4. METODE DE CALCUL STRUCTURAL LA TUNELURI 4.1. Generalitati

Problema calculului static si dimensionarii unui tunel a fost dintotdeauna printre cele mai controversate si dificile probleme puse inginerilor proiectanti.

Judecata, experienta si intuitia proiectantului sint necesare, mai mult decit in alte cazuri, pentru a compensa absenta regulilor in acest domeniu. Constructia unei lucrari subterane intr-un masiv are drept consecinta inlocuirea starii de eforturi naturale preexistente cu o noua stare de eforturi a noului corp constituit din masivul cu gol si captuseala.

Captuseala tunelului constituie un corp strain intr-un sistem (masivul), a carui stare initiala de eforturi a fost deranjata prin excavarea golului si limiteaza deformatiile terenului spre interior, impiedicind prabusirea.

Terenul constituie sursa de incarcare pentru captuseala, dar este in acelasi timp si element portant, conlucrind cu captuseala in vederea stabilizarii starii de eforturi.

Echilibrul final al ansamblului captuseala-masiv depinde de un numar considerabil de factori, dintre care amintim: - starea initiala de eforturi din masiv; - caracteristicile fizico-mecanice si legile de comportare ale terenului; - fazele de executie si derularea lor in timp; - caracteristicile geometrice si mecanice ale captuselii si natura contactului cu terenul; - conditiile de utilizare ale lucrarii.

Apare evident ca modelul de calcul al unui tunel este deosebit de complex datorita multitudinii parametrilor si complexitatii comportarii sistemului. Un calcul ideal ar presupune cunoasterea perfecta a mediului in care se executa lucrarea si existenta unui model matematic suficient de elaborat pentru a tine cont de totalitatea acestor date.

In momentul actual mecanica solului si a rocilor sint ramase in urma in acest domeniu.

Cunoasterea mediului este inca imperfecta, deoarece sondajele de recunoastere geologice nu pot da decit o idee foarte aproximativa asupra structurii masivului, a eforturilor sale reale si a conditiilor de deformabilitate. Statistica ne arata ca in fata acestor dificultati proiectantul este tentat sa adopte cel mai adesea doua atitudini la fel de criticabile: - fie sa abandoneze orice calcule sub pretextul imperfectiunii lor si sa apeleze doar la experienta anterioara; - fie sa procedeze la calcule simplificatoare si aproximative fara a tine cont de imperfectiunile lor si fara sa adopte o atitudine critica fata de rezultatele obtinute, in functie de ipotezele introduse si comparativ cu comportarea lucrarilor anterioare.

Exista desigur si cazul proiectantului ideal de tuneluri, care creaza cel mai adesea un model structural pentru fiecare caz.

Un alt pericol care planeaza asupra domeniului este divizarea abordarii acestuia din punctul de vedere al specializarii proiectantului structurist sau geotehnician.

Inginerul structurist considera tunelul ca o structura incarcata cu incarcari exterioare date de terenul deranjat. Inginerul geotehnician analizeaza masivul de pamint cu un gol care poate fi si captusit cu o structura. Nu putem neglija nici aici existenta

inginerilor tunelisti care incearca sa imbine cele doua discipline. 4.2. Parametrii considerati in calculul tunelelor

Metodele de calcul a captuselilor de tuneluri utilizeaza un ansamblu de parametri care pot fi luati in considerare direct si cantitativ sau indirect si calitativ, dupa posibilitatile de introducere a parametrului considerat si performantele metodei utilizate. 4.2.1. Parametrii relativi la teren

Tipul de investigatii ale terenului si parametrii corespunzatori depind de principalele trasaturi ale proiectului, de scopul lui, metoda de exavatie, etc., si trebuie sa fie alese de o echipa de experti in consultare cu proiectantul tunelist.

Geometria masivului Este necesar sa se defineasca forma si nivelul suprafetei libere a masivului, cit si

suprafetele ce delimiteaza principalele formatiuni din interiorul volumului de teren strabatut de tunel.

Terenul trebuie sa fie divizat in unitati geotehnice pentru care caracteristicile de proiectare pot fi considerate uniforme. Totusi, caracteristici importante pot manifesta variatii considerabile in cadrul unei unitati geotehnice.

Urmatoarele aspecte trebuie considerate pentru descrierea geologica a fiecarei zone: - Numele formatiunii geologice; - Structura geologica si fracturarea masei de roca cu intinderea si inclinarea orientarilor; - Culoarea, textura si compozitia minerala; - Gradul de alterare. Caracteristici geotehnice si fizico-mecanice

a. Roci - caracteristici fizice de structura definind dsicontinuitati; - anizotropia structurii (sistuozitati); - RQD - modulul mediu de fracturare; - grosimea stratelor. - caracteristici mecanice in masa rocii; - greutatea volumica - coeficientul lui Poisson - rezistenta la compresiune simpla pe epruvete - rezistenta la tractiune sau forfecare - modulul de deformatie pe probe si in situ care este determinat in doua feluri

- cu metode statice (dilatometre, placi sau prese) - cu metode dinamice

- coeficientul de tarie a rocii - caracteristicile mecanice in discontinuitati - unghiul de frecare - coeziunea - dilatanta.

Daca principalii parametri mecanici sint integrati sub diverse forme in toate metodele de calcul, parametrii fizici pot fi utilizati mai mult sau mai putin complet,

numai in metodele mai performante. b. Soluri Caracteristici mecanice - greutatea volumica - unghiul de frecare interna - coeziunea - coeficientul de tarie (Protodiakonov) - modulul de deformatie oedometric Ea sau cu placa E - rezistenta la forfecare - penetrarea N.

Acesti parametri nu sint constanti pentru un sol, ci depind de continutul de apa si de conditiile de incarcare. Un set al tuturor parametrilor care descriu comportarea terenului pentru un tunel trebuie sa fie primit intr-o unitate cuprinzatoare si fiecare parametru trebuie analizat in corelatie cu ceilalti parametri.

Cimpul de eforturi initiale din masiv Pentru proiecte importante de tuneluri se recomanda realizarea de teste pentru

evaluarea starii naturale de eforturi. Pentru proiecte obisnuite de tuneluri trebuie estimat cel putin coeficientul impingerii in stare de repaos .

Conditii pe conturul suprafetei de contact dintre teren si captuseala Se pot distinge doua tipuri de parametri ce definesc aceste conditii: a. Intensitatea fortelor actionind pe contur. In anumite metode, utilizind notiunea de incarcari active si pasive, intervin in calcul urmatorii parametri: - componentele verticale si orizontale (Pv si Ph) sau radiale si tangentiale ale incarcarilor active; - coeficientul de pat al terenului K (raportul dintre sarcina pasiva si deformatie). b. Natura contactului.

Este necesara sa se defineasca legea de transmitere a eforturilor pe conturul suprafetei de contact intre teren si captuseala.

Se disting doua astfel conditii: - cu eforturi normale; - cu eforturi tangentiale.

Incarcari hidrostatice si hidrodinamice Parametrii utilizati sint:

- nivelul piezometric minim si maxim in vecinatatea lucrarii - permeabilitatea terenului; - viteza de curgere in teren. 4.2.2. Parametrii lucrarii

Parametrii geometrici: - forma si dimensiunile sectiunii interioare; - profilul in lung si traseul in plan; - grosimea captuselii.

Caracteristicile mecanice ale materialelor care compun captuseala (beton, armatura) - modul de elasticitate;

- rezistenta la compresiune, tractiune si forfecare. Procedee de constructie

- procedee de excavatie (manual, cu exploziv sau mecanizat sau cu sectiune plina sau divizata); - sistem de sustinere (captuseli prefabricate, ancore, torcret si cintre, captuseli monolite) si distanta unde se monteaza in raport cu frontul de atac; - procedee speciale (injectii, aer comprimat, congelare, noroi bentonitic in front la noile scuturi; - conditii de utilizare a lucrarii (presiunea hidraulica interioara, sarcini date de trafic, presiunea aerului sau hidrodinamica). 4.3. Clasificarea metodelor de calcul

In Fig. 4.1 se incearca o sistematizare a metodelor de calcul a captuselilor circulare, pe cit posibil intr-o ordine evolutiva. Impartirea generala corespunde celor doua domenii ale mecanicii mediilor deformabile, rezistenta materialelor si teoria elasticitatii. Modelul unidimensional considera captuseala o bara curba, iar incarcarile se determina separat cu diverse teorii, dintre care mai cunoscute si utilizate sint cele ale lui Protodiakonov si Terzaghi.

Modelul continuumului bi sau tri-dimensional determina starea de eforturi si deformatii in ansamblul teren captuseala cu metodele teoriei elasticitatii (metode analitice sau numerice).

Se evidentiaza si existenta unor metode empirice, bazate pe experienta, observatii, dar si masuratori. Proiectantul de tuneluri pus in fata alegerii unei metode de calcul din multitudinea celor existente, va fi putin dezorientat.

Pentru validarea unei metode trebuie sa se tina cont nu numai de rigoarea modelului, ci si de reprezentativitatea parametrilor introdusi pentru a caracteriza calitatile fizice ale materialelor (teren si captuseala). 4.3.1. Modelul unidimensional

Structurile subterane sint multiplu static nedeterminate, si anume: - nedeterminarea interna a structurii (corp strain in sistem) care este tratata ca element unidimensional (bara curba) dupa modelul structurilor supraterane. - nedeterminarea externa reprezentata de interactiunea dintre captuseala si roca.

Dificultatea calculului static al constructiilor subterane fata de cele supraterane este data de nedeterminarea externa.

In functie de tratarea acestei nedeterminari apar doua grupuri de metode: a. Metode care nu tin cont de conlucrarea dintre roca si captuseala, considerind

doar incarcarile externe iar captuseala fie infinit rigida, fie liber deformabila. Aceste metode se intilnesc mai mult in cartile de specialitate, utilizarea lor fiind

cu totul intimplatoare. b. Metode care iau in consideratie interactiunea captuseala - roca. Metodele din acest grup difera dupa modul cum trateaza aceasta interactiune,

dupa modul cum considera captuseala si dupa numele autorilor.

Interactiunea poate fi sub forma unei actiuni arbitrare (Hewett si Johannesson), reactiuni corespunzatoare legii lui Winkler (4, 5, 6) si reactiuni determinate cu teoria Elasticitatii (7)

Metodele care considera interactiunea dupa legea lui Winkler sint cele mai cunoscute si utilizate.

Distingem si aici doua orientari: - cu contact continuu (4, 5) - cu contact discret (6, 7).

Dupa modul cum e considerata captuseala se intilnesc doua solutii: - inel continuuu (3, 4 5) - grinda poligonala cu legaturi interioare (6, 7).

Simplificarea fundamentala introdusa in metodele "modelului unidimensional" consta in faptul ca totalitatea factorilor legati de teren este reprezentata prin ansamblul incarcarilor active (verticale si orizontale cu parametrii γ,φ,c) si pasive (coeficientul de pat K). Analiza validitatii unei metode consta in principal in a cerceta in ce masura datele utilizate pot integra in acelasi timp: - starea initiala de eforturi din masiv; - caracteristicile fizico-mecanice; - influenta fazelor de executie si derularea lor in timp; - natura contactului teren-captuseala; - forma si alcatuirea (monolita, prefabricata, cu una sau doua captuseli) a sectiunii transversale.

Toate aceste date, cu exceptia fazelor de executie si a formei si alcatuirii sectiunii, intervin in mod direct sau indirect prin parametrii propusi in calculul incarcarilor active si pasive in toate metodele.

Singura metoda capabila sa cuprinda toate datele de mai sus, inclusiv fazele de executie si forma (circulara sau oarecare) si alcatuirea sectiunii (cu una sau doua captuseli, cu diverse imbinari si configuratii ale boltarilor) este metoda grinzii poligonale pe reazeme elastice. 4.3.1.1. Determinarea încărcărilor ce acţionează pe căptuşeala unui tunel

In cazul modelului unidimensional incarcarile actionind asupra captuselii sint considerate externe si se impart in 2 categorii: - incarcari active a caror marime este independenta de deformatia inelului; - incarcari pasive constituite din reactiunile date de terenul inconjurator care se opune deformatiei captuselii si a caror intensitate este legata de aceasta deformatie.

A. Incarcari active - Incarcari verticale si orizontale active date de terenul inconjurator; - sarcini hidrostatice; - sarcini de la suprafata solului; - greutatea proprie a captuselii; - sarcini si suprasarcini din exploatare in interiorul tunelului (convoaie, apa, etc.); - incarcari in faza de constructie (presiunea preselor de inaintare, presiunea de injectare, suprapresiunea aerului). Incarcarile date de terenul inconjurator au caracter permanent si

reprezinta ponderea principala in totalitatea incarcarilor ce actioneaza pe o captuseala.

A.1. Incarcarile verticale active Sarcinile verticale, date de greutatea terenului inconjurator si care solicita cel mai

mult captuseala, pot sa fie, fie egale, fie inferioare eforturilor geostatice verticale. Strapungerea unui tunel provoaca, indiferent de precautiunile adoptate, o

decomprimare mai mult sau mai putin importanta a terenului situat in jurul excavatiei, in special in partea superioara. Aceasta decomprimare poate sa se transmita pina la suprafata daca terenul este putin coerent si sustinerea este intirziata sau din contra nu cuprinde decit un volum limitat de teren, daca terenul este coerent si montarea sustinerii imediata.

Dupa executarea captuselii si eventual a injectiilor, deplasarea spre interior a terenului este preluata de captuseala, care se incarca cu noi sarcini, care cresc in timp pina la atingerea echilibrului final si a incarcarii definitive.

Aceasta incarcare finala, depinde de: - eforturile geostatice (initiale), deci de adincime; - caracteristicile terenului; - dimensiunile tunelului; - modul de executie si sustinere; - timpul dintre excavare si captusire; - eficienta injectiilor.

Pentru determinarea acestor sarcini au fost produse in timp numeroase formule, care sint cunoscute in general dupa autorii lor. Ele difera totusi dupa cum terenul este pamint sau roca.

In cazul solurilor, determinarea incarcarilor se face cu metode izostatice, prin construirea intr-un mod mai mult sau mai putin arbitrar a unor figuri de rupere, linii de alunecare a terenului (bolta de naruire, prisme de alunecare) si prin definirea unui echilibru limita, posibil din punct de vedere al fortelor. Aceste metode sint in general cunoscute dupa numele autorilor (ex. Ritter, Kommerel, Terzaghi, Protodiaconov, etc.).

In Fig.4.2 sint prezentate 4 astfel de scheme de calcul a sarcinii verticale active. In aceste scheme apare marimea B , care este largimea volumului de teren

cuprins intre suprafetele de alunecare, la nivelul cheii si in ipoteza miscarii catre interior. Pentru sectiunea circulara: B=2Rtg(3π/8-φ/4) Raportind aceasta marime B la acoperirea de teren deasupra tunelului H putem

distinge trei situatii privind incarcarile verticale: a. Cind H < B , miscarile si decomprimarile provocate de executia tunelului risca

sa antreneze masa de teren pina la suprafata. Obtinerea unei bolti de naruire cu h < H pare sa aiba un caracter temporar si este recomandabil sa se ia in calcul sarcina geologica pina la suprafata Pv=γH.

b. Cind B < H < 2.5 B , trebuie a ne asiguram ca incarcarea redusa luata in calcul (Pv = γ h) sa nu fie mai mica decit γ B. Este de asemenea indicat sa se realizeze o verificare a stabilitatii captuselii sub intreaga sarcina geostatica.

c. Cind B > 2.5 B , trebuie sa procedam ca si in cazul b: - Pv = γ B - verificarea stabilitatii la o valoare a incarcarii egala cu 2.5 γ B.

In acest caz (H→∞ ) si C = 0 , intre formulele lui Terzaghi si Protodiaconov apare perfecta concordanta:

Fig. 4.2 Scheme de calcul a incarcarilor verticale.

Pv = γB/2ktg� ; (κ=1.5) ; Pv=γB/3f (f=tg�) In cazul rocilor, sarcina verticala activa depinde in principal de starea de

fracturare a rocii. Pot fi utilizate, de asemenea, formulele lui Terzaghi si Protodiaconov, in care

valorile parametrilor �,c,f pot da insa loc la diverse interpretari, dupa cum se considera roca de baza, discontinuitatile sau materialul de umplutura. Rezultatele pot fi astfel perturbate si mai imperfecte.

Au fost propuse si alte formule stabilite in mod special pentru roci, cum este cazul acelora stabilite de N.Barton, care determina o relatie empirica pentru impingerea muntelului, in functie de criteriul Q si de factorii acestuia: Pm = (2/Jr)Q unde: Jr - factorul de rugozitate care indica geometria si starea fetelor discontinuitatilor inventariate; Q - calitatea masei de roca.

A.2. Incarcarile orizontale active. Pentru determinarea impingerii orizontale active a terenului asupra captuselii

tunelului, doua situatii trebuie luate in considerare: - starea de eforturi initiale din masiv; - starea de eforturi dupa realizarea excavatiei.

Eforturile geostatice orizontale din masiv inainte de realizarea excavatiei se determina cu relatia: Ph0= λ0 H

vH dH Pγ ( ) = λ∫ 0 0 unde, λ0 este coeficientul impingerii pamintului in stare de repaos.

Acest coeficient λ0 poate lua valori intre 0 si 1, dar poate fi si > 1, in special in cazul rocilor, functie de istoria geologica a masivului. In cazul rocilor si a adincimilor foarte mari, se admite λ0 = 1 corespunzator starii de echilibru hidrostatic.

Valoarea corecta a lui λ0 nu poate fi determinata decit prin masuratori directe in masiv.

Pentru calculele curente, λ0 se determina cu formule semiempirice: - pe baza coeficientului lui Poisson in cazul rocilor : λ0 =µ/(1−µ) - pe baza unghiului de frecare interna in cazul solurilor: λ0=1−sinφ

Dupa executarea excavatiei, terenul are tendinta de a se deplasa spre interiorul tunelului si apar astfel sarcinile orizontale active, care sint independente de deplasarea captuselii.

Aceste sarcini au valoarea, in general, mai mica decit aceea a incarcarilor verticale, marimea lor depinzind in principal de natura rocilor, directia de inclinare a stratelor, cit si de forma captuselii.

Trebuie remarcat ca eforturile de incovoiere si deformatiile captuselii vor fi cu atit mai mici cu cit sarcinile orizontale active vor fi mai improtante.

Din aceasta cauza este recomandabil sa se procedeze in felul urmator: - In cazul general in care Pho/Pvo < 1 se va tine cont de incarcarea orizontala activa daca modul de executie al excavatiei captuselii si injectiei de umplere este astfel facut incit contactul teren - captuseala este asigurat: - suficient de eficace pentru ca golurile reziduale sa fie putin importante si uniform

repartizate; - suficient de rapida pentru a preveni miscarea terenului la calota dupa montarea captuselii; - cu suficienta regularitate pentru a evita sarcini concentrate pe captuseala.

Daca aceste conditii sint indeplinite, sarcina orizontala activa va fi: Ph= λ0 Pv

Daca aceste conditii nu sint indeplinite, sarcina orizontala activa se poate neglija sau se va calcula cu relatia: Ph = λa Pv unde, λa este coeficientul impingerii active care se determina cu relatia generala a lui Coulomb, care pentru pereti verticali are forma: λa =tg²(45°-φ/2)

In majoritatea schemelor de calcul ale impingerii orizontale aceasta are o distributie trapezoidala pe inaltimea tunelului cu doua valori: - una la cheie Ph1 = Pv1 .λa - una la baza Ph2 = (Pv1 + γ d ) λa

In unele cazuri mai putin recomandate se poate lua in considerare la calculul impingerii active orizontale si coeziunea: Ph =λaPv-2c λ a

Avind in vedere incertitudinile existente in determinarea lui λa , este recomandabil sa se procedeze la studii parametrice, variind λa in anumite limite, care sa caracterizeze situatiile cele mai defavorabile. B. Incarcari pasive

Incarcarea pasiva reprezinta reactiunea exercitata de teren asupra captuselii, ca raspuns la deformarea acesteia catre teren. Ipoteza general admisa cu privire la relatia care leaga deformatia de reactiune, corespunde legii lui Winkler, care presupune proportionalitatea intre intensitatea reactiunii P si amplitudinea deformatiei W: P = K W unde K este coeficientul de pat sau modulul de reactie al terenului in raport cu tunelul.

Acest model nu este de fapt o carcteristica numai a terenului inconjurator, ci a cuplului teren - captuseala. De asemenea, coeficientul de pat nu este o constanta, el descreste odata cu cresterea presiunii pamintului.

Din aceasta cauza relatia P = KW nu este decit un substituent grosolan pentru interdependenta dintre deformatia si reactiunea pamintului. Ea nu ia in considerare faptul ca punctele invecinate ale solului se influenteaza reciproc si ca tasarea depinde in mod determinant de programarea presiunii in subteran. Principalii factori care influenteaza valoarea coeficientului de pat sint tipul, proprietatile si grosimile stratelor de pamint marimea si configuratia fundatiei si valoarea sarcinii.

In pofida tuturor deficientelor, teoria coeficientului de pat se aplica in majoritatea metodelor de calcul al tunelelor, din lipsa altor modele mai precise.

Determinarea coeficientului de pat se face prin: - incercari pe placa in galerii sau in puturi de recunoastere; - incercari de laborator care permit determinarea modulului de deformatie (oedometric) Eo al solului. Prin incercarile pe placa se determina modulul de deformatie global Es al terenului

Es = ( )1 2− µd

PW

unde: µ- coeficientul lui Poisson; d- diametrul placii; P- sarcina totala aplicata; W- tasarea placii. Es poate fi dedus din E prin aplicarea unui

coeficient de reducere: Es = bEo b < 1 Fig. 4.3 Diagrama sarcina tasare In cadrul incercarii pe placa poate fi masurat direct si coeficientul de pat K = p/w. Diagrama sarcina - tasare este neliniara (Fig.4.3 ) Pentru a putea calcula cu un coeficient de pat constant, in cadrul anumitor zone de

solicitare, este necesar sa se substituie curbei o linie frinta. O astfel de variatie a coeficientului de pat poate fi utilizata intr-un program de

calcul automat, dar este indoielnic daca va spori precizia. Daca coeficientul de pat K nu este direct cunoscut, el poate fi determinat cu

ajutorul nodulului de deformatie Es pentru paminturi sau modulului de elasticitate E pentru roci, utilizind solutii din teoria elasticitatii: K = C Es/R unde: R = raza externa a tunelului C = l/(1+ µ )- pentru o incastrare pe tot conturul circular; C = 3/(1+ µ)- Morgan; C = 3/(1+ µ )(5-6 µ ) . A.M.Wood; C = 2/3 ÷ 3 - Duddek C = 1 ÷ 1.5 - Windels.

O alta cale de a calcula tasarile si deci reactiunile, consta in aplicarea metodelor din teoria elasticitatii, bazate pe linii de influenta conventionale (Orlov). Parametrii utilizati sint E si µ .

4.3.1.1.2. METODA TERZAGHI K. Terzaghi a considerat în teoria sa că terenurile străbătute au structura granulară

şi sunt lipsite de coeziune. Dar a considerat ulterior şi coeziunea, rezultate mai bune dând însă ipoteza fără coeziune.

La realizarea excavatiei unui tunel, terenul inconjurator are tendinta de a se deplasa spre interiorul golului creat. Aceste deplasari sunt suficient de mari pentru a conduce la suprafete de rupere prin depăşirea echilibrului limită. Forma acestor suprafete corespunde pe zona tunelului cu cea a suprafetei cunoscute de la constructiile supraterane (ziduri de sprijin) si este o forma speciala deasupra constructiilor subterane.

Atunci când o parte din rocile situate deasupra tavanului se deplasează pe verticală, iar masa de rocă înconjurătoare rămâne nemişcată, între ele se produce o acţiune reciprocă, dezvoltându-se reactiuni de tipul tensiunilor tangentiale cu tendinta de a menţine masivul în echilibru. Ca urmare, aceste tensiuni vor micşora greutatea rocilor care se deplasează în jos şi vor mări reactiunile în masa de rocă înconjurătoare. Ca rezultat al acestei actiuni reciproce ia naştere o boltă de descărcare şi suprafetele sau planele de rupere DAB (fig.) sunt suprafete curbe, fapt confirmat de observatiile practice.

Fig. 4.4 Schema de calcul şi încărcări

Deoarece curbura suprafetelor de alunecare AB complică evaluarea presiunii,

acestea sunt aproximate prin suprafe.te verticale AC. Ruperea după aceste plane este considerată de către Terzaghi ca fiind dată de legea lui Coulomb-Navier-Mohr:

τ = σhtg Φ + c

Deoarece deplasările produse sunt suficlente pentru a dezvolta plane de alunecare ce caracterizează de fapt starea iminentă de rupere, este justificată utilizarea asocierii înclinării planelor de alunecare (45

o - Φ/2) cu îpingerea activă a rocii pentru determinarea

distanţei B dintre aceste plane, distantă dată de relaţia: B = b + 2h tg (45

o - Φ/2)

În contextul celor precizate se mai realizează şi presupunerea (care nu corespunde realitătii) că valoarea tensiunii verticale σ

v, care actionează asupura oricărei suprafete

orizontale, este uniform repartizată. În baza consideratiilor precizate s-a construit schema de calcul a presiunii (fig.), în

care la o adâncime z de la suprafaţă se consideră un strat de rocă de grosime dz, asupra căruia vor actiona tensiunile verticale σ

v şi (σ

v + dσ

v) şi tensiunile orizontale σ

h şi cele de

forfecare τ. Ca urmare se poate scrie ecuatia de echilibru a forţelor ce acţionează pe acest element infinitesimal.

Bγdz + σ

vB - B(σ

v + dσ

v) - 2τd

z = 0

σh = kσ

v k - rezistenta la frecare pe suprafata de rupere, k = 1 ÷ 1,5

τ = kσv tg Φ + c

Inlocuiesc σh si τ in formula → Bγd

z + σ

vB - Bσ

v- Bdσ

v - 2k σ

vtg Φ d

z - 2cd

z = 0

împart prin (Bdz) → γ - 01212 =⋅−⋅Φ−B

cB

tgkd

dv

z

v σσ

ordonez ecuaţia diferenţiala → Bc

Btgk

dd v

z

v 22−

Φ−=

σγ

σ care integrată conduce

la:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

Φ

−=

Φ−Bzktg

v ektg

BcB 2

12

)2(γσ

Observăm că la suprafaţă z = 0 → σv = 0 iar la adâncimea H

z = H → σv = Pv = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

Φ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − Φ−

BHktg

ektg

BcB 2

12

2γ

Cazul terenului fără coeziune: c = 0 → Pv = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

Φ

Φ−BHktg

ektgB

2

12

γ

Această formulă dă rezultate bune pentru H ≤ 2.5 B3÷ (adâncimi şi acoperiri mici).

La acoperiri (adâncimi) foarte mari H → ∞→ e =⇒→∞vP0

ΦktgB

2γ

Dacă la suprafaţa terenului avem o încărcare "q" uniform distribuită:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

Φ

−=

Φ−Bzktg

v ektg

BcB 2

12

)2(γσ + B

Zktgqe

2φ−

Pentru adancime H1 = 2.5 B, PV1 acţioneaza ca o încarcare uniform distribuită (ca "q" de mai sus).

Împingerea orizontală: Ph

Ph1 = PV λa; Ph2 = Ph1 + h γ λa λa - coeficient împingere activă 4.3.1.1.3. METODA PROTODIAKONOV

Studiile întreprinse de Protodiaconov pornesc de la ipoteza că rocile care se găsesc în masa masivului muntos au o stare intermediară între corpurile compacte şi cele friabile apropiindu-se când de unele, când de celelalte. Pentru determinarea valorii împingerii verticale a muntelui, Protodiaconov presupune că rocile întâlnite la lucrările subterane constituie corpuri care datorită fisurilor, stratificaţiilor etc., pot fi considerate ca lipsite de coeziune până la un anumit grad, aplicându-se legile corpurilor friabile (granulare fără coeziune).

El ia în considearaţie coeziunea existentă între particule, majorând coeficientul de frecare, care este înlocuit cu coeficientul de frecare aparentă sau de tărie ( de rezistenţă) a rocii. M. M. Protodiaconov a considerat că valoarea coeficientului de frecare al rocilor trebuie mărită, ţinându-se seama prin aceasta şi de existenţa forţelor de aderenţă dintre particule.

Coeficientul de tărie ( de rezistenţă) a rocii, înglobează coeziunea , frecarea şi aderenţa, existente în interiorul masei de rocă.

Coeficientul de tărie ( de rezistenţă) a rocii : στ

=rf (coeficient experimental).

Pentru : - teren fără coeziune: c = 0 φφστ tgftg r =⇒=⇒

- teren cu coeziune: c ≠ 0 σ

φστφστ ctgfctg r +==⇒+=⇒

- roci: 100

rcrf

σ= ; rcσ - rezistenţa la compresiune axială.

Pentru determinarea presiunii verticale a masivului muntos Protodiaconov presupune că, în urma deformării rocii deasupra excavaţiei cu lăţimea b, o parte a rocii tinde să se deplaseze spre interiorul golului conducând la o suprafaţă de rupere care deasupra construcţiei subterane are forma unei bolţi care se numeşte boltă de năruire.

Terenul din interiorul acestei bolţi este lipsit de efort (corp inert) care nu mai participă la redistribuirea eforturilor în masiv şi acţionează cu toată greutatea asupra construcţiei subterane.

Bolta cu înălţimea "h" este pentru teren alcătuit din roci (pereţi stabili). Bolta cu "h1" este pentru teren alcătuit din pământuri. Limita acestei părţi a rocii va fi o boltă oarecare AOB, în care se consideră

că nu se produc eforturi unitare de întindere, iar eforturile unitare de compresiune se găsesc în limitele adminsibile. Presiunea verticală a masivului muntos pe deschiderea b se va exprima prin greutatea rocii cuprinsă în volumul AOBA.

Fig. 3.5 Scheme de calcul. a.- forma şi înălţimea bolţii; b. – suprafeţe de rupere. Pentru stabilirea legii de distribuţie a împingerii acestui volum trebuie

cunoscută forma curbei AOB. Forma bolţii se poate determină aproximativ pornind de la condiţia de echilibru a acesteia sub sarcina verticală q=γH în ipoteza că în boltă sunt numai eforturi tangenţiale.

Trebuie determinate: forma bolţii şi presiunea pe care o dă bolta, astfel încât ea să fie stabilă.

Pentru determinarea formei bolţii punem condiţia să nu avem întindere : ΣMA = 0

ΣMA = 0; T y = q2

2xT

qxy2

2=⇒ (ec. parabolei) forma bolţii: parabolă

Pentru determinarea înălţimii bolţii punem condiţia de stabilitate. Astfel, dacă T = H, atunci rezerva de stabilitate a sistemului ce se calculează este

nulă, ceea ce conduce la o stare instabilă a boltii. Ca urmare este necesar să se respecte condiţia T < H. Protodiakonov a reprezentat această rezervă sub forma unor tensiuni de forfecare "fictive" τ, considerate ca fiind repartizate după înălţimea bolţii şi care vor prelua tensiunile orizontale suplimentare, dacă vor apare în boltă astfel de tensiuni.

"H" acţioneaza în direcţia destabilizării bolţii

H = V fr V = q 2b

H < V fr - τ h

H = hfbq r ⋅−τ2

Condiţie: τ = max (conditie de stabilitate pentru bolta întreagă)

x = ⇒== H T h;y ;2b hfbq r ⋅−τ

2=

hqb8

2 ?=⇒τ

=τ2bq ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 24h

bhfr

Întroduc în ecuaţia de mai sus condiţia de maxim: derivata = 0

=dhdτ

2bq 0

42

32 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

hb

h

fr

rr

rfbhbhf

hb

h

f2

0202 32 =⇒=+−⇒=+−

h - înălţimea bolţii de năruire pentru roci

rfBh

21 = (înălţimea bolţii de năruire pentru pământuri)

Suprafaţa bolţii "h": S = γbh32 ; Pv = γh

32

rv f

bP3γ

= pentru roci; r

v fBP3γ

= pentru pământuri;

La Terzaghi aveam : Pv = 5,1;2

=Φ

kktgBγ

Pentru 5,1=k formulele celor doi autori coincid.

Fig. 3.6 Încărcări

Împingerea orizontală: Avem împingerea orizontală numai în cel de-al II-lea caz.

1hPV γ= 11 32 hPV γ=

Ph1 = PV λa; Ph2 = Ph1 + h γ λa 3.3.1.2. Modele de calcul structural fără considerarea interacţiunii structură-masiv. 3.3.1.2.1 Metoda Grafică

Face parte din modelul unidimensional, grupul de metode care nu ia în considerare conlucrarea structura – teren, sau consideră o reacţiune arbitrară a terenului.

Etapele de calcul sunt următoarele: 1. Se desenează la scară jumătate din secţiunea transversală a tunelului şi se

înparte în bolţari, inclusiv radierul boltă întoarsă; 2. Se calculează încărcările verticaleşi orizontale cu una din metodele cunoscute

şi recţiunile verticale pe fundaţie şi radier; 3. Se calculează greutăţile G şi încărcările concentrate verticale P şi orizontale E

pe fiecare bolţar; 4. Se calculează recţiunile H1 şi H2 şi reacţiunile R pe fiecare bolţar prin

compunerea forţelor concentrate P, G şi E; 5. Se construieşte poligonul funicular pornind din polul O, construind H1 la

scară şi apoi ducând paralele la reactiunile R pozate deasemeni la scară şi obţinând forţele axiale N pe fiecare bolţar, atât ca valoare cât şi ca direcţie;

6. Se construieşte poligonul forţelor ducând paralele la forţele N pe structura tunelului pornind de la chee, rezultand o axa diferită de cea mediana cu excentricităţi e diferite pe fiecare bolţar;

7. Pe fiecare bolţar se determină excentricitatea ( se masoara grafic) şi se calculează σ1,2 care se compară cu rezistentele admisibile ale betonului.

WeN

bN ⋅

±⋅

=12,1σ

Fig. Schema dimensionării grafice a unei secţiuni de tunel

4.3.1.1.4. Modele de calcul structural cu considerarea interactiunii structura-masiv.

Modelele din acest grup sint recomandate in cazul terenurilor a caror rigiditate este mai mica, comparativ cu a captuselii.

Presiunea activa a terenului este reprezentata de incarcari exterioare, calculate cum s-a aratat in capitolul precedent. Reactiunea pasiva a terenului contra deformatiilor captuselii este simulata in cele mai cunoscute metode prin utilizarea modulului de pat constant (K).

O ancheta intreprinsa de Asociatia Internationala de Tuneluri in cadrul grupului de lucru "Conceptii Generale de Proiectare a Tunelurilor", la care au raspuns 26 din tarile membre, a scos in evidenta ca metodele de calcul cele mai frecvent utilizate sint cele ale lui Schulze/Duddeck si Muir Wood. Daca ancheta ar fi cuprins si tarile fostului lagar socialist, o alta metoda s-ar fi impus cu siguranta, ca grad de utilizare. Aceasta este metoda grinzii poligonale pe reazeme elastice.

A. Metoda grinzii poligonale pe reazeme elastice

A1 Elemente generale

Această metodă apartine modelului unidimensional, grupul de metode care tin cont de conlucrarea dintre structura si masiv. Cunoscută şi ca metoda resoartelor sau metoda generală, această metodă are un grad mare de generalizare, permiţând introducerea unor ipoteze oarecare în ceea ce priveşte: - forma secţiunii trasversale; - orientarea şi repartiţia încărcărilor active şi pasive în secţiune transversală şi longitudinală; - condiţiile de contact între teren şi căptuşeală; - condiţiile de contact între elementele căptuşelii (bolţari).

Metoda introduce o serie de simplificari: 1. Considerarea structurii ca o structura poligonala; 2. Inlocuirea rezemarii continue cu o rezemare punctiforma la noduri; 3. Inlocuirea incarcarilor exterioare uniform distribuite cu incarcari concentrate la

noduri.

Metoda poate de asemeni lua in considerare discontinuitatile interne ale structurii (articulatiile).

Secţiunea transversală a unui tunel alcatuită în general din elemente curbe este aproximată cu un sistem poligonal alcătuit din elemente tip bară, rezultând o structură din bare , plană sau spaţială.

Fig. 4.11

În cazul unor secţiuni transversale simetrice, şi acţionate de încărcări simetrice, modelul teoretic adoptat va fi descris pentru o jumătate de structură Fig. A.1 a. În cazul unor structuri nesimetrice sau cu încărcări nesimetrice, modelul de calcul va descrie întreaga structură. Dacă inelele adiacente nu sunt identice, având înbinările intercalate, se adoptă un model spaţial Fig. A.1b. Conlucrarea dintre structură şi masiv pe zona contactului continuu, corespunzător deplasărilor spre exterior (zona de pat) este schematizată prin reazeme deformabile (penduli elastici, resoarte) amplasate la noduri, care nu preiau decât compresiune.

a b

Fig.A.1 Modele de calcul structural Dacă se admite un contact fără frecare între căptuşeală şi teren, pendulii elastici vor fi dispuşi radial (Fig. A.2a). Dacă contactul se face cu frecare, se vor dispune penduli verticali şi orizontali (Fig. A.2b) sau normali şi tangenţiali (Fig. A.2c) la fiecare nod şi se va verifica în final că direcţia rezultantei să facă cu normala la arc, un unghi inferior unghiului de frecare .

Fig. A.2 Reazeme elastice

Mărimea zonei de pat şi implicit a celei de desprindere se stabileşte în prima etapă în mod arbitrar (90 - 100° pentru zona de desprindere). Rezolvarea sistemului se face prin metodele generale ale staticii (metoda eforturilor sau a deplasărilor), utilizând programe de calcul automat pentru structuri alcătuite din bare. Dupa primul calcul zona de contact structură-teren, poate fi redusă, prin eliminarea pendulilor în care apar întinderi sau poate fi extinsă dacă în ultimul reazem apar compresiuni mari. Deformabilitatea pendulilor elastici se determină pe baza ipotezei Winkler cu ajutorul coeficientului de pat Ks.