8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
1/50
1
AALLCCTTUUIIRREEAA IICCAALLCCUULLUULL EELLEEMMEENNTTEELLOORR
SSTTRRAATTIIFFIICCAATTEEDDIINNMMAATTEERRIIAALLEECCOOMMPPOOZZIITTEEPPOOLLIIMMEERRIICCEE
CAPITOLUL 3
3.1. Introducere
Studiul proiectrii elementelor din materiale compozite polimerice cuarmturi din fibre relev complexitatea acestei probleme, precum i faptul c
proiectarea cu materiale omogene i izotrope constituie, de fapt, un cazparticular al primei probleme [9, 57, 77, 80].
Tendina oricrui proiectant este de a folosi metode de proiectare
cunoscute, tratnd materialele compozite ca i materialele tradiionale. Acestmod de abordare n proiectarea elementelor din materiale compozite poateconduce la erori mari, ntruct, practic fenomenele de micro- i macromecanic
sunt necunoscute proiectantului de cele mai multe ori [80].
Figura 3.1 - Schema procesului de proiectare a structurilordin materiale compozite
Pentru a realiza o proiectare simpl din punct de vedere conceptual i
corect din punct de vedere analitic este necesar elaborarea unui cadru raionalde abordare, figura 3.1. Aceasta pornete de la puni de conexiune, inexistente lamaterialele izotrope, pentru a lega materialele de rigiditatea i rezistena final astructurii compozite.
Micromecanica este un ansamblu de concepte, modele, relaii matematice,
Armare
cu fibre
Stratificat
Matrice
Structur
MICROMECANICA MACROMECANICA
Lamela compozit
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
2/50
2
i studii utilizate pentru a determina proprietile compozitului plecnd de la
caracteristicile materialelor constituente, configuraia geometric i parametriide fabricare. Micromecanica studiaz comportarea materialelor compozite din
punct de vedere al interaciunii materialelor componente [80].
Macromecanica este un ansamblu de concepte, modele i relaiimatematice utilizate pentru a transforma proprietile lamelei de la axele sale principale (ale materialului) la axe oarecare (ale elementului sau structurii).
Macromecanica studiaz materialul compozit sub aspect macroscopic,presupunnd c acesta este omogen, iar influena componenilor este evaluat
numai prin valorile medii aparente ale caracteristicilor mecanice [80].Unitatea de baz pentru materialele compozite cu armturi din fibre este
lamela armat, [3, 57, 77, 80], ea conferind multiple posibiliti de alctuire iintroducere corect a caracteristicilor n calculul stratificatului. Stratificatuleste
un pachet de mai multe lamele armate. Lamelele sunt aezate i orientate astfelnct s conduc la atingerea caracteristicilor dorite n elementul structural
stratificat.Lamela (figura 3.2) este piesa elementar a materialului compozit, fiind
alctuit dintr-un eantion de matrice i fibre, aranjate n modul n care acestecomponente sunt dispuse n ansamblul produsului.
Figura 3.2 - Axele lamelei compozite
Proprietile fizico-mecanice ale materialelor compozite armate cu fibresunt determinate de parametri ca: diametrul fibrelor, lungimea fibrelor,fraciunea volumetric de armare, modul de aezare a fibrelor n raport cu axeleprodusului i procedeul de fabricare.
Pentru stabilirea caracteristicilor fizico-mecanice ale lamelei din materialecompozite cu armturi din fibre se alege iniial un sistem de axe ale lamelei.
n figura 3.2 se prezint schematic o lamel cu armare unidirecional;
3
(2) T
(1) L
Axa transversal
Axa longitudinal
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
3/50
3
direcia paralel cu fibrele L(1) este denumit longitudinal, iar cea
perpendicular pe fibre T(2) se numete direcie transversal i poate ficorespunztoare oricrei direcii din planul (2,3). Axele 1, 2, 3 sunt denumite
axele principale ale materialului.
Proprietile mecanice principale care intervin n proiectarea structural aelementelor din materiale compozite sunt rezistena i rigiditatea. Aceste proprieti se pot determina experimental, dar testele sunt valabile pentru un
singur sistem fibr-matrice, obinut cu un anumit proces de fabricaie [3]. Deaceea se recomand folosirea unor modele teoretice i semiempirice care permit
evaluarea caracteristicilor mecanice pe baza parametrilor ce afecteaz proprietile sistemului. Modelele teoretice nu sunt aplicabile ntotdeauna, la
proiectarea direct a elementelor fiind necesare unele corecii mai ales ndirecie transversal, totui pentru studierea caracteristicilor mecanice n direcie
longitudinal se consider c modelele existente la compozitele cu armareunidirecional continu sunt suficient de precise.
n funcie de sistemul de axe adoptat, pentru materialele compozite armatecu fibre, se definesc urmtoarele caracteristici mecanice necesare n proiectare:
y EL =E1 - modulul de elasticitate longitudinal al lamelei (n direcieparalel cu fibrele);
y ET = E2 - modulul de elasticitate transversal al lamelei (n direcieperpendicular pe fibre);
y GLT = G12 - modulul de elasticitate la forfecare al lamelei n planul(L,T) sau (1,2);
y RLT= R12 i RTL = R21 - coeficienii Poisson n planul (L,T) sau (1,2);y RtL - rezistena la traciune a lamelei n direcie longitudinal;y RtT- rezistena la traciune a lamelei n direcie trasversal;y RcL - rezistena la compresiune a lamelei n direcie longitudinal;y RcT- rezistena la compresiune a lamelei direcie transversal;y Rf(LT)=Rf(12) - rezistena la forfecare a lamelei n planul (L,T) sau
(1,2);Proporia relativ a componentelor este factorul decisiv n stabilirea
proprietilor materialului compozit. Fraciunile volumetrice se folosesc la
analiza i proiectarea compozitelor, iar cele gravimetrice n timpul fabricrii. Deaceea este necesar stabilirea expresiilor de conversie reciproc a celor dou
tipuri de fraciuni.
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
4/50
4
S considerm un material compozit cu volumul vc, n care fibrele ocup
volumul vf, iar matricea volumul vm. Acelai material are greutatea wc, fibrele augreutatea wf, iar matricea greutatea wm. Notm cu Vi Wfraciunile volumetrice
i respectiv gravimetrice. Definirea acestora se face cu relaiile:
vc = vf+ vm Vf= vf /vc Vm = vm /vc (3.1)respectiv:wc = wf + wm Wf= wf / wc Wm = wm / wc (3.2)
Exprimnd masele cu ajutorul densitilor corespunztoare:
mmffcc vvv VV!V (3.3)
Se obine astfel:
mmffc VV VV!V (3.4)
Iar prin generalizare la un numrn de componente:
!
V!Vn
1iiic V (3.5)
Prin operaii matematice similare se obine densitatea compozitului n
raport cu fraciunile gravimetrice:
mmff
c WW
1
VV!V (3.6)
Prin generalizare, se obtine:
!
V!V n
1iii
c
W
1(3.7)
unde c, f imsunt densitile compozitului, fibrei i matricei.
Expresiile fraciunilor gravimetrice devin:
m
c
m
mf
c
f
fVWVW
VV
!VV
! (3.8)
sau:
i
c
ii VW V
V! (3.9)
iar a celor volumetrice:
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
5/50
5
m
m
c
mf
f
c
fWVWV
VV
!VV
! (3.10)
sau
i
i
ci WV
V
V! (3.11)
S-a constatat c densitatea teoretic a compozitului, Vct, calculat cuajutorul fraciunilor gravimetrice difer de cea stabilit experimental Vce datoritgolurilor (porilor) din masa compozitului. Fraciunea volumetric a golurilornotat cu Vgeste obinut cu relaia:
ct
cectgV V
VV! (3.12)
Prezena golurilor n elementul compozit afecteaz sensibil unele dintre
proprietile mecanice ale acestuia. Prin creterea coninutului de goluri suntgenerate efectele de degradare n timp a proprietilor i mprtierea rezultatelor privind caracteristicile mecanice. Un compozit de calitate bun trebuie s aibsub 1% goluri n timp ce unul necorespunztor poate ajunge la un volum relativde goluri Vg = 5% [3].
3.2. Caracteristici mecanice ale lamelei compozite n sistemul de axe
principale
3.2.1. Lamela compozit armat cu fibre lungi
3.2.1.1. Caracteristicile mecanice n direcie longitudinal
Modulul de elasticitate n direcie longitudinal,EL (E1)Elaborarea modelului materialului compozitului cu armare unidirecional
se bazeaz pe ipotezele:
y fibrele au aceleai proprieti i diametre;y armturile sunt continue i paralele;y conlucrarea fibr-matrice este perfect, fr alunecri la interfa
astfel c deformaiile specifice liniare ale fazelor componente i ale
compozitului sunt identice (figura 3.3):
ccLmfc l(!I!I!I (3.13.a)
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
6/50
6
Cnd compozitul cu armtur continu unidirecional este supus unei
fore axiale Pc, (paralel cu direcia fibrelor), aceasta este preluat att de fibrePfct i de matrice Pm, figura 3.3.
mfc PPP ! (3.13.b)
Figura 3.3 Modelul de calcul a modului de elasticitate n direcielongitudinal
Scriind aria compozitului Ac ca suma ariilor pariale ale fibrelor Af imatricei Ami innd seama de expresiile fraciunilor volumetrice ale fazelor seobine:
mmffLc VV WW!W (3.14)
Difereniind ecuaia (3.14) n raport cu deformaia specific care este
identic pentru compozit, fibre i rin, rezult:
m
m
m
f
f
f
Lc
c Vd
dV
d
d
d
d
IW
IW
!
IW
(3.15)
Expresia modulului de elasticitate longitudinal pentru materialul compozit
este:
mmffL VEVEE ! (3.16)
unde EL, Ef, Em sunt modulii de elasticitate pentru compozit, fibr imatrice, respectiv.
Din ecuaiile (3.14) i (3.16) rezult c valorile proprietilor mecanicesunt proporionale cu fraciunilor volumetrice. Relaiile cunoscute sub numelede regula amestecurilorse pot generaliza pentru n faze:
!
!n
1iiiL
VEE (3.17)
sau:
Pc
Pc3
(2) T
(1) L
Transversal
Longitudinal
(cL
lc
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
7/50
7
!
W!Wn
1iiiLc
V (3.18)
Relaia (3.16) se mai poate scrie sub forma:
fmffL V1EVEE ! (3.19)
iar reprezentarea grafic a variaiei modulului de elasticitate EL n raport cufraciunea volumetric de fibr Vfeste ilustrat n figura 3.4.
Figura 3.4 - Variaia modulului de elasticitate longitudinaln raport cu fraciunea volumetric de armare
Teoretic Vf poate atinge 78,5% n reeaua ptrat i 90,67% n reeaua
hexagonal de dispunere a fibrelor, dar procentele de armare peste 75%nrutesc proprietile compozitului datorit dificultii de nvelire corect a
fibrelor de ctre matrice. Astfel conlucrarea dintre faze devine discutabil,
crescnd i volumul de goluri din masa compozitului.Trecerea de la ecuaia (3.15) la ecuaia (3.16) prin nlocuirea pantelor cu
modulii de elasticitate este posibil numai cnd ambii constitueni ai
compozitului se comport elastic.Poriunea de deformare elastic ar putea s constituie doar o mic parte a
domeniului de solicitare i este aplicabil doar la compozite din fibre de sticl irini termorigide sau/i din fibre ceramice i rini termorigide.
n general deformarea unui compozit se poate produce n patru stadii [10],dup cum urmeaz:
1 - fibrele i matricea se deformeaz liniar elastic;2 - fibrele se deformeaz elastic iar matricea se deformeaz neliniar sau
plastic;3 - fibrele i matricea se deformeaz neliniar sau plastic;4 - ruperea fibrelor urmat de ruperea compozitului.
EL
Em
Ef
0 0.5
Vf
1.00.9
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
8/50
8
Stadiul al doilea ocup, de regul, cel mai mare interval, astfel nct
modulul de elasticitate al compozitului trebuie prezis la fiecare nivel dedeformare conform relaiei:
m
m
mffL V
d
dVEE
cI
I
W! (3.20)
n care cmm
ddI
IW este panta curbei W - I pentru matrice la deformaia
specific Ic a compozitului.
Rezistena la traciune n direcie longitudinal,RtLntr-un compozit unidirecional cu armtur continu supus la ntindere n
direcia fibrelor ruperea se produce ntr-unul din urmtoarele moduri:
y ruperea concomitent a fibrelor i a matricei;y ruperea matricei cu smulgerea fibrelor i ruperea lor;y rupere matricei cu dezvelirea fibrelor.
Acceptnd ipoteza c deformaia specific la rupere a fibrelor este maimic dect a matricei, ruperea se produce la cedarea fibrelor. Presupunnd ctoate fibrele cedeaz la aceeai valoare a deformaiei specifice, se poate scrie
valoarea limit (ultim) a rezistenei compozituluiRtL n direcie longitudinal:
fmffutL V1VR f WW! I (3.21)unde:
Wfu - rezistena limit a fibrelor; *
fm IW - tensiunea n matrice la
deformaia specific de rupere a fibrelor *fI.
Dac Vf este mic, adic Vf < Vmin, matricea poate prelua toat sarcina cerevine compozitului cnd cedeaz fibrele, apoi se mai poate ncrca suplimentar.
Se accept, n general, c fibrele nu preiau eforturi (Wf = 0) la deformaii
specifice ale compozitului mai mari dect deformaia specific la ruperea
fibrelor. Compozitul cedeaz cnd tensiunea n matrice atinge rezistena limit aacestui component:
fmutL V1R W! (3.22)
unde Wmueste rezistena limit a matricei.
Wfu
Wmu
*f
)(m I
W
*
fI Imu
W
I
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
9/50
9
Din relaiile (3.21) i (3.22) se obine fraciunea volumetric minim, Vmin,
de fibr astfel nct armtura s controleze ruperea compozitului:
*
f
*f
mmufu
mmu
minVI
I
WWW
WW! (3.23)
Se observ c relaia (3.22) prezice rezistene ale compozitului mai micidect ale matricei nearmate. Pe de alt parte ecuaia (3.21) evalueaz rezistenacompozitului n raport cu fraciunea volumetric de fibr. Formulnd cerina carezistena compozitului s depeasc rezistena limit a matricei se obine Vcrit,adic fraciunea volumetric critic la care compozitul resimte efectul armrii:
*
f
*f
mfu
mmu
critVI
I
WW
WW! (3.24)
Rezistena la compresiune n direcie longitudinal,RcLCnd un compozit unidirecional este supus la o sarcin axial de
compresiune n direcia fibrelor, fibrele continue se comport ca nite barezvelte comprimate i n acest caz apare micro-flambajul fibrelor. n compozitecu un coninut sczut de fibre, Vf < 40% micro-flambajul fibrelor apare chiar
dac matricea se afl n domeniul elastic de comportare. La o valoare a fraciuniivolumetrice ridicat Vf > 40%, micro-flambajul fibrelor este precedat dedezvelirea lor de matricea care micro-fisureaz. Cedarea la compresiune n
direcie longitudinal a unui compozit unidirecional poate apare i n cazul uneisolicitri n direcie transversal [3, 10, 80]. Cu alte cuvinte, deformaiaspecific la traciune n direcie transversal, datorit efectului Poisson, poate
iniia cedarea compozitului n direcie longitudinal la compresiune prininiierea ruperii la interfaa fibr-matrice. Modurile de cedare la compresiune n
direcie longitudinal, generate n principal de micro-flambajul fibrelor sunturmtoarele:
a. cedare prin depirea rezistenei la traciune n direcie transversal;b. cedare prin depirea rezistenei matricei la forfecare;
Dezvelirea fibrelor este considerat cedare iniial a compozitului, ipermite formularea unei expresii teoretice simple pentru rezistena compozituluila compresiune n direcie longitudinal. n acest caz se accept ipoteza conformcreia ruperea are loc atunci cnd deformaia specific la ntindere n direcie
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
10/50
10
transversal produs de compresiunea n direcie longitudinal depete
deformaia specific limit la ntindere n direcia transversal a compozitului.Relaia de calcul a valorii RcL este [80]:
f
fmf
f
mffcL
V13
EEV
E
EV1V2R
-
! (3.27)
Dac cedarea are loc din forfecarea matricei, relaia este [80]:
fm
cL V1
GR
! (3.26)
unde Gm este modulul de elasticitate la forfecare al matricei.
3.2.1.2. Caracteristicile mecanice n direcie transversal
Modulul de elasticitate n direcie transversal,ET
Figura 3.5 Modelul de calcul a modulului de elasticitate n direcietransversal
Pentru stabilirea relaiilor ce permit determinarea pe cale analitic a
caracteristicilor mecanice n direcie transversal pentru compozitul cu armareunidirecional continu se adopt modelul tensiunii constante.
Se presupune c modelul alctuit din straturi succesive de matrice i fibreeste perpendicular pe direcia efortului aplicat i are aceeai arie pe careacioneaz fora transversal, figura 3.5.
cmmcffmmffcccccT ttV;ttV;ttt;t !!II!II!( (3.27)
Pc
Pc
3
(2) T
(1) L
Transversal
Longitudinal(cT
tc
tm tf
tc
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
11/50
11
ntruct pe fiecare strat acioneaz aceeai tensiune normal ((Wc)T = Wf =
Wm) i presupunnd c ambele componente se comport elastic, se poate scrie
deformaia specific din straturi:
m
m
mf
f
f
T
Tc V
E
V
EE
W
W!
W(3.28)
de unde:
mffm
mfT VEVE
EEE
! (3.29)
sau, prin generalizare:
!
!n
1iii
T
EV
1E (3.30)
Figura 3.6 - Graficele comparative ale modulilor de elasticitate,EL i ET
Pe baza ecuaiei (3.29) se poate reprezenta grafic variaia modulului deelasticitate transversal,ET, utiliznd o form adimensional:
mfmfmT
VEEV
1
E
E
! (3.31)
Graficul raportului ET/Em se traseaz innd seama att de Vf ct i deraportulEf/Em, figura 3.6.
Modelul utilizat nu este suficient de riguros deoarece:
y distribuia fibrelor are un caracter aleatoriu;
Vf
ET(EL)Em Ef= 30Em
Ef= 15Em
ET
EL
28
24
20
16
12
8
4
00 0,25 0,50 0,75 1,00
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
12/50
12
y n orice seciune transversal, perpendicular pe direcia foreiaplicate exist att armtur ct i matrice, deci ipoteza Wm = Wf
este inexact;
y imprecizia modelului deriv din ipotezele referitoare ladeformaiile specifice i la influena coeficienilor lui Poisson.
Halpin i Tsai [50, 170] au dezvoltat relaii simple, cu caracter general,utilizabile n calculele de proiectare pentru a aproxima unele analize
micromecanice laborioase i care se aproprie n limite acceptabile de valorileobinute prin teste. Aceste relaii sunt:
f
f
m
T
V1
V1
E
E
LL\
! (3.32)
unde:
\!L
mf
mf
EE 1EE (3.33)
n care \ este un parametru ce depinde de geometria fibrei, geometria
distribuiei armturii i de condiiile de ncrcare.
Valorile lui \ s-au obinut prin compararea ecuaiilor (3.32) i (3.33) cu
soluiile exacte. Autorii menionai recomand valoarea \ = 2 pentru fibre cu
seciunea circular i \ = 2a/b pentru seciunea rectangular, unde a i b sunt
dimensiunile seciunii fibrei. S-a constatat c relaiile (3.32) i (3.33) sunt
suficient de exacte pentru a satisface cerinele practice n cazul mai multor procedee de fabricaie, ce modific valorile modulului de elasticitate acompozitului.
Modulul de elasticitate transversal al unui compozit unidirecional cuarmtur continu este mai mic dect cel longitudinal. O cretere a valoriifraciunii volumetrice de armare determin o cretere a modulului de elasticitatetransversal similar cu creterea modulului de elasticitate longitudinal, n timpce o cretere a modulului de elasticitate transversal al fibrelor nu produce ocretere spectaculoas a aceluiai modul pentru compozit.
Cnd \ = 0, ecuaia (3.32) se reduce la ecuaia (3.29) definit prin regulainvers a amestecurilor, n timp ce atunci cnd g!\ ecuaia (3.32) este dat de
regula amestecurilor [10, 55].Tsai i Hahn [168] au propus o relaie semiempiric pentru calculul
modulului de elasticitate transversal al compozitului unidirecional utilizndcoeficientul tensiunilor fm2 WW!L , i anume:
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
13/50
13
-
L
L!
m
m2
f
f
m2fTE
V
E
V
VV
1
E
1(3.34)
O alt relaie a fost propus de ctre Brintrup [50, 55]; aceasta ia n
considerare efectul contraciei de tip Poisson, rezultatele sale fiind mult maiapropiate de cele obinute prin testarea unor compozite unidirecionale cudiferite procente de armare. Aceast ecuaie este:
'mffff
'
mT EVV1E
EEE
! (3.35)
unde:
2mm'
m 1
EE
R! (3.36)
Rezistena la traciune n direcie transversal,RtT
La un compozit unidirecional solicitat de o for normal pe fibre,armtura nu poate (datorit geometriei) prelua o fraciune a sarcinii la fel demare ca n cazul ncrcrii longitudinale. Fibrele cu modul de elasticitate ridicatmpiedic deformarea matricei astfel c modulul de elasticitate al compozitului
n direcie transversal este mai ridicat dect al matricei. Restriciile impuse defibre asupra strii de deformaii produc efecte de concentrare a tensiunilor i
deformaiilor specifice n zonele matricei adiacente fibrelor. Aceste situaii audrept rezultat cedarea compozitului la o deformaie specific inferioar valoriilimit obinute pentru matricea nearmat. De aceea rezistena compozitului latraciune n direcie transversal este micorat datorit prezenei fibrelor.
Cedrile structurale sunt iniiate, n general, n punctele cu tensiunile celemai mari, produse de ctre discontinuitile geometrice sau de material. In cazul
materialelor compozite discontinuitile sunt prezente ntotdeauna iinflueneaz strile de tensiuni locale la nivel microscopic; acestea controleaz
formele de manifestare ale cedrii microscopice (fisurarea matricei, cedarea la
interfa, ruperea fibrei) i apoi, ale cedrii macroscopice.Strile de tensiuni interne ntr-un compozit unidirecional, supus la o
sarcin transversal se pot analiza pe baza teoriei clasice a elasticitii. Este bine
cunoscut faptul c n cazul unei incluziuni cilindrice ntr-o matrice, lngincluziune, componentele tensiunilor sunt mai mari dect valorile medii.
Factorul de concentrare al tensiunilor, CtT se definete prin raportul dintre
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
14/50
14
tensiunea maxim i tensiunea medie aplicat. ntruct starea de tensiuni lng
incluziune este triaxial este necesar selectarea unui criteriu de cedare adecvat.Tensiunea normal care produce cedarea se poate prezice pe baza rezistenei
matricei i a factorului de concentrare. Evident, dou incluziuni distanate la mai
puin de 3a interacioneaz destul de puternic, unele interaciuni persistnd pnla o distan egal cu 6a (a este raza fibrei). De aceea distribuiile iconcentrrile de tensiuni depind de fraciunea volumetric a fibrei precum i de
proprietile elastice ale fibrei i ale matricei. O stare de tensiuni complet nmatrice se poate obine prin folosirea metodelor de calcul numeric .
Rezistena compozitului la traciune n direcie transversal RtT este
controlat de valoarea limit (ultim) a rezistenei matricei Wmu . Se presupune c
rezistena compozitului n aceast direcie este afectat de un coeficient dereducere CtT determinat de proprietile relative ale fazelor i fraciunilevolumetrice ale componentelor. Astfel rezistena la traciune n direcie
transversal se poate scrie sub forma:
tT
mu
tT CR
W! (3.37)
sau
ad
mu
m
TtT CE
ER
W! (3.38)
unde CtT este un coeficient de reducere datorit concentrrii tensiunilor,care se ia egal cu valoarea obinut din relaia (3.39) iarCad este coeficient deamplificare al deformaiilor specifice, care se ia egal cu minimum dintre valorileobinute din relaiile (3.40) sau (3.41) [58].
? A
? Afm
2
1
ff
fmf
tT
EE1V4V1
EE1V1C
!
T
(3.39)
? Afm
2
1
ff
ad
EE1V4V11C
T
! (3.40)
dsE
Ed
sC
f
m
ad
! (3.41)d
s
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
15/50
15
Unul dintre criteriile utilizate pentru evaluarea rezistenei matricei este
criteriul energiei de deformare. Conform criteriului menionat materialulcedeaz cnd energia de deformare atinge valoarea critic. Pe baza acestui
concept se poate ajunge la o relaie pentru rezistena compozitului la traciune n
direcie transversal dat de formula (3.42) [55]:
W! 31
f
m
TmutT V1E
ER (3.42)
undeETeste modulul de elasticitate transversal al compozitului.
Rezistena la compresiune n direcie transversal,RcT
Cedarea compozitului unidirecional la compresiune n direcietransversal, se produce prin atingerea rezistenei la forfecare a matricei, nsoit
de dezvelirea fibrelor.n general rezistena la compresiune n direcia transversal a compozituluiunidirecional cu armtur continu RcT este mai mare dect rezistena la
traciune n direcie transversal i dect rezistena la compresiune n direcielongitudinal, dar mai mic dect rezistena la traciune n direcie longitudinal.
Multitudinea parametrilor care intervin face dificil elaborarea uneiformule teoretice pentru aceast rezisten care s se apropie suficient derezultatele experimentale. n literatura de specialitate pentru aceast rezisten se
formuleaz doar relaia cunoscut din rezistena materialelor [55], valabil n
domeniul de comportare elastic a materialului:
TuTcT ER I! (3.43)
unde ITu este deformaia specific limit a compozitului la compresiune ndirecie transversal.
3.2.1.3. Caracteristicile mecanice n planul LT
Modulul de elasticitate la forfecare n planul lamelei, GLT(G12)
S considerm elementul tip din figura 3.7, la care tensiunile tangeniale
aplicate asupra fibrelor i matricei au valori identice (XLT= Xf = Xm).Deformaia total din forfecare a compozitului se obine prin nsumarea
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
16/50
16
deformaiilor pariale din fibre (fi din matrice (m.
Figura 3.7 - a. Modelul compozitului unidirecional pentru determinareamodulului de elasticitate la forfecare;
b. Deformaia specific din forfecare pentru constitueni.
Exprimnd aceste deformaii ca produsul dintre deformaia specific
unghiular K i grosimile cumulate ale componentelor (tf, tm, tc), presupunnd orelaie liniar (X-K) i faptul c Vf= tf/tc, respectiv Vm = tm/tc rezult:
mmmfffTLTLcmmffccmfc
GtGtGt;ttt; XX!XKK!K((!(
m
m
f
f
LT G
V
G
V
G
1! (3.44.a)
sau:
mffm
mf
LT VGVG
GGG
! (3.44.b)
unde GLTeste modulul de elasticitate la forfecare al compozitului n planullamelei, iarGf, Gm sunt modulii similari ai fazelor componente.
Relaia (3.44) sufer de imperfeciunile comentate la ET; de aceea este dedorit un model matematic mai riguros sau s fie elaborat o metod empiricverificat. Ecuaiile Halpin-Tsai [50, 190] pentru modulul de elasticitate la
3
(2) T
(1) L
Transversal
Longitudinal
XTL
XTL
XLT
XLT (f (m
(c=(f+(m
tm
tftc
matrice
fibr
a.
b.
(1)L
(2)T XTL
XLT
XTL
XLT
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
17/50
17
forfecare au forma:
f
fmLT V1
V1GG
LL\
! (3.45)
n care: \
!L
mf
mf
GG
1GG(3.46)
autorii propunnd (\=1).
Figura 3.8 - Variaia raportului GLT/Gmpentru diverse fraciunivolumetrice de armare
n figura 3.8 este ilustrat variaia modulului de elasticitate la forfecare al
compozitului unidirecional, n planul (LT), n raport cu fraciunea volumetricde fibr, pentru mai multe rapoarte Gf/Gm.
Modulul de elasticitate la forfecare interlamelar, GTT(G23)
Figura 3.9 Forfecarea interlamelar
Tensiunea de forfecare interlamelar acioneaz pe grosimea compozitului,
aa cum este prezentat n figura 3.9. Modulul de elasticitate la forfecare
Vf
GLT(G12)Gm
Gf= 100GmGf= 50Gm76543210
0 0,25 0,50 0,80 1,00
Gf= 20GmGf= 10Gm
(2)T
(3)T XTT
XTT
XTT
XTT
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
18/50
18
interlamelar se poate determina [168] folosind o relaie semi-empiric, bazat
pe utilizarea coeficientului de dirijare a tensiunilor, astfel:
f
mfm
mfm23TT
GGVV
VVGGG
L
L! (3.47)
n care:
mf
mm
14
G
G43
R
R!L
Rezistena la forfecare n planul (LT),Rf(LT)
Rezistena la forfecare a compozitului unidirecional n planul (LT),Rf(LT),se evalueaz [55, 190] pe baza rezistenei la compresiune n direcie
longitudinal cu relaia:
cLLTf R2
1R ! (3.48)
Cedarea la forfecare n planul (LT) are loc prin: cedarea la forfecare a
matricei, dezvelirea fibrelor, sau amndou n acelai timp.
Coeficienii lui Poisson, RLTi RTLn cazul compozitelor armate unidirecional se definesc doi coeficieni ai
lui Poisson. Primul dintre acetia (RLT) este definit prin:
Lc
TcLT I
I!R (3.49)
pentru starea de tensiuni n care (Wc)L{ 0 i toate celelalte componente sunt
nule. Acest coeficient stabilete legtura dintre tensiunea normal n direcia
longitudinal (L) i deformaia specific liniar n direcie transversal (T).Coeficientul vTL stabilete legtura dintre tensiunea normal n direcia (T)
i deformaia specific liniar n direcia (L) pentru (Wc)T { 0 i celelalte
componente egale cu zero. Modelul folosit pentru determinarea lui vTL estesimilar celui utilizat la evaluarea modulului ET, dar eforturile se aplic dup
direcia fibrelor, adic paralel cu straturile modelului, figura 3.10.
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
19/50
19
Figura 3.10 - Modelul compozitului unidirecionalpentru evaluarea coeficienilor lui Poisson
Deformaia total n direcia transversal se obine prin nsumarea
deformaiilor fibrelor i matricei. innd seama de faptul c deformaiilespecifice liniare n direcie longitudinal sunt egale n cele dou componente:
cTccmTmmfTffmfc t;t;t; I!(I!(I!(((!(
LffTfLmmTmLcLTTc
;; IR!IIR!IIR!I
mLmmfLffcLcLT ttt IRIR!IR
mcmfcfLmLfLc Vtt;Vtt; !!I!I!I
Efectund calculele se obine relaia [55]:
mmffLT VV RR!R (3.50)
Aceast relaie reprezint regula amestecurilor aplicat pentru determinarea
coeficientului lui Poisson, RLT. Variaia acestui coeficient n raport cu fraciuneavolumetric de fibr este ilustrat n figura 3.11.
Figura 3.11 - Variaia coeficienilor lui Poisson,vLTi vTL, n funcie de fraciuneavolumetric de armtur
(f
(m
(c=(f+(m
tm
tf
tc
matrice
fibr
WLWL
Vf
RLTRmRf
0 0.5 1.0
RTL
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
20/50
20
Coeficientul lui Poisson minor (RLT) se poate obine pe baza valorilor
cunoscute ale luiEL, ETi RLT, i pe baza relaiilor din macromecanic:
L
TLTTL
E
ER!R (3.51)
3.2.2. Lamela compozit armat cu fibre scurte
n aplicaiile structurale n care starea de tensiuni este imprevizibil
utilizarea compozitelor cu armare unidirecional este insuficient fiindavantajoas utilizarea unor straturi cvasiizotrope n plan, obinute prin folosirea
fibrelor scurte cu orientare aleatorie, avantajoase deoarece [45]:
y permit realizarea unor elemente cu forme complicate, fr a existapericolul deteriorrii la scoaterea de pe matri;
y fibrele scurte se pot ngloba cu uurin n matricele fluide, astfelc amestecul se poate turna uor n forme complicate;
y compozitele cu fibre scurte orientate aleatoriu pot fi considerateaproximativ izotrope, n timp ce compozitele cu armtur
unidirecional sunt evident anizotrope;
y au avantajul unui cost relativ sczut care corelat cu comportareacvasiizotrop face ca acest grup de compozite s fie cel mai desutilizat.
Compozitele armate cu fibre scurte, folosite cel mai frecvent:
y compozite cu fibre scurte aliniate, figura 3.12.a;y compozite cu fibre scurte distribuite aleatoriu, figura 3.12.b.
Figura 3.12 - Tipuri de compozite armate cu fibre scurte
a. b.
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
21/50
21
3.2.2.1. Caracteristicile mecanice ale lamelei compozite armat cu fibre
scurte aliniate
n compozite forele nu sunt aplicate direct fibrelor, ci acestea acioneaz
asupra matricei. Matricea transfer fibrelor ncrcrile prin intermediul capeteloracestora sau la interfaa fibr-matrice de-a lungul lor. De aceea primul pas nanaliza compozitelor armate cu fibre scurte aliniate este studierea mecanismului
de transfer al eforturilor.Elementele reprezentative de volum sunt ilustrate prin fibre cu matrice la
extremiti, figura 3.13.a, sau volumul elementar din figura 3.13.b, fr matricela capetele fibrei. Analiza volumului reprezentativ (figura 3.13.a) nainte i dup
deformare, evideniaz c, datorit diferenei dintre modulii de elasticitate ai
celor dou materiale, Ef "" Em, apar eforturi unitare tangeniale de forfecaremari spre capetele fibrei i nule la mijlocul acesteia.
Figura 3.13 - Volum reprezentativde compozit
a. matricea nvelete capetele fibrei;b. capetele fibrei sunt nenglobate n
matrice.
Eforturile unitare normale cresc de la o valoare minim la capetele fibrei lao valoare maxim spre mijlocul acesteia. Distribuia eforturilor unitare sestabilete pe baza echilibrului unui volum elementar, figura 3.14.
Figura 3.14 - Echilibrul volumuluielementar de fibr
Echilibrul forelor pe lungimea dz a fibrei se exprim prin:
0d4d
dzd4d
ff
2
f
2
!WW
TTXW
T(3.52)
Fibre Matrice
a.
D d
b.
D d
L
z dz
X
X
Wf Wf +dWf
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
22/50
22
unde Wf este efortul din fibr n direcia axial, X este tensiunea tangenialla interfaa fibr-matrice, iardeste diametrul fibrei.
Tensiunea din fibr la distana z fa de extremitatea acesteia se poateevalua cu:
XW!Wz
00ff dz
d4 (3.53)
unde Wf0 este tensiunea din extremitatea fibrei, neglijabil dac se accept
ipoteza plastifierii matricei sau separarea fazelor datorit concentrrii tensiunilor[45].
O metod aproximativ pentru determinarea lui Wf se bazeaz pe ipoteza c
matricea este un material rigid, perfect plastic la care diagrama (X,K) esteilustrat n figura 3.15. a.
Figura 3.15 - Diagrame ideale pentru curba tensiune-deformaie specific amatricei: a. comportare plastic; b. comportare elastic.
n acest caz tensiunea tangenial este constant n lungul fibrei i egal cu
limita de curgere la forfecare (Xc).De aici:
d
z4c
f
X!W (3.54)
La fibrele scurte tensiunea maxim n armtur apare la jumtate, z = L/2,deci:
d
L2 cmaxf
X!W (3.55)
Valoarea limit a tensiunii din fibr este efortul unitar maxim cu care s-ar
Deformaie unghiular K
TensiunetangenialX
Xc
Deformaie unghiular K
TensiunetangenialX
Gm
a. b.
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
23/50
23
putea ncrca fibra continu cu lungimea infinit.
Figura 3.16 - Variaia tensiunilor tangeniale
la interfa i a tensiunilornormale n lungul fibrelor
Presupunnd c:
y Ic = If = Imy Wf0 = 0 la z = 0 i z = Ly tensiunile normale n fibr variaz liniar cu distana de la capt,
iar curba de variaie (figura 3.16) este simetric fa de z = L/2,
se obine:
c
c
f
maxf E
EW!W (3.56)
unde Wc este tensiunea din compozit, iarEc este modulul de elasticitate al
compozitului calculat cu relaia (3.19).Lungimea minim a fibrei pentru care se poate obine
maxfW se numete
lungimea de transfer a sarcinii, Lt. Transferul sarcinii de la matrice la fibr este
posibil dup depirea acestei valori.Pe baza acestui raionament se poate scrie:
c
ccf
c
maxft 2
EEd
2
dL
XW
!X
W! (3.57)
Distribuia tensiunilor normale i a celor tangeniale este puternicinfluenat de lungimea fibrei, i valoarea tensiunii din compozit; acest lucru sepoate observa n figura 3.17.
Pentru ca tensiunea din fibr s ating rezistena limit a acestui component
(Wfu), este necesar stabilirea valorii critice a lungimii fibrei, Lc:
z
L/2 L/2
WfmaxWf
L
z
Xc
XcX
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
24/50
24
c
fu
C 2
dL
X
W! (3.58)
n care deste diametrul fibrei.
Figura 3.17 - Efectul lungimii fibrelor asupra distribuiei tensiunilor
Astfel lungimea critic, Lc, este lungimea minim necesar pentru aintroduce n fibr o tensiune egal cu rezistena materialului de armare.
De notat faptul cLc este lungimea maxim pe care se efectueaz transferultensiunilor ntre componente, fiind o proprietate foarte important a sistemului
compozit.Influena capetelor fibrei la compozitele armate cu fibre scurte se manifest
prin reducerea modulilor de elasticitate i a rezistenelor. Valoarea tensiuniimedii n fibre este important pentru determinarea modulului de elasticitate i arezistenei compozitului armat cu fibre scurte [190].
Evaluarea tensiunii medii, notat cu (Wf)med se face cu relaia:
dzL
1 L
0fmaxf W!W (3.59)
Pentru distribuia de tensiuni aproximativ din figura 3.17 tensiunea medieeste:
tt
maxfmedf
tc
maxfmaxf
LLpentruL2
L1
LLpentrud
L
2
1
"
W!W
eX
!W!W(3.60)
L < Lt L = Lt L > Lt
Lt/2 Lt/2 Lt/2 Lt/2
X XyXc
Ef(Wc)LEL
W
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
25/50
25
Dac L u 50Lt atunci (Wf)med / (Wf)max} 0,99 i comportarea se apropie decea a compozitului cu fibre continue unidirecionale [3].
3.2.2.1.1. Caracteristicile mecanice n direcie longitudinal
Ecuaiile Halpin-Tsai se utilizeaz cu precizie acceptabil la determinareamodulilor compozitelor cu fibre scurte. Considernd modelul din figura 3.18 cufibre scurte aliniate se pot scrie relaiile [3]:
Figura 3.18 Modelul compozitului
cu fibre scurte aliniate
Modulul de elasticitate n direcie longitudinal,EL
fL
fL
mL V1
V1EE
LL\
! (3.61)
unde:
d
L2
E
E
1E
E
m
f
m
f
L !\
\
!L (3.62)
Rezistena la traciune n direcie longitudinal,RtL
Efortul unitar normal, n direcie longitudinal, ntr-un compozit cu fibrescurte aliniate se poate calcula cu regula amestecurilor:
mmfmedfLc VV WW!W (3.63)
n care (Wf)med, se evalueaz cu relaiile (3.60) n raport cu lungimea fibrei.
T (2)
L (1)
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
26/50
26
Dac lungimea fibrei este mult mai mare ca Lt(de exempluL > 100 Lt)
factorul (1 Lt/ 2L) p 1 i tensiunea din compozit se calculeaz cu:
mmfmaxfLc VV WW!W (3.64)
Rezistena, limit a compozitului, la traciune n direcie longitudinal, este
evaluat n raport cu lungimea fibrelor.Dac L < Lc, fibrele nu pot fi solicitate pn la rupere, cedarea avnd loc
prin matrice sau la interfa la un efort unitar calculat cu:
mmufc
tL VVd
LR W
X! (3.65)
DacL > Lc cedarea compozitului se produce la atingerea lui Wfun fibre: mmf
cfutL VVL2
L1R *
fIW
W! (3.66)
iar dacL } Lc:
mmffutL
VVR *fI
WW! (3.67)
n care *f
m IW are semnificaia de la paragraful 3.2.1.1.
Utiliznd raionamentele de la compozitele cu armare continu se poateajunge la urmtoarele expresii pentru Vmin i Vcrit:
*
f
*f
mmumedf
mmu
critVI
I
WWWWW! (3.68)
*
f
*f
mmedf
mmu
critVI
I
WW
WW! (3.69)
Din relaiile (3.68) i (3.69) se observ c, n cazul unor proprieti identiceale fazelor componente, armarea cu fibre scurte necesit valori mai mari att
pentru Vmin ct i pentru Vcrit, deoarece armturile au o eficien mai sczut. Pemsur ce lungimea fibrei crete, comportarea compozitului se apropie de a unuisistem multifazic cu fibre lungi.
Dac Vf < Vmin compozitul nu cedeaz la ruperea fibrelor deoareceseciunea transversal rmas a matricei poate suporta toat ncrcarea. Astfelcedarea compozitului se produce la:
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
27/50
27
fmutL
V1R W! (3.70)
Influene suplimentare apar n acest caz datorit concentrrii tensiunilor din
matrice la capetele fibrelor, care micoreaz rezistenele i rigiditile sistemuluicompozit.
3.2.2.1.2. Caracteristicile mecanice n direcie transversal
Modulul de elasticitate n direcie transversal,ETSe consider modelul compozitului din figura 3.18, pentru care se poate
scrie:
fT
fT
mT V1
V1EE
LL\
! (3.71)
unde:
2
E
E
1E
E
m
f
m
f
T !\
\
!L (3.72)
Ecuaiile (3.71) i (3.72 ) arat c modulul de elasticitate transversal al
compozitelor cu fibre scurte nu difer de cel calculat pentru fibrele lungi.
Halpin i ali autori consacrai n domeniu [3, 45, 190] n urma cercetrilorefectuate concluzioneaz c celelalte caracteristici mecanice (modulul deelasticitate la forfecare, coeficienii lui Poisson, etc.) au aceleai relaii
matematice de evaluare ca i pentru compozitele cu armare continuunidirecional, ele nefiind afectate de lungimea fibrelor.
Pentru valorile rezistenelor mecanice ale compozitului armat cu fibrescurte aliniate, altele dect cele prezentate se pot stabili relaii matematice care
s permit evaluarea lor la valori ct mi apropiate de cele determinateexperimental. n bibliografia studiat se menioneaz doar faptul c acestea ca i
caracteristicile mecanice ale compozitului nu sunt afectate de lungimea fibrelor.Aceste rezistene pot fi determinate pe baza relaiilor din macromecanic i a
criteriilor de cedare sau n intervalul de comportare elastic, pe baza legii luiHooke relaii oarecum aproximative datorit diferenelor ce apar ntre valorile
calculate i rezultatele experimentale [45].
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
28/50
28
3.2.2.2. Caracteristicile mecanice ale lamelei compozite armat cu fibre
scurte orientate aleatoriu
Compozitele armate cu fibre scurte orientate aleatoriu pot fi considerate
cvasiizotrope n spaiu sau numai n plan.
Figura 3.19 - Compozite armate cu fibre scurte dispuse aleatoriu
Aceste compozite sunt considerate cvasiizotrope n spaiu atunci cnd
lungimea fibrei L este mult mai mic dect grosimea compozitului, tc. n cazulcelor mai multe elemente din compozite lungimea fibrelor este mult mai mare
dect grosimea, figura 3.19.b, realizndu-se cvasiizotropia n plan.
Modulul de elasticitate, E O problem particular n cazul acestui tip de fibre o constituie evaluarea
modulului de elasticitate unic, E. O estimare acceptabil pentru modulul deelasticitate al compozitului cvasiizotrop n plan, la solicitarea axial, E, se obine
pe baza relaiilor stabilite de Nielsen & Chen [45] prin integrarea pe intervalul
[0, T] a relaiei:
T
T
U
UU
!
0
0
d
dE
E (3.73)
unde:
4
T
22
LTL
LT4
L
sE
1sc
G
1
E
2c
E
1
1E
-
Y
!U (3.74)
tc
L > tc
tc
a. Lungimea fibrei este mai micdect grosimea elementului.
Fibrele sunt orientate aleatoriu nspaiu.
b. Lungimea fibrei este mai maredect grosimea elementului.
Fibrele sunt orientate aleatoriu nplan.
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
29/50
29
c = cos U;
s = sin U;EL - modulul de elasticitate n direcie longitudinal pentru compozitul
unidirecional continuu stabilit cu relaia (3.16);
ET - modulul de elasticitate n direcie transversal pentru compozitulunidirecional continuu, stabilit cu relaia (3.30) sau (3.32);
GLT - modulul de elasticitate la forfecare n planul (LT) stabilit cu relaia(3.44) sau (3.45);
vLT- coeficientul lui Poisson stabilit cu relaia (3.50);
U - unghiul sub care sunt aezate fibrele fat de axele principale, fig. 3.20.
Akasaka [45] a obinut pe baza formulei (3.74) urmtoarea relaie pentru
modulul de elasticitate al compozitului armat cu fibre scurte orientate aleatoriu:
-
RRR
RRR
-
RR
R
! LTTLLTTLTTLLTTLLTTLTTL
TLLT
TLTTL
G14E2EE3
G14E2EE
1
E2EE
E (3.75)
Gibson [45] prezint o serie de relaii simple, elaborate pe baza modelelorlui Cox, care permit evaluarea modulilor de elasticitate, distinct pentru cele doucazuri:
y compozit cvasiizotrop spaial:6
VEE ff! (3.76)
y compozit cvasiizotrop n plan:3
VEE ff! (3.77)
Modulul de elasticitate la solicitarea axial poate fi estimat i pe baza
valorilor corespunztoare de la compozitele cu fibre scurte aliniate folosind
+ U
x
L (1)yT (2)
ozitiv
- U
x
L (1)
yT (2)
U negativ
Figura 3.20 - Convenie desemne privind orientarea fibrelor
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
30/50
30
relaia (3.78) care este cel mai des utilizat n proiectare:
TL E8
5E
8
3E ! (3.78)
Modulul de elasticitate la forfecare, G O prim relaie pentru evaluarea modulului de elasticitate la forfecare este
dat de Akasaka, i prezentat de Hull [60]:
LTTLLTTLTTL G
2
1
18
E2EEG
RRR
! (3.79)
Relaiile lui Cox [45] pentru evaluarea acestui modul de elasticitate, ncazul compozitului armat cu fibre scurte dispuse aleatoriu sunt:
y compozit cvasiizotrop n spaiu:15
VEG ff! (3.80)
y compozit cvasiizotrop n plan:8
VEG ff! (3.81)
Relaia cea mai des utilizat n proiectare [45] pentru calculul modulului deelasticitate la forfecare este:
TL E4
1E
8
1G ! (3.82)
undeEL iETs-au definit la compozitele cu fibre scurte aliniate.
Coeficientul lui Poisson, R Valorile aproximative stabilite de Cox [45] sunt:
y compozit cvasiizotrop n spaiu:4
1!R (3.83)
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
31/50
31
y compozit cvasiizotrop n plan:3
1!R (3.84)
Pentru produsele plane din compozite armate cu fibre scurte aleatoare sepoate scrie [45]:
R!
12
EG (3.85)
i
1G2
E!R (3.86)
Rezistena la traciune, tR Folosind raionamentele specifice macromecanicii lamelei compozit cu
armare unidirecional (teoriile de rupere) i relaiile cunoscute din analizamicromecanic a compozitelor armate cu fibre continue unidirecionale s-a ajuns
la urmtoarea expresie pentru rezistena la solicitri axiale a compozitelor cufibre scurte distribuite aleatoriu n plan [45]:
-
W
W
T! I
I
2
)LT(f
mtT
m
tT)LT(f
t R
Rln
R1
R2R
*f
*f
(3.87)
unde Rf(LT), RtT sunt rezistenele compozitului unidirecional cu armturcontinu calculate cu relaiile (3.48) i (3.38.b).
Pentru valorile caracteristicilor i rezistenelor mecanice ale compozituluiarmat cu fibre scurte distribuite aleatoriu, altele dect cele prezentate, nu existn prezent modele matematice acceptabile care s permit evaluarea lor la valoricomparabile cu cele determinate experimental.
3.3. Caracteristici mecanice ale lamelei compozite n sistemul de axe
oarecare
3.3.1. Cazul cnd axele de solicitare ale lamelei coincid cu axele
principale ale materialului
n figura 3.21 se prezint o lamel ortotrop la care axele principale ale
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
32/50
32
materialu1ui (1, 2, 3) coincid cu axele sistemului de solicitare (x, y, z).
Figura 3.21 - Sistemele de axe ale lamelei ortotrope- (1, 2, 3) sistemul de axe principale ale materialului;
- (x, y, z) sistemul de axe de solicitare.
Lamela compozit ortotrop se gsete n stare plan de tensiuni iar relaiantre tensiuni i deformaii specifice, WI , este:
X
W
W
-
R
R
!
K
I
I
12
2
1
12
21
12
2
21
1
12
2
1
G
100
0E
1
E
0EE
1
(3.88)
2
2
231
1
133 EE
WR
WR
!I
Din teoria general a materialelor anizotrope [45, 190] prin particularizri,
se ajunge la (3.89):
X
W
W
-
!
K
I
I
12
2
1
662616
262212
161211
12
2
1
SSS
SSS
SSS
(3.89)
2231133 SS WW!I
unde Sij sunt termenii matricei complianelor.
3
(2) T
(1) L
y
x
z
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
33/50
33
n relaia (3.89) matricea de legtur poart denumirea de matricea redus a
complianelor i funcie de constantele inginereti din relaia (3.88) rezultrelaia (3.90) ce permite evaluarea termenilor acestei matrice.
1
11 E1S ! 222 E1S ! 12
66 G1S !
1
12
2
21
12 EES
R!
R! (3.90)
3
3113 E
SR
! 3
3223 E
SR
!
Pentru aceast stare se evideniaz 4 constante elastice independenteE1,E2,
12R , G12 i o relaie reciproc:
1
12
2
21
EE
R!
R(3.91)
Relaiile ntre tensiuni i deformaii specifice, conform legii lui Hookegeneralizat, se obin n acelai mod, astfel:
K
I
I
-
!
X
W
W
12
2
1
66
2212
1211
12
2
1
Q00
0QQ
0QQ
(3.92)
Matricea de legtur se numete matricea redus a constantelor elastice ielementele ei pot fi identificate prin inversarea matricei de legtur din relaia
(3.89) i transformarea realizat de relaiile (3.90), obinndu-se:
1221
111 1
EQ
RR!
1221
212
1221
12112 1
E
1
EQ
RRR
!RR
R! (3.93)
1221
222 1
EQ
RR!
1266 GQ !
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
34/50
34
3.3.2. Cazul cnd axele de solicitare ale lamelei nu coincid cu axele
principale ale materialului
Relaiile (3.88)....(3.93) sunt valabile numai pentru cazul n care solicitarea
lamelei se face dup direciile principale (figura 3.21). Pentru cazul n caresolicitarea face un unghi U cu direcia principal (1) relaiile au o alt form.Pornind de la elementele prezentate n figurile 3.22 i 3.23, se ajunge la
relaia (3.94).
Figura 3.22 Lamela compozitcu cele dou sisteme de axe:
- (1, 2, 3) axe principale de material;- (x, y, z) axe ale solicitrii;
Figura 3.23 - Element diferenial dearie n echilibru static cu forele n
cele dou sisteme de coordonate
X
W
W
-
UUUUUU
UUUU
UUUU
!
X
W
W
12
2
1
22
22
22
xy
y
x
sincoscossincossin
cossin2cossin
cossin2sincos
(3.94)
Utiliznd matricea [T] a funciilor trigonometrice relaia (3.94) se scrieprescurtat sub forma:
? A 2,1
1
y,xT W!W (3.95)
3(2) T
(1) L
y
x
z
U
U
U
dA
W2dAsin U
W1dAcos U
X12dAcos U
X12dAsin UXxydA
WxdA
x
y
(1) L
(2) T
U
U
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
35/50
35
La nivelul deformaiilor specifice se obine:
KI
I
-
UUUUUU UUUU
UUUU
!
KI
I
2sincossincos2sincos2 sincoscossin
sincossincos
2y,x
y
x
22
22
22
2,1
2
1
(3.96)
Relaia (3.96) se poate scrie prescurtat astfel:
? A ' y,x'
2,1 T I!I (3.97)
Prin y,x
I i 2,1I notm vectorii n care deformaiile unghiulare y,xK i 2,1K
nu apar mprite la 2. Se observ c exist relaiile: ? A ' 2,12,1 R I!I
? A 'y,xy,x
R I!I (3.98)
unde ? A
-
!
200
010
001
R este matricea Reuter [80].
Pornind de la relaia (3.92) scris sub forma ? A 2,12,1 Q I!W prin
transformrile (3.99):
? A ? A ? A 2,1
1
2,1
1
y,xQTT I!W!W
? A ? A? A ' 2,11
y,x RQT I!W (3.99)
? A ? A? A? A ' y,x1
y,x TRQT I!W
? A ? A? A? A? A y,x
11
y,xRTRQT I!W
se obine:
? A y,xy,x Q I!W (3.100)
n care ? A ? A ? A? A? A? A 11 RTRQTQ ! se numete matrice redus a constantelorelastice transformate i, dup efectuarea calculelor, elementele ei sunt:
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
36/50
36
UUUU! 422
22
6612
4
1111sinQcossin)Q2Q(2cosQQ
UUUU! 4412
22
66221112sincosQcossinQ4QQQ
UUUU! 422
22
6612
4
1122cosQcossinQ2Q2sinQQ (3.101)
UUUU! cossinQ2QQsincosQ2QQQ3
662212
3
66121116 UUUU! 3
662212
3
66121126cossinQ2QQsincosQ2QQQ
66
4422
6622121166QsincoscossinQ2QQ2QQ UUUU!
Analiza relaiilor (3.101) relev urmtoarele:
y matricea [Q] are ijQ nenuli pentru orice (i,j), spre deosebire de[Q] care are patru termeni nuli;
y numrul constantelor de material independente (constanteelastice) se pstreaz egal cu patru deoarece lamela este ortotrop;
y n sistemul (x,y) diferit de sistemul (1,2) exist influene reciprocentre deformaiile specifice unghiulare i tensiunile normale
precum i ntre tensiuni1e tangeniale i deformaiile specificeliniare;
y termenii definii conform relaiei (3.101) caracterizeaz lamelageneral ortotrop.
Pentru determinare relaiilor ntre deformaii specifice i tensiuni se pornete de la relaia (3.89) scris sub forma ? A 2,12,1 S W!I . n urma
transformrilor (3.102)
? A ? A ? A 2,1
1
2,1
1 SRR W!I
? A ? A ? A ? A 2,111'
2,1
1SRTT W!I (3.102)
? A ? A? A ? A ? A 2,111'
y,x SRTRR W!I
? A? A ? A ? A? A y,x
11
y,xTSRTR W!I
se obine:
? A y,xy,x
S WI ! (3.103)
unde ? A ? A? A ? A ? A? ATSRTRS 11 ! este matricea redus a complianelortransformate.
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
37/50
37
Dup efectuarea calculelor elementele termenii matricei sunt:
UUUU! 422
22
6612
4
1111sinScossinSS2cosSS
UUUU! 22662211
44
1212cossinSSScossinSS
UUUU! 422
22
6612
4
1122cosScossinSS2sinSS (3.104)
UUUU! cossinSS2S2cossinSS2S2S 3661222
3
66121116
UUUU! 3661222
3
66121126cossinSS2S2cossinSS2S2S
66
4422
6612221166SsincoscossinSS4S2S22S UUUU!
Pornind de la identitatea soluiilor pentru lamela cu ortotropie genera1 i
lamela anizotrop, flexibilitile ijS se pot exprima, funcie de constantele
inginereti dup direciile (x, y), astfel:
x
11
E
1S !
y
22
E
1S !
y
yx
x
xy12
EES
R!
R!
xy
66
G
1S ! (3.105)
xy
xy,x
x
x,xy16
GES
L!
L!
xy
xy,y
y
x,xy26
GES
L!
L!
n care:
ij
iij,i K
I!L este coeficientul de influen reciproc de primul tip,
caracteriznd ntinderea n direcia i datorit forfecrii n planul ij pentru
X!Xij
i toate celelalte tensiuni egale cu zero;
i
ij
i,ij I
K!L este coeficientul de influen reciproc de tipul al doilea,
caracteriznd forfecarea n planul ij produs de un efort unitar normalaplicat n direcia i pentru W!W
ii celelalte tensiuni egale cu zero.
Notnd ccos !U i ssin !U , din relaiile (3.105), (3.104) i (3.90) se pot
defini constantele elastice n sistemul de coordonate (x ,y), astfel:
1
4
2
22
1
12
12
4
1
xs
E
1cs
E2
G
1c
E
1E
-
R!
1
4
2
22
1
12
12
4
1
y cE
1cs
E2
G
1s
E
1E
-
R!
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
38/50
38
1
44
12
22
121
12
21
114222
-
! cs
Gcs
GEEEGxy
R
-
-
R!R 22
1221
x
44
1
12
xxycs
G
1
E
1
E
1Ecs
E
E (3.106)
-
R
-
R!L cs
G
1
E
2
E
2Esc
G
1
E
2
E
2E 3
121
12
2
x
3
121
12
1
xx,xy
-
R
-
R!L 3
121
12
2
y
3
121
12
1
yy,xysc
G
1
E
2
E
2Ecs
G
1
E
2
E
2E
3.4. Elemente stratificate din lamele compozite
3.4.1. Introducere
n subcapitolele 3.2, 3.3 s-a analizat comportarea unei lamele ortotropeevideniind caracteristicile mecanice unidirecionale. A rezultat c acestecaracteristici sunt determinate preponderent de fibre n direcia armturilor imai ales de matrice n direcie normal pe direcia fibrelor.
In cazul elementelor solicitate multiaxial (n majoritatea cazurilorsolicitarea este biaxial), datorit faptului c valorile proprietilor mecanice ale
unei lamele n direcie transversal nu sunt suficient de mari, a aprutnecesitatea alctuirii unor produse stratificate, din lamele unidirecionaleorientate astfel nct capacitatea portant a elementului stratificat s fie asiguratdup direciile de solicitare, proporional cu nivelul de solicitare. n figura 3.24sunt prezentate cteva tipuri de stratificate, care, n funcie de orientarealamelelor n raport cu planul median al stratificatului pot fi simetrice (figura
3.24.a) sau antisimetrice (figura 3.24.b).Din necesitatea descrierii corespunztoare a alctuirii stratificatelor s-a
introdus un cod de prezentare frecvent ntlnit n literatura de specialitate [55,190].Numerele din cod sunt unghiurile de orientare ale straturilor n raport cu un
sistem de axe impus, citite de la partea superioar spre partea inferioar, separate prin bare nclinate, toate datele fiind incluse ntre paranteze ptrate. Dac
stratificatul este simetric se face citirea unghiurilor straturilor numai pe jumtatea superioar a stratificatului i se adaugs ca indice inferior la
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
39/50
39
paranteza ptrat. De asemenea atunci cnd sunt dou sau mai multe straturi
consecutive cu aceeai orientare, acestea se pot cuprinde ntre paranteze avndca indice inferior numrul ce indic repetarea. Atunci cnd planul median trece
printr-un strat cifrele sale care i indic orientarea se supraliniaz. n figura 3.25
sunt ilustrate cteva tipuri de stratificate i codurile de prezentare aferente.
Figura 3.24 - Tipuri de stratificate
Figura 3.25 - Exemple de stratificate i codurile de prezentare
y
x
z
x
y
z
a.
b.
0o
45o
45o
90o
0o
90
o
[0/90/45]s
0o
-30o
0o
+30o
-30o
+30o
[(0/s30)2]
90o
30o
0o
90o
45o
45o
[90/45/30/0/90/45]
0o
0o
90o
90o
[(0/90)2/45]s
90o
0o
90o
0o
45o
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
40/50
40
3.4.2. Evaluarea caracteristicilor mecanice ale elementelor stratificate
din materiale compozite polimerice
3.4.2.1. Relaii deplasri-deformaii specifice
Stabilirea acestor relaii se bazeaz pe urmtoarele ipoteze:y Stratificatul se presupune c acioneaz unitar, ca un produsmonostrat; conlucrarea dintre lamele este perfect, iar stratuladerent este foarte subire i nedeformabil la forfecare. n acest fel
lamelele nu alunec unele fa de altele, asigurndu-secontinuitatea deplasrilor peste pelicula de aderen.
y Se presupune c o linie normal pe suprafaa median astratificatului n stare nedeformat rmne perpendicular pesuprafaa median i dup deformare, figura 3.26, i deci se pot
neglija deformaiile specifice unghiularexzK i yzK .
Figura 3.26 - Notaii pentru stabilirea relaiilor deplasri-deformaii
specifice la stratificatul compozit
Pe baza acestor ipoteze, analiznd o poriune a produsului stratificat (figura3.26) nainte i dup deformarea ansamblului, se poate exprima deplasarea u a
punctului Cde pe normala ABCD, punct situat la distanaz fa de axa median:u = u0-zE (3.107)n care :u0 - deplasarea punctului situat n planul median pe aceeai normal cu
punctul C (punctulB) n direciax;
E - unghiul ce-l face normala iniial (ABCD) cu normala dup deformare
A
B
C
D
A
BC
D
u0
u
z
x
z
w0
Ex
Ex
zEx
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
41/50
41
(A'B'C'D') sau panta suprafeei mediane n raport cu axax:
x
w0
x xx
!E y
w 0y x
x!E (3.108)
w0 - deplasarea n direcia z a punctului situat n planul median pe aceeai
normal cu C(punctulB).
Rezult c:
x
wzuu 00 x
x! (3.109)
Aplicnd acelai raionament, deplasarea v a punctului C n direcia y sepoate exprima cu relaia:
y
wz 00 xx
R!R (3.110)
unde:v0- deplasarea n direciay a punctuluiB.
Deplasarea w n direciaz a unui punct oarecare Ceste compus din w0 s alungirea sau scurtarea normalei. Presupunnd c neglijm alungirea sauscurtarea normalei rezult:
w = w0 (3.111)
Relaia (3.111) implic zI = 0.Starea de deformaii a stratificatului se caracterizeaz prin:
zI ,
yI ,
xyK { 0 i
zI ,
yzR ,
zxR = 0 (3.112)
Pornind de la faptul c:
x
ux x
x!I ,
yv
y xx
!I ,xv
yu
xy xx
xx
!K (3.113)
rezult urmtoarele expresii pentru deformaiile specifice diferite de zero:
2
0
2
0x
x
wz
x
u
x
x
x
x!I ,
2
0
2
0y y
wz
y
v
x
x
x
x!I
yx
wz2
x
v
y
u 02
00xy xx
x
x
x
x
x!K (3.114)
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
42/50
42
Identificnd ca deformaii specifice ale suprafeei mediane:
x
u 00x x
x!I ,
y
v00y x
x!I ,
x
v
y
u 000xy x
x
x
x!K (3.115)
i curburile plcii:
2
0
2
x xwk
xx! ,
2
0
2
y ywk
xx! ,
yxw2k 02
xy xxx! (3.116)
se ajunge la relaia:
K
I
I
!
K
I
I
xy
y
x
0
xy
0
y
0
x
xy
x
k
k
k
z (3.117)
Relaia (3.117) scris sub form condensat devine:
kz0 I!I (3.118)
Relaiile (3.117) sau (3.118) arat c deformaiile specifice variaz liniar pegrosimea stratificatului.
3.4.2.2. Relaii tensiuni-deformaii specifice
n macromecanica lamelei compozite se prezint relaia ( W -I ) pentru olamel ortotrop. Relaia rmne valabil i pentru o lamel ortotrop ce provinedintr-un stratificat. Astfel pentru un strat elementar "k" se poate scrie:
? A kk
Q I!W (3.119)
Utiliznd relaia (3.117) i dezvoltnd matricea ? AkQ se obine:
-
K
II
-
!
X
W
W
xy
y
x
662616
262212
161211
0
xy
0
y
0x
662616
262212
161211
kxy
y
x
k
kk
QQQ
QQQQQQ
z
QQQ
QQQQQQ
(3.120)
Din relaia (3.120) rezult c tensiunile variaz liniar pe grosimea stratuluielementar.
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
43/50
43
Figura 3.27 - Distribuia deformaiilor specifice liniare,
a modulilor de elasticitate i a tensiunilor normale pe seciunea transversala unui stratificat
ntruct rigiditile lamelelor difer, iar distribuia deformaiilor specifice
pe grosimea stratificatului este liniar, (relaia (3.118)), este evident cdistribuia tensiunilor este liniar pe grosimea fiecrei lamele, cu salturi la
interfaa dintre straturile elementare. Aceast caracteristic este exemplificat nfigura 3.27 pentru un stratificat alctuit din patru lamele cu caracteristici
mecanice i geometrice diferite.
3.4.2.3. Relaii tensiuni-eforturi pentru ansamblul stratificat
Din punctul de vedere al comportrii globale, al rspunsului la aciuni, pe
seciunile unei plci stratificate apar eforturi de tip Nx, Ny, Nxy, Mx, My, Mxyaferente unei limi unitare.
Aceste eforturi genereaz. la rndul lor tensiuni normale i tangeniale detipul: Wx, Wyi Xxy.
Relaiile dintre cele dou tipuri de eforturi se stabilesc pe baza teorieiplcilor (figura 3.28) i sunt cele date de relaiile (3.121) i (3.122).
dzN x2
h
2
hx W!
, dzN y2
h
2
hy W!
, dzN xy2
h
2
hxy X!
(3.121)
i:
dzzM x2
h
2
hx W!
, dzzM y2
h
2
hy W!
, dzzM xy2
h
2
hxy X!
(3.122)
1
2
3
4
I E W
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
44/50
44
Figura 3.28 - Eforturi caracteristice pe seciunile transversaleale unui stratificat tip plac
Sau, sub form vectorial:
dz
N
N
N
xy
y
x
2
h
2
h
xy
y
x
X
W
W
!
(3.123)
dzz
M
M
M
xy
y
x
2
h
2
h
xy
y
x
X
W
W
!
(3.124)
3.4.2.4. Relaii eforturi deformaii specifice pentru ansamblul stratificat
Straturile (lamelele) n stratificat se numeroteaz pornind de la parteasuperioar spre baz. Se consider originea sistemului de axe (x0z) n planulmedian. n acest caz, distana de la planul median la limita stratului, hk, este
pozitiv sub planul median, fiind negativ deasupra acestuia.Aplicnd relaia (3.123) la un produs stratificat cu "n" straturi elementare
(figura 3.29) rezult:
dz
N
N
N
xy
y
xn
1k
h
h
xy
y
x
k
1k
X
W
W
!
!
(3.125)
b
z
yx
Mx Mxy
Nx
Nxy
NyxNyMy
Myx
h/2
h/2
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
45/50
45
Figura 3.29 - Notaii pentru stabilirea relaiilor
eforturi-deformaii specifice
Combinnd relaiile (3.125) i (3.120) rezult :
!
!
-
-
-
K
I
I
-
!
n
1k
xy
y
x
662616
262212
161211
h
h
n
1k0
xy
0
y
0
x
662616
262212
161211
h
h
xy
y
x
dzz
k
k
k
QQQ
QQQ
QQQ
dz
QQQ
QQQ
QQQ
N
N
N
k
1k
k
1k
(3.126)
innd seama de faptul c 0I i (k) nu sunt funcii de z i n interiorulfiecrui strat elementar coeficienii matricei reduse a constantelor elastice
transformate ? AQ nu sunt funcie de z iar 0I i (k) nu depind de numrul lameleicurente "k", ecuaia (3.126) devine:
-
-
-
-
!
!
!
xy
y
xn
1k
h
h
662616
262212
161211
0
xy
0
y
0
xn
1k
h
h
662616
262212
161211
xy
y
x
k
k
k
dzz
QQQ
QQQ
QQQ
dz
QQQ
QQQ
QQQ
N
N
N
k
1k
k
1k
K
I
I
(3.127)
1
2
n
k
h0h1
hk-1hk
hn-1
hn
h
xplan median
0
z
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
46/50
46
Aplicnd relaia (3.124) la un produs stratificat cu "n" straturi elementare
(figura 3.29) rezult:
dzzMM
M
xy
y
xn
1k2
h
2
h
xy
y
x
XW
W
!
! (3.128)
Combinnd relaiile (3.128) i (3.120) i innd cont de observaiile de mai
sus cu privire la 0I , (k) i ? AQ rezult:
-
-
K
I
I
-
-
!
!
!
xy
y
x
2h
h
n
1k
662616
262212
161211
0
xy
0
y
0
x
h
h
n
1k
662616
262212
161211
xy
y
x
k
k
k
dzz
QQQ
QQQ
QQQ
dzz
QQQ
QQQ
QQQ
M
M
M
k
1k
k
1k
(3.129)
Pe baza expresiilor (3.127) i (3.129) se definesc matricele [A],[B],[D]:
? A
1kkn
1kijij
662616
262212
161211
h
h
n
1k
662616
262212
161211
hhQA
AAA
AAA
AAA
dz
QQQ
QQQ
QQQ
A k1k
!
!
!
-
!
-
-
!
(3.130)
? A
2 1k2kk
n
1kijij
662616
262212
161211
h
h
n
1k
662616
262212
161211
hhQ2
1B
BBB
BBBBBB
dzz
QQQ
QQQQQQ
B k1k
!
!
!
-
!
-
-
!
(3.131)
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
47/50
47
? A
3 1k3kn
1kijij
662616
262212
161211
2h
h
n
1k
662616
262212
161211
hhQ3
1D
DDD
DDD
DDD
dzz
QQQ
QQQ
QQQ
D k1k
!
!
!
-
!
-
-
!
(3.132)
Cu aceste notaii expresiile eforturilor pe seciunile stratificatului devin:
? A ? A kBAN
k
k
k
BBB
BBB
BBB
AAA
AAA
AAA
N
N
N
0
xy
y
x
662616
262212
161211
0
xy
0
y
0
x
662616
262212
161211
xy
y
x
I!
-
K
I
I
-
!
(3.133)
i
? A ? A kDBM
k
k
k
DDD
DDD
DDD
BBB
BBB
BBB
M
M
M
0
xy
y
x
662616
262212
161211
0
xy
0
y
0
x
662616
262212
161211
xy
y
x
I!
-
K
I
I
-
!
(3.134)
Din expresiile (3.133) i (3.134) se obine relaia eforturi-deformaiispecifice pentru placa stratificat sub forma:
I
-
!
kDB
BA
M
N 0
.
/
...
/
. (3.135)
Denumirile matricelor[A], [B] i [D] sunt:[A] - matricea rigiditilor axiale;[B] - matricea de cuplare;[D] - matricea rigiditilor la ncovoiere.
Se observ c eforturile pe seciunile stratificatului sunt funcie dedeformaiile specifice liniare, deformaiile specifice unghiulare i curburile dencovoiere i de rsucire.
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
48/50
48
n relaia (3.135) matricele [A], [B] i [D] formeaz matricea [E] denumit
matricea rigiditilor de ansamblu ale stratificatului.
3.4.2.5. Relaii deformaii specifice - eforturi pentru ansamblul stratificat
Se obin prin inversarea relaiei (3.135) i sunt date de relaia (3.136):
-
!
I
M
N
dh
ba
k
0
.
/
...
/
. (3.136)
unde:1
DB
BA
dh
ba
-
!
-
/
...
/
/
...
/
(3.137)
n relaia (3.137) matricele [a], [b], [h] i [d] formeaz matricea [E]-1
denumit ca matricea flexibilitilor de ansamblu ale stratificatului iar termeniimatricei [E]-1se determin conform procedurii prezentate n continuare.
Din relaia (3.133) prin inversare se obin deformaiile specifice dinaciunea unor eforturi axiale conform relaiei (3.138):
? A ? A ? A kBANA 110 !I (3.138)
Substituind vectorul deformaiilor specifice dat de relaia (3.138) n relaia(3.134) se obine:
? A ? A ? A ? A kDkBNABM 1 ! (3.139)
Se noteaz:
? A ? A
? A ? A ? A? A ? A ? A? A ? A ? A ? A ? ABABDD
ABC
BAB
AA
1*
1*
1*
1*
!
!
!
!
(3.140)
Combinnd relaiile (3.139) cu ultima relaie inversat din setul de relaii(3.140), se obine:
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
49/50
49
? A ? A ? A NCDMDk *1*1* ! (3.141)
Din relaiile (3.137) i (3.141) prin substituire, se obine:
? A ? A ? A ? A ? A ? A MDBNCDBA 1***1***0 !I (3.142)
Combinnd relaiile (3.141) i (3.142) se obin relaiile care permit calcululmatricei de flexibilitate a stratificatului:
? A ? A ? A ? A ? A? A ? A ? A? A ? A ? A ? A? A ? A1*
T*1*
1**
*1***
Dd
bCDh
DBb
CDBAa
!
!!
!
!
(3.143)
Dac se cunoate vectorul deformaiilor specifice i a curburilor se pot
determina tensiunile normale i tangeniale n fiecare strat cu relaia (3.120), iardac se utilizeaz relaia (3.117) se pot calcula deformaiile specifice liniare i
unghiulare corespunztoare fiecrui strat (n relaie, z este distana de la planulmedian la stratul analizat). n urma efecturii calculelor pentru stabilirea
caracteristicilor mecanice ale lamelelor in coordonate generale, precum si alestratificatului transversal simetric (armarea este realizat n cruce), se impun
menionate urmtoarele observaii referitoare la calculul deformaiilor specificei a eforturilor n cazul unui stratificat tip plac:
y la stratificatele simetrice (simetrie realizat geometric i subaspectul proprietilor mecanice ale straturilor), matricea [B] aretoi termenii nuli;
y la stratificatele alctuite din lamele izotrope termenii:A16=A26=D16=D26=0
y pentru lamelele armate unidireciona1, n coordonate genera1e,termenii de tipul 6iQ 6i { ai matricei reduse a constantelorelastice transformate sunt nuli datorit produsului cosUsinU ;
y datorit simetriei stratificatului se poate scrie:? A ? A ? A ? A ? A ? A ? A 11 Dd;0bh;Aa !!!!
8/3/2019 3-alcatuirea si calculul
50/50
3.4.2.6. Caracteristicile mecanice ale ansamblului stratificat
De multe ori este mai uor s se utilizeze n calculele de proiectare
caracteristicile mecanice pentru ntreg ansamblul stratificat, elementul fiind
proiectat dup metodele tradiionale. Pentru aceste cazuri se pot calcula moduliide elasticitate, coeficienii lui Poisson, etc., cu relaiile (3.144).Aceste relaii permit calculul caracteristicilor mecanice ale ansamblului
stratificat la solicitri pure dup o direcie, toate celelalte eforturi fiind nule.
11x11
x
0
x
xx ha
1
Nah
N
E !!IW
!
22y22
y
0y
y
y ha
1
Nah
N
E !!I
W
!
66xy66
xy
0
xy
xy
xy ha
1
Nah
N
G !!K
X!
66
26
y,xy
11
16
xy,x
11
12
xy a
a;
a
a;
a
a!L!L!R
Utiliznd calcule matematice asemntoare, pentru stratificatele simetricese poate scrie relaia moment ncovoietor-curbur astfel:
x
11x11x
1
b
MdMdk
V!!! (3.145)
Relaia (3.145) permite calculul aproximativ al modulului de elasticitate lancovoiere pentru elementul stratificat cu relaiile (3.146) i (3.147):
11
3i,x dh
12E ! (3.146)
i analog:
22
3i,y dh
12E ! (3.147)
Top Related