7/23/2019 Tetraedrul Regulat Cu Aplicatii

1/3

5. Tetraedrul regulat. Aplicaii5.1 Noiuni i notaii

Definiie1:Tetraedru regulat este o piramid triunghiular la care toate muchiile au lungimile egale.Definiie1:Tetraedru regulat este o piramidtriunghiular regulat toate muchiile de lungimi egale.

Definiie3: Poliedrul regulat la care toate feelesunt triunghiuri echilaterale congruente i numrulde muchii de la fiecare vrf este egal cu trei senumete tetraedru regulat .

Tetraedrul regulat are:1) 4 vrfuri;2) 4 fee, care sunt triunghiuri echilaterale congruente cu lungimea laturii a;3) 6 muchii, care sunt segmente congruente cu lungimile egale cu ai care pornesc cte 3 din fiecare vrf;4) Relaia ntre numrul de vrfuri, fee i muchii pentru octaedrul regulat este: V+F-M = 4+4-6 = 2;

Notaii n tetraedrul regulatMABC:1) MABC- tetraedru regulat;2) AM = a lungimea muchieitetraedrului regulat;3) )(ABCMO ,MO=H lungimea nlimii (nlimea) tetraedrului regulat;

4) Rf=AO raza cercului circumscris bazei (unei fee oarecare) tetraedrului regulat;5) rf=OK raza cercului nscris n baza (faa) tetraedrului regulat sau apotema bazei;6) MK= m apotema tetraedrului regulat;7) R= Rsf raza sferei circumscrise tetraedrului regulat;8) r=rsf raza sferei nscrise n tetraedrul regulat;9) O centrul cercurilor nscris i circumscris bazei (sau unei fee oarecare) tetraedrului regulat;10) = )( MKOm msura unghiului diedru de la baz (unghiul dintre planul feei laterale i planul

bazei); este msura unghiului liniar a unghiului diedru de la baz;11) = )( MAOm msura unghiului dintre muchia lateral i planul bazei;12) AB=AM= a lungimea muchieitetraedrului regulat;13) MAK seciunea tetraedrului regulatMABCcu planul dus prin muchia lateral ][MA i apotema

][MK

a feei opuseMBC.5.2 Relaii metrice n tetraedrul regulat MABC

1)12

23

..

aV regtetr = volumul tetraedrului regulat;

2)4

32aAA bazfetei == aria bazei i aria unei fee a tetraedrului regulat;

3)4

332

aAlat = aria lateral a tetraedrului regulat;

4) 32aAtot = aria total a tetraedrului regulat;

5) 36aH = nlimea tetraedrului regulat;

6)2

3aMKm == lungimea apotemei sau lungimea nlimii feei laterale;

7) ffff rRa

ra

R 2;32

;3

=== ;

8)3

1cos

3

1

3

2

32)cos(cos =====

a

a

MK

OKOKM

3

1arccos= ;

9)3

3

3

1)cos(cos ====

AM

AOOAM

3

3cos =

3

3arccos= ;

10) 3

1

)cos(cos === a

R

OAM ;

11)4

6.

aR circsf = raza sferei circumscrise tetraedrului regulat;

7/23/2019 Tetraedrul Regulat Cu Aplicatii

2/3

12)12

6.

ar nscrisesf = raza sferei nscrise n tetraedrul regulat;

13) inscrisesfcircsf rR .. 3= ;

14)8

63

...

=

aV regtetrcircsf

;

15)216

63

...

=

aV regtetrinscrisesf

;

16)4

22

aAMAK = aria seciuniiMAKa tetraedrului regulat.

17) n orice tetraedru regulat unghiurile plane de la vrf au msura egal cu 60.

Remarc:1) Demonstrarea relaiilor metrice de mai sus pot fi propuse elevilor ca exerciii.

2) Unghiurile3

1arccos= i

3

3arccos= sunt constante pentru toate tetraedrele regulate.

3) Relaiile metrice de mai sus permit de a compune probleme variate.

Exemplul 1: Volumul tetraedrului regulatMABC este egal cu 218 cm3. S se determine raza sfereinscrise n acest tetraedru.Soluie:

1)12

23

..

aV regtetr = 218

12

23

=a

... 6=a cm;

2)2

6

12

66

12

6. =

==

ar nscrisesf

2

6. =nscrisesfr cm.

Rspuns:

2

6. =nscrisesfr cm.

Exemplul 2 (problem practic): n Republica Moldova fabrica Incomlac produce sprerealizare lapte ambalat n cutii tetrapac (n form de tetraedru regulat) cu capacitatea de 0,5 litri.Sarcini:1) Determinai lungimea muchiei cutiei;2) Determinai volumul cutiei i comparai cu 0,5 l;3) Determinai aproximati de ct material este nevoie pentru a confeciona o cutie, dac laansamblare se pierd 3% din material la lipirea muchiilor.

Exemplul 3 (problem integrativ): Un meter vrea s confecioneze o jucrie compus dintr-un

tetraedru regulat (din mas plastic) i o bil cu raza de 2 cm n interiorul lui.a) Va ncpea oare bila n interiorul tetraedrului, dac lungimea muchieitetraedrului este egal cu 6 cm?b) Care ar trebui s fie lungimea minim a muchieitetraedrului, pentru ca bila s ncap n interiorul lui?

Soluie la sarcina a):1) Fie 2=r cm raza bilei;

2) 6=a cm 2

6

12

66

12

6. =

==

ar nscrisesf

2

6. =nscrisesfr cm.

2) Deoarece 22

6< bnscrisesf rr

7/23/2019 Tetraedrul Regulat Cu Aplicatii

3/3

Pentru ca bila s ncap n tetraedru fr s se deplaseze este necesar ca ea s fie tangent la feele

tetraedrului. n acest caz avem 2. == bnscrisesf rr cm. Dar atunci 212

6. ==

ar nscrisesf , de unde

obinem, c 64=a cm.Pentru ca bila s ncap n tetraedru i ea s se deplaseze este necesar ca 64>a cm.

Remarc: Rezultatele obinute pot fi folosite la confecionarea sferei nscrise n tetraedrul regulat(adic tetraedrul regulat circumscris sferei), precum i la confecionarea de jucrii, suvenire,embleme, ...

Exemplul 4 (problem practic):Un elev vrea s confecioneze un tetraedru regulat cu lungimea muchiei a, circumscris unei sfere deraz r(sau o jucrie compus dintr-un tetraedru regulat (din mas plastic, de exemplu) circumscrisunei sfere de raz r) .Care este relaia dintre lungimea muchiei a a tetraedrului i raz ra sferei?

Rspuns: Conform formule 12) avem12

6ar= sau 62ra = .

Exemplul 5 (problem practic):Un elev vrea s confecioneze un tetraedru regulat cu lungimea muchiei a, nscris ntr-o sfer derazR (sau o jucrie compus dintr-un tetraedru regulat (din mas plastic, de exemplu) nscris ntr-o sfer de razR) .Care este relaia dintre lungimea muchiei a a tetraedrului i razR a sferei?

Rspuns: Conform formule 11) avem:4

6aR = sau

3

62Ra = .

Profesor: Radion Blndu, grad didactic superior, Liceul Teoretic Mihai Eminescu, mun.Bli, Republica Moldova