1
CIRCUITE N REGIM SINUSOIDAL
1. Mrimi variabile, periodice, alternative: Fie o funcie y(t) ce reprezint o mrime variabil. Se definesc: - valoarea instantanee este valoarea la un moment oarecare t;
- valoarea maxim respectiv minim ymax 12 tt , ymin 12 tt , sunt maximul i respectiv minimul n
intervalul 12 tt .
Valoarea maxim se numete de vrf i se noteaz 12 tt .
- valoarea medie este media valorilor instantanee, calculat aritmetic 12 tt sau Ymed 12 tt ,
==2
1121212
1 ttmed
ydttt
ttYtt
Valoarea medie este nlimea dreptunghiului de lime 12 tt , avnd aria cuprins ntre curba y(t) i axa 0t n intervalul considerat.
- valoarea efectiv sau eficace n intervalul 12 tt este rdcina ptrat a mediilor ptratelor
valorilor instantanee, notat Y 12 tt
Y 12 tt
=2
1
2
12
1 tt
dtytt
Valoarea efectiv 12 tt a intensitii curentului variabil n timp i(t) este intensitatea curentului
continuu care ar dezvolta aceiai cantitate de cldur ntr-un rezistor liniar n intervalul de timp 2 1( )t t .
=2
1
2
1212
1 tt
dtitt
ttI
2
1
2 22 1( )
t
i ItQ R i dt Q RI t t= =
Din egalarea lor rezult relaia anterioar.
- Mrime periodic
( ) ( )y t y t nT= + valoarea se repet dup un numr ntreg de intervale constante T
2
frecvena f este numrul de perioade n unitatea de timp; fpi 2=
Deoarece toate valorile instantanee ale unei mrimi periodice sunt cele cuprinse n intervalul
Tttt + 11 , n formule se nlocuiete Ttt += 12 i se suprim indicele 12 tt din notaiile
simbolurilor. Valoarea maxim i minim se noteaz ymax(), ymin, iar valoarea medie y~ (Ymed).
1
1
1 t Tmed t
Y ydtT
+= =
1
1
21 t Tt
Y y dtT
+= - valoare efectiv
- Mrime pulsatorie - este mrimea periodic a crei valoare instantanee nu schimb semnul.
- Mrime alternativ este mrimea periodic a crei valoare medie este nul.
01 11
== +Tt
tydt
T
Poriunile de curb pentru care y(t)>0, respectiv y(t)
3
Valoarea medie pe o alternan, se obine:
max max222
2 21cos( )
2
T T
TY Yydt tT T
pi
+ +
= = + =
Valoarea efectiv Y se calculeaz cu relaia:
[ ]1 11 1
2 2 22 2max max maxsin ( ) 1 cos 2( )
2 2t T t T
t t
Y Y YY t dt t dtT T
+ += + = + =
max
2YY =
( ) 2 sin ( )y t Y t = + - forma normal n sinus a mrimii armonice.
RELAII DE FAZ
Dou mrimi sinusoidale de aceiai frecven
)sin(2)( 111 += tYty i )sin(2)( 222 += tYty se numesc defazate dac diferena fazelor lor, egal cu diferena fazelor iniiale e nenul.
0)( 2121 =++ tt [ ].21 raddefazaj=
dac 021 = , mrimea )(1 ty este defazat naintea mrimii )(2 ty ; 021 == , )()( 21 tysity sunt n faz (sinfazice); 021 = , )(1 ty defazat n urma )(2 ty
221pi == , )(1 ty este defazat n cuadratur naintea lui )(2 ty .
Dac )(1 ty trece cu valori cresctoare prin maxim pozitiv, mrimea )(2 ty trece prin 0 cu valori cresctoare
221pi == , )(1 ty este defazat n cuadratur n urma lui )(2 ty
Dac y1(t) trece prin maxim cu valori cresctoare, y2(t) trece prin 0 cu valori descresctoare. 1 2 pi= = - mrimi n opoziie
Dac una trece prin maxim pozitiv, cealalt trece prin maxim negativ.
4
O mrime sinusoidal este complet determinat prin valoarea efectiv, frecven i faz iniial. n regim permanent sinusoidal, frecvena tensiunilor i curenilor laturilor reelei liniare este frecvena surselor de alimentare i n acest caz, mrimile sunt caracterizate numai prin valoarea efectiv i faza
iniial. Cu notaiile lui Kennelly, funcia sinusoidal.
)sin(2)( += Yty
se reprezint 2Y t +
respectiv Y
Relaiile de faz ntre mrimile sinusoidale, au sens numai dac au aceiai frecven. Dac frecvena este diferit, diferena fazelor este variabil n timp i relaiile defazat inainte sau defazat n
urm nu au semnificaie.
OPERAII a) Multiplicarea cu scalari
( )( )
+=
+=
tYty
tYty
sin2)(sin2)(
Faza iniial constant. Valoarea efectiv se amplific cu b) Adunarea mrimilor sinusoidale
( )
1 1 1
2 2 2
1 2
2 sin( )2 sin( )
( ) ( ) ( ) 2 sin
y Y t
y Y t
y t y t y t Y t
= +
= +
= + = +
avnd aceiai frecven, cu valoare efectiv i faza iniial date de relaiile:
)cos(2 21212221 ++= YYYYY
2211
2211
coscos
sinsin
YYYY
tg+
+=
c) Derivata n raport cu timpul mrimii sinusoidale, este o mrime sinusoidal de aceiai frecven, valoarea efectiv de ori mai mare i defazat n cuadratur nainte
)2sin(2 pi ++= tYdtdy
d) Integrala unei mrimi sinusoidale
5
( )( ) 2 sin2
cos( ) 2 sin( )2
y t Y t
Y Yydt t t
pi
= +
= + = +
deoarece regimul este nepermanent, integrala este nedefinit.
e) SUMA a dou mrimi sinusoidale )(1 ty i )(2 ty avnd frecvene diferite nu este o mrime sinusoidal.
)sin(2)sin(2)()()( 22211121 +++=+= tYtYtytyty dac 021 YYY == i 021 == i pulsaile sunt puin diferite = 221 , mrimea sum
1 21 2 0 0( ) ( ) ( ) 2 cos sin( )2y t y t y t Y t
+= + = + poate fi considerat sinusoidal, de pulsaie
( )2
21 + i amplitudinea 02 cosY t lent variabil n timp.
f) Produsul a dou mrimi sinusoidale de aceiai frecven 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2 sin( )sin( ) cos( ) cos(2 )p t y t y t YY t t Y Y Y Y t = = + + = + +
REPREZENTAREA GEOMETRIC A MRIMILOR SINUSOIDALE
REPREZENTAREA CINEMATIC
Se asociaz mrimii sinusoidale )sin(2)( += tYty un vector de modul 2Y care se rotete n plan n sens trigonometric cu viteza unghiular (pulsaia mrimii) i formeaz la fiecare moment un unghi 0t + cu axa Ot .
Axa care rotete n acelai sens cu vectorul i formeaz cu aceasta un unghi constant 0 se
numete ax origine de faz Ox. Unghiul se msoar fa de axa origine de faz i este pozitiv n sens trigonometric i negativ n sens orar.
6
x0
y0
A
t
y(t)
0 +t
0
Y2
x0
y0
A1
A2
01
02
y
x
Y2
Y2
0
2pi
Y2
pi Y2
2
Vectorul rotitor numit fazor cinematic, respectiv fazor geometric nesimplificat are proiecia pe
axa Oy0 egal cu mrimea sinusoidal
02)()(
+=
tYty
tyAO
{ } 0( ) 2gn y t Y t = + gnF reprezint cinematica mrimii sinusoidale operaiei de multiplicare a mrimii sinusoidale y(t)
cu scalarul i corespunde amplificarea cu a amplitudinii fazorului.
{ } 0( ) 2gn y t Y t = + analog { }1 2( ) ( )gn y t y t+ = { }1( )gn y t + { }2 1 1 2 2( ) 2 2gn y t Y t Y t = + + +
Derivatei 02 2gndy Y tdt
pi = + +
Integralei
{ } 02 / 2gn ydt Y t pi= +
7
Reprezentarea polar
Se asociaz mrimii sinusoidale y(t) un vector fix de modul OB egal cu valoarea efectiv Y a mrimii sinusoidale, fcnd cu axa de origine de faz OX un unghi egal cu faz iniial .
Vectorul fix se numete fazor polar sau fazor geometric simplificat.
Reprezentarea polar se deduce din cea cinematic prin rotirea planului ce conine axa OX n
sens invers trigonometric cu i prin mprirea cu 2 a modului vectorului rotitor OA.
Reprezentarea polar se numete simplificat
gs = reprezentarea polar
{ }( ){ }
{ } { } { }
{ }
1 21 2 1 2
1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
gn
gs
gs gs gs
gs
gs
y t Y
y t Y
Y Yy t y t F y t F y t
dy Ydt
Yydt
pi
pi
=
=
+ = + = +
= +
=
Pentru trasarea diagramei polare cu mai muli fazori se alege arbitrar o ax de origine de faz, de
obicei fazorul unei mrimi, considerate origine de faz.
Aplicarea metodei reprezentrii polare n cmpuri electrice simple
Se consider un circuit coninnd un rezistor, o bobin i un condensator sub tensiune
sinusoidal, considerat origine de faz.
( ) 2 sinu t U t= i se determin cu metoda diagramelor polare valoarea efectiv I i defazajul al curentului.
( ) += tIti sin2)( a) REZISTOR
Ecuaia caracteristic este R RU R i=
8
Aplicnd formula, rezult { }( )gs Ri t = 1 ( ) 0gs R UU tR R
=
REZISTOR BOBIN
oR
UI RR == 2/pi
==
LU
I LL
Bobin
Ecuaia caracteristic este: dtdi
LU LL =
Aplicnd formula, rezult:
{ } 1 1( ) / 2
2
gs gs L
LL
F i t F u dt UL L
UI LL
pi
pi
= =
= = =
UR R U
iR
IR 0=
iR u
u
i
pi2
u L
iL U
IL
2/pi
u
iL
R
U
iR
IR 0=
iR u
u
i
pi2
u L
iL U
2/pi
u
u
iR
i
2
u
i L
i u
t
uR
reactan inductiv
9
n diagrama polar, fazorul curentului Li se obine amplificnd modulul fazorului tensiunii cu
L1
= i rotind n sens invers trigonometric cu / 2pi , mprind cu . Condensator
Ecuaia caractersitic a condensatorului este: cc
dui Cdt
= .
{ }( ) / 2cgs c gs cduF i t F C CUdt pi
= =
deci cc CUI = ; 2/pi =c
Circuitul RLC serie Ecuaia caracteristic este: CLR uuuu ++= .
Ecuaia de fazori are forma: { } { } { } { }CgsLgsRgsgs uFuFuFuF ++= . Deoarece prin fiecare din elementele circuitului curentul este acelai, se alege curentul origine de faz.
tIti sin2)( = i rezult pentru tensiune, expresia:
)sin(2)( += tUtu
Diagrama polar se construiete astfel:
UC
iL u
u
i
U
IC
2/pi C
t
iC
10
s Z
R
X
Rc
Ltgarc
cLRIU
s
1
)1( 22
=
+=
i ZUI = Z- impedana circuitului
mrimea L CX X X= = reactana echivalent sau total a circuitului
i 2 2Z R X= +
Circuitul RLC paralel Ecuaia caracteristic este: LCR iiii ++= .
Ecuaia de fazori este: {} { } { } { }CgsLgsRgsgs iFiFiFiF ++= . Diagrama polar este:
UL
U
UR
I
s
UC
U IR
I
p
IL IC
11
22 1
+=
LCGUI
22 1
+=
LCG
admitana circuitului paralel [ ]S
mrimea ==L
CB
1
susceptan echivalent sau total
[ ]B siemeni CLC BundeBBB = susceptan capacitiv
LB susceptan inductiv
Caracterizarea circuitelor dipolare n regim sinusoidal Fie o reea electric constituit din elemente pasive (R,L,C) i dou borne de acces )1(),1(
La cele 2 borne se aplic o tensiune sinusoidal u . ( ) 2 sin( )u t U t = + . Pentru a calcula curentul absorbit se nlocuiete reeaua cu un dipol echivalent parcurs de curentul i .
)(sin2)( += tIti
care n general satiface o ecuaie diferenial n care raportul ( )( )u t
i t este un operator.
n regim sinusoidal, dipolul este caracterizat de doi parametrii:
GL
Ctg p
1
=
u
i
( )1
( )1
12
X
R
sR
Z
a) impedana echivalent Z i defazajul s , definite:
0 02 2s s
UZI
pi pi = > = > < <
Din diagrama de impedan,
cos2cos 0
sinsin 0
ss
ss
URI
UX ZI
= = >
= = >
Unde =sU cos componenta activ a tensiunii n faz cu curentul i =sU sin componenta
reactiv a tensiunii n cuadratur cu curentul. Dac se dau rezistena i reactana, impedana Z i
defazajul s se calculeaz dup cum urmeaz: 2 2
s
XZ R X arctgR
= + =
i valoarea instantanee:
2 2( ) 2 sin ( )U Xi t t arctg
RR X = +
+
2 2( ) 2 sin Xu t I R X t arctgR
= + + +
.
Clasificarea circuitelor dipolare n regim sinusoidal
- REZISTIV ( ) 0 0sZ R X = = = ; - REACTIV 0 ( 0) 0sX B ;
- PUR REACTIV sau NEDISIPATIV 0 ( 0) / 2sR G Z X pi= = = = ;
<
<
13
- INDUCTIV 0 0sX > > ;
- PUR INDUCTIV 0; ; / 2sR Z X pi= = = ;
- CAPACITIV 0 0sX < < ;
- PUR CAPACITIV 0; ; / 2sR Z X pi= = = .
Puteri n regim sinusoidal Se consider un dipol liniar. Dac )(tu i ( )i t se asocieaz dup regula de la receptoare, tensiunea se numete aplicat i puterea instantanee este primit de dipol. Dac sensurile sunt asociate dup regula de la generatoare, tensiunea este produs i puterea instantanee este produs sau cedat de dipol. Presupunem sensurile asociate dup regula de la receptoare:
).2cos(cos)()sin()sin(2)().()(
)sin(2)()sin(2)(
++=
++==
+=+=
tUIUItpttUItitutp
tUtitUtu
unde s = se consider defazajul ntre curent i tensiune.
s == Prin convenie se consider n calculul puterilor s = .
Puterea instantanee conine un termen constant n timp = PUTERE ACTIV 0cos >= UIP i
un termen sinusoidal de frecven dubl, numit PUTERE OSCILANT.
)2
2sin()(0pi ++= tUItp
Energia, calculat ntr-un interval de timp egal cu un numr ntreg de perioade (nT) are expresia:
+
===
nTt
t
nTPnTUIpdtnTW1
1
cos)(
Deci puterea activ este valoarea medie a puterii instantanee ntr-un numr ntreg de perioade.
+
==
nTt
t
pdtnTnT
nTWP1
1
1)(
Puterea activ pozitiv e primit, iar cea negativ e cedat de dipol, dac sensurile de referin sunt asociate dup regula de la receptoare invers dac sunt asociate dup regula de la generatoare.
14
PUTEREA REACTIV definit de relaia: 0sin >== UIPQ r (VAR) dac 02/0 > Qpi deci este cedat de dipolul receptor i primit de cel generator.
PUTERE APARENT (Pap sau S) apP S UI= =
2 2 2
; cos ;
sin .
ap
ap
ap
P P QQ Ptg P P
Q P
= +
= =
=
Puterea aparent nu depinde de defazaj i depinde de valoarea maxim a puterii active max 0apP P = =
sau valoarea maxim a puterii reactive n valoare absolut.
max / 2apP Q pi= =
Factorul de putere ap
PKP
= 0 1k< < .
n regim sinusoidal, cosk =
Calculul puterilor n circuitele dipolare simple Se consider un circuit coninnd o rezisten, o bobin i un condensator sub tensiune
sinusoidal. Puterile se calculeaz cu formulele i se obine:
a) circuitul cu rezistor 0; ==== RsR RUI i rezult
22cos 0; 0;R R R R ap R
UP UI RI Q P PR
= = = > = = . Rezistorul absoarbe putere activ egal cu cldura
dezvoltat n unitatea de timp prin efect electrocaloric. Puterea reactiv e nul, puterea aparent este egal cu puterea activ i factorul de putere este maxim.
cos 1R Rk = =
<
S Q
P
15
b) circuitul cu bobin 2/pi
==== LsL LUI i rezult
22
cos 0
sin 0
L L L
L L L L ap L
P UIUQ UI L I P Q
L
= =
= = = > =
Bobina absoarbe putere reactiv, puterea activ e nul, puterea aparent e egal cu puterea
reactiv i factorul de putere e nul.
Dac se alege tensiunea origine de faz )0( = , puterea instantanee Lp este egal cu puterea oscilant i are expresia: tUItUItp LL pipi 2sin)2/2/02sin()( =+=
( ) sin 2 sin 2L L Lp t UI t Q t = = Deci puterea reactiv LQ este amplitudinea puterii instantanee. Energia magnetic )(tWL n intervalul (0,t) se calculeaz dup cum urmeaz:
==t
LLL t
QdtptW0
)12(cos2
)(
Valoarea medie calculat ntr-o perioad,
===T
m
LLL W
QdtWT
W0 2
1~
(*)
unde 221 LIWm =
Energia magnetic medie a bobinei sub tensiune sinusoidal este egal cu energia magnetic
mW a bobinei parcurs de curentul continuu de intensitate egal cu valoarea efectiv a curentului
sinusoidal. Din ecuaia (*) rezult c puterea reactiv a bobinei este proporional cu energia magnetic mW .
mL WQ 2=
c) pentru circuitul cu condensator 2/; pi ==== CsC UCI 2
2cos 0 sin cc c c C c c
IP UI Q UI CUC
= = = = =
cos 0L Lk = =
16
ap cP Q= Condensatorul absoarbe putere reactiv negativ, prin urmare produce putere reactiv, puterea activ fiind nul. Puterea aparent este ega cu puterea reactiv i factorul de putere e nul.
cos 0c ck = =
Dac se alege tensiunea n origine de faz ( 0 = ), puterea instantanee cp egal cu puterea oscilant
0cp are expresia:
( )'( ) sin 2 / 2 sin 2( ) sin 2 sin 2
c c c
c c c
p t UI t UI tp t UI t Q t
pi
= + + =
= =
cQ este amplitudinea puterii instantanee.
Energia electric ( )CW t n intervalul ( )0, t se calculeaz:
( )0
(1 cos 2 )2
tc
c t c
QW p dt t
= =
i valoarea medie
===T
ec
cc WQdtW
TW
0 21~
unde 221 CUWc =
Energia electric medie a condensatorului sub tensiune sinusoidal cW
~
este egal cu energia
electric cW a condensatorului sub tensiune continu egal cu valoarea efectiv a tensiunii sinusoidale.
Deci puterea reactiv a condensatorului este proporional cu energia electric eW .
ec WQ 2= Circuitul RLC serie Valoarea efectiv a curentului i defazajul
s au expresiile:
17
22 1;
1
1
cos ; sin2
s
s s
UI Z R LZ c
Lcarctg
R
LR X cZ Z
= = +
= =
= = =
Puterea activ, reactiv i aparent se calculeaz:
2 21cos ; sins s
ap
P UI RI Q UI L IC
P UI
= = = =
=
Factorul de putere rezult subunitar
cos 1sk = <
Dac se calculeaz separat puterile pentru fiecare element al circuitului, se obine:
- pentru rezistor: 2RIPR = ; 0=RQ ; - pentru bobin: 20 LIQP LL == ;
- pentru condensator: 2
0C CIP QC
= = .
Deci, puterea activ a circuitului RLC serie este puterea activ a rezistorului; puterea reactiv
este suma algebric a puterilor reactive ale bobinei i condensatorului. Bobina absoarbe putere reactiv iar condensatorul cedeaz putere reactiv. Deci puterile reactive se compenseaz i numai excesul este puterea reactiv a circuitului. Localizarea puterii active n rezistor i a puterii reactive numai n
elementele reactive pune n eviden proprietatea de conservare separat a puterilor activ i reactiv. - circuitul RLC paralel
Se ine seama c ps =
- pentru rezistor 2GUPR = 0=RQ ;
- pentru bobin 0=LP LUQL
2
= ;
- pentru condensator 0=cP 2CUQe =
Cu aceasta, puterile activ, reactiv i aparent ale circuitului au expresiile:
18
2
2 2
2 2
cos cos
1sin sin
p
p
ap
P UI UI GU
Q UI UI C U B UL
P P Q
= = =
= = = =
= +
;
=UI
2 21( )
1
p
G CL
CLarctg
G
= +
=
Deci puterea activ a circuitului este puterea disipat n rezistor, iar puterea rectiv este cea nmagazinat n bobin i condensator.
Reprezentarea analitic prin mrimi complexe
Un numr complex C se reprezint fie cartezian.
; 1C a jb j= + = unde a este partea real msurat dup axa real, iar b este partea imaginar msurat dup axa imaginar.
{ } { }cimbcrca == ; sau trigonometric, polar sau eulerian
cos sinjC re r jr = = +
unde umentulululr
argmod
=
=
axa real
axa
imag
inar
C
a
b r
19
Dac sunt date a, b se calculeaz r i cu relaiile:
Dac sunt date r i , se calculeaz a i b cu relaiile:
cosra = ; sinrb =
Un numr complex c este nul , dac n reprezentarea cartezian, prile real i imaginar sunt
nule.
0;0 == ba
iar n reprezentarea polar modulul este nul 0=r
Dou numere complexe 1c i 2c
2
1
2222
1111
j
j
erjbacerjbac
=+=
=+=
sunt egale dac n reprezentarea cartezian au prile reale, respectiv imaginare egale.
2121 ; bbaa ==
sau dac n reprezentarea polar modulele sunt egale, iar argumentele difer cu pin2 .
;21 rr = ...2,1,0221 == nnpi
Un numr complex C multiplicat cu 0> este un numr complex C a crui parte real, respectiv imaginar, respectiv modulul sunt amplificate cu .
jC a j b r e = + =
Suma, produsul i raportul numerelor complexe 21 ,cc au n reprezentarea cartezian expresiile:
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 12 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
( ),
s c c a a j b bp c c a jb a jb a a b b j a b a b
c a jb a a b b a b b ad jc a jb a b a b
= + = + + +
= = + + = + +
+ + = = = +
+ + +
n reprezentarea polar:
0 arcsin cos
2 2
> == =
+ ==
r
b r
a arc
a
b arctg
b a c r
<
<
20
( )( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2 1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 21 1 2 2
2 2 21 1 2 21 2 1 2 1 2
1 1 2 2
1 2
1
2
cos sin cos sin cos sin
cos cos ...
sin sin 2 coscos cos
j j j
j
j
s re r e re s r jr r jr r jrr r r
r rarctg r r r r r
r r
p r r e
rd er
+
= + = = + + + +
= + +
+= = + +
+
=
=
Numrul complex je de modul unitate i argumentul se umete operator de rotaie sau de
difazare.
sincos je j += Multiplicnd un numr complex jrec = cu operatorul je , rezult un numr complex, avnd
modulul neschimbat i argumentul + . ( ) +
=jj
rece
Vectorul de poziie OC, rotete n sens trigonometric cu unghiul .
Pentru 2pi
= , operatorii de rotaie sunt egali cu j+ i j
/ 2 / 2j je j e jpi pi= = Multiplicarea vectorului de poziie cu j sau j, rotete vectorul cu 2/pi sau - 2/pi .
j
r je
je C
C
axa real axa real
C j
Cj
Cj
r
21
Reprezentarea n complex nesimplificat Se asocieaz mrimii sinusoidale
( ) ( ) += tt sin2 o mrime complex y numit imagine n complex nesimplificat, avnd modulul egal cu
amplitudinea 2 i argumentul egal cu faza +t . ( )2 j te +=
Cu aceasta, imaginile n complex nesimplificat ale curentului i tensiunii sinusoidale,
( ) ( )( ) ( )
+=
+=
tIti
tUtu
sin2sin2
sunt:
)(
)(
2
2
+
+
=
=
tj
tj
Iei
Ueu
numite curent, respectiv tensiune complex nesimplificat.
Deoarece partea imaginar a mrimii complexe y este ( )y t , rezult urmtoarea regul de trecere invers de la mrimea imagine la mrimea original:
( ) { } ( ){ } ( ) +=== + teimimt tj sin22 a) Multiplicarea mrimii sinusoidale )(ty cu scalarul 0> corespunde amplificrii cu a
amplitudinii imaginii, respectiv amplificarea cu a modulului fazorului complex nesimplificat y , argumentul nefiind simplificat.
{ }cos ( ) 2 sin( )F y t y t = = + b) Suma )(ty a mrimilor )(1 ty i )(2 ty corespunde sumei y a mrimilor complexe 1y i 2y .
21 yyy +=
<
axa real
y j dtdy
dty
2
2
y
2 axa real
j
1y
2y
1 2y y y= +
22
c) Derivatei dtdy
i corespunde produsul ntre y i j .
( ) yjejdt
ydtj == +2
Deci operatorului de derivare dtd
i corespunde biunivoc multiplicarea cu j a imaginii n
complex y .
Utiliznd operatorul de rotaie, j, fazorul dtdy
se obine amplificnd fazorul y cu i rotindu-l
cu 2/pi n sens trigonometric.
pi jdtdye
dtdy j = 2/
d) Derivatei de ordin n, n
n
dtyd
i corespunde produsul ntre mrimea complex y i ( )nj .
( )
=
n
n
n
n
dtdyj
dtyd
( )nj
e) Integralei n raport cu timpul a mrimii sinusoidale ydt i corespunde produsul dintre mrimea
complex y i j1
.
{ } { } ( )
+=== tjcncn ejdtyydtFydtF2
( ) yjejdtytj
12
== +
Fazorul dty se obine mprind fazorul y cu i rotindu-l cu 2/pi n sens invers
trigonometric.
pi
jdtyedtyj 11 2/ =
f) Integrala de ordin n a mrimii sinusoidate )(ty i corespunde
23
{ ( )( )
( )
{yedty
yj
ej
dty
jn
n
n
tjn
n
2/1...,
12...,
pi
+
=
=
=
Forma n complex nesimplificat a ecuaiilor difereniale liniare, neomogene cu coeficieni constani Se consider ecuaia diferenial liniar, neomogen cu coeficieni constani
)(......11
1 txyadtyd
adt
yda
dtyd
nkn
kn
n
n
n
n
=+++++
unde =ka constante
i max( ) sin( )x t X t = +
Notm cu Lnd operatorul diferenial liniar cu coeficieni constani.
L
1
0 1 1 ... ...
n n n k
nd k nn n n kd d d
a a a adt dt dt
= + + + + + ,
i ecuaia se poate pune sub forma:
ndx L y=
n condiiile iniiale nule, ( ) ,1,...2,1;0 == nky k soluia general ( )ty egal cu soluia particular a ecuaiei neomogene are aceeai form cu termenul liber, fiind sinusoidal i de aceiai frecven.
( ) ( )max sinY t t = + innd seama de relaiile:
( )nn
n
tj
jdtd
ey
=
= + )(2
termenul general al operatorului L nd trece n mrimea complex
( ) knkknkn
k jadtd
a
=
Deci operatorului diferenial L nd i corespunde mrimea complex ndL .
24
(1) ( ) ( ) ( ) ( )10 10
... ...
nn n n k n k
nd k n kk
L a j a j a j a a j =
= + + + + + =
deci jnd ndL L e
=
i ndL y x =
n care ( ) ( )122 22 4 3 5
2 4 1 3 5...nd n n n n n nL a a a a a a = + + +
+
+
+
+
=
imparnaaa
aaaarctg
parnaaa
aaaarctg
nnn
nnn
nnn
nnn
...
...
...
...
55
331
44
22
44
22
55
331
Ecuaia diferenial (1) trece n ecuaia algebric cu mrimi complexe ndL y x =
unde x i y sunt imaginile mrimilor sinusoidale )(tx i )(ty . ( )
( )max
max
j t
j tx X e
y e
+
=
=
Cu aceast notaie, se obine:
( )max j tnd nd
Xxy eL L
+ = =
Cu regula de trecere invers, rezult )(ty :
{ } ( )max( ) sinmnd
Xy t i y tL
= = +
Rezult evident,
L ( ) ( )nd y t x t= ndL y x= cu proprietile:
- raportului dintre dou mrimi sinusoidale de aceiai frecven i faze iniiale diferite, )(tx i )(ty i corespunde un operator diferenial L nd
( )( )
max
max
sinL
sin ndX t
t
+
+
25
- raportului dintre dou mrimi sinusoidale de aceiai frecven i corespunde n complex raportul a doi
fazori i o mrime complex ndL
( )( ) ndLy
x
tytx
=
- din corespondena operatorilor L nd ndL , urmeaz c mrimea complex ndL este un operator
complex. Operatorul complex ndL aplicat fazorului complex y , determin fazorul complex x ;
- din ecuaia jndL e y x
= , rezult c operatorul complex ndL este de rotaie i amplificare sau de
defazare i amplificare a fazorului y . Fazorul x se obine rotind y n sens trigonometric cu i
amplificnd modulul lui y cu ndL . Dei x , y , ndL sunt mrimi complexe, numai primele dou mrimi
sunt fazori, deoarece lor le corespund mrimile sinusoidale, ( ) ( )tytx , . Mrimea ndL fiind raportul a doi fazori, nu este o mrime imaginar i aplicarea regulii de trecere invers la mrimea original nu are sens.
Pentru a marca deosebirea dintre mrimile complexe cu proprieti de fazor x i y - mrimea complex
ndL definit cu raportul a doi fazori se numete defazor. Ecuaia integro-diferenial liniar neomogen
cu coeficieni constani ( )txdtycyadt
yda
dtyd
adt
yda nk
kn
kn
n
n
n
=++++++
......1
1
10 se transform prin
derivarea n raport cu timpul a ambilor termeni ntr-o ecuaie similar cu
( )txyadt
yda
dtyd
adt
yda nkn
kn
kn
n
n
n
=+++++
......1
1
10
i forma n complex corespunztoare este algebric.
( ) ( )ndnd
L y t x tL y x
=
=
n general, ecuaia diferenial de forma: 1 1
0 1 0 11 1... ... ... ...
n n n k m m m k
k n k mn n n k m m m kd y d y d y d x d x d x
a a a a y b b b b xdt dt dt dt dt dt
+ + + + + = + + + + +
respectiv nd nd nd mdL y L x=
unde Lnd i L md sunt operatori difereniali:
26
1
0 1 1
1
0 1 1
... ...
... ...
n n n k
nd k nn n n k
m m m k
nd k mm m m k
d d dL a a a adt dt dtd d dL b b b bdt dt dt
= + + + + +
= + + + + +
trece n ecuaia complex
xLyL mdnd =
unde ndL i mdL sunt operatori compleci
( )
( ) rmmr
rmd
n
k
knknd
jbL
jaL
=
=
=
=
0
0
Raportul dintre fazorii compleci y i x este o mrime complex ( )jA ,
( )( )( )
=
=
===n
k
knk
m
r
rm
r
nd
md
ja
jbLL
x
yjA
0
0
i se numete funcie complex de reea. Dac x este un curent complex i i y o tensiune complex u ,
funcia de reea ( )jZ , este dat de relaia: ( )
iujZ = impedana complex
Dac x este tensiunea complex u i y este curentul complex i , funcia de reea ( )j (admitan complex) este:
( )u
ij =
Dac ambii fazori sunt fie tensiuni complexe 1ux = i 2uy = fie curenii compleci 1x i= ,
2iy = funcia de reea se numete raport de transformare a tensiunilor, respectiv a curenilor.
( )
( )2
1
2
1
iijHiu
ujHu
=
=
27
Pentru un sistem liniar de transmisie, raportul ntre mrimea de ieire y i mrimea de intrare
x se numete funcie complex de transfer ( )jH ( ) ( ) jejH
x
yjH ==
Logaritmul natural al modulului funciei de transfer, ( )a ( ) ( )lna H j =
corespunde fie unei amplificri, fie unei atenuri. Unitatea de atenuare (amplificare) se numete neper (Np).
( ) 781,2~ex
yjH ==
Dac n locul ln se utilizeaz log, se utilizeaz unitatea decibel.
( ) [ ][ ] .686,8log201
log20dBdBeN
dBjHap ==
==
Atenuarea (amplificarea) ( )a i defazajul ( ) se numesc caracteristici de frecven ale sistemului liniar.
Formule n complex ale ecuaiilor caracteristice ale rezistorului, bobinei i condensatorului
Fie : ( )
( )
+
+
=
=
tj
tj
Iei
Ueu
2
2
Imagini n complex nesimplificat ale tensiunii i curentului sinusoidal
( ) ( )( ) ( )
+=
+=
tIti
tUtu
sin2sin2
Ecuaiile algebrice complexe care corespund ecuaiilor caracteristice ale R, L, C se stabilesc:
28
CCCCCC
LLLLLI
RRRRRR
iZuiuiZuiuiZuiu
==
==
==
Operatorii de impedane CLR ,, trec n mrimi complexe LCR ZZZ ,, numite impedane complexe.
CjZdtC
LjZdtdL
RZR
CC
LL
RR
11==
==
==
n condiiile iZu = . Impedana complex Z este operatorul care aplicat fazorului curentului i determin fazorul
tensiune u . j
eZZ =
Impedana complex este operator de rotaie i amplificare, egal cu produsul ntre modulul
impedanei Z i operatorul unitar de rotaie je .
ieZu j=
Pentru rezistor, RZ R = i 0=R
Pentru bobin, LjZ L = i 2/pi =L
Pentru condesator, CjZ C
1= i 2/pi =C
Aplicarea metodei reprezentrii n complex nesimplificat la analiza circuitelor dipolare simple. Se procedeaz astfel:
- se stabilesc ecuaiile circuitelor n mrimi instantanee; - se determin imaginile n complex ale ecuaiilor circuitelor, utiliznd formele n complex ale ecuaiilor caracteristice obinndu-se ecuaii algebrice complexe; - se rezolv ecuaiile algebrice complexe n raport cu imaginile mrimilor necunoscute;
- cu regula de trecere invers se determin mrimile necunoscute.
Circuitul RLC serie
29
CLR uuuu ++=
Ecuaia complex CLR uuuu ++=
unde ( ) += tjeUuu 2 este imaginea tensiunii aplicate ( ) ( ) += tUtu sin2 . Se nlocuiesc CLR uuu ,, , cu expresiile lor n ecuaiile caracteristice i deoarece CLR iii == se obine:
z
uiiCjjLRu =
++=
1
unde
+=
CLjRZ
1
avnd modulul:
sj
s
eZZ
RC
Ltg
jc
LRZ
=
=
+=
1
1 22
Partea real a impedanei este egal cu rezistena R, iar partea imaginar este egal cu reactana
echivalent L CX X X= .
{ } { } 1re Z R im Z X LC
= = =
deoarece ,jZ Ze = se obine: ( )22
sj tui e + =
i { } ( )2 sin2 sUi im i t = = +
Punnd ecuaia sub forma: ju Ze i= impedana Z este operator de amplificare i rotaie.
Aplicat fazorului i determin fazorul u , prin rotirea n sens trigonometric cu s i amplificarea cu Z.
Circuitul RLC paralel
R L Ci i i i= + + ecuatii n mrimi instantanee
R L Ci i i i= + + ecuaia complex
Se nlocuiesc , ,R L Ci i i cu expresiile lor din ecuaiile caracteristice i deoarece L C Ru u u u= = =
se obine:
30
1i G j C uj L
= + +
respectiv i Yu=
unde Y este admitana complex a circuitului RLC paralel.
1 1Y G j C G j Cj L L
= + + = +
avnd modulul 2 21( )Y G CL
= +
1
p
CLarctg
G
=
Partea real a admitanei este conductana G, iar partea imaginar este susceptana echivalent
C LB B B=
( )re Y G= ( ) 1im Y B CL
= =
nlocuind pjY Ye = se deduce curentul complex i ( )
( ) { } ( )2
2 sin
pj t
p
i YUe
i t im i YU t
+ +=
= = + +
n ecuaia = uei pj este operator de rotaie i amplificare
CARACTERIZAREA N COMPLEX A CIRCUITELOR DIPOLARE n regim sinusoidal Circuitele dipolare au fost caracterizate n regim permanent sinusoidal prin doi parametrii reali: impedan i defazaj sau rezisten i reactan sau admitan i defazaj sau conductan i susceptan. n reprezentarea n complex nesimplificat sau simplificat circuitele dipolare sunt caracterizate de o mrime complex impedana sau admitana complex. Fie o reea electric liniar, constituit din elemente pasive ),,( CLR . ntre dou puncte reeaua este echivalent cu un dipol. Dipolul, sub tensiune complex u sau U , parcurs de curentul complex i
sau I este caracterizat de un parametru complex, i anume :
- impedana complex sjeZI
UiuZ === unde { } { } { }argsZ Z Z R re Z X im Z= = = =
31
- admitana complex pjeUI
u
i === unde = (admitana)
{ } { } { }arg ; ; .p G re B im = = =
=
1Z i deci psZ =
=1
Ecuaiile sjeZZ = i pje = se numesc forma n complex a ecuaiei lui Ohm.
PUTERE COMPLEX Puterea instantanee p egal cu produsul valorilor instantanee ale tensiunii i curentului sinusoidali n timp, nefiind o mrime sinusoidal de aceeai frecven nu poate fi reprezentat n complex.
Produsul tensiunii n complex nesimplificat u prin curentul complex nesimplificat i ( ) ++
=tjeUIiu 22
sau produsul tensiunii complexe simplificate U prin curentul complex simplificat I ( ) +
=jeUIIU
nu pot fi utilizate pentru calculul puterilor activ i reactiv a dipolului.
Mrimea complex S definit prin semiprodusul ntre tensiunea complex nesimplificat i
curentul complex nesimplificat conjugat *i , respectiv produsul dintre tensiunea complex simplificat U prin curentul complex simplificat conjugat *I .
**
21 IUuiS ==
se numete putere complex.
nlocuind expresiile lui iu, i IU , se obine: ( ) ( )
( )
*
*
1 1 2 2 cos sin2 2
cos sin
j t j t
jj j
S ui U e I e UI jUI
S UI Ue I e UIe UI jUI
+ +
= = = +
= = = = + =
deci sincos UIQUIPjQPS ==+= unde s == defazajul ntre curent i tensiune { } { } { }; argP re S Q im S S S S= = = =
32
IMPEDANE I ADMITANE COMPLEXE ECHIVALENTE Dipol echivalent
Se consider dipolul echivalent al unei reele ntre bornele ( ) ( )bsia . Se presupune c u,i sunt sinusoidali n timp, de aceeai frecven, cu sensurile de referin asociate dup regula de la receptoare.
U , I sunt imaginile n complex simplificat.
Se definete eZ impedana echivalent complex
eRsj
e e e
UZ Z e j XI
= = = +
cos : sine e s e e sR Z X Z = = ;
Cu modulul egal cu impedana echivalent eZ i argumentul s egal cu defazajul ntre tensiune i curent.
{ } { }0 0e e e eR re Z X im Z< > Raportul ntre curentul complex I i tensiunea complex U se numete admitan.
; cos sinpjc e e e e p e e pI
e G jB G BU
= = = + = =
conductana echivalent { }eG re e= susceptana echivalent { }eB im e= . Dac reeaua este pasiv i conine, rezistoare, bobine i condensatoare ( )0,0,0 >>> CLR atunci R 0e > i 0eG > . Dac reeaua conine i surse, aceste mrimi pot fi i negative.
Dipolul caracterizat prin rezistena echivalent ( )ssR i reactana echivalent
( )jeX admite
schema echivalen serie n care reactana corespunde fie unei inductiviti echivalente ( )seL fie unei
capaciti echivalente ( )seC . ( ) ( ) 1;j see e
e
XL CX
= =
Dipolul caracterizat de conductana echivalent ( )peG i susceptana echivalent
( )peB admite
schema echivalent paralel, n care susceptana corespunde unei inductiviti echivalente ( )peL fie unei
capaciti echivalente ( )peC
33
( ) ( )1 ;p p ee e
e
BL CB
= =
CONEXIUNEA SERIE A DIPOLILOR LINIARI I PASIVI Se consider n dipoli liniari, pasivi i necuplai magnetic avnd impedanele complexe
,,...2,1 nkZ k = conectai n serie i fie kU i II k = tensiunea complex i curentul complex,
acelai prin dipolii k .
kkk IZU =
Tensiunea echivalent la bornele dipolului echivalent, este egal cu suma algebric a
tensiunilor complexe kU .
=
= ke
n
k
n
k ZZdeciIZUU11
Separnd prile real i imaginar se obine rezistena echivalent i reactana echivalent.
;e k e kR R X X= = .
CONEXIUNEA PARALEL
eZ U
I
1Z
2Z
kZ
nZ
1U
2U
kU
nU
34
UUI kkkk ==
i =
==n
k
n
e
n
kk UII11 1
separnd prile real i imaginar, rezult 1 1
;n n
e k e kG G B B= = .
CIRCUITE DIVIZOARE DE TENSIUNE I CURENT
Un circuit divizor de tensiune se compune din doi dipoli conectai n serie. Tensiunea U
aplicat circuitului se divide n tensiunile 1U i 2U .
21 UUU += ; notnd 2
1
22
11
j
j
eZZ
eZZ
=
=
dipoliloralecomplexe
eimpedantel
Curentul complex I are expresia:
21 ZZUI+
=
U 1I 2I kI kI nI
1 2 k n
I
U
1Z U
I
2Z 2U
1U U 2U
1U
U
1U
2U
I
35
i UZZ
ZIZUZZ
ZUIZU +
==
+==
21
111
21
222
Tensiunea efectiv 2U poate fi mai mic sau mai mare dect tensiunea efectiv U aplicat
divizorului.
Pentru msurarea tensiunilor nalte U, tensiunea U2 fiind mic se aleg dipolii astfel nct, fie
021 == i divizorul este poteniometric, fie 2/21 pi == i divizorul e capacitiv.
Un circuit divizor de curent se compune din doi dipoli conectai n paralel. Curentul total I ,
complex se divide n curenii 1I i 2I .
21 III +=
iar pentru curentul complex 2I se deduce expresia 21
2
21
12 +
=
+= I
ZZZII .
Valoarea efectiv a curentului 2I poate fi mai mare sau mai mic dect valoarea curentului
efectiv I .
Dac 021 == , divizorul de curent e rezistiv i se numete Sunt.
CIRCUITE DIPOLARE REZONANTE Circuit rezonant RLC serie Se consider circuitul RLC serie cu tensiune sinusoidal la borne. Impedana circuitului, Z, se
calculeaz cu relaia:
I
U
2I
2 1
1I I 2I
1I
2I I<
1I
I> 2I I 2I
36
22 1
+=
cLRZ
este minim i egal cu rezistena R dac este ndeplinit condiia 1 0Lc
= iar curentul e maxim,
max
UIR
= .
Condiia de rezonan este satisfcut pentru frecvena tensiunii aplicate 0f :
LCf 1;
2 00
0 == pi
frecven de rezonan.
Dac rezistena scade, curentul la rezonan crete i pentru max0R I= adic circuitul LC
la rezonan este echivalent cu un scurtcircuit.
n diagramele polare, locul geometric al vrfului fazorului RU i deci al curentului I este un cerc. La rezonan, mrimile CL UsiU pot avea valori orict de mari i anume mai mari dect ale
tensiunii aplicate U .
Aceast proprietate se utilizeaz n circuitele de cureni slabi pentru amplificarea semnalelor
slabe avnd frecvena egal cu frecvena de rezonan a circuitului. Fenomenul de rezonan poate produce supratensiuni periculoase.
Se numete factor de calitate, raportl RXQs 0= , sau raportul ntre tensiunea la rezonan pe
elementul reactiv i tensiunea pe rezistena R.
LU CU
U RU
0 <
LU CU
RU I
0 =
I
LU
CU
RU
U
0 >
I I
37
=
=
====
0
0
000
1
11
ss
s
arctgQR
cL
tgarc
CL
RRc
RL
RXQ
La frecvene mai mici dect frecvena de rezonan circuitul este capacitiv
==
20 pi s
iar pentru frecvene mai mari circuitul este inductiv. ( )/ 2s pi = . La rezonan defazajul este
nul i schimbarea de faz este cu att mai net cu ct sQ este mai mare (pentru sQ , curba
0
s
are o discontinuitate la 0 = ).
Pentru a urmri modul de variaie cu frecvena a tensiunii la bornele rezistorului, RU , bobinei,
LU , condensatorului CU , se exprim aceste mrimi raportate la tensiunea aplicat circuitului U, funcie
de sQ i de raportul
0
.
6/pi
3/pi
2/pi
6/pi
3/pi
2/pi
0
2=sQ
10=sQ
1 2 3
21
=sQ
38
( ) ( ) ( )U
UUUUU
UUU CCLLRR ===
000 ;;
Dac se consider tensiunea U ca mrime de intrare i tensiunile RCL UUU ,, mrimi de ieire
(de rspuns), mrimile relative: ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
2 22
2
0
2
002
0 0
0
2 22 20 0
020 0
00 0
2 220
00 0
00 0
0
1
1 11
1
1 11
1 1
11 1
1 11
1
RR
L C
R
R
s
LL
L C
L
U XRUU X R X X L
R C
U
LR C
U
L QR
LU I XLUU I R X X
R LR C
LU
XRR
= = =
+ +
=
+
= =
+ +
= = =
+ +
=
+
( )
02 22
20 0
0 0
0
22 0
0 0
1
1
s
s
sC
s
Q
Q
QUQ
=
+
=
+
Mrimile relative sunt modulele funciilor de transfer. Se pot reprezenta curbele
U
U
U
U
U
U CLR
000 ;;
pentru 1=sQ i 2=sQ .
Pentru 0 < circuitul este capacitiv. Pentru 0= tensiunea aplicat este cea de la bornele
condensatorului UC, tensiunile la bornele rezistenei i bobinei fiind nule.
39
La frecvene 0 > , are loc schimbarea de faz i circuitul este inductiv. La frecvene foarte
mari 0 >> tensiunea aplicat este tensiunea la bornele bobinei, celelalte tensiuni fiind practic nule
(UR, UC).
Trecerea prin maxim a tensiunii U
U R la rezonan, este cu att mai net cu ct factorul de
calitate sQ este mai mare. La valori mari ale lui sQ i la frecvene mai mici sau mai mari dect pi
20
,
tensiunea UU R
este mic. Circuitul RLC serie se comport ca filtru de trecere a semnalelor avnd
frecvene apropiate de frecvena de rezonan pi
20
. Banda frecvenelor de trecere este cu att mai ngust
cu ct sQ este mai mare.
1 2
1
0,2
3
0,4 0,6 0,8
1,2
0
1sQ = (0)LU
1sQ =
2=sQ
1 2
1
0,2
3
0,4 0,6 0,8
1,2
0
UU R
j
1 2
12s
Q =
2sQ = 10sQ =
UU R
(0)CU
40
Filtrul trece band ideal, filtreaz complet semnalele ale cror frecvene sunt n afara benzii de trecere i are caracteristica de frecven diferit de cea a circuitului RLC serie.
Pentru circuitul RLC serie, banda de trecere corespunde frecvenelor semnalelor ale cror
valori U
U R sunt egale cu
21
.
21
1
12
0
0
2
=
+
=
s
R
QU
U
12
0
0
2=
sQ respectiv
ss QQ 21
411 2
0
+=
Pentru valori mari ale lui Qs, dezvoltnd n serie radicalul i reinnd primii doi termeni, se obine:
sQ211~
0
Deci valorile inferioar i superioar ale pulsaiei ( )21 si sunt:
1 0 2 01 11 ~ 1
2 2s sQ Q
+
i pi
pi
pi
pi
======
ss Qf
Qfffsiff00
122
21
1 2;
2;
2 unde
LR
2= este constanta de atenuare a
circuitului RLC serie.
1 2
UU R
o
21
1
41
CIRCUITUL REZONANT RLC paralel
Admitana circuitului 2
2 1
+=
LCG
.
Admitana este maxim i egal cu conductana R
G 1= dac e satisfcut condiia:
min
1
. .
CL
I I GU
=
= =
Condiia se numete antirezonan i se ndeplinete pentru frecvena pi
20
0 =f , aceeai ca la
circuitul RLC serie.
Dac conductana scade, curentul Imin scade i pentru min0 0G I= = , adic la rezonan,
circuitul RLC paralel este echivalent cu un circuit deschis i se numete circuit buon.
Diagramele polare ale curenilor prin elementele circuitului RLC paralel sunt similare cu
diagramele polare ale circuitului LRC serie i deci vrful fazorului I este un cerc. La rezonan, valorile
LI i cI pot fi orict de mari.
Circuitul RLC paralel se numete cu rezonan de curent.
Exprimnd defazajul funcie de factorul de calitate Qp i raportul 0
se obine:
=
00
pp arctgQ unde
=
==
=
RG
LCB
GBQp 1
10
000
La frecvene mai mici dect frecvena de rezonan circuitul este inductiv
( )2/0 pi == p , iar la frecvene mai mari dect frecvena de rezonan, circuitul este capacitiv ( )2/pi = p . Pentru a urmri modul de variaie al curenilor IR, IL, IC, se exprim aceste mrimi n funcie de
Qp, 0
i se obin relaii similare cu cele de la circuitul RLC serie.
42
( )
( )
( )2
0
0
2
0
0
20
0
2
00
20
0
2
0
1
1
1
1
+
==
+
==
+
==
p
pCC
p
pL
L
p
RR
Q
QI
II
Q
Q
II
I
QI
II
Circuitul RLC paralel se comport ca un filtru de trecere pentru curentul RI .
Top Related