Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătaţi că numărul ( )3 4 3 27+ − este natural.
5p 2. Calculaţi (1) (2) ... (10)f f f+ + + pentru funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3f x x= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )27 7log 8 log 6x x+ = .
5p 4. După o scumpire cu 30%, preţul unui obiect este 325 de lei. Determinaţi preţul obiectului înainte de scumpire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,3P şi ( )3,3R . Determinaţi coordonatele
punctului Q , ştiind că R este mijlocul segmentului PQ .
5p 6. Arătaţi că 1
sin10 sin 30 sin1702
° + ° − ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele
3 1
2 2A
− = −
şi 0 1
1 0B
=
.
5p a) Calculaţi det A .
5p b) Arătaţi că 1 1
1 1B A A B
⋅ − ⋅ = − −
.
5p c) Determinaţi numerele reale x pentru care ( )det 0A xB+ = .
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă 3( ) 12x y xy x y= − + +� .
5p a) Arătaţi că 3 3 3x x= =� � , pentru orice număr real x . 5p b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x x=� .
5p c) Calculaţi 1 2 ... 2014� � � .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) xf x e x= − .
5p a) Calculaţi ( )'f x , x∈ℝ .
5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 0x = , situat pe graficul
funcţiei f .
5p c) Demonstraţi că 1xe x≥ + , pentru orice x∈ℝ .
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ →ℝ , 1
( ) 3f xx
= − .
5p a) Calculaţi ( )( )2
1
3 f x dx−∫ .
5p b) Determinaţi primitiva ( ): 0,F +∞ →ℝ a funcţiei f pentru care (1) 3F = .
5p c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei
:[1,2]g → ℝ , ( ) ( )g x xf x= .
Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
1
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Barem de evaluare şi de notare
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )3 4 3 12 3 3+ = +
12 3 3 3 3 12+ − = ∈ℕ
2p
3p
2. ( )(1) (2) ... (10) 2 1 2 ... 10 30f f f+ + + = + + + + =
140=
2p
3p
3. 2 28 6 6 8 0x x x x+ = ⇒ − + =
Rezultă 1 2x = şi 2 4x = , care verifică ecuaţia
2p
3p
4. Se notează cu x preţul înainte de scumpire 30% 325x x⇒ + ⋅ =
250x = 2p
3p
5. R mijlocul lui ( )PQ ⇒
2
P QR
x xx
+= şi
2
P QR
y yy
+=
5Qx =
3Qy =
1p
2p
2p
6. sin170 sin10° = °
1sin10 sin 30 sin170 sin 30
2° + ° − ° = ° =
2p
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 3 1det 6 2
2 2A
−= = − =
−
4=
3p
2p
b) 2 2
3 1B A
− ⋅ = −
1 3
2 2A B
− ⋅ = −
1 1
1 1B A A B
⇒ ⋅ − ⋅ = − −
2p
3p
c) ( ) 2
3 1det 3 4
2 2
xA xB x x
x
− ++ = = − − +
+ −
2
13 4 0 4x x x+ − = ⇔ = − şi 2 1x =
3p
2p
2.a) 3 3 3( 3) 12 3x x x= − + + =� , pentru orice număr real x
3 3 3(3 ) 12 3 3 3 3x x x x x= − + + = ⇒ = =� � � , pentru orice număr real x 2p 3p
b) 2 6 12x x x x= − +� 2 2
6 12 7 12 0x x x x x− + = ⇒ − + =
1 3x = şi 2 4x =
1p
2p
2p
Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
2
c) ( ) ( )1 2 ... 2014 1 2 3 4 5 ... 2014= =� � � � � � � � �
( )3 4 5 ... 2014 3= =� � � �
2p
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( )''( ) 'xf x e x= − =
1xe= − , pentru orice x∈ℝ
3p
2p
b) ( ) ( )( )0 0 0y f f x′− = −
( )0 1f = , ( )0 0f ′ = ⇒ ecuaţia tangentei este 1y =
2p
3p
c) '(0) 0f = ; ( )' 0f x < , pentru ( ),0x∈ −∞ şi ( )' 0f x > , pentru ( )0,x∈ +∞
( ) ( )0 1xf x f e x≥ ⇒ ≥ + , pentru orice x∈ℝ
3p
2p
2.a)
( )( )2 2
1 1
13 f x dx dx
x− = =∫ ∫
2ln ln 2
1x= =
2p
3p
b) ( ) 1
3f xx
= − ⇒ o primitivă F a funcţiei f este de forma ( ) 3 lnF x x x c= − + , unde c∈ℝ
(1) 3 0 ( ) 3 lnF c F x x x= ⇔ = ⇒ = −
3p
2p
c)
( ) ( ) ( )2 2 2
22 2
1 1 1
3 1 9 6 1V g x dx x dx x x dxπ π π= = − = − + =∫ ∫ ∫
( )3 2 23 3 13
1x x xπ π= − + =
2p
3p
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XI-a Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Simulare pentru elevii clasei a XI-a
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul real m din egalitatea 32 16 2m + = − .
5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3 2f x x x= − + . Determinaţi numerele reale x pentru care
( ) 2f x = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 28 2x x−= . 5p 4. O firmă foloseşte pentru publicitate 3000 de lei, ceea ce reprezintă 5% din profitul anual.
Determinaţi profitul anual al firmei. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuaţie 2 1 0x y− + = . Determinaţi numărul
real a , ştiind că punctul ( ),2A a aparține dreptei d .
5p 6. În triunghiul ABC dreptunghic în A , 3AB = şi 4AC = . Determinaţi sinB . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinanţii
1 1 1
2 4 1
3 8 1
d = și ( ) 4 1
1 4
a aD a
a a
− −=
+ −, unde a este număr real.
5p a) Arătați că 1d = . 5p b) Determinaţi numărul real a pentru care ( ) 1D a = .
5p c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1A , ( )2,4B şi ( )3,C m . Determinaţi numerele
reale m știind că 1
2ABC∆ =A .
2. Se consideră matricea ( ) 1
2 1x
A x =
, unde x este număr real.
5p a) Calculați ( ) ( )2 2A A+ − .
5p b) Determinați numerele reale p și q pentru care ( ) 42
5p
Aq ⋅ =
.
5p c) Arătaţi că matricea ( )A x este inversabilă pentru orice număr întreg x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1
xf x
x=
+.
5p a) Calculaţi ( )1
limx
f x→
.
5p b) Calculaţi ( )limx
xf x→+∞
5p c) Determinaţi ecuația asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei f .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 22, 2
4 4, 2
x xf x
x x x
− <= − + ≥
.
5p a) Calculaţi ( ) ( )1 3f f⋅ .
5p b) Arătaţi că funcția f este continuă în punctul 2x = .
5p c) Demonstraţi că ( ) ( ) 0f a f b⋅ < , pentru orice 2a < și 2b > .
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XI-a Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. c)
Matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare. SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 8 4 2m + = − 2p 6m = − 3p
2. 2 23 2 2 3 0x x x x− + = ⇒ − = 3p
1 0x = , 2 3x = 2p 3. 3 22 2x x−= 2p
1x = − 3p 4. 5
3000100
x⋅ = , unde x este profitul anual al firmei 2p
60000x = de lei 3p 5. ( ),2 2 2 1 0A a d a∈ ⇒ − ⋅ + = 2p
3a = 3p 6. 5BC = 3p
4sin
5
ACB
BC= = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1.a) 4 16 3 12 8 2d = + + − − − = 3p
23 22 1= − = 2p b)
( ) ( ) ( )( )2 2 24 14 1 1 16 8 1 17 8
1 4
a aD a a a a a a a a
a a
− −= = − − − + = − + − + = −
+ − 3p
1 17 8 2a a= − ⇔ = 2p c) 1 1 1
2 4 1 7
3 1
m
m
= − 2p
7 1 6m m− = ⇒ = sau 8m = 3p 2.a)
( ) 1 22
2 1A
=
și ( ) 1 22
2 1A
− − =
2p
( ) ( ) 2 02 2
4 2A A
+ − =
3p
b) 1 2 4 2 4
2 1 5 2 5
p p q
q p q
+ ⋅ = ⇒ = + 3p
2p = și 1q = 2p c) ( )( )det 1 2A x x= − 2p
1 2x x∈ ⇒ −ℤ este număr impar ( )( )1 2 0 det 0x A x⇒ − ≠ ⇒ ≠ ⇒matricea ( )A x este
inversabilă pentru orice număr întreg x 3p
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XI-a Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1.a) ( ) 2 21 1
1lim lim
1 1 1x x
xf x
x→ →= = =
+ + 3p
1
2= 2p
b) ( )
2 2
22
2
lim lim lim11 1
x x x
x xxf x
x xx
→+∞ →+∞ →+∞= = =
+ +
3p
2
1lim 1
11x
x
→+∞= =
+
2p
c) ( ) 2lim lim 0
1x x
xf x
x→+∞ →+∞= =
+ 3p
Ecuaţia asimptotei spre +∞ la graficul funcției f este 0y = 2p 2.a) ( )1 1f = − 2p
( ) ( ) ( ) 3 1 1 3 1f f f= ⇒ ⋅ = − 3p b) ( ) ( )
2 22 2
lim lim 2 0x xx x
f x x→ →< <
= − = 2p
( ) ( )2
2 22 2
lim lim 4 4 0x xx x
f x x x→ →> >
= − + = 2p
( )2 0f f= ⇒ este continuă în punctul 2x = 1p c) ( ) 0 2f x x= ⇒ = 1p
f continuă pe f⇒ℝ are semn constant pe ( ),2−∞ și pe ( )2,+∞ 2p
( ) ( ) ( ) ( )1 3 0 0f f f a f b⋅ < ⇒ ⋅ < pentru orice 2a < și 2b > 2p
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XII-a Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. c)
Matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XII-a
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice ( ) 1n na ≥ , știind că 2 4a = .
5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2014 2013f x x= − . Calculați ( )2014(1)f .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 3 63 3x x− += . 5p 4. Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să
fie divizor al lui 10. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,3A şi ( )1,1B − . Determinați ecuația dreptei
AB .
5p 6. Arătați că 53cos30 2 sin 452
° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 1 1 11 2 31 4 9
A =
.
5p a) Calculați detA .
5p b) Determinaţi numărul real m pentru care matricele 3A mI+ și 0 1 11 1 31 4 8
sunt egale, unde
3
1 0 00 1 00 0 1
I =
.
5p c) Rezolvați ecuația matriceală 013
AX =
, unde ( )3,1
xX y
z
= ∈
ℝM .
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie comutativă 5x y x y∗ = + − .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )2 2 2014 2014∗ − = ∗ − .
5p b) Verificați dacă legea „ ”∗ este asociativă.
5p c) Calculaţi ( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 1 0 1 2 3 4− ∗ − ∗ − ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , 3( ) 3 7f x x x= − + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )
0
0lim 3x
f x f
x→
−= − .
5p b) Calculaţi ( )
( )( )lim2 1 3 2x
f x
x x x→+∞ + +.
5p c) Demonstraţi că ( ) 5f x ≥ pentru orice [ )1,x∈ − +∞ .
2. Se consideră funcţiile :f →ℝ ℝ , ( ) 2xf x e x= + și :F →ℝ ℝ , ( ) 2 2014xF x e x= + + .
5p a) Calculaţi ( )( )2
1
xf x e dx−∫ .
5p b) Arătați că funcția F este o primitivă a funcţiei f .
5p c) Calculați ( ) ( )1
0
f x F x dx∫ .
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XII-a Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. c)
Matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )1 2 3 2 2 2a a a a r a a r+ + = − + + + = 3p
23 12a= = 2p 2. (1) 1f = 2p
( )2014(1) 1f = 3p
3. 2 3 6x x− = + 2p 1x = − 3p
4. Numerele naturale de o cifră, divizori ai lui 10, sunt 1, 2 și 5, deci sunt 3 cazuri favorabile 2p Sunt 10 numere naturale de o cifră, deci sunt 10 cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 3
nr. cazuri posibile 10p = = 2p
5. 3 1:
1 3 1 1
y xAB
− −=− − −
3p
: 2AB y x= + 2p 6. 3
cos302
° = , 2
sin 452
° = 2p
3 2 53 cos30 2 sin 45
2 2 2° + ° = + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 1 1
det 1 2 3 18 4 3 2 12 9
1 4 9
A = = + + − − − = 3p
2= 2p b)
3
1 1 1
1 2 3
1 4 9
m
A mI m
m
+ + = + +
3p
1 1 1 0 1 1
1 2 3 1 1 3 1
1 4 9 1 4 8
m
m m
m
+ + = ⇒ = − +
2p
c) 0
2 3 1
4 9 3
x y z
x y z
x y z
+ + = + + = + + =
2p
1, 1, 0x y z= − = = 3p
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XII-a Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
2.a) ( )2 2 5∗ − = − 2p
( ) ( ) ( )2014 2014 5 2 2 2014 2014∗ − = − ⇒ ∗ − = ∗ − 3p b) ( ) ( )5 10x y z x y z x y z∗ ∗ = + − ∗ = + + − 2p
( ) ( ) ( )5 10x y z x y z x y z x y z∗ ∗ = ∗ + − = + + − = ∗ ∗ , pentru orice numere reale x , y și z 3p c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 4 3 3 2 2 1 1 0− ∗ − ∗ − ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = − ∗ ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ = 2p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 15 15 0 40= − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ = − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ = − ∗ − ∗ = − 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )0
0lim 0x
f x ff
x→
−′= 2p
( ) ( )23 3 0 3f x x f′ ′= − ⇒ = − 3p
b)
( )( )( )
32 3
3
3 71
lim lim1 22 1 3 2
2 3x x
xf x x x
x x xx
x x→+∞ →+∞
− + = =
+ + + +
2p
1
6= 3p
c) ( ) 0 1f x x′ = ⇒ = − sau 1x = 2p
f descrescătoare pe [ ]1,1− , f crescătoare pe [ )1,+∞ și ( ) ( ) [ )1 5 5, 1,f f x x= ⇒ ≥ ∀ ∈ − +∞ 3p 2.a)
( )( )2 2
1 1
2xf x e dx x dx− = =∫ ∫ 2p
22
13x= = 3p
b) ( ) ( )2 2014 2x xF x e x e x
′′ = + + = + = 3p
( )f x= pentru orice x∈ℝ , deci F este o primitivă a funcţiei f 2p c)
( ) ( ) ( )1 2 1
00
2
F xf x F x dx = =∫ 3p
( )2 2 22015 2015 4030
2 2
e e e+ − += = 2p
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 2 1
3 13 3
⋅ − =
.
5p 2. Determinați numărul real m știind că ( ) 1f m = , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 4f x x= − .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 22 1 1x + = . 5p 4. În anul 2013, profitul anual al unei firme a fost de 100000 de lei, ceea ce reprezintă 4% din
valoarea veniturilor anuale ale firmei. Determinați valoarea veniturilor anuale ale firmei în anul 2013. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele (5,6)A , (2,6)B şi (5,2)C . Arătați că triunghiul
ABC este dreptunghic.
5p 6. Arătați că 2 2tg 60 tg 45 4° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele
3 1
5 2A
= − −
,
2 1
5 3B
= − −
şi 21 0
0 1I
=
.
5p a) Arătaţi că det 1A = − . 5p b) Arătaţi că 22A B B A I⋅ − ⋅ = .
5p c) Determinaţi numărul real x știind că 2A A xA I⋅ − = . 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie ( )2 1x y x y xy∗ = + − − .
5p a) Arătaţi că 1 2 2∗ = . 5p b) Arătaţi că 2 2 2x x∗ = ∗ = pentru orice număr real x . 5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x x∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )1 xf x x e= − .
5p a) Arătaţi că ( )0
lim 1x
f x→
= − .
5p b) Arătaţi că ( ) ( )' xf x e f x= + pentru orice număr real x .
5p c) Arătaţi că ( )
0
1lim 0x
f x
x→
+= .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 23 2f x x x= + .
5p a) Arătaţi că 2
2
1
3 7x dx =∫ .
5p b) Determinați primitiva :F →ℝ ℝ a funcției f pentru care ( )1 2014F = .
5p c) Determinaţi numărul natural n , 2n ≥ ştiind că ( )
1
13
2
n f xdx
x=∫ .
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9 Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. c)
Matematică M_tehnologic Barem de evaluare şi de notare
Varianta 9 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 1 1
3 3 3− = 2p
13 1
3⋅ = 3p
2. 4 1m − = 3p 5m = 2p
3. 22 1 1x + = 3p 0x = , care verifică ecuația 2p
4. 100000 4%x= ⋅ , unde x reprezintă venitul anual al firmei 3p 2500000x = de lei 2p
5. 3AB = , 4AC = și 5BC = 3p 2 2 2AB AC BC+ = , deci ABC∆ este dreptunghic 2p
6. tg60 3° = și tg45 1° = 2p 2 2tg 60 tg 45 3 1 4° + ° = + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 3 1det
5 2A = =
− − 2p
( ) ( )3 2 1 5 1= ⋅ − − ⋅ − = − 3p
b) 1 0
0 1A B
⋅ =
2p
2
1 0 2 0 1 0 1 02
0 1 0 2 0 1 0 1B A A B B A I
⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ = − = =
3p
c) 4 1 4 3 1
5 1 5 5 1 2
x xA A A A xA
x x
− − ⋅ = ⇒ ⋅ − = − − − + − +
3p
4 3 1 1 01
5 5 1 2 0 1
x xx
x x
− − = ⇒ = − + − +
2p
2.a) ( )1 2 2 1 2 1 1 2∗ = + − − ⋅ = 3p
4 2 2= − = 2p b) ( )2 2 2 1 2 2x x x∗ = + − − ⋅ = 2p
( )2 2 2 1 2 2 2x x x x∗ = + − − = = ∗ pentru orice număr real x 3p c) 2 24 2 3 2 0x x x x x− + − = ⇔ − + = 3p
1 1x = şi 2 2x = 2p
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9 Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )0 0
lim lim 1 x
x xf x x e
→ →= − = 2p
01 1e= − ⋅ = − 3p
b) ( ) ( )' 1 1x xf x e x e= ⋅ + − = 3p
( )xe f x= + pentru orice număr real x 2p
c) ( ) ( ) ( )0 0
1 0lim lim
0x x
f x f x f
x x→ →
+ −= =
− 2p
( )' 0 0f= = 3p
2.a) 22 3
1
23
1x dx x= =∫ 3p
8 1 7= − = 2p b) O primitivă F a funcţiei f este de forma 3 2( )F x x x c= + + , unde c ∈ℝ 3p
( ) 3 21 2 2012 ( ) 2012F c c F x x x= + ⇒ = ⇒ = + + 2p
c) ( ) ( )2
1 1
3 4 73 2
2
n nf x n ndx x dx
x
+ −= + =∫ ∫ 3p
22
13 4 7 13 10
3 4 20 02 2 3
n nn n n
+ − = ⇔ + − = ⇒ = − nu este număr natural şi 2 2n = 2p
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. c) – 2 iulie 2014 Matematică M_tehnologic
Varianta 1 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )5 2 3 5 3 10+ − = .
5p 2. Determinați numărul real a ştiind că ( )1f a= , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 3f x x= + .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )2 2log 2 1 log 5x + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 10.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,5A şi ( )3,5B . Calculaţi distanţa de la punctul
A la punctul B .
5p 6. Arătați că 2 2 3sin 30 cos 454
° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 4 81 2
A =
, 1 21 2
B = − − și
32 4
xC =
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 0A = . 5p b) Determinaţi numărul real x știind că B C A+ = .
5p c) Arătaţi că 2B B B O⋅ + = , unde 20 00 0
O =
.
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie 4 4 12x y xy x y= + + +� .
5p a) Arătați că ( )0 4 4− = −� .
5p b) Arătaţi că ( )( )4 4 4x y x y= + + −� pentru orice numere reale x şi y .
5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 12x x =� .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ →ℝ , ( ) 1lnf x xx
= − .
5p a) Arătaţi că ( ) 2
1'
xf x
x
+= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Arătați că ( ) ( )
2
2 3lim
2 4x
f x f
x→
−=
−.
5p c) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 1x = , situat pe graficul
funcţiei f .
2. Se consideră funcţiile :f →ℝ ℝ , ( ) xf x e x= − şi :F →ℝ ℝ , ( )2
12
x xF x e= − − .
5p a) Arătaţi că 1
0
1xe dx e= −∫ .
5p b) Arătați că funcția F este o primitivă a funcţiei f .
5p c) Calculați ( )1
0
F x dx∫ .
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1 Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. c) – 2 iulie 2014 Matematică M_tehnologic
Barem de evaluare şi de notare Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )5 2 3 10 5 3+ = + 3p
( )5 2 3 5 3 10 5 3 5 3 10+ − = + − = 2p
2. ( )1 1 3f a a= ⇒ + = 3p 4a = 2p
3. 2 1 5x + = 3p 2x = care verifică ecuația 2p
4. Sunt 9 numere de două cifre care sunt divizibile cu 10, deci sunt 9 cazuri favorabile 2p Sunt 90 de numere de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 9 1
nr. cazuri posibile 90 10p = = = 2p
5. ( ) ( )2 22 3 5 5AB = − + − 3p
1AB = 2p 6. 1
sin302
° = , 2
cos452
° = 2p
2 2 1 2 3sin 30 cos 45
4 4 4° + ° = + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 4 8det
1 2A = = 2p
4 2 1 8 0= ⋅ − ⋅ = 3p b) 4 2
1 2
xB C
+ + =
3p
4 2 4 86
1 2 1 2
xx
+ = ⇒ =
2p
c) 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2B B
− − ⋅ = = − − − −
3p
21 2 1 2 0 0
1 2 1 2 0 0B B B O
− − ⋅ + = + = = − −
2p
2.a) ( ) ( ) ( )0 4 0 4 4 0 4 4 12− = ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + =� 3p 16 12 4= − + = − 2p
b) 4 4 16 4x y xy x y= + + + − =� 2p
( ) ( ) ( )( )4 4 4 4 4 4 4x y y x y= + + + − = + + − pentru orice numere reale x şi y 3p
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1 Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) ( )24 4 12x + − = 2p
218 0 8x x x+ = ⇒ = − și 2 0x = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
1 1'f x
x x
= − − =
3p
2 2
1 1 1x
x x x
+= + = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( ) ( ) ( )2
2lim 2
2x
f x ff
x→
−′= =
− 3p
2
2 1 3
42
+= = 2p
c) ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − 2p
( )1 1f = − , ( )' 1 2f = , deci ecuaţia tangentei este 2 3y x= − 3p 2.a) 1
0
1
0x xe dx e= =∫ 3p
1 0 1e e e= − = − 2p b)
( )'2
' 12
x xxF x e e x
= − − = − =
3p
( )f x= pentru orice număr real x , deci F este o primitivă a funcţiei f 2p c)
( )1 1 1 1 12 2
0 0 0 0 0
12 2
x xx xF x dx e dx e dx dx dx
= − − = − − =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2p
31 1 1 1 131 1
0 0 06 6 6x x
e x e e= − − = − − − = − 3p
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. c) – 2 iulie 2014 Matematică M_tehnologic
Varianta 5 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 2
1 31 1
2 4 − + =
.
5p 2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficul funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 4f x x= + cu
axa Oy .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 13 9x− = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să
fie mai mic sau egal cu 3.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1A , ( )4,1B şi ( )4,4C . Arătați că AB BC= .
5p 6. Determinați aria triunghiului ABC dreptunghic în A știind că 6AB = și 10BC = . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 2
2 4A
=
şi 2
1 0
0 1I
=
.
5p a) Arătaţi că det 0A = . 5p b) Arătaţi că 5A A A⋅ = .
5p c) Determinaţi numerele reale x și y pentru care 23
x yA I
y
+ = −
.
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y x y xy= + +� .
5p a) Arătaţi că ( )1 1 1− = −� .
5p b) Arătați că ( )( )1 1 1x y x y= + + −� pentru orice numere reale x și y .
5p c) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )1 3 4x x+ − =� .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 2,f +∞ → ℝ ,
1( )
2
xf x
x
−=−
.
5p a) Arătaţi că ( )3
lim 2x
f x→
= .
5p b) Arătaţi că ( )( )2
1'
2f x
x= −
−, ( )2,x∈ +∞ .
5p c) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 3x = , situat pe graficul
funcţiei f .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , 2( ) 2 1f x x x= + + .
5p a) Arătați că ( )1
1
2 1 2x dx−
+ =∫ .
5p b) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei :[0,1]g →ℝ , ( ) ( ) 2 1g x f x x= − − .
5p c) Demonstraţi că orice primitivă a funcţiei f este o funcţie crescătoare pe ℝ .
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5 Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. c) – 2 iulie 2014 Matematică M_tehnologic
Barem de evaluare şi de notare Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 21 1
12 4
− =
3p
1 31
4 4+ = 2p
2. ( )0 4f = 3p Coordonatele punctului de intersecție sunt 0x = și 4y = 2p
3. 3 1 2x − = 3p 1x = 2p
4. Numerele naturale de o cifră mai mici sau egale cu 3 sunt 0, 1, 2 și 3 , deci sunt 4 cazuri favorabile
2p
Sunt 10 numere naturale de o cifră, deci sunt 10 cazuri posibile 1p nr. cazuri favorabile 4 2
nr. cazuri posibile 10 5p = = = 2p
5. 3AB = 2p 3BC AB BC= ⇒ = 3p
6. 8AC = 2p 6 8
242ABC∆⋅= =A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 2det
2 4A = = 2p
1 4 2 2 0= ⋅ − ⋅ = 3p b) 1 2 1 2 5 10
2 4 2 4 10 20A A
⋅ = = =
3p
1 25 5
2 4A
= ⋅ =
2p
c) 1 2 1 2
3 2 4 3 2 1
x y x y x yA
y y y
+ + + = + = − − +
3p
1 2 1 00, 2
2 1 0 1
x yx y
y
+ + = ⇔ = = − +
2p
2.a) ( ) ( )1 1 1 1 1 1− = − + + − ⋅ =� 3p 0 1 1= − = − 2p
b) 1 1x y x xy y= + + + − =� 2p
( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1x y y x y= + + + − = + + − pentru orice numere reale x și y 3p
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5 Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) ( )( ) 22 2 1 4 9 0x x x+ − − = ⇔ − = 3p
1 3x = − și 2 3x = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( )3 3
1lim lim
2x x
xf x
x→ →
−= =−
2p
3 12
3 2
−= =−
3p
b) ( ) ( ) ( )( )( )2
1 2 1 2'( )
2
x x x xf x
x
′ ′− − − − −= =
− 2p
( ) ( )2 2
2 1 1
2 2
x x
x x
− − += = −− −
, ( )2,x∈ +∞ 3p
c) ( ) ( )( )3 ' 3 3y f f x− = − 2p
( )3 2f = , ( )' 3 1f = − , deci ecuaţia tangentei este 5y x= − + 3p 2.a)
( ) ( )1
2
1
12 1
1x dx x x
−
+ = + =−∫ 3p
2 0 2= − = 2p b)
( )1 1
2 4
0 0
V g x dx x dxπ π= = =∫ ∫ 2p
5 1
05 5
x ππ= = 3p
c) F este o primitivă a funcţiei ( ) ( )f F x f x′⇒ = 2p
( ) ( )21 0F x x′ = + ≥ pentru oricex ∈ℝ , deci funcţia F este crescătoare pe ℝ 3p
Top Related