VECTORI LIBERI. SEGMENTE ORIENTATE. OPERATII. PROPRIETATI.

AB =segment orientat (vector legat), A-originea vectorului (punct de aplicatie in fizica), B- extremitatea vectorului; dreapta suport a segmentului AB se numeste directia vectorului, sensul de parcurs al dreptei dinspre A spre B se numeste sensul vectorului, lungimea segmentului determinat de punctele A, B se numeste lungimea (modulul, norma) vectorului. Orice vector legat este bine determinat (in sensul existentei si unicitaii sale) prin:

precizarea originii si extremitatii; precizarea originii si a directiei, sensului si marimii; precizarea extremtatii, directiei, sensului si marimii.

O directie este multimea tuturor dreptelor paralele cu dreapta data. In raport cu o directie data putem distinge doua sensuri, numite opuse. Doi vectori legati se numesc echipolenti daca au aceeasi directie,acelasi sens si acelasi modul

v = vector liber (vector); reprezinta multimea tuturor vectorilor cu aceeasi directie, acelasi sens si acelasi modul cu un segment orientat

dat; orice segment orientat apartinand multimii v se numeste reprezentant al vectorului v .

Vectorii vu, se numesc egali si scriem vu = daca au aceeasi directie, sens si modul. Extindem notatia si la vectori legati, prin

CDAB = intelegand ca cele doua segmente orientate sunt reprezentanti ai aceluiasi vector liber. Doi vectori au aceeasi directie daca dreptele suport ale reprezentantilor lor sunt drepte paralele sau confundate. Spunem ca doi vectori sunt paraleli daca au aceeasi directie. Compararea a doi vectori din punct de vedere al sensurilor lor se face numai cand vectorii au aceeasi directie, caz in care doi vectori pot avea acelasi sens sau sensuri opuse.

Notatia vectorului opus vectorului liber v este - v ; notatia opusului segmentului orientat AB este BAAB =− . Adunarea vectorilor liberi se face prin aplicarea a doua reguli: 1) regula paralelogramului

cazul vectorilor cu directii diferite:

cazul vectorilor cu aceeasi directie si acelasi sens:

cazul vectorilor cu aceeasi directie si sensuri opuse:

2) regula triunghiului cazul vectorilor cu directii diferite:

cazul vectorilor cu aceeasi directie si acelasi sens:

cazul vectorilor cu aceeasi directie si sensuri opuse:

Adunarea vectorilor legati se face astfel: 1) In cazul in care originea unui vector coincide cu extremitatea celuilalt nu avem nevoie de desen, rezultanta fiind data astfel:

ACBCAB =+ , respectiv: PNMNPMPMMN =+=+ (datorita regulii triunghiului); 2) In cazul in care originile coincid se aplica regula paralelogramului (deci avem nevoie de desen), rezultanta avand originea comuna

cu a vectorilor ce se sumeazaiar extremitatea in al patrulea varf al paralelogramului (degenerat) format cu vectorii de sumat:

ADACAB =+ , ABDC formand un paralelogram (degenerat): 3) In cazul cand extremitatile coincid, aplicam regula paralelogramului opusilor vecorilor initiali:

DBBDBCBACBAB =−=+−=+ )( , unde ABCD este un paralelogram (degnerat). 4) In cazul cand nici originile nu coincid, nici exttremitatile nu coincid, adunare aputem s-o efectuam numai alegand prin

reprezentanti carora li se poate aplica una din regulile anterioare.

Exemplu: fie hexagonul regulat ABCDEF si O centrul sau. Determinati CDAB + . Cum BOCD = atunci AOBOAB =+ . Proprietatile adunarii:

1) comutativitate : ABCDCDABuvvu +=++=+ , ;

2) asociativitate: EFCDABEFCDABwvuwvu ++=++++=++ )()(,)()( ;

3) element neutru: ABABABuuu =+=+=+=+ 00,00 ; 0 se numeste vectorul nul si este vectorul care nu are directie (sau care are orice directie), nu are sens si are modulul egal cu 0, un segmet orientat este reprezentant al vectorului nul daca

originea coincide cu extremitatea, adica 0=AB daca A=B; 0=AA ;

4) orice vector v are un opus - v cu proprietatea ca 0)(,0)( =+=−+=−=−+ BAABABABvvvv ; (elemente simetrizabile).

Observatie: relatia DCABCDABCDABvuvu +=−+=−−+=− )(),( ne arata ca scaderea reprezinta o adunare cu opusul vectorului scazator. Inmultirea cu scalari (numar real) a vectorilor se face astfel:

Daca VvRa ∈∈ , atunci wva =⋅ , deci produsul dintre un scalar si un vector reprezinta tot un vector cu proprietatile:

w este paralel cu v (au aceeaasi directie);

daca a>0, w are acelasi sens cu v ; daca a<0, w are sens opus lui v ; daca a=0, atunci 0=w ;

vaw ⋅= .

Observatie: • Prin conventie, la produsul scalarului cu vector, primul factor se trece scalarul, al doilea factor fiind vectorul.

• In cazul vectorilor legati, in functie de valorile reale ale scalarului, din relatia ACABa =⋅ avem urmatoarele caracterizari pentru pozitia extremitatii C:

C este coliniar cu A si B (in cazul in care 0≠AB si 0≠a ); daca a>1 atunci ordinea punctelor este A-B-C sau C-B-A; daca a=1 atunci C=B; daca 0<a<1 atunci ordinea este A-C-B sau B-C-A;

daca a=0 atunci C=A; daca a<0, atunci avem C-A-B sau B-A-C; daca a=-1, avem in plus ca AC este opusul vectorului AB .

in cazul a=0 obtinem 00 =⋅ AB .

• Relatia wva =⋅ poate fi citita ca o conditie de paralelism a doi vectori;

• In cazul vectorilor nenuli paraleli are sens scrierea *, Rkkvu

∈= , semnul (+) al raportului k precizand identitatea de sens a celor

doi vectori, semnul (-) al raportului k precizand ca cei doi vectori au sensuri opuse iar |k| reprezentand raportul modulerlor celor doi vectori. Nu are sens raportul a doi vectori de directii diferite!

Exemple: Proprietati legate de operatiile de adunare si inmultire:

Oricare ar fi VvuRba ∈∈ ,,, avem:

1) vbvavba ⋅+⋅=+ )( (distributivitatea inmultirii fata de adunarea cu scalari);

2) vabvba )()( = ;

3) vauavua ⋅+⋅=+ )( (distributivitatea inmultirii fata de adunarea vectorilor);

4) vv =⋅1 . Defintie: Se numeste versor al unei directii date, d, un vector care are directia d si modulul 1 (unitate adimensionala). Notatia uzuala a unui

versor este kji ,, ,…Daca directiei d ii asociem versorul i , atunci orice vector v care are directia d este paralel cu i si exista

astfel incat Ra∈ iav ⋅= . Proprietate: Orice vector se poate descompune dupa doua directii date d,d’ , fiind scris ca suma (rezultanta) dintre doi vectori cu directiile d si d’.

Mai mult, daca directiile d,d’ au versorii i , respectiv j , atunci descompunerea oricarui vector v este unica in raport cu directiile date,

adica exista unic astfel incat Rba ∈, jbiav ⋅+⋅= . Observatii:

daca a=0 atunci v are directia lui j ; daca b=0 atunci v are directia lui i ; daca a=b=0 atunci 0=v . Definitie:

Se numeste reper ortonormal ),,( jiO un sistem de axe perpendiculare, cu origine comuna O si de versori i si j . Proprietate:

Oricarui punct A(a, b) dintr-un plan in care s-a fixat un reper ortonormal ),,( jiO ii corespunde vectorul OArA = numit vector de

pozitie al punctului A si care are descompunerea dupa axele reperului jbiaOA ⋅+⋅= . In acest caz, (a, b) se numeste perechea de

coordonate asociate vectorului OA ceea ce se mai scrie ),( baOA . In plus, 22 baOA += Proprietate:

Daca in reperul ),,( jiO avem punctele A(a,b) si B(a’,b’) atunci segmetul orientat AB se descompune dupa directiile reperului ca

jbbiaaOBAOAB ⋅−+⋅−=−= )'()'( , deci )','( bbaaAB −− . In plus, 22 )'()'( bbaaAB −+−= .

Exprimarea vectorului mediana.

Daca M este mijlocul segmentului AB, oricare ar fi punctul O avem 2

OBOAOM += . In plus, daca considerm ca punctele A, M, B

au coordonatele in reperul ),,( jiO notate atunci ),(),,(),,( MMBBAA yxMyxByxA2

;2

BAM

BAM

yyyxxx +=

+= (deci

coordonatele mijlocului unui segment reprezinta media aritmetica a coordonatelor capetelor segmentului). Raport de segmente. Raport vectorial. Trecerea dintr-un tip de raport in altul.

Fie AB, CD segmente si CDAB, segmentele orientate asociate lor. RaportulCDAB=k are sens intotdeauna , cu exceptia cazului cand

C=D; raportul CDAB are sens numai daca AB || CD sau A,B,C,D coliniare si C,D disincte.

In cazul in care AB ||CD sau A,B,C,D coliniare distincte atunci:

daca kCDAB = , atunci si daca *+∈Rk AB si CD au acelasi sens atunci k

CDAB = iar daca AB si CD au sensuri opuse atunci

kCDAB −= ;

daca kCDAB = atunci si atunci *Rk ∈ kCD

AB = .

Exprimarea vectorului cu extremitatea intr-un punct ce imparte un segment intr-un raport dat.

Fie astfel incat )(ABM ∈ kMBAM = . Atunci oricare ar fi punctul O, avem k

OBkOAOM +⋅+= 1 . In plus, daca in reperul ortonormal

),,( jiO avem atunci ),(),,(),,( MMBBAA yxMyxByxAk

ykyyk

xkxx BAM

BAM +

⋅+=

+⋅+

=1

;1

. In cazul in care M este

mijlocul segmentului AB atunci k=2 si regasim formula vectorului mediana. Exprimarea vectorului cu extremitatea in centrul de greutate al unui sistem de trei puncte (necoliniare).

Fie A,B,C distincte, necoliniare si G centrul de greutate al sistemului (A,B,C). Atunci oricare ar fi punctul O, avem: 3OCOBOAOG ++= ;

in plus, daca in reperul ),,( jiO avem atunci ),(),,(),,(),,( GGCCBBAA yxGyxCyxByxA

3;

3CBA

GCBA

Gyyy

yxxx

x++

=++

= . Propiretatea ramane adevarata si in cazul A,B,C disttincte si coliniare.

Relatia lui Chasles.

Oricare A,B,C puncte distincte avem 0=++ CABCAB ; mai general, oricare ar fi linia poligonala , avem nAAA ...21

0... 113221 =++++ − AAAAAAAA nnn . Suma vectorilor mediana intr-un triunghi.

Fie triunghiul ABC si M,N,P mijloacele laturilor BC, respectiv AC, respectiv AB. Atunci 0=++ CPBNAM . Exprimarea vectorului bisector in triunghi. Fie triunghiul BC in care BC=a, AC=b, AB=c. Atunci, daca AD, BE, CF bisectoarele unghiurilor A, B, C in triunghi, si

, avem ABFACEBCD ∈∈∈ ,,cb

ACcABbACABAD

bc

bc

+⋅+⋅

=++

=1

. Analog, ab

CAaCBbCFca

BCcBAaBE+

⋅+⋅=

+⋅+⋅

= ; ;

In plus, avem:

• 0)()()( =⋅++⋅++⋅+ CFbacBEacbADcba ;

• cum abca

abcb

cabc

caba

cbab

cbac FBAFEACEDCBD ++++++ ====== ;;;;; , daca I este punctul de intersecie al bisectoarelor

triunghiului, atunci cbaCBbCAa

cbaBAaBCc

cbaACcABb CIBIAI ++

⋅+⋅++⋅+⋅

++⋅+⋅ === ;; ; mai mult, avem ;0=⋅+⋅+⋅ CIcBIbAIa in plus, daca

in reperul ),,( jiO avem atunci relatia anterioara se rescrie: ),(),,(),,(),,( IICCBBAA yxIyxCyxByxA

0])()[(])()[(])()[( =−+−⋅+−+−⋅+−+−⋅ jyyixxcjyyixxbjyyixxa ICICIBIBIAIA , d unde se obtin

coordonatele punctului I, cba

ycybyay

cbaxcxbxa

x CBAI

CBAI ++

⋅+⋅+⋅=

++⋅+⋅+⋅

= ; , si exprimand relatia prin vectorii de

pozitie ai punctelor I, A, B, C avem cba

rcrbrar CBA

I ++⋅+⋅+⋅

= ;

• tinand cont de proprietatea centrului de greutate, alegand pe postul lui O punctul I, avem

cbaGAaGCcGBb

cbaMAaPCcNBb

cbaCABAaBCACcCBABbICIBIAIG ++

⋅+⋅+⋅++

⋅+⋅+⋅++

+++++++ =⋅=⋅== 22231)()()(

31

3 ; Exprimarea vectorului bisector in triunghi. Vectorul de pozitie al intersectiei bisctoarelor. Alte proprietati. Fie triunghiul BC in care BC=a, AC=b, AB=c. Atunci, daca AD, BE, CF bisectoarele unghiurilor A, B, C in triunghi, si

, avem ABFACEBCD ∈∈∈ ,,cb

ACcABbACABAD

bc

bc

+⋅+⋅

=++

=1

. Analog, ab

CAaCBbCFca

BCcBAaBE+

⋅+⋅=

+⋅+⋅

= ; ;

In plus, avem:

• 0)()()( =⋅++⋅++⋅+ CFbacBEacbADcba ;

• cum abca

abcb

cabc

caba

cbab

cbac FBAFEACEDCBD ++++++ ====== ;;;;; , daca I este punctul de intersecie al bisectoarelor

triunghiului, atunci cbaCBbCAa

cbaBAaBCc

cbaACcABb CIBIAI ++

⋅+⋅++⋅+⋅

++⋅+⋅ === ;; ; mai mult, avem ;0=⋅+⋅+⋅ CIcBIbAIa in plus, daca

in reperul ),,( jiO avem atunci relatia anterioara se rescrie: ),(),,(),,(),,( IICCBBAA yxIyxCyxByxA

0])()[(])()[(])()[( =−+−⋅+−+−⋅+−+−⋅ jyyixxcjyyixxbjyyixxa ICICIBIBIAIA , d unde se obtin

coordonatele punctului I, cba

ycybyay

cbaxcxbxa

x CBAI

CBAI ++

⋅+⋅+⋅=

++⋅+⋅+⋅

= ; , si exprimand relatia prin vectorii de

pozitie ai punctelor I, A, B, C avem cba

rcrbrar CBA

I ++⋅+⋅+⋅

= ;

• tinand cont de proprietatea centrului de greutate, alegand pe postul lui O punctul I, avem

cbaGAaGCcGBb

cbaMAaPCcNBb

cbaCABAaBCACcCBABbICIBIAIG ++

⋅+⋅+⋅++

⋅+⋅+⋅++

+++++++ =⋅=⋅== 22231)()()(

31

3 ; Coliniaritatea O,G,H. Alte proprietati. Fie triunghiul ABC si O, G, H centrul cercului circumscris, respectiv centrul de greutate, respectiv ortocentrul triunghiului. Avem urmatoarele relatii:

• Notand cu A’ punctul diametral opus lui A, HBA’C este un paralelogram, deci 'HAHCHB =+ si tinand cont ca O este

mijlocul segmentului AA’ obtinem relatia: HOHAHAHCHBHA ⋅=+=++ 2' ;

• Din proprietatea centrului de greutate, aplicata pentru H, avem: HCHBHAHG ++=⋅3 ;

• Ultimele doua relatii obtinute conduc la egalitatea: HOHG ⋅= 32 , de unde tinand cont de proprietatile produsului, putem afirma

ca in orice triunghi punctele H,G,O sunt coliniare, ][HOG ∈ si G se afla la 1/3 fata de O si 2/3 fata de H.

• Aplicand proprietatea centrului de greutate punctului O, avem:

OHOHOHHGOHOCOBOAOG =−⋅=+⋅=++=⋅ )(3)(33 32 (relatia lui Sylvester);

• Daca notam O1 mijlocul segmentului OH atunci 12OOOCOBOA =++ (relatial lui Euler); Metode in rezolvarea problemelor de paralelism:

1) Daca dreptele AB si CD sunt paralele atunci exista *Ra∈ astfel incat CDaAB ⋅= ; reciproc concluzia este sau AB || CD, sau A,B,C,D coliniare;

2) Daca exista astfel incat *, Rba ∈ 0=⋅+⋅ CDbABa , atunci AB ||CD sau A,B,C,D coliniare;

3) Daca jbiavjbiau ⋅+⋅=⋅+⋅= ''; , atunci vu, au aceeasi directie daca si numai daca coordonatele sunt proportionale,

'' bb

aa = .

4) vu, au aceasi directie daca si numai daca vuvu +=+ .

Metode in rezolvarea problemelor de colinaritate: 1) A, B, C sunt coliniare daca si numai daca exista *Ra∈ astfel incat ACaAB ⋅= (relatia furnizand si pozitiia punctelor pe

dreapta); conditia se poate exprima si prin raportul aACAB = ;

2) A, B, C sunt coliniare daca si numai daca exista *, Rba ∈ astfel incat 0=⋅+⋅ ACbABa ;

3) Daca in sistemul ),,( jiO avem , atunci A, B, C coliniare daca ),(),,(),,( CCBBAA yxCyxByxAAC

AB

AC

AB

yyyy

xxxx

−−

=−−

;

4) Intr-un reper fixat , A, B, C coliniare daca si numai daca relatia 0=⋅+⋅+⋅ CBA rcrbra implica a+b+c=0;

5) A, B, C coliniare daca si numai daca oricare ar fi puncul O, avem ca relatia 0=⋅+⋅+⋅ OCcOBbOAa implica a+b+c=0. Conditia ca trei vectori sa formeze un triunghi.

wvu ,, corespund vectorilor laturi ale unui triunghi daca 0=±± wvu si suma oricaror doua module este mai mare decat al treilea. Conditia ca patru puncte sa formeze un paralelogram (degenerat).

• Patrulaterul (degenerat) ABCD este paralelogram (degenerat) daca si numai daca DCAB = ;

• Segmentele AB, CD pot fi laturi opuse intr-un paralelogram (degenerat) daca si numai daca CDAB ±= , conditie ce se poate

evidentia si astfel: 0=+CDAB sau 0=−CDAB ; Conditia ca patru punct sa formeze un trapez (degenerat).

• Patrulaterul ABCD este un trapez (degenerat) daca si numai daca exista )1\{*+∈Ra astfel incat DCaAB ⋅= sau

BCaAD ⋅= .

• Patrulaterul ABCD este un trapez (degenerat) daca si numai daca exista baRba ≠∈ +*,, astfel incat 0=⋅+⋅ CDbABa sau

0=⋅+⋅ CBbADa .

Probleme de coliniaritate, paralelism si concurenta. 1. Teorema Menelaus (+reciproca): Fie ABC triunghi, ACPBCNABM ∈∈∈ ,, . Atunci M,N,P coliniare daca si numai daca

1−=⋅⋅PACP

NCBN

MBAM .

Demonstratie: in primul rand are sens scrierea celor trei rapoarte din relatie deoarece in fiecare raport vectorii sunt paraleli; Notam

PACP

NCBN

MBAM cba === ;; . Exprimam pe rand vectorii ANAPAM ,, astfel:

ABaAMaABMAaMBaAM ⋅=⋅+⇒+⋅=⋅= )1()( ; (1)

ACAPcACPAPCAPc =⋅+⇒+==⋅ )1( ; (2)

)()1()(; ACBAbBCbBNbBCNBbNCbBNBNABAN +⋅=⋅=⋅+⇒+⋅=⋅=+=

ACbABACBAbABbANb ⋅+=+⋅+⋅+=⋅+⇒ )()1()1( (3)

Inmultind relatia (3) cu a, rezulta: APcabAMaACabABaANba ⋅++⋅+=⋅+⋅=⋅+ )1()1()1()1(),2(

si trecandtotul in membrul stang, obtinem:

0)1()1()1( =⋅+−⋅+−⋅+ APcabAMaANba de unde , conform conditiei 5) de coliniairtate, M, N, P coliniare daca si numai daca a(1+b)-(a+1)-ab(1+c)=0, echivalent cu a+ab-a-1-ab-abc=0, deci abc=-1, q.e.d. 2. Teorema Ceva(+ reciproca): Fie ABC triunghi si AN, BP, CM ceviene, )(),(),( ACPBCNABM ∈∈∈ . Atunci AN, BP,

CM concurente daca si numai daca 1=⋅⋅PACP

NCBN

MBAM .

Demonstratie: Fie {O}=BP CM. Atunci AN, BP, CM concurente in O daca si numai daca A, O, N coliniare, daca si numai daca, conform teoremei Menelaus aplicata in triunghiurile ABN si ACN, avem:

∩

1;1 −=⋅⋅−=⋅⋅OANO

BNCB

NCAN

OANO

CNBC

MBAM , de unde, efectuand raportul celor doua relatii membru cu membru obtinem:

1=⋅⋅⋅⋅⋅NOOA

CBBN

ANNC

OANO

CNBC

MBAM , si prin simplificarile cuvenite se obtine: 1=⋅⋅

PACP

NCBN

MBAM .

3. Consecinte ale teoremei Ceva:

• Concurenta medianelor: daca M, N, P mijloacele laturilor AB, BC, CA ale triunghiului ABC, atunci 1;1;1 ===PACP

NCBN

MBAM ,

deci 1=⋅⋅PACP

NCBN

MBAM si conform reciprocei t. Ceva, rezulta AN∩ BP∩ CM={G}. Mai mult, aplicand acum reciproca t.

Menelaus pentru triunghiul ABN si punctele coliniare M,G,C rezulta: 1−=⋅⋅GANG

CNBC

MBAM si cum 2;1 −==

CNBC

MBAM , rezulta

1)2(1 −=⋅−⋅GANG , deci GNAG ⋅= 2 , adica G se afla la 1/3 de baza si 2/3 de varf.

• Concurenta bisectoarelor: daca D, E, F reprezinta intersectia bisectoarelor unghiurilor A, B, C ale triunghiului ABC, atunci,

notand AB=c, BC=a, CA=b avem (t. bisectoarei): ca

EACE

bc

DCBD

ab

FBAF === ;; , deci 1=⋅⋅

EACE

DCBD

FBAF si conform reciprocei t. Ceva

rezulta AD BE∩ CF={I} si aplicand in continuare t. Menelaus pentru triunghiul ABD si punctele coliniare F, I, C obtinem rezultatele referitoare la vectorul bisector si vectorul de pozitie al lui I;

∩

• Concurenta inaltimilor: daca D, E, F reprezinta picioarele inaltimilor din A, B, C ale triunghiului ABC, atunci, notand AB=c,

BC=a, CA=b si stiind ca sunt concurente in ortocentrul H, atunci utilizand directa t. Ceva rezulta: 1=⋅⋅EACE

DCBD

FBAF ;

4. Dreapta Newton- Gauss: Fie ABCD patrulater convex astfel incat AB si CD neparalele si concurente in M iar AD si BC neparalele si concurente in N. Atunci mijloacele segmentelor AC, BD si MN sunt coliniare.

Notam P,Q, R mijloacele segmentelor AC, BD, MN. Atunci PQ mediana in triunghiul BPQ, deci PBPDPQ +=⋅2 . Cum DP si BP

mediane in triunghiurile ADC si ABC, obtinem CBABCDADPBPDPQ +++=⋅+⋅=⋅ 224 ;

Analog, PR mediana n trunghiul NRM, deci PMPNPR +=⋅2 si cum NP si MP mediane in triunghiurile ANC si AMC rezulta:

BNABCMAMCNANPMPNPR +=+++=⋅+⋅=⋅ 224