TRANSFORMATOR 3

TEORIA FIZIC A TRANSFORMATORULUI IDEALIZAT TEORIA TEHNIC A TRANSFORMATORULUI REAL

1 Masini electrice Curs i aplicaii

Unitatea de nvare nr. 3


Cuprins Pagina

Obiectivele unitii de nvare nr. 3 3.1 Teoria fizic a transformatorului monofazat 3.2 Teoria tehnic a transformatorului monofazat

Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 3 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie unitatea de nvare nr. 3



OBIECTIVELE unitii de nvare nr. 3

Principalele obiective ale Unitii de nvare nr. 3 sunt:

Familiarizarea cu teoriile transfaormatorului electric Aplicarea cu succes a unor elemente simple de calcul pentru

regimul de functionarea al transformatoarelor electrice

3.1 Teoria fizic a transformatorului monofazat ntruct teoria transformatorului polifazat - i, deci, a celui trifazat, cu cea mai larg utilizare - poate fi redus la teoria transformatorului monofazat, se va studia, pentru nceput, transformatorul monofazat. Studiul transformatorului poate fi efectuat prin dou metode utiliznd: a) teoria fizic a transformatorului idealizat, n baza unor ipoteze simplificatoare (n principal neglijarea saturaiei miezului magnetic i a pierderilor n fier); b) teoria tehnic a transformatorului real, cu luarea n consideraie a principalelor fenomene care intervin n funcionarea transformatoarelor de putere. n cele ce urmeaz se vor prezenta succint consideraiile i ecuaiile teoriei fizice, urmnd a se dezvolta teoria tehnic a transformatorului monofazat.

Teoria fizic a transformatorului monofazat n teoria fizic se accept urmtoarele ipoteze simplificatoare: a. Se neglijeaz pierderile prin curenii turbionari i histerezia din miezul feromagnetic. b. Se neglijeaz reacia curenilor turbionari asupra fluxului inductor. c. Se consider problema liniar a circuitului magnetic neglijndu-se saturaia. d. Se consider c nfurrile au parametrii concentrai i constani. Ca metode de lucru, se opereaz cu inductiviti proprii i mutuale, aplicnd principiul suprapunerii efectelor. Se consider regimul cvasistaionar; curenii de deplasare dintre spire, ntre nfurri i miezul feromagnetic se neglijeaz (nu sunt neglijai curenii de deplasare din circuitele electrice ale receptoarelor). Fie un transformator monofazat cu dou nfurri (fig. 3.1). nfurarea primar cu w1 spire i rezistena R1 este alimentat de la o surs de curent alternativ cu tensiunea u1, iar nfurarea secundar cu w2 spire i rezistena R2 este conectat la un receptor RLC serie. Respectnd conveniile de sensuri pozitive privind mrimile electrice pentru nfurarea primar (receptor) i pentru nfurarea secundar (generator), prin aplicarea legii induciei electromagnetice celor dou circuite ale transformatorului rezult ecuaiile:

(3.1.)

(3.2.)

dtd

wuiR )( 21111111 +

=

dtd

wuiR )( 12222222 +

=+



Dac se exprim fluxurile proprii i fluxurile mutuale n funcie de inductiviti i cureni, ecuaiile de mai sus devin

=+

=

dtdiL

dtdiLuiR

dtdiL

dtdiLuiR

112

222222

221

111111

(3.3.)

Fig. 3.1.

Aplicnd legea induciei electromagnetice circuitului receptor, considerat de asemenea cu parametrii constani, se obine ecuaia:

dticdt

diLRiu ++= 22221

(3.4..)

Ordonnd altfel termenii ecuaiile pot fi scrise:

++=

++=

++=

dticdtdiLRiu

dtdiL

dtdiLiRu

dtdiL

dtdiLiRu

22

22

112

222222

221

111111

1

(3.5.)

Necunoscutele sistemului sunt u2, i1 i i2, ceilali parametrii care intervin n ecuaii avnd valori date. Teoria fizic poate fi aplicat ca atare la unele transformatoare speciale cu caracteristic de magnetizare liniar, la care corespund - cu aproximri acceptabile - i celelalte ipoteze n care au fost scrise ecuaiile sistemului.

3.2 Teoria tehnic a transformatorului monofazat



Spre deosebire de teoria fizic, teoria tehnic a transformatorului i propune s in seama de efectul saturaiei magnetice i de pierderile n fier. Ca metode, teoria tehnic are n vedere urmtoarele:

a) Suprapunerea efectelor, pe care se bazeaz teoria fizic (fiecare nfurare tratat distinct, apoi nsumarea efectelor) nu mai este posibil din cauza saturaiei. b) n locul inductivitilor proprii i mutuale se opereaz cu fluxul util, fluxul de dispersie i fluxul total, respectiv cu inductivitile utile i de dispersie. c) Se consider c nfurrile au parametrii concentrai i constani, iar regimul este cvasistaionar.

ntr-o prim etap se va ine seama de saturaia magnetic, neglijndu-se pierderile n fier, apoi vor fi luate n consideraie i acestea.

A. Teoria tehnic innd seama de saturaia magnetic Fie un transformator monofazat, cu nfurrile dispuse concentric pe una din coloane, aa cum este

cazul real la majoritatea construciilor, nfurarea de joas tensiune fiind plasat n interior (fig.3.2.). Dac w1 este numrul de spire al nfurrii primare atunci solenaia primar instantanee care produce cmpul magnetic de excitaie este: 11 iw= (3.6.) Dac w2 este numrul de spire al nfurrii secundare i se presupune c nfurarea secundar este parcurs de curentul i2 (transformatorul funcioneaz n sarcin), solenaia secundar instantanee are valoarea: 222 iw= (3.7.)

Fig. 3.2.

Cele dou cmpuri magnetice alternative, de aceeai pulsaie, se compun ntr-un cmp magnetic rezultant, produs evident de solenaia rezultant (solenaia de magnetizare):

221 1 iww iu += (3.8)

Din cauza saturaiei magnetice nu se poate ti n ce proporie contribuie cele dou solenaii 1 i 2 la stabilirea induciei magnetice ntr-un punct oarecare al cmpului rezultant, fiindc suprapunerea

efectelor este posibil. Considernd liniile unitare ale cmpului magnetic rezultant, se observ (fig.3.2) c liniile de cmp pot fi mprite n trei categorii: a) liniile de cmp care se nchid dup conturul , cuprinse n ntregime n miezul magnetic i care se nlnuie cu ambele nfurri (vor fi denumite linii ale cmpului magnetic util); b) liniile de cmp care se nchid dup conturul 1 , mparte prin miezul magnetic, dar i prin aer - i care se nlnuie numai cu spirele nfurrii primare, constituind linii ale cmpului magnetic de dispersie a nfurrii primare n raport cu nfurarea secundar;



c) liniile de cmp care se nchid dup conturul 2 , parte prin miezul magnetic, parte prin aer, care se nlnuie numai cu spirele nfurrii secundare constituind linii ale cmpului magnetic de dispersie a nfurrii secundare n raport cu nfurarea primar.

=

=

uu

uu

w

w

2

1

2

1 (3.9)

Evident liniile cmpului util sunt produse de solenaia rezultant: 2211 iwiwu += , aa cum rezult din aplicarea legii circuitului magnetic de-a lungul unei linii a cmpului util. Din cauza saturaiei miezului magnetic, fluxul u i fluxurile 21 , uu nu sunt funcii liniare de solenaia u care le produce, ci se pot reprezenta n figura 3.3, sub forma unor curbe cu alura caracteristicilor de magnetizare a materialelor feromagnetice.

Fig. 3.3. n ceea ce privete liniile cmpurilor de dispersie, acestea se nchid parte prin aer, parte prin miezul magnetic. Cum reluctana miezului este mic n raport cu reluctana poriunii de aer, (chiar la saturaia miezului), se ia n consideraie numai reluctana poriunii de aer, care nu este afectat de saturaia miezului magnetic. Aceasta permite afirmaia cm fluxurile de dispersie depind liniar de

solenaiile care le produc. Se pot defini, prin urmare, o inductivitate de dispersie 12

L a nfurrii

primare n raport cu nfurare secundar, conform relaiei: 11221 iL = (3.10.)

i respectiv o inductivitate de dispersie 21

L a nfurrii secundare n raport cu primarul, conform

relaiei: 22121 iL = (3.11.)



Evident fluxurile de dispersie (de scpri) 12

i 21

sunt relativ mici n raport cu fluxurile utile

1u i

2u , fiindc primele se nchid i prin aer pe cnd ultimele se nchid numai prin miezul

feromagnetic cu o permeabilitate mult mai ridicat. Aadar, nfurarea primar este strbtut de un flux total:

111 12121 iLw uu +=+= (3.12.) iar nfurarea secundar de fluxul total:

222 21212 iLw uu +=+= (3.13.) Aplicnd legea induciei electromagnetice circuitelor primare i secundare, se obin relaiile:

+=+

+=

)(

)(

22222

11111

21

12

iLwdtd

uiR

iLwdtd

uiR

u

u

(3.14.)

sau ordonnd termenii n alt mod:

++=

++=

dtd

wdtdiLiRu

dtd

wdtdiLiRu

u

u

22

222

11

111

21

12

(3.15.)

La acest sistem de ecuaii mai trebuie adugate: a) relaia neliniar dintre fluxul u i solenaia de magnetizare:

uu

uww

L 21

= (3.16.)

n care Lu este inductivitatea corespunztoare fluxului util. b) relaia de definiie a solenaiei rezultante:

2211 iwiwu += (3.17.) c) relaia caracteristic a sarcinii din secundar:

dticdt

diLRiu ++= 22221

(3.18.)

n sistemul de ecuaii toi coeficienii sunt constani, cu excepia lui Lu, fapt care nu mai permite rezolvarea sistemului aplicnd metoda de reprezentare n complex. Totui metoda poate fi aplicat din urmtoarele considerente tehnice:

a. R1 i deci R1i1 sunt foarte mici (R1i1 0,0.1.u1); b.

12 uw 1 , (ntre 3-10%), deci dt

diL 112

dt

dw u

1 .

nseamn c din prima ecuaie a sistemului 1.40 mai rmne:

dtd

wu u

11 (3.19.)



adic fluxul mediu fascicular u este dictat practic, ca variaie n timp i ca valoare instantanee de tensiune u1 aplicat la bornele nfurrii primare. Aa cum s-a artat, dac u1 este sinusoidal, de forma: tUu sin211 =

atunci fluxul are expresia: )2

sin(21

1 pi

tw

Uu (3.20.)

avnd amplitudinea: 1

1m

2w

U

(3.21.)

Rezult c n condiiile date O nu este practic influenat de curenii de sarcin i1 i i2, adic este practic acelai indiferent c transformatorul merge n gol sau n sarcin, la U1= const. Dac dependena )( uu f = ar fi liniar ntre limitele + m i m (linia punctat din fig. 3.2), atunci variaiei sinusoidale n timp a solenaiei i-ar corespunde o variaie sinusoidal n timp a fluxului u . n aceast situaie s-ar putea defini o inductivitate Lu, corespunztoare fluxului util, perfect constant, independent de solenaia - i sistemul de ecuaii care descriu funcionarea transformatorului s-ar transforma ntr-un sistem cu toi coeficienii constani, care permite aplicarea metodei de reprezentare n complex:

++=

+=

=

++=

++=

22222

2211

21

22222

11111

1

21

12

ICjILjIRU

IwIwww

L

wjILjIRUwjLLjIRU

(3.22.)

n realitate dependena )( f= nu este liniar. Din acest motiv Lu nu mai este constant, ci variaz cu fluxul, iar solenaia u nu mai este o sinusoid n timp, coninnd pe lng fundamental i armonici de ordin impar (fig.3.4.). Se poate lua ns n consideraie numai armonica fundamental a solenaiei

u i n consecin se poate lucra cu sistemul de ecuaii (3.23.).

Starea de saturaie a miezului feromagnetic se

reflect n inductivitatea Lu. Aceasta se poate

calcula cunoscnd perechile de valori m i mu de pe curba )( f= cu relaia:

m

mu

wwL

21 = (3.24.)



Fig. 3.4.

Deci la o tensiune U1 dat a reelei de alimentare, solenaia rezultant variaz ntre limitele

bine precizate m+ si m (fig.1.12) practic independent de curenii i1 i i2. Cu alte cuvinte solenaia rezultant efectiv este practic independent de valorile efective ale curenilor din nfurri. n relaia 2211 IwIw += , mrimea fiind practic o constant, nseamn c la un curent de sarcin I2 variabil cu mrime, curentul I1 absorbit de la reeaua de alimentare ia intotdeauna o astfel de valoare nct solenaia rezultant de magnetizare s rmn practic constant.

n aceste condiii se poate scrie: 1012211 IwIwLw =+= (3.25.) adic reprezint solenaia nfurrii primare la regimul de mers n gol. Cum pierderile n fier nu au fost luate pn acum n consideraie, curentul din nfurarea primar la mersul n gol este egal cu curentul de magnetizare I . n sistemul de ecuaii (1.48) se pot introduce notaiile:

11 wj= ; 22 wj= (3.26.)

ca fiind t.e.m. utile primar, respectiv secundar. Valorile efective ale t.e.m. E1 i E2 sunt:

=

=

m

m

fw

fw

pipi

22

11

22

22

(3.27.)

i evident:

2

1

2

1

w

w=

( 3.28.)

n acest fel primele dou ecuaii din sistemul (1.48) devin:

22222

11111

21

12

EIjXIRUEIjXLRU+=

+=

(3.29.) unde:

2121

1212

LX

LX

=

=

(3.30.)

reprezint reactanele de scpri ale celor dou nfurri. O form final a ecuaiilor cere descriu comportarea transformatorului se obine prin raportarea mrimilor unei nfurri la cealalt nfurare; de regul se raporteaz mrimile nfurrii secundare la primar, dar se poate proceda i invers. Scopul raportrii const n obinerea unor parametrii comparabili pentru cele dou nfurri, cu posibilitatea reprezentrii ecuaiilor transformatorului n



diagrame fazoriale cu fazari comparabili ca mrime (pentru tensiuni, cureni, cderi de tensiune) sau ntr-o schem echivalent unic, cu circuitele corespunztoare celor dou nfurri cuplate galvanic. Criteriul raportrii este energetic: Fie c se opereaz cu mrimi neraportate, fie c se opereaz cu mrimile raportate, trebuie s se conserve puterea aparent respectiv pierderile n nfurarea raportat. Expresiile mrimilor raportate ale nfurrii secundare se obin nmulind a doua din sistemul (1.48) cu

2

1

w

w i folosind un artificiu de calcul:

2

12

1

22

2

2

1

1

22

2

2

12

2

12 21 w

wE

w

wI

w

wjXw

wI

w

wR

w

wU

+

= (3.31.)

sau: 2`

2``

2``

22`

21 EIjXIRU += (3.32.) de unde rezult:

=

==

=

1

222

`

12

122

`

2

122

`

w

wII

Ew

wEE

w

wUU

(3.33.)

n final se obine urmtorul sistem de ecuaii:

+=

==+

=

+=

+=

2``

2``

2

10`

21

`

21

`

2`

2``

2`

2`

2

11111

21

12

IjXIRUIIII

EE

EIjXIRUEIjXIRU

(3.34.)

cu impedana de sarcin format din:

2

2

1`

=

w

wRR i 2

2

1` 1

=

w

w

CLX

Deoarece II =10 reprezint doar (2-8)% din nI1 rezult c 1I i `2I sunt aproape n opoziie de faz. Acelai lucru se poate spune i despre tensiunile 1U i

`

2U .



n diagrama de fazori succesiunea nscrierii fazorilor este marcat prin cifre; s-a construit mai nti diagrama corespunztoare primei ecuaii, apoi diagrama corespunztoare celei de a a doua ecuaii din sistemul (3.34).

Fig.3.5.

B. Teorie tehnic a transformatorului innd seama de pierderile n fier.

Fluxul magnetic prin miezul transformatorului variind periodic n funcie de timp, n miezul feromagnetic se produc pierderi prin histerezie i pierderi datorate curenilor turbionari indui n tole. n consecin n diagrama fazorial ar trebui s apar o component a curentului de mers n gol n faz cu E1, care s reflecte existena pierderilor n fier.

a) Pierderile prin histerezie pot fi exprimate prin relaia:

(3.35.) i se iau n consideraie defaznd curentul 10I absorbit din reea, la mersul n gol, la unghiul de avans histerezis naintea fluxului (fig. 3.5.), valoarea lui fiind dat de relaia:

101

sinI

= (3.36.)

2Bf =



Dac .1 constU = i este constant. Relaiile (3.34.) se pstreaz dar curentul de mers n gol are dou componente:

(3.37.) Componenta I este componenta de magnetizare i este n faz cu fluxul ; ea este aceea care produce fluxul util. Componenta I corespunde pierderilor histerezis i este definit prin relaia:

110 sin

==II H (3.38.)

Fig.3.6. i este n faz cu t.e.m. 1E , adic n cuadratur cu fluxul .

b) Pierderile prin cureni turbionari se au n vedere considernd c nfurarea primar i curenii turbionari din fierul miezul magnetic formeaz un transformator cu secundarul n scurtcircuit. Tensiunile electromotoare care ntrein aceti cureni turbionari sunt stabilite n principal tot de fluxul util , astfel c sunt defazate cu

2pi n urma lui, adic sunt n faz cu 1E sau

`

1E sau `

2E . Fie FI curentul

echivalent, raportat la primar, al curenilor turbionari. Cum t.e.m. corespunztoare circuitelor curenilor turbionari raportat la primar este evident 1E , nseamn ci FI i 1E sunt n faz (fig.3.7). Valoarea curentului FI este dat de relaia:

1

IE

FF

= (3.39.)

i n cazul considerrii pierderilor n fier se pstreaz valabilitatea ecuaiilor , dar curentul de mers n gol are trei componente: FH IIII += 10 (3.40) De obicei componentele de pierderi HI i FI , avnd aceeai faz, se nsumeaz ntr-o singur component, denumit componenta watat a curentului de mers n gol, adic:

wIII 1110 += (3.41)

+= III 10



Conform acestei ultime relaii curentul I10 este n avans fa de fluxul cu unghiul , definit prin relaia :

101101

sinIEIEFehf =+= (3.42)

Componenta Iw este redus n comparaie cu I astfel nct 10I este defazat cu aproape 90o fa

de 1U , de unde rezult c la mersul n gol transformatoarele funcioneaz cu un factor de putere redus. Diagrama de fazori din figura 3.6. nu se modific dect sub aspectul compunerii curenilor. Primele dou ecuaii ale sistemului pot fi interpretate ca ecuaiile unui cuadripol n T (fig.3.7).

Fig.3.7.

S-a inut seama c `21 EE = i s-a notat: 11 IjXE = (3.43.) unde x este reactana corespunztoare circuitului de magnetizare. Pierderile n fier au fost luate n consideraie prin rezistena Rm, a crei valoare se determin din relaia:

Few

FH

w

Fem

EII

R

212

12

1

=

+== (3.44.)

De reinut! 1. Studiul transformatorului poate fi efectuat prin dou metode utiliznd: a) teoria fizic a transformatorului idealizat, n baza unor ipoteze simplificatoare (n principal neglijarea saturaiei miezului magnetic i a pierderilor n fier); b) teoria tehnic a transformatorului real, cu luarea n consideraie a principalelor fenomene care intervin n funcionarea transformatoarelor de putere

2. Sistemul de ecuatii de functionare a unui transformator monofazat in teoria



fizica este:

++=

++=

++=

dticdtdiLRiu

dtdiL

dtdiLiRu

dtdiL

dtdiLiRu

22

22

112

222222

221

111111

1

3. Sistemul de ecuatii de functionare a unui transformator monofazat in teoria tehnica este

++=

+=

=

++=

++=

22222

2211

21

22222

11111

1

21

12

ICjILjIRU

IwIwww

L

wjILjIRUwjLLjIRU

4. O form final a ecuaiilor cere descriu comportarea transformatorului se obine prin raportarea mrimilor unei nfurri la cealalt nfurare; de regul se raporteaz mrimile nfurrii secundare la primar, dar se poate proceda i invers. Scopul raportrii const n obinerea unor parametrii comparabili pentru cele dou nfurri, cu posibilitatea reprezentrii ecuaiilor transformatorului n diagrame fazoriale cu fazari comparabili ca mrime (pentru tensiuni, cureni, cderi de tensiune) sau ntr-o schem echivalent unic, cu circuitele corespunztoare celor dou nfurri cuplate galvanic. Sistemul de ecuatii de functionare obtinut:

+=

==+

=

+=

+=

2``

2``

2

10`

21

`

21

22`

222

11111

21

12

IjXIRUIIII

EE

EIjXIRUEIjXIRU



Test de autoevaluare 3.1 1. Pentru un transformator, atunci cnd se ine seama de pierderile n fier, este valabil relaia: a) H H B = ; b) H H f B = ; c) H H f = ; d) 2H H f B = 2. Pentru un transformator electric cderea chimic de tensiune este: a) mic n raport cu tensiunea de alimentare; b) mare n raport cu tensiunea de alimentare; c) 0; 3. n teoria fizic a transformatorului monofazat tensiunea la bornele nfurrii secundare depinde: a) de inductivitatea proprie; b) de inductivitatea mutual; c) de inductivitatea proprie, inductivitatea mutual i rezistena nfurrii secundare; 4. n teoria tehnic a transformatorului monofazat: a) se folosesc inductivitile utile i cele de dispersie; b) se neglijeaz pierderile n fier; c) se folosete suprapunerea efectelor; d) se ine seama de saturaia magnetic. 5. Randamentul transformatorului monofazat: a) depinde doar de puterea activ; b) depinde de pierderile n fier; c) depinde doar de puterea reactiv; 6. n regimul de mers n gol transformatorul: a) se comport ca o bobin de reactan cu miez de fier saturat; b) se comport ca o rezisten n scurtcircuit; c) se comport ca un condensator de inducie; 7. Reacia indusului la un transformator se exprim prin relaia:

a) 1 1 2 2w i w i = ; b) 2 2w i = ; c) 1 21 2du du

w wdt dt

= + ; d) 1 1 2 2w i w i = + 8. Fie un transformator monofazat avnd nfurarea primar, cu w1 spire, alimentat de la o surs de curent alternativ de tensiune u1 si nfurarea secundar deschis. Aplicnd legea induciei electromagnetice pe un contur nchis care strbate cele w1 spire ale nfurrii primare n sensul pozitiv al curentului i1 i se nchide prin aer pe o linie a tensiunii la borne i presupunnd c fluxul magnetic se nchide numai prin miez, se poate scrie ecuaia:



a) 11111 uiRdtd

we ==

b) dtd

wtUu 111 sin2 =

c)

== 2sin2sin2

1

1

1

1 pi

tw

Ut

w

U

9. Prin aplicarea legii induciei electromagnetice celor dou circuite ale unui transformator monofazat rezult ecuaiile:

a) dt

dwuiR )( 12111111

+=

dtd

wuiR )( 12222222 +

=+

b) 2211 iwiw += c) 111 iw= 222 iw=

Lucrare de verificare la Unitatea de nvare nr. 3

1. Scrieti sistemul de ecuatii de functionare al unui transformator monofazat considerand valabile ipotezele enuntate in teoria fizic. 2. Scrieti sistemul de ecuatii de functionare al unui transformator monofazat considerand valabile ipotezele enuntate in teoria tehnica.

Rspunsuri la ntrebrile din testele de autoevaluare

1.d. 2.a. 3.c. 4.a,d. 5.b. 6.a. 7.d. 8.a. 9.a.



Bibliografie Bibliografie Bl, C., Maini electrice, Ed. Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1982 Rdui C., Maini electrice, vol. I i II, curs litografiat, Tipografia UPB, 1989. Gavril H., Electrotehnic i echipamente electrice, vol. I-II, Ed. Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1993 Ciucur V., Masini electrice note curs pentru studenti,Editura Printech, Bucuresti, 2000

TRANSFORMATOR 3

Documents

Transcript of TRANSFORMATOR 3