UTILIZAREA DINAMICII NELINIARE ÎN STUDIUL … · 2 Vă facem cunoscut că în ziua de 24 martie...
46
Universitatea “Al. I. Cuza” Iaşi Facultatea de Fizică UTILIZAREA DINAMICII NELINIARE ÎN STUDIUL COMPATIBILITĂȚII SPAȚIU - MATERIE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT doctorand Dan Dezideriu Iacob Conducător ştiinţific prof. univ. dr. Maricel AGOP
Transcript of UTILIZAREA DINAMICII NELINIARE ÎN STUDIUL … · 2 Vă facem cunoscut că în ziua de 24 martie...
Universitatea “Al. I. Cuza” Iaşi
Facultatea de Fizică
UTILIZAREA DINAMICII NELINIARE ÎN STUDIUL
COMPATIBILITĂȚII SPAȚIU - MATERIE
REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT
doctorand
Dan Dezideriu Iacob
Conducător ştiinţific
prof. univ. dr. Maricel AGOP
2
Vă facem cunoscut că în ziua de 24 martie 2017, ora 11.30, în
sala L1, drd. Dan Dezideriu Iacob va susține, în ședință publică, teza de
doctorat intitulată “Utilizarea dinamicii neliniare în studiul
compatibilității spațiu - materie”, în vederea obținerii titlului științific
de Doctor în domeniul Fizică al Universității „Alexandru Ioan Cuza” din
Iași.
Comisia de doctorat are următoarea componență:
Președinte: prof. univ. dr. Diana MARDARE – Facultatea de
Fizică, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași
Coordonator științific: prof. univ. dr. Maricel AGOP – Facultatea
de Fizică, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași
Referenți:
- prof. univ. dr. Cristina STAN – Facultatea de Științe
Aplicate, Departamentul de Fizică, Universitatea Politehnică București
- prof. univ. dr. Dumitru VULCANOV – Facultatea de Fizică,
Universitatea de Vest Timișoara
- conf. dr. Dan Gheorghe DIMITRIU – Facultatea de Fizică,
Departamentul de Fizică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza Iași.
3
Cuprins
Introducere ..................................................................................... 4
Capitolul I. De la problema lui Kepler la Skyrmoni și implicațiile
acestora în procesul de măsură ...................................................... 6
Bibliografie selectivă .................................................................. 12
Capitolul II. Compatibilitatea spațiu – materie dincolo de conceptul
de forță ........................................................................................... 13
Bibliografie selectivă .................................................................. 21
Capitolul III. Efecte de tip scală în teorii fizice diferențiale, respectiv
nediferențiale ................................................................................. 23
Bibliografie selectivă .................................................................. 30
Concluzii generale ........................................................................... 32
Bibliografie generală .................................................................... 33
Activitatea științifică .................................................................... 43
4
INTRODUCERE
Fără a abandona “ambientul” newtonian prin Principiile
Matematice ale Filozofiei Naturale, în primul capitol se arată că există o
relație subtilă între mișcarea kepleriană și geodezicele spațiului
hiperbolic. Acum, poziția geometriei hiperbolice în problema materiei se
stabilește prin similitudine, ceea ce implică însă spațiul cubic al lui
Barbilian asimilat ca spațiu cayleyan și, implicit, skyrmionii.
Forța newtoniană este o forță de vid, adică o caracteristică a
spațiului lipsit de materie. Definind-o însă în aceleași poziții ca și materia
atunci tot ea caracterizează forța drept apanaj al unui continuu fapt ce
vine în contradicție cu modul în care forța gravitațională a fost concepută
inițial de către Newton: o forță concentrată într-un punct fizic. Din
punctul de vedere al filozofiei naturale newtoniene momentul este
depășit, în capitolul 2, prin trecerea de la condiția de punct material –
implicând forțe centrale cu mărime depinzând numai de distanță – la
condiția de corp extins – implicând existența unui tensor 3x3 ce
generează dependența de direcție a mărimii forței. Evoluția forței este
atunci reductibilă la cea a unei matrici ce redă această dependență de
direcție. Într-un asemenea cadru, teoria einsteiniană este substituită cu o
teorie algebrică ce corelează un tensor de tip tensiune ca atribut al
„materiei în spațiu” cu unul de tip deformație ca atribut al “spațiului în
materie” sub forma unor relații constitutive de material. Dinamicile
acestor tensori rămân totuși tributare concepției einsteiniene prin
funcționalitatea unor ecuații de tip Ernst.
În capitolul 3 am legiferat rolul transformărilor de etalon în teorii
fizice diferențiale prin analize de dinamici standard: problemele Kepler
pentru masă și sarcină, “momentele” Galilei și Hubble ca accidente ale
unui „ambiental” newtonian, eliminarea disipației fie ca proces de
modulare în frecvență, fie ca act de “generare de identitate” de pe un
ansamblu cu aceeași caracteristică, etc. Cum transformările de etalon
implică scale de rezoluție, un concept de altfel impropriu teoriilor fizice
diferențiabile, și, întrucât aceste teorii fizice nu pot „susține” simultan
5
determinismul și potențialitatea, am analizat dinamici similare (particula
liberă, oscilatorul armonic etc.) în teorii fizice nediferențiabile (fractale).
Rezultă “momente” de tip Galilei și Hubble doar ca “medieri” între
gradul de fractalizare și poziție-timp la diverse scale de rezoluție. Se
fundamentează astfel neliniaritatea ca “apanaj universal” ale dinamicii
Naturii.
6
CAPITOLUL I
De la problema lui Kepler la Skyrmoni și implicațiile acestora
în procesul de măsură
Tratamentul clasic al problemei lui Kepler conduce la descrierea
regiunii spaţiale a corpului atractiv central printr-o geometrie hiperbolică.
Dacă vom accepta corespondenţa dintre spaţiul gol şi cel umplut cu
materie ca o aplicaţie armonică, atunci spaţiul nucleului atomic, precum
şi cel al Soarelui din mişcarea planetară propriu-zisă, este descris de
skyrmioni hiperbolici. Acest fapt dă posibilitatea descrierii materiei
nucleare în cadrul relativităţii generale. Soluţia “arici” pentru skyrmion-ul
clasic poate fi atunci interpretată printr-o caracterizare a forţelor
intranucleare. Implicații ale skyrmionilor în procesul de măsură este de
asemenea analizată.
Rezultatele originale din acest capitol au fost publicate în
Modern Physics Letters B (Mazilu N., Agop M., Gațu I., Iacob D. D.,
Ghizdovăț V. (2016): From Kepler problem to skyrmions, Modern
Physics Letters B, Vol. 30, pp. 1 – 16 [1].
Proceduri matematice similare cu cele din lucrarea anterior
menționată sunt date și în referințele noastre [2,3].
Capitolul contine un mod de tratare a problemei Kepler clasice,
care conduce la ideea ca geometria interna a materiei este de fapt
geometria hiperbolica. Definim problema clasica a lui Kepler ca
problema dinamica a miscarii unui punct material in jurul unui centru de
forta ce actioneaza cu o forta de marime invers proportionala cu patratul
distantei dintre punctul mobil si centrul de forta:
0r
r2
rr
K (1.1)
Mersul ideilor este urmatorul:
Cum forta este centrala, miscarea este plana, asa incat putem
simplifica ecuatiile de miscare prin limitarea la planul miscarii:
0r
sinK,0
r
cosK
22
(1.2).
Din acelasi motiv, exista o constantă a mișcării:
7
2rηηa (1.3)
- constanta ariilor – ce reprezinta cea de-a doua lege a lui Kepler:
rata de variatie a ariei maturate de vectorul de pozitie al punctului mobil
fata de centrul de forta este constanta.
Pentru a integra ecuatiile de miscare, trecem in complex
ireiz (1.4)
si folosind constanta ariilor putem proceda imediat la o prima
integrare:
we
a
Kiz0e
a
Kz ii
. (1.6)
Nu avem nevoie de mai mult, deoarece folosind forma analitica a
ratei de variatie a ariei - ecuatia (1.3) si rezultatul acestei prime integrari,
obtinem automat ecuatia traiectoriei in coordonate polare:
sinwcoswa
K
r
a21
(1.7)
Aceasta este o conica, ceea ce reprezinta prima lege a lui Kepler.
Ea poate fi rescrisa in coordonate carteziene:
2
21
22
22
2
21
22
12
2
a)ww(a2wa
Kww2w
a
K
(1.8).
Coordonatele centrului traiectoriei fata de centrul de forta depind
de viteza initiala a punctului mobil si de parametrii fizici ai problemei:
2
2
2
1
2
20
10 ww
a
K,
wa,
wa
, (1.9)
Aceste coordonate determina forma si orientarea orbitei in planul
ei:
sinww,cosww;
cos
sine,
sin
cose 2121
(1.12)
8
2
2
222
22
2
22
K
a
a
bae
ab,
Ka
w
(1.13):
Tot la fel de bine, din punctul de vedere al mecanicii clasice
putem descrie astfel pozitia centrului de forta in raport cu centrul
traiectoriei. Daca vom considera centrul traiectoriei fixat, atunci centrul
de forta are pozitie intr-o regiune finita – regiunea de existenta a corpului
central atractiv – ceea ce ne permite sa-l caracterizam geometric.
Geometria este metrica, iar metrica se construieste pe baza ideii de
absolut in sensul lui Cayley [4]:
222
22222
)1(
)d)(1()d)(d(2)d)(1()ds(
, (1.16)
Metrica este cea a planului hiperbolic in reprezentarea Beltrami-
Poincare [5-7]:
2
22
2
2
v
)dv()du(
)hh(
dhdh4)ds(
, (1.17)
Daca exprimam aceasta metrica in raport cu parametrii
astronomici ai traiectoriei – excentricitatea si orientarea:
2
2
22
2
2 )d(e1
e
e1
de)ds(
, (1.20)
– atunci printr-o parametrizare naturala a excentricitatii:
tanhe , (1.21)
se poate construi o aplicatie armonica de la spatiul euclidian obisnuit, la
planul hiperbolic ce reprezinta geometria materiei ce exercita forta de
atractie in problema Kepler. Procedeul se bazeaza in mod natural pe
faptul ca avem de-a face numai cu geometrii metrice. Anume, se
construieste, cu ajutorul gradientilor spatiali ai variabilelor, lagrangiana
geodezica a geometriei Lobachevsky [6]:
9
2)hh(
hh4
(1.24)
din care apoi, prin minimizarea energiei, se obtin ecuatiile Euler-
Lagrange:
0)h(2h)hh( 22 (1.25)
Solutiile acestor ecuatii:
2,
esinhcosh
esinhcoshih
i
i
(1.23)
reprezinta o aplicatie armonica de la spatiul obisnuit la planul hiperbolic
[8,9], definite printr-o solutie a ecuatiei Laplace ce exprima parametrul
natural ce reprezinta excentricitatea orbitei.
Consecintele sunt importante mai ales in ce priveste fizica
nucleului, care astfel poate fi descris cu ajutorul skyrmion-ilor.
Skyrmion-ii [10,11] pot fi descrisi printr-o aplicatie armonica, insa intr-o
geometrie ceva mai complicata.
In geometrizarea lui Manton [12,13], problema variationala de
minimizare se refera aici la o forma neomogena a energiei:
xΦ32
2
2
1
2
1
2
3
2
3
2
2
2
3
2
2
2
14 d)()(E , (1.34)
Ea poate fi totusi omogenizata din considerente fizice:
x32 d}dΦdΦ|dΦdΦ3dΦ|dΦ{
2
1)Φ(E , (1.37)
si conduce la ideea de constructie a functiei energetice a problemei pe
baze pur geometrice, conform ideii de apolaritate:
10
)XXX(a)XXXX(a)XXX(a9
1 2
231021301
2
1202
(1.38)
aceasta functie este omogena in anumite coordonate ce reprezinta
coeficientii unei forme cubice, fiind neomogena in parametrii Manton
corespunzatori [12,13].
Spatiul ce descrie materia nucleara este atunci un spatiu
hiperbolic tridimensional: 2
2
2
hh
dhdh
k
dk
)hh(
dhdh4)ds(
(1.65)
iar problema descrierii materiei nucleare revine la o aplicatie armonica
de la spatiul euclidian al existentei acestei materii la spatiul hiperbolic
astfel construit:
x3
2
2d
hh
hh
k
k
)hh(
hh4
2
1)Φ(E , (1.66)
Daca se exprima metrica acestui spatiu in coordonate sferice
)dsind(sinh)d()ds( 222222 (1.67)
atunci centrului de forta i se poate da interpretare fizica printr-un ansatz
referitor la skyrmion-ii hiperbolici:
)exp( QM (1.70)
ei reprezinta puncte materiale – analogul partonilor – in care fortele nu-si
fac echilibru totdeauna. Masura acestui neechilibru este excentricitatea
orbitei:
tanh (1.71)
11
De exemplu, forta cu care electronul actioneaza instantaneu
asupra nucleului intr-un punct dat din volumul acestuia, nu este egala in
marime cu cea care actioneaza in nucleu pe aceeasi directie dar in sens
contrar. Acest neechilibru de forte este de natura sa explice clasic
proprietatile fizice ale materiei nucleare.
Semnificațiile mărimilor fizice de mai sus sunt date în capitolul
unu al tezei.
12
BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ
1. Mazilu N., Agop M., Gațu I., Iacob D. D., Ghizdovăț V. (2016 b):
From Kepler problem to skyrmions, Modern Physics Letters B, Vol.
30, pp. 1
2. Mazilu N., Agop M., Gațu I., Iacob D. D., Butuc I., Ghizdovăț V.
(2016 a): The classical theory of light colors: a paradigm for
description of particle interactions, International Journal of
Theoretical Physics, Vol. 55, pp. 2773
3. Mazilu N., Agop M., Boicu M., Mihăileanu D., Pricop M., Gațu
I., Iacob D. D., Ghizdovăț V. (2015): The geometry of heavenly
matter formations, Physics Essays, Vol. 28, pp. 120
4. Cayley A. (1859): A Sixth Memoir Upon Quantics, Philosophical
Transactions of the Royal Society of London, Vol. 149, pp. 61;
Reprinted in The Collected Mathematical Works, Vol. II, p. 561,
Cambridge University Press, 1889
5. Barbilian D. (1938): Riemannsche Raum Cubischer Binärformen,
Comptes Rendus de l’Académie Roumaine des Sciences, Vol. 2, pp.
345
6. Mazilu N., Agop M (2010): La răscrucea teoriilor – Între Newton și
Einstein – Universul Barbilian, Ed. Ars Longa, Iași.
7. Atiyah M. F., Sutcliffe P. (2001): The Geometry of Point Particles;
Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Vol. 458, pp.
1089
8. Eells J., Sampson J. H. (1964): Harmonic Mappings Of Riemannian
Manifolds, American Journal of Mathematics, Vol. 86, pp. 109
9. Misner C. W (1978): Harmonic maps as models for physical
theories, Physical Review D, Vol. 18, pp. 4510
10. Skyrme T. H. R. (1961): A Non-Linear Field Theory, Proceedings of
the Royal Society of London, Series A, Vol. 260, pp. 127
11. Skyrme T.H.R. (1988): The Origins of Skyrmions, International
Journal of Modern Physics, Vol. A3, pp 2745
12. Manton N. (1987): Geometry of skyrmions, Communications in
Mathematical Physics, Vol. 111, pp. 469
13
CAPITOLUL II
Compatibilitatea spațiu – materie dincolo de conceptul de
forță
Atunci când discutăm despre forțe în sens clasic intuim de regulă
efectul primar al acțiunii la distanță (forțe, indiferent de echilibrul lor
definitoriu, indiferent de proveniența lor, forțe deja definite ca și
concept).
Forța concepută în sens clasic ca vector, un artifact al teoriei
analitice instituite prin ecuațiile Poisson și Laplace, are următoarele
proprietăți:
conservativitatea, altfel spus proprietatea vectorului forță de a fi
obținut dintr-o funcție de potențial prin operația gradientului;
mărimea depinzând numai de distanța dintre punctele fizice
implicate în acțiunea la distanță;
centralitatea, adică proprietatea forțelor de a acționa numai de-a
lungul direcției ce unește punctele fizice implicate în acțiunea la distanță.
Toate aceste proprietăți sunt evident prezente în definiția forței de
tip newtonian ce modelează, fie interacția coulumbiană la scară atomică,
fie gravitația la scară cosmologică. Totuși, clasa forțelor ce prezintă
proprietățile de mai sus este cu mult mai largă decât clasa forțelor de tip
newtonian [1].
Setul precedent de proprietăţi al forței este însă suficient pentru o
anumită caracterizare a continuului la care se referă acestea. Mai precis,
reproducând ecuația lui Poisson, trebuie să operăm cu densitatea materiei
punctului fizic ce creează câmpul. De aici rezultă că forțele newtoniene
sunt singurele forțe care, obținute pe baza unei teorii a continuului,
conferă structurii acelui continuu o densitate de tip newtonian nulă
(forțele newtoniene caracterizează doar dinamicile de vid).
Definind forța în aceleași poziții ca și materia, în sensul că
acceptăm densitatea newtoniană drept atribut al ecuației lui Poisson,
atunci tot ea caracterizează forța drept apanaj al unui continuu. Acest
lucru vine în contradicție cu modul în care forța gravitațională a fost
concepută inițial de către Newton adică o forță concentrată într-un punct.
14
Acceptând însă punctul de vedere al filozofiei naturale
newtoniene, momentul poate fi depășit prin trecerea de la condiția de
punct material – implicând forțe centrale cu mărime depinzând numai de
distanță – la condiția de corp extins – implicând existența unui tensor 3x3
ce generează dependența de direcție a mărimii forței. Variația expresiei
mărimii forței datorită distanței dintre punctele materiale implicate în
interacțiune se manifestă printr-o evoluție a matricii ce redă dependența
de direcție a mărimii forței (să notăm că orice “operație” cu tensori de
ordinal doi este reductibilă la “operații” cu matrici 3x3). Dacă această
evoluție ar fi putut fi luată în considerație în mod corect înainte ca
Einstein [2] să creeze teoria sa a relativității, probabil că n-am fi avut
prilejul să o mai vedem astăzi această teorie ca atare. Totuși necesitatea
acestei matrici s-a făcut simțită pe alte căi, iar ecuațiile lui Ernst [3] sunt,
în opinia noastră, manifestarea acestei necesități.
Într-un asemenea cadru, în prezentul capitol vom arăta că
dinamicile asociate tranziției punctului material-corp extins se dovedesc
reductibile la compatibilitatea spațiu-materie. Rezultatele originale din
acest capitol sunt în curs de publicare în referința: Agop M., Gavriluț A.,
Iacob D. D., Gavriluț G. (în curs de publicare): Elastic and Plastic type
Behaviours on the fractal theory of motion at nanoscale, Advances in
Non-linear Dynamics Research, Editors: Alexey B Nadykto, Ludmila
Uvarova, Anatoliv Latyshep, Nova Publishing House, New York, 2017
[4].
Așa cum rezultă din analiza făcută în paragraful 2.1, tranziția
punct material-corp extins implică operarea cu tensori de ordinul al doilea
sau, mai general, cu matrici 3x3. Atunci un tensor de tip tensiune va
caracteriza „materia în spațiu”, în timp ce un tensor de tip deformație va
caracteriza „spațiul în materie”. Într-o asemenea conjectură, în
problemele continuului importantă este ecuația cuadricei caracteristice a
unei matrici 3x3 ce poate reprezenta fie “tensiuni” fie “deformații”.
Această ecuație conține toată informația legată de distribuția spațială a
mărimii fizice reprezentată de matricea respectivă. Pentru a descrie
această distribuție este nevoie de un sistem de referință special în orice
15
punct din spațiu, sistem de referință generat de vectorii proprii ai matricii
mărimii fizice avute în vedere. Deoarece această matrice este de regulă
simetrică, vectorii săi proprii sunt reciproc perpendiculari. Mai mult dacă
mărimea este definită în orice punct din spațiu atunci orice punct din
spațiu poate fi înzestrat cu un asemenea sistem de referință ortogonal,
care astfel primește semnificație fizică prin mărimea pe care matricea o
reprezintă. Într-adevăr, în acest sistem de referință pot exista totdeauna
trei numere cu semnificație fizică ce caracterizează originea sa. Aceste
numere sunt valori proprii ale matricii. Ele caracterizează în mod unic
punctul respectiv și, deoarece ele sunt rădăcinile unei ecuații cubice
(ecuația seculară a tensorului de tip tensiune), pot fi luate în spațiu drept
coordonate eliptice generalizate [5].
Procedura matematică ce urmează se referă la cea mai generală
formă a ecuației cubice cu coeficienți reali. Acești coeficienți sunt
invarianți ortogonali în cazul unei matrici 3x3 care este tensor în raport
cu grupul de rotații al spațiului uzual. Referința principală pe care o vom
utiliza este tratatul clasic al lui Burnside și Panton [6].
Fie deci ecuația cubică de expresie (forma binomială):
0axa3xa3xa 32
2
1
3
0 (2.1)
Vom presupune că numerele ka sunt reale, reprezentând prin 0a
posibilitatea de a ajusta în mod adecvat coeficienții pentru a ține seama
de arbitrariul permis de relațiile dintre rădăcini și coeficienți.
Urmând procedura din[6] se obțin soluțiile:
123
122
121
a3
1
3
43sina
3
2x
a3
1
3
23sina
3
2x
a3
13sina
3
2x
(2.29)
În terminologia lui Novojilov este unghiul de
reprezentare al matricii ij . În teoria deformațiilor, el este legat de
16
raportul razelor cercurilor lui Mohr, caracteristice fie deformațiilor, fie
tensiunilor, și caracterizat prin parametrul lui Lode [7]:
3tg3xx
xxx2
32
321
. (2.30)
Să observăm mai întâi faptul că dacă starea de tip tensiune sau
cea de tip deformaţie variază de la punct la punct:
321321 x,x,xx,x,x (2.31)
atunci o teoremă de algebră [6] arată că între ecuaţiile seculare, ce au ca
rădăcini valorile respective, are loc o legătură generată prin transformarea
omografică:
dcx
baxx
(2.32)
Aceasta induce un grup cu trei parametri în trei variabile.
Intr-adevar scriind rădăcinile cubicei sub forma lui Barbilian
[8,9] se induc transformările reale (grupul Barbilian):
dch
bahh
,
dhc
bhah
, k
dch
dhck
(2.35)
Acest grup este simplu tranzitiv, cu generatorii infinitezimali daţi
de operatorii:
hhB1
,h
hh
hB2
,
k
khhh
hh
hB 22
3
(2.36)
ce relevă pentru algebra Lie asociată o structură de tipul SL(2R)
121 BB,B ;
332 BB,B ;
213 B2B,B (2.37)
Mai mult grupul admite 1-formele diferenţiale:
khh
dh1
,
hh
hddh
k
dki2 ,
hh
hkd3
(2.38)
17
2-forma diferenţială:
2
2
21222
hh
hdhd4
hh
hddh
k
dk4ds
(2.41)
şi 3-forma diferenţială ca măsură elementară:
khh
dkhddhdM
2
(2.43)
Avantajele reprezentării (2.41), indiferent dacă ea reprezintă o
mişcare kepleriană sau un sistem de tip tensiune, se referă la faptul că
această reprezentare face explicită conexiunea cu reprezentarea Poincaré
în planul Lobacevski. Într-adevăr, metrica (2.41) se reduce la cea a lui
Poincaré:
22
hh
hdhd4ds
(2.44)
sau, în real:
2
222
v
dvduds
(2.45)
pentru 02 sau în real 01 care, după cum observă
Barbilian [10], defineşte variabila ca unghi de paralelism în sens Levi-
Civita al planului hiperbolic (conexiune). De fapt, vdu reprezintă forma
de conexiune a planului hiperbolic [10 ecuaţiile (2.40) reprezentând
atunci o transformare Bäcklund generală a acelui plan [11].
Dacă acum rezolvăm sistemul de ecuaţii (2.34) în raport cu h ,
h şi k se obţin următoarele relaţii:
3
2
21
32
2
1
3
2
21
21
2
1332
xxx
xxxk
xxx
xxxxxxh
(2.46)
Acestea se pot pune în legătură cu următoarele mărimi şi anume:
18
i6ek (2.47)
6cosi6sin3
xxh (2.48)
unde:
32
321
xx3
xxx23tg
(2.49)
iar:
321 xxx3
1x (2.50)
21
2
13
2
32
2
21 xxxxxx2
1x (2.51)
Relaţiile (2.49), (2.50) şi (2.51) sunt expresii ce pot fi puse în
corespondenţă cu mărimi cunoscute din teoria tensiunilor şi deformaţiilor
[12] precum parametrii lui Lode media tensiunii normale respectiv
intensitatea tensiunilor.
Dacă se face uz de relaţiile anterioare se obţine:
3sinxxx1 (2.52)
În cazul în care este satisfăcută condiţia:
0x (2.53)
ceea ce din punct de vedere al teoriei tensiunilor semnifică faptul că nu
există solicitări hidrostatice, 03321 , iar din punct
de vedere al teoriei deformaţiilor semnifică faptul că deformaţia are loc
fără schimbare de volum, 03321 , [12] rezultă:
3sinxx1 (2.54)
Din punct de vedere al teoriei tensiunilor şi deformaţiilor [12]
dacă admitem identificările:
1x , x (2.55)
relaţia (2.54) scrisă sub forma:
19
3sin (2.56)
reprezintă o generalizare a criteriului de cedare a lui von Mises [12],
adică a criteriului standard [12-14]:
c2
12
32
2
31
2
212
1 , (2.57)
unde c defineşte tensiunea de curgere, de la cazul tracţiunilor uniaxiale
la cel al solicitărilor triaxiale. Aceasta înseamnă că tensiunea de solicitare
monotonă uniaxială nu poate fi identificată cu mărimea decât dacă
solicitările ortogonale direcţiei de tracţiune sunt foarte apropiate una de
cealaltă. Într-adevăr, din relaţia (2.49) scrisă pentru tensiuni sub forma:
32
321
3
23tg
(2.58)
rezultă:
3tg (2.59)
ceea ce implică:
13sin
Prin urmare, tensiunea uniaxială poate fi identificată cu mărimea
.
Teoria anterioară asupra obţinerii valorilor proprii ale unei
matrici, nu face prin nimic referinţă la simetria matricii sau la faptul că ea
este un tensor etc.: este o teorie cu totul generală. Totuşi, în cazul
tensorului de tip tensiune şi a celui de tip deformaţie, ceea ce implică
compatibilitatea spaţiu-materie, avem de-a face cu matrici simetrice care,
potrivit teoriei clasice, sunt şi tensori. Această din urmă proprietate nu ne
ajută la nimic, însă prima simplifică oarecum problema relaţiilor
constitutive. Pentru fiecare dintre tensorii de tip tensiune , ij , și de tip
deformație, ij , reprezentați prin matrici specifice 3x3, se poate construi
o teorie analogă celei din paragrafele anterioare. Vom nota aici invarianţii
20
acestor matrici, ca şi în paragrafele anterioare, astfel: 321 e,e,e şi
respectiv 321 s,s,s , iar unghiurile de reprezentare cu , respectiv .
În cele ce urmează vom urma procedura matematică dată în
referințele [13-15] cu diferența că aici discutăm de tensori de tip tensiune
respectiv de tip deformație. Primul dintre tensori va caracteriza “materia
în spațiu” în timp cel de-al doilea va caracteriza “ spațiu în materie”.
Baza relaţiilor constitutive pentru o structură materială ideal
elastică, este dată de existenţa potenţialului de tip elastic, considerat ca
funcţie de invarianţi de tip deformaţiei 321 E,E,E ce înlocuiesc pe
321 I,I,I din paragrafele anterioare şi care are semnificaţia de tip
densitatea lucrului mecanic elementar. Dacă notăm această funcţie cu
321 E,E,E , atunci vom avea:
ij
ij
Φ (2.60)
sau:
3
1k ij
k
k
ij
E
E
Φ (2.61)
Derivatele kE pot juca rolul unor parametri intrinseci de
material de tip „moduli elastici generalizaţi”.
Urmând acum procedura din [13-15] se obține mai întâi:
Ie3
2D
3cos
sin
e
3D
3cos
3cosG2D 2
2
2
, (2.75)
Relaţia matriceală (2.75) reprezintă cea mai generală ecuaţie
constitutivă pentru structura materială ideală elastică izotropă, însă numai
pentru acesta. Practic discutăm în prezentul context de relația constitutivă
materie-spațiu, altfel spus cum este „extinsă” materia în spațiu. Într-
adevăr, ea nu se referă numai la transformări reversibile ci și la cele
21
ireversibile, întrucât este obţinută în ipoteza existenţei potenţialului
care însă este construibil atât pentru transformări reversibile cât și
ireversibile. Ea este şi inversabilă adică se poate exprima
D prin
D .
Prin aceleași proceduri se găsește:
Is3
2D
3cos
sin
s
3D
3cos
3cos
G2
1D 2
2
2
, (2.80)
Discutăm aici de relația constitutivă spațiu – materie altfel spus
cum este “extins” spațiul în materie.
În cazul uzual al tensorului tensiunilor și cel al deformațiilor din
(2.75) pentru 0 se obţine legea clasică a lui Hooke pentru corpul
perfect izotrop prin identificările obişnuite [13]:
1
EG2 ,
21
EK
unde este coeficientul lui Poisson. Această lege are forma:
332211ijij
2111
1E
, (2.81)
Semnificațiile mărimilor de mai sus sunt date în capitolul doi al
tezei.
BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ
1. Burns J. (1966): Noncentral Forces, American Journal of Physics,
Vol. 34, pp. 164
2. Einstein A. (1957): Teoria Relativității, Editura Tehnică, București.
3. Ernst F.J. (1968): New Formulation of the Axially Symmetric
Gravitational Field Problem II, Physical Review, Vol. 168, pp. 1415
22
4. Agop M., Gavriluț A., Iacob D. D., Gavriluț G. (în curs de
publicare 2017): Elastic and Plastic type Behaviours on the fractal
theory of motion at nanoscale, (capitol carte) Advances in Non-linear
Dynamics Research, Editors: Alexey B Nadykto, Ludmila Uvarova,
Anatoliv Latyshep, Nova Publishing House, New York.
5. Mihăileanu N. (1971): Complemente de Geometrie Analitică,
Proiectivă și Diferențială, Editura Didactică și Pedagogică,
București.
6. Burnside W.S., Panton A.W. (1960): The Theory of Equations,
Dover Publications, New York.
7. Drăgan I. (1981): Tehnologia deformațiilor plastice, Editura
Didactică și Pedagogică, București.
8. Barbilian D. (1938): Der Riemannsche Raum Kubischer
Binärformen, Comptes Rendus de l’Académie Roumaine des
Sciences, Vol. 2, pp. 345.
9. Barbilian D. (1967): Opera Matematică, Editura Academiei,
București, Vol. I,
10. Flanders H. (1989): Differential Forms with Applications to the
Physical Sciences, Dover Publications, New York,
11. Reyes E.G. (2003): On Generalized Bäcklund Transformation for
Equations Describing Pseudo-Spherical Surfaces, Journal of
Geometry and Physics, Vol. 45, pp. 368
12. Bell J.F. (1987): The Physics of Large Deformation of Crystallique
Solids, Ed. Springer Verlag, Viena, Vol. 14,
13. Novojilov V.V. (1951): Asupra relației dintre tensiuni și deformații
în mediul neliniar-elastic, Prikladnaya Matematikai, Mekhanika, Vol.
15, pp. 183
14. Novojilov V.V., (1952): Asupra semnificației fizice a invarianților
tensiunilor folosiți în teoria Plasticității, Prikladnaya Matematikai,
Mekhanika, Vol. 16, pp. 617
15. Agop M., Mazilu N: Fundamente ale fizicii moderne, Editura
Junimea, Iași, 1989.
23
CAPITOLUL III
Efecte de tip scală în teorii fizice diferențiale, respectiv
nediferențiale
În acest capitol am legiferat mai întâi rolul transformărilor de
scală în teorii fizice diferențiabile pe baza analizei unor dinamici
standard: problemele Kepler pentru masă și sarcină, „momentele” Galilei
și Hubble ca accidente ale unei „ambianțe” newtoniene, eliminarea
disipației, fie ca un proces de modulare în frecvență, fie ca un act de
generare de „identitate” de pe un ansamblu cu aceeași caracteristică
(,,personalizarea” unui oscilator dintr-un ansamblu de oscilatori cu
aceeași frecvență). Apoi, cum transformările de etalon implică conceptul
de scală de rezoluție, concept de altfel impropriu teoriilor fizice
diferențiabile, întrucât acestea nu pot ,,susține” simultan determinismul şi
potențialitatea (nedeterminismul), am analizat dinamici similare
(oscilatorul armonic, particula liberă etc.) în teorii fizice nediferențiabile.
Într-o asemenea conjuctură pentru oscilatorul armonic rezultă atât o
coerență în fază a entităților unui sistem fizic la scală diferențiabilă, cât şi
un transfer cuantificat de impuls fractal, între entitățile aceluiași sistem
fizic la scală nediferențiabilă. Mai mult, pentru particula liberă secvențele
de tip ,,mișcare rectilinie și uniformă” și cea de tip „Hubble” se obțin prin
,,medieri” între gradul de fractalizare şi poziției-timp la diverse scale de
rezoluție.
Rezultatele originale au fost publicate în referințele: Boicu M.,
Iacob D. D. (2015): On the Hubble effect by means of the fractal
medium, Buletinul Institutului Politehnic din Iaşi, Tomul LX(IV) [1];
Doroftei B., Duceac L. D., Iacob D. D., Dănila N., Volovăț S.,
Scripcariu V., Agop M., Aursulesei V.: The Harmonic Oscillator
Problem in the Scale Relativity Theory. Its Implications in the
Morphogenesis of Structures at Various Scale Resolutions, Journal of
Computational and Theoretical Nanoscience, Vol. 12, pp. 5870 [2]; Iacob
D.D, Agop M. (2017): Compatibilitate skyrmionică spațiu – materie,
Editura Ars Longa, Iași [3].
24
Alte aplicații ale modelului în studiul dinamicii biostructurilor
sunt prezentate în referințele [4,5].
Indiferent de scara specifică de contemplare a naturii, forța
newtoniană este o forță de vid (o caracteristică a spațiului în absența
materiei). Una dintre “instanțele” acestei forțe acționează atât la scară
macroscopică - forța gravitațională, cât și la scară microscopică - forța
coulumbiană. Ecuațiile dinamice de mișcare în cele două probleme: ale
atomului la scală microscopică respectiv ale sistemului solar, la scală
cosmogonică, trebuie să fie deci aceleași. Este așadar un merit al
formalismului dinamicii clasice faptul că ambele ecuații de mișcare,
referitoare la forța invers proporțională cu pătratul distanței, sunt explicit
invariante la o transformare de etalon. Într-adevăr, în conformitate cu
legile dinamicii clasice, atomul la nanoscală este tot la fel de legitim ca și
sistemul solar la scară cosmogonică. Dacă însă un lucru este neconform
aici, acesta trebuie căutat dincolo de mecanica clasică, așa cum se va
vedea puțin mai târziu. Dar să vedem la ce se referă, în mod explicit, acea
transformare de etalon ce invariază ecuațiile dinamicii clasice.
Mariwalla a arătat că ecuațiile de mișcare ale dinamicii
newtoniene pentru cazul forței gravitaționale clasice sunt invariante la o
transformare specială [6]. Această transformarepe care noi o vom numi
transformarea Mariwalla se referă simultan atât la poziție, cât și la timpul
mișcării. Astfel, acesta a arătat că ecuațiile de mișcare ale lui Newton
pentru mișcarea planetară, devin invariante în raport cu transformarea
simultană a coordonatelor spațiale și a timpului dată prin relațiile:
rk
rR
1;
21
dtdτ
rk (3.2)
Aceasta ne permite să afirmăm că, de exemplu, problemele
Kepler pentru masă și sarcină nu sunt echivalente: ele sunt identice, dar
la diferite scări de timp și spațiu. Așadar, teoretic, atomul lui Rutherford
este “legitim": el este expresia unei mișcări kepleriene la scară
microscopică, așa cum mișcarea planetelor în jurul Soarelui este expresia
unei mișcări kepleriene la scară macroscopică (cosmogonică).
25
În coordonatele polare ,r ale planului mişcării forma
vectorială a ecuaţiei lui Newton, se separă într-un sistem de două ecuaţii
diferenţiale:
0r
rr 2
; 0r2r (3.6)
A doua ecuaţie diferenţială corespunde legii de conservare a
ariilor:
.constar2 (3.7)
Prima din ecuaţiile diferenţiale (3.6) poate fi integrată [7]
introducând mai întâi schimbarea de variabilă temporală:
2r
dtt ; a (3.8)
unde simbolul „,” reprezintă derivata în raport cu . Acum o
nouă schimbare de variabilă de forma:
r
1 (3.9)
transformă prima ecuaţie diferenţială (3.6) astfel:
0a 22 (3.10)
Prin integrarea acestei ecuații și ținând seama de anumite
constrângeri se obține
fie „momentul” de tip Galilei: 00 v (3.15)
fie „momentului” de tip Hubble: T
(3.18)
Aşadar, „ambianţa newtoniană” oferă („simulează”) prin
dinamica ei atât „momentul” de tip Galilei (3.15), cât şi pe cel de tip
Hubble (3.18). Mai mult, ambele „momente” pot fi asimilate unor
„accidente” (limite) în cadrul dinamicii newtoniene.
Utilizând o procedură de tip Ricatti [8] în analiza dinamicilor
oscilatorului amortizat se arată că mărimea:
26
constRMKq
RqMptan
RMK
R2expKqRpq2Mp
2
1
2
1
2
22
(3.38)
se conservă. Rezultă de aici că energia se conservă în sens clasic
numai în cazul în care fie R este nul, fie mișcarea în planul fazelor se face
pe o dreaptă ce trece prin origine, cu panta determinată de raportul dintre
coeficientul de amortizare şi masă. Anularea lui R este asociată absenței
forțelor disipative. Prin comparație cu conjectura lui Planck [9] privitoare
la funcția de partiție pe un ansamblu dat:
rw1
r1wtg
r1
r2exp
wrw21
1w,rP
2121
2122
relația (3.38) scrisă sub forma:
rw1
r1wtg
r1
r2exp
wrw21
const
2
kq212
1
2122
2
2
22
Kq
Mpw ;
KM
Rr
22
relevă aici caracterul pur statistic al energiei: energia potențială se
constituie ca funcțională de o variabilă statistică. Această variabilă este
dată de raportul dintre energia cinetică și cea potențială a oscilatorului
,,local”.
Mai mult printr-o transformare de etalon [10] ce are drept
finalitate obținerea unui lagrangean “liber de orice constrângere”, aceeași
proceduri de tip Riccati implică soluția [11].
r
2
2
r
2
r
tt2cosr2r1
r1i
tt2cosr2r1
tt2sinr2MRz
(3.50)
ceea ce scoate în evidență o modulație a frecvenței prin ceea ce am numi
o transformare de tip Stoler [12,13].
27
Să notăm că disiparea apare aici ca un proces de modulare a
frecvenței (mai precis a pulsației). Acest proces este o calibrare a
diferenței dintre energia cinetică și cea potențială – definiția clasică a
lagrangeanului – ce aduce această mărime la un pătrat perfect.
Oricare din transformările prezentate în paragrafele anterioare: i)
transformarea lui Mariwalla prin care problemele Kepler pentru masă și
sarcină devin identice, dar la diferite scări spațio-temporale; ii)
transformarea lui Govinder prin care ,,momentul Galilei” și „momentul
Hubble” sunt asimilate unor „accidente” oferite de ambianța newtoniană;
iii) transformarea disipativ-nedisipativ prin care „ frecarea internă”
,,mimează”, fie un proces de modulare în frecvență prin calibrarea
diferenței dintre energia cinetică și cea potențială astfel încât expresia
langrangeanului să devină un pătrat perfect, fie un act de ,,personalizare”
(generare de identitate) a unui obiect fizic dintr-un ansamblu cu o
caracteristică comună prin eliminarea „modulării” ei (în particular,
identificarea unui oscilator dintr-o „clasă” de oscilatori de aceeași
frecvență prin excluderea modulării în frecvență) – reflectă efecte fizice
la scale de rezoluție spațio-temporale diferite.
Dar conceptul de scală de rezoluție nu este propriu teoriilor fizice
diferențiabile cu care am operat aici, ci doar teoriilor fizice
nediferențiabile, fie de tipul Relativității de Scală în dimensiune fractală
DF=2 [14] , fie de tipul Relativității de Scală în dimensiune fractală
constantă arbitrară [15].
Într-un asemenea cadru, utilizând Teoria Relativității de Scală în
dimensiune fractală constantă arbitrară, se arată că oscilatorul armonic
într-un spaţiu fractal este echivalent cu un sistem fizic coerent, ale cărui
entităţi se deplasează pe traiectorii staţionare fractale, ce satisfac condiţia:
2
1nDm21n2DmDmQUE 0
2
0
2
0nn
(3.113)
“Observabila” sub forma energiei este cuantificată. Valoarea zero
a părţii diferenţiabile a câmpului de viteze complex corespunde unei
comportări a sistemului fizic de tip superfluid sau supraconductor, iar
28
valoarea diferită de zero a părţii fractale selectează, prin condiţia (3.113),
„traiectoriile” staţionare fractale ale entităţilor sistemului fizic. Transferul
de impuls este realizat doar prin componenta fractală a câmpului de
viteze complex.
Rezultatele anterioare pot fi generalizate pentru un oscilator
armonic n-dimensional. În acest context, în Figurile 3.3a,b si 3.6a,b
prezentăm densităţile de stări ale oscilatorului armonic bidimensional
pentru diferite stări cuantice, induse de numerele cuantice nξ şi, respectiv,
nη (dependenţele 3D şi de contur).
Fig. 3.3 a, b: Densitățile de stări ale oscilatorului armonic
bidimensional (dependențele 3D și de contur) pentru numerele cuantice
1n și, respectiv, 2n .
29
Fig. 3.6 a, b: Densitățile de stări ale oscilatorului armonic
bidimensional (dependențele 3D și de contur) pentru numerele cuantice
2n și, respectiv, 3n .
În cazul particulei libere, același formalism al relativității de
Scală în dimensiune fractală constantă arbitrară specifică faptul că
„modul” de mişcare rectiliniu şi uniform:
cv
(3.126)
este „vizibil” atât la scala de rezoluţie diferenţiabilă, indiferent de gradul
de fractalizare, cât şi la scale de rezoluţie nediferenţiabile subunitare şi
grade de fractalizare nule,în timp ce „modul” de mişcare de tip Hubble,
T
xv (3.127)
este vizibil doar la scale de rezoluţie nediferenţiabile supraunitare, grade
de fractalizare mari şi timpi de ordinul vârstei universului.
Semnificațiile mărimilor de mai sus sunt date în capitolul al
treilea al tezei.
30
BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ
1. Boicu M., Iacob D. D. (2015):On the Hubble effect by means of the
fractal medium, Buletinul Institutului Politehnic din Iaşi, Tomul
LX(IV)
2. Doroftei B., Duceac L. D., Iacob D. D., Dănila N., Volovăț S.,
Scripcariu V., Agop M., Aursulesei V. (2015): The Harmonic
Oscillator Problem in the Scale Relativity Theory. Its Implications in
the Morphogenesis of Structures at Various Scale Resolutions,
Journal of Computational and Theoretical Nanoscience, Vol. 12, pp.
5870
3. Iacob D.D, Agop M. (2017): Compatibilitate skyrmionică spațiu –
materie, Editura Ars Longa, Iași.
4. Aursulesei V., Vasincu D., Timofte D., Vrăjitoriu L., Gațu I.,
Iacob D.D., Ghizdovăț V., Buzea C., Agop M. (2016): New
mechanisms of vesicles migration, General Physiology and
Biophysics, Vol. 35, pp. 287
5. Duceac L. D., Nica I., Iacob D. D. (2014): Chaos and self-
structuring in cellular growth dynamics, Buletinul Institutului
Politehnic din Iaşi, Tomul LX (LXIV)
6. Mariwalla, K. H. (1982), Integrals and Symmetries: the Bernoulli-
Laplace-Lenz Vector, Journal of Physics A: Mathematical and
General, Vol. 15, L467- L471
7. Govinder, K. S., Athorne, C., Leach, P. G. L. (1993), The
Algebraic Structure of Generalized Ermakov Systems in Three
Dimensions, Journal of Physics A: Mathematical and General, Vol.
26, 4035 – 4046
8. Denman, H. H., (1968), Time-Translation Invariance for Certain
Dissipative Classical Systems, American Journal of Physics, Vol. 36,
516
9. Mazilu N., Porumbeanu M. (2011): Devenirea mecanicii cuantice,
Editura Limes, Cluj Napoca
31
10. Zelikin, M. I., (2000), Control Theory and Optimization,
Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Vol. 86, Springer.
11. Carinena J. F., Ramos A. (1999): Integrability of Riccati Equation
from a Group Theoretical Viewpoint, International Journal of
Modern Physics A, Vol. 14, pp. 1935
12. Stoler, D., (1970), Equivalence Classes of Minimum Uncertainty
Packets, Physical Review D1, 3217
13. Stoler, D., (1971), Generalized Coherent States, Physical Review D4,
2309
14. Nottale L. (2011): Scale Relativity and Fractal Space-Time: A New
Approach to Unifying the Relativity and Quantum Mechanics,
Imperial College Press, London.
15. Mercheș I., Agop M. (2015): Differentiability and Fractality in
dynamics of physical systems, World Scientific, Singapore
32
CONCLUZII GENERALE
Rezultatele din capitolul 1 referitoare la dinamici de tip Kepler
specifice faptului că regiunea spațială a corpuluisursă poate fi descrisă
printr-o geometrie de tip hiperbolic. Atunci acceptând corespondența
dintre spațiu gol și cel umplut cu materie ca o aplicație armonică, suntem
conduși la skyrmionii hiperbolici.
Rezultatele din capitolul 2 prin care trecem de la dinamici
“punctuale” la cele de tip corp extins implică legi constitutive de
material, fie de tip “tensiune- deformație” ceea ce ar descrie modul cum
este extinsă materia în spațiu, fie de tipul “deformație - tensiune ” ceea
ce ar descrie modul cum este “extins” spațiul în materie. Dinamica
acestor tensori implică grupuri de invarianță și de aici, prin mapare
armonică ecuațiile de tip Ernst. Prin aceasta totuși nu putem renunța la
ecuațiile lui Einstein.
În capitolul trei se arată că dinamicile standard de tip Kepler,
oscilator amortizat etc implică, prin transformări de etalonaredinamici în
“universuri similare”. Altfel spus, “lumi” diferite sunt descrise prin
aceeasi ecuație, dar la scală spațio- temporale diferite. Ori tranziția
fractal- nefractal (adică de la un univers la altul) imlică si aici mapare
armonică.
Deși aparent disjuncte, rezultatele din capitolele 1, 2 și 3 induce,
prin aceeași procedură matematică (mapare armonică) la renuntarea la
diferențialitate și operarea cu fractalitate.
33
BIBLIOGRAFIE GENERALĂ
1. Agop M., Gavriluț A., Iacob D. D., Gavriluț G. (în curs de
publicare 2017): Elastic and Plastic type Behaviours on the fractal
theory of motion at nanoscale, (capitol carte) Advances in Non-linear
Dynamics Research, Editors: Alexey B Nadykto, Ludmila Uvarova,
Anatoliv Latyshep, Nova Publishing House, New York.
2. Atiyah M. F., Manton N. S. (1993): The Geometry and Kinematics
of Two Skyrmions, Communications in Mathematical Physics, Vol.
152, pp. 391
3. Atiyah M. F., Sutcliffe P. (2001): The Geometry of Point Particles;
Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Vol. 458, pp.
1089
4. Atiyah M. F., Sutcliffe P. (2004): Skyrmions, Instantons, Mass and
Curvature, Physics Letters B, Vol. 605, pp. 106
5. Aursulesei V., Vasincu D., Timofte D., Vrăjitoriu L., Gațu I.,
Iacob D.D., Ghizdovăț V., Buzea C., Agop M. (2016): New
mechanisms of vesicles migration, General Physiology and
Biophysics, Vol. 35, pp. 287
6. Baish J. W., Jain R. K. (2000): Fractals and Cancer, Cancer
Research, Vol. 60, pp. 3683
7. Ballentine L. E (1998): Quantum Mechanics: A Modern
Development, World Scientific.
8. Barbilian D. (1938): Der Riemannsche Raum Kubischer
Binärformen, Comptes Rendus de l’Académie Roumaine des
Sciences, Vol. 2, pp. 345(retipărit în Opera Matematică, Vol.I).
34
9. Barbilian D. (1967): Opera Matematică, Editura Academiei,
București, Vol. I
10. Bell J.F. (1987): The Physics of Large Deformation of Crystallique
Solids, Ed. Springer Verlag, Viena, Vol. 14
11. Bohm D. (1952): A Suggested Interpretation of Quantum Theory în
Terms of „Hidden” Variables, Physical Review, Vol. 85, pp. 166
12. Boicu M., Iacob D. D. (2015):On the Hubble effect by means of the
fractal medium, Buletinul Institutului Politehnic din Iaşi, Tomul
LX(IV)
13. Burns J. (1966): Noncentral Forces, American Journal of Physics,
Vol. 34, pp. 164
14. Burnside W. S., Panton A. W. (1960): The Theory of Equations,
Dover Publications
15. Carinena J. F., Ramos A. (1999): Integrability of Riccati Equation
from a Group Theoretical Viewpoint, International Journal of
Modern Physics A, Vol. 14, pp. 1935
16. Cayley A. (1859): A Sixth Memoir Upon Quantics, Philosophical
Transactions of the Royal Society of London, Vol. 149, pp. 61;
Reprinted in The Collected Mathematical Works, Vol. II, p. 561,
Cambridge University Press, 1889
17. De Sitter W. (1917a): On the Relativity of Inertia. Remarks
Concerning Einstein’s Latest Hypothesis, Proceedings of the Royal
Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW), Vol. 19II, pp.
1217
18. De Sitter W. (1917b): Further Remarks on the Solutions of
Einstein’s Theory of Gravitation, Proceedings of the Royal
35
Netherlands Academy of Atrs and Sciences (KNAW), Vol. 20II, pp.
1309
19. De Sitter, W. (1916): On Einstein’s Theory of Gravitation and its
Astronomical Consequences, Second Paper, Monthly Notices of the
Royal Astronomical Society of London, Vol. 77, pp. 155 – 184
20. Denman, H. H., (1968), Time-Translation Invariance for Certain
Dissipative Classical Systems, American Journal of Physics, Vol. 36,
516
21. Doroftei B., Duceac L. D., Iacob D. D., Dănila N., Volovăț S.,
Scripcariu V., Agop M., Aursulesei V. (2015): The Harmonic
Oscillator Problem in the Scale Relativity Theory. Its Implications in
the Morphogenesis of Structures at Various Scale Resolutions,
Journal of Computational and Theoretical Nanoscience, Vol. 12, pp.
5870
22. Drăgan I. (1981): Tehnologia deformațiilor plastice, Editura
Didactică și Pedagogică, București.
23. Duceac L. D., Nica I., Iacob D. D. (2014): Chaos and self-
structuring in cellular growth dynamics, Buletinul Institutului
Politehnic din Iaşi, Tomul LX (LXIV)
24. Eells J., Sampson J. H. (1964): Harmonic Mappings Of Riemannian
Manifolds, American Journal of Mathematics, Vol. 86, pp. 109
25. Einstein A. (1917): Cosmological Considerations on the General
Theory of Relativity, translation of the German original in The
Principle of Relativity, Dover Publications, Inc., New York
26. Einstein A. (1920): Relativity: the special and the general theory, a
popular exposition, Methuen&Co. Ltd.
36
27. Einstein A. (1957): Teoria Relativității, Editura Tehnică, București.
28. Einstein A. (1986 – 2013): The Collected Papers, Princeton
University Press, Princeton, New Jersey
29. Einstein A. (2004): The Meaning of Relativity, Routledge Classics,
London & New York
30. Ernst F.J. (1968): New Formulation of the Axially Symmetric
Gravitational Field Problem II, Physical Review, Vol. 168, pp. 1415
31. Ernst F.J., (1968): New Formulation of the Axially Symmetric
Gravitational Field Problem II, Physical Review, Vol. 168, pp. 1415
32. Ernst F.J., (1971): Exterior Algebraic Derivation of Einstein Field
Equations Employing a Generalized Basis, Journal of Mathematical
Physics, Vol. 12, pp. 2395
33. Evrard G. (1995): Minimal Information in Velocity Space, Physics
Letters A, Vol. 201, pp. 95
34. Fels, M., Olver, P. J., (1998), Moving Coframes I, Acta Applicandae
Mathematicae, Vol. 51, 161-213
35. Feynman, R. P., Hibbs, A. R. (1965), Quantum Mechanics and Path
Integrals, McGraw-Hill, New York (Russian translation)
36. Flanders H. (1989): Differential Forms with Applications to the
Physical Sciences, Dover Publications, New York
37. Fock V. I. (1959): The Theory of Space Time and Gravitation,
Pergamon Press, New York
38. Gațu I. N,, D. D. Iacob , V. Ghizdovăț, M. Agop: Non Linear
Effects In Complex Fluids, Second International Conference On
37
Natural And Anthropic Risks, ICNAR, Universitatea “Vasile
Alexandri”, Bacău; 4-7 iunie 2014.
39. Gațu Irina Nicoleta, D. D. Iacob (2015b): Describing Particle
Interactions using The Classical Theory of Light Colors; Conferința
nationala, Pentagonul Facultatilor de Fizică;
40. Gațu I. N,, D. D. Iacob , V. Ghizdovăț, M. Agop: Non Linear
Effects In Complex Fluids, Second International Conference On
Natural And Anthropic Risks, ICNAR, Bacău; 4-7 iunie 2014.
41. Gațu Irina, V.Ghizdovăț, Dan D. Iacob (2015 a): Fenomene de
haos și autoorganizare în medicină; Conferința Națională cu
Participare Internațională “Zilele Spitalului Clinic C.F. Iași” Iași,
2015.
42. Ghizdovăț V., D. D. Iacob, Gațu I. N., M. Agop: Morphogenesis
of structures in complex fluids through the informational non-
diferentiable entropy, ICNAR, Bacău, 2014;
43. Ghizdovăț V., D. D. Iacob, I. Gațu (2015c), The Development of a
New Cellular Network Class, The Second CommScie International
Conference, Iași, 2015
44. Ghizdovăț V., I. Gațu, D. D. Iacob, I. Butuc (2015a), Non-Linear
Behaviours of the Solid Components from Heterogeneous Mixtures,
OPROTEH, Bacău, 2015;
45. Ghizdovăț V., I. Gațu, D. D. Iacob, I. Butuc(2015b), Non-Linear
Behaviours in Ablation Plasma via Fractality, ICPIG, Iași, 2015,
46. Govinder, K. S., Athorne, C., Leach, P. G. L. (1993), The
Algebraic Structure of Generalized Ermakov Systems in Three
Dimensions, Journal of Physics A: Mathematical and General, Vol.
38
26, 4035 – 4046
47. Gradshteyn, I.S., Ryzhik, I. M., (1994), Table of Integrals, Series
and Products, Fifth Edition, Academic Press
48. Grigorovici Alexandru, Dan Dezideriu Iacob, Maricel Agop, The
role of “Informational Entropy”in the “transmission”of
“Interactions”. HDL: Chameleon – Like Lipoprotein, Entropy, trimis
spre publicare, 2017.
49. Hertz H. (1899): The Principles of Mechanics, Presented in a New
Form, Dover Phoenix Editions, 2003.
50. Hill R., (1968): On constitutive inequalities for simple materials – I
and II, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol. 5, pp.
229.
51. Honda A. (2012): Isometric Immersions of the Hyperbolic Plane
into the Hyperbolic Space, Tohoku Mathematical Journal, Vol. 64,
pp. 171.
52. Hu Z. J., Zhao, G. S. (1997a): Isometric Immersions from the
Hyperbolic Space Hn(–1) into Hn+1(–1), Proceedings of the
American Mathematical Society, Vol. 125, pp. 2693.
53. Hu Z. J., Zhao, G. S. (1997b): Classification of Isometric
Immersions of the Hyperbolic Space H2 into H3, Geometriae
Dedicata, Vol. 65, pp. 45.
54. Hu Z.-J. (1999): Isometric Immersions of the Hyperbolic Space
Hn(–1) into Hn+1(–1), Colloquium Mathematicum, Vol. 79, pp. 17
55. Iacob D.D, Agop M. (2017): Compatibilitate skyrmionică spațiu –
materie, Editura Ars Longa, Iași.
39
56. Israel W., Wilson G. A. (1972): A Class of Stationary
Electromagnetic Vacuum Fields, Journal of Mathematical Physics,
Vol. 13, pp. 865
57. Kastrup H. A. (1978): An Electromagnetic Model for Charge
Confinement, Physics Letters B, Vol. 77, pp. 203
58. Kastrup H. A. (1979): Relativistic Strings and Electromagnetic Flux
Tubes, Physics Letters B, Vol. 82, pp. 237
59. Kecs W. (1986): Elasticitate și vâscoelasticitate, Editura Tehnică,
București.
60. Klein F. (1897): The Mathematical Theory of the Top, Charles
Scribner’s Sons, New York.
61. Mandelbrot B. B. (1983): The Fractal Geometry of Nature,
Freeman Publishers, San Francisco
62. Manton N. (1987): Geometry of skyrmions, Communications in
Mathematical Physics, Vol. 111, pp. 469
63. Manton N., Sutcliffe P. (2004): Topological Solitons, Cambridge
University Press.
64. Mariwalla, K. H. (1982), Integrals and Symmetries: the Bernoulli-
Laplace-Lenz Vector, Journal of Physics A: Mathematical and
General, Vol. 15, L467- L471
65. Mazilu N., Agop M (2010): La răscrucea teoriilor – Între Newton și
Einstein – Universul Barbilian, Ed. Ars Longa, Iași.
66. Mazilu N., Agop M. (2012): Skyrmions – a Great Finishing Touch
to Classical Newtonian Philosophy, Word Philosophy Series, Nova
Science Publishers, New York
40
67. Mazilu N., Agop M., Boicu M., Mihăileanu D., Pricop M., Gațu
I., Iacob D. D., Ghizdovăț V. (2015): The geometry of heavenly
matter formations, Physics Essays, Vol. 28, pp. 120
68. Mazilu N., Agop M., Gațu I., Iacob D. D., Butuc I., Ghizdovăț V.
(2016 a): The classical theory of light colors: a paradigm for
description of particle interactions, International Journal of
Theoretical Physics, Vol. 55, pp. 2773
69. Mazilu N., Agop M., Gațu I., Iacob D. D., Ghizdovăț V. (2016 b):
From Kepler problem to skyrmions, Modern Physics Letters B, Vol.
30, pp. 1
70. Mazilu N., Porumbeanu M. (2011): Devenirea mecanicii cuantice,
Editura Limes, Cluj Napoca
71. Mercheș I., Agop M. (2015): Differentiability and Fractality in
dynamics of physical systems, World Scientific, Singapore.
72. Mihăileanu N. (1971): Complemente de Geometrie Analitică,
Proiectivă și Diferențială, Editura Didactică și Pedagogică,
București.
73. Milne M. A. (1937): Kinematics, Dynamics and the Scale of Time,
Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Vol. 158, pp.
324
74. Misner C. W (1978): Harmonic maps as models for physical
theories, Physical Review D, Vol. 18, pp. 4510
75. Mittag L., Stephen M. (1992): Conformal transformations and the
application of complex variables in mechanics and quantum
mechanics, American Journal of Physics, Vol. 60, pp. 207
76. Needham, T., (2001), Visual Complex Analysis, Clarendon Press,
41
Oxford
77. Nottale L. (2011): Scale Relativity and Fractal Space-Time: A New
Approach to Unifying the Relativity and Quantum Mechanics,
Imperial College Press, London.
78. Novojilov V.V. (1951): Asupra relației dintre tensiuni și deformații
în mediul neliniar-elastic, Prikladnaya Matematikai, Mekhanika,
Vol. 15, pp. 183
79. Novojilov V.V. (1952), Asupra semnificației fizice a invarianților
tensiunilor folosiți în teoria Plasticității, Prikladnaya Matematikai,
Mekhanika, Vol. 16, pp. 617
80. Ogden R.W. (1972): Large Deformation Isotropic Elasticity: On the
Correlation of Theory and Experiment for Compressible Rubberlike
Solids, Proceedings of the Royal Society D-Mathematical, Physical
and Engineering Sciences, Vol. 328
81. Phillips P. W. (2003): Advanced Solid State Physics, Westview
Press
82. Reyes E.G. (2003): On Generalized Bäcklund Transformation for
Equations Describing Pseudo-Spherical Surfaces, Journal of
Geometry and Physics, Vol. 45, pp. 368
83. Rindler W. (1966): Kruskal Space and Uniformly Accelerated
Frame, American Journal of Physics, Vol. 34, pp. 1174
84. Rosenfeld L. (1948): Nuclear Forces, North Holland Publishing
Company, Amsterdam
85. Schwartz H. M. (1977): An Axiomatic Deduction of the Pauli Spinor
Theory, International Journal of Theoretical Physics, Vol. 16, pp. 249
42
86. Skyrme T. H. R. (1961): A Non-Linear Field Theory, Proceedings
of the Royal Society of London, Series A, Vol. 260, pp. 127
87. Skyrme T.H.R. (1988): The Origins of Skyrmions, International
Journal of Modern Physics, Vol. A3, pp 2745
88. Slobodeanu R. (2010): On the Geometrized Skyrme and Faddeev
Models, Journal of Geometry and Physics, Vol. 60, pp. 643
89. Stoler, D., (1970), Equivalence Classes of Minimum Uncertainty
Packets, Physical Review D1, 3217
90. Stoler, D., (1971), Generalized Coherent States, Physical Review
D4, 2309
91. Thomson J. J. (1891): On the Illustration of the Properties of the
Electric Field by Means of Tubes of Electrostatic Induction, The
Philosophical Magazine, Vol. 31, pp. 149
92. Zelikin, M. I., (2000), Control Theory and Optimization,
Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Vol. 86, Springer.
43
ACTIVITATE ȘTIINȚIFICĂ
Articole ISI
Titlu articol Revista Număr și
pagină
FI Autori
New Mechanisms
of Vesicles
Migration
General
Physiology
and
Biophysics
Vol. 35,
pp. 287;
3/2016
0,89
2
V. Aursulesei,
D. Vasincu, D.
Timofte, L.
Vrăjitoriu, I.
Gatu, D. D.
Iacob, V.
Ghizdovăț, C.
Buzea, M.
Agop
From Kepler
Problem to
Skyrmions
Modern
Physics
Letters B
Vol. 30,
pp. 1 –
16;
13/2016
0,54
7
N. Mazilu, M.
Agop, I. Gațu,
D. D. Iacob, V.
Ghizdovăț
The Classical
Theory of Light
Colors: a
Paradigm for
Description of
Particle
Interactions
International
Journal of
Theoretical
Physics
6/2016 1,04
1
N. Mazilu, M.
Agop, I. Gațu,
D. D. Iacob, I.
Butuc, V.
Ghizdovăț
The role of
“Informational
Entropy”in the
“transmission”of
“Interactions”.
HDL: Chameleon
– Like
Lipoprotein
Entropy trimis
spre
publicare
Grigorovici
Alexandru, Dan
Dezideriu
Iacob, Maricel
Agop.
44
Articole B+
Titlu articol Revista Număr și
pagină
Autori
On the Hubble effect
by means of the
fractal medium
Buletinul
Institutului
Politehnic din Iaşi,
Tomul
LX(IV);
2015
Boicu M.,
Iacob D. D.
Chaos and self-
Structuring in
cellular growth
dynamics
Buletinul
Institutului
Politehnic din Iaşi, Tomul LX
(LXIV) Fasc.4,
2014
Duceac L.
D., Nica I.,
Iacob D. D
Articole BDI
Titlu articol Revista Număr și
pagină
Autori
The Geometry of
Heavenly Matter
Formations
Physics
Essays,
Vol. 28, pp.
120-
127/2015
N. Mazilu, M.
Agop, M. Boicu,
D. Mihăileanu,
M. Pricop, I.
Gațu, D. D.
Iacob, V.
Ghizdovăț
The Harmonic
Oscillator Problem in
the Scale Relativity
Theory. Its
Implications in the
Morphogenesis of
Structures at Various
Scale Resolutions
Journal of
Computation
al and
Theoretical
Nanoscience
Vol.
12/2015,
pp. 5870-
5881
Doroftei B.,
Duceac L. D.,
Iacob D. D.,
Dănila N.,
Volovăț S.,
Scripcariu V.,
Agop M.,
Aursulesei V.
45
Lucrări conferințe
Titlu lucrare Conferinta Locul, anul Autori
Morphogenesis of
structures in
complex fluids
through the
informational
non-diferentiable
entropy
Second International
Conference On Natural
And Anthropic Risks;
ICNAR – Univ.
“Vasile Alexandri”
Bacău
Bacău,
2014
V.
Ghizdovăț
D. D.
Iacob,
Gațu I. N.,
M. Agop
Non Linear
Effects In
Complex Fluids
Second International
Conference On Natural
And Anthropic Risks;
ICNAR – Univ.
“Vasile Alexandri”
Bacău
4-7 iunie
2014 Bacău
Gațu I. N,
D. D. Iacob , V.
Ghizdovăț,
M. Agop
Non-Linear
Behaviours of the
Solid
Components from
Heterogeneous
Mixtures
OPROTEH Bacău, 2015 V.
Ghizdovăț,
I. Gațu, D.
D. Iacob, I.
Butuc
Non-Linear
Behaviours in
Ablation Plasma
via Fractality
ICPIG Iași, 2015 V.
Ghizdovăț,
I. Gațu, D.
D. Iacob, I.
Butuc
Describing
Particle
Interactions
using The
Classical Theory
of Light Colors
Conferința nationala,
Pentagonul Facultatilor
de Fizică
2015 Gațu I. N.,
D. D. Iacob
46
Fenomene de
haos și
autoorganizare în
medicină
ConferințaNațională cu
ParticipareInternațional
ă “ZileleSpitalului
Clinic C.F. Iași”
2015, Iasi V.
Ghizdovăț,
D. D.
Iacob. I.
Gațu
The Development
of a New Cellular
Network Class
The Second CommScie
International
Conference
Iași, 2015 V.
Ghizdovăț,
D. D.
Iacob. I.
Gațu
Carți
Elastic and
Plastic type
Behaviours on
the fractal
theory of motion
at nanoscale,
(capitol carte)
Advances in Non-linear
Dynamics Research
Editors Alexey B
Nadykto, Ludmila
Uvarova, Anatoliv
Latyshep, Nova
Publishing House, New
York
(în curs
de
publicare
2017):
Agop M.,
Gavriluț A.,
Iacob D. D.,
Gavriluț G.
Compatibilitate
skyrmionică
spațiu –
materie,.
Editura Ars Longa, Iași
(2017):
Iacob D.D,
Agop M.
Finanțare
Această lucrare a fost finanțată parțial prin proiectul
POSDRU/159/1.5/S/133652, Proiect „Sistem integrat de îmbunătățire a
calității cercetării doctorale și postdoctorale din România și de promovare
a rolului științei în societate” co-finanțat de Fondul Social European,
Program Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-
2013.
