1936,133,15,14 22 A A x
33,1)936,1sin(033,1)936,1cos(33,1)( 5,1 t t et Y t
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
53/283
53
Refaceți calculele când 2 p f , 8 . Ce puteți să spuneți desprenoile valori de echilibru în cazulinițial și după aplicarea politicii de stabilizare?
-/-
Cur s 3
Dinamica modelelor reprezentate prin ecuații diferențiale de ordin superior
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
54/283
54
Cazul general
Ecuație diferențială de ordinul n, liniară, cu coeficienți constanți, neomogenă:
)(... 1)1(
1)(
0 t g ya ya ya ya nnnn
Rezolvăm ecuația omogenă:
0... 1)1(
1)(
0 ya ya ya ya nnnn Facem ipoteza că soluția are forma
t e y și o punem să verifice ecuațiaomogenă:
0... 11
10 t nt nt nt n eaeaeaea Împărțim la 0
t e , obținem ecuația caracteristică:
0... 11
10 nnnn aaaa Ecuația caracteristică este o ecuație algebrică liniară, de gradn, care aren soluțiicare pot fi reale (diferite sau multiple) și complexe conjugate.
Soluția generală a ecuației omogene: Cazulrădăcinilor reale, distincte :
)exp(...)(exp)exp()( 2211 t At At At y nnG
unde A1 ,A2 ,…An sunt constante generalizate arbitrare.
Cazul rădăcinilor multiple de ordin m
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
55/283
55
121 ...)(
j j
m jm j j j t At A At P
Cu A constante generalizate arbitrare, iar jm
ordinul de multiplicitate alcelei de a j-a rădăcină.
k - numărul de rădăcini distincte.
În cazul rădăcinilor complexe conjugate avem, pentru fiecare pereche avem:
)sincos( 21 t At Ae t
Cu , respectiv partea reală și imaginară a numărului complex. Soluția particulară o putem determina cu ajutorulmetodei coeficiențilornedeterminați :
Facem ipoteza că soluția particulară )(t y P
este de forma termenului liber și punem condiția ca aceasta să verifice ecuația neomogenă.
Soluția ecuației neomogene este suma între soluția generală a ecuației omogeneți soluția particulară:
)()()( t yt yt y P G Exemplu:
Modelul politicilor de stabilizare între cerere agregată și oferta agregată al luiPhillips
Notăm:
)(t D cererea agregată
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
56/283
56
)(t Y oferta agregată Dacă există cerere excedentară, oferta crește; dacă există ofertă excedentară,
oferta scade:
0
))()(()(
t Y t Dt Y
0 coeficient de reacție care arată viteza de ajustare între cerereaagregată și oferta agregată. )()1()( t Y st D
Unde s este propensitatea/înclinația marginală și medie spre economisire,
10 s .Presupunem că cererea agregată este afectată de o perturbație adversă u=1.
1)()1()()1()( t Y sut Y st D Determinarea ecuației de dinamică a venitului în aceste ipoteze
Înlocuim în ecuația de dinamică a venitului:
)()( (1)()1())()(()( t sY t Y t Y t Y st Y t Dt Y Ultima relație este o ecuație diferențială de ordinul unu, neomogenă.
Rezolvarea ecuației liniare de ordinul unu, neomogenă:
Ecuația omogenă:
)()( t sY t Y
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
57/283
57
Este ecuație cu variabile separabile.
Soluția generală a ecuației omogene:
st G
Cet Y
)( Soluția particulară:
Dt Y P )( soluția particulară are forma termenului liber, o constantă.
Punem condiția ca )(t Y P
să verifice ecuația neomogenă:
sD0 s
Dt Y P 1
)( Rezultă traiectoria venitului:
sCet Y st
1)(
Condiția inițială:
se
st Y
sC Y Y
st 11)(
1)0( 0
Stabilitatea:
st Y t 1
)(lim
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
58/283
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
59/283
59
t
o
i dt t Y f t G )()(
0i f Determinarea ecuației de dinamică a venitului:
Între nivelul teoretic )(t G și cel actualG(t) al cheltuielilor guvernamentaleexistă o întârziere (obs. Întârzieri interne și externe în politicilemacroeconomice, vezi cursul de“Macroeconomie cantitativă”):
)()( t Gt G Ajustarea diferenței între )(t G și G(t) este dată de ecuația:
))()(()( t Gt Gt G 0 este coeficient de reacție și indică viteza de ajustare.
c. Pornim de la ecuația cererii agregate, care vainclude cheltuielileguvernamentale, întrucât în model s-a introdus guvernul:
)(1)()1()( t Gt Y st D Derivăm în raport cu timpul:
)()()1()( t Gt Y st D Înmulțim ecuația cererii agregate cu :
)()()1()( t Gt Y st D Adunăm cele două relații:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
60/283
60
)()()1()()()1()()( t Gt Y st Gt Y st Dt D
Rescriem))()(()( t Gt Gt G
ca:
)())()( t Gt Gt G și înlocuim în ecuația de mai sus,obținem:
)()()1()()1(
)()(
t Gt Y st Y s
t Dt D
(a)
d. Pornim acum de la variația venitului:
))()(()( t Y t Dt Y Explicităm pe D(t):
)()(
)( t Y t Y
t D
Înmulțim cu :
))()(()( t Y t Y t D
Derivăm:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
61/283
61
)()(
)( t Y t Y
t D
Adunăm ultimele relații:
)()())()(()()(
t Y t Y t Y t Y t Dt D
(b)
Egalăm membrii drepți din ecuațiile (a) și (b):
)()())()((
)()()1()()1(t Y t Y
t Y t Y
t Gt Y st Y s
Obținem ecuația de dinamică a venitului:
)()()()()( t Gt sY t Y st Y
Politica de stabilizare proporțională:
)()()()()( t Y f t sY t Y st Y pEcuația omogenă:
0)()()()()( t Y f st Y st Y p
Căutăm soluție de forma:
t et Y )(
0)()(2 t pt t e f se se
Ecuația caracteristică:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
62/283
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
63/283
63
Dt Y P )( Punem condiția să verifice ecuația neomogenă:
D f s p )(
p f s D
1
Soluția:
p
G
f st Y t Y 1)()(
Dacă traiectoria este stabilă: 2,1,0Re ii , atunci:
pt f s
t Y 1
)(lim
Observăm că traiectoria de echilibru este tot negativă, dar mai mică în valoareabsolută:
s f s p
11ceea ce relevă faptul că politica
proporțională are o anumită eficiență, dar nu reușește să transforme valoareanegativă a echilibrului într -o valoare pozitivă.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
64/283
64
Seminar
Aplicație numerică:
Considerăm următoarele valori:
4)0(
0)0(2
5,0
25,0
4
Y
Y
f
s
p
c) Determinați consecințele unei perturbații unitare negative a cereriiagregate.d) Determinați în raport cu situația de la punctul (a), efectele politicii de
stabilizare proporționale. (a)
echt
t
t
P
t G
Y t Y
et Y
C Cet Y
t Y
Cet Y
t Y t Y
t Y t Y t Y t Y
4)(lim
44)(
404)(
4)(
)(
)()(
4)())(1)(75,0(4)(
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
65/283
65
(b)
8)(6)(3)( t Y t Y t Y
ticăcaracterisecuatie0632
i936,15,12,1 ))936,1sin()936,1cos(()( 21
5,1 t At Aet Y t G Dt Y P )(
33,168
)( t Y P
33,1))936,1sin()936,1cos(()( 215,1 t At Aet Y t
33,133,1)0sin0cos(0)0( 1210 A A AeY
(Obs: 0)0sin(,1)0cos( )
)936,1(cos(936,1)936,1sin(936,1))936,1sin()936,1cos((5,1)(
215,1
215,1
t At Ae
t At Aet Y t
t
Obs: )cos()(nsi
)sin()(sco
t t
t t
21 936,15,144)0( A AY
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
66/283
66
033,1936,133,15,14 22 A A x
33,1)936,1sin(033,1)936,1cos(33,1)( 5,1
t t et Y t
Refaceți calculele când 2 p f , 8 . Ce puteți să spuneți desprenoile valori de echilibru în cazul inițial și după aplicarea politicii de stabilizare?
SI STEM E DI NAM I CE DI SCRETEClasificare:
Un sistem dinami c discret este o secvență de funcții yt , care sunt definiterecursiv, adică există o regulă care leagă funcțiile din secvență. Notăm secvența:{ yt }.
)(1 t t y f y (1)Relația (1) esteecuație recursivă.
)(11 t t t t y g y y y (2)Relația (2) esteecuație cu diferențe de ordin unu.
În ecuația (1) )( t y f poate filiniară/neliniară.Ecuația dinamică liniară discretă de ordinul doi, neomogenă, cu coeficiențiconstanți:
)(12 t g byay y t t t Rezolvarea ecuațiilor liniare dinamice discrete cu coeficienți constanți:
1. Rezolvăm ecuația omogenă:
012 t t t byay y
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
67/283
67
Căutăm o soluție de format :
012 t t t
ba
Împărțim ecuația la 0t :
02 ba ecuația caracteristică. Există trei cazuri:
1.Discriminantul
0 , rădăcini reale distincte. Soluția generală a ecuației omogene are forma:
t t Gt A A y 2211
2,1, i Ai sunt constante generalizate arbitrare.2. Discriminantul 0 , rădăcini reale egale
t Gt t A A y )( 21 3. Discriminantul 0 rădăcini complexe conjugate.
t t Gt iba Aiba A y )()( 21
Temă: Deduceţi forma analitică a soluţiei generale a ecuaţiei omogene, în cazulrădăcinilor complexe ale ecuaţiei caracteristice:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
68/283
68
)sincos( t At Ar y t Gt Rezolvare:Forma polară a numerelor complexe:
)sin(cos)( ir iba 22 bar modulul numărului complex
)/( abarctg argumentul numărului complex Teorema lui Moivre:
)sin(cos)( t it r iba t t
)sin(cos)sin(cos
2
1
t it r At it r A y
t
t Gt
cu i A 1 și i A 2constante complexe.Înlocuind în soluție și făcând calculele obținem:
)sincos( t At Ar y t Gt cu A și A constante reale. Soluția particulară prin metoda coeficienților nedeterminați:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
69/283
69
P t y se consideră d forma termenului liber și se pune condiția ca ea să
verifice ecuația neomogenă.
Echilibrul și stabilitatea sistemelor dinamice discrete
Considerăm sistemul dinamic discret:
)(1 t t
y f y
y este punct de echilibru/fix dacă și numai dacă:
)( y f y Stabilitatea/instabilitatea punctelor fixe:
- dacă 1)( y f , atunci y este stabil și este punct fix de
tip atractor;
- dacă 1)( y f , atunci y este instabil și este punct fix de tip
repelor;
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
70/283
70
Sistem stabil, punct fix atractor, sistem stabil.
Punct fix repelor, sistem instabil.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
71/283
71
Punct fix atractor, local asimptotic stabil (traiectoria pornește dintr -o vecinătatea punctului fix și atinge valoarea acestuia la infinit)
Punct fix atractor, global asimptotic stabil (traiectoria pornește din orice punctdin inițial și atinge valoarea punctului fix la infinit)
EXEMPLE
1. Dobânda compusă Dacă o sumă de baniA este capitalizată anual la o rată a anuală a dobânziir
pentru un număr de anit , atunci plata totală după t ani este:t t r A P )1(
Dacă este capitalizată dem ori în fiecare an, de exemplu lunar, m=12,atunci suma totală este:
t l t r A P
12)1(
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
72/283
72
În acest caz, 12r
r l este rata lunară a dobânzii. Rata anuală efectivă a dobânzii în cazul capitalizării dem=12 ori anual este:
t l
t ef r Ar A
12)1()1( ridicăm toată ecuația la
puterea (1/t) și împărțim la A:
12
)1()1( l ef r r Adică: 1)1( 12 l ef r r
Exemplu:r=7% pe an,capitalizată trimestrial, m=4.
Rata trimestrială a dobânzii este: 0175.0
407,0
4 r
r tr
Calculați rata efectivă a dobânzii:
072,01)0175,01( 4ef r Adică 7,2%. Formula generală:
1)1( t t Y r Y Considerămcazul general al unui depozit anual suplimentar (withdrawal):
11)1( t t t aY r Y Sau mai general ecuația recursivă:
1111 )1( t t t t t bY aY r aY
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
73/283
73
Considerăm cazul particular: a t =a pentru toțit :
1 t t bY aY Rezolvarea ecuației omogene:
bb t t 1 Soluția generală a ecuației omogene:
t Gt CbY DY P t
ba
DbDa D1
baCbY t t 1
Aplicăm condițiile Cauchy 0)0( Y Y :
b
aY C
b
aC Y
11 00
Soluția:
ba
bb
aY Y t t 1
)1
( 0
Punct fix:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
74/283
74
b
aY Y baY
1
Soluția este deci:
Y bY Y Y t t )( 0 Condiția necesară și suficientă de stabilitate a traiectoriei :
1 .
În cazul nostru b :Pentru 10 b , sistemul este stabil, mișcarea este convergentămonotonă.
Pentru 01 b sistemul este, de asemenea stabil, mișcarea esteconvergentă, oscilantă.
Dacă 1b , sistemul este instabil, mișcare este explozivă. Exemplu:Un investitor face un depozit inițial 10.000u.m.pe 5 ani și un depozitsuplimentar de: 250u.m.Rata dobânzii pe piața monetară este de 5% pe an. Se cere valoarea depozitului după 5 ani: cu Y 0 = 10.000 , a t =a =250 toțit șib =(1 +r ) = 1.05.
abY Y t t 1 25005,1 1 t t Y Y
Soluția:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
75/283
75
ba
bb
aY Y t t 1
)1
( 0
20,1414405,11
25005,1)
05,11250
10000( t t Y Valoarea prezentă și rata internă a dobânzii Plățile viitoare când dobânda este capitalizată sunt:
t t r P P )1(0
Valoarea prezentă a sumei t P , este:
t t
r
P PV P
10
În acest cazr se numeșterată de scont .
Suma )( PV P t se numeștetaxă de scont .
Operațiunea de scont (sau de scontare): cumpărarea de către o bancăcomercială a unor polițe (sau bilete la ordin, chitanțe sau scrisori deschimb, efecte comerciale) înainte de scadență, cu reținerea din valoarea lornominală, a dobânzii până la scadență şi a unui comision.
Anuitate:
Anuitate A : o serie de plăți în valoare A făcute la intervale constante de timp den perioade.Fiecare plată este afectată de o dobândă de la data când este făcută până lasfârșitul celor n perioade. Ultima perioadă nu este afectată de dobândă.Valoarea viitoare este FV , la sfârșitul celorn perioade:
Ar Ar Ar A FV nn )1(...)1()1( 21 Soluția, respectiv suma primilorn termeni ai unei progresii geometricecrescătoare:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
76/283
76
r
r A FV
n 11
Valoarea prezentă, împărțim FV lanr )1( :
nn r A
r A
r A
r A
r A
PV )1()1(
...)1()1()1( 132
Cu soluția, respectiv suma primilor n termeni ai unei progresii geometricedescrescătoare:
r
r A PV
n)1(1
Exemplu:
Suma de 1000 u.m. este depusă la bancă la sfârșitul fiecărui anîntr-un cont deeconomii și îi este aplică dobânda capitalizată de 6,5% anual.
a) la sfârșitul anului al 10-lea, care este suma din contul de economii? b) care este suma șirului de valori prezente?
a)
4,13494065,0
1065,011000
11 10 r r
A FV n
83,7188065,0
065,0111000
11 10 r
r A PV
n
Valo area prezentă netă:
t B beneficiul
t C costul
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
77/283
77
t t r B )1/( valoarea prezentă a beneficiilor în fiecare an t
t
t r C )1/( valoare prezentă a costurilor în fiecare an t. Valoarea prezentă netă pe o perioadă de n ani:
n
t t t t
n
t t
t n
t t
t
r C B
r C
r B
NPV 000 )1()1()1(
Dacă NPV > 0, proiectul de investiții va fi adoptat.
Exemplu :Oportunitatea achiziționării unei mașini cu costul40000u.m.care va duce lacreșterea venitului cu7500u.m.în fiecare an pentru următorii 10 ani. După 5 aniexistă o cheltuială de întreținere de5000u.m.Rata de scont considerată este de8%.
Decizia de investire se va lua în funcție de valoarea prezentă netă:
5
10
1 )08,01(5000
)08,01(7500
40000 t
t NPV
Deci:
69,6922)08,1(
500008,0
)08,1(1750040000 5
10 NPV
Este necesar să se facă ipoteze asupra ratei de scont, ceea ce introduce odificultate majoră.
O alternativă este de a calcularata dobânzii interne (RDI ): esterata de scont care dă o valoare prezentă netă egală cu zero. RDI este rata de scont r, care satisface:
0)1(0
n
t t t t
r C B
În membrul stâng avem un polinom de gradn: existăn soluții posibile.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
78/283
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
79/283
79
Calculați populația pentru t=1-10, faceți graficul, calculați punctul fix, analizațistabilitatea.
Exemplul 3 Modelul Harrod - Domar, varianta discretă
t t
t t t
t t
I S
Y Y I
sY S
)( 1
Obținem ecuația cu diferențe de ordinul unu:
1
t t Y s
Y
Cu soluția:
0Y sY
t
t
1 s
sistemul este stabil,
1 s
sistemul este instabil.
Punct fix:
0
Y Y s
Y
Temă:
3,0
25,0
10000
s
Y
Scrieți traiectoria de evoluție a venitului, calculați punctul fix, analizațistabilitatea (tipul de punct fix), faceți graficul traiectoriei pentrut = 1-10
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
80/283
80
Aproximarea liniară a ecuațiilor neliniare cu diferențe Forma generală a ecuației de ordin unu, neliniară:
1 t t x f x Considerăm forma autonomă ( 1t x f nu depinde explicit de timp).Există punct fix, dacă:
)( x f x toți t.
Aproximarea liniară de ordinul unu:
),())(()( 1211 x x R x x x f x f x f x t t t t Ignorând restul, obținem:
))(()( 11 x x x f x f x f x t t t Exemplu:
M odelul lu i Solow în timp discret
În timp discret avem: ),( 11 t t t L K F Y venitul la momentult este produs de combinația de factori ai anului precedent.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
81/283
81
1
11
11
),()(
t
t t
t
t t t L
L K F LY
k f yfuncția de producție
macroeconomică per capita, cu și
rata deprecierii capitalului fix,Populația crește cu o rată constantă n:
Adică indicele de dinamică este:
Economiile sunt egale cu investițiile:
It=St
De unde:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
82/283
82
Împărțim ambii membrii la Lt-1:
Obținem:
Sau:
Explicităm capitalul per capita:
În cazul funcției de producție Cobb-Douglas per capita cu randamente constantela scală:
0,10,)( 11 aak k y t t t Ecuația de dinamică a capitalului per capita:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
83/283
83
n
sak k k t t t
1
1 11
Sau:
11 )11
(1 t t t
k n
ak n
sk
Deci:
Soluția staționară:
)( k hk
nk sak k
11
0)1
)11
1(( 1
k n
san
k
Avem două puncte fixe:
01 k )1/(1
2 sa
nk
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
84/283
84
Dezvoltarea Taylor în jurul punctului
)1/(1
2
sa
nk :
k k n
k sak k t t 1
1
1
1
Seminar:
Considerăm valorile:
.
20,1,0,02,0,1,0,25,0,5 0 k n sa
a. Scrieți modelul lui Solow în mărimi per capita. b. Determinați numeric punctele fixe ale funcțieit k :
01 k
67,65,0
1,002,0 75,0/1)1/(1
2
san
k
c. Scrieți ecuația de dinamică a înzestrării tehnice a muncii determinată prin aproximare liniară:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
85/283
85
k k n
k sak k t t 1
1
11
59,091176,0
91176,0*67,691176,067,667,6*
*02,01
67,651,025,01,0167,6
1
11
125,0
t
t t
t
k
k k
x xk
59,091176,0 1 t t k k Ecuație liniară, neomogenă, de ordinul unu, cu coeficienți constanți: 117489,1 t t k k ecuația omogenă.
Facem ipoteza că soluția este de forma t t k 191176,0 t t
Împărțim prin 01t .Ecuația caracteristică este:
91176,0 Soluția generală a ecuației omogene:
t Gt C k )91176,0(
Soluția particulară:
Dk P t Punem condiția ca soluția particulară să verifice ecuația neomogenă:
59,091176,0 D D 67,608824,0/59,0 D
67,6)91176,0( t P t Gt t C k k k Constanta generalizată:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
86/283
86
33,13
67,620
C
C
Soluția:
67,6)91176,0(33,13 t t k Reprezentați grafic în EXCEL soluția obținută.
Exemplul 4:
Ecuația logistică, varianta discretă
Unde b este coeficientul de competiție:
Este o ecuație neliniară recursivă, care nu poate fi rezolvată analitic în formaaceasta.Putem face o ipoteză:
Atunci:
Obținem:
Rezolvare:
Împărțim ambii membrii la
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
87/283
87
Notând:
Obținem:
În echilibru:
, atunci:
De unde:
Scăzând din ecuația recursivă valoarea de echilibru x obținem: soluția generală:
Cu soluția generală:
Sau:
Considerând încă o dată :
Deci:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
88/283
88
Sau:
Este deja stabilit că:
Figura: curba logistică pentru: , ,
Pagina 121
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
89/283
89
CURS 4Exemplul 2:
Creșterea Maltusiană a populației Ipoteză: întret și t+1 , creștere populației este proporțională cu nivelul inițial al populației, k> 0 este factorul de proporționalitate:
pk p
kp p
t
t t
)1(1
1
Cu soluția analitică:
0)1( pk p t
t Punct fix:
0)1( p pk p Stabilitatea:
0)1(limlim pk p t
t t t sistem asimptotic instabil, punct fixrepelor.
Temă: Considerăm datele:k=0,5P0= 1000Calculați populația pentru t=1-10, faceți graficul, calculați punctul fix, analizațistabilitatea.
Exemplul 3 Modelul Harrod - Domar, varianta discretă
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
90/283
90
t t
t t t
t t
I S
Y Y I
sY S
)( 1
Obținem ecuația cu diferențe de ordinul unu:
1
t t Y sY
Cu soluția:
0Y sY
t
t
1 s
sistemul este stabil,
1 s sistemul este instabil.
Punct fix:
0
Y Y
sY
Temă:
3,0
25,0
10000
s
Y
Scrieți traiectoria de evoluție a venitului, calculați punctul fix, analizațistabilitatea (tipul de punct fix), faceți graficul traiectoriei pentrut = 1-10
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
91/283
91
Aproximarea liniară a ecuațiilor neliniare cu diferențe Forma generală a ecuației de ordin unu, neliniară:
1 t t x f x Considerăm forma autonomă ( 1t x f nu depinde explicit de timp).Există punct fix, dacă:
)( x f x toți t.
Aproximarea liniară de ordinul unu:
),())(()( 1211 x x R x x x f x f x f x t t t t Ignorândrestul, obținem:
))(()( 11 x x x f x f x f x t t t
Exemplu:
M odelul lu i Solow în timp discret
În timp discret avem: ),( 11 t t t L K F Y venitul la momentult este produs de combinația de factori ai anului precedent.
1
11
11
),()(
t
t t
t
t t t L
L K F LY
k f yfuncția de producție
macroeconomică per capita, cu
111 / t t t L K k și 1/ t t t LY y 11 t t t t K K K I
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
92/283
92
rata deprecierii capitalului fix,Populația crește cu o rată constantăn:
n L
L L
t
t t
1
1
Adică indicele de dinamică este:
n L L
t
t 11
Economiile sunt egale cu investițiile:
t t S I
t t sY S t t t sY S I
De unde:
111 )1( t t t t t t K K K K K sY
Împărțim ambii membrii la Lt-1:
1
1
11
1
11
)1()1(
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
L K
L L
L K
L K
L K
L sY
Obținem:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
93/283
93
1)1()1( t t t k nk sy Sau:
11 )1()1()( t t t k nk k sf Explicităm capitalul per capita:
)1(
)()1( 11
n
k sf k k t t t
În cazul funcției de producție Cobb-Douglas per capita cu randamente constantela scală:
0,10,)( 11 aak k y t t t Ecuația de dinamică a capitalului percapita:
n
sak k k t t t
11 11
Sau:
11 )11
(1
t t t k nak
n s
k
Deci:
)( 1 t t k hk
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
94/283
94
Soluția staționară:
)( k hk
n
k sak k
1
1
0)1
)11
1(( 1
k n
san
k
Avem două puncte fixe:
01 k )1/(1
2 sa
nk
Dezvoltarea Taylor în jurul punctului
)1/(1
2 sa
nk
:
)(1
)()1(
)(1
)()1()(
1
)()())(1()(
1
1
1
1
11
1
k k n
k sak
k k n
k sak h
n
k k k sak k k hk
t
t
t t t
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
95/283
95
k k n
k sak k t t 1
1
1
1
k
nk sa
k n
k sak t t 1
11
11
1
1
1
Adică o ecuație liniară neomogenă de ordinul întâi, pe care o rezolvăm cumetodele cunoscute.
Seminar:
Considerăm valorile:
.
20,1,0,02,0,1,0,25,0,5 0 k n sa a. Scrieți modelul lui Solow în mărimi per capita. b. Determinați numeric punctele fixe ale funcțieit k :
01 k
67,65,0
1,002,0 75,0/1)1/(1
2
sa
nk
c. Scrieți ecuația de dinamică a înzestrării tehnice a muncii determinată prin aproximare liniară:
k k n
k sak k t t 1
1
11
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
96/283
96
59,091176,0
91176,0*67,691176,067,667,6*
*02,01
67,651,025,01,0167,6
1
11
125,0
t
t t
t
k k k
x xk
59,091176,0 1 t t k k Ecuație liniară, neomogenă, de ordinul unu, cu coeficienți constanți:
117489,1 t t k k ecuația omogenă.
Facem ipoteza că soluția este de format
t k 191176,0 t t
Împărțim prin 01t .Ecuația caracteristică este:
91176,0 Soluția generală a ecuației omogene:
t Gt C k )91176,0(
Soluția particulară:
Dk P t Punem condiția ca soluția particulară să verifice ecuația neomogenă:
59,091176,0 D D 67,608824,0/59,0 D
67,6)91176,0( t P t Gt t C k k k Constanta generalizată:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
97/283
97
33,13
67,620
C
C
Soluția:
67,6)91176,0(33,13 t t k Reprezentați grafic în EXCEL soluția obținută.
Sisteme dinamice discrete de ordin superior
Exemplu: Modelul ciclului comercial al lui HicksModel de tipul multiplicatorului accelerator al lui Samuelson cu anumite particularități.
Modelul:
t t t I C Y - venitul în structura cererii este sumaîntre consum șiinvestiții.
1 t t Y cC consumul în perioadat este în funcție de venitul perioadei precedente, 10 c este propensitatea marginală și medie către consum. Investițiile au două componente: investițiile autonome și investițiile în funcție devenit:
A
t
Y
t t I I I
0),( 21 k Y Y k I t t Y t investițiile sunt funcție de sporul absolut alvenitului în intervalul 2,1 t t , k>0 este coeficient de accelerare carearată viteza de transformare a sporului de venit în investiții.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
98/283
98
0,0,)1( 00 g A g A I t At investiția autonomă crește cuo rată constantă g .
Substituind în ecuația de distribuție a venitului obținem:
)()1( 2101 t t t t t Y Y k g AY cY Sau, rearanjând termenii:
t t t t g AkY Y k cY )1()( 021
0)( 21 t t t kY Y k cY ecuația omogenă;
Facem ipoteza că soluția este de forma:t
t Y Punem condiția să verifice ecuația omogenă:
0/0)( 221 t t t t k k c
0)(2 k k c
)()2(24 222 k f cck k k k c parabolă convexă care intersectează abscisa (axa Ok) în două puncte
22,1 )1( sk , unde c s 1 este propensitatea marginală
către economii, egală cu propensitatea medie.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
99/283
99
1)1(,1)1( 22 s s
0)( k f , în afara rădăcinilor lui , 21 , k k k k .Rădăcinile ecuației caracteristice vor fi reale și diferite:
2,121 ; ,
0)( k f , între rădăcinile lui 21, k k k , rădăcinileecuației caracteristice vor fi complexe conjugate,
ibaC 2,12,1 , 0)( k f pentru rădăcinile lui
2)1( sk .
Rădăcinile ecuației caracteristice vor fi reale și egale 2,121 ;
Zonele de stabilitate :
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
100/283
100
Zona A:
01)1( 2 sk
2,121 ;
Mișcare monotonă: 2,1,1 ii mișcare amortizată/convergentă Soluția:
P t
t t t Y A AY )()( 2211
Zona B:
01)1( 2 k s
ibaC 2,12,1 ,
P
t t
t Y t At Ar Y sincos 21 22 bar modulul numărului complex
)/( abarctg argumentul numărului complex
,1r mișcare oscilantă convergentă Zona C:
0)1(1 2 sk Rădăcini complexe conjugate:
P t t t Y t At Ar Y sincos 21
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
101/283
101
1r mișcare oscilantă divergentă Zona D:
0)1(1 2 k s 2,1,1 ii , mișcare monotonă divergentă.
Soluția:
P t
t t t Y A AY )()( 2211
Zona H:
1k 22 )1()1( sk s
P t t t Y t At Ar Y sincos 21 Mișcare oscilantă.
Zona E:
01)1( 2 sk
R ădăcini reale egale:
P t
t t Y t A AY ))(( 121
1
Mișcare monotonă divergentă
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
102/283
102
Zona F:
01)1( 2 sk
1 R ădăcini reale egale:
P t
t t Y t A AY ))(( 121
Mișcare monotonă convergentă.
Determinarea soluției particulare:
Căutăm o soluție particulară de forma termenului liber:
t P t g DY )1(
Pentru determinarea constantei D, utilizăm metoda coeficienților nedeterminați.
Punem condiția cat P
t g DY )1( să verifice ecuația neomogenă: t
t t t g AkY Y k cY )1()( 021 t t t t g A g kD g Dk c g D )1()1()1()()1( 0
21
20
2
)1()1()()1( g AkD g Dk c g D
k g k c g g A
D)1)(()1(
)1(2
20
t P
t g
k g k c g
g AY )1(
)1)(()1(
)1(2
20
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
103/283
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
104/283
104
Obs:
impara functie xctg xctg
impara functie xtg xtg
impara functie x x
para functie x x
)()(
)()()sin()sin(
)cos()cos(
12111
)1,1(0,263)171,27sin()171,27cos(412,150
0,263100
A A
A
7,267
0,163
2
1
A
A
t t t t t Y )1,1(0,263)171,27sin(7,267)171,27cos()0,163(1412 t Y t I At I 15,0 t t Y C 21 t t Y Y At Y t t t I I C Y 0 -12
Temă:
50,100;100;1,0;5,2;75,0 100 Y Y A g k c
SISTEME DINAMICE MULTIDIMENSIONALE CU VARIABILECONTINUE
Sisteme de ecuații simultane cu variabile continue
)()()()()()()()(
22221212
12121111
t g t xat xat xt g t xat xat x
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
105/283
105
Coeficienții 2,1,, jiaij cunoscuți,
Funcțiile2,1),( it g
i date.Rezolvăm ecuația vectorială omogenă:
)()()(
)()()(
2221212
2121111
t xat xat x
t xat xat x
)(
)()(
2
1
t x
t xt X
vector de stare
)(
)()(
2
1
t g
t g t g vector de comandă decizie, instrumental.
Soluția generală a sistemului omogen:
2
1)exp()( K K
At t X G
Obs: )exp( At este o matrice cun linii șin coloane, se numește matricefundamentală de soluții.
2
1
K
K K
vector de constante generalizate.
Determinarea funcției )exp( At :
2221
1211
aaaa
A matricea de structură.
Valorile proprii ale matricei A:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
106/283
106
0)det( I A 0
2221
1211
aa
aa ecuația caracteristică,
0)()(
0))((
211222112211
2
21122211
aaaaaa
aaaa
ecuația caracteristică.
1. Metoda polinoamelor de interpolare Silvester-Lagrange (numai încazul rădăcinilor reale)
Aproximăm funcția )exp( At unde A este o matrice, cu un polinom degard (n-1 ), pentru un sistem dinamic cu un vector de staren-dimensional: polinom Silvester – Lagrange.
Pentrun=2, polinomul S-L este:t t e
I Ae
I A A P 12
21
2
12
1)(
În caz general, pentru un sistemn dimensional:
n
k
t
n
k j jk
n
k j j
At k e
I A
e A P 1 )(
)(
Cazulrădăcinilor multiple: Kalvin Lancaster“Analiza economică matematică “, Editura Științifică,București, 1973: în sistemele economice reale se întâlnesc rar valori propriimultiple, cu un ordin de multiplicitate mai mare decât 2.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
107/283
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
108/283
108
CURS 5
SISTEME DINAMICE MULTIDIMENSIONALE CU VARIABILECONTINUE
ExempluStabilitatea dinamică a echilibrului cerere- ofertă: cazul multidimensional Stabilitatea dinamică ia în considerare evoluția prețului în timp în funcție deanumite reguli specifice fiecărei piețe.
Stabilitate dinamică a pieței în sens Walras: piața posedă această proprietatedacă traiectoria de evoluție a prețului tinde către prețul de echilibru static.
Considerăm sistemul Walrasian: Vectorul funcțiilor de cerere pem piețe:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
109/283
109
),...(
),...()(
1
11
mm
m
p p D
p p D p D
funcție vectorială de variabilă vectorială a
cererilor pem piețe.
),...(
),...(
)(
1
11
mm
m
p pS
p pS
pS funcția vectorială a ofertei pem piețe.
)()(
),...(
),...(
)(
1
11
pS p D
p p E
p p E
p E
mm
m
funcția vectorială a
cererii excedentare.Condiția de echilibru general:
m j p p E m j ,...,1,0),...,( 1 Mecanismul de reglare a pieței către echilibru, în conformitate cu legile normaleale cererii și ofertei:
satb p satb p p E
echilibru pentru p pS p p D
jm j
m jm j
),...,(
:),...,(),...(
1
11
satb p satb p p E
echilibru pentru p pS p p D
jm j
m jm j
),...,(
:),...,(),...(
1
11
Condițiile J.K. Hicks de reglare pieței către echilibru:
0),...,( 1
j
m j
dp
p pdE
, adică legile normale ale cererii și ofertei.
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
110/283
110
J.K. Hicks distinge două tipuri destabilitate statică:
a. Stabilitate statică imperfectă: modificare unui preț j p distruge echilibrul pe celelalte piețe , care trebuiesc apoi reechilibrate.
b. Stabilitate statică perfectă:modificare unui preț j p , distruge echilibrul pe piața j și pe alte (k-1) piețe, care treuie reechilibrate, celelalte (m-k ) piețerămân în echilibru.
Considerăm modificarea totală a cererii excedentare pe piața j:
mm
j j j dpdp
pdE dpdp
pdE pdE )(...)()( 11
Notăm:
k
j jk
dp
pdE a
)( modificarea cererii excedentare pe piața j, cauzată de
modificaea prețului pe piațak. Atunci diferențiala totală a funcției de cerereexcedentară este:
m jm j j dpadpa pdE ...)( 11 Condiția de stabilitate statică imperfectă:
jk mk dpadpa pdE
dpadpadpadE
mkmk k
m jm j j j
,,1)(0
...
11
2211
Sistem algebric cum ecuații șim necunoscute m jdp j ,1, .Aplicăm regula lui Cramer:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
111/283
111
D
DdE dp jj j j
mmm
m
aa
aa D
1
111
determinantul matricei sistemului, adică determinantul
matricii Jacobi a derivatelor parțiale ale funcțiilor de cerere excedentară.
jj D este cofactorul, minorul cu semn, ataşat elementului jja aldeterminantului asociat matricei sistemului, obținut prin dezvoltrea după minorii principali de ordin (m-1).
m j D D
dp
dE
jj j
j ,1,0 condiția de stabilitate statică imperfectă.
Condiția este satisfăcută numai dacă D determinantul asociat matricei Jacobia sistemului și minorii principali de ordin (m-1) și jj D au semne contrare.
Condiția de stabilitate statică imperfectă este ca toți minorii principali deordinul (m- 1) asociați matricei sistemului să aibe semnul opus luideterminantului D, adică matricea Jacobian a sistemului să fie negativ definită.
Condiția de stabili tate sta tică perfectă
a. Se modifică 0, j j dp p , variază cererea excedentară pe piața j, 0 jdE ,
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
112/283
112
celelalte m j jk ,1, piețe rămân în echilibru, ne modificându-se prețurile pe aceste piețe.
jk mk dpa jk dpdpa pdE
jkj
k j jj j
,,1,0,0,)(
Condiția de stabilitate statică perfectă:
m jadp
dE jj
j
j ,1,0 adică, tocmai condiția Hicksiană.
b. Se modifică 0, j j dp p , variază cererea excedentară pe piața j, 0 jdE ,
se distruge echilibrul pe piațah, pentru restabilirea echilibrului trebuie modificat
h p .Celelalte prețuri nu trebuiesc modificate pentru că piețele corespunzătoarerămân în echilibru.
hhh jhjh
h jh j jj j
dpadpa pdE
dpadpa pdE
)(0
)(
Utilizăm regula lui Cramer pentru determinarea deviației prețului jdp
hhhj
jh jj
hh j j
aa
aaa
dE dp sau:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
113/283
113
0hh
hhhj
jh jj
j
j
a
aa
aa
dp
dE
condiția Hicks.
Întrucât din condiția (a) implică0hha
, rezultă:
h jaa
aa
hhhj
jh jj
,,0
c. Se modifică 0, j j dp p , variază cererea excedentară pe piața
j se modifică: 0 jdE
Se distruge echilibrul pe piețelek, h, care vor trebui reechilibrate, celelalte piețerămân în echilibru:
k kk hkh jkjk
k hk hhh jhjh
k jk h jh j jj j
dpadpadpa pdE
dpadpadpa pdE
dpadpadpa pdE
)(0
)(0
)(
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
114/283
114
0)(
kk khkj
hk hhhj
jk jh jj
kk kh
hk hh
j j
aaa
aaa
aaa
aa
aa
pdE dp
condiția Hicks
Condiția de stabilitate statică este:
mk jh D
D
dp
dE
j
j,1,,,0
2
3
Întrucât din condiția (b) rezultă 02 D , verificarea condiției (c) impune:
03
kk khkj
hk hhhj
jk jh jj
aaa
aaa
aaa
D
Generalizând pe un număr crescând de piețe, rezultă condiția necesară și suficientă de stabilitate statică perfectă: matricea Jacobian să fie negativdefinită(minorii principali de ordin (m-1), (m-2), (m- 3),..să aibă semnealternative).
0 jja , 0kk kh
hk hh
aa
aa,
0
kk khkj
hk hhhj
jk jh jj
aaa
aaa
aaa
, etc..
Stabilitatea dinamică a modelului:
Considerăm evoluția prețurilor dată de relațiile:
m jt pt p E F t p m j j j ,1)),(),...,((()( 1
Funcțiile j F au același semn cu funcțiile j E , prin construcție:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
115/283
115
m j E F j j ,1,sgnsgn Facem ipoteza că funcțiile j F sunt liniare în j E :
m j E k F j j j ,1(.),(.) Iar funcțiile j E sunt neliniare în p.
Considerăm vectorul prețurilor de echilibru: eme p p ,...,1 . Liniarizămfuncțiile j F prin dezvoltare în serie până la ordinal unu:
))(()(
(.)))((
)(
(.)),...,()( 11
11
emm
m
j j
e j j
em
e j j j pt pt p
E k pt p
t p
E k p p E k t p
În punctul de echilibru, cererea excedentară este zero:
m j p p E eme
j ,1,0),...,( 1 Notăm:
m j pt pt p e j j j ,1,)()( variabilele abatere și:
m jit p
E k ai
j j ji ,1,,)(
(.)
Rezultă:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
116/283
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
117/283
117
1)(
(.),1)(
(.)
4)(
(.),2
)((.)
2
2
1
2
2
1
1
1
t p E
t p E
t p E
t p E
Stabilitatea statică
1. Stabilitateastatică imperfectă
- Piața 1: se modifică prețul 1 p distrugând echilibrul pe piața 1 și pe piața 2, care trebuie reechilibrată
00, 211 dpdp p
-
2221212
2121111
)(0
)(
dpadpa pdE
dpadpa pdE
212
211
11)(0
42)(
dpdp pdE
dpdp pdE
21
1142
22
11 a
dE dp
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
118/283
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
119/283
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
120/283
120
Vectorul propriu la dreapta2w :
2
2
2
w Aw
22
21
22
21 )
27
21
(11
42
w
wi
w
w
Alegem prima ecuație drept principală:
2221 )4(2
7
2
3ww
i
8732
2
212
iw
ww
Considerăm 1 Matriceavectorilor proprii la dreapta (coloană):
873
873
11
iiW
Matricea vectorilor proprii la stânga:
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
121/283
121
7
4
2
1
72
37
421
72
3
873
873
11 1
1
ii
iiiiW V
))27sin()27(cos(0
0))27
sin()27
(cos(
0
0
)2
1(
)21
(
)27
21
(
)27
21
(
t it e
t it e
e
e
t
t
t i
t i
)27
cos(4)27
sin(
7
12)
27
sin(
7
8
)27
sin(7
8)
27
cos()27
sin(73
)2/1(
t t t
t t t eV W e t At
2
3)0( p
)0()( pet p At Temă:
Verificați stabilitatea statică și dinamică a pieței știind că: 1
)()(
;2)()(
;1)()(
;1)()(
2
222
1
221
2
112
1
111 t p
t E a
t pt E
at pt E
at pt E
a Știind că
1
2)0( p , determinați traiectoria de evoluție a prețurilor.
Exemplul 2:
M odelul I S- LM dinamic varianta continuă
8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice
122/283
122
Piața bunurilor:
10)()( ct ycat c d )()()( t taxt yt yd
0,0)()( 00 iit r iit i
0,0)()( 00 t
Top Related