Transfer termic curs 4

MODELAREA NUMERICĂ A TRANSFERULUI TERMIC ÎN ELECTROTEHNICĂ • Metoda volumelor finite

120

Exemplul 2 Se consideră o bară foarte lungă, având secţiunea transversală rectangulară

)1.0 x 08.0( 2m . La momentul 0=t secţiunea transversală a barei are o distribuţie uniformă de temperatură CT o

0 425= . Bara este pusă în contact cu un fluid având temperatura uniformă CT o 25=∞ . Coeficientul de transfer termic prin convecţie, pe suprafaţa de separaţie între bară şi fluid, este -1-2 Km W100 ⋅⋅=ch .

Să se determine evoluţia în timp a distribuţiei câmpului termic, pe secţiunea transversală a barei, utilizând un pas în timp s 1.0=∆t .

Se cunosc următoarele proprietăţi ale materialului barei: - conductivitatea termică, -1-1 Km W35 ⋅⋅=λ ; - densitatea de masă, 3kg/m 1000=ρ ; - căldura specifică, -1-1 KkgJ 3500 ⋅⋅=pc .

Soluţie

Profitând de simetrie, se poate calcula distribuţia câmpului termic pe un sfert din secţiunea transversală (fig. 4.55).

Fig. 4.55 Secţiunea transversală a barei şi domeniul de calcul ales

Domeniul de calcul specificat în fig. 4.55 este discretizat şi prezentat în fig. 4.56. Se consideră o reţea de discretizare cu 30 noduri ca în exemplul 1 ( m 01.0=∆=∆ yx ).

Ecuaţia diferenţială care guvernează regimul tranzitoriu pe secţiunea barei este următoarea:

∂∂

λ∂∂

+

∂∂

λ∂∂

=∂∂

ρyT

yxT

xtTc p . (4.221)

Capitolul 4: Metoda volumelor finite aplicată la probleme de conducţie termică

121

Fig. 4.56 Reţea de discretizare (exemplul 2)

Pentru obţinerea ecuaţiei discretizate pentru un nod interior al domeniului de calcul (nodul 16 de exemplu) se integrează ecuaţia (4.221) pe volumul de control haşurat din jurul nodului 16 (fig. 4.56). Utilizând schema total implicită se obţine ecuaţia discretizată (a se vedea obţinerea ecuaţiei (4.214)): bTaTaTaTaTa NNSSEEWWPP ++++= , (4.222) unde:

n

nnN

s

ssS

e

eeE

w

wwW y

Aa

yA

axA

axA

aδλ

=δλ

=δλ

=δλ

= ,

0000 PppPPNSEWP Tabtyxcaaaaaaa =

∆∆∆

ρ=++++= ,

1 1 ⋅∆==⋅∆== xAAyAA nsew , termenul sursă S fiind nul în cazul acestui exemplu.

Valorile numerice ale coeficienţilor din ecuaţia (4.222), în condiţiile reţelei uniforme folosite, sunt:

3501.0

)101.0(35=

⋅⋅==== NSEW aaaa ;


122

35001.0

01.001.0350010000 =⋅

⋅⋅=∆∆∆

ρ=tyxca pP ;

3640350035353535 =++++=Pa ; 03500 PTb ⋅= .

Ecuaţia (4.222) se aplică succesiv pentru toate nodurile interioare ale domeniului de calcul (nodurile 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22, şi 23) şi se obţin ecuaţiile algebrice următoare:

08971428 3500353535353640 TTTTTT ++++=

091081539 3500353535353640 TTTTTT ++++=

01011916410 3500353535353640 TTTTTT ++++=

011121017511 3500353535353640 TTTTTT ++++=

014151320814 3500353535353640 TTTTTT ++++=

015161421915 3500353535353640 TTTTTT ++++= (4.223)

0161715221016 3500353535353640 TTTTTT ++++=

0171816231117 3500353535353640 TTTTTT ++++=

0202119261420 3500353535353640 TTTTTT ++++=

0212220271521 3500353535353640 TTTTTT ++++=

0222321281622 3500353535353640 TTTTTT ++++=

0232422291723 3500353535353640 TTTTTT ++++=

Pentru un nod interior pe frontiera “West”, nodul 4 de exemplu, se integrează ecuaţia (4.221) pe o jumătate de volum de control haşurat şi prezentat în figura 4.57.

Fig. 4.57 Jumătate de volum de control pe frontiera “W”


123

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∆+ ∆+ ∆+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∂∂tt

t VC

tt

t VC

tt

t VCp dtdydx

yT

ydtdydx

xT

xdtdydx

tTc

2/1 2/1 2/1

λλρ (4.224)

Efectuând parţial integralele din (4.224) se obţine:

( ) ∫ ∫∆+ ∆+ ∆

∂∂

−

∂∂

+∆

∂∂

−

∂∂

=∆∆

−tt

t

tt

t ss

nn

PP

eePPp dtx

yT

yTdty

xT

xTyxTTc

220 λλλλρ

Ţinând cont că ( ) 0/ =∂∂ PxT (condiţia la limită pe frontiera “West”), presupunând o

variaţie liniară a gradientului de temperatură şi utilizând schema total implicită pentru integrarea în timp, se obţine:

( )s

SPss

n

PNnn

e

PEeePPp y

TTA

yTT

Ax

TTA

tyxTTc

δ−

λ−δ−

λ+δ−

λ=∆∆∆

−ρ2

0 , (4.225)

unde: yAe ∆= et 2/xAA ns ∆== .

Regrupând termenii în ecuaţia (4.225), se bţine forma generală a ecuaţiei discretizate: bTaTaTaTa NNSSEEPP +++= , (4.226) unde:

n

nnN

s

ssS

e

eeE y

Aa

yA

axA

aδλ

=δλ

=δλ

= ;

0000 2

PppPPNSEP Tabtyxcaaaaaa =

∆∆∆

ρ=+++= .

Valorile numerice ale coeficienţilor pentru ecuaţia (4.226) sunt următoarele:

3501.0

)101.0(35=

⋅⋅=Ea 5.17

01.0

)1201.0(35

=⋅⋅

== NS aa ;

17501.0201.001.035001000

20 =

⋅⋅

⋅⋅=∆∆∆

ρ=tyxca pP ;

182017505.175.1735 =+++=Pa 01750 PTb ⋅= .

Ecuaţiile discretizate pentru nodurile interioare ale frontierei “West” (nodurile 2, 3, 4 şi 5) sunt: 0

23182 17505.175.17351820 TTTTT +++=

034293 17505.175.17351820 TTTTT +++=

0453104 17505.175.17351820 TTTTT +++= (4.227)


124

0564115 17505.175.17351820 TTTTT +++=

Pentru un nod interior pe frontiera “South”, nodul 13 de exemplu, se integrează

ecuaţia (4.221) pe jumătate de volum de control, haşurat şi prezentat în figura 4.58, şi se obţine:

Fig. 4.58 Jumătate de volum de control pe frontiera “S”

( ) ∫ ∫∆+ ∆+

∆

∂∂

−

∂∂

+∆

∂∂

−

∂∂

=∆

∆−tt

t

tt

t PP

nn

ww

eePPp dtx

yT

yTdty

xT

xTyxTTc λλλλρ

220 .

(4.228) Ţinând cont că ( ) 0/ =∂∂ PyT (condiţie la limită pe frontiera “South”), înlocuind

gradienţii de temperatură în punctele w,e, şi n şi utilizând schema total implicită pentru integrarea în timp, se obţine ecuaţia discretizată sub forma generală: bTaTaTaTa NNEEWWPP +++= , (4.229) unde:

n

nnN

e

eeE

w

wwW y

Aa

xA

axA

aδλ

=δλ

=δλ

= ;

0000 2

PppPPNEWP Tabtyxcaaaaaa =

∆∆∆

ρ=+++= ;

12

⋅∆

==yAA we et 1⋅∆= xAn .

Valorile coeficienţilor din ecuaţia (4.229) sunt:

( ) 3501.0

101.035 5.1701.0

1201.035

=⋅⋅

==

⋅⋅

== NEW aaa ;

17501.0201.001.035001000

20 =

⋅⋅

⋅⋅=∆∆∆

ρ=tyxca pP ;

18201750355.175.17 =+++=Pa 01750 PTb ⋅= .


125

Ecuaţiile discretizate pentru nodurile 7, 13 şi 19 sunt următoarele: 0

781317 1750355.175.171820 TTTTT +++=

0131419713 1750355.175.171820 TTTTT +++= (4.230)

01920251319 1750355.175.171820 TTTTT +++=

Ecuaţia discretizată pentru nodul 1 se obţine prin integrarea ecuaţiei (4.221) pe

sfertul de volum de control haşurat şi prezentat în figura 4.46. După o primă integrare se obţine:

Fig. 4.59 Sfert de volum de control (pentru nodul 1)

( ) ∫ ∫∆+ ∆+ ∆

∂∂

−

∂∂

+∆

∂∂

−

∂∂

=∆∆

−tt

t

tt

t PP

nn

PP

eePPp dtx

yT

yTdty

xT

xTyxTTc

22220 λλλλρ

(4.231) În mod asemănător ca mai sus, se obţine ecuaţia discretizată sub forma generală pentru

nodul 1: bTaTaTa NNEEPP ++= , (4.232) unde:

tyxca

yA

axA

a pPn

nnN

e

eeE ∆

∆∆ρ=

δλ

=δλ

=4

0 ;

000 PpPNEP Tabaaaa =++= ;

( ) 12/ ⋅∆= yAe şi ( ) 12/ ⋅∆= xAn .


5.1701.0

1201.035

=

⋅⋅

=Ea 5.1701.0

1201.035

=

⋅⋅

=Na ;

8751.0401.001.0350010000 =

⋅⋅

⋅=Pa 9108755.175.17 =++=Pa ;


126

0875 PTb = . Se obţine astfel ecuaţia discretizată pentru nodul 1: 0

1271 8755.175.17910 TTTT ++= (4.233) Pentru un nod interior pe frontiera “East”, nodul 28 de exemplu, se integrează ecuaţia (4.221) pe jumătate de volum de control haşurat şi prezentat în figura 4.60.

Fig. 4.60 Jumătate de volum de control pe frontiera “E”.

După o integrare parţială (în spaţiu pentru ambii membri ai ecuaţiei şi în timp numai

pentru partea din stânga a ecuaţiei), se obţine:

( ) ∫ ∫∆+ ∆+ ∆

∂∂

−

∂∂

+∆

∂∂

−

∂∂

=∆∆

−tt

t

tt

t ss

nn

ww

PPPPp dtx

yT

yTdty

xT

xTyxTTc

220 λλλλρ .

(4.234) Ţinând cont că pe această frontieră condiţia la limită este

( )PcP

P TThxT

−=∂∂

λ ∞ , (4.235)

şi integrând în timp, folosind schema total implicită şi înlocuind gradienţii de temperatură, se obţine ecuaţia următoare:

( ) ( )s

SPss

n

PNnn

w

WPwwPPcPPp y

TTA

yTT

Ax

TTAATTh

tyxTTc

δ−

λ−δ−

λ+δ−

λ−−=∆∆∆

−ρ ∞20

(4.236)

Regrupând termenii în ecuaţia (4.236) se obţine forma generală a ecuaţiei discretizate: bTaTaTaTa NNSSWWPP +++= , (4.237)


127

unde:

n

nnN

s

ssS

w

wwW y

AayAa

xAa

δλ

=δλ

=δλ

= tyxca pP ∆

∆∆ρ=

20 ;

∞+=++++= TAhTabAhaaaaa PcPPPcPNSWP000 ;

1⋅∆= yAP , 1⋅∆= yAw şi ( ) 12/ ⋅∆== xAA ns Valorile coeficienţilor din ecuaţia (4.237) sunt:

( ) 3501.0

101.035 5.1701.0

1201.035

=⋅⋅

==

⋅⋅

== WNS aaa ;

17501.0201.001.035001000

20 =

⋅⋅

⋅⋅=∆∆∆

ρ=tyxca pP ;

( ) 1821101.010017505.175.1735 =⋅++++=Pa ;

( ) 25175025101.01001750 00 +=⋅⋅⋅+⋅= PP TTb ;

Ecuaţiile discretizate pentru nodurile interioare ale frontierei “East” (nodurile 26, 27, 28 şi 29) sunt următoarele: 2517505.175.17351821 0

2627252026 ++++= TTTTT

2517505.175.17351821 02728262127 ++++= TTTTT

2517505.175.17351821 02829272228 ++++= TTTTT (4.238)

2517505.175.17351821 02930282329 ++++= TTTTT

Pentru un nod situat pe frontiera “North”, nodul 18 de exemplu, se integrează ecuaţia (4.221) pe jumătate de volum de control, haşurat şi ilustrat în figura 4.61.

Fig. 4.61 Jumătate de volum de control pe frontiera “N”


128

( ) ∫ ∫∆+ ∆+

∆

∂∂

−

∂∂

+∆

∂∂

−

∂∂

=∆

∆−tt

t

tt

t ss

PP

ww

eePPp xdt

yT

yTdty

xT

xTyxTTc λλλλρ

220

(4.239) Ţinând cont că pe această frontieră condiţia la limită este

( )PcP

P TThyT

−=∂∂

∞λ , (4.240)

şi după integrarea ecuaţiei (4.239), se obţine forma generală a ecuaţiei discretizate: bTaTaTaTa SSEEWWPP +++= , (4.241) unde:

s

ssS

e

eeE

w

wwW y

Aa

xA

axA

aδλ

=δλ

=δλ

= tyxca pP ∆

∆∆=

20 ρ ;

∞+=++++= TAhTabAhaaaaa PcPPPcPSEWP

000

1⋅∆== xAA sP şi ( ) 12/ ⋅∆== yAA we .


5.1701.0

1201.035

=

⋅⋅

=Wa 5.1701.0

1201.035

=

⋅⋅

=Ea ;

( ) 3501.0

101.035=

⋅⋅=Sa 1750

1.0201.001.0350010000 =

⋅⋅

⋅=Pa ;

( ) 1821101.01001750355.175.17 =⋅⋅++++=Pa ; ( ) 25175025101.01001750 00 +=⋅⋅⋅+= PP TTb .

Ecuaţiile discretizate, pentru nodurile interioare ale frontierei “North” (nodurile 12, 18 şi 24 sunt: 251750355.175.171821 0

121118612 ++++= TTTTT

251750355.175.171821 01817241218 ++++= TTTTT (4.242)

251750355.175.171821 02423301824 ++++= TTTTT

Pentru obţinerea ecuaţiei discretizate pentru nodul 30 se integrează ecuaţia (4.221)

pe sfertul de volum de control haşurat şi prezentat în figura 4.62, adică

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∆+ ∆+ ∆+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∂∂tt

t VC

tt

t VC

tt

t VCp dtdydx

yT

ydtdydx

xT

xdtdydx

tTc

4/1 4/1 4/1

λλρ . (4.243)


129

Efectuând integrarea parţială în ecuaţia (4.243) se obţine:

( ) ∫ ∫∆+ ∆+ ∆

∂∂

−

∂∂

+∆

∂∂

−

∂∂

=∆∆

−tt

t

tt

t ss

PP

ww

PPPPp dtx

yT

yTdty

xT

xTyxTTc

22220 λλλλρ

(4.244)

Fig. 4.62 Sfert de volum de control pentru nodul 30 (colţul “N-E”).

Ţinând cont de condiţiile la limită pe frontierele “North” şi “East” după integrare în timp, folosind schema total implicită, se obţine:

( ) ( ) ( )s

SPssP

w

WPwwPPPp y

TTAxTTh

xTT

AyTThtyxTTc

δλ

δλρ

−−

∆−+

−−

∆−=

∆∆∆

− ∞∞ 2240 . (4.245)

Regrupând termenii, în ecuaţia (4.245), se obţine forma generală a ecuaţiei discretizate

pentru nodul 30: bTaTaTa SSWWPP ++= ; (4.246) unde:

s

ssS

w

wwW y

Aa

xA

aδλ

=δλ

= tyxca pP ∆

∆∆ρ=

40 ;

∆+∆

+=

∆+∆

+++= ∞ 2

2000 yxThTabyxhaaaa cPPcPSWP ;

1)2/( ⋅∆= xAs şi ( ) 12/ ⋅∆= yAw .


5.1701.0

1201.035

=

⋅⋅

=Wa 5.1701.0

1201.035

=

⋅⋅

=Sa ;

8751.0401.001.0350010000 =

⋅⋅

⋅=Pa 9112

01,001.01008755.175.17 =

+⋅+++=Pa


130

258752

01.001.025100875 00 +=

+⋅⋅+= PP TTb .

Ecuaţia discretizată pentru nodul 30 este următoarea:

258755.175.17911 030292430 +++= TTTT (4.247)

Pentru obţinerea ecuaţiei discretizate pentru nodul 6 se integrează ecuaţia (4.221) pe un sfert de volum de control, haşurat şi prezentat în figura 4.50.

Fig. 4.63 Sfert de volum de control pentru nodul 6 (colţul “N-W”).

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∆+ ∆+ ∆+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∂∂tt

t VC

tt

t VC

tt

t VCp dtdydx

yT

ydtdydx

xT

xdtdydx

tTc

4/1 4/1 4/1

λλρ . (4.248)

Integrând parţial ecuaţia (4.248) se obţine:

( ) ∫ ∫∆+ ∆+ ∆

∂∂

−

∂∂

+∆

∂∂

−

∂∂

=∆∆

−tt

t

tt

t ss

PP

PP

eePPp dtx

yT

yTdty

xT

xTyxTTc

22220 λλλλρ

(4.249) Ţinând cont de condiţiile la limită pe frontierele “North” şi “West” după integrarea în

timp (cu schema total implicită) şi înlocuirea gradienţilor de temperatură se obţine:

( ) ( )s

SPssPc

e

PEeePPp y

TTAxTTh

xTT

AtyxTTc

δλ

δλρ

−−

∆−+

−=

∆∆∆

− ∞ 240 . (4.250)

Regrupând termenii în ecuaţia (4.249), se obţine forma generală a ecuaţiei discretizate

pentru nodul 6: bTaTaTa SSEEPP ++= ; (4.251) unde:

s

ssS

e

eeE y

Aa

xA

aδλ

=δλ

= tyxca pP ∆

∆∆ρ=

40 ;


131

2

2

000 xThTabxhaaaa cPPcPSEP∆

+=∆

+++= ∞ ;

1)2/( ⋅∆= xAs şi ( ) 12/ ⋅∆= yAe .


5.1701.0

1201.035

=

⋅⋅

=Ea 5.1701.0

1201.035

=

⋅⋅

=Sa ;

8751.0401.001.0350010000 =

⋅⋅

⋅=Pa 5.911201.01008755.175.17 =⋅+++=Pa ;

5.12875201.025100875 00 +=⋅⋅+= PP TTb ;

Ecuaţia discretizată pentru nodul 6 este următoarea:

5.128755.175.175.911 0

65126 +++= TTTT . (4.252)

Pentru obţinerea ecuaţiei discretizate pentru nodul 25 se integrează ecuaţia (4.221) pe un sfert de volum de control (haşurat şi prezentat în figura 4.64).

Fig. 4.64 Sfert de volum de control pentru nodul 25 (colţul “S-E”).

Integrând ecuaţia (4.221) ca în cazul nodului 6, se obţine forma generală a ecuaţiei discretizate pentru nodul 25: bTaTaTa NNWWPP ++= ; (4.253) unde:

n

nnN

w

wwW y

Aa

xA

aδλ

δλ

== tyxca pP ∆

∆∆=

40 ρ ;

2

2

000 yThTabyhaaaa cPPcPNWP∆

+=∆

+++= ∞ ;


132

1)2/( ⋅∆= xAn şi ( ) 12/ ⋅∆= yAw .


5.1701.0

1201.035

=

⋅⋅

=Wa 5.1701.0

1201.035

=

⋅⋅

=Na ;

8751.0401.001.0350010000 =

⋅⋅

⋅=Pa 5.911201.01008755.175.17 =⋅+++=Pa ;

5.12875201.025100875 00 +=⋅⋅+= PP TTb .

Ecuaţia algebrică pentru nodul 25 este următoarea:

5.128755.175.175.911 0

25261925 +++= TTTT . (4.254)

Ecuaţiile (4.223), (4.227), (4.230), (4.233), (4.238), (4.242), (4.247), (4.252), et (4.254) formează sistemul de ecuaţii algebrice ce trebuie rezolvat. Pentru rezolvarea acestui sistem se aplică algoritmul Thomas, adaptat pentru probleme 2D, ca la exemplul 1. În figura 4.65 se prezintă soluţia numerică la momentul s 10=t iar în figura 4.66 la momentul

s 1000=t .

Fig. 4.65 Distribuţia spaţială a câmpului termic la momentul s 10=t .


133

În tabelul 4.13 se prezintă comparaţia soluţiei numerice, obţinută cu metoda volumelor finite (programul THER2Di2) cu soluţia obţinută cu metoda elementelor finite (cu ajutorul programului QuickField 4.2T).

În figura 4.67 se prezintă comparaţia soluţiilor numerice (volume finite – elemente finite) în ceea ce priveşte evoluţia în timp a temperaturii punctului de coordonate

)50,40( == yx . Se constată o foarte bună corespondentă (eroarea fiind foarte mică).

Fig. 4.66 Distribuţia spaţială a câmpului termic la momentul s 1000=t .

Tabelul 4.13 Comparaţia rezultatelor

mm 40=x s 10=t s 100=t

[K] T [K] T

[mm] y Volume finite QuickField Volume finite QuickField

0 412.533 412.515 373.025 373.063 3.333 412.531 412.460 372.923 372.905 6.666 412.525 412.437 372.619 372.578 9.999 412.512 412.444 372.110 372.078 13.332 412.485 412.442 371.398 371.388 16.665 412.434 412.357 370.482 370.476 19.998 412.340 412.266 369.359 369.331 23.331 412.175 412.139 368.031 368.012 26.664 411.896 411.849 366.495 366.474 29.997 411.447 411.349 364.751 364.718 33.333 410.752 410.674 362.799 362.790 36.663 409.724 409.630 360.638 360.621


134

39.996 408.264 408.083 358.268 358.228 43.329 406.280 406.044 355.690 355.641 46.662 403.692 403.502 352.904 352.877 50.000 400.450 400.411 349.912 349.928

Fig. 4.67 Evoluţia temperaturii în timp pentru punctul de coordonate (40,50) mm (comparaţie: volume finite – QuickField).

4.5 Conducţia termică 3D 4.5.1 Forma generală a ecuaţiei discretizate pentru cazul 3D staţionar

Conducţia termică 3D staţionară este guvernată de ecuaţia:

0=+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂ S

zT

zyT

yxT

xλλλ . (4.255)

Volumul de control ce conţine nodul P are 6 noduri vecine identificate ca nodurile

“West”, “East”, “South”, “North”, “Bottom” şi “Top” (W, E, S, N, T, B). Ca şi în cazul 2D notaţiile b n, s, e, w, şi t fac referinţă la feţele (interfeţele) “west”, “est”, “sud”, “north”, “top” şi “bottom”.

Se integrează ecuaţia (4.255) pe volumul de control cu trei dimensiuni dzdydxdV = , prezentat în figura 4.68, astfel:


135

∫ ∫ ∫∫ =+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

VC VC VCVC

SdVdzdydxzT

zdzdydx

yT

ydzdydx

xT

x0λλλ (4.256)

Dacă se notează zyAA we ∆∆== , zxAA sn ∆∆== , yxAA bt ∆∆== după

integrarea ecuaţiei (4.256) se obţine

0=∆+

∂∂

λ−

∂∂

λ+

∂∂

λ−

∂∂

λ+

∂∂

λ−

∂∂

λ

VSzTA

zTA

yTA

yTA

xTA

xTA

bbb

ttt

sss

nnn

www

eee

(4.257)

Aplicând aceeaşi procedură ecuaţiei (4.257) ca în cazul 2D se obţine ecuaţia discretizată:

Fig. 4.68 Volum de control 3D.

0=∆∆∆+

δ−

λ−δ−

λ+

δ−

λ−δ−

λ+

δ−

λ−δ−

λ

zyxSz

TTA

zTT

A

yTT

Ay

TTA

xTT

Ax

TTA

BP

BPbb

PT

PTtt

SP

sPss

PN

PNnn

WP

WPww

PE

PEee

(4.258)

Regrupând termenii în ecuaţia de mai sus se obţine forma generală a ecuaţiei

discretizate pentru un nod interior al domeniului de calcul: bTaTaTaTaTaTaTa TTBBNNSSEEWWPP ++++++= , (4.259) unde:


136

NP

nnN

SP

ssS

PE

eeE

WP

wwW y

Aa

yA

ax

Aa

xA

aδλ

=δλ

=δλ

=δλ

= ;

zyxSaaaaaaazA

azA

a PTBNSEWPPT

ttT

BP

bbB ∆∆∆−+++++===

δλ

δλ

;

zyxSb c ∆∆∆=

Condiţiile la limită vor fi tratate ca în cazul problemelor 2D. 4.5.2 Forma generală a ecuaţiei discretizate pentru cazul 3D nestaţionar

Conducţia termică în 3D nestaţionar este guvernată de ecuaţia:

SzT

zyT

yxT

xtTc p +

∂∂

λ∂∂

+

∂∂

λ∂∂

+

∂∂

λ∂∂

=∂∂

ρ (4.260)

Ecuaţia discretizată sub forma generală obţinută conform procedurii din paragraful

4.5.1, cu schema total implicită, este: bTaTaTaTaTaTaTa TTBBNNSSEEWWPP ++++++= , (4.261) unde:

NP

nnN

SP

ssS

PE

eeE

WP

wwW y

Aa

yA

ax

Aa

xA

aδλ

=δλ

=δλ

=δλ

= ;

0 PTBNSEWPPT

ttT

BP

bbB aaaaaaaa

zA

az

Aa ++++++=

δλ

=δλ

= ;

t

zyxca pP ∆∆∆∆

ρ=0 00PPTazyxSb +∆∆∆= .

ew AA = sn AA = tb AA =

zy∆∆ zx∆∆ yx∆∆

Dacă termenul sursă poate fi liniarizat sub forma PPc TSSS += atunci coeficienţii

Pa şi b , din ecuaţia discretizată, sunt următorii: zyxSaaaaaaaa PPTBNSEWP ∆∆∆−++++++= 0 ;

00PPc TazyxSb +∆∆∆= .

Transfer termic curs 4

Documents

Transcript of Transfer termic curs 4