5.7. Entropia gazelor perfecte

Pentru calculul variaţiei într-o transformare reversibilă oarecare a unui gaz

perfect, se înlocuieşte în relaţia căldura elementară Q cu una dintre expresiile

rezultate din formulările matematice ale primului principiu al termodinamicii pentru procese reversibile:

sau

Înlocuind prima expresie relaţia entropiei scrisă mai sus, se obţine prin integrare:

(1)

Înlocuind raportul din ecuaţia generală de stare a gazelor perfecte, se

obţine:

(2)

care este expresia de calcul a variaţiei entropiei gazelor perfecte în funcţie de temperaturi şi volume. În mod similar, se pot obţine încă două expresii pentru S2 – S1 în funcţie de temperaturi şi presiuni sau în funcţie de presiuni şi volume:

(3)

(4)

5.8. Diagrame entropice. Transformări simple ale gazului ideal în diagrama entropică

În studiul transformărilor de stare şi în calculul proceselor din instalaţiile termice se utilizează frecvent diagrame în care una dintre coordonate este entropia. Astfel de diagrame se numesc diagrame entropice; cele mai des utilizate sunt diagramele T-s (temperatură-entropie) şi i-s (entalpie-entropie).

În diagrama T-s, o transformare reversibilă de stare se prezintă grafic printr-o curbă ce exprimă legea de variaţie a entropiei în funcţie de temperatura absolută S = f(T) pentru transformarea respectivă.

În figura 6 s-au considerat, pe curba transformării 1-2, două stări infinit apropiate a şi b, pentru care se poate considera T const. Căldura schimbată de agentul termic cu exteriorul între stările a şi b este:

Căldura schimbată cu exteriorul în cursul întregii transformări va fi:

(5)

30

Fig.6 Căldura în diagrama entropică

Deci diagrama T-S prezintă o caracteristică deosebită: căldura schimbată de agentul termic cu exteriorul în decursul unei transformări de stare se reprezintă, la scara diagramei, prin suprafaţa de sub curba transformării. Din acest motiv, diagrama T-S se numeşte şi diagramă calorică.

Să urmărim reprezentarea grafică a transformărilor reversibile ale gazelor perfecte în diagrama T-s, trasată pentru un kilogram de gaz.

a) Transformarea izotermică este reprezentată în figura 7. Variaţia entropiei se determină astfel:

[J/(K kg)] (6)

Pentru gazul perfect pot fi folosite relaţiile:

Q = pdV şi Q12 = L12

rezultă:

[J/(K kg)] (7)

Semnul variaţiei entropiei este determinat de semnul schimbului de căldură. Procesul izotermic de la 1 la 2 se caracterizează prin creşterea entropiei, deci agentul termic primeşte căldură şi efectuează lucru mecanic, adică are loc o destindere. În procesul izotermic 2-1 entropia scade, agentul termic cedează căldură şi primeşte lucru mecanic din exterior, deci are loc o comprimare.

31

1

2

ab

S

T

T

ab

1 20

1Destindere

Comprimare

T

T1 = T2

s1 s

2

q1-2

s2

Fig.7 Reprezentarea transformării izoterme în diagrama T-s

b) Transformarea adiabatică reversibilă se caracterizează prin entropie constantă, deoarece schimbul de căldură este nul:

[J/(K kg)] (8)

Ea se va reprezenta deci în diagrama T-s printr-o dreaptă paralelă la axa temperaturilor (fig.8). Transformarea 1-2 este o destindere întrucât temperatura scade, iar transformarea 2-1 reprezintă o comprimare adiabatică, fiind însoţită de creşterea temperaturii.

Fig.8 Reprezentarea transformării adiabateă în diagrama T-s

c) Transformarea izocoră. Pentru stabilirea ecuaţiei transformării în coordonatele T-s, se exprimă căldura elementară q = cvdT şi se obţine:

s = cv,mlnT + const.

[J/(K kg)] (9)

adică izocora se va reprezenta în diagrama T-s printr-o curbă exponenţială (fig.9).

Transformarea 1-2 este o încălzire izocoră, iar transformarea 2-1 este o răcire izocoră.

32

1

2

Destindere

Comprimare

T

T1

T2

s1 = s2s

T

s1 ss2 B A

T1

T2 2

1M

v0

Fig.9 Reprezentarea transformării izocore în diagrama T-s

Panta tangentei la curbă într-un punct oarecare M va fi:

d) Transformarea izobară. Pentru determinarea ecuaţiei în coordonatele T-s se procedează analog ca la izocoră şi rezultă:

s = cp,mlnT + const.

[J/(K kg)] (10)

Ca şi izocora, transformarea izobară se reprezintă în diagrama T-s tot printr-o curbă exponenţială (fig.10). Panta tangentei la curbă rezultă:

Deoarece cp > cv, rezultă că panta izobarelor este mai mică decât panta izocorelor. Deci în diagrama T-s, curbele izobare sunt mai puţin înclinate decât curbele izocore (fig.11).

Fig.10 Reprezentarea transformărilor izobare în diagrama T-s

Fig.11 Reprezentarea transformărilor izobare şi izocore în diagrama T-s e) Transformarea politropică. Ţinând seama de expresia căldurii schimbate de

33

T

s1 ss2 B A

T1

T2 2

1M

p0

T

scv

M

p0

v

cp

p = ct.v = ct.

agentul termic cu mediul exterior în transformarea politropică , rezultă

relaţia de calcul pentru variaţia entropiei:

[J/(K kg)] (11)

Transformarea politropică se reprezintă în diagrama T-s printr-o curbă exponenţială a cărei formă depinde de valoarea indicelui (exponentului) n. În figura 12 a este reprezentată curba politropică pentru 1 < n < k, iar în figura 12 b se reprezintă temperatura politropică cu exponent n < 1 sau n > k. Panta tangentei la curbă se determină cu relaţia:

Pentru 1 < n < k se obţine tg n < 0, iar pentru n < 1 sau n > k rezultă tgn > 0, ceea ce justifică forma curbelor politropice din figura 12.

Fig.12 Transformarea politropică:

a) cazul 1 < n < k; b) cazul n < 1, n > k

34

T

s0

n

T

s0

n

a. b.