Trigonometrie Plana-Lucrare Practica

7/27/2019 Trigonometrie Plana-Lucrare Practica

1/13

TRIGONOMETRIE PLAN I SFERIC LUCRRI PRACTICE PENTRU SEMINAR

Pentru studenii la specializarea Msurtori terestre i cadastru

Trigonometrie plan Lucrare practic

Rezolvarea triunghiurilor

1.Relaii ntr-un triunghi dreptunghic

Fig. 1. Triunghi dreptunghic

DacABCeste un triunghi dreptunghic nA (A = 900),AB = c iAC = b sunt lungimilecatetelor, iarBC = a lungimea ipotenuzei, atunci:

(I) B + C = 900 (unghiurile ascuite sunt complementare, deoarece suma unghiurilor ntr-untriunghi este 1800)(II) 2 2 2a b c= + (teorema lui Pitagora)

(III)sin ,cos , ,

sin ,cos , ,

b c b c

B B tgB ctgBa a c b

c b c bC C tgC ctgC

a a b c

= = = =

= = = =(funciile trigonometrice n triunghiul dreptunghic)

(IV) Aria triunghiului

2 2 2 21 1 1 1 1 1 1sin sin sin 2 sin 22 2 2 4 4 2 2

S b c a b C a c B a B a C b ctgB c ctgC = = = = = = =

2. Rezolvarea triunghiurilor dreptunghice

Un triunghi dreptunghic poate fi rezolvat dac se dau (n afar de 090A = ):1) cele dou catete b i c,

2) ipotenuza a i o catet b (sau c),3) ipotenuza a i un unghi ascuitB (sau C)4) o catet i unghiul opus ei (b iB, sau c i C).

Pentru determinarea elementelor necunoscute rmase (din cele cinci : a, b, c, B, C), precum i a ariei S

se folosesc formulele convenabile din (I) (IV).

Cazu Date Necunoscut Formule de rezolvare

1


2/13

l e

1 b, c B, C, a, S ,

b ctgB tgC

c b= =

2 2 2a b c= + 1

2S b c=

2 a, b B, C, c, S 0sin , 90b

B C Ba

= = 2 2 2

c a b= 1 sin2

S a b C =

3 a, B C, b, c, S 090C B=

sin

cos

b a B

c a B

=

=

21

sin24S a B= 4 b, B C, a, c, S 090C B= ,

sin

ba c b ctgB

B= = 2

1

2S b ctgB=

3. Exemple rezolvate

3.1. Se cunosc:A = 900, b = 3 m., c = 4 m. S se determine:B, C, a i S.

Rezolvare:3

0,754

btgB

c= = = de unde B = arctg0,75 = 36,8698980 = 360 + 0,869898 x 60 = 360 +

52,193859 = 360

+ 52 + 0,193859 x 60 = 360

5212. De unde rezult0

90C B= = 37,8061410

=(89 36)0 + (59 - 52)+ (60 - 12) = 5300748. Ipotenuza 2 2 2a b c= + = 9 + 16 = 25 , deci a = 5 m.

Aria triunghiului1

2S b c= = 6 m2.

3.2. Se cunosc:A = 900, a = 15 m., c = 5 m. S se determine:B, C, b i S.

Rezolvare:5 1

sin 0, (3)15 3

cC

a= = = = de unde C = arctg0,(3) = 18,4349490 = 1802606.B = 900 C

= 7103354. Cateta b = 10 2 m.= 14,142136 m .iararia1

sin2

S a b C = = 25 2 m2 = 35,355339

m2.

3.3. Se cunosc:A = 900, a = 100 m., B = 6902114. S se determine: C, b, c i S.

Rezolvare: 090C B= = 2003846. Pentru calcule se transformB = 6902114=021 14(69 )

60 3600+ + =69,3538890. Catetele sinb a B= = 93,577607 m., cosc a B= = 35,259487 m.

Aria 21

sin24

S a B= = 1649,749199 m2.

3.4. Se cunosc:A = 900, c = 10 m., C = 22030. S se determine:B, a, b i S.

Rezolvare: 090B C= = 67030. Ipotenuza 010

sin sin 22,5

ca

C= = = 26,131259 m. Cateta

b c ctgC = = 24,142136 m. 21

2S c ctgC = = 120,710678 m2.

2


3/13

4. Relaii ntre elementele unui triunghi oarecare

Fig. 2. Triunghi nscris n cerc

(V) a < b + c , b < c + a , c < a + b (inegalitile triunghiului)

(VI) 2sin sin sin

a b cR

A B C= = = (teorema sinusurilor)

undeR este raza cercului circumscris triunghiului.

(VII)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c b c A

b c a c a B

c a b a b C

= +

= +

= +

(teorema cosinusurilor)

de unde

(VIII)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

cos2

cos2

cos2

b c aA

b c

c a bB

c a

a b cC

a b

+ =

+

=

+ =

(IX)

2

2

2

2

2

2

A Btg

a b

A Ba btg

B Ctg

b c

B Cb ctg

C Atgc a

C Ac atg

=++

=++

=++

(teorema tangentelor)

3


4/13

(X)

cos sin2 2,

sin cos2 2

cos sin2 2,

sin cos2 2

cos sin2 2,

sin cos2 2

A B A Ba b a b

C Cc c

B C B Cb c b c

A Aa a

C A C Ac a c a

B Bb b

+

= =

+

= =

+

= =

(formulele lui Karl B. Mollweide)

(XI)

cos cos

cos cos

cos cos

a b C c B

b c A a C

c a B b A

= + = + = +

(teorema proieciilor)

(XII)

( )cos

2

( )cos

2

( )cos

2

A p p a

b c

B p p b

c a

C p p c

a b

=

=

=

unde2

a b cp

+ += estesemiperimetrultriunghiului

(XIII)

( ) ( )sin

2

( ) ( )sin

2

( ) ( )sin

2

A p b p c

b c

B p c p a

c a

C p a p b

a b

=

=

=

(formulele jumtii de arc exprimate prin laturi)

(XIV)

( ) ( )

2 ( )

( ) ( )

2 ( )

( ) ( )2 ( )

A p b p ctg

p p a

B p c p atg

p p b

C p a p btgp p c

=

=

=

Formule pentru ariaSa triunghiului:2 2 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin

2 2 2 2 sin 2 sin 2 sin

b c A c a B a b C a B C b C A c A BS

A B C

= = = = = =

(XV) ( ) ( ) ( )S p p a p b p c= (formula lui Heron)

4


5/13

5. Rezolvarea triunghiurilor oarecare

Un triunghi oarecare poate fi rezolvat dac se dau:1) dou laturi i unghiul cuprins ntre ele (cazulL.U.L.)2) o latur i dou unghiuri (cazulU.L.U.)3) cele trei laturi (cazulL.L.L.)4) dou laturi i unghiul opus uneia dintre ele (cazulL.L.U.)

Cazul Date Necun

oscute

Formule de rezolvare

L.U.L.

a, C,

b

A, B, c,

S

0180

( )2 2

2 2

A B C

A B Ctg ctg IX

A B a b Ctg ctg

a b

+ = +

=

=

+

2 2 2 2 cosc a b a b C = + (VII)= (th. cos.)

1sin

2S a b C =

U.L.U B,a,C

A, b, c,S

0180 ( )A B C= +

sinsinsin

sin

a Bb

A

a Cc

A

=

=

(VI)=(th. sin.)

2 sin sin2 sin

a B CS

A

=

L.L.L.

a, b,

c

A, B,

C, S (XIV) , ,2 2 2

A B Ctg tg tg

Verificare0180A B C+ + =

Sdin formula luiHeron(XV)

L.L.U.

a,b,

A

B, C, c,

Ssin

sinb A

Ba

= din (VI)

0180 ( )C A B= +

2 2 2 2 cosa b c b c A= + (VII) = (th. cos.)ecuaie de gradul doi n c

1sin

2S b c A=

Comentarii:

1) n cazul L.U.L. triunghiul poate fi construit grafic, deci existena lui este asigurat cu soluie unic.Latura necunoscut se determin cu teorema cosinusului (VII), unghiurile necunoscute se obin dinsistemul pentru suma i diferena lor (ca n tabel) sau cu teorema sinusurilor (VI).2) n cazul U.L.U. triunghiul exist i este unic, dac i numai dac suma unghiurilor date este mai micde 1800. Unul din unghiurile date poate s nu fie alturat laturii date, deoarece din suma unghiurilorrezult i cellalt unghi alturat. Laturile necunoscute se calculeaz cu ajutorul teoremei sinusurilor (VI).3) n cazul L.L.L. triunghiul exist i este unic determinat dac i numai dac pentru laturile date suntndeplinite inegalitile triunghiului (V). Unghiurile se determin cu ajutorul teoremei cosinusului (VIII)sau cu formulele jumtii de arc n funcie de laturi (XIV).4) n cazul L.L.U. triunghiul exist dac i numai dac ecuaia de gradul doi cu variabila = laturanecunoscut (obinut din teorema cosinusului) are cel puin o rdcin strict pozitiv. Prin urmare,problema are dou, una sau nici o soluie. Astfel, pentru ecuaia din tabel pentru latura c :

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 cos 0

cos cos cos sin

c b c A b a

c b A b A b a b A a b A

+ =

= + = Discuia naturii i a semnului rdcinilorc ( 2 2 2 2 2sin , , cosa b A produsul b a suma b A = = = )se rezum la:

- DacA 900 , atunci rezult un singur triunghi pentru a > b inici un triunghi pentru a b

5


6/13

- DacA < 900 atunci rezult dou triunghiuri, pentru sinb a b A> > - un singur triunghi pentru sina b A= sau a b - nici un triunghi pentru sina b A< .

Observa ie : Rezultatele ob inute se pot verifica utiliznd formulele lui Mollweide (X).

6. Exemple rezolvate

S se afle elementele unui triunghi oarecare tiind c:

6.1.a = 2,25 m., b = 8 m. i C = 36044(cazulL.U.L.).

Rezolvare: 2 2 2 2 cosc a b a b C = + = 69,0625 - 36 0cos36,733333 = 40,211098, decic = 6,341222 m. Suma unghiurilorA + B = 1800 C= 143016 = 143,2666660. Din teorema tangentelor

(IX) rezult2 2 2 2

A B a b A B a b C a b Ctg tg tg ctg

a b a b a b

+ = = =

+ + += - 1,689636. De aici se

obine diferena unghiurilorA B = - 118,7622190. Rezolvnd sistemul n A i B, rezultatul este: A =

12,2522240 = 1201508 iB = 131,0144420 = 131052.

Valorile ob inute se verific, de exemplu, cu formula lui Mollweidesin

2

cos2

A Ba b

Cc

= = - 0,906765.

Aria1

sin2

S a b C = = 5,382823 m2.

6.2. a = 4 m., A = 14015, B = 11203712(cazulU.L.U.).

Rezolvare: C = 1800 (A + B) = 1800 12605212 = 5300748 = 53,130Laturile b i c se obin din

teorema sinusurilor:

0

0sin 4 sin112,62sin sin14,25a Bb

A = = = 15 m. ;0

0sin 4 sin 53,13sin sin14,25a Cc

A = = = 13 m.

Valorile ob inute se verific, de exemplu, cu formula lui Mollweidecos

2

sin2

B Cb c

Aa

+

= = 7.

2 sin sin

2 sin

a B CS

A

=

= 24 m2.

6.3. a = 19 m., b = 34 m., c = 49 m.(cazulL.L.L.).

Rezolvare: Condiiile de existen a triunghiului (inegalitile triunghiulare) sunt ndeplinite.Semiperimetrul p = 51 m.,p a = 32 m., p b = 17 m., p c = 2 m.. Cu ajutorul formulelor jumtii de

arc n funcie de laturi (XIV)( ) ( )

2 ( )

A p b p ctg

p p a

=

= 0,144338, de undeA = 16,4264210 =

6


7/13

1602535;( ) ( )

2 ( )

B p c p atg

p p b

=

= 0,271694, de undeB = 30,4000270 = 30024;

( ) ( )

2 ( )

C p a p btg

p p c

=

= 2,309401, de unde C = 133,1735510 = 13301025.

Valorile ob inute sunt verificate de rela ia A + B + C= 1800. Unghiurile se pot determina i cu ajutorul

teoremei cosinusului (VIII), de exemplu 2 2 2cos2

b c aAb c

+ =

= 0,959184, de undeA = 16,4264210 =

1602535 (alt verificare). Aria triunghiului ( ) ( ) ( )S p p a p b p c= = 235,558910 m2.

6.4.a = 2, b = 2, B = 450(cazulL.L.U.).

Rezolvare: Din teorema cosinusului (VII) 2 2 2 2 cosb c a c a B= + , rezult

2 24 2 2 22

c c= + adic 2 2 2 0c c = . Aceast ecuaie o singur rdcin pozitiv

1 3c = += 2,732051, deci problema are o singur soluie. Cu ajutorul teoremei cosinusului (VIII)

2 2 2 3cos

2 2

b c aA

b c

+ = =

, de undeA = 300. Cu ajutorul teoremei sinusurilor (VI) se obine

sin 1sin

2

a BA

b

= = , de undeA = 300 sauA = 1200. Corect este doar prima determinare, deoarece la

latura mai mic a = 2 < b = 2 se opune unghiul mai micA


8/13

7. Probleme propuse

S se determine elementele unui triunghi (unghiuri, laturi, arie) tiind c (laturile suntexprimate n diverse unit i de lungime, prin urmare aria se va exprima n unit i ptrate ):

7.1 . a = 14, c = 13 , B = 67022495

cos

13

B =

.

Rspuns: b = 15 m., C = 53007483

cos5

C =

, A = 5902923"33

cos65

A =

,

. S = 84 .

7.2. b = 4, c = 2, A = 450.

Rspuns: a = 10 , B = 16033542 5

sin5

B

=

,C = 180260610

sin10

C

=

,

. S = 2 .

7.3 . a = 223, b = 402, C = 101040.

Rspuns:A = 2700731'', B = 5101229'', c = 479, S = 43.897 .

c 7.4 . b = 0,279, c = 0,233, A = 57053.

Rspuns:B = 70 01747'', C = 5104913'', a = 0,251 , S = 0,0275.

7.5. b = 1,566, c = 1,307, B = 42027.

Rspuns:B = 81 05035'', C = 5504225'', b = 1,068 , S = 0,691.

7.6 . a = 20,635, b = 12,553, C = 2702412''.

Rspuns:A = 121 01554'', B = 3101954'', c = 11,111 , S = 59,610.

7.7 . a = 3,7 , B = 86003, C = 50056.

Rspuns: b = 5,41 , c = 4,21 , A = 43001, S =7,77 0731m2 .

7.8 . b = 15 , A=1401563

cos

65

A =

, C = 53007483

cos

5

C =

.

Rspuns: a = 4 , c = 13 , B = 112037125

cos13

B =

, S = 24 .

. 7.9 . c = 1466, A = 5201112'', B = 10001012''.

Rspuns: a = 2496,2, b = 3110, C = 2703836'', S =1.800.935,9.

7.10. a = 64,082, A = 1500924'', C = 13031'.

8


9/13

Rspuns: b = 117,600, c =57,285, B = 15101936'', S =880,693.

7.11. b = 5818, A = 36056, B = 72006.

Rspuns: a = 3675, c = 5781, C = 70058, S =10.105.046,5.

7.12 . c = 370,8, B = 590

05', C = 33

0

15.Rspuns: a = 675,8, b = 580,2, A = 87040, S =107.491,1.

7.13 . c = 37,65, A = 4502930'', C = 120015'.

Rspuns: a = 31,083, b = 10,735, B = 1401530'', S =144,121.

7.14 . a = 40, A = 500, B = 1000.

Rspuns: b = 51,42, c = 26,11, C = 300, S =514,2.

7.15 . b = 7,918, B = 77010, C = 64050'.

Rspuns: a = 4,999, c = 7,350, A = 380, S =17,124.

7.16. a = 1 + 3 .,b = 6, c = 2.

Rspuns:A = 750, B = 600, C = 450, S =3 3

2

+.

7.17 . a = 5 ,b = 12 , c = 13.

Rspuns:A =220

3712

12

cos 13A

= , B =670

2248

5

cos 13B

= , C = 900

,

. S = 30 .

7.18 . a = 428,63, b = 806,26, c = 542,45.

Rspuns:A =29 03548, B =111 04312', C = 38041', S = 107.998,705.

7.19. a = 2, b = 2, A = 300.

Rspuns: Problema are dou soluii :

c1 = 3 +1, B1 = 450, C1 = 1050, 1 1 32S += = 1,366025.

c2 = 3 +1, B2 = 1350, C2 = 150, 23 1

2S

= = 0,366025.

7.20 . a =1,968, c = 1,183, C = 22032'.


9


10/13

b1 = 2,729, A1 = 39036'24'', B1 = 117051'36'', S1= 1,029.

b2= 0,907, A2 = 140023'36'', B2 = 17005'24'', S2 = 0,342.

7.21. b = 602,3, c = 764,1, B = 38017'.


a1 = 969,9, A1 = 89045'17'', C1 = 51058'43'', S1= 230.106,6.

a2= 229,6, A2 = 13041'43'', C2 = 128001'17'', S2 = 54.480,1.

7.22. a =114,3, c = 134,6, A = 58006'30''.


b1 = 73,16, B1 = 32054'37'', C1 = 88058'53'', S1= 4.179,5.

b2= 69,07, B2 = 30052'23'', C2 = 91001'07'', S2 = 3.947,3.

7.23 . a = 9,32, b = 8,50, B = 63040'.


c1 = 5,708, A1 = 79019'24'', C1 = 37036'', S1= 23,843.

c2= 2,561, A2 = 100040'36'', C2 = 15039'24'', S2 = 10,690.

7.24 . b = 5,064 , c =7,458 , C = 1003248''.

Rspuns:A = 162 01848'', B = 700824'', a = 12,379 , S = 5,737 .

7.25 . a = 800, b = 895, C = 600.

Rspuns:A = 54 02720'', B = 6503240'', c = 851,48, S = 310.037,09.

7.26 . b = 0,4544, c = 0,6400, A = 36008.

Rspuns:A = 44 02804'', B = 9902356'', a = 0,3825, S = 0,0857.

7.27. a = 1000, A = 500, B = 750.

Rspuns: b = 1260,6, c = 1069,3, C = 550, S =516.311,5.

7.28. b = 0,1974, B = 5104148'', C = 93046'06''.

Rspuns: a = 0,1426, c = 0,2510, A = 3403206'', 51,1180 10S = .

10


11/13

7.29. b = 97,16, A = 2101354'', B = 126026'24''.

Rspuns: a = 43,738, c = 64,587, C = 3201942'', S =1.136,263.

7.30. a = 112, b = 86, c = 98.

Rspuns:A =74 04017, B =4704639', C = 57033'04'', S = 4064,1.

7.31. a = 55,33, b = 30,33, c = 39,30.

Rspuns:A =104 03011, B =32 00309', C = 43026'40'', S = 576,99.

7.32. a = 15 , b = 4 , c = 13 .

Rspuns:1

cos8

A = , deci A = 11203712,63

cos65

B = , deciB = 14015,3

cos5

C= , deci

. C = 5300728, S = 24 .

7.33. a = 13,9, c = 8,43 , A = 126043.

Rspuns:B = 24 011, C = 29006, b = 7,102 , S =24 .

7.34. a = 5 , c = 6 , C = 36052124

cos5

C =

.

Rspuns:A = 300, B = 113007483 4 3

cos10

B

=

, b = 4 3 3+ = 9,196,

. S =

3(4 3 3)

2

+ = 13,794 .

7.35. a = 5 , b = 7 , A = 25022372 10

cos7

A

=

.

Rspuns: Problema are dou soluii .

1 2 10 4,c = + 2 2 10 4,c = B1 = 3605712 14

cos5

B =

, B2 = 1800 B1 = 143

00748,

C2 =1102935 2

9 8 10cos

35C

+ =

C1 = 180

0 - C2 = 16803025,

1 3 ( 10 2) 15,486833S = + = , .2 3 ( 10 2) 3,486833S = = .

7.36. b = 1392, c = 3218 , C = 123039.

Rspuns:A = 35 01442'', B = 2100618'', a = 2230,9 , S =1.292.488,6 .

7.37. a = 0,598, c = 0,360 , A = 63050.

11


12/13

Rspuns:B = 83 02743'', C = 3204217'', b = 0,662 , S = 0,107 .

7.38. a = 385,2, b = 455,3, A = 41013'.


c1 = 584,1, B1 = 79009'09'', C1 = 87037'51'', S1= 87.615,82.

c2= 100,9, B2 = 128050'51'', C2 = 9056'09'', S2 = 15.130,62.

7.39. a = 11.782, b = 14.216 , A = 5002054''.

Rspuns:B = 39 03906'', C = 900, c = 18.464 , S = 83.746.456.

7.40. a = 2,152, c = 1,589 , A = 1901242''.

Rspuns:B = 14604336'', C = 1400342'', b = 3,588 , S = 0,938.

7.41. a = 31,1, b = 37,4, A = 27018'.


c1 = 59,18, B1 = 33028'27'', C1 = 119013'33'', S1= 507,54.

c2= 7,29, B2 = 146031'33'', C2 = 6010'27'', S2 = 62,55.

7.42. a = 10 , b = 20 , A = 600.

Rspuns: Problema nu are soluie.

7.43. a = 4,353, b = 0,468, c = 3,951.

Rspuns:A =149 049, B =3 002, C = 27009', S = 0,4648.

7.44. a = 632, b = 741, A = 27018'.


c1= 1191,3, B1 = 32031'51'', C1 = 120010'09'', S1= 202.438,49.

c2= 125,7, B2 = 147028'09'', C2 = 5014'51'', S2 = 21.415,48.

7.45. a = 1626 , b = 1448 , c = 3075.

Rspuns: Problema nu are soluie.

7.46. a = 2,018, b = 1,466 , C = 58047.

12


13/13

Rspuns:A = 7601907'', B = 4405353'', c = 1,776 , S = 1,265.

7.47. c = 1307, A = 81052, C = 55041'.

Rspuns: a = 1566, b = 1068, B = 42027, S = 690.682,6.

7.48. a = 76,15, b = 94,05 , A = 21

0

21.Rspuns:B = 25 03002'', C = 13300858'', c = 152,6 , S = 2.612,56.

7.49. a= 1, b= 2, c = 3

Rspuns:B = 90 0, C = 600, A = 300, S =3

2.

13

Trigonometrie Plana-Lucrare Practica

Documents

Transcript of Trigonometrie Plana-Lucrare Practica