Teorie Si Aplicatii Rezolvate de Rezistenta Materialelor

1. PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR

1.1. Obiectul şi problemele rezistenţei materialelor

Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală, situată între

ştiinţele fizico-matematice şi disciplinele de specialitate ale inginerului. Ea este o continuare

logică a mecanicii teoretice, o dezvoltare a acesteia prin introducerea în calcule a

caracteristicilor mecanice şi elastice ale materialelor .

Rezistenţa materialelor are ca obiect stabilirea metodelor şi procedeelor de calcul

ale eforturilor, tensiunilor şi deformaţiilor ce apar în diferite puncte ale elementelor de

rezistenţă, când asupra acestora acţionează forţe, precum şi stabilirea şi utilizarea

relaţiilor dintre eforturi şi dimensiunile secţiunii.

Rezolvarea problemelor în cadrul rezistenţei materialelor are în vedere următoarele

trei aspecte :

I. aspectul static, prin care se stabilesc, pe baza legilor mecanicii, relaţii între forţele

exterioare şi eforturi (forţe interioare) şi respectiv relaţii între eforturi şi tensiuni;

II. aspectul geometric, prin care se analizează deformaţiile corpului sub acţiunea

sarcinilor;

III. aspectul fizic, prin care se determină pe cale experimentală relaţiile de legătură

(legile) dintre forţe şi deformaţii, precum şi caracteristicile mecanico-elastice ale

materialului respectiv.

Rezistenţa materialelor rezolvă următoarele trei categorii de probleme:

a) probleme de verificare, prin care se determină dacă un element de rezistenţă cu

anumite dimensiuni îndeplineşte sau nu, sub acţiunea forţelor, condiţiile de

rezistenţă, rigiditate şi stabilitate;

b) probleme de calcul a sarcinii capabile, prin care, cunoscându-se materialul şi

caracteristicile sale mecanice şi elastice, dimensiunile şi modul de solicitare ale

elementului de rezistenţă, se determină valoarea sarcinilor pe care le poate suporta.

c) probleme de dimensionare, prin care se stabilesc dimensiunile optime ale pieselor

proiectate.

Fiecare din aceste probleme se rezolvă printr-un calcul de rezistenţă. La baza

calculului de rezistenţă stau două criterii:

I. de bună funcţionare, ceea ce presupune asigurarea la piesa proiectată a:

a) - rezistenţei;

b) - rigidităţii;

c) - stabilităţii.

II. de eficienţă, care urmăreşte ca piesa proiectată să reprezinte soluţia cea mai

economică posibilă în privinţa consumului de material şi de manoperă.

Din aceste două criterii se observă întrepătrunderea tehnicului (criteriul unu) cu

economicul (al doilea criteriu). Pentru ca un calcul de rezistenţă să poată fi considerat

corespunzător trebuie ca acesta să îndeplinească simultan cele două criterii.

Primul criteriu presupune:

a) Fiecare element de rezistenţă al unui ansamblu trebuie să reziste tuturor

solicitărilor ce apar în acesta pe toată durata de exploatare şi de aceea condiţia de

rezistenţă se impune prima. În acest scop în Rezistenţa materialelor se învaţă cum

să se aleagă materialul corespunzător, forma secţiunii cea mai avantajoasă şi

se stabilesc relaţii între secţiunea transversală şi solicitări, în aşa fel ca la

solicitările maxime, eforturile care apar în secţiunea respectivului element de

rezistenţă să fie inferioară celei ce produce ruperea.

b) Condiţia de rigiditate impune valori limită pe care să le atingă deformaţiile

elementelor de rezistenţă ale unui ansamblu în timpul solicitării maxime, în

exploatare. De aceea Rezistenţa materialelor stabileşte relaţii între secţiunea

transversală a corpului şi deformaţiile ce apar datorită acţiunii forţelor şi ele servesc

la calculul de rezistenţă (verificare, calculul capacităţii de încărcare şi

dimensionare). Capacitatea corpurilor de a avea deformaţii mici sub acţiunea

forţelor se numeşte rigiditate.

c) Condiţia de stabilitate impune menţinerea formei iniţiale de echilibru stabil al

elementului de rezistenţă, sub acţiunea forţelor. De multe ori în practică apar cazuri

când dimensiunile elementului de rezistenţă satisfac condiţiile de rezistenţă şi

rigiditate impuse pentru solicitarea maximă, însă la forţe inferioare îşi pierd

stabilitatea formei iniţiale de echilibru. Fenomenul se manifestă prin apariţia bruscă

a unei deformaţii foarte mari care poate duce, adesea, la ruperea respectivului

element de rezistenţă şi distrugerea întregii construcţii.

Exemplul clasic de pierderea stabilităţii formei de echilibru este cazul unei bare drepte

lungi şi subţiri (zvelte) comprimate. Pentru forţe mici bara îşi păstrează forma rectilinie.

Dacă se măreşte forţa, la o anumită valoare a acesteia, bara se încovoaie brusc, putând să se

rupă. Fenomenul este cunoscut sub numele de flambaj la compresiune sau pierderea

stabilităţii, iar forţa la care a avut loc fenomenul se numeşte forţă critică de flambaj.

1.2. Terminologie

Rezistenţa materialelor utilizează noţiuni specifice ale altor discipline cum ar fi

matematica, fizica, mecanica, tehnologia materialelor etc, dar şi simboluri şi noţiuni

proprii. În ţara noastră sunt o serie de standarde care definesc noţiunile rezistenţei

materialelor dintre care menţionăm:

STAS 1963-83 - Rezistenţa materialelor. Terminologie şi simboluri;

STAS 8147-86 - Tensometrie. Terminologie;

SR EN 1002-1: 1994 - Materiale metalice. Încercarea la tracţiune. Partea 1.

SR EN 1002-2 : 1994 - Materiale metalice. Încercarea la tracţiune. Partea 2.

Determinarea caracteristicilor elastice.

STAS 10108 / 0,1,3 -78 - Calculul elementelor din oţel.

S-au amintit doar câteva din standarde pentru a sublinia că terminologia,

simbolurile şi noţiunile utilizate în Rezistenţa materialelor sunt reglementate şi

utilizarea acestora este obligatorie. Terminologia specifică se va introduce progresiv,

pe parcursul cursului şi se va repeta, ceea ce va uşura asimilarea ei.

1.3. Clasificarea corpurilor în rezistenţa materialelor

Din totalitatea caracteristicilor elementelor de rezistenţă, în Rezistenţa

materialelor, se reţin numai acele caracteristici necesare calculului de rezistenţă

făcând abstracţie de celelalte. În acest scop corpurile se schematizează în modele

matematice ce au anumite caracteristici mecanice şi elastice. Ca urmare, corpurile

se vor încadra în următoarele cinci modele: fir, bară, membrană, placă şi bloc. Prin

aceste modele Rezistenţa materialelor schematizează, printr-o metodă de calcul,

numeroase organe de maşini şi elemente de construcţii şi deci, calculul de rezistenţă

are o largă generalizare.

În raport cu geometria lor, corpurile se împart în trei grupe:

a) Corpurile cu fibră medie, cele ce au una din dimensiuni, lungimea, mult

mai mare decât celelalte două, lăţimea şi grosimea. Ele se definesc prin:

- axa longitudinală - ce poate fi dreaptă, curbă, linie frântă, etc.

- secţiunea transversală - ce poate fi constantă sau variabilă în lungul axei

longitudinale.

Din această grupă fac parte:

- firele- care pot fi solicitate numai la întindere şi nu opun practic nici o

rezistenţă solicitărilor transversale sau de compresiune;

- barele - care rezistă atât la solicitări axiale cât şi transversale.

După destinaţie şi modul de solicitare barele poartă diferite denumiri

specifice: tiranţi - când sunt solicitate la întindere, stâlpi - când sunt

solicitate la compresiune, grinzi - când sunt solicitate la încovoiere,

arbori - când sunt solicitate, în special, la torsiune.

Prin fibră medie sau axă se înţelege locul geometric al centrelor de

greutate al secţiunilor plane normale, pe axa barei (sau a firului), iar prin

secţiune normală, secţiunea plană perpendiculară pe axă.

b) Corpurile cu suprafaţă mediană au una din dimensiuni - grosimea - relativ

mică în raport cu celelalte două - lăţimea şi lungimea -. Din această grupă fac

parte membranele şi plăcile.

- Membranele, ce au grosimea foarte mică, nu rezistă la sarcini

transversale sau de compresiune ci numai la sarcini de întindere.

- Plăcile, plane sau curbe, pot prelua şi sarcini transversale şi de

compresiune.

Exemple de plăci : capace şi pereţi de rezervoare, cupole, planşee, etc. iar

de membrane: pînza de cort, membrane amortizoare etc.

c) Blocuri sau corpuri masive , care au dimensiunile de acelaşi ordin de

mărime. Exemple : bilele şi rolele de rulment, blocurile de fundaţii, etc.

Calculele de rezistenţă diferă de la o grupă la alta, ele fiind cele mai simple la

fire şi la bare drepte, cresc în complexitate la barele curbe şi cadre, devenind deosebit

de complicate la plăci şi blocuri.

Rezistenţa materialelor prezintă modul de determinare a eforturilor, tensiunilor

şi deformaţiilor în cele mai simple şi des utilizate corpuri şi din acest motiv studiul

barei drepte, de secţiune constantă sau variabilă, formează baza şi este tratată în cea

mai mare parte din curs.

Modelul unei bare drepte (fig. 1.1,a) se schematizează ca în fig. 1.1,b. Astfel,

modelul barei conţine axa barei, de lungime L trasată cu linie groasă în figură şi

secţiunea transversală, dreptunghiulară în acest caz, de lăţime b şi înălţime h.

Sistemul de axe ataşat modelului, este un sistem triortogonal drept cu axa

Ox -axa barei şi sistemul yOz, axele centrale principale ale secţiunii.

În general toate aceste modele se pot numi elemente de rezistenţă. În cele ce

urmează, pentru noţiunea generală de element de rezistenţă se va folosi simbolul ER

pentru forma singular şi (ER) pentru forma plural.

Un element de rezistenţă poate fi confecţionat din diferite materiale şi cu diferite

dimensiuni. Comportarea (ER) la acţiunea sarcinilor depinde atît de dimensiunile şi

forma secţiunii transversale, cât şi de anumite caracteristici mecanice şi elastice ale

materialului.

Rezolvarea problemelor de rezistenţă implică utilizarea atât a dimensiunilor

geometrice cât şi modul de încărcare, caracteristicile elastice şi mecanice ale

materialului fiecărui ER.

1.4. Ipoteze de bază ale rezistenţei materialelor

Pentru a putea stabili relaţiile de calcul simple, în Rezistenţa materialelor se

folosesc anumite ipoteze referitoare atât la structura materialelor cât şi la comportarea

lor sub acţiunea sarcinilor aplicate. Aceste ipoteze sunt uneori în concordanţă cu

realitatea, iar alteori ele reprezintă simplificări ale fenomenelor reale, care duc la

rezultate verificate experimental şi deci acceptabile pentru scopul rezistenţei

materialelor.

Fig. 1.1

Ipotezele de mai jos sunt de bază şi în afară de acestea s-au făcut sau se vor mai

face şi alte ipoteze specifice în anumite capitole. Ca primă ipoteză expusă a fost

schematizarea corpurilor în fire, bare, membrane, plăci şi blocuri.

Ipotezele de bază ale rezistenţei materialelor sunt :

I. Ipoteza mediului continuu, prin care se admite că materialul ER se consideră

un mediu continuu ce ocupă întregul spaţiu delimitat de volumul său. Această

ipoteză corespunde satisfăcător materialelor amorfe dar nu corespunde realităţii la

cele cristaline. Ipoteza este necesară intrucât mărimile din rezistenţa materialelor,

cum sunt tensiunile, deplasările, deformaţiile, etc. pot fi scrise ca funcţii continue de

punct şi nu ca funcţii discrete specifice pentru fiecare cristal sau particulă, permiţând

folosirea calculului şi metodelor analizei matematice .

II. Ipoteza mediului omogen, prin care se admite că materialul ER are în toate

punctele din volumul său aceleaşi mărimi fizice . Nici această ipoteză nu concordă

în totalitate cu realitatea în special în cazul betonului, lemnului şi chiar al metalelor.

Astfel, la metale prin diverse tratamente termice sau mecanice se creează cruste dure

şi caracteristici mecanice diferite de ale miezului.

III. Ipoteza izotropiei. Materialele se consideră izotrope când au pe toate

direcţiile aceleaşi caracteristici elastice E, G şi ν. În caz contrar materialele se

consideră anizotrope. În rezistenţa materialelor, toate materialele se consideră

izotrope.

IV. Ipoteza elasticităţii perfecte. Dacă tensiunile nu depăşeşc anumite valori

limită, materialele utilizate de ingineri se consideră perfect elastice. Cea ce

înseamnă că deformaţiile produse de sarcini se anulează odată cu anularea sarcinilor.

V. Ipoteza proporţionalităţii între tensiuni şi deformaţii specifice. Pentru

solicitări în domeniul elastic se consideră că între tensiuni şi deformaţii specifice

există o relaţie liniară, adică este valabilă legea lui Hooke.

VI. Ipoteza deplasărilor mici. În afară de unele excepţii, în Rezistenţa materialelor

se consideră că deformaţiile ER sunt foarte mici în raport cu dimensiunile

acestuia. Ipoteza este foarte importantă întrucât ecuaţiile de echilibru static se pot

scrie raportând forţele la starea iniţială nedeformată a ER. Tot pe baza acestei

ipoteze, în calculele analitice, termenii ce conţin deformaţii specifice sau deplasări

la puteri superioare se pot neglija în raport cu termenii la puterea întâi (teoria de

ordinul întâi).

VII. Ipoteza proporţionalităţii dintre deformaţii specifice şi deplasări. În

domeniul elastic se consideră că între deformaţiile specifice şi deplasări există o

relaţie liniară. Ipoteza este o consecinţă a ipotezei deformaţiilor mici.

VIII. Ipoteza secţiunilor plane (Bernoulli). Secţiunile plane şi normale pe axa

barei rămân plane şi normale şi după deformarea produsă de sarcini. Această

ipoteză se verifică experimental pe conturul barelor şi se admite valabilă şi în

interiorul acestora.

Astfel în cazul barei din figura 1.2-a, supusă la întindere, secţiunea BC se deplasează

în B~C~ dar rămâne plană şi normală pe axa barei. La fel pentru bara din figura 1.2-b

supusă la încovoiere secţiunea AB se deplasează şi se roteşte în poziţia B~C~, dar

rămâne plană şi normală pe axa barei.

IX. Principiul lui Saint-Venant. Dacă se înlocuiesc forţele care acţionează pe o

porţiune mică a ER cu un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere

static cu primul, noua distribuţie a forţelor produce în locul de aplicare

diferenţe apreciabile faţă de prima dar rămâne fără efect, sau cu efect neglijabil,

la distanţe mari de locul de aplicare a forţelor.

X. Principiul suprapunerii efectelor. Prin aplicarea unei sarcini asupra unui

ER până la limita prescrisă de proporţionalitate a materialului, eforturile,

tensiunile, deformaţiile şi deplasările ce se produc în ER depind exclusiv de

mărimea acelei sarcini şi nu sunt influenţate de efectele altor sarcini aplicate

anterior sau concomitent. Acest principiu este o consecinţă a legii lui Hooke

(deformaţiile sunt proporţionale cu sarcinile) şi a ipotezei deformaţiilor mici ce indică

teoria de ordinul întâi.

1.5. Siguranţa în funcţionare. Coeficienţi de siguranţă.

Rezistenţe admisibile.

În rezolvarea problemelor de rezistenţa materialelor, (ER) dimensionate sau

verificate li se pot impune anumite condiţii, care să le asigure o bună funcţionare pe

toată durata de utilizare. Aceste condiţii sunt :

a) -condiţii de rezistenţă;

b) -condiţii de rigiditate;

c) -condiţii de stabilitate.

Fig. 1.2

1.5.1. Condiţii de rezistenţă

Spunem că un ER este corespunzător, din punct de vedere al condiţiilor de

rezistenţă, atunci când tensiunile care se produc în acesta, datorită sarcinilor, nu

depăşesc anumite limite, stabilite convenţional, dar corelate cu caracteristicile

mecanice ale materialului din care este confecţionat ER.

Valoarea convenţională aleasă în calcul, pe baza practicii, pentru tensiunea

maximă care se poate produce într-o piesă, în condiţii date de material şi de

solicitare se numeşte rezistenţă admisibilă.

Ţinând seama de deformaţiile care se produc, până la rupere, materialele se

împart în două grupe :

-tenace, care se deformează mult înainte de rupere (ex : oţelurile de rezistenţă

mică şi mijlocie);

-fragile, care nu se deformează sau se deformează foarte puţin, fără producerea

fenomenului de gâtuire înainte de rupere (exemplu : fonta, sticla, otelul de

rezistenţă mare, etc.).

Rezistenţa admisibilă poate fi definită în comparaţie cu o stare limită,

periculoasă, care trebuie evitată .

La materialele tenace, care au limita de curgere σc, rezistenţa admisibilă se

defineşte prin relaţia :

σσ

ac

cc= (1.1a)

unde: cc este coeficientul de siguranţă faţă de limita de curgere.

Alegând în calcul un coeficient de siguranţă corect, se va evita atingerea limitei

de curgere, deci producerea de deformaţii mari, care pot scoate piesa din funcţiune.

La materialele fragile rezistenţa admisibilă se defineşte în funcţie de rezistenţa la

rupere :

σσ

ar

rc= (1.1b)

unde: cr este coeficientul de siguranţă faţă de rezistenţa la rupere.

Verificările efectuate pe diferite (ER) au arătat care ar trebui să fie valorile cele

mai potrivite pentru coeficienţii de siguranţă şi deci şi pentru rezistenţele admisibile.

Spre exemplu, dacă ne referim la oţel rezistenţa admisibilă trebuie să fie inferioară nu

numai limitei de curgere ci şi limitelor de elasticitate şi proporţionalitate.

La alegerea coeficientului de siguranţă trebuie să ţinem seamă de următorii

factori :

a) Natura materialului şi tehnologia de fabricaţie. Fiecare material are

anumite caracteristici mecanice care determină rezistenţa admisibilă.

Coeficientul de siguranţă este cu atât mai mare cu cât materialul este mai

neomogen. Astfel, pentru fontă coeficientul de siguranţă este mai mare decât

pentru oţel, la beton, lemn, coeficientul de siguranţă este mai mare decât la

metale. Structura neuniformă a materialului, existenţa crustelor de turnare,

forjare, laminare sunt factori tehnologici care au efect negativ asupra

rezistenţei admisibile şi deci vom lua în calcul un coeficient de siguranţă mai

mare.

b) Felul solicitării. Prin efectuarea de încercări mecanice (întindere,

compresiune, încovoiere, etc.) s-a constatat că materialele au caracteristici

mecanice diferite în funcţie de modul de solicitare. Unele materiale au totuşi

rezistenţe admisibile egale pentru diferite solicitări de exemplu, oţelul pentru

întindere, compresiune, încovoiere .

c) Modul de acţiune a sarcinilor în timp. La solicitări ale ER cu sarcini statice

coeficientul de siguranţă este mai mic decât la sarcini variabile în timp sau la

sarcini aplicate cu şoc. S-a constatat experimental că un material cu rezistenţa

de rupere σr , supus unor solicitări variabile în timp se rupe la valori σmax

inferioare lui σr. Acestui fenomen i s-a dat numele de oboseală a

materialului. Valoarea limită superioară a lui σmax la care materialul rezistă

la un număr foarte mare de cicluri (ex. 5 ⋅ 107..108 cicluri) fără a se rupe se

numeşte rezistenţă la oboseală.

d) Modul de evaluare a sarcinilor şi de realizare a ipotezelor de calcul. Cu

cât sarcinile sunt mai incert evaluate, cu cât ipotezele şi schemele de calcul au

un grad mai mare de aproximare, cu atât rezistenţele admisibile trebuie să fie

mai mici şi coeficienţii de siguranţă mai mari.

e) Durata de folosire a piesei. Pentru piese cu durată scurtă de funcţionare, se

pot lua coeficienţi de siguranţă mai mici, deci rezistenţe admisibile mai mari.

f) Temperatura. Temperaturile înalte sau scăzute influenţează negativ

rezistenţele admisibile. Pentru (ER) importante care vor lucra la temperaturi

ridicate sau joase, rezistenţa admisibilă se alege în funcţie de caracteristicile

mecanice la temperatura respectivă.

1.5.2. Condiţii de rigiditate

Funcţionarea unor piese este posibilă numai atunci când deformaţiile lor nu

depăşesc anumite limite. Ca exemplu: un arbore ce are deformaţii mari la încovoiere

provoacă o uzură prematură a lagărelor. Din această cauză în calculul de rezistenţă se

impun anumite limite pentru mărimea deformaţiilor şi se spune că ER trebuie să

răspundă unor anumite condiţii de rigiditate date.

1.5.3. Condiţii de stabilitate

La problemele de stabilitate elastică, deşi condiţiile de rezistenţă sunt

satisfăcute, la anumite valori ale sarcinilor, numite valori critice, piesele îşi pot

pierde echilibrul stabil, fapt ce duce la distrugerea lor. Aceste (ER) trebuie să

satisfacă condiţiile de stabilitate, adică sarcinile aplicate să fie inferioare celor

critice.

Se dau câteva valori orientative ale rezistenţelor admisibile în anexa 1. Din acest

tabel se observă că rezistenţele admisibile la încovoiere sunt de obicei cu 10-20%

superioare celor de tracţiune, pe când cele de la forfecare şi răsucire sunt 60-80% din

cele de tracţiune. O excepţie de la această regulă face fonta, ce are rezistenţe

admisibile la compresiune de 2...5 ori mai mari decât la tracţiune.

2. FORŢE EXTERIOARE ŞI FORŢE INTERIOARE

2.1. Forţe exterioare. Clasificare

Construcţiile inginereşti sunt realizate din unul sau mai multe (ER). În

Rezistenţa materialelor se analizează fiecare ER sau subansamblu numai în situaţia

de echilibru sub acţiunea forţelor exterioare, aşa că valoarea torsorului forţelor

exterioare, ce acţionează asupra unui ER sau subansamblu, este totdeauna egal cu

zero.

În cele câte urmează prin forţă se va înţelege noţiunea de forţă generalizată:

forţă sau moment.

În Rezistenţa materialelor noţiunea de forţă exterioară cuprinde atât forţele

aplicate pe suprafaţa ER cât si cele distribuite pe întreaga masă a materialului

cum sunt: greutatea, forţele de inerţie, forţele electromagnetice, datorită dilatării

împedicate, etc., precum şi forţele de legătură dintre (ER) numite reacţiuni.

Forţele exterioare se pot clasifica astfel:

a) după natura lor:

- sarcini sau forţe active;

- reacţiuni sau forţe de legătură.

b) după locul de aplicare:

- de suprafaţă sau de contur, ce se aplică în exteriorul ER;

- de volum sau masice, ce sunt distribuite în întregul volum al ER.

c) după mărimea suprafeţei pe care se aplică, forţele de suprafaţă pot fi:

- concentrate, ce se consideră aplicate într-un punct şi constituie o

schematizare a forţelor distribuite pe o suprafaţă foarte mică, în raport cu

suprafaţa (ER), (fig. 2.1,a);

- distribuite, ce se repartizează uniform sau cu intensitate variabilă pe

o suprafaţă sau în lungul unei linii (fig. 2.1,b).

Forţele concentrate se măsoară în N, kN, MN, etc. iar cele distribuite pe

suprafaţă se măsoară în N/m2 sau Pa, N/mm2 sau MPa, kN/m2, etc. iar cele distribuite

în lungul unei linii în N/m, kN/m, etc.

Sarcinile aplicate (ER) pot fi clasificate astfel:

a) După provenienţă:

-sarcini permanente, ce-şi păstrează intensitatea constantă (exemplu:

greutatea proprie a ER);

-sarcini utile formate din acelea ce rezultă din rolul funcţional al ER

(exemple: greutatea autovehiculelor pentru un pod, încărcătura pentru

mijloacele de transport, forţa de aşchiere pentru scule, etc.);

-sarcini accesorii ce apar în timpul funcţionării (exemple: forţe de

inerţie, forţe de frecare, dilatare împiedicată, etc.);

-sarcini accidentale, ce acţionează intermitent şi neregulat (exemple:

acţiunea vântului, greutatea zăpezii, etc.);

-sarcini extraordinare, ce acţionează întâmplător dar pot avea efect

catastrofal (exemple: incendiile, exploziile, inundaţiile, cutremurele de

pământ, etc.).

Fig. 2.1.

Sarcinile permanente, utile şi accesorii se numesc sarcini fundamentale.

b) După modul de acţiune în timp se pot clasifica în:

-sarcini statice, ce se aplică lent iar apoi îşi păstrează intensitatea

constantă (fig.2.2,a);

-sarcini dinamice, ce se aplică cu viteză variabilă relativ mare şi care pot

fi:

-sarcini aplicate brusc, ce produc şoc (fig.2.2,b);

-sarcini variabile în timp a căror intensitate variază periodic

după o anumită lege, (fig.2.2,c).

c) După poziţia sarcinii pe ER

-sarcină fixă, ce acţionează în acelaşi loc pe toată durata funcţionării

construcţiei (exemplu: greutatea proprie);

-sarcină mobilă, a cărei poziţie este variabilă (exemplu: greutatea unui

vehicul pe un pod).

Fig. 2.2

2.2. Reacţiuni

Reacţiunile sau forţele de legătură reprezintă acţiunea mecanică a legăturilor

ER cu alte (ER) şi iau naştere la acţiunea sarcinilor asupra ER respectiv.

Tabelul 2.1.

Legăturile, anulează unul sau mai multe grade de libertate ale ER,

restrângându-i posibilităţile de mişcare. Conform axiomei legăturilor, efectul

legăturii unui ER, supus acţiunii sarcinilor, poate fi întotdeauna înlocuit prin

reacţiuni (forţe de legătură), corespunzătoare, ce se determină din condiţiile de

echilibru. Când numărul ecuaţiilor de echilibru distincte este egal cu cel al

reacţiunilor ER constituie un sistem static determinat, iar când numărul ecuaţiilor

de echilibru este mai mic decât numărul reacţiunilor, sistemul este static

nedeterminat. Gradul de nedeterminare este dat de diferenţa dintre numărul

reacţiunilor şi numărul ecuaţilor de echilibru. Ridicarea nedeterminării, se realizează

în Rezistenţa materialelor , prin introducerea condiţiilor geometrice de deformare.

Felul legăturilor care pot apărea la capătul unei bare şi modul de inlocuire cu

reacţiuni sunt redate în tabelul 2.1.

Evaluarea sarcinilor şi determinarea reacţiunilor constituie una din problemele

importante ale rezistenţei materialelor.

Spre deosebire de mecanica teoretică, în Rezistenţa materialelor forţele sunt

vectori legaţi de punctul de aplicaţie. Schimbarea punctului de aplicaţie a forţei

nu schimbă starea de echilibru dar poate modifica starea de solicitare a ER.

2.3. Forţe interioare

Forţele interioare sau eforturile se produc în interiorul ER când acesta este

acţionat de forţe exterioare. Pentru determinarea eforturilor, Rezistenţa materialelor

utilizează metoda secţiunilor, a lui Cauchy. Această metodă este echivalentă cu

teorema echilibrului părţilor: dacă un ER este în echilibru sub acţiunea unui

sistem de forţe, atunci şi o parte oarecare din acest corp este, de asemenea în

echilibru sub acţiunea forţelor corespunzătoare acestei părţi.

Această metodă constă în:

- secţionarea imaginară a ER, în locul unde urmează să fie determinate forţele

interioare (eforturile) aferente;

- reprezentarea, pe porţiunile ER obţinute, a forţelor exterioare şi a celor

interioare aferente;

- scrierea ecuaţiilor de echilibru pentru sarcinile exterioare şi eforturi,

reprezentate pentru una din porţiunile ER secţionat.

Se consideră o bară oarecare acţionată de un sistem de forţe F1, F2...Fn (figura

2.3-a), care se secţionează cu un plan imaginar Q, normal pe axa barei. Prin

secţionare se obţin două părţi: şi . Cele două părţi ale barei se echilibrează prin

forţele interioare distribuite p, ce se produc pe feţele de separaţie A (fig.2.3,b).

Forţele distribuite pe suprafaţa A a părţii , se reduc în centrul de greutate O2 la o

forţă rezultantă R2 şi un moment rezultant M02. Acestea constituie totodată efectul

părţii asupra părţii . Deci, forţele p de pe faţa A a părţii sunt echivalente cu

torsorul de reducere în 02 a forţelor ce acţionează asupra părţii (fig.2.3c).

La fel, dacă se reprezintă partea ; acţiunea părţii asupra părţii este

echivalentă, în O1, cu rezultanta R1 şi momentul rezultant M01.

Fig. 2.3

Acţiunea părţii , asupra părţii este egală şi de sens contrar cu acţiunea

părţii asupra părţii (conform principiului acţiunii şi reacţiunii) şi rezultă:

R R R1 2= = şi M M M01 02 0= = .

Elementele torsorului de reducere în centrul de greutate a secţiunii al

forţelor ce acţionează asupra părţii din stânga sunt egale şi de sens contrar cu

elementele torsorului de reducere, în acelaşi punct, al forţelor ce acţionează

asupra părţii din dreapta.

Elementele R1 , M01, şi respectiv R2, M02 ce asigură echilibrul fiecărei părţi se

numesc forţe interioare.

Acestea sunt, totodată, rezultantă şi respectiv momentul rezultant al forţelor

interioare elementare ce se produc între particulele celor două părţi la acţiunea

sarcinilor. Prin separarea, printr-un plan imaginar, a celor două părţi forţele interioare

au fost transpuse în categoria forţelor exterioare şi luate în considerare ca atare.

Proiectând elementele torsorului de reducere în O, pe axele de coordonate, se

obţin şase componente: trei forţe: N, Ty, Tz şi trei momente: Mt, My, Mz (fig.2.3,d).

Componentele N, Ty, Tz, Mt, My, Mz se numesc eforturi secţionale sau eforturi din

secţiune şi le vom numi EFORTURI. Fiecare efort are o denumire, îi corespunde o

deplasare (deformaţie) şi produce o solicitare simplă asupra barei.

Forţa normală sau forţa axială N (fig. 2.3,d), este egală cu suma algebrică,

luată cu semn schimbat, a proiecţiilor pe axa x, a tuturor forţelor situate în stânga (sau

la dreapta, luate cu acelaşi semn) secţiunii considerate:

N F Fx x= − =∑ ∑1 2

. (2.1)

unde 1 înseamnă că se iau forţele de pe partea stângă, iar 2, forţele de partea dreaptă.

Forţa normală se consideră pozitivă când produce solicitarea de întindere,

care lungeşte bara şi negativă când produce solicitarea de compresiune, care

scurtează bara.

Forţa tăietoare Ty, respectiv Tz, este egală cu suma proiecţiilor pe axele 0y şi

respectiv 0z, din planul secţiunii, luate cu semn schimbat, a tuturor forţelor situate la

stânga (sau la dreapta cu acelaşi semn) secţiunii considerate:

T F F T F Fy y y z z z= − = = − =∑∑ ∑∑21 21

; . (2.2)

Forţa tăietoare Ty este pozitivă dacă deplasează secţiunea în sens contrar

axei 0y, în planul x0y, iar Tz în sens contrar axei 0z. Forţele tăietoare produc

solicitarea de forfecare sau tăiere.

Momentul încovoietor Mz, respectiv My, este egal cu suma momentelor în

raport cu axa 0z, respectiv 0y, din planul secţiunii, a tuturor cuplurilor de forţe şi

momentelor forţelor, situate la stânga (sau la dreapta luate cu minus) secţiunii

considerate:

M M Mz z z= = −∑ ∑1 2

şi M M My y y= = −∑ ∑1 2

. (2.3)

Momentele încovoietoare produc solicitarea de încovoiere. Deformaţia

produsă de momentul încovoietor este de rotire a secţiunii în jurul axei

respective: Mz, în jurul axei Oz şi respectiv My în jurul axei Oy. Momentul Mz se

consideră pozitiv, când comprimă fibra superioară şi întinde pe cea înferioară,

iar My este pozitiv când comprimă fibra din partea pozitivă a axei Oz şi întinde fibra

din partea negativă (fig. 2.4).

Momentul de răsucire Mt este egal cu suma algebrică a momentelor forţelor

şi a cuplurilor situate la stânga secţiunii (sau la dreapta luate cu semn minus) faţă de

axa Ox:

M M Mt x x= = −∑ ∑1 2

. (2.4)

Momentul de torsiune este pozitiv atunci când forţele sau cuplurile din

stânga secţiunii rotesc în sens orar, iar cele din dreapta în sens antiorar.

Prezenţa simultană în secţiunea barei a două sau mai multe eforturi

produc, în bară, o solicitare compusă.

În general, se determmină eforturile de pe faţa din dreapta secţiunii (O2yz din

fig.2.3,d) şi în acest caz se reduc forţele din partea stângă a secţiunii. Când este mai

simplu să se reducă forţele din partea dreaptă atunci se obţin eforturile de pe faţa din

stânga, care au însă sensuri opuse faţă de cele determinate în primul caz. Dacă s-au

dedus forţele de pe partea din stânga a secţiunii şi trebuie raportate la faţa din dreapta

atunci acestora li se schimbă semnul.

De reţinut că reprezentarea interacţiunii, prin forţe aplicate în O, este o

reprezentare convenţională simplă a fenomenului complex de interacţiune între cele

două părţi, (fig.2.3,b).

Observaţie: Se pot obţine, mai simplu, eforturile din secţiune procedând astfel:

a) se analizează în ce parte a secţiunii sunt mai puţine forţe şi se ia în

considerare numai forţele din acea parte (din stânga sau din dreapta);

b) se descompune fiecare forţă, din acea parte, după direcţiile axelor în secţiune;

c) se reduce fiecare componentă obţinută din forţe, în centrul de greutate al

secţiunii;

d) se însumează proiecţiile forţelor şi ale momentelor corespunzătoare pentru

fiecare axă în parte, ţinând seama de regula de semne, obţinându-se astfel:

- N = suma proiecţiilor forţelor pe axa Ox;

- Ty= suma proiecţiilor forţelor pe axa Oy;

- Tz= suma proiecţiilor forţelor pe axa Oz;

- My= suma proiecţiilor momentelor pe axa Oy;

- Mz= suma proiecţiilor momentelor pe axa Oz;

- Mt= suma proiecţiilor momentelor pe axa Ox.

Fig. 2.4

2.4. Funcţii de eforturi

Valorile eforturilor din secţiune (N, Ty, Tz, My, Mz, Mx) variază în lungul barei,

în funcţie de modul de încărcare şi de forma barei. Una din problemele principale, ale

calculului de rezistenţă, este cunoaşterea valorilor eforturilor din fiecare secţiune

transversală. Astfel, se exprimă variaţia fiecărui efort în funcţie de coordonatele

punctelor axei şi se obţine câte o funcţie de eforturi. Pentru o bară dreaptă, ce are

axa orientată, după Ox, funcţiile de efort se exprimă în dependenţă de abscisa x a

secţiunii: N = N(x); Ty = Ty(x);... Mz = Mz(x).

Variaţia eforturilor în lungul axei barei, sub acţiunea sarcinilor fixe, poate fi

urmărită cel mai bine pe

diagramele de eforturi. Acestea

sunt reprezentări grafice ale

funcţiilor de eforturi în funcţie de

abscisa secţiunii “x” de pe axa

barei. Diagrama de efort se obţine

prin trasarea unei linii subţiri

care să unească punctele ce

satisfac ecuaţia funcţiei efortului

respectiv. Aceasta se reprezintă în

lungul unei linii de referinţă,

trasată cu linie groasă, paralelă şi

de lungime egală cu axa barei.

Astfel, pentru fiecare efort se

trasează câte o diagramă.

În practică se întâlnesc

frecvent bare drepte sau curbe Fig. 2.5

plane, ce sunt încărcate cu forţe conţinute în planul de simetrie longitudinal al barei.

În figura (2.5,a), s-a reprezentat o astfel de bară unde s-a notat cu xOy planul forţelor.

S-au determinat reacţiunile şi apoi eforturile din secţiunea aflată la abscisa “x” de

reazemul 1. În figura (2.5,b) s-a reprezentat bara respectivă pe care s-au figurat

reacţiunile şi respectiv eforturile interioare din secţiunea de abscisă “x”.

În acest caz particular se pot determina eforturile:

a) forţa axială, egală cu suma algebrică a proiecţiilor forţelor exterioare aplicate

în stânga (sau în dreapta) secţiunii considerate pe axa barei;

b) forţa tăietoare, T=Ty, egală cu suma algebrică a proiecţiilor pe axa Oy a

tuturor forţelor situate la stânga (sau la dreapta) secţiunii considerate;

c) momentul încovoietor, M=Mz, egal cu suma algebrică a momentelor forţelor

în raport cu axa Oz, a tuturor forţelor şi momentelor situate în stânga (sau în

dreapta) secţiunii considerate.

În mod uzual, pentru trasarea diagramelor de eforturi pentru sarcini conţinute

într-un singur plan, se foloseşte schema plană din figura (2.5,d). Eforturile secţionale,

din stânga respectiv din dreapta secţiunii, se reprezintă ca în figura 2.5,d.

Regula de semne pentru starea plană, este dată în figura 2.6:

- forţa axială N, este pozitivă când lungeşte elementul de bară (fig.2.6,a) şi

negativă când scurtează elementul de bară.

- forţa tăietoare T, este pozitivă când are tendinţa să rotească în sens orar

elementul de bară (fig.2.6,b);

Fig. 2.6

- momentul încovoietor M, se consideră pozitiv când roteşte cele două feţe

laterale, curbând fibrele, astfel ca fibrele superioare să se scurteze iar cele

inferioare să se lungească (fig.2.6,c).

2.5. Relaţii diferenţiale între sarcini şi eforuri

Trasarea diagramelor de eforturi poate fi mult uşurată dacă se cunosc atât

funcţiile de eforturi cât şi relaţiile diferenţiale între eforturi şi diferite sarcini.

Pentru a stabili relaţiile diferenţiale dintre sarcini şi eforturi se consideră un

element de bară curbă plană, asupra căruia acţionează un sistem de sarcini conţinute

în planul axei barei. Elementul de bară, de lungime infinit mică ds, are raza de

curbură r, iar unghiul format de cele două secţiuni este dα. Lungimea elementului

este ds = r ⋅ dα (fig.2.7,a).

Asupra elementului ds se consideră că acţionează sarcinile:

- q, uniform distribuită pe lungimea ds, a elementului;

- F şi Me, concentrate şi acţionând în secţiunea ce trece prin punctul 0.

Fig. 2.7

Aşa cum s-a arătat şi la observaţiile de la §2.3, aceste sarcini trebuie

descompuse după direcţiile axelor de coordonate şi se consideră că acţionează

asupra axei barei. În figura (2.7,b) s-a reprezentat modul de acţiune al sarcinilor. Tot

în figura (2.7,b) s-au reprezentat eforturile: N, T, M în secţiunea O şi

respectivN N+ ∆ , T+∆T şi M+∆M în secţiunea A.

Conform metodei secţiunilor (a lui Cauchy) dacă elementul iniţial este în

echilibru atunci şi porţiunea din element de lungime ds, va trebui să fie în echilibru.

Se pot scrie în acest caz ecuaţiile:

( ) ( )

X

N N d N T T d X p dsX

=

+ ⋅ − − + ⋅ + + ⋅ =∑ 0

0

,

cos sin ,∆ ∆α α

( ) ( )

Y

T T d T N N d Y pds

=

+ ⋅ − + + ⋅ + + =∑ 0

0

;

cos sin ;∆ ∆α α (2.5)

( ) ( ) ( ) ( )

M

M M M N N r d T T r d p ds ds M

O

e

=

+ − − + ⋅ ⋅ − − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − =

∑ 0

12

0

;

cos sin .∆ ∆ ∆α α

Întrucât unghiul dα este foarte mic se aproximează:

sind dα α≅ şi cos .dα = 1

Dacă se neglijează produsele infiniţilor mici relaţiile (2.5) devin:

∆

∆∆

N T d X p dsT N d Y p dsM T r d M

X

e

− ⋅ + + ⋅ =

+ ⋅ + + ⋅ =− ⋅ ⋅ − =

α

αα

00

0

;;

. (2.6)

Aceste relaţii conţin termeni de mărime finită şi de mărime infinit mică. Dacă

se neglijează termenii infiniţi mici faţă de termenii finiţi se obţin ecuaţiile:

∆ ∆ ∆N X T Y M M e= − = − =, , (2.7)

Neglijarea termenilor infinit mici se poate face (şi trebuie să se facă) numai în

dreptul sarcinilor concentrate. Din relaţiile (2.7) rezultă: în dreptul unei sarcini

concentrate cel puţin un efort are un salt egal cu valoarea componentei sarcinii

concentrate pe direcţia respectivă. Spre exemplu, în dreptul unei forţe concentrate

longitudinale X, în diagrama de forţe axiale va apare un salt egal cu valoarea

componentei X, în dreptul unei forţe concentrate transversale Y, în diagrama forţelor

tăietoare va trebui să existe un salt egal cu valoarea componentei Y, iar în dreptul

unui moment concentrat Me, în diagrama momentelor încovoietoare apare un salt

egal cu valoarea momentului Me.

Dacă, pe elementul ds, nu sunt aplicate sarcini concentrate (X=0, Y=0 şi

Me=0) atunci relaţiile (2.7) trebuie să conţină numai termenii cu infiniţi mici. În acest

caz şi variaţia eforturilor trebuie să fie infinit mică, aşa că se consideră:

∆ ∆ ∆N dN T dT M dM→ → →, , . Ţinând seama de aceste relaţii şi că ds=r⋅dα, din (2.6) se obţine:

dNds

Tr

p dTds

Nr

p dMds

TX= − = − − =, , . (2.8)

În cazul barelor drepte (r = ∞; rezultă ds = dx) şi în absenţa forţelor axiale

relaţiile (2.8) devin:

dMdx

T dTdx

p= = −, . (2.9)

Pe baza acestor relaţii rezultă:

- derivând expresia momentului încovoietor în raport cu variabila “x” se

obţine expresia forţei tăietoare;

- derivând expresia forţei tăietoare în raport cu variabila “x” se obţine

expresia sarcinii distribuite cu semnul minus.

Derivând încă o dată prima relaţie şi ţinând seama de a doua, se obţine:

d Mdx

dTdx

p2

2 = = − . (2.10)

Observaţii:

a) Relaţiile (2.8), (2.9) şi (2.10) sunt relaţii diferenţiale ale funcţiilor de eforturi

N(x), T(x) şi M(x). Diagramele de eforturi reprezintă integralele acestor

expresii.

b) Relaţia (2.10) arată că ecuaţia forţei tăietoare se

poate obţine, fie din integrarea expresiei

sarcinii, fie din derivarea expresiei momentului

încovoietor.

c) Dacă sarcinile sunt conţinute în planul xOy

(fig.2.8) ecuaţiile de echilibru sunt:

( )

( )

− + ⋅ + + =

− ⋅ + ⋅ ⋅ − − =

T p dx T dT

M T dx p dx dx M dM

Z Z Z Z

Y Z Z Y Y

0

20

,

astfel se obţine:

dMdx

T dTdx

pyz

zz= = −, , (2.11,a)

d Mdx

Tdx

pY zz

2

2 = = − . (2.11,b)

2.6. Reguli practice pentru trasarea diagramelor de eforturi

Pentru cazul când forţele transversale sunt nule (Y= 0; p= 0), din relaţiile

(2.10) se obţine:

T C M C x Ci= = ⋅ +1 1 2, . (2.12)

Deci, când forţele transversale sunt nule,

forţa tăietoare este constantă iar momentul

încovoietor variază liniar (fig.2.9,a şi b). C1 şi C2

sunt constante de integrare şi reprezintă forţa

tăietoare, respectiv momentul încovoietor, la

limita din stânga sau din dreapta secţiunii

considerate.

Fig. 2.8

Fig. 2.9

Dacă pe o porţiune de bară se aplică o forţă transversală uniform distribuită (p

= ct.) atunci din relaţiile (2.10) se obţine:

T C p x= − ⋅1 1 (variaţie liniară),

232 xpxCCM ⋅−⋅+= (variaţie parabolică). (2.13)

Pentru acest caz, s-au reprezentat câteva moduri de variaţie a forţei tăietoare şi

momentului încovoietor, pentru o porţiune de bară (fig.2.10).

Relaţia a doua (2.10) arată că forţa tăietoare este egală cu panta la curba

momentelor încovoietoare.

Din figurile 2.9 şi 2.10 se observă că pe porţiunea unde:

T teT eT trece prin zero T

> →< →

→

= → =

00

0

M cres M scad

M sau M M ct

,,

,.

max min

(2.14)

Dacă se ţine seama de relaţiile (2.7), în cazul acţiunii sarcinilor concentrate,

rezultă că unei variaţii bruşte a forţei tăietoare îi corespunde o schimbare bruscă a

pantei momentului încovoietor. Aşa că diagrama de momente are un punct de

schimbare a pantei tangentei (se frânge) în dreptul sarcinii transversale

concentrate.

Pe lângă regulile menţionate mai sus, pentru trasarea diagramelor de eforturi,

este necesar să se respecte următoarele etape:

a) se eliberează bara de legături, se reprezintă reacţiunile şi se determină valorea

acestora din ecuaţiile de echilibru ;

b) se alege un sens de parcurs al barei, adică o origine axei Ox şi sensul acesteia,

care poate fi de la stânga la dreapta sau de la dreapta la stânga, de sus în jos

sau de jos în sus etc.;

c) se stabilesc funcţiile de eforturi, adică expresiile N(x), T(x) şi M(x) pentru

fiecare tronson de bară;

d) pentru fiecare efort existent se trasează câte o linie de referinţă groasă,

paralelă cu axa barei şi de aceeaşi lungime cu aceasta;

e) forţele axiale, forţele tăietoare şi momentele de răsucire pozitive se reprezintă

la scară deasupra liniei de referinţă; momentele de încovoiere pozitive se

reprezintă sub linia de referinţă;

f) reprezentarea eforturilor în diagrame se face prin trasarea unor segmente de

dreaptă perpendiculare pe linia de referinţă, ce reprezintă la scară,

valoarea efortului respectiv.

Fig. 2.10

2.7. Diagrame de eforturi

Diagramele de eforturi sunt necesare pentru determinarea secţiunii periculoase

şi de aceea se trasează întotdeauna pentru toate barele solicitate. Pe diagrame se

observă imediat atât solicitările cât şi secţiunile cele mai solicitate (periculoase),

precum şi valorile extreme ale eforturilor.

2.7.1. Bare drepte solicitate de forţe axiale

În aceste cazuri forţele exterioare ce acţionează în lungul barei se reduc la

rezultante a căror suport este chiar axa barei.

Aplicaţia 2.1. Să se traseze diagrama

de eforturi pentru bara cu încărcarea din

figura 2.11.

Eforturile sunt:

N1s= 0; N1d= N2s= -5P; N2d= N3s= P;

N3d= N4s= 5P; N4d= N5s= 3P; N5d= N6s=

-P; N6d= 0.

Aplicaţia 2.2. Un stâlp vertical solicitat de sarcina

axială P=500 kN este format din două tronsoane şi se

sprijină pe un bloc de beton. Atât stâlpul, pe cele

două tronsoane cât şi fundaţia au secţiuni constante

şi lungimile din figura 2.12. Greutatea distribuită pe

lungimea 1-2 este de q1= 25 kN/m, pe porţiunea 2-3,

q2= 35 kN/m, iar a fundaţiei de q3= 90 kN/m. Să se

traseze daigramele de eforturi.

Fig.2.11

Fig. 2.12

Într-o secţiune oarecare, la abscisa x1, forţa axială este:

N(x1)= - P- q1⋅x 1,

Nx1= - 500 - 25⋅x1,

deci, variază liniar.

Valorile extreme sunt:

N1= - 500 kN, N2= - 500 - 25⋅3= - 575 kN.

Într-o secţiune oarecare pe tronsonul 2-3 forţa axială are expresia:

N(x2)= - P- q1⋅l1- q2⋅x2,

iar valorile extreme vor rezulta:

N2= - 500 - 25 ⋅3=- 575 kN, N3= - 500 - 25 ⋅3 - 35 ⋅3 = - 680 kN

Într-o secţiune pe porţiunea fundaţiei forţa axială este dată de expresia:

N(x3) = - P - q1⋅l1- q2⋅l2- q3⋅x3,

iar valorile extreme sunt:

N3= - 500 - 25⋅3 - 35⋅3= - 680 kN,

N4= - 500 - 25⋅x3 - 35⋅x3 - 90⋅x2 = - 905 kN.

Diagrama de variaţie a eforturilor axiale este redată în dreapta barei.

2.7.2. Bară (grindă) dreaptă solicitată la încovoiere

Pentru început se vor considera barele drepte solicitate de forţe exterioare

verticale situate în unul din planele de simetrie longitudinale ale barei. În acest caz în

secţiunile transversale ale barei, la acţiunea sarcinilor se produc: forţe axiale, forţe

tăietoare şi momente de încovoiere.

2.7.2.1. Bara în consolă

La barele în consolă (încastrate la un capăt şi libere la celălalt) diagramele de

eforturi se pot trasa şi fără calculul prealabil al reacţiunilor. În acest caz se consideră

originea sistemului de referinţă în capătul liber, iar reacţiunile vor fi egale cu valorile

eforturilor din încastrare.

Aplicaţia 2.3. Bara încastrată la un capăt şi încărcată la celălalt cu o sarcină

concentrată (fig.2.13). În figura (2.13,a), bara are capătul liber în dreapta, iar în figura

(2.13,b), capătul liber este în stânga.

Pentru bara din figura (2.13,a), funcţiile de eforturi sunt:

Tx = P = ct.

Mx = - P⋅x (variază liniar) şi are valorile M0= 0 şi M1= - P⋅l

Pentru bara din figura (2.13,b) eforturile sunt:

Tx = - P = ct.

Mx = - P⋅x, M0 = 0 şi M1= - P⋅L.

Observaţie: Forţele tăietoare sunt egale în valoare absolută, dar diferă ca

semn.

Aplicaţia 2.4 Bara în consolă solicitată de o forţă transversală uniform

distribuită (fig.2.14).

În secţiunea x eforturile sunt:

Tx = - p⋅x (dreaptă),

Mx = - p⋅x⋅x/2 = - p⋅x2/2 (parabolă),

a b

Fig. 2.13

iar valorile extreme rezultă:

T0= 0; T1= - p⋅L; M0= 0; M1= - p⋅L2/2.

Reacţiunile din încastrare sunt:

V1= p⋅L; M1 = - p⋅L2/2.

Aplicaţia 2.5. Bară în consolă solicitată de o forţă liniar distribuită (fig. 2.15).

Încărcarea este determinată de intensitatea maximă a sarcinii p0. Sarcina totală

pe bară este de P = p0⋅L/2, iar intensitatea sarcinii într-o secţiune oarecare, la distanţa

x de capăt, este:

p p xL

= ⋅ −

0 1 .

Eforturile în secţiunea x sunt:

( )T p p x p x x

Lx = − + ⋅ = −⋅

⋅ −

0

0

2 22 ,

M p x x p x x p x x

Lx = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −⋅

⋅ −

0

02

223 2 3 6

3 .

Se observă că forţa tăietoare variază după o parabolă de gradul 2, iar momentul

încovoietor după o parabolă de gradul 3. În cele două capete ale barei eforturile vor

avea valorile:

Fig. 2.15 Fig. 2.14

T0=0, M0=0, T1= - p0⋅L/2, M1= - p0⋅L/3,

iar reacţiunile vor fi:

V p L1 0 2= ⋅ , M p L

10

2

3= −

⋅ .

Observaţii:

a) Forţa tăietoare într-o secţiune oarecare x este egală cu suprafaţa diagramei

forţelor distribuite pe lungimea Ox;

b) Momentul încovoietor într-o secţiune x este produsul între rezultanta forţelor

pe lungimea Ox şi distanţa de la secţiunea x, la rezultantă.

2.7.2.2. Bara (grinda) simplu rezemată

Bara simplu rezemată are la un capăt un reazem simplu iar la celălalt o

articulaţie. În articulaţie se vor considera două componente ale reacţiunii şi anume V

pe verticală şi H pe orizontală. În reazemul simplu apare o singură reacţiune şi anume

o forţă normală pe suprafaţa de rezemare.

Distanţa dintre cele două reazeme, este L şi se numeşte deschiderea barei

(grinzii).

Aplicaţia 2.6. Bara simplu rezemată

solicitată de o forţă concentrată Q ce

acţionează oblic (fig.2.16).

Se descompune forţa Q în componentele:

P = Q⋅cosα şi H = Q⋅sinα.

Reacţiunile au valorile:

H2 = H = Q⋅sinα; V1= P⋅b/L şi V2 = P⋅

a/L.

Fig. 2.16

Într-o secţiune oarecare x, situată în stânga sarcinii Q eforturile sunt:

Nx= 0; Tx= V1= P⋅b/L; Mx= V1⋅x= P⋅b⋅x/L.

Forţa axială şi forţa tăietoare au valori constante,

N1d= 0; T1d= V1= P⋅b/L,

M1= 0; M3s= P⋅a⋅b/L.

Considerând originea în 2 (pornind din partea dreaptă) se obţin eforturile în

secţiunea x1:

Nx1= H2= Q⋅sinα; Tx1= - P⋅a/L,

Mx1= V2⋅x1= P⋅a⋅x1/L.

Eforturile în secţiunile 2 şi 3 sunt :

N2s= N3d= Nx1= Q⋅sinα;

T2s=T3d= V2= - P⋅a/L;

M2= 0; M3d= P⋅a⋅b/L.

Observaţii:

a) Forţa axială are valoare constantă şi diferită de zero între articulaţie şi punctul

de aplicaţie al forţei Q.

b) Forţa tăietoare are valoare constantă, egală cu valoarea reacţiunii V1 pe

porţiunea 1-3, are un salt egal cu valoarea componentei verticale P în

dreptul forţei Q, iar pe porţiunea 3-2 are valoare constantă şi egală şi de sens

opus reacţiunii V2.

c) Momentul încovoietor are variaţie liniară pe ambele porţiuni (unde forţele

tăietoare sunt constante) şi este maxim în dreptul forţei concentrate (unde

forţa tăietoare trece prin zero).

Dacă poziţia forţei este variabilă pe bară, se poate determina poziţia pentru care

se poate produce cel mai mare moment încovoietor, numit moment maxim-

maximorum. Aceasta se obţine înlocuind b = L - a, în ecuaţia momentului maxim,

derivând în raport cu a şi considerând derivata egală cu zero:

( ) ( )d

daM d

daP a L a

LPL

L amax = ⋅ ⋅−

= − ⋅ =2 0

din care rezultă distanţa a pentru care se

obţine momentul cel mai mare. Aceasta se

produce când sarcina acţionează la mijlocul

barei: a = L/2 (fig.2.17).

În acest caz, din cauza simetriei,

reacţiunile sunt:

V1= V2= P/2.

Eforturile în secţiunea x (din stânga)

sunt:

Tx= V1= P/2,

Mx= V1⋅x = P⋅x/2

şi în secţiunea x1 (din dreapta):

Tx1= - V1= - P/2,

Mx1= V2⋅x1= P⋅x1/2.

Momentul încovoietor maxim, în secţiunea din dreptul forţei este:

M P L

max .=⋅4

Aplicaţia 2.7. Să se determine poziţia a

două forţe concentrate P1 ≥ P2, mobile pe o bară

simplu rezemată, care produc momentul

maxim-maximorum (fig. 2.18).

Rezultanta celor două forţe este:

R = P1+P2,

ce acţionează la distanţa “x” de mijlocul

deschiderii barei şi la distanţa “a” de forţa cea mai mare, P1.

Fig. 2.17

Fig. 2.18

Reacţiunea din reazemul 1 este:

VR L x

L12=

⋅ −

.

Momentul maxim este în dreptul forţei P1, şi are expresia:

( )M V L x a L a L x a x RLmax .= ⋅ + −

= − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅1

2 2

22 4 4

4

Momentul maxim-maximorum se obţine pentru valoarea lui x ce anulează

derivata expresiei momentului încovoietor maxim:

( )dM

dxx a R

Lmax ,= − ⋅ + ⋅ =2

40

adică pentru x = a/2.

Pentru x = a/2 rezultă momentul maxim-maximorum :

( ) ( ) .L4aLPPM

2

21max max−

⋅+= (2.15)

Observaţie: Dacă pe o bară se mişcă un convoi de forţe concentrate P1, P2,

P3,..Pk,...Pn, (fig.2.19) în care Pk este forţa ce are valoarea cea mai mare din imediata

vecinătate a rezultantei, momentul maxim se va produce în dreptul acesteia. Notând

cu x distanţa de la mijlocul barei la rezultanta forţelor aflate pe bară şi cu “a” distanţa

dintre rezultantă şi forţa Pk, se poate calcula reacţiunea V1 şi apoi momentul maxim:

VR L x

L12=

⋅ −

,

M V L x a P c RL

L a L a x x P ci ii

k

i ii

k

max = ⋅ + −

− ⋅ = ⋅ −

⋅− ⋅ −

− ⋅

=

−

=

−

∑ ∑11

12

1

1

2 4 2.

În care s-a notat cu Pi sarcinile aflate la stânga forţei Pk , iar cu ci distanţa de la forţa

Pk la forţele Pi

Prin derivare şi anularea derivatei momentului maxim se obţine distanţa x = a/2

pentru care se produce Mmax-max :

( )M R L a P cmam i ii

k

max = ⋅ − − ⋅=

−

∑42

1

1

.

Aplicaţia 2.8. Bară simplu rezemată, solicitată de sarcini transversale uniform

distribuite (fig.2.20).

Încărcarea fiind simetrică reacţiunile sunt:

V1= V2= p1⋅L/2.

Eforturile într-o secţiune x sunt:

Tx= V1- p⋅x = p ⋅ (L/2 - x), (variază liniar);

Mx= V1⋅x - p⋅x⋅x/2 = p⋅x⋅(L - x)/2, (variază

parabolic).

Valorile în punctele de rezemare sunt:

T1= V1= p ⋅L/2, M1= 0,

T2= V2= - p ⋅L/2, M2= 0.

La distanţa x0= L/2; T = 0 şi deci

Mmax= p ⋅L2/8.

Fig. 2.19

Fig. 2.20

Observaţie:

Dacă se notează cu P = p ⋅L, sarcina de

pe bară, se observă că momentul maxim

(Mmax= p⋅L2/8) este jumătate din

momentul maxim produs de sarcina

concentrată P care ar acţiona la mijlocul

barei, când Mmax= P⋅L/4 (vezi fig.2.17).

Aplicaţia 2.9. Bară simplu rezemată

solicitată de o sarcină transversală ce

variază liniar (fig.2.21).

Reacţiunile au valorile:

VL

p L L p L

VL

p L L p L

1

2

12 3 6

12

23 3

= ⋅⋅

⋅ =⋅

= ⋅⋅

⋅⋅

=⋅

,

.

Valoarea sarcinii în secţiunea x

este:

p p x

Lx = ⋅ .

Eforturile în secţiunea x sunt:

T V x p p L p xLx x= − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅1

212 6 2

, (parabolă de gradul 2),

M V x x p x

p L x p x xL

x p L xL

x

x x= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

=⋅

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅−

⋅

1

2 2

12 3

6 2 3 6, (parabolă de gradul 3).

Valorile eforturilor în reazeme sunt:

Tmax= T1= V1= p ⋅L/6, M1= 0,

Tmin= T2= - V2=- p ⋅L/3, M2= 0.

Fig. 2.21

Din condiţia:

T p L p xLx =

⋅ −⋅

=6 2

002

,

rezultă abscisa secţiunii unde momentul încovoietor are valoarea maximă:

x L L0 30 5574= = ⋅, ,

iar momentul maxim, rezultă:

M p L x x p Lmax = ⋅

−⋅ =

⋅202

0

2

6 9 3.

Aplicaţia 2.10. Bară simplu rezemată

solicitată de un cuplu Me, (fig.2.22).

Reacţiunile din reazeme sunt:

V V ML

e1 2= = .

Eforturile în secţiunea x respectiv x1 sunt:

T T V MLX X

e= = =1 1 , (constantă),

M V x M xLx e= − ⋅ = − ⋅1 ,(variaţie liniară),

M V x M xLX e1 2 1

1= ⋅ = ⋅ ,(variaţie liniară).

Momentul încovoietor este zero în reazeme (x = 0 şi x1 = 0) şi are valorile

extreme la stânga şi respectiv la dreapta secţiunii 3 şi sunt:

M V a aL

Ms e3 1= − ⋅ = − ⋅ , M V b bL

Md e3 2= ⋅ = ⋅ .

În dreptul cuplului, diagrama momentelor încovoietoare are un salt egal cu

valoarea cuplului Me: ( )de la aL

M bL

Me e− ⋅ ⋅ la .

Fig. 2.22

Aplicaţia 2.11. Bară încastrată la un

capăt, rezemată la celălalt cu articulaţie

intermediară, solicitată de o forţă concentrată

(fig. 2.23).

Articulaţia intermediară transmite numai

eforturi tangenţiale şi normale dar nu transmite

momente încovoietoare. Ţinând seama de

această situaţie, bara se poate separa, în dreptul

articulaţiei, în două grinzi. Reacţiunile

intermediare, din articulaţie, sunt tocmai

eforturile din secţiunea respectivă.

Valoarea reacţiunii V4 este:

V P bb b

P4 2=

⋅+

= ,

iar valoarea reacţiunii din articulaţia 2, care este tocmai forţa tăietoare din secţiune

este:

T2= P - V4= P/2

Porţiunea 1-2 este o bară în consolă acţionată la capătul liber de forţa T2. În

acest caz se obţin eforturile: T T V Pd s4 3 4 2= = − = − , T T T P

d s3 2 1 2= = = ,

M V b P b4 3 4 20

20= = ⋅ =

⋅=, , M M , M T a P a

1 2= − ⋅ = −

⋅ .

Observaţie: După ce bara se separă în două părţi, în dreptul articulaţiei

intermediare, problema trasării diagramelor de eforturi se reduce la cazuri cunoscute

ale barelor rezultate din separare.

Fig. 2.23

2.7.3. Diagrame de eforturi la arbori

Arborii sunt bare încărcate cu forţe ale căror direcţii nu trec prin axa barei, sau

asupra lor acţionează cupluri de forţe situate în plane perpendiculare pe axa barei.

Forţele sau cuplurile de forţe se transmit la arbori prin roţi dinţate, roţi de curea,

pârghii, cuplaje, etc.

Valoarea momentului de răsucire se calculează fie în funcţie de distanţa de la

suportul forţei la axa arborelui (braţul forţei), fie în funcţie de puterea şi turaţia ce

trebuie transmisă.

Dacă un arbore transmite o putere P*, dată în kW, la o turaţie n, în rot/min,

atunci momentul de torsiune rezultă din relaţia:

P M M nt t

∗ = ⋅ = ⋅⋅

ωπ30

,

astfel că:

[ ] [ ][ ]

M kNmP kW

n rott = ⋅∗30

π / min. (2.16)

Dacă puterea se dă în W momentul de torsiune rezultă în Nm. Când puterea

este dată în CP (cai putere), pentru a obţine momentul de torsiune, se utilizează

relaţia:

[ ] [ ][ ]M kNmP CP

n rott = ⋅∗

7 02,/ min

. (2.17)

Momentul de torsiune se consideră pozitiv când vectorul moment de răsucire

din stânga are sensul axei Ox, sau când roteşte secţiunea din stânga faţă de cea din

capătul din dreapta în sensul burghiului drept.

Aplicaţia 2.12. Să se traseze diagramele de puteri şi de momente de torsiune

pentru un arbore drept ce primeşte o putere P*= 10 kW la o turaţie n = 125 rot/min

prin roata (3) şi o distribuie astfel:

- 25% la roata (1),

- 30% la roata (2),

- şi restul la roata (4).

Puterile pe cele trei intervale sunt:

P P1 2 0 25 2 5−∗ ∗= − ⋅ = −, , kW,

( )P P2 3 025 03 55−∗ ∗= − + ⋅ =−, , , kW,

( )P P3 4 1 025 03 45−∗ ∗= − − ⋅ =, , , kW,

Variaţia puterii este dată în diagrama P* din figura 2.24.

Valorile momentelor de torsiune pe cele trei intervale sunt:

M Pnt1 2

30 30 2 5125

0 1911 2−= ⋅ = ⋅

−= −−

π π, , , kNm

M Pnt2 3

30 30 5 5125

0 422 3−= ⋅ = ⋅

−= −−

π π, , , kNm

M Pnt3 4

30 30 4 5125

0 3443 4−= ⋅ = ⋅ = −−

π π, , . kNm

Diagrama de variaţie a momentelor de răsucire Mt, este reprezentată în fig. 2.24.

Observaţie: Preluarea puterii prin roata mediană şi transmiterea acesteia la

roţile dispuse de o parte şi de cealaltă a roţii motoare constituie una din cele mai

eficiente moduri de încărcare a arborelui. În acest mod puterea se distribuie în mod

aproape egal atât în stânga cât şi în dreapta roţii motoare. Dacă roata motoare se află

la unul din capetele arborelui, în vecinătatea

acesteia acţionează întreaga putere de 10

kW, respectiv întregul moment de răsucire,

Mt= 0,42 + 0,34 = 0,764 kNm. În acest caz

arborele trebuie dimensionat la un moment

de răsucire aproape dublu.

Fig. 2.24

Aplicaţia 2.13. Să se traseze

diagramele de eforturi pentru arborele

din fig. 2.25.

Reacţiunile figurate au valorile:

V a Pa

P1 50 2=

⋅⋅

= ⋅, ,

V a Pa

P24

50 8=

⋅ ⋅⋅

= ⋅, ,

H a Pa

P

H aa

P P

H aa

P P

6

1

2

1 60 625

45

0 625 0 5

50 625 0 125

=⋅⋅

= ⋅

=⋅⋅

= ⋅ = ⋅

=⋅

⋅ ⋅ = ⋅

,, ,

, , ,

, , .

Pentru a scrie funcţiile de eforturi

se aleg următoarele sisteme de axe:

1x1y1z1 pentru bara 1-2;

3x2y2z2 pentru bara 3-5;

6x3y3z3 pentru bara 4-6.

Momentul de răsucire, ce acţionează pe intervalul 4-3, are valoarea: Mt= - a ⋅P.

Forţele tăietoare sunt constante şi egale cu valorile reacţiunilor (vezi fig.2.13 şi

fig.2.17). Momentele încovoietoare au o variaţie liniară şi sunt zero în punctele 1, 2, 5

şi 6.

În figura 2.25 s-au arătat sensurile de parcurs prin sistemele de axe alese şi s-au

trasat diagramele de eforturi.

2.7.4. Diagrame de eforturi la bare curbe

În Rezistenţa materialelor se analizează starea de eforturi în barele curbe

plane de curbură constantă. În aceste cazuri bara este un arc de cerc.

Fig. 2.25

Ca şi la barele drepte, la cele curbe se alege un sens de parcurs care se

marchează printr-un unghior (arc de cerc ce are la un capăt un punct de pornire şi la

celălalt o săgeată).

Pentru trasarea diagramelor de eforturi se utilizează relaţiile (2.7) şi (2.8), iar

diagramele se haşurează cu linii normale pe bară. Valorile eforturilor se calculează

pentru anumite valori ale unghiului α.

Aplicaţia 2.14. Să se traseze diagramele de eforturi pentru bara curbă din

figura 2.26.

Funcţiile de eforturi şi valorile acestora în punctele cele mai importante sunt:

α 0° 90° 180° 270°

N=-P⋅cosα - P 0 P 0

T=P⋅sinα 0 P 0 - P

M=P⋅R⋅(1-cosα) 0 P⋅R 2⋅P⋅R P⋅R

Aplicaţia 2.15. Să se traseze diagramele de eforturi

pentru bara curbă din figura 2.28, solicitată de o forţă

normală pe planul barei.

Funcţiile de eforturi sunt:

T = P = ct.,

Fig. 2.26

Fig. 2.27

M = P⋅R⋅sinα (variaţie sinusoidală),

Mt = P⋅R⋅(1-cosα) (variaţie cosinusoidală).

α 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270°

M=-P⋅R⋅sin α 0 −

22

P⋅R -P⋅R

−2

2⋅P⋅R

0 22

⋅P⋅RP⋅R

Mt=PR(1-cosα) 0 (1− 2

2)⋅

⋅P⋅R

P⋅R (1− 2

2)⋅

⋅P⋅R

2P⋅R (1− 2

2)

⋅P⋅R

P⋅R

Valorile momentelor sunt redate în tabelul de mai jos iar modul de variaţie în

lungul axei barei este reprezentat în diagramele din figura 2.28.

Fig. 2.28

3. NOŢIUNI GENERALE DE TEORIA ELASTICITĂŢII

3.1. Introducere

Spre deosebire de Rezistenţa materialelor, Teoria elasticităţii are ca obiect

determinarea stării de tensiune şi deformaţie într-un corp cu caracteristici

elastice cunoscute dacă se cunosc fie forţele exterioare, fie forma deformată sub

acţiunea acestor forţe. Teoretic, se demonstrează că există soluţii pentru toate

cazurile, dar în practică s-au găsit soluţii, pe baza teoriei elasticităţii, numai pentru

unele cazuri particulare şi anume pentru corpuri de formă simplă, anumite bare

prismatice, anumite forme de plăci şi unele blocuri supuse numai la anumite

încărcări.

Rezistenţa materialelor utilizând, în plus faţă de Teoria elasticităţii, ipoteza lui

Bernoulli, rezolvă o serie mare de probleme puse de practica inginerească. Aceste

soluţii, obţinute pe baza unor relaţii simple, se apropie de realitate şi sunt acceptabile

pentru construcţiile inginereşti.

Rezistenţa materialelor utilizează, pe lângă legile şi relaţiile din mecanica

teoretică şi o serie de elemente din Teoria elasticităţii, printre care analiza stării de

tensiune şi deformaţie.

3.2. Tensiuni

Dacă un ER este supus acţiunii unor forţe exterioare în interiorul acestuia vor

apare forţe de atracţie sau de respingere suplimentare care au tendinţa de a păstra

forma sa iniţială. Dacă aceste forţe nu ar exista ER nu ar fi capabil să suporte

încărcările exterioare.

Să considerăm o bară, în echilibru, acţionată de un sistem de forţe exterioare

(F1, F2,..., Fn) (fig. 3.1,a).

Forţele exterioare au tendinţa de a modifica forma barei iar forţele interioare se

opun deformaţiei barei.

Să presupunem că am secţionat bara cu un plan Q normal pe axa barei (Ox). Pe

fiecare element de suprafaţă ∆Ax, de pe suprafaţa de separaţie, va acţiona câte o forţă

interioară ∆R. Toate forţele ∆R de pe întreaga suprafaţă de separaţie, menţin părţile I

şi II împreună cu planul Q. Forţa interioară ∆R poate fi descompusă în trei

componente paralele cu axele Ox, Oy şi Oz: respectiv ∆Nx, ∆Ty, ∆Tz.

Mărimea forţei interioare ∆R poate fi diferită pe suprafaţă şi să depindă de

poziţia ariei ∆A. Intensitatea forţei pe elementul de arie ∆A este egală cu raportul

∆Λ

RA

. Dacă reducem aria finită ∆A la o arie infinitezimală din jurul unui punct, se

obţine o nouă mărime de intensitate numită tensiune. Astfel se obţine tensiunea

normală σx:

σ x A

x xNA

dNdA

= =→

lim∆

∆∆0

, (3.1,a)

şi corespunzător tensiunile tangenţiale:

τ xy A

y yTA

dTdA

= =→

lim∆

∆

∆0,

dAdT

ATlim zz

0Axz =∆∆

=τ→∆

. (3.1,b)

Fig. 3.1

Tensiunile normale sunt pozitive, dacă produc întindere şi negative, dacă

produc compresiune.

Tensiunile tangenţiale sunt produse de forţele conţinute în planul Q al secţiunii.

Acestea se consideră pozitive când rotesc elementul de volum în sens orar, şi

respectiv negative când rotesc antiorar.

Tensiunile se măsoară în unităţi de forţă pe unitate de arie Pa, MPa, GPa,

N/mm2, kN/mm2, etc.

Mărimile σ şi τ nu sunt vectori (deoarece ele se obţin din raportarea unor forţe

elementare la o suprafaţă elementară), ci sunt mărimi tensoriale şi ca atare, trebuie

avut grijă să li se aplice regulile de operare specifice tensorilor.

Tensiunile normale se notează cu un singur indice - cel al axei normale la

secţiune, iar tensiunile tangenţiale cu doi indici: primul indice arată axa

normală la secţiune iar al doilea, axa paralelă cu tensiunea.

3.3. Tensiuni pe un element de volum

Dacă decupăm din bară (fig.3.1) un element infinitezimal cu ajutorul unor

plane imaginare paralele cu planurile zOy, zOx, xOy, ce au distanţele între ele dx, dy,

dz, se obţine un paralelipiped elementar (fig.3.2,a).

Acesta se consideră că reprezintă un punct din ER. Pe faţa din stânga a

acestui element vor acţiona tensiunile σx, τxy şi τyz determinate cu relaţiile (3.1).

Forţele elementare de pe această faţă sunt:

dN dA dy dzdT dA dy dz

dT dA dy dz

x x x

y xy xy

z xz xz

= ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅

σ σ

τ τ

τ τ

,,

.

Pentru analiza stării de tensiune adoptăm ipoteza: forţele elementare ce

acţionează pe cele două arii elementare, ale unui element infinit mic, paralele

între ele, sunt egale şi de sens contrar, adică dacă pe faţa din stânga elementului

există forţele elementare σx⋅dA, τxy⋅dA şi τxz⋅dA atunci şi pe faţa din dreapta

elementului, de aceeaşi arie dA, vor acţiona aceleaşi forţe elementare σx⋅dA, τxy⋅dA şi

τxz⋅dA de sens contrar. Atunci rezultă că pe feţele elementului infinitezimal de

volum vor acţiona tensiunile ca în figura (3.2,b).

Cele 9 componente: σx, σy, σz, τxy, τxy, τyx, τxz, τyz, τzy, caracterizează în

întregime starea de tensiune în jurul unui punct O. Acestea sunt mărimi tensoriale

(diferite de mărimile scalare şi vectoriale) şi se reprezintă prin tensorul tensiune.

Tx yx zx

xy y zy

xz yz z

σ

σ τ ττ σ ττ τ σ

=

. (3.2)

Tensorul tensiune este un tensor de ordinul doi, ce conţine, pe cele 6 feţe ale

elementului de volum, cele 9 componente menţionate mai sus. Pe fiecare faţă a

elementului de volum se află câte o componentă σ, paralelă cu axa normală la faţă şi

Fig. 3.2

câte două componente τ, conţinute în planul secţiunii şi paralele cu cele două axe ale

secţiunii.

Elementul infinitezimal sub acţiunea forţelor elementare este în echilibru şi de

aceea forţele normale trebuie să fie două câte două coliniare egale în mărime şi de

sens contrar, iar sistemul de forţe tangenţiale trebuie să fie de asemenea în echilibru.

Astfel, forţele tangenţiale trebuie să fie egale, în mărime şi de sens opus, două câte

două iar momentul faţă de centrul elementului să fie nul:

22

22

0⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =τ τxy yxdy dz dx dx dz dy .

Prin simplificare cu dx⋅dy⋅dz va rezulta:

τ τxy yx= .

Dacă punem condiţii similare şi pentru tensiunile de pe celelalte feţe paralele

între ele, din figura (3.2,b) se obţin relaţiile:

τ τxy yx= , τ τyz zy= , şi τ τzx xz= . (3.3)

Aceaste relaţii reprezintă dualitatea tensiunilor tangenţiale şi precizează că:

pe feţele perpendiculare ale unui element infinitezimal pot exista simultan

tensiunile tangenţiale τxy şi τyx. Acestea sunt conţinute în planuri ce corespund

feţelor elementului de volum şi produc două câte două cupluri egale în mărime

şi de sens opus. De aceea ele trebuie să fie simetrice faţă de muchia comună a

celor două feţe. Din relaţiile (3.3) rezultă că din cele 9 componente ale tensorului

(2.2) numai 6 sunt distincte şi deci tensorul tensiune este simetric faţă de

diagonala principală.

3.4. Starea plană de tensiune. Variaţia tensiunilor în jurul unui punct

În multe din problemele inginereşti se întâlneşte cazul particular al stării

generale de tensiune, când ER este încărcat cu forţe coplanare în echilibru, şi în acest

caz pe suprafaţa liberă de sarcini, nu există sarcini normale şi paralele cu acestea. De

asemenea, ţinând seama de condiţia de echilibru, pe o faţă paralelă cu prima şi aflată

la distanţă infinit mică (dz), forţele vor fi nule. În acest caz toate forţele sunt

coplanare şi starea de tensiune corespunzătoare se numeşte stare plană de tensiune

(fig. 3.3,a) şi ea poate fi reprezentată simplificat ca în figura (3.3,b)

Considerăm elementul infinit mic din figura 3.4 în formă de prismă

triunghiulară, cu baza un triunghi dreptunghic, decupat din elementul de volum din

figura (3.3,b) şi acţionat de componentele σx,

σy , τxy= τyx. Pe faţa AC, înclinată cu unghiul α,

vor apare tensiunile necunoscute σα şi τα.

Faţa BC se consideră de arie dA, iar

grosimea elementului constantă. În acest caz,

aria feţei AC este dA⋅cosα, iar a feţei AB este

dA⋅sinα.

Fig. 3.3

Fig. 3.4

Din ecuaţiile de proiecţii a forţelor elementare pe direcţiile σα şi τα, din

condiţiile de echilibru ale elementului se obţine:

0cossin2dAsincosdA

sindAcosdAdA

xyxy

2y

2x

=α⋅α⋅⋅τ−α⋅α⋅⋅τ−

−α⋅⋅σ−α⋅⋅σ−⋅σα

τ σ α α σ α α

τ α τ αα ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ −

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

dA dA dA

dA dAx y

xy xy

cos sin sin cos

cos sin2 2 0

Simplificând cu dA şi ţinând seama că τxy = τyx rezultă:

α⋅α⋅⋅τ+α⋅σ+α⋅σ=σα cossin2sincos xy2

y2

x ,

( ) ( )τ σ σ α α τ α αα = − + ⋅ ⋅ + ⋅ −x y xysin cos cos sin2 2 .

Ţinând seama că:

sin cos2 1 22

αα

=− , cos cos2 1 2

2α

α=

+ , sin cos sinα α

α⋅ =

22

,

expresiile de mai sus devin:

σσ σ σ σ

α τ αα =+

+−

+ ⋅x y x yxy2 2

2 2cos sin , (3.4,a)

τσ σ

α τ αα = −−

⋅ + ⋅x yxy2

2 2sin cos . (3.4,b)

Aceste relaţii permit determinarea tensiunilor pe o suprafaţă înclinată cu

unghiul α . Normala la această suprafaţă face cu axa Ox unghiul α. Unghiul α mai

poate fi definit şi ca unghiul cu care trebuie rotită axa Ox pentru a o suprapune peste

normala la suprafaţa înclinată dată.

Unghiul α este considerat pozitiv când roteşte în sens orar axa Ox către

normala la suprafaţa înclinată şi negativ când roteşte în sens antiorar .

Se observă din relaţiile (3.4) că tensiunile σα şi τα sunt funcţii circulare de

parametru 2α. Întrucât este necesar să se cunoască valorile maxime şi minime ale

tensiunilor se derivează expresiile (3.4,a) şi (3.4,b) în raport cu parametrul 2α.

Valorile extreme ale tensiunilor se obţin pentru valoarea parametrului α pentru care

derivata se anulează.

02cos2sin2)2(d

d12xy12

yx =α⋅τ+α⋅σ−σ

−=α

σα

Se observă că derivata lui σα este τα şi deci pe feţele pe care σα ia valori

extreme, tensiunile tangenţiale sunt nule.

Planurile pe care tensiunile tangenţiale sunt nule se numesc planuri principale

iar normalele la aceste planuri se numesc direcţii principale.

Tensiunile normale pe planurile principale se numesc tensiuni principale şi

deci tensiunile principale sunt tensiuni maxime sau minime, pe planurile în care τ= 0,

adică pentru:

tg xy

x y

22

1 2ατ

σ σ, =−

, sau ατ

σ σπ

1 212

22, = ⋅

−±arctg xy

x y

. (3.5)

În relaţiile de mai sus s-au pus doi indici deoarece funcţia tangentă are perioada

π şi deci pe un cerc întreg vor fi două soluţii 2α1 şi 2α2 diferite între ele prin 180o şi

deci direcţiile α1 diferă de α2 cu 90o, adică sunt perpendiculare între ele.

Pentru a obţine unghiul α1 se mai poate utiliza relaţia (vezi § 3.5):

ατ

σ σ12

=−

arctg xy

x

. (3.5,a)

Direcţia α1 este a tensiunii maxime σ1 iar direcţia α2 a tensiunii minime σ2.

Dacă ţinem seama în formulele (3.5), de relaţiile trigonometrice, obţinem:

2xy

2yx

xy

2,12

2,12,1

2

2tg1

2tg2sin

τ+

σ−σ±

τ=

α+±

α=α ,

2xy

2yx

yx

2,122,1

2

22tg1

12cos

τ+

σ−σ±

σ−σ

=α+±

=α .

Înlocuind aceste expresii în expresia (3.4,a) se obţin expresiile celor două

tensiuni principale:

σσ σ σ σ

τ1 2

22

2 2, =+

±−

+x y x y

xy . (3.6)

Tensiunea maximă, σ1 se obţine când luăm în faţa radicalului semnul plus, iar

cea minimă σ2, semnul minus.

Procedând la fel şi cu cea de a doua relaţie (3.4,b), prin derivare în raport cu

parametrul 2α şi egalând cu zero, se obţin valorile pentru care tensiunea τα devine

extremă:

( )

.2tg1

2'2tg

,0'2sin'2cos22d

d

2,1xy

xy12

12xy12yx

α−=

τ⋅

σ−σ=α

=α⋅τ−α⋅σ−σ

−=ατα

(3.7)

Din relaţia (3.7) rezultă că direcţiile 2α1,2 şi 2α~1,2 sunt perpendiculare, deci

rezultă că: tensiunile tangenţiale extreme se află pe feţele elementului ce diferă cu

45° faţă de feţele pe care avem tensiunile normale principale.

Dacă înlocuim parametrul 2α~1,2 în expresiile (3.4) se obţine:

σσ σ σ σ σ σ

mx y ct=

+=

+=

+=1 2

2 2 2α α+90ο . , (3.8)

τσ σ σ σ

τ1 21 2

22

2 2, .= ±−

= ±−

+x y

xy (3.9)

Relaţia (3.8) ne arată că suma tensiunilor normale pe două feţe perpendiculare

este constantă.

Relaţia (3.9) exprimă egalitatea dintre semidiferenţa tensiunilor normale

principale cu tensiunea tangenţială maximă şi respectiv cu valoarea de sub radical din

relaţia (3.6) şi se poate scrie:

σ σ τ1 2 1, = ±m . (3.6,a)

Pe feţele înclinate la 45°, faţă de planele principale, apar tensiuni tangenţiale

extreme şi tensiunile medii normale, egale cu semisuma tensiunilor normale.

Starea plană de tensiune, din figura (3.5,a), este echivalentă cu starea de

tensiune din figura (3.5,b), (tensiunile principale normale σ1, σ2) şi cu cea din figura

(3.5,c), (tensiunea medie σm şi tensiunile tangenţiale principale τ1 şi τ2). Aceasta

poate fi scrisă şi prin expresia tensorială:

T x xy

yx y

m

mσ

σ ττ σ

σσ

σ ττ σ

=

=

=

1

2

2

1

00

.

3.5. Cercul lui Mohr pentru starea plană de tensiune

Variaţia tensiunilor în jurul unui punct poate fi analizată mai simplu, prin

utilizarea unei reprezentări grafice, ce rezultă din ecuaţiile (3.4):

2

xyyx

2yx 2sin2cos

22

ατ+α⋅

σ−σ=

σ+σ−σ ,

2

xyyx2 2cos2sin

2

ατ+α⋅

σ−σ−=τ .

Adunând cele două ecuaţii şi eliminând parametrul 2α, obţinem:

σσ σ

τσ σ

τ−+

+ =

−

+

x y x yxy2 2

22

22

2

. (3.10)

Această expresie reprezintă ecuaţia unui cerc, numit cercul lui Mohr pentru

starea plană de tensiune şi are:

- sistemul de axe:

Fig. 3.5

abscisă: Oσ;

ordonată: Oτ;

- coordonatele centrului C :

σσ σ

cx y=+

2 şi τ c = 0 ,

- raza:

R x yxy=

−

+ =

−σ στ

σ σ2 2

22 1 2 ,

- parametru în coordonate polare:

2α.

Acesta ne arată că oricărui unghi α de la starea reală de tensiune îi corespunde

un unghi la centru (2α), pe cercul lui Mohr.

Construcţia acestui cerc se realizează astfel:

- se reprezintă la scară punctele ( )A x xyσ τ, şi ( )B y xyσ τ− în sistemul de

axe de coordonate σOτ;

- se trasează segmentul AB care este diametrul cercului lui Mohr;

- intersecţia segmentului AB cu axa Oσ este centrul cercului lui Mohr,

C(σm, 0);

- se trasează centrul cu raza CA sau CB.

Determinarea tensiunilor principale şi a direcţiilor principale se face astfel:

- intersecţia cercului cu axa Oσ la dreapta, este punctul S1(σ1, 0), iar la

stânga S2(σ2, 0), deci σ1= OS1 şi σ2= OS2;

- raza CA este orizontala pe cerc şi unghiul de la orizontala pe cerc (CA)

la sensul pozitiv al axei Oσ este 2α1;

- simetricul punctului A faţă de axa Oσ este punctul A’ care unit cu S2 ne

dă direcţia principală (1);

- ordonatele punctelor T1 şi T2 reprezintă tensiunile tangenţiale maximă τ1

şi respectiv minimă τ2, egale în modul dar cu semn schimbat;

- direcţia (2) este o dreaptă perpendiculară pe direcţia (1), iar direcţiile (1´)

şi (2´) se află la ± 45o faţă de direcţia (1) sau (2).

Pe cercul lui Mohr se pot obţine şi tensiunile ce apar pe o suprafaţă înclinată cu

un unghi oarecare α. Unghiul α se obţine ca fiind unghiul de rotire al axei Ox

pentru a o suprapune peste normala la suprafaţa înclinată dată (fig.2.2,b).

Pentru a obţine aceste tensiuni vom lua un unghi la centru 2α de la orizontala

pe cerc (raza CA) în sensul de măsurare a ughiului α. Punctul de pe cerc M va avea

coordonatele σα şi respectiv τα. Simetricul punctului M faţă de centrul cercului va fi

N. Coordonatele punctului N ne vor da tensiunile pe suprafaţa înclinată cu unghiul

απ

±2

, respectiv σα+90o şi τα+90

o.

Fig. 3.6

Observaţie:

Relaţia (3.5,a) se obţine din figura 3.6 astfel:

tg A AS A

xy

x

ατ

σ σ11

2 1 2

= =−

'

.

Aplicaţia: 3.1. Cunoscând starea de tensiune din figura (3.7,a) să se determine:

a) tensiunile principale,

b) direcţiile principale,

c) tensiunile pe faţa înclinată,

d) să se reprezinte mărimile determinate.

Rezolvare:

I Metoda analitică.

Se recunosc mărimile date, cu semnele lor şi anume:

σx= 60 MPa, tensiunea normală paralelă cu axa Ox;

σy= 20 MPa, tensiunea normală paralelă cu axa Oy;

τxy= 50 MPa, tensiunea tangenţială perpendiculară pe axa Ox şi paralelă cu

axa Oy;

α = - 70o, unghiul cu care trebuie să rotim sensul pozitiv al axei Ox pentru

al suprapune peste normala la suprafaţa înclinată dată (minus pentru că

are sens antiorar).

Cu relaţia (2.6) se determină tensiunile principale:

σσ σ σ σ

τ1 2

22

22

2 260 20

260 20

250

40 58 31

,

,

=+

±−

+ =

+±

−

+ =

= ±

x y x yxy

MPa,

σ σ σ τ1 2 1 298 31 18 31 40 58 31= = − = = ±, , ,, MPa; MPa; MPa; MPam .

Din relaţia (3.5,a) se determină unghiul α1 care ne dă direcţia principală (1):

ατ

σ σ150

60 18 3132 56=

−=

+=arctg arctgxy

x z ,, o .

Utilizând relaţiile (3.4) se determină tensiunile pe faţa înclinată:

σ

σ σ σ σα τ αα =

++

−⋅ + =

=+

+−

⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = −

x y x yxy2 2

2 2

60 202

60 202

2 70 50 2 70 7 46

cos sin

cos( ) sin( ) ,o o MPa.

τ

σ σα τ αα = −

−⋅ + ⋅ =

= −−

⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = −

x yxy2

2 2

60 202

2 70 50 2 70 25 45

sin cos

sin( ) cos( ) ,o o MPa .

Tensiunile pe faţa înclinată cu α + 90 0 se obţin din relaţia (2.13):

σ σ σα α+90 MPa ;o = − = ⋅ + =2 20 40 7 46 87 46m , , şi respectiv din dualitatea tensiunilor tangenţiale :

τ τα α+90 MPa .o = − = 25 45, La reprezentare se duce o dreaptă înclinată faţă de orizontală cu α1 rezultând

direcţia principală (1), pe care se reprezintă un element de volum. Pe acest element de

volum (fig.3.7,b) se reprezintă numai tensiunile normale principale σ1 şi σ2 (σ1

paralel cu direcţia (1) şi σ2 perpendicular pe direcţia (1)) ştiind că tensiunile

tangenţiale sunt nule.

Fig. 3.7

Faţă de direcţia principală (1) se duce o direcţie la ± 45o (în cazul nostru la

- 45o) care va fi direcţia principală (1’) sau (2’). Reprezentând un element de volum şi

pe această direcţie (fig.3.7,c), vom reprezenta tensiunea normală medie pe toate

laturile precum şi tensiunile tangenţiale maxime şi respectiv minime. Sensul acestor

tensiuni tangenţiale se obţine din proiecţia forţelor elementare corespunzătoare unui

colţ al elementului de volum desenat, după direcţia principală (1). Dacă se

proiectează forţele corespunzătoare colţului de sus pe direcţia dusă la 45o se va

obţine sensul tensiunii tangenţiale de deasupra elementului, iar dacă se proiectează

forţele corespunzătoare colţului de jos se obţine sensul tensiunii tangenţiale de sub

elementul construit. Cunoscând sensul tensiunilor tangenţiale se află şi ce direcţie a

fost trasată. Deoarece τ1 este perpendicular pe direcţia dusă, aceasta este direcţia (1’).

Unghiul α1, se măsoară de la orizontală la direcţia dusă (în cazul nostru

α α1 1 45 32 65 45 12 35, , ,= − = − = −o o o o ).

Dacă τ2 era perpendicular pe direcţia dusă aceasta ar fi fost direcţia (2’) şi

analog se obţinea atunci unghiul α 2, .

Reprezentarea tensiunilor pe faţa înclinată se face pe un element de volum

construit pe dreapta în prelungirea acestei suprafeţe şi se va reprezenta (fig.3.7,d):

σ α , perpendicular pe suprafaţa înclinată dată,

σα+90o , paralel cu suprafaţa înclinată dată,

τα , paralel cu suprafaţa înclinată dată şi

τα+90o conform dualităţii tensiunilor tangenţiale.

II Metoda grafică.

Se reprezintă într-un sistem de coordonate σ τO , la scară, punctele

( ) ( )A Ax xyσ τ, ,= 60 50 şi ( ) ( )B By xyσ τ, ,− = −20 50 . Se duce segmentul AB (fig. 3.8)

care este diametrul cercului lui Mohr, iar intersecţia acestuia cu axa orizontală este

centrul cercului ( )C mσ ,0 .

Se trasează cercul cu diametrul AB şi se notează punctele ( )S1 1 0σ , şi

( )S2 2 0σ , , intersecţia cercului cu axa Oσ la dreapta şi respectiv la stânga. Prin centrul

cercului se duce o paralelă la axa Oτ până intersectează cercul în ( )T m1 1σ τ, , spre

sensul pozitiv al lui Oτ şi ( )T m2 2σ τ, , spre sensul negativ al lui Oτ .

Se măsoară lungimile segmentelor (la scara utilizată) obţinându-se:

σ 1 1 98= =OS MPa;

σ 2 2 18= = −OS MPa;

τ 1 1 58= =OT MPa;

τ 2 2 58= = −OT MPa.

Obţinerea direcţiei principale (1): Raza CA este orizontalã pe cerc, iar

unghiul de la orizontala pe cerc la sensul pozitiv al axei Oσ este 2 1α . Se duce

simetricul punctului A, corespunzător orizontalei de pe cerc, faţã de axa Oσ

Fig. 3.8

obţinându-se punctul A’. Unind S2 cu A’ se obţine direcţia reală (1), iar unghiul de la

axa orizontală la direcţia (1) este α1 şi măsurat rezultă: α1 32= o .

Reprezentarea tensiunilor principale după direcţia (1), (fig.3.8,b) şi după

direcţia (1’), (fig.3.8,c) se face analog ca la metoda analitică.

Tensiunile pe faţa înclinată. De la orizontala pe cerc se măsoară un unghi

2 2 70α = − ⋅ o (În acest caz în sens antiorar deoarece unghiul α este negativ,) şi se

obţine punctul ( )M σ τα α, . Simetricul acestui punct faţă de centrul cercului va fi

punctul ( )N oo oσ τα α+ +9 90, . Măsurând, la scara la care s-a lucrat, coordonatele acestor

puncte, se obţin tensiunile:

σ α = - 7 MPa; τ α = - 25 MPa;

σ α+90o = 87 MPa; τ α+90o = 25 MPa.

Reprezentarea tensiunilor pe faţa înclinată se face tot ca la metoda analitică

(fig.3.8,a).

Analiza completă şi exactă a stării plane de tensiune pe cerc presupune o

construcţie precisă, la scară, cu rigla şi compasul.

3.6. Cazuri particulare ale stării plane de tensiune

3.6.1. Starea liniară de tensiune (σx= σ > 0, τxy= σy- σ2= 0)

Datorită faptului că σ2= 0 va rezulta S2= 0 şi ca atare cercul trece prin origine.

Aceasta este mai simplu şi sugestiv de rezolvat grafic. Punctul S1= σ1 este abscisa

maximă. Tensiunile tangenţiale maxime, aflate la 45o au valorile τ τ

σ1 2 2= − = ,

σσ

m =2

, (fig.3.9).

Tensorial această situaţie se poate exprima astfel:

Tσ

σσ σ

σ σ=

=

−

00 0

2 2

2 2

.

3.6.2. Forfecarea pură (σx= σy= 0, τxy= τyx= τ > 0)

Utilizând şi în acest caz metoda grafică, întrucât σx= σy= 0 cercul lui Mohr are

centrul în origine C O≡ iar tensiunile principale sunt (fig. 3.10):

σ σ τ1 2= − = .

Tensorul tensiune va avea următoarea formă:

Tσ

ττ

σσ

=−

=

−

00

00

.

Direcţiile principale fac unghiurile α1= 45o şi α2= - 45

o.

Forfecare pură este echivalentă cu starea de tensiune plană în care

tensiunile σ sunt egale şi de sens opus.

Fig. 3.9

Fig. 3.10

3.7. Analiza stării generale de tensiune

Valorile celor nouă componente ale tensorului tensiune (relaţia 3.2 sau/şi fig.

3.2,b) sunt funcţie de orientarea feţelor elementului infinitezimal considerat. Analiza

stării spaţiale de tensiune se va face considerând un plan înclinat, a cărui normală are

cosinuşii directori l, m, n. Cu acest plan se secţionează elementul din figura (3.2,b)

obţinându-se tetraiedrul OABC din figura 3.11.

Dacă faţa ABC are aria de mărime dA, atunci cele trei feţe ce sunt paralele cu

planurile axelor de coordonate, au ariile:

dAx= l⋅dA, dAy= m⋅dA,

dAz= n⋅dA.

Pe cele trei feţe din planele axelor de coordonate se dezvoltă tensiunile: σx, σy,

σz, τxy= τyz, τyz=τzy, τzx= τxz. Corespunzător acestor tensiuni în figura 3.11 s-au

reprezentat eforturile elementare. Pe faţa înclinată ABC vor acţiona componentele

dX, dY şi dZ ale efortului elementar dR , precum şi componentele px, py, pz ale

tensiunii p . Expresiile acestor componente sunt:

( )dX l m n dAx yx zx= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅σ τ τ ,

( )dY l m n dAxy y zy= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅τ σ τ ,

( )dZ l m n dAxz yz z= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅τ τ σ ,

(3.11)

p dXdAx = , p dY

dAy = , p dZdAz = .

Modulul efortului elementar şi al

tensiunii va fii:

Fig. 3.11

dR dX dY dZ= + +2 2 2 , p p p px y z= + +2 2 2 . (3.12)

La analiza stării spaţiale de tensiune interesează tensiunea normală şi cea

tangenţială de pe faţa înclinată dA, ce se obţin cu relaţiile (3.1). Pentru analiză

trebuiesc determinate componentele dN (după direcţia normalei) şi dT (conţinută în

planul secţiunii dA) ale efortului elementar dR .

Componenta dN va fi:

dN l dX m dY n dZ= ⋅ + ⋅ + ⋅ ,

iar ţinând seama de expresiile 3.11 rezultă:

( )[ ] dAlnnmml2nmldN zxyzxyz2

y2

x2 ⋅τ⋅⋅+τ⋅⋅+τ⋅⋅⋅+σ⋅+σ⋅+σ⋅= . (3.13)

Forţa elementară tangenţială va fi:

dT dR dN= −2 2 . (3.14)

Înlocuind în relaţia de definiţie a tensiunilor (3.1) valorile eforturilor

elementare de mai sus (3.13) şi (3.14) rezultă relaţiile pentru tensiuni de pe faţa

înclinată:

( )σ σ σ σ τ τ τ= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅dNdA

l m n l m m n n lx y z xy yz zx2 2 2 2

τ σ= =−

= −dTdA

dR dNdA

p2 2

2 2 . (3.15)

Considerăm un vector v O M= ' , ce are direcţia normalei la suprafaţa înclinată

dA, de modul v şi care va avea proiecţiile pe axele de coordonate:

x = l ⋅ v, y = m ⋅v, z = n⋅v,

iar cosinuşii directori ai vectorului v sunt:

l xv

m yv

n zv

= = =, , . (3.16)

Dacă vom considera că modulul vectorului este invers proporţional cu rădăcina pătrată a tensiunii normale:

v k=

σ, respectiv σ = ±

kv

2

2 , (3.17)

vârful vectorului v va descrie o suprafaţă ce rezultă din prima ecuaţie (3.15), ţinând

seama de (3.16) şi (3.17):

± = ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅

⋅ +⋅

⋅ +⋅

⋅

kv

xv

yv

zv

x yv

y zv

z xvx y z xy yz zx

2

2

2

2

2

2

2

2 2 2 22σ σ σ τ τ τ ,

care după simplificare rezultă:

( ) 2zxyzxyz

2y

2x

2 kxzzyyx2zyx ±=τ⋅⋅+τ⋅⋅+τ⋅⋅+σ⋅+σ⋅+σ⋅ (3.18)

Ecuaţia (3.18) arată cum variază tensiunea normală σ şi poartă numele de

cuadrica tensiunilor normale (cuadrica lui Cauchy). Componentele tensorului

tensiune sunt coeficienţii cuadricei.

Raportând cuadrica la axele sale principale (1, 2, 3) dispar termenii ce conţin

produse de coordonate, respectiv ce conţin tensiunile tangenţiale. Rezultă că există

trei plane perpendiculare între ele pe care tensiunile tangenţiale sunt nule. Pe aceste

feţe acţionează numai tensiuni normale σ1 > σ2 > σ3, ce se numesc tensiuni

principale. Direcţiile acestora sunt chiar direcţiile axelor principale.

Determinarea tensiunilor şi a axelor principale se face din condiţia că pe faţa înclinată

dA (fig. 3.10), tensiunea tangenţială este nulă. Ca urmare, cele trei componente ale

efortului de pe suprafaţa dA sunt:

dX l dA= ⋅ ⋅σ , dY m dA= ⋅ ⋅σ , dZ n dA= ⋅ ⋅σ .

Înlocuind aceste expresii în relaţia (3.11) se obţine sistemul de ecuaţii:

( )( )

( )

l m n

l m n

l m n

x yx yz

xy y zy

xz yz z

⋅ − + ⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ − + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ − =

σ σ τ τ

τ σ σ τ

τ τ σ σ

0

0

0

(3.19)

Pentru ca acest sistem să aibă soluţii diferite de soluţia banală (egală cu zero)

este necesar ca:

σ σ τ ττ σ σ ττ τ σ σ

x yx zx

xy y zy

xz yz z

−−

−= 0.

Dezvoltând determinantul se obţine ecuaţia:

σ σ σ31

22 3 0− ⋅ + ⋅ − =I I I , (3.20)

unde coeficienţii lui σ sunt invarianţi (deoarece oricare ar fi sistemul de axe

tensiunile principale sunt aceleaşi:

I x y z1 1 2 3= + + = + +σ σ σ σ σ σ. ,

1332212zx

2yz

2xyxzzyyx2I σ⋅σ+σ⋅σ+σ⋅σ=τ−τ−τ−σ⋅σ+σ⋅σ+σ⋅σ= ,

3

2

1

zyzxz

zyyxy

zxyxx

3

000000

.Iσ

σσ

=στττστττσ

= (3.21)

Ecuaţia (3.20) are trei soluţii reale care sunt cele trei tensiuni principale:

σ1 > σ2 > σ3.

Ecuaţia cuadricei în raport cu axele principale este:

x y z k21

22

23

2⋅ + ⋅ + ⋅ = ±σ σ σ . (3.22)

Direcţiile principale 1, 2, 3, ce definesc feţele pe care se dezvoltă tensiunile

principale, se obţin din sistemul de ecuaţii (3.19) înlocuind pe rând tensiunea σ cu

fiecare valoare a tensiunilor principale σ1, σ2, σ3, şi la care se adaugă condiţia:

l m n2 2 2 1+ + = . (3.23)

Cele trei direcţii principale sunt ortogonale şi deci:

n n n n n n1 2 2 3 3 1 0⋅ = ⋅ = ⋅ = . (3.24)

Eliminând parametrii l, m, n din ecuaţia (3.23) pentru direcţiile principale cu

valorile acestora din relaţiile:

p dXdA

lx = = ⋅ σ1 , p dYdA

my = = ⋅ σ 2 , p dZdA

nz = = ⋅ σ 3 ,

se obţine ecuaţia:

p p px y z2

12

2

22

2

32 1

σ σ σ+ + = . (3.25)

Această ecuaţie reprezintă ecuaţia unui elipsoid numit elipsoidul tensiunilor

sau elipsoidul lui Lamé şi reprezintă locul geometric al vârfurilor vectorului

p p i p j p kx y z= ⋅ + ⋅ + ⋅ , cu originea în O’, când planul ABC se roteşte.

Dacă se face o secţiune prin elipsoidul tensiunilor cu un plan principal se

obţine o stare plană de tensiune şi respectiv elipsa tensiunilor care corespunde unei

tensiuni principale care este nulă (ex. σ3= 0). Dacă două din tensiunile principale sunt

nule (ex. σ2= σ3= 0) elipsoidul degenerează într-o dreaptă şi corespunde unei stări

liniare de tensiune.

3.8. Cercul lui Mohr pentru starea spaţială de tensiune

Tensiunile de pe o faţă înclinată (ABC, fig.3.11) se pot determina şi pe cale

grafică, cu ajutorul cercului lui Mohr dacă elementul de volum este orientat după

direcţiile principale (1), (2), (3), respectiv sunt cunoscute tensiunile principale

σ σ σ1 2 3, , , . Pe axa Oσ se construiesc la scară segmentele OS OS1 2, şi OS 3 (la

abscisele σ σ σ1 2 3, , ) şi se trasează semicercurile cu diametrele S S S S1 2 2 3, şi S S3 1.

Triunghiul curbiliniu haşurat reprezintă locul geometric al stărilor de tensiuni

σ τα α, când planul înclinat se roteşte în jurul punctului considerat.

Considerând unghiurile α β, şi γ ca fiind unghiurile pe care le face normala

la suprafaţa înclinată cu σ σ1 2, şi respectiv σ3 vom proceda astfel:

- se trasează dreapta S P1 1 ce face unghiul α de la verticala dusă în S1 ;

- se trasează dreapta S P3 3 ce face unghiul γ de la verticala dusă în S3 ;

Coordonatele punctului M, ce rezultă din intersecţia arcelor de cerc trasate cu

razele r C P1 1 1= şi r C P3 3 3= reprezintă tensiunile din planul înclinat. Acelaşi punct

se obţine trasând dreapta S P2 2 ce face unghiul β de la verticala dusă în S 2 şi trasând

arcul cu rază r C P2 2 2= .

3.9. Cazuri particulare ale stării spaţiale de tensiune

Se consideră că elementul de volum are feţele definite de cele trei direcţii

principale 1, 2, 3 şi deci pe acestea vor acţiona numai tensiunile principale σ1, σ2, σ3.

Fig. 3.12

3.9.1 Tensiuni în planuri bisectoare

Secţionând elementul de volum pe rând cu cele trei plane bisectoare ale

diedrelor principale (fig. 3.13), pe fiecare faţă din elementul de volum va exista o

stare plană de tensiune deoarece a treia tensiune normală este conţinută în plan,

Întrucât planurile sunt la 45o faţă de planurile principale , pe acestea vor acţiona

tensiuni tangenţiale maxime şi tensiuni normale medii.

Tensinile din planurile bisectoare sunt:

- în planul bisector 1:

σσ σ

τσ σ

12 3

12 3

2 2m =+

= ±−, ; (3.26,a)


Fig. 3.13

σσ σ

τσ σ

21 3

21 3

2 2m =+

= ±−, ; (3.26,b)


σσ σ

τσ σ

31 2

31 2

2 2m =+

= ±−, ; (3.26,c)

Deci, pe fiecare faţă a fiecărui plan bisector principal există o stare plană

de tensiune cu tensiuni tangenţiale maxime. Dintre cele trei plane bisectoare planul

bisector 2 conţine tensiunea tangenţială maximă a stării generale de tensiune.

τ τσ σ

max = =−

21 3

2. (3.27)

3.9.2. Tensiuni octaedrice

Un plan egal înclinat faţă de direcţiile tensiunilor principale, ceea ce înseamnă

l = m = n = 1 3 reprezintă un plan octaedric (fig.3.14).Tensiunile pe un octaedru,

obţinut prin secţionarea elementului de volum cu opt asemenea plane, numite tensiuni

octaedrice sunt:

σ σσ σ σ

oct m= =+ +1 2 3

3, (3.28)

Fig. 3.14

( ) ( ) ( )τ σ σ σ σ σ σ

τ τ τ

oct = − + − + − =

= + +

1323

1 22

2 32

3 12

12

22

32

(3.29)

Aplicaţia 3.2 Pentru starea spaţială de tensiuni din figura 3.15 să se determine:

a) tensiunile principale;

b) direcţiile principale;

c) tensiunile octoedrice.

I. Recunoaşterea mărimilor date:

Ţinând seama de valorile date, de semnele convenţionale atribuite avem:

σ τ

σ τ

σ τ

x xy

y yz

z zx

MPa MPaMPa MPaMPa MPa

= = −

= − =

= =

180 6080 70

100 50

; ;; ;; .

a) Cu relaţiile (3.21) se calculează invarianţii ecuaţiei (3.20):

I x y z1 180 80 100 200= + + = − + =σ σ σ MPa;

I x y y z z x xy yz zx2

2 2 2

2 2 2 4180 80 80 100 100 80 60 70 50 154 10

= ⋅ + ⋅ + ⋅ − − − =

⋅ − + − ⋅ + ⋅ − − − = − ⋅

σ σ σ σ σ σ τ τ τ

= MPa ;2( ) ( ) ,

Fig. 3.15

Ix yx zx

xy y zy

xz yz z

36

180 60 5060 80 70

50 70 1002 209 10= =

−− − = − ⋅ −

σ τ ττ σ ττ τ σ

, MPa .3

Ecuaţia (3.20) devine:

σ σ σ3 2 4 6200 154 10 2 902 10 0− − ⋅ + ⋅ =, , , a cărei soluţii sunt:

σ σ σ1 2 3206 53 115 32 12185= = = −, , , MPa > MPa > MPa . Utilizând relaţiile (3.26) rezultă:

τσ σ

τσ σ

τσ σ

11 3

21 2

32 3

2206 53 12185

2164 2

2206 53 115 53

245 61

2115 53 12185

2118 6

=−

=+

=

=−

=−

=

=−

=+

=

, , ,

, , ,

, , ,

MPa ;

MPa ;

MPa .

Verificarea acestor soluţii se face recalculând invarianţii ecuaţiei (3.21) luând

drept axe de referinţă axele principale:

II

I

1 1 2 3

2 1 2 2 3 3 14

3 1 2 36

206 53 115 32 12185 200

206 53 115 32 115 32 121 85 12185 206 53 1 54 10206 53 115 32 121 85 2 209 10

= + + = + − == ⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ − ⋅ − ⋅ = − ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = − ⋅

σ σ σσ σ σ σ σ σ

σ σ σ

, , ,

, , , , , , ,, , ( , ) ,

MPa ;

= MPa ; MPa .

2

3

b) Direcţiile principale

Înlocuind σ = σ1 sistemul (2.18) devine:

- 26,53 l- 60 l50 l

1

1

1

⋅ − ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ − ⋅ =

60 50 0286 53 70 070 106 53 0

1 1

1 1

1 1

m nm n

m n

;, ;

, . a cărui soluţii sunt: l1= 0,9249, m1= - 0,1055 şi n1= 0,3655 ceea ce definesc direcţia

tensiunii principale σ1.

Procedând analog pentru (σ = σ2) obţinem valorile l2= - 0,297, m2= 0,4017 şi

n2= 0,8663 care definesc direcţia σ2.

Dacă în sistemul (3.19) introducem σ = σ3 rezultă l3= - 0,6967 şi m3= - 0,9097

şi n3= 0,3405 care sunt cosinuşii directori ai direcţiei σ3

Verificarea soluţiilor obţinute se face din condiţia de ortogonalitate a direcţiilor

s1 , s2 şi s3. Pentru direcţiile (1) şi (2) rezultă:

l l m m n n1 2 1 2 1 2

0 9249 0 297 0 1055 0 4017 0 3655 0 8663 0⋅ + ⋅ + ⋅ =

= − ⋅ − ⋅ + ⋅ =, , , , , , Pentru direcţiile (1) şi (3):

l l m m n n1 3 1 3 1 3

0 9249 0 2373 0 1055 0 9097 0 3655 0 3405 0⋅ + ⋅ + ⋅ =

= − ⋅ + ⋅ + ⋅ =, , , , , , Direcţiile principale sunt reprezentate în figura (3.13,b).

c) Tensiunile octaedrice

Cu relaţiile (3.28) şi (3.29) se obţin:

σ σσ σ σ

oct m= =+ +

=+ −

=1 2 3

3206 53 115 3 12185

366 66, , , , MPa ,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

τ σ σ σ σ σ σoct = − + − + − =

− + + + − − =

1313

20653 1153 1153 12185 12185 20653 1384

1 22

2 32

3 12

2 2 2 = MPa., , , , , , ,

3.9.3. Tensorul sferic şi deviatorul

Când tensiunile principale sunt egale:

σ σ σ σ1 2 3 0= = = ≠m (3.30)

tensorul tensiune se numeşte tensor sferic. Această stare de tensiune are ca efect

numai modificarea volumului fără modificarea formei (sfera se deformează tot în

sferă).

Când suma tensiunilor principale este nulă:

( )σ σ σ σm = + + =13

01 2 3 pentru σ σ σ1 2 30 0 0≠ ≠ ≠, , (3.31)

tensorul tensiune se numeşte deviator. Efectul unei asemenea stări de tensiune este

schimbarea formei fără modificarea volumului (sfera se modifică în elipsoid fără

să-şi modifice volumul).

Ţinând seama de relaţiile (3.30) şi (3.31) orice caz general de tensiune se poate

descompune în două stări:

- una produsă de tensorul sferic

- cealaltă produsă de tensorul deviator.

Se poate astfel exprima starea generală de tensiune:

T T TS Dσ = + , (3.32)

sau explicit:

σ

σσ

σσ

σ

σ σσ σ

σ σ

1

2

3

1

2

3

0 00 00 0

0 00 00 0

0 00 00 0

=

+

−−

−

m

m

m

m

m

m

(3.33)

Această descompunere poate fi ilustrată prin stările de tensiune din figura 3.16

3.10. Variaţia tensiunilor dintr-un corp. Ecuaţiile de echilibru

În analiza stării de tensiune de mai sus s-a făcut ipoteza că tensiunile de pe

feţele paralele ale elementului infinit mic sunt egale în mărime şi de sens contrar.

Această ipoteză este valabilă şi trebuie făcută când se analizează variaţia tensiunilor

Fig. 3.16

în jurul unui punct. La analiza variaţiei tensiunilor într-un corp nu se mai acceptă

această ipoteză pentru că se ia în considerare schimbarea intensităţii tensiunilor

normale şi tangenţiale între două feţe paralele.

Pentru simplificarea demonstraţiei se consideră un element solicitat plan (fig.

3.17). Astfel tensiunea normală σx de pe faţa verticală A devine σ ∂σ∂x

x

xdx+ pe

faţa A' unde ∂σ∂

x

xdx este creşterea tensiunii σx pe distaţna dx în direcţia pozitivă a

axei Ox. În mod similar, τxy de pe faţa A devine τ∂τ

∂xyxy

xdx+ pe faţa A' .

Aceste modificări se produc şi pe direcţia axei Oy aşa cum este prezentat în figura

3.17. Ţinând seama şi de forţele masice X dx dy dz⋅ ⋅ ⋅ şi Y dx dy dz⋅ ⋅ ⋅ ce

acţionează în centrul de greutate al elementului considerat, vom avaea următoarele

ecuaţii de echilibru:

σ σ

∂σ∂

τ τ∂τ

∂x xx

yx yxyxdy dz

xdx dy dz dx dz

ydy dz dx

X dx dy dz

⋅ ⋅ − +

⋅ + ⋅ ⋅ − +

⋅ ⋅ −

− ⋅ ⋅ ⋅ = 0,

Fig. 3.17

σ σ

∂σ

∂τ τ

∂τ

∂y yy

xy xyxydx dz

ydy dx dz dy dz

xdx dy dz

Y dx dy dz

⋅ ⋅ − +

⋅ + ⋅ ⋅ − +

⋅ ⋅ −

− ⋅ ⋅ ⋅ = 0.

Reducând termenii asemenea şi simplificând cu dx⋅dy⋅dz se obţin ecuaţiile:

∂σ∂

∂τ

∂∂τ

∂

∂σ

∂

x yx

xy y

x yX

x yY

+ + =

+ + =

0

0

,

. (3.34)

Relaţiile (3.34) reprezintă variaţia tensiunilor într-un corp pentru starea

plană de tensiune ţinând seama şi de forţele masice.

Dacă forţele masice sunt neglijabile în raport cu celelalte sarcini şi nu se iau în

considerare, relaţiile de mai sus devin:

∂σ∂

∂τ

∂∂τ

∂

∂σ

∂

x yx

xy y

x y

x y

+ =

+ =

0

0

,

. (3.35)

Se constată că variaţia tensiunilor normale trebuie să fie întodeauna

însoţită şi de variaţia tensiunilor tangenţiale şi invers.

Rezultatele obţinute mai sus sunt aplicabile în practică fie că se ia elementul

din figura 3.3 (dacă se analizează starea de tensiune în jurul unui punct) sau

elementul din figura 3.16 (când se analizează variaţia tensiunilor într-un corp).

Prin extrapolare, din ecuaţiile (3.34) se pot obţine relaţiile ce caracterizează variaţia

tensiunilor într-un corp, dacă se ţine seama şi de forţele masice:

∂σ∂

∂τ

∂∂τ∂

∂τ

∂

∂σ

∂

∂τ

∂

∂τ∂

∂τ

∂∂σ∂

x yx zx

xy y zy

xz yz z

x y zX

x y zY

z y zZ

+ + + =

+ + + =

+ + + =

0

0

0

,

,

.

(3.36)

Dacă se neglijează forţele masice ecuaţiile (3.36) devin:

∂σ∂

∂τ

∂∂τ∂

∂τ

∂

∂σ

∂

∂τ

∂

∂τ∂

∂τ

∂∂σ∂

x yx zx

xy y zy

xz yz z

x y z

x y z

z y z

+ + =

+ + =

+ + =

0

0

0

,

,

.

(3.37)

3.11. Deformaţii şi deplasări

Starea de tensiune s-a analizat ca efect al forţelor interioare şi în mod similar se

va analiza modificarea dimensiunilor.

Prin deformaţie se înţelege modificarea dimensiunii ER. Modificarea

lungimii se numeşte lungire, când ER este întins şi respectiv scurtare, când acesta

este comprimat. Lungirile şi respectiv scurtările se notează cu ∆l, ∆x, ∆y, ∆z, etc.

Prin deformaţie unghiulară se înţelege modificarea unghiurilor (drepte) şi se

notează cu ∆ϕ; ∆θ, etc.

Pentru a simplifica şi evidenţia mai clar studiul deformaţiilor, să considerăm un

element plan OABC decupat dintr-un ER solicitat plan. Starea plană de tensiune

poate fi considerată ca fiind suprapunerea a trei stări de tensiune: două stări de

tensiune normală (fig.3.18,b şi c) şi una de forfecare pură (fig.3.18,d). Fiecare din

aceste stări de tensiune produc, deformaţii caracteristice.

Starea de tensiune din figura (3.18,b) modifică lungimea elementului, astfel că

elementul cu dimensiunile iniţiale (linie întreruptă) se schimbă şi ia forma

elementului reprezentat cu linie groasă. Aceste schimbări sunt deformaţii liniare, ∆’x

şi ∆’y - unde ∆’x este o alungire, iar ∆’y o contracţie. Deformaţiile liniare se măsoară

în mm sau µm.

Similar se deformează elementul pentru starea de tensiune din figura (3.18,c),

cu lungirea ∆’’y şi contracţia ∆’’x.

Deoarece deformaţiile liniare nu pot caracteriza bine deformaţiile unui ER,

pentru că depind de dimensiunile acestuia se utilizează noţiunile de deformaţii

specifice.

Se defineşte deformaţie specifică liniară pe o direcţie raportul dintre

alungirea (scurtarea) elementului şi lungimea iniţială a acestuia pe direcţia respectivă.

Pentru elementele din figura (3.18,b,c) se obţin următoarele alungiri specifice:

ε xx

dx' '=∆ şi ε y

ydy

'' ''= ∆ , (3.38,a)

şi scurtări (contracţii) specifice:

ε yy

dy' '= ∆ şi ε x

xdx

'' ''= ∆ (3.38,b)

Tensiunile tangenţiale deformează elementul ca în figura (3.18,c,). Sub

acţiunea tensiunilor tangenţiale elementul îşi modifică numai unghiul drept dar

lungimile laturilor rămân aceleaşi. Modificarea unghiului drept se notează cu γxy.

Deoarece unghiul γxy, este foarte mic, deformaţia specifică unghiulară, se

poate defini astfel:

Fig. 3.18

γ γxy xytg ldx

≈ =∆'''

, (3.38)

şi se numeşte lunecare specifică.

Deformaţiile specifice liniare şi cele unghiulare sunt adimensionale. În

lucrările tehnice de specialitate lungirile specifice se dau în µm/m sau în %, iar

lunecările specifice pot fi exprimate în µm/m sau în radiani.

Deformaţiile specifice sunt tensori ca şi tensiunile.

Drumul parcurs de un punct al ER de la poziţia sa iniţială

corespunzătoare unui ER neîncărcat la poziţia finală, după solicitare se numeşte

deplasare. Deplasările sunt mărimi vectoriale.

Deplasarea, în mod uzual, poate rezulta din următoarele patru tipuri generale:

a) translaţia întregului ER;

b) rotaţia întregului ER;

c) schimbarea dimensiunilor ER;

d) modificarea unghiurilor ER.

Primele două deplasări sunt deplasări ale rigidului, iar ultimele două tipuri sunt

cauzate de deformaţia ER. Deplasările rigidului s-au studiat la cinematică. În

Rezistenţa materialelor se vor studia numai deplasările produse prin deformarea ER.

3.12. Analiza stării plane de deformaţie

Dacă suprapunem toate deformaţiile din figurile (3.18,b,c,d) produse de

tensiunile normale şi de tensiunile tangenţiale se obţine starea plană de deformaţie

(fig.3.18,e).

Elementul infinit mic din figura 3.19 poate fi considerat că reprezintă un

punct din ER. Laturile elementului se iau paralele cu axele alese. Deformaţiile

specifice εx, εy şi γxy asociate sistemului de axe Oxy sunt reprezentate în figura

(3.11,c).

În multe probleme inginereşti se cere determinarea deformaţiilor într-un sistem

particular de axe de coordonate Osn rotit cu unghiul α faţă de sistemul iniţial.

În acest scop se consideră elementul OASB, a cărui diagonală OS face unghiul

α faţă de sistemul iniţial Oxy, (fig. 3.20,b). Diagonala OS este latura elementului din

figura (3.20,a). Starea plană de deformaţie conduce la deformaţiile liniare

ε εx ydx dy⋅ ⋅, şi la deformaţia unghiulară ( )1 + ⋅ε γx xy . Din cauza acestor

deformaţii punctul S se va deplasa în S2 efectuând o rotaţie SS dSn1 = ∆ şi o translaţie

paralelă cu OS: S S ds1 2 = ∆ .

Deplasările punctului S rezulă din insumarea corespunzătoare a catetelor

Fig. 3.19

Fig. 3.20

triunghiurilor dreptunghice 1 2 3, , ce au ipotenuzele ε εx ydx dy⋅ ⋅, ,

( )1 + ⋅ ≈ε γ γxy xy xy şi au câte o catetă paralelă cu ds OS= . Astfel se obţine:

( )∆ds S S AA BB A A

dx dy dxx y x xy

= = + + =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅1 2 4 2 3 2

1ε α ε α ε γ αcos sin sin ,

( )∆ds SS A A B B A A A A B B

dx dx dyn

x xy x y

= = + = − + =

= + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅1 4 3 2 1 1 3 1 4 2 1

1 ε γ α ε α ε αcos sin cos .

Prin împărţirea cu ds rezultă:

( )ε ε α ε α ε γ αx x y x xyds

dsdxds

dyds

dxds

= == ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅∆ cos sin sin ,1

( )Φ∆

1 1= = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅dsds

dxds

dyds

dxds

dxnx y x xyε α ε α ε γ αsin cos cos .

Având in vedere figura 3.20 şi ţinând seama că:

dxds

dyds

= =cos , sinα α

şi că în paranteză εx este foarte mic în raport cu 1 şi se poate neglija, se obţine:

( )

ε ε α ε α γ α α

ε ε α α γ α

α = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

= − − ⋅ ⋅ + ⋅

x y xy

x y xy

cos sin sin cos ,

sin cos cos .

2 2

1Φ (3.40)

Înlocuind în prima relaţie (3.40):

sin cos2 1 22

αα

=− , cos cos2 1 2

2α

α=

+ , sin cos sinα α

α=

22

,

se obţine alungirea specifică liniară pe direcţia α:

αγ+αε−ε

+ε−ε

=εα 2sin212cos

22 xyyxyx (3.41,a)

Unghiul Φ1 reprezintă rotirea laturii OS. Prin deformarea ER se roteşte şi latura

ON, perpendiculară pe OS. Din figura (3.21,a) se observă că unghiul drept NOS, se

micşorează prin deformare şi va deveni:

( )N OS o o2 2 1 2 1 290 90= − + = − −Φ Φ Φ Φ

Modificarea unghiului drept va fi: γ xy = −Φ Φ1 2 .

Această mărime numită lunecare specifică, se poate determina dacă se

cunoaşte şi unghiul Φ2.

Din figura (3.21,b) se determină:

( )

Φ 21 4 3 2 1 2

1

= = =+ −

=

= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

dSdn

NNON

DD D D E EON

dxdn

dxdn

dydn

n

x x xy yε α ε γ α ε αcos sin sin .

Ţinând seama că:

dxdn

dydn

= =sin , cos .α α

şi în paranteză neglijând pe ε x faţă de 1, se obţine:

( )Φ 22= − ⋅ ⋅ + ⋅ε ε α α γ αx y xysin cos sin

Prin urmare lunecarea specifică rezultă:

( ) ( )γ ε ε α α γ α αxy x y xy= − = − − ⋅ ⋅ + ⋅ −Φ Φ1 22 22 sin cos cos sin ,

şi ţinând seama de expresiile funcţiilor trigonometrice ale unghiului dublu:

Fig. 3.21

( )γ ε ε α γ αxy x y xy= − − ⋅ + ⋅sin cos .2 2 (3.41,b)

Relaţiile (3.4) exprimă deformaţiile specifice în sistemul de axe Osn, rotit cu

unghiul α faţă de sistemul iniţial Oxy, în care se cunosc deformaţiile specifice: εx, εy

şi γxy. Aceste relaţii permit analiza stării plane de deformaţie.

Se observă că relaţia (3.41,a) are structură identică cu relaţia (3.4,a), iar

(3.41,b) cu (3.4,b). Dacă face înlocuirea:

σ ε↔ şi τ γ↔12 xy , (3.42)

se pot deduce unele relaţii din celelalte. Acest fapt este normal dacă se are în vedere

că atât tensiunile cât şi deformaţiile specifice sunt mărimi tensoriale şi ca atare

respectă aceleaşi reguli.

Dacă se ia în considerare relaţia de similitudine (3.42) se poate scrie, fără

demonstraţie, relaţiile care dau direcţiile principale:

tg xy

x y

2 1 2αγ

ε ε, ,=−

sau

αγ

ε επ

1 212 2, = ⋅

−±arctg xy

x y

. (3.43)

Dacă se urmăreşte obţinerea unghiului α1 se utilizează relaţia :

( )

αγ

ε ε122

=⋅ −

arctg xy

x

, (3.44)

precum şi deformaţiile specifice principale:

( )εε ε

ε ε γ1 2

2 2

212, .=

+± ⋅ − +x y

x y xy (3.45)

Deformaţia specifică medie este:

εε ε ε ε ε εα α

mx y z o

ct=+

=+

=+

=+

2 2 21 90 . (3.46)

Lunecarea specifică maximă respectiv minimă:

( ) ( )γ ε ε ε ε γ1 2 1 22 2

, = ± − = ± − +x y xy (3.47)

Direcţiile pe care se află lunecările specifice maxime:

tgtg

x

xy

2 121 2

2

1 2

αε εγ α,

,

,=−

= − (3.48)

de unde rezultă:

α απ

1 2 1 2 4, ,= ± . (3.48,a)

3.13. Cercul lui Mohr pentru starea plană de deformaţie

Ţinând seama de relaţia de similitudine (3.42) rezultă că analiza stării plane de

deformaţie (variaţia deformaţiilor în jurul unui punct), poate fi analizată pe cale

grafică, utilizând cercul lui Mohr. Relaţia (3.10), ţinând seama de (3.42) devine:

( ) .21

21

2

22xy

2yx

22yx

γ+ε−ε=

γ+

ε+ε−ε (3.49)

Cercul lui Mohr pentru starea de deformaţie (fig. 3.22) are:

- sistemul de axe: abscisa ε;

ordonata γ/2.

- coordonatele centrului C:

εε ε ε ε

mx y=+

=+

2 21 2 , γ=0

- raza OS1:

( ) ( )12

12

121 2

2 2γ ε ε ε ε γmax ,= − = − +x y xy

- parametru în coordonate polare:

2α

- fiecărui punct de pe cercul lui Mohr îi corespunde, ca abscisă -deformaţia

specifică liniară (ε) şi ca ordonată -jumătate din lunecarea specifică (γ/2),

-deformaţiilor specifice liniare extreme ε1 şi ε2 pentru care γ = 0, le corespund

punctele S1 şi S2 de pe axa Oε.

Aplicaţia 3.2 Pentru starea plană de deformaţie caracterizată prin

ε x = 500 µm m/ ε y = 300 µm m/ , γ xy = −600 µm m/ , să se determine prin metoda

analitică şi grafică:

a) deformaţiile specifice principale;


c) să se reprezinte aceste mărimi.

I Metoda analitică:

a) Utilizând relaţia (3.45) se obţine:

( )

εε ε ε ε

γ

µ

1 2

22

2 2

212 2

500 3002

12

500 300 600 100 500

,

/

=+

±−

+ =

=−

± + + = ±

x y x yxy

m m.

Fig. 3.22

ε1 = 600 µm/m, ε2 = - 400 µm/m, εε ε

µmx y m m =+

=2

100 / ,

( )γ ε ε γ µ1 2

21000, /= ± − + = ±x y xy m m.

b) Direcţia principală (1) cu relaţia (3.44):

( )α

γ

ε ε122

18 43=−

= −arctg xy

x

o, .

c) Reprezentarea se face ducând direcţia principală (1) faţă de orizontală şi se

ia un element pe această direcţie ale cărui laturi le modificăm cu ε1 latura paralelă cu

direcţia (1) şi cu ε2, latura perpendiculară pe direcţia (1), obţinându-se elementul

deformat după direcţia (1) (fig.3.22,a). Faţă de direcţia (1) se duce o direcţie la ±45°

(în figură, la + 45°) pe care se ia un element de volum la care-i modificăm laturile cu

εm. Ţinând seama că ε1 este efectul lui σ1 şi ε2 al lui σ2 se obţine sensul tensiunilor

tangenţiale τ (fig.3.22,a).

Se micşorează unghiul drept din colţul săgeţilor lui τ. Unghiul drept se

modifică cu valoarea γ1 sau γ2 (pe desen γ1 deoarece micşorează unghiul drept în sens

orar, fig.3.22,b). Direcţia dusă este direcţia (2ă) (τ1 este paralel cu această direcţie)

iar unghiul este α 2, = 26,57° şi este măsurat de la orizontală la direcţia dusă.

Fig. 3.23

II Metoda grafică

În sistemul de axe εO γ2

, se reprezintă la scară punctele A x xyε γ; 12

=

A(500,300) şi B y xyε γ;−

12

= B(-300,-300), segmentul AB este diametrul cercului

lui Mohr, iar intersecţia acestuia cu axa Oε este centrul cercului C(εm , 0) (fig.3.23).

Intersecţia cercului cu axa Oε ne dă punctele S1(ε1, 0), la dreapta şi S2(ε2, 0) la stânga.

a) Deformaţiile specifice principale se obţin ca fiind măsura segmentelor:

ε µ1 1 600= =OS m m/ ;

ε µ2 2 400= = −OS m m/ ;

ε µm OC m m= = 100 / ;

γ µ1 2 1 1000= =S S m m/ ;

b) Direcţia principală (1): Raza CA este orizontala pe cerc. Unghiul de la CA

la sensul pozitiv al axei Oε este 2 1α . Simetricul orizontalei de pe cerc faţă de axa Oε

(punctul A´) unit cu S2 ne dă direcţia principală (1). Unghiul de le axa Oε la direcţia

Fig. 3.24

(1) este α1 , (α1 18 5= − , o ).

c) Cunoscând direcţia principală (1), precum şi deformaţiile specifice

principale, reprezentarea acestora se face ca la metoda analitică (fig. 3.23,b şi c).

3.14. Măsurarea deformaţiilor

Tensiunile şi deformaţiile specifice sunt mărimi abstracte şi ca atare este

imposibil, din punct de vedere fizic, să fie măsurate. Se pot, însă, măsura deformaţii

finite.

Deformaţiile finite se pot măsura pentru lungimi finite de pe suprafaţa (ER).

Dacă deformaţia se măsoară pe o lungime relativ mică, se poate evalua o deformaţie

medie pe unitatea de lungime care poate fi luată ca o valoare aproximativă a

deformaţiei specifice într-un punct de măsură. Pe această bază lungirea specifică

poate fi aproximată cu raportul dintre lungirea (scurtarea) măsurată pe o mică

lungime la lungimea respectivă.

Deformaţiile unghiulare sunt mult mai dificil de măsurat; acestea au valori

foarte mici şi trebuie măsurate pe un element cât mai mic de pe suprafaţa ER.

Pentru măsurarea lungirilor specifice există mai multe metode (mecanice,

optice, electrice).

În problemele de Rezistenţa materialelor se cer determinarea deformaţiilor

specifice după direcţiile principale. La piesele simple şi supuse la solicitări simple se

cunosc direcţiile principale şi în astfel de cazuri se măsoară deformaţiile specifice

după aceste direcţii.

Sunt însă foarte multe cazuri în care nu se cunosc nici direcţiile principale şi

nici deformaţiile specifice principale. Pentru aceste cazuri se măsoară lungirile

(scurtările) după trei direcţii ceea ce conduce la eliminarea măsurării lunecării

specifice, γxy, care este mai dificil de măsurat.

La început s-au măsurat lungirile cu ajutorul extensometrelor mecanice, apoi s-

a utilizat amplificarea optică pentru a se uşura citirea cu ochiul liber a deformaţiilor

mici. În prezent se folosesc traductoare, care utilizează pentru măsurarea deformaţiei

variaţia rezistenţei, a inductanţei, a capacităţii, a efectului piezoelectric, etc.

Pentru măsurarea deformaţiei specifice pe trei direcţii într-un punct se

utilizează un grup de traductoare montate pe acelaşi suport. Cele mai larg răspândite

sunt cele la care unghiurile α’, β’ şi γ’ (fig. 3.24,a şi b) sunt multiplu de 15° şi ele pot

fi aranjate în rozete delta (fig. 3.24,b) cu α’=β’=γ’=60° sau rozete în evantai

(fig. 3.24,a) cu α’=β’=γ’=120°. De asemenea se utilizează şi rozeta în evantai cu

α'=β’=135° şi γ’=90°.

Analiza stării de deformaţie, pe baza deformaţiilor determinate cu ajutorul unei

rozete se poate face pe cale analitică sau grafică.

Pentru a rezolva pe cale analitică, cunoscând deformaţiile specifice după cele

trei direcţii, adică εa, εb şi εc, şi unghiurile α, β şi γ (fig. 3.26), din relaţia (3.25,a) se

pot scrie următoarele trei ecuaţii:

εε ε ε ε

α γ αax y x y

xy=+

+−

+2 2

2 12

2cos sin ,

εε ε ε ε

β γ βbx y x y

xy=+

+−

+2 2

2 12

2cos sin ,

εε ε ε ε

γ γ γcx y x y

xy=+

+−

+2 2

2 12

2cos sin . (3.50)

Rezolvând aceste ecuaţii se obţin valorile pentru εx, εy şi εxy şi cu aceste valori

se pot determina deformaţiile specifice principale, direcţiile principale cu ajutorul

relaţiilor (3.45) şi (3.44).

Se mai pot determina deformaţiile specifice medii şi lunecarea specifică maximă cu

relaţiile (3.46) şi (3.47), etc.

3.15. Utilizarea cercului lui Mohr

pentru analiza deformaţiilor

Metoda analitică de scriere a celor trei ecuaţii pentru cele trei braţe ale rozetei,

rezolvarea sistemului şi apoi obţinerea deformaţiilor specifice principale este o cale

destul de laborioasă. Metoda grafică pentru rezolvarea stării plane de deformaţie este

mai operativă şi aceasta se exemplifică prin următoarea aplicaţie.

Fig. 3.26

Fig. 3.25

Aplicaţia 3.3. Deformaţiile specifice ale unei plăci solicitate în planul ei sunt

cele din figura 3.27 (valorile sunt date în µm/m). Să se determine prin metoda

analitică şi grafică:



c) să se reprezinte elementele rotite şi

deformate după direcţiile principale.

I Metoda analitică

Se notează direcţiile de măsurare în sens orar de la orizontală până la εa, εb şi

εd cu respectiv α, β, şi γ (fig. 3.27,a).

a) Înlocuind în sistemul de ecuaţii (3.50) se obţine sistemul:

3002 2

2 15 12

2 15=+

+−

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ε ε ε ε

γx y x y oxy

ocos sin ;

1502 2

2 135 12

2 135=+

+−

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ε ε ε ε

γx y x y oxy

ocos sin ;

− =+

+−

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅2002 2

2 255 12

2 255ε ε ε ε

γx y x y oxy

ocos sin ,

care prin rezolvare conduce la:

Fig. 3.27

Fig. 3.27

ε µx m m= 372 0, / ; ε µy m m= −205 3, / ; γ µxy m m= −133 3, / .

Cu aceste valori înlocuite în relaţia (3.45) se obţin:

( )ε µ1 22 2372 205 4

212

372 205 4 133 3 83 35 296 25,, , , , , / ;=

−± + + = ± m m

de unde rezultă: ε µ1 379 6= , / ;m m

ε µ2 212 9= − , / ;m m γ µ1 592 5= , / ;m m

ε µm m m= 83 35, / .

b) Direcţia principală (1) se obţine cu

relaţia (3.44,a´):

.5,6)9,212372(2

3,133arctg o1 −=

+⋅−

=α

c) Procedând analog ca la problema 3.2 se obţin elementele rotite şi deformate

după direcţia (1) (fig.3.27,b) şi după direcţia (2’) (fig.3.27,c)

II Metoda grafică

Se rearanjează rozeta prin translaţia unui braţ astfel încât să avem valoarea

intermediară (150) între valoarea maximă (300) şi cea minimă (-200). Se va avea în

Fig. 3.28

Fig. 3.29

vedere ca unghiul peste braţele unde sunt valorile extreme ale deformaţiilor specifice

de la rozeta rearanjată să fie mai mic de 180°. Mărimile corespunzătoare rozetei să fie

notate ε ε ε α δA B D, , , , . Se notează întotdeauna cu ε B valoarea intermediară şi

unghiurile α şi δ de la ε B la braţele εA respectiv ε D (fig.3.28). Se alege axa γ / 2

orientată în jos şi se iau trei axe paralele cu axa γ / 2 la abscisele ε εA B, şi ε D (la

scară). De la direcţia ε B se măsoară unghiurile α şi δ în sensurile lor, obţinăndu-se

direcţiile (α ) şi (δ) conform figurii 3.29.

La intersecţia direcţiei (α ) cu direcţia (εA ) se obţine punctul A, iar la

intersecţia direcţiei (δ) cu (ε D ) se obţine punctul D. Ducând mediatoarele

segmentelor B’A şi B’D, la intersecţia lor se obţine punctul C care este centrul

cercului lui Mohr. Se trasează cercul cu centrul în C şi cu razele CA, CB’ şi CD. Prin

C se duce axa orizontală care este axa Oε . La intersecţiile cercului cu axa Oε rezultă

punctele S1(ε 1 ,0) la dreapta şi S2(ε 2 ,0) la stânga. Simetricul punctului B´ de pe cerc

faţă de axa Oε este punctul B. Segmentele CA, CB şi CD sunt direcţiile lui εA , ε B şi

ε D pe cerc faţă de axa Oε .

Observaţie: O primă verificare se face prin măsurarea unghiurilor la centru

BCA şi BCD care trebuie să fie 2α şi respectiv 2δ .

Se determină valorile deformaţiilor specifice principale ca fiind mărimea

segmentelor (măsurate la scara utilizată):

ε µ1 1 380= =OS m m/ ; ε µ2 2 213= = −OS m m/ ;

γ µ1 1 2 593= =S S m m/ ; ε µm OC m m= = 83 5, / .

1. Direcţia principală (1). De pe rozeta reorientată, se observă că pentru a

obţine orizontala trebuie să rotim braţul (εA ), în sens antiorar, cu 15o . Pentru a obţine

orizontala pe cerc vom roti direcţia lui εA (care este raza CA) în sens antiorar cu

2 15⋅ o , obţinând orizontala pe cerc. Unghiul de la orizontala pe cerc la sensul pozitiv

al axei Oε este 2 1α . Unind simetricul orizontalei de pe cerc faţă de axa Oε (punctul

M´) cu S2 se obţine direcţia (1). Unghiul de la axa Oε la direcţia (1) este α1 .

Reprezentarea se face analog ca la metoda analitică obţinând elementele

deformate după direcţia (1), figura (3.9,b) şi după direcţia (2’), figura (3.29,c).

Verificarea mărimilor deformaţiilor specifice principale se face astfel:

ε ε ε ε1 ≥ max ; ; ;A B D

ε ε ε ε2 ≤ min ; ; .A B D

Verificarea direcţiilor principale se face ducând direcţia (1) şi respectiv (2) pe

rozeta rearanjată (fig.3.28) şi trebuie să avem direcţia (1) mai aproape de valoarea

deformaţiei specifice maxime date (unghiul de 27o între direcţia (1) şi εA este mai

mic decât unghiul de 33o dintre direcţia (1) şi ε B ), iar direcţia (2) mai aproape de

valoarea minimă dată ε D (unghiul de 3o).

3.16. Analiza stării spaţiale de deformaţie

Deformaţia specifică liniară după un versor v l i m j n k= ⋅ + ⋅ + ⋅ , se obţine din

(3.16) şi este:

ε ε ε ε γ γ γv x y z xy yz zxl m n lm mn lm= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅2 2 2 (3.51)

Deformaţiile specifice principale ε ε1 2, şi ε 3 se obţin din ecuaţia:

ε ε ε31

22 3 0− ⋅ + ⋅ − =I I I , (3.52)

unde:

I x y z1 = + +ε ε ε ,

( )2zx

2yz

2xyxzzyyx2 4

1I γ+γ+γ−ε⋅ε+ε⋅ε+ε⋅ε= ,

I

x yx zx

xy y zy

xz yz z

3

12

12

12

12

12

12

=

ε γ γ

γ ε γ

γ γ ε

. (3.53)

Direcţiile principale se determină în mod identic ca la variaţia tensiunilor. Se

precizează că deformaţiile specifice principale coincid cu direcţiile principale ale

tensiunilor.

Lunecările specifice principale se dezvoltă în planele bisectoare ale planelor de

deformaţie şi au valorile:

. ;

;

12213

23321

13312

γ=ε−ε=γ

γ=ε−ε=γ

γ=ε−ε=γ

(3.54)

Aplicaţia 3.4. Tensorul deformaţiilor specifice într-un punct al unui corp

solicitat în spaţiu are componentele:

Tσ =−

− −

1600 200 300200 800 400300 400 1200

,

Să se determine :


b) direcţiile principale.

Rezolvare:

Se calculează cu relaţiile (3.53) invarianţii:

I m mx y z1 1600 800 1200 1200= + + = + − =ε ε ε µ / ;

( )

( ) ( )

I

m m

x y y z z x xy yz zx22 2 2

2 2 2 6 2

12

1600 800

800 1200 1200 1600 12

200 300 400 1 89 10

= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ −

− ⋅ − ⋅ − + + = − ⋅

ε ε ε ε ε ε γ γ γ

µ, / ;

( )I m m39 3

1600 200 300200 800 400300 400 1200

1864 10=−

− −= − ⋅, / ,µ

obţinându-se ecuaţia:

ε ε3 2 91200 1 89 10 0− ⋅ − ⋅ =, .

Prin rezolvare se obţin:

ε µ1 1662= m m/ ; ε µ2 852 7= , / ;m m ε µ3 1315= m m/ .

Verificarea se face prin recalcularea invarianţilor, pentru ε1, ε2 şi ε3 :

I m m1 2 311662 852 7 1315 1200= + + = + − ≅ε ε ε µ, / ;

I m m2 1 2 2 3 3 161 89 10= ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ε ε ε ε ε ε µ, / ;

I m m3 1 2 391864 10= ⋅ ⋅ = − ⋅ε ε ε µ, / , .

Direcţiile principale se obţin prin introducerea pe rând a lui şi ε ε1 2, şi

respectiv ε 3 în sistemul de ecuaţii (3.19), scrise pentru deformaţiile specifice, şi se

obţin:

− ⋅ + ⋅ − ⋅ =62 4 200 300 01 1 1, ;l m n

200 862 4 400 01 1 1⋅ − ⋅ + ⋅ =l m n, ;

− ⋅ + ⋅ − ⋅ =300 400 2862 01 1 1l m n ,

din care rezultă soluţiile:

l m n1 1 10 9515 0 1866 0 0737= = =, ; , ; , .

Analog:

- pentru ε2 :

l m n2 1 10 172 0 9618 0 2126= − = =, ; , ; , ;

- şi pentru ε 3:

l m n3 1 10 1136 0 1948 0 9742= = − =, ; , ; , .

Pentru verificarea acestor soluţii se foloseşte condiţia de ortogonalitate dintre

aceste direcţii. Pentru ε 1 şi ε 2 şi se obţine:

l l m m n n1 2 1 2 1 2 0 9515 0 172 0 1866 0 9618 0 0737 0 2126 0⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ =, , , , , , .

Pentru ε 1 şi ε 3:

l l m m n n1 3 1 3 1 3 0 9515 0 1136 0 1866 0 1948 0 0737 0 9742 0⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ =, , , , , , .

Cele trei direcţii obţinute sunt perpendiculare între ele.

Lunecările specifice maxime sunt:

γ ε ε µ1 1 3 1662 1315 2977= − = + = m m/ ;

γ ε ε µ2 2 3 852 7 1315 2167 7= − = + =, , / ;m m

γ ε ε µ3 1 2 1662 852 7 809 3= − = − =, , / .m m

3.17. Deplasări

Fie un paralipiped OABCDEMF, care face parte dintr-un ER, din care se

consideră segmentul OM. Dacă asupra ER acţionează un sistem de forţe exterioare

segmentul se deplasează într-o nouă poziţie O’M’ şi se deformează (fig.3.30).

Drumul parcurs de un punct al ER de la poziţia sa în ER neâncărcat la

poziţia finală, după solicitare, se numeşte deplasare.

Deplasarea, în mod uzual, poate rezulta din următoarele situaţii:

a) translaţia întregului ER,

b) rotaţia întregului ER,

c) schimbări de lungime în ER,

d) modificări de unghiuri în ER.

Primele două tipuri de deplasări sunt deplasări de corp rigid, în timp ce ultimile

două sunt cauzate de deformaţia ER. În cele ce urmează se vor studia numai

deplasările ce sunt produse de

deformarea ER.

Se consideră că punctul O se

deplasează în O’ prin deformare.

Vectorul δ = OO' se numeşte

deplasare totală a punctului O.

Proiecţiile acestuia sunt: u pe axa

Ox, v pe axa Oy şi w pe axa Oz. În

acest caz vectorul deplasare totală

se exprimă prin:

Fig. 3.30

δ = ⋅ + ⋅ + ⋅u i v j w k , iar modulul său este δ = + +u v w2 2 2 (3.51)

Dar segmentul de dreaptă OM se roteşte cu unghiul ϕ din poziţia iniţială în

poziţia O’M’, datorită deformării ER (fig. 3.31). Acest unghi se poate determina fie

din expresiile cosinusurilor directoare a noii direcţii, fie utilizând unghiurile lui Euler.

Ambele căi sunt laborioase şi se utilizează mai puţin.

Deplasările sunt funcţii de poziţia punctului. Astfel, deplasările unui punct M

ce se găseşte în vecinătatea punctului O (fig. 3.31) se deduc din deplasările u, v, w ale

punctului O. Pentru a evidenţia cele arătate şi a simplifica analiza se consideră un

element plan OABC. Acest element în urma solicitării se deformează în elementul

O’A’B’C’ cunform figurii 3.32.

Admiţând ipoteza micilor deformaţii, se poate considera că deplasările

punctelor vecine punctului O pot fi descrise de primii doi termeni ai seriei Taylor,

funcţie de componentele u şi v ale deplasării δ. În acest caz deplasările punctului A

sunt date de expresiile:

u AA u ux

dxA = = + ⋅' ' ∂∂

, v A A v vx

dxA = = + ⋅' ' ' ∂∂

.

Fig. 3.31

În mod similar pentru punctul B se obţine:

u B B u uy

dyB = = + ⋅'' ' ∂∂

, v BB v vy

dyB = = + ⋅' ' ∂∂

.

Ţinând seama de relaţiile de mai sus, deplasările liniare ale punctelor O, A, B

sunt:

δ = ⋅ + ⋅u i v j ,

δ∂∂

∂∂A u u

xdx i v v

xdx j= +

⋅ + +

⋅ , (3.52)

δ∂∂

∂∂B u u

ydy i v v

ydy j= +

⋅ + +

⋅ .

Simultan cu deplasarea liniară δ se produce deplasarea unghiulară ϕ . Din

figura 3.32 se observă că latura O’A’ este rotită faţă de poziţia iniţială OA cu unghiul

d xyΦ . Întrucât unghiurile sunt foarte mici se poate considera că ( )tg d dxy xyΦ Φ≅ .

Deci, deplasările unghiulare sunt:

d

vx

dx

dxvxxyΦ − =

∂∂ ∂

∂, d

uy

dy

dyuyyxΦ − =

∂∂ ∂

∂. (3.53)

Deplasările liniare ale punctelor O, A, B, C ale paralelipipedului din figura

3.31, se pot scrie ţinând seama de relaţiile (3.52) şi de faptul că, pentru acest caz,

trebuie să se ia în considerare şi deplasarea după axa Oz.

Deplasările unghiulare ale segmentului O’M’ (fig.3.30) se obţin din

compunerea deplasărilor similare din planurile yOx, date de relaţiile (3.32) şi din

deplasările similare din planurile yOx şi zOx.

3.18. Relaţii între deplasări şi deformaţii

Paralelipipedul elementar se deformează, laturile lui se lungesc şi se înclină

(fig.3.31) în funcţie de starea de tensiune din punctul considerat şi de poziţia

punctului în ER.

Deformarea paralelipipedului elementar este complet determinată dacă se

cunosc deplasările celor opt colţuri ale sale.

Alungirile specifice, după axele x,y şi z rezultă:

ε

∂∂ ∂

∂xdx

dx

u ux

dx u

dxux

= =+

−

=∆ ,

ε

∂∂ ∂

∂ydy

dy

v v dy v

dyvy

= =+

−

=∆ ,

ε

∂∂ ∂

∂zdz

dz

w wz

dz w

dzwz

= =+

−

=∆ . (3.54)

În cazul stării plane (fig.3.32) lunecarea specifică este egală cu modificarea

unghiului drept, dintre axele x şi y, adică

γ∂∂

∂∂xy xy xyd d v

xuy

= + = +Φ Φ .

În cazul general (fig.3.31) se produc trei lunecări specifice, câte una pentru

fiecare plan ortogonal. Similar cu relaţia de mai sus, se obţin relaţii identice ale

lunecărilor specifice în celelalte planuri ortogonale:

γ∂∂

∂∂xy

uy

vx

= + , γ ∂∂

∂∂yz

vz

wy

= + , γ ∂∂

∂∂zx

wx

uz

= + . (3.55)

Mărimile εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx sunt mărimi tensoriale similare tensiunilor şi ca

atare se pot reprezenta sub aceeaşI formă.

Tensorul deformaţiilor specifice este:

T

x yx zx

xy y zy

xz yz z

ε

ε γ γ

γ ε γ

γ γ ε

εε

ε=

=

12

12

12

12

12

12

0 00 00 0

1

2

3

(3.56)

3.19. Ecuaţiile de continuitate a deformaţiilor

Derivând de două ori prima relaţie (3.54) în raport cu y, a doua în raport cu x,

prima relaţie (3.34) în raport cu x şi apoi cu y, rezultă trei expresii. Eliminându-se

deplasările între derivatele obţinute se obţine:

∂ ε∂

∂ ε

∂

∂ γ

∂ ∂

2

2

2

2

2x y xy

y x x y+ = (3.57)

Procedând în mod similar cu celelalte relaţii rezultă:

∂ ε∂

∂ ε

∂

∂ γ

∂ ∂

∂ ε

∂∂ ε∂

∂ γ

∂ ∂

∂ ε∂

∂ ε∂

∂ γ∂ ∂

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x y xy

y z yz

z x zx

y x x y

z y y z

x z z x

+ =

+ =

+ =

,

,

.

(3.58)

Acestea sunt ecuaţiile de compatibilitate sau de continuitate a deformaţiilor,

care exprimă fizic menţinerea continuităţii corpului după deformaţie.

4. COMPORTAREA MECANICĂ A ELEMENTELOR DE

REZISTENŢĂ

4.1. Aspectul fizic

Analiza tensiunilor, respectiv a deformaţiilor s-a studiat separat, independent

una de alta şi fără a se ţine seama de caracteristicile fizico-mecanice ale materialului

din care este confecţionat ER. În realitate, însă, tensiunile şi deformaţiile depind una

de alta şi interdependenţa este în funcţie directă de proprietăţile fizico-mecanice ale

materialului ER.

În rezistenţa materialelor se analizează starea de tensiune şi respectiv starea de

deformaţie a corpurilor în echilibru. Echilibrul în rezistenţa materialelor, numit

echilibru static, diferă de echilibrul din mecanică care presupune acceleraţie nulă.

ER sub acţiunea forţelor, în echilibru, se deformează şi deci unele părţi ale sale se

vor mişca faţă de altele. Mişcarea va fi accelerată până ce se atinge o anumită

deformaţie. Procesul de deformaţie va lua sfârşit când forţele interne, cauzate de

deformaţie, ajung să fie suficient de mari pentru a echilibra acţiunea forţelor

exterioare. Când acest stadiu este atins ER va fi din nou în echilibru. Dacă forţele

interioare nu vor putea fi atât de mari încât să oprească deformaţiile, ER se va

rupe.

Încărcarea se numeşte statică dacă forţele sunt astfel aplicate încât

creşterea deformaţiilor este mică şi se poate presupune că efectul acceleraţiei

este neglijabil pe durata procesului de deformare. Un asemenea proces se

numeşte proces cvasi-static. În cele ce urmează se va înţelege prin încărcare

statică, procesul cvasi-static produs de sarcini.

Aspectul fizic în rezistenţa materialelor reprezintă relaţiile de legătură

între tensiuni şi deformaţii. Aceste relaţii precum şi proprietăţiile fizico-mecanice

ale materialelor se stabilesc pe cale experimentală (prin încercări mecanice).

4.2. Încercarea la tracţiune

4.2.1. Epruveta

Legătura dintre tensiuni şi deformaţii se poate stabili, mai simplu şi

convenabil, pe un ER lung în care există o stare uniaxială de tensiune. Pentru aceasta

se consideră o epruvetă (fig.4.1) acţionată axial, la cele două capete, de forţele F (fig.

4.1,a). Starea uniaxială de tensiune se observă pe elementul de volum, decupat din

bară (fig. 4.1,c).

Ecuaţia de echilibru pentru partea din stânga a epruvetei (fig. 4.1,b) este;

F dA

A

− ⋅ =∫ σ 0.

Acceptând ipoteza că tensiunile normale sunt uniform distribuite pe

întreaga secţiune (σ = ct.) din ecuaţia de echilibru de mai sus se obţine F = σ ⋅A0 ,

din care rezultă;

σ =F

A0

. (4.1)

Fig. 4.1

Încercarea la tracţiune a metalelor se poate efectua pe o epruvetă cilindrică din

oţel ca cea din figura (4.1,a) , conform SR EN 10002-1; 1994. Aceasta are acelaşi

diametru pe lungimea calibrată Lc. Pe această lungime se marchează două repere la

distanţa L0 , numită lungimea între repere. Lungimea epruvetei se consideră ca

fiind lungimea între repere L0 .

Alungirea elementului dx este;

∆dx dx= ⋅ε ,

iar alungirea epruvetei (între cele două repere ) va fi ;

L dx dxL L

= = ⋅∫ ∫∆0 0

0 0 ε .

Acceptând ipoteza că lungimea specifică este aceeaşi pe toată lungimea

calibrată (ε = ct.), din relaţia de mai sus se obţine ;

∆L L= ⋅ε 0 ; ε = ∆LL0

. (4.2)

4.2.2. Maşina de încercări mecanice şi aparate de măsură

Capetele epruvetelor au diverse forme, alese corespunzător dispozitivelor de

fixare ale maşinii de încercat. Maşina de încercat este o presă specială ce asigură

creşterea lentă a forţei axiale F şi măsurarea precisă a valorii acesteia în condiţii de

viteză de încărcare prescrisă.

Alungirea epruvetei (intre repere) se măsoară, cu un aparat numit

extensometru, concomitent cu măsurarea forţei axiale. Extensometrul se fixează pe

epruvetă prin două perechi de cuţite de fixare: o pereche fixă şi cealaltă mobilă.

Acestea se prind pe epruvetă în dreptul reperelor (la distanţa L0).

4.2.3. Diagrama încercării la tracţiune

În timpul creşterii sarcinii se citesc, simultan, valorile intermitente ale sarcinii,

respectiv ale alungirii. Multe laboratoare dispun de instalaţii ce înregistrează

diagrama forţă - alungire. Diagrama încercării la tracţiune F = f(∆l), înregistrată de

către aparatură sau reprezentată pe baza măsurătorilor, pentru oţel moale, are forma

din figura (4.2,a). Pentru a obţine diagrama σ = f(ε), se utilizează relaţiile (4.1) şi

(4.2); se împarte sarcina F la aria iniţială A0 şi respectiv alungirea ∆L la lungimea

iniţială L0. Reprezentând grafic datele obţinute, în sistemul de axe; abscisă-

alungirile specifice ε şi ordonată - tensiunile σ, se obţine curba caracteristică a

materialului. Pentru oţel, aceasta arată ca în figura (4.2,b).

Pentru calculul de rezistenţă prezintă interes o parte din curba caracteristică şi

anume OPECC′A.

4.3. Caracteristicile elastice şi mecanice ale materialelor

Curba caracteristică are o serie de puncte deosebite, numite limite, ce definesc

următoarele mărimi caracteristice;

Fig. 4.2

a) Limita de proporţionalitate, marcată pe curbă de punctul P, este tensiunea

maximă până la care există liniaritate între tensiuni şi deformaţii (σppF

A=

0

).

Ecuaţia zonei de proporţionalitate (a porţiunii OP) este;

σ ε= ⋅E , (4.3)

şi se numeşte Legea lui Hooke. Aceasta arată că, până la limita de

proporţionalitate alungirile specifice sunt proporţionale cu tensiunile .

Caracteristica E se numeşte modul de elasticitate longitudinal (modulul lui

Young). Fiecare material are o valoare unică a acestei caracteristici, ce este o măsură

a rigidităţii materialului respectiv. Astfel oţelurile, indiferent de calitatea acestora,

au în medie; EOL ≅210 GPa, iar aluminiul EAL≅ 75 GPa.

Valorile modulelor de elasticitate şi ale caracteristicilor elastice pentru diferite

materiale sunt date, în tabele (vezi anexa 2).

Numai două materiale au curba caracteristică cu zonă de proporţionalitate,

oţelul şi lemnul. Acestea `ascultă de legea lui Hooke`. Celelalte materiale au

caracteristici curbilinii. Deoarece este util să se utilizeze legea lui Hooke şi la aceste

materiale, prin SR EN 10002-1,2; 1994, se definesc termeni specifici pentru modulul

de elasticitate.

Aici se vor defini numai;

b) Modulul de elasticitate convenţional liniar, care este raportul dintre

tensiune şi alungirea specifică corespunzătoare, la metalele care prezintă o porţiune

elastică liniară a curbei caracteristice de tracţiune;

E =σε

. (4.4)

Pentru alte materiale este necesar să se consulte SR EN 10002-1,2; 1994.

c) Limita de elasticitate, marcată pe curba caracteristică prin punctul E

(fig.4.2,b), este valoarea tensiunii maxime, până la care materialul este perfect elastic;

σ eEF

A=

0

. (4.5)

Experienţele au arătat că nu există nici un material perfect elastic, adică după

descărcarea de forţă nu revine la lungimea iniţială. Toate materialele, chiar la o

solicitare relativ mică, prezintă, o deformaţie permanentă. Valoarea acestei

deformaţii depinde de mărimea sarcinii aplicate.

d) Limita de curgere (aparentă), marcată pe curba caracteristică prin punctul

C (fig.4.2,b) şi este valoarea tensiunii la care alungirea creşte cu toate că sarcina se

păstrează aproape constantă (fig.4.2,b);

σ ccF

A=

0

. (4.6)

În SR EN 10002-1; 1994 limita de curgere se notează şi cu Rc.

După atingerea limitei de curgere epruveta continuă să se deformeze plastic,

fără creşterea tensiunii. Curba caracteristică are un traseu oscilant, între limita de

curgere superioară σcs şi limita de curgere inferioară σci. Valoarea medie a

oscilaţiilor se poate aproxima printr-o dreaptă, ce se numeşte palier de curgere CC′

(fig.4.2). Deformaţia plastică ce se produce pentru palierul de curgere (CC′) este, la

oţel moale, de 20...50 ori mai mare decât la cea elastică (abscisa punctului E).

Deformaţia plastică din perioada curgerii apare ca urmare a lunecării relative

între faliile formate şi înclinate la 45° faţă de axa epruvetei, fără slăbirea coeziunii

dintre falii.

Din această cauză, la atingerea limitei de curgere, apar linii fine înclinate, de

culoare mai închisă, la 45° faţă de axa epruvetei, numite linii Lüders - Cernov.

Liniile se înmulţesc formând benzi, care se lăţesc progresiv până ce cuprind toată

porţiunea calibrată a epruvetei. Liniile reprezintă urmele planelor de lunecare a

materialului, în care tensiunile tangenţiale sunt maxime (τmax = σc / 2).

După ce liniile Lüders au acoperit întreaga porţiune calibrată a epruvetei

tensiunea începe să crească împreună cu deformaţia. Pe curba caracteristică, această

porţiune este reprezentată de curba CA (fig.4.2) şi este numită zonă de întărire.

Dacă dintr-un punct de pe această zonă, în loc să se continue încărcarea, se

descarcă lent din punctul M, în cursul descărcării se obţine o relaţie liniară între σ şi ε

. Porţiunea MO′ este o dreaptă paralelă cu OP (fig.4.2,b). La reîncărcarea epruvetei se

parcurge dreapta O′M, astfel că materialul se comportă elastic până în punctul M.

Deci, punctul M reprezintă o nouă limită de elasticitate a materialului, superioară

celei determinate la început. Această operaţie, de mărire a limitelor σp = σE = σc = σ

M se numeşte ecruisare.

e) Rezistenţa la rupere a materialului, marcată pe curba caracteristică prin

punctul A (fig.4.2,b) este valarea maximă a tensiunii şi se notează cu σr (Rm în SR

EN 10002-1; 1994)

σ σrFA

= =maxmax ,

0

unde;

A d0

02

4=

⋅π este aria secţiunii iniţiale.

f) La epruvetele confecţionate din oţel moale (tenace) când sarcina se apropie

de valoarea Fmax, se produce gâtuirea epruvetei. În locul de gâtuire secţiunea scade

până când se produce ruperea bruscă, cu zgomot (fig.4.3). După apariţia gâtuirii,

sarcina F aplicată epruvetei scade, ceea ce

este reprezentat pe curba caracteristică prin

zona AB (fig.4.2).

Măsurând diametrul epruvetei la o

încărcare oarecare de pe porţiunea AB (după

apariţia gâtuirii) şi calculând aria corespunzătoare se poate determina gâtuirea

specifică.

ψ =−A A

A0

0

. (4.8,a)

Pentru o epruvetă ruptă gâtuirea la rupere este;

Fig. 4.3

[ ]ZA A

Au=

−⋅0

0

100 % (4.8,b)

unde;

A du

u=⋅π 2

4 este aria secţiunii de rupere.

g) Aşezând cele două bucăţi ale epruvetei rupte, cap la cap, se poate măsura

lungirea ultimă între repere, Lu şi se poate determina alungirea specifică la

rupere (conform SR EN 10002-1; 1994);

A L LL

LLr r

u u= =−

=ε 0

0 0

∆ . (4.9)

h) Experimental s-a evidenţiat că o dată cu alungirea unei bare (epruvete) apare

o micşorare a secţiunii numită contracţie transversală. S-a constatat că pentru

domeniul liniar-elastic această contracţie este proporţională cu alungirea specifică. Ca

atare la o alungire specifică a epruvetei cu εx corespunde o contracţie transversală

proporţională cu alungirea εx;

ε ε ε ν εtr y z x= = = − ⋅ ,

unde;

ν - este coeficientul de contracţie transversală sau coeficientul lui Poisson.

Coeficientul lui Poisson este o caracteristică elastică de material. Valoarea

acestuia este cuprinsă între 0,16 şi 0,42 şi este dată în tabele. Dacă deformaţia este

plastică, corpul nu-şi modifică volumul şi ν = 0,5.

Mărimile; limita de curgere (σc), rezistenţa la rupere (σr), alungirea la

rupere (εr), şi gâtuirea la rupere (Z) se numesc caracteristici mecanice ale

materialului. Constantele; modulul de elasticitate longitudinal (E), coeficientul de

contracţie transversală (ν), limita de proporţionalitate (σp), limita de elasticitate

(σe) se numesc caracteristici elastice ale materialului.

Cunoaşterea acestora are o importanţă deosebită pentru folosirea corectă a

materialelor în calculul de rezistenţă.

Pentru OL 37 caracteristicile mecanice şi elastice, după STAS 1500-75, sunt;

σσε

r

c

r

MPaMPa

Z

====

370 450210 24025 26%

60 70%

...

......

...

E GPa

MPae p

==≅ =

2100 24 0 28

200νσ σ

, ... ,

4.4. Diferite forme de curbe caracteristice

4.4.1. Curba caracteristică convenţională

Pe durata încercării la tracţiune a epruvetei, aria secţiunii transversale a

acesteia se micşorează datorită contracţiei transversale. Tensiunea reală, determinată

cu relaţia;

σ =FA

, (4.11)

va da valori mai mari decât cele obţinute din relaţia (4.1), întrucât A < A0. Diagrama

dependenţei funcţionale obţinută pe baza relaţiei (4.11) se numeşte curba

caracteristică reală (linia întreruptă din figura 4.4). Diagrama trasată pe baza

ecuaţiei (4.1) se numeşte curbă caracterstică convenţională.

Datorită faptului că în relaţia (4.1), aria iniţială A0 este o constantă, curba

caracteristică convenţională are valori inferioare curbei reale. Întrucât diferenţele

între cele două curbe sunt extrem de mici până la limita de curgere, şi cum în

calculele de rezistenţă se foloseşte porţiunea

de curbă până la limita de curgere se preferă

curba caracteristică convenţională.

Fig. 4.4

4.4.2. Curba caracteristică a oţelului la compresiune

Pentru efectuarea încercării la compresiune a oţelului se utilizează epruvete

care au diametrul egal cu înălţimea conform STAS 1552-78;

d0 = h0 = 10...30 mm.

În urma încercării la compresiune a epruvetelor din oţel s-a constatat că se

obţin aceleaşi valori, ca şi la tracţiune, pentru mărimile σp, σe, σc şi E. La oţelurile de

rezistenţă mică nu se realizează ruperea: epruveta turtindu-se cu atât mai mult cu cât

creşte forţa (fig.4.5) şi încărcarea se consideră terminată când h = h0 / 2.

4.4.3. Curba caracteristică a oţelului la răsucire

Efectuând încercarea la răsucire a unei

epruvete din oţel şi trasând curba caracteristică (tensiunea tangenţială în funcţie de

lunecarea specifică) se obţine o curbă caracteristică ca în figura 4.6, similară celei de

la tracţiune. Pe această curbă se pot defini; limita de proporţionalitate τp, limita de

elasticitate τe, limita de curgere τc, rezistenţa la rupere τr şi lunecarea la rupere γr.

Partea rectilinie, OP a acestei curbe, are ecuaţia;

τ γ= ⋅G (4.12)

Fig. 4.6 Fig. 4.5

care poartă numele de legea lui Hooke pentru solicitarea de răsucire (a doua lege a

lui Hooke).

Caracteristica G, se numeşte modul de elasticitate transversal şi pentru oţel

are valoarea G = 81 GPa.

4.4.4. Curbe caracteristice la materiale care nu respectă legea lui

Hooke

Celor mai multe din materiale le corespund curbele caracteristice curbilinii fără

nici o porţiune rectilinie. Astfel, fonta, alama, cuprul, betonul, cauciucul au curbe

caracteristice ca în figura (4.7,a), iar altele cum ar fi fibrele textile ca în figura (4.7,b).

Fonta are curba caracteristică curbilinie atât pentru tracţiune cât şi pentru

compresiune . Se observă că fonta rezistă mai bine la compresiune decât la întindere

(fig.4.8).

Betonul, este materialul cel mai des utilizat de constructori la compresiune,

deoarece are rezistenţa la tracţiune foarte mică.

Fig. 4.8

Fig. 4.7

4.5. Expresii analitice pentru curba caracteristică idealizată

Numai o porţiune din curba caracteristică şi anume OP (fig.4.2,b), pentru oţel

şi lemn este descrisă de ecuaţia σ=E⋅ε. Astfel cea mai mare parte din curba

caracteristică a oţelului şi toate curbele caracteristice pentru celelalte materiale nu

sunt descrise prin ecuaţii liniare.

Întrucât în rezistenţa materialelor sunt necesare, pentru calcul, ecuaţii simple,

explicite ale dependenţei σ=f(ε), curba caracteristică a fost aproximată printr-o curbă

caracteristică idealizată numită diagramă schematizată.

Diagrama schematizată se obţine prin trasarea unei linii, frânte sau curbe, cât

mai apropiate de curba caracteristică reală, dar care să aibă o ecuaţie cât mai simplă.

Ca urmare se utilizează frecvent următoarele schematizări;

-prin linii drepte şi/sau,

-prin linii curbe continue.

La schematizarea prin linii drepte se admite că limita de proporţionalitate

coincide cu limita de curgere a materialului.

În figura 4.9 s-a reprezentat schematizarea prin linii drepte a materialelor

elasto-plastice ideale, sau diagrama schematizată tip Prandtl şi care corespunde

cel mai bine pentru oţelurile de rezistenţă mică şi mijlocie. Schematizarea s-a făcut

prin două drepte;

σ = E⋅ε (4.13)

pentru domeniul elastic (ε ≤ εc) şi

σ = σc = ct. (4.14)

pentru domeniul plastic (ε > εc).

În cazul materialelor care nu satisfac legea lui

Hooke, curba caracteristică poate fi asimilată cu o

curbă continuă (fig. 4.10) având relaţia;

Fig. 4.9

εσ

=n

CE, (4.15)

unde Ec şi n sunt constante ce se determină astfel ca funcţia adoptată să fie cât mai

apropiată de curba reală, stabilită experimental. Astfel, pentru coordonatele a două

puncte A(ε1, σ1) şi B(ε2, σ2), din ecuaţia (4.15) se

obţin valorile constantelor;

EC

n n

= =σε

σε

1

1

2

2

, (4.16)

nLn

Ln=

εεσσ

2

1

2

1

. (4.17)

Schematizări similare celor de mai sus se pot face şi pentru curbe caracteristice

corespunzătoare încercării la compresiune sau la torsiune .

4.6. Legea generalizată a lui Hooke

Legea lui Hooke, exprimată prin relaţiile (4.3) şi (4.12) a fost determinată pe

cale experimentală pentru o solicitare simplă, respectiv pentru o stare monoaxială de

tensiune. Aceasta va fi generalizată pentru starea spaţială de tensiune. Pentru aceasta

se consideră un element de volum paralelipipedic infinit mic, pe feţele căruia

acţionează, succesiv, tensiunile principale σ1, σ2

şi σ3 conform figurii 4.11.

a) când σ1 > 0 iar σ2 = σ3 = 0, tensiunea σ1

produce următoarele deformaţii; o alungire

specifică, ε 1' , pe direcţia lui σ1 şi două scurtări

specifice ε 2' şi ε 3

' pe direcţiile 2 şi3.

Fig. 4.10

Fig.4.11

Ţinând seama de (4.9) şi (4.10) deformaţiile specifice rezultă;

ε σ1 11' ;= ⋅E

ε ε ν εν

σ2 3 1 1' ' ;= = − ⋅ = − ⋅

E

b) când σ2 > 0 iar σ1 = σ3 = 0, tensiunea σ2 produce pe cele 3 direcţii

deformaţiile; o lungire specifică ε 2" pe direcţia lui σ2 şi două scurtări specifice ε 1

" şi

ε 3" pe celelalte două direcţii, date de relaţiile;

ε σ2 21,, = ⋅E

: ε ε ν εν

σ1 3 2 2,, ,, ,,= = − ⋅ = − ⋅

E:

c) când σ3 > 0 iar σ1 = σ2 = 0, tensiunea σ3 produce pe cele 3 direcţii

deformaţiile; o lungire specifică ε 3" pe direcţia lui σ3 şi două scurtări specifice după

celelalte direcţii ε 1" şi ε 2

" , date de relaţiile;

ε σ3 21,,, = ⋅E

ε ε ν εν

σ1 2 3 3,,, ,,, ,,,= = − ⋅ = − ⋅

E.

Dacă acţionează simultan cele trei tensiuni principale deformaţiile specifice

totale rezultă prin însumarea efectelor de mai sus (conform principiului suprapunerii

efectelor);

( )[ ]ε ε ε ε σ ν σ σ1 1 1 1 1 2 31

= + + = ⋅ − ⋅ +, ,, ,,, ,E

( )[ ]ε ε ε ε σ ν σ σ2 2 2 2 2 3 11

= + + = ⋅ − ⋅ +, ,, ,,, ,E

(4.18)

( )[ ]ε ε ε ε σ ν σ σ3 3 3 3 3 1 21

= + + = ⋅ − ⋅ +, ,, ,,, .E

Dacă axele Oxyz nu coincid cu direcţiile principale atunci tensiunile normale

de pe aceste direcţii produc lungirile specifice;

( )[ ]ε σ ν σ σx x y zE= ⋅ − ⋅ +

1 ,

( )[ ]ε σ ν σ σy y z xE= ⋅ − ⋅ +

1 , (4.19,a)

( )[ ]ε σ ν σ σz z x yE= ⋅ − ⋅ +

1 .

iar tensiunile tangenţiale produc lunecările specifice;

γτ

γτ

γτ

xyxy

yzyz

zxzx

G G G= = = , , . (4.19,b)

Relaţiile (4.18) şi (4.19) exprimă legea lui Hooke generalizată.

Elementul de volum infinit mic dV = dx ⋅ dy⋅ dz, din figura 4.11, prin solicitare

îşi modifcă volumul. Acesta devine;

).1(dz)1(dy)1(dxdVdV zyx ε+⋅⋅ε+⋅⋅ε+⋅=⋅∆+

Neglijând infiniţii de ordin superior expresia volumului modificat este;

dV dV dx dy dz dVx y z x y z+ = ⋅ ⋅ ⋅ + + + = ⋅ + + +∆ ( ) ( ),1 1ε ε ε ε ε ε

iar variaţia volumului rezultă;

∆dV dVx y z= + + ⋅( ) .ε ε ε

Raportul între variaţia de volum şi volumul iniţial, numită deformaţia

volumică specifică, este;

ε ε ε εV x y zdV

dV= = + +∆ . (4.20)

Înlocuind deformaţiile specifice εx, εy şi εz cu expresiile (4.19) se obţine;

( )εν

σ σ σV x y zE=

− ⋅⋅ + +

1 2 . (4.20,a)

Ţinând seama că tensiunea medie este;

σσ σ σ

mx y z=+ +

3, (4.21)

se obţine;

eE KV m

m= ⋅− ⋅

⋅ =3 1 2 νσ

σ. (4.22)

Expresia (4.22) poartă denumirea de ecuaţia lui Poisson, iar constanta;

( )

K E=

⋅ − ⋅3 1 2 ν (4.23)

se numeşte modul de elasticitate cubică.

Relaţia (4.22) este similară legii lui Hooke şi poate fi scrisă sub forma;

σ εm VK= ⋅ . (4.24)

În cazul particular al stării plane de tensiune (σz = τzx = τxz = τzy = τyz = 0),

legea lui Hooke generalizată devine;

( )

( )

( )

ε σ ν σ

ε σ ν σ

εν

σ σ

γτ

x x y

y y x

z x y

xyxy

E

E

E

G

= ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅

= − ⋅ +

=

1

1

,

,

,

.

(4.25)

În mod similar ecuaţiilor (4.25), din ecuaţiile (4.19) se poate deduce legea lui

Hooke pentru starea plană de deformaţie (εz = γzy = γyz = γzx = γxz = 0).

În practica inginerească se cere foarte des să se determine tensiunile funcţie de

deformaţiile măsurate pentru starea plană. În acest caz din sistemul (4.25), se obţine;

( )σν

ε ν εx x yE

=−

⋅ + ⋅1 2 ,

( )σν

ε ν εy y xE

=−

⋅ + ⋅1 2 , (4.26)

xyxy G γ⋅=τ .

4.7. Relaţia dintre caracteristicile elastice

O cale relativ simplă pentru a stabili relaţia dintre modulul de elasticitate

longitudinal E, cel transversal G şi coeficientul de contracţie transversală ν este

analizarea stării de tensiune, la forfecare pură. Acest caz, figura (4.12,a), poate fi

reprezentat prin punctele T1 şi T2 de pe cercul lui Mohr. Dar aceleaşi stări de

tensiune, reprezentate prin punctele T1 şi T2 de pe cerc (fig.4.12,c), le corespund

starea de tensiune din figura (4.12,b), reprezentate pe cercul lui Mohr prin punctele S1

şi S2.

Deci starea de forfecare pură este echivalentă cu starea plană, în care tensiunile

principale sunt egale în valoare cu tensiunea tangenţială şi au sensul opus (fig.4.12,b);

σ σ τ1 2= − = max (4.27)

Ţinând seama de aceasta în relaţiile (4.25) se obţine;

( ) ( )ε σ ν σν

τ ε σ ν σν

τ1 1 2 2 2 11 1 1 1

= ⋅ − ⋅ =+

⋅ = ⋅ − ⋅ = −+

⋅E E E Emax max . ,

Întrucât lunecarea specifică maximă se obţine din relaţia (4.17) rezultă;

γ ε εν

τmax max= − = ⋅+

⋅1 2 2 1E

Ţinând seama că τmax = G ⋅ γmax, din relaţia de mai sus se obţine;

( )

G E=

⋅ +2 1 ν. (4.28)

Formula (4.28) reprezintă relaţia dintre caracteristicile E, G şi ν. Pentru oţel, cu

EOL = 210 GPa şi ν = 0,3, rezultă; GOL= 81GPa.

Fig.4.12

4.8. Energia de deformaţie

Se consideră un element de volum dV = dx⋅dy⋅dz, asupra căruia se aplică,

progresiv, tensiunile σx, σy şi σz. Efortul elementar ce acţionează pe direcţia Ox este

dNx = σx⋅dy⋅dz. Acesta produce o deplasare elementară pe direcţia Ox; ∆dx = εx⋅dx.

Astfel, se produce un lucru mecanic elementar;

dL dN dx dx dy dz dUx x x= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =12

12

∆ σ ε .

Se admite prin ipoteză că, pentru solicitările

în domeniul elastic, intreg lucru mecanic se

acumulează în volumul elementar sub formă de

energie potenţială de deformaţie dU. Factorul 1/2

este cauzat de aplicarea statică a efortului dNx,

adică acesta creşte lent de la valoarea zero la

valoarea σx⋅dy ⋅dz.

Dacă alungirea specifică εx este liniar

elastică, (tensiunea σx are valori în domeniul elastic) atunci energia de deformaţie

acumulată în elementul dV = dx ⋅dy ⋅dz este reprezentată prin aria haşurată din figura

(4.13,a) şi se exprimă sub forma;

dU dVx x= ⋅ ⋅ ⋅12

σ ε .

Energia pe unitatea de volum (fig.4.13,b), denumită energie specifică de

deformaţie, rezultă;

U dUdV x x1

12

= = ⋅ ⋅σ ε .

Dacă ţinem seama şi de tensiunile normale aplicate pe celelalte două direcţii se

obţine;

( )U x x y y z z112

= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅σ ε σ ε σ ε .

Fig.4.13

Tensiunile tangenţiale produc, similar cu cele normale, energie potenţială de

deformaţie, respectiv energie potenţială specifică. Astfel, pentru starea spaţială de

tensiune (fig.4.14) expresia generală a energiei specifice de deformaţie, rezultă;

( )U x x y y z z xy xy yz yz zx zx112

= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ . (4.29)

Înlocuind deformaţiile specifice prin expresiile (4.19) se obţine ecuaţia energiei

specifice de deformaţie în funcţie de tensiuni;

( )[ ]

( )

UE

G

x y z x y y z z x

xy yz zx

12 2 2

2 2 2

12

2

12

= ⋅ + + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + +

σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ

τ τ τ . (4.30)

Dacă direcţiile x, y şi z coincid cu direcţiile principale 1, 2, şi 3 (τxy= τyz= τzx=

0), atunci expresia energiei specifice de deformaţie devine;

( )[ ]UE1 1

222

32

1 2 2 3 3 11

22= ⋅ + + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ . (4.31)

Din această relaţie se pot determina expresiile energiei specifice pentru cazuri

particulare;

a) pentru starea plană de tensiune;

( )UE Gx y x y xy1

2 2 212

2 12

= ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅σ σ ν σ σ τ , (4.32)

b) pentru starea de întindere simplă;

UE1

2

2=σ

; (4.33)

c) pentru starea de forfecare pură;

UGxy

1

2

2=τ

. (4.34)

Energia de deformaţie acumulată în ER are

două efecte, o variaţie a volumului şi o variaţie a

formei. Dacă elementul de volum este solicitat, pe Fig.4.14

toate feţele de aceeaşi tensiune normală, egală cu tensiunea normală medie;

( ) ( )σ σ σ σ σ σ σm x y z= ⋅ + + = ⋅ + +13

131 2 3 ,

atunci, elementul dV nu îşi modifică forma ci numai volumul. Astfel, întreaga energie

se acumulează sub formă de energie specifică de variaţie a volumului. Ţinând

seama de relaţiile (4.20), (4.21) şi (4.22) rezultă;

( )

UE EV V m m1

2 1 2 3

2

12

12

3 1 2 32

1 29

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅−

⋅ = ⋅−

⋅+ +

ε σν

σν σ σ σ

,

respectiv;

( )UEv1 1 2 3

21 26

= − ⋅⋅

⋅ + +ν σ σ σ . (4.35)

Diferenţa dintre energia totală U1 şi energia de variaţie a volumului U1v

reprezintă energia specifică de variaţie a formei. Ţinând seama de expresiile(4.31)

şi (4.35) rezultă;

( ) ( ) ( )[ ]UEf1 1 2

22 3

23 1

216

=+⋅

⋅ − + − + −ν

σ σ σ σ σ σ . (4.36)

Analiza energiei (energia specifică de variaţie a volumului şi energia specifică

de variaţie a formei) este o consecinţă a descompunerii tensorului tensiunilor (fig.

4.15,a) în doi tensori (fig. 4.15, b, c). Primul tensor, numit tensorul sferic (fig.

4.15,b) produce numai o modificare a volumului, iar deviatorul (fig.4.15,c) produce

schimbarea formei fără să schimbe volumul.

Cele prezentate mai sus au forma analitică;

T T Ts dσ = + , (4.37)

sau sub formă explicită;

σ

σσ

σσ

σ

σ σσ σ

σ σ

1

2

3

1

2

3

0 00 00 0

0 00 00 0

0 00 00 0

=

+

−−

−

m

m

m

m

m

m

(4.38)

Aplicaţia 4.1. Un element de rezistenţă din oţel (E = 210 GPa) solicitat după trei

direcţii perpendiculare, are alungirile specifice pe cele trei direcţii în raportul 5;4;3,

iar tensiunea maximă este de 110 MPa şi ν = 0,25 să se determine valorile tensiunilor

şi deformaţiile specifice pe cele trei direcţii.

Rezolvare; Tensiunilor σ1 = 110 MPa, σ2 şi σ3 le corespund alungirile specifice

5⋅k, 4⋅k şi 3⋅k, astfel că din (4.19) se obţine;

( )σ ν σ σ1 2 3 5− ⋅ + = ⋅ ⋅k E, (a)

( )σ ν σ σ2 3 1 4− ⋅ + = ⋅ ⋅k E, (b)

( )σ ν σ σ3 1 2 3− ⋅ + = ⋅ ⋅k E. (c)

Din (a) şi (c) rezultă;

σ σ1 3 1 6− = ⋅ ⋅, ,k E (d)

iar din (a) şi (b) ;

0 9375 0 3125 61 2, , ,⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅σ σ k E (e)

Din (d) şi (b), prin înlocuire se obţine;

σ σ σ3 1 27 2 8 8 8= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅, , , ,k E k E k E. (f)

Raportul acestora este 11;10;9.

Din prima relaţie (f) se obţine;

k

E=

⋅=

⋅ ⋅= ⋅ −σ1

55

8 8110

8 8 2 106 25 10

, ,, ,

Fig. 4.15

sau înlocuind în (f) se obţin tensiunile;

σσσ

1

2

3

8 8 6 25 2 1108 6 25 2 1007 2 6 25 2 90

= × × == × × == × × =

, , , ( ), ,

, , .

MPa MPa MPa

verificare

Alungirile specifice principale vor fi;

ε µ

ε µ

ε µ

15 6

25 6

35 6

5 5 6 25 10 10 312 5

4 4 6 25 10 10 250

3 3 6 25 10 10 187 5

= ⋅ = × ⋅ ⋅ =

= ⋅ = × ⋅ ⋅ =

= ⋅ = × ⋅ ⋅ =

−

−

−

k m m

k m m

k m m

, , / ,

, / ,

, , / .

5. MĂRIMI GEOMETRICE ALE SECŢIUNILOR 5.1. Noţiuni generale

În calculul de rezistenţă se utilizează mărimi ce depind de forma şi mărimea

secţiunii transversale a barei. Acestea se numesc mărimi sau caracteristici

geometrice ale secţiunilor şi sunt: aria, momentele statice, momentele de inerţie,

modulele de rezistenţă şi razele de inerţie.

Pentru studiul acestor mărimi se secţionează imaginar bara cu un plan

normal pe axă (secţiune transversală) şi se utilizează un sistem de axe triortogonal

drept, cu axa Ox în lungul barei, cu originea în centrul de greutate al secţiunii şi

cu axele Oy şi Oz în planul secţiunii (fig.5.1). Întrucât originea sistemului este în

centrul de greutate a secţiunii axele Oy şi Oz se numesc axe centrale.

În anexa 4 se dau relaţiile de calcul pentru mărimile geometrice ale unor

secţiuni frecvent utilizate în calculele de rezistenţă.

5.2. Aria secţiunii

În jurul unui punct din planul secţiunii se poate lua un element de arie

dA dy dz= ⋅ . Dar, în cele ce urmează se vor folosi pentru elementul de arie şi alte

formule: dA=b⋅dy, respectiv dA=h⋅dz pentru dreptunghi, sau dA = 2π⋅r⋅dr pentru

cerc, etc. Aria secţiunii se va obţine din relaţia:

A dAA

= ∫ . (5.1)

Ariile secţiunilor barelor (profilelor) standardizate sunt date în tabele din

anexe. Formula (5.1) se va utiliza pentru determinarea ariilor secţiunilor oarecare.

5.3. Momente statice

În rezistenţa materialelor se folosesc momente statice ale suprafeţelor faţă de

axele z şi y, definite de expresiile:

S y dA z dAZA

yA

= ⋅ = ⋅∫ ∫,1 2

S , (5.2)

în care A1 şi A2 sunt părţi ale ariei A. Momentele statice, ale întregii secţiuni faţă de

axele y1 şi z1, paralele cu axele centrale y şi z, sunt:

S y dA z dAzA

yA

1 1 1 1= ⋅ = ⋅∫ ∫, S ,

în care y1= y0+ y, z1= z0+ z (fig. 5.1,b).

Prin aplicarea teoremei momentului static (a lui Varignon),

y dA y dA z dA z dAAA AA

1 0 1 0⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅∫∫ ∫∫, , (5.3,a)

se obţin formulele ce definesc poziţia centrului de greutate faţă de sistemul de axe

O1y1z1, ales iniţial:

yy dA

dAy A

A

z dA

dAz A

AA

A

i i

i

A

A

i i

i0

1

0

1

=⋅

=⋅

=⋅

=⋅∫

∫∑∑

∫

∫∑∑

, z (5.3)

Faţă de axele centrale momentele statice ale întregii secţiuni sunt nule:

S y dA z dAZA

yA

= ⋅ = = ⋅ =∫ ∫0 0, S . (5.4)

Datorită faptului că axele de simetrie sunt şi axe centrale, momentele statice

ale întregii secţiuni faţă de aceste axe sunt nule. Evident că, momentul static pentru

o parte din secţiune, faţă de axele de simetrie, nu este nul.

Momentele statice se măsoară în mm3, cm3, m3.

5.4. Momente de inerţie

5.4.1. Relaţii de definiţie

Se definesc următoarele momente de inerţie geometrice:

a) axiale faţă de axa Oz, şi respectiv Oy (fig. 5.1,b):

I y dA z dAZA

YA

= ⋅ = ⋅∫ ∫2 2, I ,, (5.5)

b) centrifugale (în planul Ozy ):

I y z dAzyA

= ⋅ ⋅∫ , (5.6)

c) polare (faţă de centrul de greutate O):

I I r dA I Io PA

z y= = ⋅ = +∫ 2 . . (5.7)

Întrucât r2 = y2 + z2, din (5.7) rezultă:

( )I y z dA y dA z dA I IPA A A

z y= + ⋅ = ⋅ + ⋅ = +∫ ∫ ∫2 2 2 2

Fig. 5.1

Deci, momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie

axiale, în raport cu axele ortogonale ce trec prin polul considerat.

Întrucât elementul de arie este o mărime pozitivă, iar z2, y2 şi r2 sunt mărimi

pozitive, rezultă că momentele de inerţie axiale şi polare sunt mărimi strict

pozitive.

Momentul de inerţie centrifugal, ce este produsul dintre elementul de arie dA

şi două coordonate (y, z) şi ca atare poate fi pozitiv, negativ sau egal cu zero. Pentru

secţiunile ce au cel puţin o axă de simetrie (axa Oy în figura 5.2) există totdeauna, la

ordonata y, două elemente de arie aflate simetric faţă de axa de simetrie (Oy): unul

de abscisă pozitivă (+z) şi altul negativă (-z) astfel că, pentru toată aria secţiunii, se

obţine:

I z y dAzyA

= ⋅ ⋅ =∫ 0 . (5.8)

Deci, momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem de axe din care cel

puţin una este axa de simetrie este nul.

Momentele de inerţie se măsoară în mm4, cm4, m4.

Fig. 5.2

5.4.2. Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

Pentru secţiunea din figura (5.1,b) se consideră cunoscute momentele de

inerţie axiale Iz, Iy şi centrifugale Izy faţă de sistemul de axe central Ozy .

Elementul de arie dA, în sistemul de axe O1z1y1, paralele faţă de Ozy

(fig.5.1,b), are coordonatele:

y1= y0+ y, z1= z0+ z.

În raport cu sistemul de axe O1 y1 z1 momentele de inerţie au expresiile:

( ) ∫∫∫∫∫ ⋅⋅++⋅=⋅+=⋅= ⋅A

0A

20

A

2

A

20

A

21z dAyy2dAydAydAyydAyI

1,

( ) ∫∫∫∫∫ ⋅⋅++⋅=⋅+=⋅= ⋅A

0A

20

A

2

A

20

A

21y dAzz2dAzdAzdAzzdAzI

1,

( ) ( )I y z dA y y z z dA

y z dA y z dA y z dA z y dA

z yA A

A A A A

1 1 1 1 0 0

0 0 0 0

= ⋅ ⋅ = + ⋅ + =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ .

Efectuând integralele şi ţinând seama de relaţiile (5.1), (5.4), (5.5) şi (5.6) se

obţine:

I I y A

I I z A

I I z y A

z z

y y

z y z

1

1

1 1

02

02

0 0

= + ⋅

= + ⋅

= + ⋅ ⋅

,

,

.

(5.9)

Deci, momentul de inerţie în raport cu o axă paralelă este egal cu suma

dintre momentul faţă de axa centrală paralelă şi produsul dintre aria suprafeţei

cu pătratul distanţei dintre axe.

Momentul de inerţie centrifugal faţă de axele paralele este egal cu suma

dintre momentul de inerţie faţă de axele centrale proprii şi produsul dintre arie

cu coordonatele centrului de greutate al ariei în noul sistem. Deci, valoarea şi

semnul momentului de inerţie centrifugal este hotărâtă de semnul produsului

coordonatelor centrului de greutate a secţiunii în noul sistem.

De aceea, la

determinarea momentelor de

inerţie centrifugale trebuie să

acordăm atenţia cuvenită

semnelor coordonatelor

centrelor de greutate a

secţiunilor componente.

Pentru a ilustra acest fapt s-a

considerat secţiunea compusă

din figura 5.3. Întrucât axele centrale ale celor două dreptunghiuri sunt axe de

simetrie, momentele de inerţie centrifugale faţă de axele proprii, ale fiecărui

dreptunghi, sunt nule. Faţă de sistemul de axe central, Ozy , se determină momentul

de inerţie prin însumarea prduselor zoi ⋅yoi ⋅Ai corespunzătoare. Ţinând seama de

semnele coordonatelor centrelor de greutate ale fiecărei figuri, în sistemul de axe

Ozy rezultă:

( )( )

A y z I

A y z Iy z

y z

1 01 01

2 02 02

1 1

2 2

0

0

− + <

+ − <

, ; ,

, ;

Deci, în acest caz, momentul centrifugal al secţiunii (descompusă în două

dreptunghiuri (fig.5.3), are semnul minus.

Momentele de inerţie ale unei secţiuni compuse din n secţiuni simple de

arii Ai (sau A descompusă în n secţiuni simple Ai), faţă de sistemul de axe Oyz (de

regulă sistem de axe centrale), se calculează cu relaţiile:

( )

( )

( )

I I A y

I I A z

I I A y z

z zi i ii

n

y yi i ii

n

zy z y i i ii

n

i i

= + ⋅

= + ⋅

= + ⋅ ⋅

=

=

=

∑

∑

∑

02

1

02

1

0 01

,

,

.

(5.10)

Fig. 5.3

unde I I Iz y z yi i i i, , sunt momentele de inerţie axiale, respectiv centrifugale ale

fiecărei secţiuni de arie Ai faţă de axele centrale proprii (Oi1zi1yi1), paralele cu axele

Ozy iar zoi, yoi, sunt coordonatele centrelor de greutate Oi în sistemul de Ozy.

5.4.3. Momentele de inerţie faţă de axele rotite

Se consideră o secţiune oarecare şi sistemul de axe centrale ortogonale Ozy.

Se ia un al doilea sistem de axe centrale ortogonale Ouv, rotit cu unghiul α, în sens

orar, faţă de primul sistem (fig. 5.4).

Coordonatele unei arii elementare dA, în al doilea sistem Ouv funcţie de

coordonatele x, y şi unghiul α, sunt:

u OD OC CD OC AE y z= = + = + = ⋅ + ⋅cos sinα α ,

v DM EM ED EM AC z y= = − = − = ⋅ − ⋅cos sin .α α

Înlocuind coordonatele de mai sus în relaţiile de definiţie (5.5), (5.6) şi

dezvoltând se obţine:

Fig. 5.4

( )I u dA y z dA

y dA z dA y z dA

vA A

A AA

= ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫

∫ ∫∫

2 2

2 2 2 2 2

cos sin

cos sin sin cos ,

α α

α α α α

( )I v dA z y dA

z dA y dA y z dA

uA A

A A A

= ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫

∫ ∫ ∫

2 2

2 2 2 2 2

cos sin

cos sin sin cos ,

α α

α α α α

( ) ( )

( )

I u v dA y z z y dA

y dA z dA y z dA

uvA A

A A A

= ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

+ − ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫

∫ ∫ ∫

cos sin cos sin

sin cos cos sin .

α α α α

α α α α2 2 2 2

Înlocuind: cos cos2 1 22

αα

=+ , sin cos2 1 2

2α

α=

− şi 2 2sin cos sinα α α⋅ = ,

din relaţiile de mai sus se deduce:

II I I I

Ivz y z y

zy=+

+−

⋅ + ⋅2 2

2 2cos sinα α ,

II I I I

Iuz y z y

zy=+

−−

⋅ − ⋅2 2

2 2cos sinα α , (5.11)

II I

Iuvz y

zy= −−

⋅ + ⋅2

2 2sin cosα α

Comparând relaţiile 1 şi 3 din (5.11) cu relaţiile (3.4) se observă structura lor

identică. Dacă se face înlocuirea:

σ σx z y yI I↔ ↔ , şi τ xy zyI↔ (5.12)

se poate deduce o relaţie din alta. Acest fapt este normal dacă se are în vedere că atât

tensiunile cât şi momentele de inerţie sunt mărimi tensoriale. Deci, sunt

guvernate de aceleaşi reguli şi sunt exprimate prin formule similare (vezi § 3.4).

Ţinând seama de relaţia de similitudine (5.12) şi de relaţiile (3.6), (3.5), (3.5,a)

demonstrate în § 3.4, se pot transcrie următoarele relaţii şi observaţii pentru

momentele de inerţie:

a) momentele de inerţie principale

II I I I

Iz y z yzy1 2

22

2 2, =+

±−

+ , (5.13)

b) direcţiile axelor principale (faţă de care Izy = 0, I1 = Imax şi I2 = Imin):

α 1 212

2, =

−arctg

II I

zy

z y

(5.14,a)

sau, din figura 5.5:

α 12

=−

arctgI

I Izy

z

. (5.14,b)

c) tensorul momentelor de inerţie:

TI II I

II

z yz

zy y1

1

2

00

=

=

;

d) momentul de inerţie polar:

I I I I IP z y= + = +1 2;

e) metoda grafică, a cercului lui Mohr, se poate utiliza şi pentru determinarea

mărimilor: Iu, Iv, Iuv (de parametru 2α), I1, I2, α1 etc. dacă se procedează analog ca în

§ 3.5, respectiv cum este arătat în figura 5.5.

Fig. 5.5

f) ţinând seama că momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem de axe ce

conţine o axă de simetrie este nul, rezultă că axa de simetrie este o axă principală

iar a doua axă principală este perpendiculară pe axa de simetrie în centrul de

greutate.

5.5 Aplicaţii

5.5.1 Momentele de inerţie centrale ale unui dreptunghi (fig.5.6)

Axele Ozy sunt axe centrale principale de inerţie (axe de simetrie). Se alege

elementul de arie dA = b⋅dy, la ordonata y. Înlocuind în prima relaţie (5.5) se obţine:

I y dA y b dy b h h b hz

A h

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

− −

= ⋅

∫ ∫−

2 2

2

2 3 3 3

3 2 2 12/

/ h

.

Procedând în mod similar faţă de axa Oy se obţin formulele:

I b h b hz y zy= , I I⋅

=⋅

=3 3

12 120, . (5.17)

Momentul de inerţie centrifugal este nul deoarece axele z şi y sunt axe de

simetrie (vezi § 5.4.1).

5.5.2. Momentele de inerţie centrale ale secţiunii circulare (fig. 5.7)

Se alege sistemul de axe centrale principale cu originea în centrul cercului şi

elementul de arie dA =2π⋅ r⋅dr.

Aplicând relaţia (5.7), se obţine momentul de inerţie polar:

I I r dA r dr dp

A

= = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

∫ ∫0

2 3

0

2 4

2 24 2

ππ d/

deci,

I dP =

⋅π 4

32. (5.18)

Întrucât axele z şi y sunt axe diametrale (ecuatoriale) ale cercului, există

egalitatea Iz= Iy şi din (5.18) se obţine:

I I I dz y

P= = =2 64

4π , Izy = 0 . (5.19)

5.5.3. Secţiunea inelară sau coroană circulară (fig. 5.8)

Considerând că această secţiune este compusă dintr-un cerc de diametru D, din

care se scade alt cerc de diametru d, momentul de inerţie polar se obţine:

I D d d dDP = − =

⋅⋅ −

4 4 4 4

32 32 321π (5.20)

În mod similar pentru momentele de inerţie

axiale, se obţine:

I I D dDz y= =

⋅⋅ −

π 4 4

641 (5.21)

Raportul k dD

= este un factor constructiv al

secţiunii inelare, astfel că momentele de inerţie

polare, respectiv axiale sunt funcţie numai de

Fig. 5.7

Fig. 5.6

Fig. 5.8

diametrul exterior D şi se poate scrie:

( )I I D kz y= =⋅

⋅ −π 4

4

641 şi ( )I D kp =

⋅⋅ −

π 44

321 . (5.21,a)

5.5.4. Secţiunea compusă din două dreptunghiuri având axa Oy

axă de simetrie (fig.5.9)

a) Poziţia centrului de greutate în

sistemul de axe O1z1y1 rezultă:

zG = 0,

yG = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ + ⋅

=6 4 0 2 12 86 4 2 12

4 cm.

În figura 5.9 s-au trasat axele

principale Ozy şi s-au cotat poziţiile

centrelor de greutate ale secţiunilor

simple.

b) Momentele de inerţie faţă de axele centrale sunt:

Izy= 0 (există o axă de simetrie),

( )I I A zy zi i oi= + ⋅ =⋅

+ ⋅ ⋅ +⋅

+ ⋅ ⋅ =23

23

46 412

6 4 0 2 1212

2 12 0 80 cm ,

( )I I A yz yi i oi= + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =23

23

3 46 412

24 4 2 1212

24 4 1088 cm .

Fig. 5.9

5.5.5. Momentele de inerţie principale pentru o secţiune compusă

oarecare

Se consideră secţiunea formată dintr-un dreptunghi şi un cornier cu aripi egale

(fig.5.10).

a) din anexa 7, pentru cornierul L 120×120×10, se iau valorile: A2= 19,2 cm2,

I I cmz z2 2174 4= = , Iu= 280 cm4, Iv= 72,9 cm4, e = 2,82 cm.

b) Întrucât axele z2, y2 nu sunt axe principale, faţă de aceste axe va exista un

moment de inerţie, centrifugal, ce se poate calcula cu a treia relaţie (5.11), în funcţie

de momentele de inerţie principale ale cornierului (Iu şi Iv) şi de unghiul α2=45°

(unghiul dintre axa z2 şi axa u2):

I I Iz y

u v2 2 2

2 45 280 72 92

103 6 4, sin , ,= −

−⋅ ⋅ = −

−= −o cm .

c) Centrul de greutate, în sistemul de axe O2 z2 y2 , are coordonatele:

( )yA y

Ai i

i0

25 1 2 2 82 0 625 1 2 19 2

2 085=⋅

=⋅ ⋅ − −

⋅ += −∑

∑, , ,

, ,, cm,

Fig. 5.10

zA z

Ai i

i0

25 1 2 252

2 82

25 1 2 19 25 902=

⋅=

⋅ ⋅ −

⋅ +=∑

∑

, ,

, ,, cm .

În figura 5.8 s-au cotat poziţiile centrelor de greutate: O1 şi O2, faţă de sistemul

de axe central Ozy.

d) Momentele de inerţie faţă de axele centrale se obţin prin aplicarea

formulelor (5.10):

( ) ( )I I A yz zi i oi= + ⋅ =⋅

+ ⋅ ⋅ − + + ⋅ =∑ 23

2 3 425 1212

25 12 342 2 085 174 19 2 2 085 3145, , , , , , , cm

( ) ( )I I A zy yi i oi= + ⋅ =⋅

+ ⋅ ⋅ − + + ⋅ =∑ 23

2 3 412 2512

25 12 9 68 5902 174 19 2 5902 2834, , , , , , cm

( ) ( ) ( )I I A z y cmzy zi yi i oi oi= + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ − + − = −∑ , , , , , ,0 25 1 2 3 778 1 335 103 6 254 9 4

e) Momentele de inerţie principale rezultă prin înlocuirea valorilor

momentelor faţă de axele centrale în relaţiile (5.13):

I I

I I I IIz y z y

zy1 2

22

22

2 2

314 5 28342

314 5 28342

254 9 1574 1285

,

, , ,

=+

±−

+ =

=+

±−

+ = ±

deci,

I1= 2859 cm4, I2= 289 cm4.

f) Direcţia axei principale 1, se obţine din a doua relaţie (5.14,b):

α12

254 9314 5 289

84 29=−

=−

−= −arctg

II I

arctgzy

z

o,,

. .

În figura 5.10 s-au trasat cele două axe principale 1 şi 2. Se observă că

extremităţile secţiunii au distanţele cele mai mari faţă de axa 1.

Observaţie: Pentru obţinerea momentelor de inerţie trebuie parcurse etapele

de mai jos:

a) se completează valorile necesare calculului: din tabele sau prin calcul;

b) se calculează poziţia centrului de greutate, se trasează axele centrale şi se

cotează poziţia centrelor de greutate ale figurilor componente faţă de axele

centrale;

c) se determină momentele de inerţie faţă de axele centrale (Ozy);

d) se calculează momentele de inerţie principale;

e) se determină poziţia axelor principale şi se trasează axele pe figură;

e) se verifică dacă valorile determinate respectiv axele trasate nu sunt greşite

(I1= Imax, I2=Imin etc.).

5.6. Raze de inerţie

Prin definiţie, mărimile geometrice

i IAz

z= şi iIAy

y= , (5.22)

se numesc raze de inerţie (giraţie).

Relaţiile de definiţie (5.22) se pot aplica oricăror momente de inerţie axiale: Iz,

Iy, Iu, Iv, I1, I2 etc.

Momentul de inerţie faţă de axa rotită u, dacă Iz= I1 şi Iy= I2, ţinând seama de

prima relaţie (5.11), are expresia:

I I I I I I Iu =+

+−

⋅ = +1 2 1 21

22

2

2 22cos cos sinα α α,

din care, înlocuind expresiile (5.22), se obţine:

i i iu2

12 2

22 2= ⋅ + ⋅cos sinα α (5.23,a)

Alegând pe raza u un punct Q (fig.5.4) de coordonate:

y OQ i ii

OQ i iiu u

= ⋅ +⋅

⋅ = ⋅ =⋅

⋅cos cos , sin sin ,α α α α1 2 1 2 z

şi înlocuind în relaţia (5.23,a) se obţine ecuaţia unei elipse

zi

yi

2

12

2

12 1+ = , (5.23)

numită elipsă de inerţie. Semiaxele acesteia sunt razele de inerţie principale.

Pentru trasarea elipsei de inerţie, se marchează valorile calculate cu formulele

(5.22) ale mărimilor i1 şi i2 astfel: i1 pe axa 2 şi i2 pe axa 1; astfel că după trasare

elipsa are o formă alungită, ca şi a secţiunii.

Pentru secţiunea dreptunghiulară, prin aplicarea relaţiei (5.22) rezultă relaţii

pentru razele de inerţie:

i I

Ab h

b hh

iIA

b hb h

b

zz

yy

= =⋅⋅

=

= =⋅⋅

=

3

3

12 12

12 12

,

.

(5.24)

În cazul secţiunii circulare se obţine:

i i IA

dd

dz y

z= = =⋅

⋅⋅

=π

π

4

2644

4 (5.25)

iar pentru secţiunea inelară rezultă:

i i D dD d

D d D kz y= = ⋅−−

⋅ =−

= ⋅ −π

π644

4 41

4 4

2 2

2 22 . (5.26)

Razele de giraţie se exprimă în unităţi de lungime (m, cm, mm).

5.7. Module de rezistenţă

La calculul modulelor de rezistenţă se consideră că axele Oz şi Oy sunt axe

centrale principale.

Mărimile geometrice:

W Iyz

z=max

şi WI

zyy=

max

, (5.27)

se numesc module de rezistenţă faţă de axa Oz, respectiv Oy. În relaţiile de mai sus

ymax, respectiv zmax este: distanţa celui mai îndepărtat punct al secţiunii faţă de axa

Oz, respectiv faţă de axa Oy.

Mărimea,

W IRP

P=max

, (5.28)

se numeşte modul de rezistenţă polar. Rmax este distanţa între centrul de greutate

(polul secţiunii) şi cel mai îndepărtat punct faţă de pol.

În cazul secţiunilor dreptunghiulare, modulele de rezistenţă axiale rezultă:

W Iy

b hh

b h

WI

zb h

bb h

zz

yy

= =⋅

⋅ =⋅

= =⋅

⋅ =⋅

max

max

,

.

3 2

3 2

122

6

122

6

(5.29)

Pentru secţiunea circulară, modulele de rezistenţă axiale sunt:

W W Iy

dd

dz y

z= = =⋅

⋅ =⋅

max

π π4 3

642

32, (5.30)

iar modulul de rezistenţă polar va fi:

W IR

dd

dP

P= =⋅

⋅ =⋅π π4 3

322

16. (5.31)

În cazul secţiunii inelare (fig. 5.8) se obţin formulele:

( )

( )

W W D dD

D k

W D dD

D k

z y

p

= =⋅

⋅ −

=

⋅⋅ −

=⋅

⋅ −

=

⋅−

π π

π π

3 4 34

3 4 34

321

321

161

161

,

.

(5.32)

Din analiza formulelor (5.32), în comparaţie cu (5.20) şi (5.21), trebuie

remarcat şi reţinut faptul că modulele de rezistenţă ale secţiunilor compuse nu se

pot obţine prin însumarea modulelor de rezistenţă ale figurilor componente, ci

numai prin aplicarea relaţiilor (5.27) şi (5.28).

6. SOLICITĂRI AXIALE 6.1. Tensiuni şi deformaţii

O bară este solicitată axial, dacă în secţiunile ei transversale se dezvoltă numai

forţe axiale N, care pot fi constante sau variabile. Valoarea forţei axiale, în dreptul

unei secţiuni, este egală cu suma proiecţiilor pe axa barei, a tuturor forţelor situate la

stânga sau la dreapta secţiunii considerate.

Pentru studiul eforturilor se recomandă să se reprezinte diagrama forţelor

axiale pentru determinarea secţiunii (sau secţiunilor) periculoase. Forţele axiale sunt

considerate pozitive când produc solicitarea de întindere şi negative când

produc solicitarea de compresiune a secţiunii transversale..

Forţa axială este rezultanta tuturor tensiunilor normale care se dezvoltă într-o

anumită secţiune transversală. Pentru a determina tensiunile, se consideră o bară

solicitată axial, de lungime L, confecţionată dintr-un material omogen şi izotrop şi

care are o secţiune transversală constantă, cu aria A.

Prin aplicarea unei forţe axiale N bara se lungeşte cu cantitatea ∆L. O secţiune

oarecare BC, situată la abscisa x se deplasează cu cantitatea ∆x. Conform ipotezei lui

Bernoulli “o secţiune plană şi normală pe axa barei înainte de deformaţie rămâne

plană si normală pe axa barei după deformaţie”, rezultă că toate punctele secţiunii BC

se deplasează axial cu aceeaşi valoare ∆x= ct. şi:

ε xx

xct= =

∆ .

Conform legii lui Hooke, alungirii specifice constante, îi corespund tensiuni

normale constante:

σ ε= ⋅E .

Prin ipoteză am considrat materialul izotrop, deci modulul de elasticitate este

constant (E = ct.) şi ca urmare rezultă σ = ct.

Deci, tensiunile sunt repartizate uniform pe suprafaţa secţiunii

transversale (fig.6.1,b).

Din ecuaţia de echilibru scrisă pentru partea din stânga a barei (fig.6.1,b)

rezultă:

N dA dA AA A

= ⋅ = ⋅ = ⋅∫ ∫σ σ σ .

Din această ecuaţie se

obţine valoarea tensiunii

normale pentru solicitarea la

intindere sau compresiune:

σ =NA

. (6.1)

Starea de tensiune, în acest caz, este o stare uniaxială (fig. 6.1,c).

Întrucât se consideră că materialul satisface legea lui Hooke, deformaţia

specifică pentru solicitări axiale, are expresia:

εσ

= =⋅EN

E A. (6.2)

Valoarea alungirii, respectiv a scurtării totale a barei este:

∆L L N LE A

= ⋅ =⋅⋅

ε . (6.3,a)

Dacă pe lungimea barei mărimile N, E, şi A sunt variabile, sau constante pe

anumite porţiuni ale barei, alungirea se calculează cu relaţia:

∆L NE A

dxL

=⋅∫ sau ∆L N L

E A=

⋅⋅∑ . (6.3,b)

Alungirea (scurtarea) ∆L este cu atât mai mică cu cât produsul EA este mai

mare şi de aceea produsul EA se numeşte modul de rigiditate la întindere-

compresiune.

Relaţiile deduse mai sus şi cele ce se vor deduce mai jos sunt valabile atât

pentru solicitarea la întindere cât şi pentru cea de compresiune.

Fig. 6.1

Barele de lungime mare solicitate la compresiune trebuie verificate la

flambaj (vezi. § 15). Fenomenul de flambaj (numit şi pierderea stabilităţii elastice),

se produce înainte ca tensiunile produse de solicitarea la compresiune să atingă

valoarea σa. De aceea nu se pot calcula la compresiune decât barele scurte, a căror

lungime nu întrece de 15 ori dimensiunea cea mai mică a secţiunii transversale:

L d≤ ⋅15 min , (6.4)

iar pentru L d≥ ⋅15 min se va face calculul la flambaj (vezi § 15).

6.2. Calculul de rezistenţă la întindere - compresiune

Relaţiile deduse mai sus se utilizează pentru rezolvarea problemelor

Rezistenţei materialelor: verificare, capacitate de încărcare şi dimensionare.

Rezolvarea acestor probleme se face respectând atât în condiţia de rezistenţă (σmax≤ σ

a) cât şi cea de rigiditate (εmax ≤ εa sau ∆Lmax ≤ ∆La). Rezistenţa admisibilă (σa)

respectiv deformaţa admisibilă (εa, ∆La) depind de factorii analizaţi în §1.5.

Rezistenţele admisibile pentru câteva materiale sunt date în anexa 1.

Ţinând seama de aceste considerente se deduc, pe probleme, formulele de

calcul.

a) Verificarea unei piese solicitată de un efort axial, constă în determinarea

tensiunii maxime respectiv a deformaţiei maxime şi compararea valorii obţinute cu

cea admisibilă. Valoarea rezultată trebuie să nu depăşească pe cea admisibilă adică:

- din condiţia de rezistenţă:

σ σefef

aNA

= ≤max (6.5)

- din condiţia de rigiditate:

ε εmax = ⋅≤

NE A a sau ∆ ∆L N L

E ALamax =

⋅⋅

≤ . (6.5,a)

În prima relaţie (6.5) prin Aef se înţelege valoarea ariei efective a secţiunii. În

figura 6.2 se dau ariile efective pentru câteva secţiuni.

Inegalităţile din formulele (6.5) nu sunt total restrictive, în sensul că se pot

depăşi cu 3...5 % valorile limită (σa, εa, ∆La). Pentru a îndeplini condiţia de utilizare

eficientă a barei se recomandă ca valoarea efectivă a tensiunii sau a deformaţiei

să nu fie inferioare valorii de 80 % din valoarea admisibilă.

Dacă bara îndeplineşte simultan condiţiile:

0 8 1 05, ,max⋅ ≤ ≤ ⋅σ σ σa a

0 8 1 05, ,max⋅ ≤ ≤ ⋅ε ε εa a , (6.5,c)

0 8 1 05, ,max⋅ ≤ ≤ ⋅∆ ∆ ∆L L La a .

vom spune “BARA REZISTĂ”.

Dacă o singură mărime calculată din relaţiile (6.5) depăşeşte cu 5% valoarea

admisă atunci “BARA NU REZISTĂ”.

În cazul în care toate mărimile calculate sunt inferioare valorii de 80% din cele

admisibile “BARA ESTE SUPRADIMENSIONATĂ”.

Atât în cazul în care bara nu rezistă cât şi în cazul în care este supradimensionată

se va calcula valoarea sarcinii capabile.

b) Capacitatea de încărcare se calculează atât pentru barele la care nu se

cunoaşte valoarea încărcării cât şi pentru acelea ce au fost verificate şi n-au

corespuns sarcinii impuse, fie că erau subdimensionate sau/şi supradimensionate.

Fig. 6.2

Cunoscând dimensiunile secţiunii transversale ale barei, materialul din care

este confecţionată (σa) şi condiţiile de deformare (εa, ∆La), forţa axială maximă se

determină cu una din formulele:


N Acap ef a= ⋅ σ , (6.6,a)


N E Acap ef a= ⋅ ⋅ ε sau N E A LLcap

ef a=⋅ ⋅ ∆ . (6.6,b)

Dacă se ţine seama de ambele condiţii (de rezistenţă şi de rigiditate) rezultă

două valori diferite pentru sarcina capabilă. Din acestea se ia în considerare

valoarea cea mai mică.

Din calcul rezultă valori fracţionale sau cu multe cifre. Dar, în practica

inginerească se folosesc valori normate (valori prevăzute în norme sau standarde),

ce au puţine cifre şi sunt, de regulă, întregi. Deci, inginerul trebuie totdeauna să

aleagă valoarea forţei, astfel ca bara să reziste, să fie utilizată eficient, iar

valoarea forţei să fie cea normată. Astfel:

0 8 1 05, ,min min⋅ ≤ ≤ ⋅P P Pcap cap . (6.7)

c) Dimensionarea este problema cea mai dificilă, şi constă în determinarea

dimensiunilor secţiunii transversale ale barei astfel încât aceasta să reziste

solicitărilor impuse.

Prima operaţie, pentru dimensionare, este aflarea efortului normal maxim.

Aceasta rezultă din diagrama forţei axiale. Apoi, se alege materialul pentru bară şi se

adoptă valoarea rezistenţei admisibile, respectiv a deformaţiei admisibile.

Aria necesară a secţiunii transversală se calculează cu relaţiile:


A Nnec

a

= max

σ, (6.8,a)


A NEnec

a

=⋅max

ε

sau A L NE Lnec

a

=⋅⋅

max

∆.

(6.8,b)

Ca şi la capacitatea de

încărcare şi aici pot rezulta două

valori diferite pentru arie. De

această dată se ia în considerare

valoarea cea mai mare pentru a fi satisfăcute simultan cele două condiţii. De

asemenea şi aici dimensiunile transversale ale barelor sunt normate şi trebuie

totdeauna să se aleagă, valoarea standardizată. În acest scop se aleg forma şi

dimensiunile secţiunilor date în tabele cu profile standardizate (vezi fig. 6.2).

6.3. Bare cu variaţie de secţiune. Secţiune periculoasă

În numeroase cazuri, din motive constructive, aria secţiunii transversale variază

în lungul barei. Spre exemplu în figura (6.3,a) este prezentată o platbandă cu

secţiunea transversală dreptunghiulară de lăţime b şi grosime h slăbită în secţiunea

II-II de o gaură cu diametrul d şi solicitată de o forţă axială N. Tensiunile produse nu

au aceeaşi valoare în fiecare secţiune transversală. Tensiunile în secţiunea I-I, ce se

găseşte la depărtare de secţiunea slăbită, sunt mai mici decât în secţiunea II-II.

Secţiunea în care iau naştere cele mai mari tensiuni normale se numeşte

secţiune periculoasă. Calculele de rezistenţă, în acest caz, se fac pentru secţiunea

periculoasă. Pentru bara din figura 6.3 secţiunea periculoasă este secţiunea II-II, ce

are aria minimă. Valoarea medie a tensiunii în această secţiune se determină cu

relaţia:

Fig. 6.3

( )

σ 0 = =− ⋅

NA

Nb d hef

,

şi se numeşte tensiune nominală.

Prin măsurări tensometrice s-au determinat valorile reale ale tensiunilor în bara

cu secţiune variabilă. S-a stabilit că tensiunile nu se repartizează uniform pe suprafaţa

secţiunii transversale, ci au o variaţie parabolică ca în figura (6.3,b), cu valoarea

maximă la marginea găurii.

În Teoria elasticităţii se demonstrează că tensiunea în secţiunea periculoasă, la

ordonata y de axa Ox, este dată de relaţia:

σ =⋅

⋅ + +

Nb h

dy

dy

18

332

2

2

4

4 ,

iar tensiunea maximă, la marginea găurii, pentru y d=

2 este:

σ σmax = ⋅= ⋅3 3 0

Nb h

,

unde:

σ 0 = ⋅N

b h este tensiunea nominală din secţiunea neslăbită I-I.

Stări de solicitare asemănătoare se produc şi în dreptul altor variaţii de

secţiune. În figura (6.4,a,b) s-au redat alte două exemple de variaţie a secţiunii

transversale. În aceste cazuri tensiunea normală maximă apare la marginea secţiunii

transversale, în dreptul crestăturii (fig. 6.4,a) şi în dreptul racordării (fig. 6.4,b).

Găurile, racordările, crestăturile, etc. care produc o modificare bruscă a

secţiunii barei, influenţează distribuţia tensiunii normale, se numesc concentratori

de tensiune.

Pentru cazul general tensiunea normală maximă se determină cu relaţia:

σ α σ αmax = ⋅ = ⋅k kNA0 (6.9)

unde:

αk > 1 este coeficientul teoretic de con-

centrare al tensiunilor sau coeficient de formă.

Mărimea coficienţilor de concentrare a

tensiunilor se ia din manualele inginereşti în

funcţie de dimensiunile secţiunii şi de mărimea şi

configuraţia concentratorilor.

Concentratorii de tensiune sunt deosebit de

periculoşi pentru materialele fragile. Dacă materialul barei este tenace efectul

concentratorului este redus şi uneori chiar neglijabil.

În figura (6.5,a, b, c, d) sunt date câteva diagrame cu coeficienţi de concentrare

a tensiunilor normale pentru patru forme de concentratori.

Fig. 6.4

Fig. 6.5

Aplicaţia 6.1. O bară de secţiune dreptunghiulară de (100x12) mm este

asamblată de un guseu prin trei nituri de diametru d=18 mm (fig.6.6). Bara este

solicitată la întindere de forţa P =150 kN. Se cere să se verifice bara în ipoteza că

forţa P se repartizează uniform pe cele 3 nituri, dacă σa= 150 MPa şi αk= 1.

Rezolvare: Tensiunea maximă din secţiunea I a barei este:

σ σmax .I

I

NA

MPaI

efa= =

⋅⋅

= <150 1012 100

1253

Tensiunea nominală din secţiunea II, rezultă:

σ σmax , , .II

II

NA

MPaII

efa= =

⋅⋅ − ⋅

= < ⋅150 10

12 100 18 12152 4 1 05

3

Întrucât, prin ipoteză, forţa P se repartizează uniform pe cele trei nituri rezultă

că o forţă P/3 a trecut de la bara la guseu, prin nitul din secţiunea II. În secţiunea III a

mai rămas 2/3 P, astfel că tensiunea normală în bară este:

σ σmax , .III

III

NA

MPaIII

efa= =

⋅ ⋅

⋅ − ⋅ ⋅= <

23

150 10

12 100 2 18 12130 2

3

Deci, secţiunea periculoasă este secţiunea II-II, unde se verifică condiţia

impusă ca σef II < 1,05⋅σa, printr-o depăşire a tensiunii admisibile cu numai 1,6 %.

Aplicaţia 6.2. Să se verifice bara din figura 6.7 solicitată la întindere de o

forţă P = 7,4 kN ştiind că σa= 150 MPa.

Fig. 6.6

De pe curba:

D dr−

=−

=2

20 1010

1,

dată în figura (6.5,a), pentru r/d = 0,5 se obţine:

α k = 1 37, .

Astfel, tensiunea normală maximă din

secţiunea I rezultă:

σ α σmax , , , .I k

efa

PA

MPa= ⋅ = ⋅⋅ ⋅

= <1 37 4 7 4 1010

129 13

2

Din diagrama prezentată în figura (6.4,c), pentru d/D = 0,5 se obţine αk II= 1,95

astfel că:

σ απ

σmax , , , , .II k

efa

PA

MPa= ⋅ = ⋅⋅

⋅− ⋅

= < ⋅1 95 7 4 10204

20 11153 3 1 05

3

2

Deci bara este corect dimensionată întrucât în ambele secţiuni se respectă

condiţia (6.5,c).

6.4. Calculul barelor verticale luând în considerare

şi greutatea proprie

În cazul barelor de lungimi mari, care sunt în

poziţie verticală, calculul la solicitări axiale, se face

luând-se în considerare şi greutatea proprie.

Să considerăm o bară verticală, prismatică de

lungime L şi cu rigiditate EA, confecţionată dintr-un

material omogen, cu greutatea specifică γ. Bara este

încastrată la un capăt şi este solicitată la întindere de o

forţă P şi de greutatea proprie conform figurii 6.8.

Fig. 6.7

Fig. 6.8

Într-o secţiune oarecare situată la abscisa x de capătul liber al barei,valoarea

forţei axiale este:

N P A x= + ⋅ ⋅γ (6.10)

şi are variaţie liniară.

Valorile extreme ale forţei sunt:

N PN P A L

0

1

=

= + ⋅ ⋅

,.γ

Valoarea tensiunii normale într-o secţiune oarecare este:

σ γ σ γ= = + ⋅ = + ⋅NA

PA

x x0 , (6.11)

iar valoarea maximă a tensiunii este în dreptul secţiunii 1:

σ γ σ γ1 0= + ⋅ = + ⋅PA

L L , (6.12)

în care tensiunea minimă s-a notat cu σo= P/A.

Din relaţia (6.12) se obţine:

- pentru dimensionare:

A PLnec

a

=− ⋅σ γ

: (6.13)

- pentru verificare:

σ γmax = + ⋅P

AL

ef

: (6.14)

- pentru calculul capacităţii de încărcare:

( )P A Lcap ef a= ⋅ − ⋅σ γ . (6.15)

Alungirea, respectiv scurtarea barei verticale lungi se obţine astfel:

∆dx dxE

dxE

PA

x dxx= ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅

⋅ε

σγ

1 ,

sau:

∆ ∆L dxE

PA

x dxE

P LA

LP G L

E A

LL

= = ⋅ + ⋅

⋅ = ⋅

⋅+

⋅

=

+

⋅

⋅∫ ∫0

0

21 12

2γ

γ (6.16)

în care G = γ⋅A⋅L, este greutatea barei.

Realizarea unor astfel de bare verticale

prismatice, (de secţiuni constante) şi lungimi

mari sunt soluţii neeconomicoase şi din

această cauză s-a ajuns la bara de egală

rezistenţă, care este o bară de secţiune

variabilă la care este îndeplinită condiţia σ

= σa pe toată lungimea barei (fig. 6.9,a).

În scopul determinării modului de

variaţie al ariei, se izolează un element de

lungime dx (fig. 6.9,b), de greutate γ ⋅ ⋅A dxx , pe secţiunile căruia se reprezintă

tensiunile normale σa (din condiţia ca bara să fie de egală rezistenţă).

Din ecuaţia de echilibru a acestui element se obţine:

( )γ σ σ⋅ ⋅ − + + ⋅ =⋅A dx A dA Ax a x x x x 0 ,

sau

γ σ⋅ ⋅ − ⋅ =A dx dAx x a 0 ,

care prin separarea variabilelor şi integrare conduce la expresia:

ln A x Cxa

= ⋅ +γσ

.

Constanta C se determină prin utilizarea condiţiilor la limită şi anume, pentru

x= 0 rezultă C = lnA0. Expresia de mai sus devine:

ln lnA x Axa

= ⋅ +γσ 0 ,

de unde se obţine relaţia ce exprimă modul de variaţie al ariei secţiunii transversale:

A A ex

xa= ⋅⋅

0

γσ (6.17)

Fig. 6.9

Realizarea practică a unei astfel de bare este dificil de executat şi deci scumpă.

De aceea în practica inginerească se utilizează bare cu variaţii în trepte, eficient

calculate. În acest mod, cu toate că forţa axială creşte de la valoarea P la P+G,

tronsoanele se pot realiza astfel ca tensiunile efective să fie cuprinse în domeniul:

1 05 0 8, , .⋅ ≥ ≥ ⋅σ σ σa ef a

Pentru exemplificare se consideră bara din figura 6.10, formată din trei

tronsoane cu lungimile L1, L2, L3. Dimensionarea barei, ţinând seama de condiţia de

rezistenţă, se face astfel:

N P0 = , A PLnec

a1

1 1

=− ⋅σ γ

.

Se adoptă A1 şi apoi se calculează:

N P G P A L1 1 1 1 1= + = + ⋅ ⋅γ , A NLnec

a2

1

2 2

=− ⋅σ γ

,

apoi se adoptă A2.

Generalizând, dimensionarea se face cu formula:

Fig. 6.10

AP A L

L

P G

Linec

i i i

i

a i i

i

i

a i i

=+ ⋅ ⋅

− ⋅=

+

− ⋅

− −

∑ ∑γ

σ γ σ γ0

1

0

1

. (6.18)

Dacă tronsoanele sunt realizate din materiale diferite în formula (6.18) se ia

valoarea tensiunii admisibile cea mai mică din valorile pentru cele două materiale în

contact (a se vedea § 6.5.1).

Efortul maxim la contactul dintre cele două tronsoane este:

N P A L P Gi i i i

i

i

i

= + ⋅ ⋅ = +− −

∑ ∑γ0

1

0

1

. (6.19)

Alungirea respectiv scurtarea barei formate din tronsoane rezultă prin

însumarea alungirilor (scurtărilor) fiecărui tronson, Astfel, prin aplicarea succesivă a

formulei (6.16) se obţine:

∆LN G

E AL

ii

i ii

i

=+

⋅⋅

−

∑1

1

2 . (6.20)

6.5. Presiunea de contact

În calculele de rezistenţă la compresiune este necesară determinarea modului

cum sunt transmise sarcinile aplicate, adică a modului de considerare a presiunii de

contact. Aceasta este considerată o tensiune normală pe suprafaţa de contact, ce se

dezvoltă pe suprafaţa de aplicare a sarcinilor. Dacă presiunea de contact atinge valori

prea mari, ce depăşesc limita admisibilă a unui material în contact, se produce

distrugerea prin strivire, a elementului respectiv. De aceea, când forţa se transmite

între doua (ER) din materiale diferite se va ţine seama în calcul, de rezistenţa

admisibilă cea mai mică la compresiune a materialelor în contact.

Relaţiile de calcul ale presiunii de contact diferă în funcţie de felul suprafeţei

de contact (plană, cilindrică, sferică, etc).

6.5.1. Suprafaţa plană de contact Pentru suprafeţe plane de contact se admite o distribuţie uniformă a

presiunii de contact, egală cu tensiunea normală pe această suprafaţă. În acest caz

rezistenţa la strivire este:

p PA

pef a ac= ≤ = σ , (6.21)

în care σac este rezistenţa admisibilă la compresiune, cea mai mică, a materialelor în

contact.

Aplicaţia 6.3. Să se verifice stâlpul din

figura 6.11, ştiind că este confecţionat din

aluminiu cu paAL= 45 MPa. Acesta apasă pe o

placă de oţel cu paOL= 100 MPa care apoi se

sprijină pe un bloc de beton cu pabet=30 MPa şi

totul pe pământ. Presiunea admisibilă pentru

pământ este de papăm=2 MPa. Se cunoaşte: γAL =

27 kN/m3, γOL= 78,5 kN/m

3 şi γbeton= 22 kN/m

3.

Rezolvare: forţa la contactul dintre stâlpul

de aluminiu şi placa de oţel rezultă:

N P V kNAL AL2

2

2000 27 0 254

8 2011= + ⋅ = + ⋅⋅

⋅ =γπ , ,

iar presiunea de contact este:

P NA

MPa Psef

aAL22

3

2

4 2011 10250

40 96= =⋅ ⋅

= <, ,

Forţa la contactul dintre oţel şi beton va fi:

N N V kNOL OL3 2

2

2011 78 5 0 3254

0 02 2011= + ⋅ = + ⋅⋅

⋅ =γπ, , , .

Fig. 6.11

Observaţii: Greutatea plăcii de oţel este neglijabilă faţă de cea a stâlpului şi nu

se ia în considerare.

Presiunea de contact în 2 este:

P NA

MPa Psef

aBet33

3

2

4 2011 10325

24 24= =⋅ ⋅

⋅= <

π, .

Forţa axială dintre beton şi pământ se obţine:

N N V kNbet bet4 322011 50 1 2 1 2083= + ⋅ = + ⋅ ⋅ =γ , ,

iar presiunea de contact este:

P NA

MPa Psef

aPam44

3

2

2083 101200

1 419= =⋅

= <, .

Deci, calculele de rezistenţă pentru acest stâlp sunt corecte, deoarece în toate

zonele de contact nu se depăşeşte presiunea admisibilă a materialului celui mai puţin

rezistent. Se mai observă că greutatea plăcii de oţel este neglijabilă faţă de sarcină,

greutatea stâlpului şi greutatea fundaţiei.

6.5.2. Suprafeţe cilindrice în contact

În cazul îmbinărilor cu nituri, bolţuri, buloane, etc. suprafeţele în contact dintre

(ER) au forme cilindrice.

În figura (6.12,a) se consideră o îmbinare cu un nit. Forţa P se transmite de la

ER 2 la 3 prin intermediul nitului 1 de diametru D şi lungime 2L.

Dacă se presupune că intensitatea forţei este aceeaşi pe toată grosimea L a

elementelor 2 respectiv 3 atunci pe fiecare suprafaţă elementară, dA L D d= ⋅ ⋅2

α , se

va transmite o forţă elementară normală, (fig. 6.12):

dN p dA p L D d= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅2

α ,

ce depinde de distribuţia presiunii de contact.

Distribuţia reală depinde de elementul de imbinare (nit sau şurub) modul de

asamblare (nedemontabilă sau demontabilă) şi se poate determina experimental.

Dacă se consideră distribuţia p = po⋅cosα, ce aproximează foarte bine pe cea

reală, atunci din ecuaţia de echivalenţă dintre forţă şi presiune se obţine:

( )P dN p dA p L D d L D p= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅

⋅

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫2 2 2

2 402

02

002

0cos cos cos cos ,α α α α αππ π π

din care rezultă valoarea presiunii maxime în contact,

p PD L

PD L0

4 1 273=⋅ ⋅

= ⋅⋅π

, . (6.22)

În calculele inginereşti se consideră că forţa P se distribuie uniform pe

suprafaţa D⋅L (fig. 6.12,e, f), adică

Fig. 6.12

P p D La= ⋅ ⋅ sau p PD Lmax .=⋅

(6.23)

Presiunea de contact admisibilă, în cazul suprafeţelor cilindrice fixe, se ia:

pa= (1 ... 1,5) ⋅σac, (6.24)

iar dacă cele două piese cilindrice trebuie să aibă o mişcare relativă una faţă de alta,

cum este fusul în lagăr, se ia:

pa= (0,5 ... 0,8) ⋅σac. (6.23,a)

Astfel, pentru OL 37 cu σac= σa= 150 N/mm2, presiunea admisibilă se poate lua

între valorile pa= 75 ... 225 MPa.

Aplicaţa 6.4. Să se verifice la strivire îmbinarea cu nituri de la aplicaţia 6.1

(fig. 6.6) dacă pa= 1,5 σa= 1,5 ⋅ 150 = 225 MPa.

Rezolvare: Forţa pe un nit, ţinând seama de ipoteza că forţa se distribuie

uniform pe fiecare nit (a se vedea § 7.4), este:

P P kN1 3150

350= = = .

Presiunea de contact este:

p P

D LMPaef = ⋅

=⋅⋅

=1350 10

18 122315, .

Întrucât pef = 231,5 < 1,05 ⋅ pa = 236,3 MPa, ÎMBINAREA REZISTĂ.

6. 5. 3. Suprafeţe mici în contact

Asemenea suprafeţe există la contactul dintre bilele sferice, cilindrice, butoiaş,

etc. şi suprafeţele de aşezare ale acestora. În aceste cazuri, datorită suprafeţelor de

rezemare foarte mici, prin care se transmit forţele, se produc presiuni de contact

deosebit de mari. Sub acţiunea forţelor de contact mari cele două corpuri se

deformează local (se turtesc).

În cazul a două bile sferice, apăsate una către cealaltă cu forţa P, acestea se

deformează, obţinându-se o suprafaţă circulară de contact, cu diametrul 2a (fig.6.13).

Presiunea maximă de contact a fost stabilită de H. Hertz, luând în considerare

următoarele ipoteze:

- diametrul 2a, al suprafeţei de contact, este mic în comparaţie cu diametrele d1

şi d2 ale bilelor:

- materialele celor două corpuri au deformaţii liniar eleastice:

- presiunile de contact sunt normale pe suprafaţa de contact.

În acest caz presiunea maximă dezvoltată pe axa centrelor celor două

bile se calculează cu formula dedusă de H. Hertz (cu ajutorul teoriei

elasticităţii):

p P E EE E

d dd dmax , ,= ⋅ ⋅

⋅+

⋅

+⋅

0 975 1 2

1 2

2

1 2

1 2

2

3 (6.25)

iar dacă cele două corpuri sunt confecţionate din acelaşi material:

p P E d dd dmax , .= ⋅ ⋅ ⋅+⋅

0 62 2 1 2

1 2

2

3 (6.25,a)

În cazul general al unor corpuri ce au forme geometrice simple (sferă, cilindru,

con, trunchi de con, elipsoid, etc.) suprafaţa de contact dintre cele două corpuri are

formă de elipsă, de ecuaţie:

A x B y ct⋅ + ⋅ =2 2 ., (6.26)

iar presiunea maximă de contact se calculează cu formula:

3 22max EAPp ⋅⋅⋅α=

(6.27)

Coeficientul α din formula (6.27) depinde de

parametrii A şi B ai ecuaţiei elipsei (6.26) şi se dau în

tabelul (6.1).

Fig. 6.13

Tabelul 6.1.

A/B 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,15 0,15 0,1 0,05 0,02 0,01 0,007

α 0,62 0,667 0,742 0,85 0,14 1,14 1,27 1,54 2,03 2,85 3,6 5,1

În anexa 5 de la sfârşitul cursului se dau valorile parametrilor A şi B ai ecuaţiei

(6.26) şi formule de calcul ale presiunii maxime de

contact pentru cele mai frecvente cazuri întâlnite în

practica inginerească.

Tabelul 6.2.

Materialul σr [MPa] pa [MPa]

Fonta 900 - 1400 800 - 1300

Oţel carbon călit 480 - 800 850 - 1400

Oţel aliat călit 700 - 1800 1200 - 1600

Oţel de rulmenţi - 3800

Experimental s-a constatat că presiunea maximă de contact poate depăşi cu

mult limita de curgere a materialului fără ca ER să se distrugă. Fenomenul se explică

prin faptul că în zona centrală de contact, unde se atinge pmax, materialul se află în

stare triaxială de compresiune uniformă (vezi § 3.7 ).

Valorile presiunii admisibile în cazul contactului pe suprafeţe foarte mici,

pentru fonte şi oţeluri se dau în tabelul 6.2.

Aplicaţia 6.5. Să se calculeze forţa capabilă care o poate prelua un rulment de

presiune cu 8 bile (fig. 6.14) cu diametru d1= 6 mm, ce are căile de rulare concave cu

raza R d mm= =2

28 . Se cunoaşte E = 210 GPa şi pa= 3,8 GPa.

Fig. 6.14

Rezolvare: Utilizând formula din anexa 5 (nr. 2) pentru oţel de rulmenţi se

obţine:

P n p d dd d E

kNcap = ⋅

⋅

⋅−

⋅ = ⋅

⋅

⋅−

⋅ =max

,,

,,

0 621 8 3 8

0 626 88 6

1210

24 063

1 2

2 1

2

2

3 2

2

Se adoptă: P = 24 kN.

6.6. Sisteme de bare static nedeterminate

6.6.1. Noţiuni generale

Până acum s-au analizat eforturile şi tensiunile dintr-o bară static determinată.

În practica inginerească sunt ansamble şi subansamble formate din sisteme de bare.

Aceste sisteme pot fi static determinate sau static nedeterminate.

La sistemele static determinate reacţiunile, respectiv eforturile din secţiune, se

pot determina din ecuaţiile de echilibru. În acest caz numărul ecuaţiilor statice este

egal cu numărul necunoscutelor.

Când numărul necunoscutelor (reacţiuni sau/şi eforturi) este mai mare decât

numărul ecuaţiilor de echilibru static, sistemul se numeşte static nedeterminat.

Diferenţa dintre numărul necunoscutelor şi numărul de ecuaţii statice, constituie

gradul de nedeterminare al sistemului. Pentru rezolvare în acest caz, se adaugă la

ecuaţiile statice un număr de ecuaţii de deformaţie egal cu gradul de

nedeterminare al sistemului. Aceste ecuaţii suplimentare se obţin din analiza

aspectului geometric şi de compatibilitate al sistemului de bare.

Sistemele static nedeterminate solicitate axial pot fi cauzate de:

- legături ce împiedică deformarea produsă de sarcini sau de modificarea

temperaturii barelor:

- eforturi (tehnologice sau de asamblare) ce se produc în sistemele de bare:

- utilizarea în construcţia unei bare a mai multor materiale cu caracteristici

fizico-mecanice diferite.

În toate aceste cazuri problemele static nedeterminate se pot rezolva

parcurgând următoarele trei aspecte:

a) aspectul static: scriind ecuaţiile de echilibru static se stabilesc necunoscutele

sistemului şi se află gradul de nedeterminare:

b) aspectul geometric - se scrie un număr de ecuaţii de deformaţii egal cu

gradul de nedeterminare:

c) aspectul fizic - se exprimă deformaţiile de la punctul b) în funcţie de

eforturile sau tensiunile din bară.

Astfel după parcurgerea celor trei aspecte, din aspectul static şi cel fizic se

obţin ecuaţiile necesare care prin rezolvare, dau soluţiile problemei static

nedeterminate în eforturi, în tensiuni sau în deformaţii.

6.6.2. Bare având deformaţiile împiedicate de legături

Aplicaţia 6.6. Bara încastrată (sau articulată), la cele două capete (fig.

6.15). Se consideră bara dreaptă, prismatică încastrată sau articulată la cele două

capete şi încărcată cu sarcina axială P într-un punct situat la distanţa a de reazemul 1

(respectiv la b de reazemul 2).

Rezolvare: Reacţiunile în cele două reazeme sunt H1 şi H2.

Aspectul static:

H1+ H2= P (sistem simplu static nedeterminat):

Aspectul geometric:

∆a + ∆b = 0 (deformaţia totală a barei trebuie să fie nulă):

Aspectul fizic:

H aE A

H PE A

b1

1 1

1

2 2

0⋅⋅

+−⋅

⋅ = ,

din care se obţine:

H Pab

EE

AA

12

1

21=

+ ⋅ ⋅ şi apoi

H P H2 1= − .

Având valorile reacţiunilor se poate trasa

diagrama de variaţie a forţelor axiale şi apoi se

poate efectua calculul de rezistenţă.

Dacă E A E A E A1 1 2 2⋅ = ⋅ = ⋅ şi L = a +

b, atunci:

H bL

P1 = ⋅ şi H aL

P2 = ⋅ .

Aplicaţia 6.7. Sistem de bare paralele.

Se consideră bara de mare rigiditate (1)-

(3) suspendată prin trei bare verticale,

prismatice de lungimi şi rigidităţi diferite.

Sarcina verticală P acţionează la distanţa c de

punctul 3 (fig. 6.16).

Rezolvare:

a) Aspectul static (ecuaţiile de echilibru sunt):

N+ N2+ N3= P,

N1⋅ (a + b) + N2⋅ b = P⋅c.

b) Aspectul geometric, corespunzător stării de deformaţie al barelor este:

∆ ∆ ∆ ∆L La

L Lb

2 1 3 2−=

− .

c) Aspectul fizic (adică exprimând alungirile funcţie de eforturi) se obţine:

N LE A

ba

N LE A

a ba

N LE A

1 1

1 1

2 2

2 2

3 3

3 3

0⋅⋅

⋅ −⋅⋅

⋅+

+⋅⋅

= .

Fig. 6.15

Fig. 6.17

Această ultimă ecuaţie împreună cu cele două ecuaţii de echilibru

constituie un sistem de trei ecuaţii din care se pot determina eforturile N1, N2

şi N3 din bare.

Aplicaţia 6.8. Sistem de bare articulate, simetrice.

Fie sistemul de bare prismatice, coplanare, articulate şi acţionate în A de forţa

P. Bara mediană are lungimea L şi rigiditatea E A⋅ iar cele laterale L = L / cosα şi

respectiv E A1 1⋅ (fig. 6.17).

Rezolvare:

a) Aspectul static:

N1⋅ sin α - N2 ⋅sin α = 0,

N + (N1+ N3) ⋅ cos α = P.

b) Aspectul geometric: neglijând modificarea unghiului α după deformaţie

(conform ipotezei deformaţiilor mici) ∆α este foarte mic faţă de unghiul α. Între

deformaţiile ∆L şi ∆L1 există relaţia:

∆L1= ∆L⋅ cosα.

b) Aspectul fizic se scrie:

α⋅⋅⋅

=⋅

α⋅

cosAELN

AEcos

LN

11

1

.

Din cele trei ecuaţii rezultă:

N PE AE A

=+

⋅⋅

⋅1 2 1 1 3cos,

α

N N P N1 2 2= =

−⋅ cos

.α

Dacă E⋅A = E1⋅A1 atunci se obţine:

α⋅+

−= 3

1

cos21NP

N şi N N P1 2

2

31= =

⋅+

coscos

.αα

Fig. 6.16

Din formulele de mai sus

se observă că N > N1, astfel că

sarcina capabilă se determină, în

acest caz, numai funcţie de N:

Pcap= (1+2cos3α) ⋅Ncap=

(1+2cos3α) ⋅A ⋅σa.

6.6.3. Bare cu eforturi iniţiale

Lungimile barelor din sistemele static nedeterminate se stabilesc pe

considerente geometrice. Dacă lungimile unor bare diferă de valorile nominale

conform toleranţelor de execuţie ale reperelor, atunci acestea se pot monta numai

după ce au fost lungite sau scurtate forţat. Prin aceasta se introduc eforturi

suplimentare în sistem, rezultate din montajul forţat. Un sistem de bare ce conţine

eforturi înainte de a fi acţionat de sarcinile pentru care a fost construit, se numeşte

sistem cu eforturi iniţiale. Valorile eforturilor iniţiale se pot determina adăugând la

ecuaţiile de echilibru, ecuaţii de deformaţie obţinute din studiul geometriei

sistemului.

În aplicaţiile analizate mai jos valorile impreciziilor de montaj, respectiv ale

deformaţiilor rezultate la montaj sunt mici, astfel că acestea sunt liniar elastice.

Aplicaţia 6.9. Sisteme de bare articulate concurente cu imperfecţiune la

montaj. La sistemul plan de bare articulate din figura 6.18 bara centrală este mai

scurtă cu lungimea a. În urma montajului forţat, în bara mediană se va produce o forţă

axială de întindere iar în cele laterale forţe axiale de compresiune.

Fig. 6.18

Rezolvare:

a) Aspectul static:

N1⋅sin α = N2⋅sin α,

N= (N1+ N2) ⋅cos α.

Aspectul geometric:

∆∆

LL

a+ =1

cos.

α

Aspectul fizic:

.acosAELN

AELN

211

1 =α⋅⋅

⋅+

⋅⋅

Din cele trei ecuaţii în eforturi se obţine:

N a E A

L E AE A

L=

⋅ ⋅

+⋅⋅

⋅2 1 1

3cos

,

α

N N N1 2 2= =

cos.

α

6.6.4. Bare cu secţiuni neomogene

În construcţiile inginereşti se utilizează (ER) alcătuite din două sau mai multe

materiale, ce au caracteristici fizico-mecanice diferite. Elementele componente ale

barei formează un sistem ce se comportă ca un tot omogen. Exemple de asemenea

(ER) sunt: stâlpi din beton armat, cablurile bimetalice etc.

În figura 6.19 se dă o bară

prismatică alcătuită din trei materiale

diferite (E1⋅A1, E2⋅A2, E3⋅A3)

solidarizate.

În acest caz:

a) aspectul static este:

N1+ N2+ N3 = P, Fig. 6.19

b) aspectul geometric este:

ε1= ε2= ε3.

c) aspectul fizic va fi:

N

E AN

E AN

E A1

1 1

2

2 2

3

3 3⋅=

⋅=

⋅.

Prin rezolvarea ecuaţiilor în eforturi rezultă:

NP E A

E A E A E A11 1

1 1 2 2 3 3

=⋅ ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅, N

P E AE A E A E A2

2 2

1 1 2 2 3 3

=⋅ ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅,

NP E A

E A E A E A33 3

1 1 2 2 3 3

=⋅ ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅.

Generalizând se obţine formula pentru eforturi:

N P E AE Ai

i i=⋅ ⋅

⋅∑ (6.28)

şi din aceasta rezultă tensiunea în materialul i al barei:

σ ii

i

iNA

P EA E

= =⋅⋅∑

. . (6.29)

Dacă aspectul fizic se scrie sub forma:

σ σ σ1

1

2

2

3

3E E E= = ,

din aceasta se obţin relaţiile:

σ σ σ1 21

23

1

3

= ⋅ = ⋅EE

EE

, σ σ σ2 12

13

2

3

= ⋅ = ⋅EE

EE

, . . . . (6.30)

Deci, tensiunea ce se produce într-un material depinde de tensiunile din

celelalte materiale şi de modulele de elasticitate ale acestor materiale şi nu

depinde de aria secţiunilor.

Ca atare, pentru a rezulta construcţii eficiente este necesar să se îndeplinească

simultan condiţiile:

σ1ef= σ1a, σ2ef= σ2a, σ3ef= σ3a, etc.

ce se poate realiza numai dacă:

σ σ σ1

1

2

2

3

3

a a a

E E E= = . (6.31)

Această condiţie nu se poate îndeplini decât în mod excepţional.

Relaţia (6.31) se utilizează pentru determinarea tensiunilor admisibile ale

celorlalte materiale. Valorile tensiunilor admisibile de calcul se determină ţinând

cont că acestea pot fi egale sau inferioare valorii tensiunii admisibile date pentru

materialul respectiv.

Aplicaţia 6.10. Să se

determine sarcina capabilă pentru

un cablu format din 19 fire de oţel

(σa1= 200 MPa, El= 120 GPa) şi

90 fire de aluminiu (σa2= 30 MPa,

E2= 70 GPa). Firele au diametrul

de d = 3 mm.

Rezolvare. Tensiunile admisibile de calcul sunt

σa2= 30 MPa,

σ σa aEE

MPa1 21

230 210

7090' .= ⋅ = ⋅ =

Se observă că pornind de la σa1= 200 MPa se obţine σ 2a' = 30 MPa, deci

inacceptabil.

Acum se poate calcula sarcina capabilă cu relaţia:

( )P N N A A Ncap cap a a= + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ × =1 2 1 1 2 2

2

90 19 30 90 34

31170' ' .σ σπ

Se adoptă: P=30 kN.

Fig. 6.20

6.6.5. Eforturi datorită dilatărilor împiedicate

O bară dreaptă de lungime L, ce se poate dilata liber, prin încălzire uniformă se

lungeşte (fig. 6.20,a) cu

∆L=α⋅L ⋅∆t (6.32)

în care α este coeficientul de dilatare liniară (vezi anexa 2), iar ∆t = t - t0 este

creşterea temperaturii. Alungirea specifică din bară este:

ε α= = ⋅∆

∆L

Lt (6.33)

Când bara are articulaţii fixe sau este încastrată la ambele capete (fig. 6.20,b),

ce împiedică dilatarea, în bară se produce o forţă axială de compresiune. Această

forţă trebuie să scurteze bara cu lungirea produsă de creşterea temperaturii (fig. 6.20,c

şi d), adică cu:

∆ ∆L t L N LE A

= ⋅ ⋅ =⋅⋅

α ,

din care se obţine formula pentru forţa axială de compresiune:

N= α ⋅E ⋅A⋅∆t (6.34)

Ca atare în bară va exista tensiunea:

σ α= = ⋅ ⋅NA

E t∆ . (6.35)

Când bara este formată din mai multe tronsoane prismate din materiale diferite

(L1, A1, E1, Α1, L2, A2, E2, Α2, ...), forţa axială din bară rezultă:

a) Din aspectul static:

N= N1= N2= N3= ... (6.36)

b) Din aspectul geometric se obţine relaţia:

(∆L)T- (∆L)N= a (6.37)

în care a este spaţiul destinat dilatării (fig. 6.21).

c) Aspectul fizic pentru acest caz este:

α ⋅ ⋅ −⋅⋅

=∑ ∑L t N LE A

a∆ . (6.38)

Relaţiile (6.36) şi (6.37) sunt necesare şi suficiente pentru determinarea

eforturilor în barele cu dilatare împiedicată.

Aplicaţia 6.11. Profilul I20 (A = 35,5 cm2, E=210 GPa, α=12×10

-6 ° C-1

) s-a

montat ca în figura 6.21, la temperatura de 5° C

şi s-a lăsat un spaţiu de dilatare a = 2 mm. Să se

determine efortul şi tensiunea din bară la

temperatura de 45°C.

Rezolvare: Spaţiul necesar dilatării libere este:

∆L=α⋅∆t ⋅L=12⋅10-6⋅40⋅7000 = 3,36 mm.

Întrucât ∆L = 3,36 mm > a = 2 mm, dilatarea este împiedicată. Deci sistemul

este static nedeterminat. Ecuaţiile din cele trei aspecte sunt:

a) N H H= =1 2 ,

b) ( ) ( )∆ ∆L L aT N− = ,

c) α ⋅ ⋅ −⋅⋅

=L t N LE A

a∆ ..

din care rezultă:

H N t aL

E A kN= = ⋅ −

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅ =−α ∆ 12 10 40 2

7000210 3350 136 76 , ,

σ σef aNA

MPa MPa= =⋅

= < =136 7 10

335040 8 150

3, , .

Observaţie: Eforturile şi tensiunile ce iau naştere datorită dilatării impiedicate

sunt suplimentare şi se însumează cu cele produse de sarcinile utile.

6.7. Solicitări axiale în domeniul plastic În practica inginerească se utilizează bare şi sisteme de bare solicitate în

domeniul plastic. Asemenea bare sunt construite din oţel de rezistenţă mică şi

Fig. 6.21

mijlocie, ce au un palier de curgere mare, sau din alte aliaje ce au caracteristici

asemănătoare cu ale acestor oţeluri. La aceste materiale panta iniţială a curbei

caracteristice se poate schematiza ca în figura 6.22 (material ideal elasto-plastic).

Pentru acestea, când deformaţia este elastică (ε ≤ εc), au comportare liniar elastică:

σ = E ⋅ ε,

iar pentru deformaţii plastice (ε > εc) tensiunea este constantă şi egală cu limita de

curgere (σ = σc). Aşadar, când tensiunea

atinge limita de curgere în bară se produce

efortul maxim, limită:

NL= Nmax = A ⋅ σc, (6.39)

iar bara se poate lungi nedefinit.

La un sistem static nedeterminat,

stadiul plastic de solicitare va apare în barele

cele mai solicitate, la care tensiunea a atins

limita de curgere. Dacă sarcina creşte,

efortul în barele solicitate în stadiul plastic va rămâne constant şi egal cu

N AL c= ⋅ σ , iar deformaţiile acestora vor creşte o dată cu ale celorlalte bare

solicitate încă elastic. Sarcina mai poate creşte până ce tensiunile din toate barele

ating limita de curgere. Sarcina corespunzătoare acestei situaţii se numeşte sarcină

limită. Aceasta este valoarea maximă a sarcinii la care sistemul se distruge.

La sarcina limită tensiunile în toate barele sistemului static nedeterminat sunt

egale cu limita de curgere, iar eforturile cu efortul limită. Astfel că sistemul static

nedeterminat solicitat în stadiu plastic devine sistem static determinat.

În prezent, calculul de rezistenţă al construcţiilor metalice se efectuează la

sarcina limită, conform STAS 10108 /0,1,2-1978 “Calculul elementelor din oţel”.

Calculul de rezistenţă la sarcina limită (numit şi calculul de rezistenţă la starea

limită sau la capacitatea portantă limită) are la bază relaţiile de verificare respectiv de

capacitate de încărcare:

Fig. 6.22

c PP

L= , P PcL= , (6.40)

în care c este coeficientul de siguranţă.

Pentru barele static determinate solicitate axial nu există diferenţă între calculul

de rezistenţă prin metoda rezistenţei admisibile şi calculul la starea limită. De aceea

sistemele static determinate se calculează la rezistenţa admisibilă.

Metoda sarcinii limită prezintă avantaje importante le sistemele static

nedeterminate confecţionate din oţel de rezistenţă mică şi mijlocie. Dintre

numeroasele avantaje ale acestei metode enumerăm aici două:

- calculul de rezistenţă este mult mai simplu întrucât sistemul devine static

determinat: toate barele sunt încărcate la limita de curgere şi,

- se utilizează eficient întreaga capacitate de rezistenţă a sistemului.

Aplicaţia 6.12. Să se determine sarcina capabilă, calculată prin metoda stării

limită, la sistemul de bare plane concurente, simetrice din figura 6.23.

Rezolvare:

Aspectul static conţine ecuaţiile:

N1⋅ sin α = N2⋅ sin α,

N + (N1+ N2) ⋅ cos α = P,

la care se adaugă condiţiile:

N = A⋅σc şi N1= N3= A1⋅σc.

Astfel că, sarcina limită rezultă

PL= N+2N1⋅cosα = (A+2A1⋅cosα) ⋅σc.

Sarcina capabilă se obţine:

( ) ( )P Pc

A Ac

A AcpL c

a= = + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅2 21 1cos cos ,ασ

α σ

întrucât σ σcac

= .

Dacă barele au aceeaşi secţiune (A1= A), atunci:

Pcp= (1+2cosα)⋅A⋅σa.

Fig. 6.23

Comparând valoarea obţinută în acest caz cu cea obţinută prin metoda

rezistenţei admisibile, de la aplicaţia 6.10 se obţine eficienţa:

ηαα

= ⋅++

>PP

cp

cap

1 21 2

13coscos

.

Dacă se ia α = 60° rezultă:

η = ++

=1 2 601 2 60

1 63coscos

, .o

o

7. FORFECAREA 7.1 Forfecarea în piesele cu secţiunea îngustă

Acţiunea simultană a două forţe egale şi de sens contrar, perpendiculare pe axa

barei, asemenea lamelor unei foarfece (fig.7.1,a), solicită bara la forfecare sau tăiere.

Asemenea solicitări au loc în nituri, capse, ştifturi, suduri de colţ, precum si în

cazurile de tăiere, ştanţare etc.

Starea de tensiune generată de acţiunea forţelor ca în figura (7.1,a) este destul

de complicată, întrucât solicitarea de forfecare este însoţită de întindere,

compresiune şi încovoiere. Calculul exact, în acest caz, este destul de laborios şi nu

este analizat în cursul de Rezistenţa materialelor. De aceea, în practica inginerească,

pentru piesele de cu secţiune îngustă (h mic), când distanţa e, dintre liniile de acţiune

a celor două forţe, ce produc forfecarea, este mică, celălalte solicitări se neglijează. În

acest caz asupra secţiunii se consideră că acţionează numai efectul forţei tăietoare

T F= , conţinută în planul secţiunii.

Sub acţiunea forţei tăietoare se produc tensiuni tangenţiale τ şi deformaţii

unghiulare γ (lunecări). În cazul pieselor de secţiune mică se admite ipoteza de

repartiţie uniformă a tensiunilor tangenţiale pe secţiunea transversală. În baza

acestei ipoteze, din ecuaţia de echilibru pentru forţa din stânga a barei (fig. 7.1,b şi c),

se deduce:

T dA dA AA A

= ⋅ = ⋅ = ⋅∫ ∫τ τ τ ,

din care rezultă relaţia:

Fig. 7.1

τ =TA

, (7.1)

ce se utilizează, în condiţia τ ≤ τa, în calculul de rezistenţă al secţiunilor înguste.

Când secţiunea nu mai poate fi considerată îngustă, tensiunea tangenţială nu

poate fi considerată constantă şi deci relaţia (7.1) nu poate fi utilizată. Cazul va fi

studiat ulterior la încovoierea simplă (vezi § 9.5).

Rezistenţa admisibilă la forfecare pentru nituri, ştifturi, pene, buloane, etc. se ia:

τa = (0,5....0,8) ⋅σa, (7.2,a)

iar pentru sudurile de colţ:

τas = 0,65⋅σa.. (7.2,b)

În anexa 1 se dau valorile pentru rezistenţele admisibile la forfecare la

materialele cele mai utilizate.

În cazul ştanţării se consideră:

τr = 0,85 ⋅σr . (7.2,c)

Aplicaţia 7.1. Să se calculeze forţa necesară pentru ştanţarea unei găuri

circulare, d = 45 mm, într-o piesă din tablă având grosimea t = 4 mm, din oţel cu σr =

450 MPa.

τ σr r MPa= ⋅ = ⋅ =0 85 0 85 450 382 5, , , ,max

A t d= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =π π4 45 565 5 2, , mm

T Ar= ⋅ = ⋅ = ⋅τ 582 5 565 5 2163 102, , N .

Se adoptă: P=220 kN.

În cazul solicitării la forfecare deformaţiile şi deplasările produse de solicitare

nu prezintă interes practic. Dacă tensiunea maximă nu depăşeşte limita de

proporţionalitate şi deformaţiile sunt mici (γ ≅ tgγ), deplasarea a (fig. 7.1,b) rezultă:

a e eG

T eG A

= ⋅ = ⋅ =⋅⋅

γτ , (7.3)

unde G este modulul de elasticitate transversal, iar produsul G⋅A este rigiditatea la

forfecare.

7.2. Noţiuni generale despre îmbinări

Îmbinarea este asamblarea demontabilă sau nedemontabilă ce asigură legătura

între două sau mai multe părţi ale unei construcţii inginereşti sau ale unei maşini.

Exemple de îmbinări demontabile sunt cele executate cu: pene, şuruburi, caneluri,

etc. şi nedemontabile executate prin: nituire, sudare, lipire, etc.

Elementele de rezistenţă ale îmbinărilor sunt solicitate la intindere,

compresiune, forfecare, etc. constituind astfel, un larg câmp de aplicaţie a

cunoştinţelor dobândite în calculul de rezistenţă.

În calculul de rezistenţă al îmbinărilor se examinează fiecare element de

rezistenţă, determinând: forţele exterioare ce acţionează asupra ER, eforturile,

solicitările, secţiunile de rupere pentru fiecare solicitare şi în final - secţiunea

periculoasă.

O îmbinare se consideră judicios realizată când toate elementele sale

prezintă acelaşi grad de siguranţă la rupere. Ţinând seama de acest principiu,

când se impune un ER al îmbinării, celelalte (ER) se dimensionează la

capacitatea de rezistenţă a ER dat iniţial.

Întrucât îmbinările au fost şi sunt frecvent utilizate în tehnica inginerească şi

deci există o experienţă inginerească - privitoare la condiţiile de rezistenţă,

economice şi tehnologice de realizare - majoritatea elementelor constructive ale

îmbinărilor sunt normalizate prin standarde şi norme interne. De aceste norme,

ce consacră anumite forme constructive şi reguli de execuţie, trebuie să se ţină seama

şi deci respectate. Necunoaşterea şi nerespectarea acestor norme poate duce, în cel

mai bun caz, la irosire de timp la calcularea unor parametrii ce sunt deja stabiliţi şi în

cel mai rău caz la forme constructive ce s-au dovedit necorespunzătoare.

7.3. Îmbinări cu pene transversale

Îmbinările cu pene transversale sunt îmbinări demontabile ce se utilizează

pentru a asambla două bare coaxiale. Pana transversală trece prin cele două bare (fig.

7.2).

Distrugerea îmbinării poate să se producă din următoarele cauze:

I - tensiunii normale din bara cu diametrul d:

σπ

σ'= ⋅⋅

≤4

2

Pd a , (7.4)

II - tensiunii normale din capătul barei, slăbită cu pană:

σπ

σ"= ⋅⋅ − ⋅

≤4

412

1

Pd d b a , (7.5)

III - tensiunii normale din manşonul slăbit:

( ) ( )σ

πσ'''= ⋅

⋅ − − ⋅ − ⋅≤

442

12

1

PD d D d b a , (7.6)

IV - tensiunii tangenţiale ce se dezvoltă în secţiunile AB şi CD din pană:

τ τ'=⋅ ⋅

≤Pb h a2

, (7.7)

V - tensiunii tangenţiale din secţiunile EF şi GH din capătul barei:

τ τ''=⋅ ⋅

≤P

d h a2 1 1

(7.8)

VI - tensiunii tangenţiale din secţiunile IJ şi KL din manşon:

( )

τ τ'''=⋅ ⋅ −

≤P

h D d a2 2 1

, (7.9)

VII - presiunii de contact (strivirii) între pană şi capătul barei din stânga:

p Pb d

pa'=⋅

≤1

, (7.10)

VIII - presiunii de contact dintre pană şi manşon:

( )

p Pb D d

pa''=⋅ −

≤1

. (7.11)

Pe lângă aceste cauze mai trebuie reţinut că penele transversale sunt solicitate

la încovoiere şi mai pot fi solicitate şi la răsucire. De aceea se recomandă execuţia

penelor din oţeluri cu rezistenţa ridicată: OL 50, OL 60, OL70 sau OLC 45, etc.

Dacă îmbinarea este realizată astfel încât fiecare din valorile tensiunilor

enumerate mai sus să fie egale cu tensiunea admisibilă, îmbinarea a devenit de egală

rezistenţă pentru toate tipurile de solicitare. Ţinând seama de această condiţie, în

Fig. 7.2

cursul de organe de maşini şi în norme se prevăd prescripţii referitoare la rapoartele

între dimensiunile elementelor.

Aplicaţia 7.2. Pentru îmbinarea din figura 7.2, realizată din oţel se cunosc:

d = 50 mm, b = 15 mm, σa = 140 MPa, τ~a = 110 MPa pentru pană, σ`a= 70 MPa

pentru tijă şi manşon şi pa= 280 MPa. Se cere să se determine celelalte dimensiuni în

condiţia de egală rezistenţă a tuturor elementelor îmbinării.

Rezolvare:

a) Sarcina capabilă din relaţia (7.4):

P A a= ⋅ =⋅

⋅ =σπ 50

40 14 274 9

2

, , ; kN se adpotă P = 275 kN.

b) Lăţimea penei din (7.7):

h Pb a

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=2

2752 15 0 11

83 33τ ' ,

, , mm se adpotă h = 85 mm:

c) Diametrul capătului barei din (7.10):

d Pb pa

1275

15 0 2865 48=

⋅=

⋅=

,, mm, se adpotă d1= 65 mm:

d) Diametrul manşonului din (7.11)

D d Pb pa

= +⋅

= +⋅

=1 65 27515 0 28

130 48,

, mm, se adpotă D = 130 mm.

Verificare:

Deoarece s-a ales o dimensiune inferioară celei calculate se verifică

dimensiunea adoptată astfel încât să nu depăşească cu mai mult de 5% presiunea

admisibilă:

( ) ( )

p Pb D d

MPa p MPaamax , . , .=⋅ −

=⋅

⋅ −= < ⋅ =

275 1015 130 65

282 1 1 05 2943

e) Lungimea capătului barei din (7.8):

h Pd a

112

2752 65 0 07

30 22=⋅

=⋅ ⋅

=τ" ,

, , mm se adpotă h1=30 mm.

Observaţie: Şi în acest caz dacă se verifică se constată că nu se depăşeşte τa cu

mai mult de 5% (τmax= 70,51 MPa).

f) Lungimea capătului de manşon din (7.9):

( ) ( )

h PD d a

212

2752 130 65 0 07

30 22=⋅ − ⋅

=⋅ − ⋅

=τ" ,

, mm, se adpotă h2=30 mm.

Aceeaşi observaţie de la e) este valabilă şi în acest caz ( τmax" ,= 70 51 MPa ).

g) Verificarea tensiunilor normale din capătul de bară cu relaţia (7.5):

σπ π

σef aP

d d b'' ,=

⋅⋅ − ⋅ ⋅

=⋅ ⋅⋅ − ⋅ ⋅

= <4

44 275 10

65 4 65 15117 4

12

1

3

2 MPa .

h) Verificarea tensiunilor normale din manşon cu (7.6):

( ) ( ) ( ) ( )

σπ π

σef aP

D d D d b''' ,=

⋅⋅ − − ⋅ − ⋅

=⋅ ⋅

⋅ − − ⋅ − ⋅= <

44

4 275 10130 65 4 130 65 15

30 622

12

1

3

2 2 MPa

7.4. Îmbinările cu nituri

Îmbinările cu nituri sunt îmbinări nedemontabile. Elementele geometrice ale

diferitelor forme de nituri şi îmbinări cu nituri pot fi luate din standardele: 796-68,

797-67, 801-67, 802-67, 3165-67, 187-73, etc. Prin acestea se normează: diametru

găurii de nit şi al nitului, pasul nitului, distanţa de marginea ER până la axa nitului

etc. La cursul de organe de maşini aceste elemente vor fi analizate detaliat.

Îmbinările cu nituri diferă după forma constructivă. În manualele de organe de

maşini se găsesc clasificări ale îmbinărilor nituite după:

- numărul secţiunilor de forfecare ale nitului (una sau mai multe):

- felul aşezării tablelor (prin suprapunere sau cu eclise):

- numărul rândurilor de nituri (unul sau mai multe):

- rolul funcţional (îmbinare de rezistenţă sau etanşeitate).

În figura 7.3. s-a desenat o îmbinare a două platbande, prin suprapunere cu un

nit ce are o singură secţiune de forfecare, iar în figura 7.4 o îmbinare cu două eclise,

cu două secţiuni de forfecare şi trei rânduri decalate de nituri.

Gaura pentru nit se execută cu diametrul mai mare decât cel al nitului. Nitul, de

obicei încălzit la cca. 800°C se introduce în gaură. Apoi, prin ciocănire îşi modifică

diametrul până ce umple gaura şi apoi se formează capul de închidere. Prin

contractarea, la răcire, cele două plăci sunt strânse una de alta rezultând şi o forţă de

frecare suficient de mare pentru a prelua întreaga sarcină. Dar în calculele de

rezistenţă nu se ţine seama de forţele de frecare: întrucât atât valoarea coeficientului

de frecare cât şi valoarea forţei de strângere a nitului nu pot fi riguros determinate.

În calculul de rezistenţă a îmbinării cu nituri, în cazul în care acestea sunt

dispuse simetric, sarcina P se consideră că se distribuie în mod egal la toate

niturile. În baza acestei ipoteze sunt patru moduri de cedare a îmbinării (fig. 7.3):

a) rupere la tracţiune a platbandei în secţiunea AB:

( )

σ σ=⋅ −

≤P

h b d a , (7.12)

b) forfecarea nitului în secţiunea dintre platbande:

τπ

τ'=⋅

≤4

2

Pd a , (7.13)

Fig. 7.4

Fig. 7.3

c) forfecarea platbandei în secţiunile CD şi EF:

τ τ''=⋅ ⋅

≤Ph e a2

, (7.14)

d) strivirea găurii sau a tijei nitului

p Pd h

pa=⋅

≤ . (7.15)

Din condiţia de realizare eficientă a îmbinării cu nituri (la aceeaşi sarcină

valorile tensiunilor maxime trebuie să fie egale cu rezistenţa admisibilă) sunt

prescrise, prin norme, valorile diametrelor găurilor de nit funcţie de grosimile

tablelor:

Tabelul 7.1

hmin =...5 6...9 7...11 10...14 13...19 20... [mm]

d = 10,5 14 20 23 26 29 [mm]

De asemenea, se prevede: e = (1,5...2) ⋅d, e1= (2...2,5) ⋅d, t = (2,5...3) ⋅d.

Prezenţa găurilor pentru nituri produce slăbirea secţiunii tablei. Raportul dintre

secţiunea micşorată prin găuri şi secţiunea iniţială (întreagă), pe pas, se numeşte

coeficient de utilizare. Pentru nituirea cu un singur rând, sau pentru primul rând de

nituri în cazul nituirii mai multor rânduri de nituri, se obţine:

( )ϕ =

⋅ −

⋅=

−h b db h

b db

. (7.16)

În cazul respectării valorilor prescrise pentru d, e, e1 şi t date mai sus,

coeficientul de utilizare este: ϕ=0,67...0,97.

Întrucât nituirea implică operaţii tehnologice care necesită o cantitate mare de

muncă şi un coeficient de utilizare redus a materialului, nituirea se utilizează foarte

rar, în special pentru acele locuri unde nu se poate folosi sudura.

Observaţie: Calculul de rezistenţă pentru îmbinările demontabile cu şuruburi

(buloane) se execută în mod similar ca şi cel pentru îmbinarea cu nituri.

Aplicaţia 7.3. Să se dimensioneze îmbinarea cu două eclise dintre două

platbenzi de oţel, de secţiune 200 ×12 mm2 şi să se calculeze coeficientul de utilizare.

Rezolvare:

Din anexa 1.a, pentru OL 37, se găseşte:

σa= 150 MPa, τa=120 MPa, pa= 250 MPa.

Se aleg dimensiunile ecliselor 200 × 8 mm2, diametrul găurii de nit d = 20 mm,

precum şi e = 30 mm, e1= t = 40 mm.

Adopt distribuţia niturilor din figura 7.4. În acest caz sarcina capabilă este

P = σa⋅Anet= σa ⋅ h ⋅ (b - d) = 0,15 ⋅12 ⋅ (200-20) = 324 kN.

Adopt: P = 325 kN

Verificarea la întindere în secţiunile AA, A~A~ şi A`A`:

( )

( )

( )

σ σ

σ σ

σ σ

efnet

a

efnet

a

efnet

a

PA

PA

PA

'

''

'''

, , ,

',

", .

= =⋅

⋅ −= < ⋅

= ⋅ =⋅ ⋅

⋅ ⋅ − ⋅= <

= ⋅ =⋅ ⋅

⋅ ⋅ − ×= <

325 1012 200 20

150 5 1 05

56

5 325 106 12 200 2 20

141

36

3 325 106 12 200 3 20

96 73

3

3

3

MPa

MPa

MPa

Verificarea niturilor la forfecare (două secţiuni):

τ τefnit

a

P

A= =

⋅ ⋅⋅ ⋅

= <62

4 325 102 6 20

86 23

2 , . MPa

Verificarea la presiunea de contact

p

P

d hpef a=

⋅=

⋅⋅ ⋅

= <6 325 106 20 12

225 73

, . MPa

Deci, îmbinarea rezistă.

Coeficientul de utilizare a secţiunii se calculează pentru secţiunea periculoasă

(AA):

ϕ = ⋅ − = ⋅ − =100 100 200 20200

90b db

% .

7.5. Îmbinări prin sudură

Realizarea îmbinărilor prin sudură prezintă, faţă de cele nituite sau de

îmbinările cu şuruburi, avantaje economice constând în reducerea consumului de

material şi manoperă. Dar, îmbinările sudate realizate în condiţii tehnice

necorespunzătoare şi necontrolate riguros pot fi inferioare îmbinărilor nituite.

În figura 7.5 se prezintă o clasificare din

punct de vedere constructiv a principalelor

îmbinări sudate. Dintre acestea, îmbinările cap

la cap sunt solicitate, în general, la întindere

iar cele de colţ la forfecare.

Principalele elemente geometrice ale

îmbinărilor sudate sunt: lungimea sudurii Ls

şi grosimea sudurii a .

Lungimea sudurii de calcul se ia mai

mică decât lungimea reală cu dublul grosimii

sudurii:

Ls = L - 2a. (7.17)

Grosimea sudurii (de calcul) se

consideră,

- la sudurile cap la cap, egală cu grosimea

tablei:

a = h (7.18)

iar la sudura în colţ, egală cu înălţimea

triunghiului isoscel din secţiune şi se

aproximează astfel:

a = 0,7 ⋅ hmin, (7.19)

Fig. 7.5

în care hmin este grosimea tablei celei mai subţiri ce se îmbină.

Rezistenţele admisibile ale sudurilor sunt date în tabelele din anexa 1.a. În

general se ia:

σas= (0,8...1) ⋅σa, τas = (0,5...0,65) ⋅τa. (7.20)

Valorile mai mici se iau pentru îmbinările sudate utilizate în construcţia de

maşini, iar cele mai mari în construcţii metalice, respectiv la care se aplică un control

100% cu raze X sau γ.

Calculul de rezistenţă, la întindere şi forfecare, se face utilizând formulele:

- sudură cap la cap:

σ σss s

asP

AP

L a= =

⋅≤ (7.21)

- sudură de colţ:

τ τss s

asP

AP

L a= =

⋅≤ (7.22)

Aplicaţia 7.4. Să se dimensioneze îmbinarea prin sudură a cornierului de oţel

L 50×50×5 (A = 4,8 cm2, e = 1,4 cm) cu un guseu (fig. 7.6).

Rezolvare: Se aleg dimensiunile guseului 6×80 mm2, astfel ca să aibă aria

egală cu aria cornierului.

Sarcina capabilă este:

P = A⋅σa= 4,8 ⋅15 = 72 kN.

Fig. 7.6

Forţele T1 şi T2 preluate de cele două cordoane de sudură rezultă:

T1= P ⋅ (1-3) / b = 72 ⋅ (50-14) / 50 =5 1,8 kN

T2= P ⋅ e / b = 72 ⋅ 14 / 15 = 20,2 kN

Grosimea sudurii va fi:

a = 0,7 ⋅ hmin= 0,7 ⋅ 5 = 3,5 mm.

Pentru τa = 100 MPa (v. anexa 1.a) lungimile celor două cordoane de sudură

rezultă:

L a T

a

L a Ta

a

a

11

22

2 2 3 5 518003 5 100

155

2 2 3 5 202003 5 100

64 7

= +⋅

= ⋅ +⋅

=

= +⋅

= ⋅ +⋅

=

τ

τ

,,

,,

,

mm

mm

Deci sudura va avea parametri:

a = 3,5 mm, L1= 155 mm, L2= 65 mm.

8. RĂSUCIREA BARELOR DREPTE 8.1. Generalităţi

O bară este solicitată la răsucire când efortul din orice secţiune transversală a

barei este un moment de torsiune (răsucire).

Momentul de răsucire dintr-o secţiune oarecare, este egal cu suma tuturor

momentelor forţelor situate la stânga sau la dreapta secţiunii considerate.

( )M P R Mt i i xi= ⋅ +∑ (8.1)

În care, Pi sunt forţele exterioare normale pe axa barei, Ri distanţele de la axă la

suporţii forţelor, şi Mxi sunt momentele exterioare orientate după direcţia axei Ox.

Dacă bara transmite o putere P*, în kW, la turaţia n, în rotaţii pe minut, atunci

valoarea momentului de torsiune este:

[ ][ ]

MP

nt = ⋅∗30

π

kWrot / min

. (8.2)

Când valoarea momentului de torsiune variază în lungul barei, pentru calculul

de rezistenţă, se recomandă trasarea diagramelor de momente de torsiune şi

precizarea secţiunii (sau secţiunilor) periculoase.

În domeniul de activitate al inginerului mecanic se întâlnesc foarte frecvent

aplicaţii ale răsucirii barelor drepte ca de exemplu: arbori, osii motoare, şuruburi, etc.

8.2 Tensiuni şi deformaţii la răsucirea barelor drepte de secţiune

circulară şi inelară

Se considera o bară dreaptă de secţiune circulară şi constantă în lungul ei

realizată dintr-un material continuu, omogen, izotrop şi care satisface legea lui

Hooke. Pe suprafaţa barei se trasează cercuri şi generatoare, care formează o reţea de

dreptunghiuri curbilinii, dintre care se consideră dreptunghiul elementar ABCD.

Consideram secţiunea (1) situată la distanţa dx de sectiunea (2), (fig.8.1,a).

După aplicarea momentului de răsucire, bara se deformează după cum este

reprezentată în figura (8.1,b). Analizând deformaţia barei se constată că:

a) cercurile aflate în plane transversale rămân tot cercuri conţinute în aceleaşi

plane transversale, iar distanţa dintre acestea nu se modifică semnificativ (se

confirmă ipoteza lui Bernoulli, pentru punctele de pe suprafaţa exterioară şi se

extinde şi la punctele de la interiorul barei);

b) elementele dreptunghiulare de pe suprafaţa laterală se transformă în

paralelograme ale căror laturi îsi păstrează lungimea;

c) cele două generatoare (fibre) rămân paralele una faţă de alta, dar se modifică

în elici;

Astfel că, orice element dreptunghiular de pe suprafaţa barei se deformează

prin lunecare pură într-un paralelogram (fig.8.1,c). Unghiul drept se modifică cu

lunecarea specifică maximă, definită de relaţia (3.38):

γ 0 0= =

→lim∆

∆∆x

ex

dedx

.

Arcul ∆e, este deplasarea prin lunecare a oricărui punct A sau B în Aă şi

respectiv în Bă. Astfel, cercul (1) se roteşte cu arcul ∆e = AAă= BBă, faţă de cercul

(2). Unghiul cu care se roteşte secţiunea (1) faţă de secţiunea (2), care se află la

distanţa dx de secţiunea (1), se numeşte deformaţie unghiulară sau rotire relativă

şi se notează cu dϕ (fig. 8.2). Se poate scrie:

∆e AA BB R d dx= = = ⋅ = ⋅' ' .ϕ γ 0

Fig. 8.1

rezultă:

γϕ

θ0 = ⋅ = ⋅R ddx

R ,

în care mărimea :

θϕ

=ddx

, (8.3)

se numeşte rotire specifică.

În mod similar, pentru arcul MM’, aflat la distanţa r faţă de axa barei, se

obţine:

MM r d dx'= ⋅ = ⋅ϕ γ ,

din care se deduce lunecarea specifică la raza r

γϕ

θ= ⋅ = ⋅r ddx

r . (8.4)

Întrucât materialul barei se consideră continuu, omogen, izotrop şi elastic,

rotirea elementară dϕ are aceeaşi valoare pentru toate punctele unei secţiuni. Deci dϕ,

fiind constantă pe toată secţiunea transversală şi rotirea specifică θ rămâne constantă

Fig. 8.2

pe toată lungimea cercului de rază R. Astfel din relaţia (8.4) rezultă că lunecarea

specifică variază liniar în funcţie de r. Are valoare nulă pe axa barei şi maximă (γ0=

R ⋅ θ) pe conturul exterior. Datorită deformaţiilor de lunecare în bară se produc

tensiuni tangenţiale, care se pot determina, pentru solicitări în domeniul liniar-elastic,

cu ajutorul legii lui Hooke:

τ γ θ= ⋅ = ⋅ ⋅G G r . (8.5)

Considerăm un element de arie dA aflat la distanţa R = d/2 (deci pe conturul

exterior al barei, (fig 8.2,a) şi pe aceasta o tensiune tangenţială τ având o direcţie

oarecare. Aceasta are componentele τxs- tangentă la contur şi τsx radială. Conform

dualităţii tensiunilor tangenţiale unei tensiuni τxs îi va corespunde o tensiune τsx pe

suprafaţa exterioară a barei. Deoarece nu s-au luat în considerare forţe de frecare

axiale, pe suprafaţa exterioară a barei, care să producă tensiunea τsx, aceasta este nulă.

Deci, tensiunile tangenţiale conţinute în secţiunea transversală sunt

perpendiculare pe rază şi variază proporţional cu aceasta. Conform legii

dualităţii tensiunilor tangenţiale, perechea tensiunii τxs este tensiunea τsx şi este

conţinută în planul axial (fig.8.2,a), adică:

τ τ τ θ= = = ⋅ ⋅xs sx G r. (8.5, a)

Scriind ecuaţia de echivalenţă dintre efortul Mt şi tensiunile din planul secţiunii

transversale vom obţine:

( )M r dAt A= ⋅ ⋅∫ τ

si înlocuind pe τ din expresia (8.5) se obţine:

M G r dA G It A p= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫θ θ2 . (8.6)

În relaţia de mai sus s-a ţinut seama că:

r dA IA p

2 ⋅ =∫ ,

este momentul de inerţie polar (vezi § 5.4)

Înlocuind mărimile θ ⋅ G din (8.6) cu expresia rezultată din (8.5) se obţine

formula tensiunii tangenţiale la răsucirea barelor de secţiune circulară:

τ = ⋅MI

rt

p

, (8.7)

din care se poate constata că tensiunea tangenţială variază liniar în funcţie de rază.

Din relaţia (8.7), ce este reprezentată grafic în figura (8.2,a), rezultă că

tensiunile tangenţiale sunt maxime pe conturul exterior al barei:

τ max = ⋅ =MI

R MW

t

p

t

p

, (8.8)

în care Wp este modulul de rezistenţă polar şi este dat de relaţia (vezi § 5.7):

WI

Rpp=

max

. (8.9)

Formula pentru rotirea specifică rezultă din expresia (8.6) şi este:

θ =⋅

MG I

t

p

. (8.10)

Deci, rotirea specifică este direct proporţională cu momentul de răsucire şi

invers proporţională cu produsul G⋅IP şi care se numeşte rigiditatea la răsucire a

barelor de secţiune circulară şi inelară. Rotirea specifică se măsoară în rad/m, sau

grade/m. Deformaţia unghiulară a barei de lungime L sau rotirea relativă a barei,

notată cu ∆ϕ, ce reprezintă unghiul cu care se roteşte secţiunea finală faţă de cea

iniţială, se obţine din relaţia (8.3) şi (8.10), astfel:

∆ϕ = = ⋅ =⋅⋅∫ ∫ ∫d dx M dx

G IL Lt

pL

ϕ θ . (8.11)

Dacă bara este omogenă, de secţiune constantă şi efortul Mt este constant pe

toată lungimea L, prin integrarea relaţiei (8.11), se obţine:

∆ϕ =⋅

⋅M LG I

t

p

(8.11,a)

iar dacă valorile mărimilor de sub integrala (8.11) sunt constante pe porţiuni din

lungimea barei, atunci relaţia (8.11) devine:

∆ϕ =⋅

⋅∑ M lG I

ti i

pi

. (8.11, b)

Deşi relaţiile (8.7), (8.8), (8.10) şi (8.11) au fost deduse pentru secţiunea

circulară se pot demonstra la fel şi pentru secţiunea inelară.

În formulele (8.6)...(8.11), sunt menţionate mărimile Ip si Wp care au

expresiile:

I d dp p=

⋅=

⋅π π4 3

32 16, W , (8.12, a)

pentru secţiunea circulară şi:

( ) ( )I D k D kp p=⋅

⋅ − =⋅

⋅ −π π4

43

4

321

161, W (8.12, b)

pentru secţiunea inelară, unde k dD

= .

8.3. Calculul de rezistenţă la răsucire

al barelor de secţiune circulară

Calculul de rezistenţă la răsucire presupune rezolvarea problemelor de

verificare, sarcină capabilă şi de dimensionare. Acest calcul are la bază formula

tradiţională consacrată a condiţiei de rezistenţă:

τ τmax ≤ a , (8.13)

cât şi cea de rigiditate:

θ θmax ≤ a sau ∆ϕ ∆ϕmax ≤ , (8.14)

în care τmax se obţine din formula (8.8), θmax cu formula (8.10) şi ∆ϕ cu una din

formulele (8.11).

Valorile rezistenţei admisibile la răsucire τa, respectiv θa sau ∆ϕa se stabilesc

pentru fiecare ER în funcţie de material, condiţii de exploatare, rol funcţional, mod de

apreciere al forţelor, etc.

1. Problema de verificare se rezolvă folosind formulele:

τ τmax = ≤MW

t

pa (8.15, a)

θ θmax =⋅

≤M

G It

pa sau ∆ϕ ∆ϕmax =

⋅≤

MG I

t

p

. (8.15, b)

În funcţie de rezultatele obţinute se vor da verdictele;

a) BARA REZISTĂ, dacă toate valorile calculate (τ, θ, sau ∆ϕ) sunt inferioare

celor admisibile şi cel puţin una este mai mare decât 0,8 din cea admisibilă;

b) BARA NU REZISTĂ, dacă cel puţin o valoare este mai mare cu mai mult

de 5% din cea admisibilă;

c) BARA ESTE SUPRADIMENSIONATĂ, dacă toate valorile determinate

sunt inferioare valorii de 0,8% din cea admisibilă.

În cazurile b, c se calculează sarcina capabilă.

2. Problemele de capacitate de încărcare se rezolvă cu relaţiile:

M Wt cap p a, = ⋅ τ , (8.16, a)

M G It cap p a, = ⋅ ⋅ θ sau MG I

Lt capp a

, =⋅ ⋅ ∆ϕ

. (8.16, b)

Dintre valorile obţinute se ia în considerare valoarea cea mai mică; aceasta se

va utiliza în continuare pentru adoptarea unei valori rotunjite, întregi care să satisfacă

condiţia:

0 8 1 05, ,, ,⋅ < < ⋅M M Mt cap t t cap .

3. Rezolvarea problemelor de dimensionare, implică mai întâi determinarea

momentului Mtmax (din diagrama de momente), apoi se alege materialul şi se adoptă,

τa respectiv θa sau ∆ϕa şi pentru secţiunea circulară din relaţiile (8.8) şi (8.12,a) se

obţine formula :

d Mnec

t

a

=⋅

⋅16

3 max

π τ, (8.17,a)

iar din formulele (8.10), (8.11), (8.12,a), pentru condiţia de rigiditate se obţin

formulele:

d MGnec

t

a

=⋅ ⋅

324 max

π θ sau d M L

Gnect

a

=⋅

⋅ ⋅32

4π ∆ϕ

. (8.17, b)

Pentru barele de secţiune inelară se adoptă raportul k = D/d şi din relaţiile

(8.8), (8.10), (8.11), (8.12,b), se obţine:

( )D Mknec

t

a

=⋅ ⋅ −16

1 44max

π τ, (8.18, a)

si respectiv:

( )D MG knec

t

a

=⋅ ⋅ ⋅ −

321 44

max

π θ sau ( )D M L

G knect

a

=⋅

⋅ ⋅ ⋅ −32

1 44max

π ∆ϕ. (8.18, b)

Când se iau în considerare atât condiţia de rezistenţă cât şi cea de rigiditate,

rezultă două valori pentru diametrul ER. Se adoptă valoarea cea mai mare prin

rotunjire.

Aplicaţia 8.1. Să se dimensioneze un arbore din oţel (G = 8,1⋅103 MPa, τa= 80

MPa, θa= 1 grad/m) care transmite o putere de P*= 30 kW la o turaţie de n = 200

rot/min. Arborele se va calcula în cele două cazuri:

a). secţiune circulară

b). secţiune inelară k= D/d = 0,8.

Rezolvare:

Momentul de torsiune se determină ca fiind:

M Pnt = ⋅

⋅⋅

∗30π π

= 30 30200

= 1,432 kNm

a). Secţiunea circulară:

mm 01,4580

10143216M16d 3

33

a

t` =⋅π

⋅⋅=

τ⋅π=

,

mm 67,56180101081

10143232GM32

d 33

3

33

a

t"nec =

π⋅

⋅⋅⋅π

⋅⋅=

θ⋅⋅π=

.

Se adoptă d = 60 mm.

Observaţie: Nu se poate adopta o valoare mai mică (d=55 mm) decât cea

calculată pentru că la verificarea, în condiţia de rigiditate se obţine:

θπ π π

θmax, , / , .=

⋅ ⋅=

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅

= > ⋅32 32 1 432 10

81 10 55180 10 1128 1 054

6

3 4

3MG D

mt oa

b). Secţiunea inelară:

( ) ( )D Mk

t

a

=⋅ ⋅ −

=⋅ ⋅

⋅ − ⋅=

161

16 1 432 101 0 8 80

53 6543

6

43π τ π

,,

, mm

( ) ( )

D MG k

t

a

=⋅ ⋅ ⋅ −

=⋅ ⋅

⋅ − ⋅ ⋅⋅

⋅⋅

=32

132 1432 101 08 81 10

10 1803

64 6644

6

4 3

3

4π θ π π

,,

, mm

Se adoptă: D = 65 mm, d = 52 mm.

Economia de material, prin utilizarea acestei secţiuni inelare este de:

( )A

AI

I

−⋅ =

− −⋅ =

AII 10060 65 52

60100 57 75

2 2 2

2 , %.

Aplicaţia 8.2 Să se dimensioneze arborele din fgura 8.3 încastrat la capete şi

solicitat de un moment de torsiune M0=3 kNm. Tensiunea admisibiă este de

τa MPa= 110 , iar d = 0,75D.

Rezolvare:

Aspectul static este:

M M Mt t t 1 2+ = ,

Fig. 8.3

iar aspectul geometric se scrie:

∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ1-2 3-4+ + =−2 3 0

din care rezultă aspectul fizic:

( )M a

G IM aG I

M M aG I

t

P

t

P

t t

P

1

1

1

2

1

2

20

⋅⋅

+⋅

⋅+

− ⋅⋅

= .

Simplificând termenii asemenea şi înlocuind d = 0,75D, rezultă:

( )M M

tt

1

4

4

20 75

1 1

0 75 30002 1 0 75

361=+ +

= ×⋅ +

=

,

,,

Nm,

M M Mt t t2 1 3000 360 5 2639= − = − =, Nm

Diametrele necesare pentru arbore sunt :

mm57,25110

1036116M16d 3

33

a

21t2-Inec =

⋅π⋅⋅

=σ⋅π

= − ,

şi rezultă: D d mm1 21 2

0 7534 04−

−= =,

, .

mm.62,49110

10263916M16D 3

33

a

43t4-2 nec =

⋅π⋅⋅

=σ⋅π

= −

Se adoptă valorile: D = 50 mm, d = 37,5 mm.

8.4. Energia de deformaţie la răsucirea barelor

de secţiune circulară şi inelară

Considerând un volum elementar din bară, datorită acţiunii tensiunilor

tangenţiale τ şi a lunecării specifice elementare γ, se produce lucrul mecanic

elementar specific (fig. 8.4): dL d1 = ⋅τ γ

Solicitarea fiind în domeniul liniar elastic τ = G⋅γ, astfel că d dG

γτ

= , iar lucrul

mecanic elementar va fi egal cu energia de deformaţie, conform ipotezei că în

domeniul elastic întreg lucrul mecanic efectuat prin încărcarea barei se acumulează în

volumul acesteia sub formă de energie de deformaţie:

dL dU dG

d1 1= = ⋅ = ⋅τ γτ

τ.

Grafic acest lucru mecanic, respectiv energia de deformaţie elementară sunt

reprezentate prin trapezul haşurat din figura

8.4.

Energia specifică de deformaţie

înmagazinată în elementul de volum unitar

când tensiunea creşte lent de la 0 la τ va avea

forma următoare:

U dU dG G1 10 0

2

2= = ⋅ =∫ ∫

τ ττ

τ τ (8.19)

iar cea acumulată în volumul elementar este:

dU U dVG

dV= ⋅ = ⋅1

2

2τ .

Pentru bara dreaptă de secţiune circulară:

τπ

= ⋅ = ⋅ =⋅

= ⋅∫MI

r r dA d dA dxt

pp A

, , , I dV24

32

aşa că energia de deformaţie acumulată în bara de secţiune circulară, de lungime L,

solicitată la răsucire va avea valoarea:

U dUG

dV M dxG I

r dA M dxG IV V

t

pL A

t

pL

= = ⋅ =⋅⋅

⋅ =⋅⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫

τ 2 2

22

2

2 2 2. (8.20)

Dacă bara este omogenă, de secţiune circulară constantă şi solicitată pe toată

lungimea de acelaşi Mt, atunci energia de deformaţie acumulată va avea valoarea:

U M LG I

M LG d

t

p

t=⋅⋅

=⋅ ⋅

⋅

2 2

4216 . (8.21)

Fig. 8.4

Dacă bara este de secţiune inelară cu factorul dimensional k dD

= , energia de

deformaţie va avea expresia:

( )U M LG D k

t=⋅

⋅ ⋅ ⋅ −16

1

2

4 4π. (8.21,a)

8.5. Calculul arcurilor elicoidale cu pas mic

Arcul elicoidal se confecţionează dintr-o sârmă de oţel avînd diametrul d care

se înfăşoară pe un cilindru sub forma unei spirale. Distanţa D/2 de la axa cilindrului

la axa sârmei înfăşurate, se numeşte rază de înfăşurare. Asupra arcului acţionează o

forţă P de-a lungul axei cilindrului. Dacă forţa se va reduce în centrul de greutate al

unei spire se va obţine o forţă P şi un moment M = P ⋅ R.

Descompunînd forţa P şi momentul M după axa spirei şi perpendicular pe

aceasta se obţin eforturile:

N P

t

= ⋅⋅

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

sin ; T = P cos ;M P R cos ; M P R sin

t

i

αα

αα.

La arcurile elicoidale cu pas mic unghiul de înfăşurare al spirei are valori mci,

astfel că se poate face aproximarea:

sin 0 ; cos 1α α≈ ≈

În acest caz eforturile din orice secţiune a arcului sunt:

Mt = ⋅ ⋅P R = P D2

şi T = P . (8.22)

Tensiunea tangenţială

produsă de forţa tăietoare este

foarte mică în comparaţie cu

cea produsă de momentul de

torsiune, astfel că se va lua în

calcul numai efectul

momentului de torsiune. Va

rezulta :

τπ πmaxP D

2P D

= =⋅

⋅==

⋅ ⋅⋅

MW d d

t

p

16 83 3 . (8.23)

Relaţia (8.23) se utilizează în calculul de rezistenţă pentru:

verificare, capacitate de încărcare, dimensionare,

Din această relaţie se obţine diametrul spirei:

d 8 P D nec =⋅ ⋅

⋅τ πa

3 (8.24)

Rezistenţa admisibilă a oţelurilor pentru arcuri (OLC55A, OLC65A, OLC75A,

OLC85A, 51SI17A, 60SI15A, 51CR11A), se ia: τa= 400..800 MPa.

Deformaţia arcului se defineşte ca fiind scurtarea sau lungirea acestuia sub

acţiunea unei solicitări (fig.8.5) şi se numeşte săgeată.

Relaţia de determinare a săgeţii se obţine considerând egalitatea dintre lucrul

mecanic al forţelor exterioare aplicate şi energia potenţială de deformaţie acumulată

în volumul arcului. Ţinând seama că L P f=

⋅2

, iar energia de deformaţie este dată de

relaţia (8.20), în care se fac substituirile:

Mt =⋅P D2

; nD=L ⋅⋅π ,

egalitatea L = U devine :

Fig. 8.5

P f M dxG I

t

pL

⋅=

⋅⋅∫2 2

2

,

respectiv:

P f2

P D2 ⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅ ⋅

162

4

π

π

D n

G d ,

din care rezulta formula pentru săgeată:

f = 8 3

4

⋅ ⋅ ⋅⋅

P D nG d

. (8.25)

Aplicaţia 8.3 Să se verifice arcurile suspensiei din figura 8.6, solicitate de o

forţă P = 3,2 kN, dacă elementele arcurilor sunt D1= 64 mm, d1= 8 mm, n1=10 spire,

D2= 80 mm, d2=10 mm, n2=8 spire.

Rezolvare:

a) Aspectul static:

P1 + P2= P,

b) Aspectul geometric:

f1 = f2,

c) Aspectul fizic:

( )8 81 13

1

14

1 23

2

24

⋅ ⋅ ⋅⋅

=⋅ − ⋅ ⋅

⋅P D nG d

P P D nG d

,

din care rezultă:

P Pdd

DD

nn

1 N,=+ ⋅ ⋅

=+ ⋅ ⋅

=1

3200

1 108

6480

108

129424

14

13

23

1

2

4

4

3

3

P N .2 = − = − =P P1 3200 1294 1951

Tensiunile tangenţiale în cele două spire rezultă:

τπ π

τ11 1

13 3

8 8 1249 648

397 77max , ,=⋅ ⋅

⋅=

⋅ ⋅⋅

= <P D

dMPa a

Fig. 8.6

τπ π

τ22 2

13 3

8 8 1951 8010

397 65max , .=⋅ ⋅

⋅=

⋅ ⋅⋅

= <P D

dMPa a

Deci, SUSPENSIA REZISTĂ.

Observaţie: Deoarece tensiunile maxime din arcuri sunt apropiate de valoarea

admisibilă se poate spune că această suspensie a fost proiectată economic.

8.6. Răsucirea barelor de secţiune dreptunghiulară

Teoria generală a răsucirii barelor de secţiune oarecare a fost elaborată de

Barré de Saint-Venant şi are la bază o demonstraţie complicată. Ipoteza secţiunilor

plane, verificată şi utilizată pentru secţiunile circulare şi inelare nu mai corespunde la

barele de secţiune oarecare. Acestea se deplanează prin răsucire.

Pe suprafaţa unei bare de secţiune dreptunghiulară, în stare nesolicitată

(fig.8.7,a), se trasează linii drepte echidistante, paralele şi perpendiculare pe axa

barei. Se obţine o reţea de dreptunghiuri.

După solicitarea la răsucire, bara se deformează ca în fig.8.7,b, la care se

observă că:

a) dreptunghiurile din imediata vecinătate a muchiilor barei îşi păstrează forma,

deci în aceste puncte deformaţiile şi tensiunile sunt nule;

Fig. 8.7

b) dreptunghiurile aflate în imediata vecinătate a mijlocului feţelor îşi schimbă

cel mai mult forma, devenind paralelograme. Deci, în apropierea mijlocului laturilor

lunecările vor fi maxime şi ca atare aici se vor produce tensiunile maxime.

Distribuţia tensiunilor tangenţiale, determinată de Saint-Venant, este prezentată

în figura 8.8.

Variaţia tensiunilor tangenţiale nu este

liniară pe nici o direcţie. În colţurile

dreptunghiului şi în axa de simtrie Ox, tensiunile

tangenţiale sunt nule.

Pentru secţiunile dreptunghiulare cu

raportul h/b mic se poate considera că tensiunile

tangenţiale de pe contur variază parabolic. Dacă

h/b este mare (profile subţiri) se poate considera

că τ este constant pe latura mare şi variază liniar

pe grosime.

Relaţiile de calcul deduse de Barré de Saint-Venant, sunt:

- Pentru tensiunea tangenţială maximă ce se produce pe mijlocul laturii mari a

dreptunghiului:

τ τmax = =⋅ ⋅1

12

Mk h b

t , (8.26)

- Pentru tensiunea tangenţială la mijlocul laturii mici este:

τ τ2 max= ⋅k 3 , (8.27)

- Pentru rotirea specifică, a barelor de secţiune dreptunghiulară:

θ =⋅ ⋅ ⋅

Mk G h b

t

23 (8.28)

În relaţia de mai sus s-a notat cu b latura mai mică a secţiunii dreptunghiulare

iar k1, k2, k3, depind de raportul h/b al laturilor.Valorile acestor coeficienţi sunt date

în tabelul (8.1) .

Fig. 8.8

Tabelul 8.1

h/b 1 1,20 1,50 1,75 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 8,0

k1 0,208 0,219 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0,299 0,307

k2 0,141 0,166 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,294 0,299 0,307

k3 1,000 0,93 0,86 0,82 0,795 0,766 0,753 0,754 0,744 0,743 0,742

Pentru valori mari ale raportului h/b (h/b ≥10) se poate lua: k1= k2= 1/3, iar

relaţiile (8.17) şi (8.19) devin:

τ θmax ; =⋅

=⋅ ⋅

3 32 3

Mh b

MG h b

t t . (8.29)

Dacă vom nota cu :

W k h bt = ⋅ ⋅12 , (8.30,a)

şi pe care o numim, caracteristica geometrică de rezistenţă la răsucirea barelor de

secţiune dreptunghiulară şi cu:

I k h bt = ⋅ ⋅23 , (8.30, b)

numită caracteristica geometrică de rigiditate la răsucirea barelor de secţiune

dreptunghiulară, relaţiile (8.26) şi (8.28) devin:

τ max =MW

t

t

, (8.26, a)

şi

θmax =⋅

MG I

t

t , (8.28, a)

ceea ce permite generalizarea calculului şi pentru alte forme de secţiuni.

Expresiile caracteristicilor geometrice de rezistenţă Wt şi de rigiditate It, pentru

alte forme de secţiuni, sunt date în Anexa nr.6.

Calculul rotirii relative ∆ϕ se va face cu relaţiile:

∆ϕ =⋅⋅∫

M dxG I

t

tL

sau ∆ϕ =⋅

⋅∑ M LG I

ti i

ti

Aplicaţia. 8.4. Bara de secţiune dreptunghiulară din figura 8.9 este

confecţionată din oţel (G = 81GPa). Să se determine tensiunea maximă şi rotirea

relativă totală dacă este solicitată de un moment de torsiune Mt = 20 kNm.

Rezolvare: Tensiunea maximă se produce

la mijlocul laturii mari a dreptunghiului şi este

egală cu:

τ τmax ,

, ;

= =⋅ ⋅

=⋅

⋅ ⋅=

=

11

2

6

2

10 100 231 150 100

57 72

Mk h b

MPa

t

iar tensiunea tangenţială la mijlocul laturii mici

este:

τ τ2 3 1 0 86 57 72 49 64= ⋅ = ⋅ =k MPa, , , . În relaţiile de mai sus s-au înlocuit k1=

0,231 şi k3= 0,86 pentru h/b = 1,5, (Anexa 6).

Rotirea relativă totală va fi

∆ϕ =⋅

⋅=

⋅⋅ ⋅ ⋅

=⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ =−M L

G IM L

G k h bradt

t

t o

23

6

3 3220 10 2000

0 196 81 10 150 1001 680 10 0 9624

,, , ,

unde, k2= 0,196 tot pentru h/b = 1,5, (Anexa 6).

Aplicaţia 8.5. Bara cu secţiune eliptică

având raportul semiaxelor b/a = 2 este

confecţionată din oţel cu G = 81 GPa, τa= 80

MPa şi θa= 2 o/m (fig.8.10) şi se cere:

a) dimensionarea barei şi variaţia

tensiunilor pe secţiune;

b) tensiunile efective în cazul unei bare

circulare de aceeaşi arie cu cea eliptică;

c) economia de material dacă se adoptă

bară de secţiune circulară.

Fig. 8.9

Fig.8.10

Rezolvare:

a) Din anexa 6 se obţine:

W b at =

⋅ ⋅π 2

2 şi I a b

a bt =⋅ ⋅

+π 3 3

2 2 ,

iar din relaţia de dimensionare va fi:


W Mt

t

anec

=τ

,

se obţine:

a M mmnect

a

=⋅

=⋅⋅

=π τ π

4

64

24 1080

45 71, .


I MGt

t

anec

=⋅ θ

,

sau

a MG

mmnect

a

=⋅

⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=5

85 24 10 180 10

8 81 10 236 054

6 3

34

π θ π π, .

Se adoptă a = 46 mm şi b = 92 mm.

Vor rezulta următoarele tensiuni:

τπ πmax , ;=

⋅⋅ ⋅

=⋅

⋅ ⋅=

2 24 1092 46

78 492

6

2

Mb a

MPat

τπ πB

tMb a

MPa=⋅

⋅ ⋅=

⋅⋅ ⋅

=2 24 10

92 4639 242

6

2 , ,

iar reprezentarea este dată în figura 8.10.

b) Din egalitatea ariilor rezultă:

ππ

τπ

⋅= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= =⋅ ⋅⋅

=

d a b

d a b mmMW

MPat

p

2

6

3

44 4 92 46 130 1

16 24 10130 1

55 63

;

, .

,, .max

c) Dimensionarea barei de secţiune circulară:


d M mmnect

a

=⋅⋅

=⋅ ⋅

⋅=

16 16 24 1080

115 23

63

π τ π, .


d MG

mmnect

a

=⋅

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=32 32 24 10 180 10

81 10 296 434

6 3

34

π θ π π, .

Se adoptă d = 115 mm.

Economia de material în (%) va fi:

n A AA

=−

⋅ =⋅ ⋅ −

⋅

⋅ ⋅⋅ =1 2

1

2

10092 46 115

492 46

100 21 86π

π

π, %.

deci rezultă o economie de 21,86 % în cazul utilizării secţiunii circulare în locul celei

eliptice.

Aplicaţia 8.6. Să se determine forţa capabilă şi săgeata corespunzătoare

acesteia la un arc elicoidal confecţionat din sârmă pătrată de latură a = 8 mm, n = 8

spire şi D = 60 mm, dacă τa= 230 MPa şi G = 81 GPa.

Rezolvare:

W mm ,

I mm .t

3

t4

= ⋅ ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ =

k b t

k b t1

2 3

23 4

0 208 8 106 5

0 141 8 557 5

, ,

, ,

Aplicând relaţiile (8.30) şi (8.21) obţinem:

P WRcap

a t=⋅

=⋅

= =τ 230 106 5

30816 5 800, , N ; P N

Considerând egalitatea L = U (vezi § 8.4) în cazul secţiunii drepunghiulare se

obţine:

f = d mm 3π π⋅ ⋅⋅

=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=n

G It40 8 60 8

4 81 577 523 21

3,,

, .

8.7. Răsucirea barelor cu pereţi subţiri, deschise

Prin bare cu pereţi subţiri deschise se înţeleg profilele laminate sub formă L, T,

U, I, sau alte forme obţinute prin laminare sau prin îndoire şi/sau sudare din benzi de

tablă laminată. În această categorie intră profilele ce au elemente de grosime mică (h

≥ 10 ⋅b) şi nu închid goluri (secţiunea este simplu conexă) sau dacă închid un gol au

cel puţin o generatoare nesudată.

Se consideră bara din figura 8.11 solicitată la răsucire. Elementele ce compun

bara sunt cele două tălpi şi inima.

Problema se tratează descompunând bara în trei dreptunghiuri componente şi

din cele trei aspecte rezultă:

a) - Din aspectul static:

M M M M Mt t t t t i= + + = ∑1 2 3 ,

Fig. 8.11

b) - Din aspectul geometric:

θ θ θ θ1 2= = =3

c) - Din aspectul fizic:

( )d321

3233

3

2

1 t

t

ttt

ttt

t

t

t

t

t

1t

IGM

=IIIG

MMMIG

MIG

MIG

M⋅++⋅

++=

⋅=

⋅=

⋅

Din această relaţie rezultă caracteristica geometrică de rigiditate la

răsucirea barelor cu pereţi subţiri, profil deschis:

∑∑ ⋅⋅==++= 3iittttt tb

31IIIII

i321d. (8.31)

În cazul profilelor subţiri laminate se ia:

( )I I I I I b tt t t t t i id i= + + = = ⋅∑∑1 2 3 3

3α ,

în care α = 1 la profilele cornier, α = 1,1....1,2 la profilele U iar α = 1,3 la profilele I.

Din relaţia aspectului fizic se obţine:

M MIIt i t

t

t

i

d

= ,

astfel că tensiunea maximă pe conturul elementului i rezultă:

tIM=

I

tb31

tb31

M=WM

it

t

t

3ii

2ii

t

it

itmaxi

dd

⋅⋅

⋅⋅

=τ .

Deci, tensiunea maximă este funcţie de grosimea ti a profilului. Rezultă că

tensiunea cea mai mare (dintre τi) va exista în elementul de grosimea cea mai mare

(tmax):

τ max = ⋅ =MI

MW

t

t

t

t dd

t max . (8.32)

Mărimea

WI

tb tt d

ti i= = ⋅∑t

max

α3

3

max

, (8.33)

se numeşte caracteristică geometrică de rezistenţă la răsucire a profilului cu

pereţi subţiri, profil deschis şi este similară modulului de rezistenţă polar de la

secţiunea circulară.

Din aspectul fizic se poate scrie:

θ =⋅

MG I

t

td

, (8.34)

şi respectiv:

∆ϕ =⋅

⋅=

⋅⋅∫ ∑M dx

G IM LG I

t

tdL

ti i

td

. (8.35)

Aplicaţia 8.7. Să se calculeze momentul de răsucire

capabil să-l suporte secţiunea din figura 8.12 şi

corespunzător acestuia, rotirea specifică (secţiunea se

compune din două profileU 20 fără să fie sudate între ele).

Se cunoaşte: τa=210 MPa.

Rezolvare :

Caracteristicile geometrice ale secţiunii sunt:

( )[ ]

.cm 166,1515,144,17

bIW

,cm 17,44= 15,10,85-7,5285,023

1,152=tb31I

3

max

tddt

4333itd

===

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= ∑ ⋅

Momentul de torsiune capabil rezultă:

M Wtcap a td= ⋅ = ⋅ ⋅ =−τ 15 166 120 10 1 81993, , Nm .

Se adoptă: Mt = 1800 Nm.

Rotirea specifică corespunzătoare este:

θπ

=⋅

=⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ =

MG I

m t

td

1800 1081 10 17 44 10

180 10 7 33

3 43 0

,, / .

Fig. 8.12

8.8 . Răsucirea barelor cu pereţi subţiri închise

Considerăm o bară tubulară cu pereţi subţiri, ce are secţiunea transversală de

formă oarecare, dar constantă în lungul barei (fig.8.13,a). Notăm cu Ω aria închisă de

fibra medie a profilului secţiunii, cu s lungimea fibrei medii şi cu t grosimea

peretelui. Sub acţiunea momentului de torsiune, în secţiune se produc tensiuni

tangenţiale paralele la linia medie a profilului. Se admite că la grosimi mici ale

peretelui aceste tensiuni sunt repartizate uniform pe toată grosimea peretelui.

Această ipoteză concordă cu atât mai bine cu realitatea cu cât grosimea peretelui este

mai mică.

Izolăm din bară un element de lungime dx (fig. 8.13,b). Din aceasta detaşăm o

fâşie longitudinală cuprinsă între generatoarele ⟨1⟩ şi ⟨2⟩. Pe feţele fâşiei apar

tensiuni tangenţiale care satisfac legea dualităţii tensiunilor tangenţiale (fig.

8.13,b). Din condiţia de echilibru a forţelor elementare se obţine:

dxtdxt 2211 ⋅⋅τ=⋅⋅τ ,

din care rezultă că în orice punct al secţiunii transversale produsul τ⋅t este constant:

.ctttt ii2211 =⋅τ=⋅τ=⋅τ (8.36)

Acest produs se numeşte flux al tensiunilor tangenţiale. Deci valoarea

tensiunilor tangenţiale este maximă unde grosimea peretelui este minimă şi are

valoarea minimă unde grosimea peretelui este maximă.

Din relaţia de echilibru a elementului obţinem:

∫∫ ⋅⋅⋅τ=⋅τ⋅=S

At dstrdArM ,

unde s-a notat cu r braţul efortului tangenţial dT = τ ⋅ dA, de la acesta la centrul de

răsucire O şi dA = t ⋅ds.

Din figură se observă că d r dsΩ =

⋅2

, adică aria triunghiului elementar

corespunzător lungimii de arc ds pe fibra medie. Cu această notaţie momentul de

răsucire rezultă :

Ω⋅⋅τ⋅⋅⋅τ= ∫ t2= dsrtMS

t ,

iar expresia tensiunii tangenţiale este:

Ω⋅⋅

τt2

M= t . (8.37,a)

Tensiunea maximă care se produce în dreptul grosimii celei mai mici, este:

Fig. 8.13

t[

t

min

tmax W

Mt2M

=Ω⋅⋅

=τ (8.37)

în care,

Wtî=2⋅tmin⋅Ω, (8.38)

este caracteristica geometrică de rezistenţă la răsucire a barelor cu pereţi

subţiri profil închis.

Pentru determinarea rotirii specifice se scrie egalitatea dintre lucrul mecanic

exterior, produs prin aplicarea momentului de răsucire, pe un element de lungime

1dx = , cu energia de deformare potenţială acumulată în element .

dV2G2

M 2t ∫ ⋅

τ=

θ⋅.

Înlocuind pe τ din relaţia (8.37,a) şi pe dV = 1 ⋅ t ⋅ ds, se obţine:

[t

t2

t

IGM

tds

4GM

=⋅

=Ω⋅

θ ∫ , (8.39)

în care mărimea:

∑∫

Ω=

Ω=

ts

4

tds

4I22

ti (8.40)

este caracteristica geometrică de rigiditate la răsucire a barelor cu pereţi subţiri

profil închis.

Relaţiile (8.34) şi (8.35) sunt formulele lui R. Bredt.

Dacă grosimea peretelui este constantă în lungul fibrei medii atunci se obţine:

2t

tG4sMΩ⋅⋅⋅

⋅=θ . (8.41)

Analog ca la celelalte structuri rotirea relativă se determină cu relaţia:

∫ ∑⋅⋅

=⋅⋅

=ϕ∆L [t

iti

[t

t

IGLM

IGdxM

. (8.42)

Aplicaţie 8.8. Pentru bara din oţel (G = 81 GPa, şi τa=90 MPa) cu secţiunea

din figura 8.14 se cer:

a) caracteristicile geometrice la răsucire, profil deschis şi profil închis;

b) momentul de torsiune capabil;

c) rotirile specifice maxime corespunzătoare momentelor de torsiune calculate;

d) tensiunile tangenţiale şi diagramele de variaţie pe secţiune.

Rezolvare:

a) caracteristici geometrice:

- profil deschis:

Secţiunea dată se descompune în dreptunghiuri subţiri. La arce de cerc

lungimea dreptunghiului este egală cu desfăşurata pe fibra medie.

( ) ,cm839,92,1136,03,56,08231tb

3I 43333

iitd =⋅+⋅⋅π+⋅⋅⋅=⋅⋅α

= ∑

.cm2,82,1

839,9tI

W 3

max

tdtd ===

- profil închis:

Se duce fibra medie şi se calculează aria

închisă de aceasta:

,cm2,1352

3,56,86,10 22

=⋅π

+⋅=Ω

,cm3,1626,02,1352t2W 3minti =⋅⋅=⋅Ω⋅=

.cm1122

6,03,5

6,06,82

2,16,10

2,1354

ts

4I 422

ti =⋅π

+⋅

+

⋅=

Ω⋅=

∑

În ultima relaţie s înseamnă lungimea fibrei medii:

b) Momentele de torsiune capabile:

Fig. 8.14

M W kNm

M W kNmtcap d a td

tcap i a ti

,

,

, , ,

, , .

= ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ = ⋅ ⋅ =

−

−

τ

τ

90 8 2 10 0 738

90 162 3 10 14 61

3

3

Se adoptă:

Mtd= 0,75 kNm;

Mti= 14,5 kNm.

c) Rotirile specifice maxime se determină cu relaţiile (8.34) şi (8.40) şi se

obţine:

.m/9141,0mm/rad10595,1

1011221081105,14

IGM

,m/392,5mm/rad10411,910839,91081

1075,0IG

M

o543

6

ti

timax

o543

6

td

tmax

i

d

=⋅=⋅⋅⋅

×=

⋅=θ

=⋅=⋅⋅⋅

×=

⋅=θ

−

−

d) Se determină tensiunile tangenţiale cu relaţiile (8.32) şi respectiv (8.37):

- profil deschis:

MPa73,456

10839,91075,0t

IM

,MPa46,91102,81075,0

WM

4

6

itd

tdtd

3

6

td

tdtd

i

max

=⋅⋅⋅

=⋅=τ

=⋅⋅

==τ

- profil închis:

τ titi

ti

MW

MPamax

,,

, ,= =⋅⋅

=14 5 10

162 3 1089 3

6

3

τ titi

tt

Mt

MPa=⋅ ⋅

=⋅

⋅ ⋅ ⋅=

214 5 10

2 135 2 10 1244 67

6

2Ω,,

, .

Observaţie: Comparând momentele de torsiune capabile se observă că la

acelaşi consum de material profilul închis rezistă de 19,8 ori (14,62/0,738) mai mult

decât profilul deschis, iar dacă se compară rotirile specifice se observă că bara

realizată din profil deschis este mult mai elastică, de 5,9 ori. Adoptarea uneia sau

alteia din soluţii se va face în funcţie de scopul urmărit şi anume:

- pentru structuri rigide se adoptă profilul închis;

- pentru structuri elastice se adoptă profilul deschis, care admite deformaţii

mari fără a se depăşi tensiunea tangenţială admisibilă.

8.9. Generalizarea relaţiilor de calcul la răsucire

Analizând forma identică a relaţiilor (8.8), (8.26,a), (8.32) şi (8.37) pentru

calculul tensiunilor tangenţiale maxime la răsucirea barelor drepte, a relaţiilor (8.10),

(8.28,a), (8.34) şi (8.39) pentru determinarea rotirilor specifice şi respectiv (8.11),

(8.30), (8.35) şi (8.42) se pot scrie relaţii unice şi anume:

at

maxtmax W

Mτ≤=τ , (8.43)

at

maxtmax IG

Mθ≤

⋅=θ , (8.44)

at

iti

L t

t

IGLM

IGdxM

ϕ∆≤⋅⋅

=⋅⋅

=ϕ∆ ∑∫ . (8.45)

Dacă în aceste relaţii se înlocuiesc Wt şi It cu caracteristicile geometrice la

răsucire corespunzătoare fiecărei forme de secţiune şi anume:

- la secţiunea circulară:

16

dWW3

pt⋅π

=→ ,

32

dII4

pt⋅π

=→ .

- la secţiunea inelară cu factorul dimensional k = d/D:

( )43

pt k116

DWW −⋅π

=→ ,

( )44

pt k132DII −

⋅π=→ .

- la secţiunea dreptunghiulară (h > b);

21tt bhkWW ⋅⋅=→ ,

32tt bhkII ⋅⋅=→ ,

- la bare cu pereţi subţiri, profil deschis (b>>t):

max

ttdt t

IWW =→ ,

∑ ⋅α

=→ 3tdt tb

3II ,

unde: α = 1 pentru toate secţiunile cu excepţia profilelor standardizate pentru

care avem, α = 1,1..1,2 pentru profilul U, α = 1,3 pentru profilul I.

- la barele cu perete subţire profil închis:

min[it t2WW ⋅Ω⋅=→ ,

∑∫

Ω=

Ω=→

ts

4

tds

4II22

[tt ,

în care Ω este aria închisă de fibra medie iar s este lungimea fibrei medii.

8.10. Răsucirea barelor cu pereţi subţiri cu secţiuni dublu conexe

Modul de rezolvare a unor astfel de probleme va fi exemplificat prin aplicaţia

următoare.

Aplicaţia 8.9. Pentru bara cu secţiunea din figura 8.15 să se determine

momentul de torsiune capabil şi corespunzător acestuia rotirea specifică (G = 81 GPa,

τa= 90 MPa).

Rezolvare: Izolăm un element longitudinal (fig.8.15,b), din ecuaţia de

echilibru în lungul axei Ox:

τ τ τ1 1 2 2 3 3⋅ = ⋅ + ⋅t t t . , (a)

şi din ecuaţia de echivalenţă rezultă:

( ) ( )M t r ds t tt S= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ τ τ τ2 1 1 1 2 2 2Ω Ω . (b)

Aspectul geometric se poate scrie ţinând seama că secţiunea transversală este

indeformabilă în planul ei:

θ θ θ θ= = =1 2 3 . (c)

Scriind condiţiile de rigiditate pe cele două contururi obţinem:

( ) ,( ) .ABCD t t GCDEF t t G

τ τ θτ τ θ

1 1 3 3 1

2 2 3 3 2

22

⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

ΩΩ

(d)

Rezolvând sistemul de ecuaţii (a şi d) se obţine:

τ ττ τ

2 1

3 1

11110 09263

= ⋅= ⋅

, ;, .

care înlocuite în relaţia b):

( ) ( )M t t t tt = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅2 2 2 2221 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2τ τ τΩ Ω Ω Ω, .

De pe desen se obţine:

Ω

Ω

12

22

20 102

16 240

80 202

12 168

=+

⋅ =

=+

⋅ =

cm

cm

,

.

şi cu aceste valori şi pentru τ1=τa momentul de torsiune va fi:

( )M kNmt = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−90 2 10 240 10 2 222 8 168 10 10 70 082 2 6, , .

a) b)

Fig. 8.15

Se adoptă: Mt = 70 kNm.

Rotirea specifică:

( ) ( )

( )θ

τ τ τ=

⋅ + ⋅⋅ ⋅

=⋅ + ⋅

⋅ ⋅=

⋅ + ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅=1 1 3 3

1

1 1 2

1

1 2

1 1 1 2 220 09263

20 09263

2 2 2 222t tG

t tG

M t tG t t

t

Ω Ω Ω Ω Ω

, ,,

( )( )=

⋅ ⋅ + ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅=

= ⋅ = ⋅− −

70 10 10 0 09263 82 81 10 240 10 2 10 240 10 2 222 0 8 168 10

3 793 10 2 1 10

6

3 2 2 2

7 2

,, ,

, / , .rad mm mo

8.11. Bare de secţiune circulară solicitate elasto –plastic

Considerăm o bară de secţiune circulară cu diametrul d solicitată la răsucire de

momentul Mt. Dacă solicitarea este elastică tensiunile tangenţiale variază liniar, de la

valoarea maximă pe contur până la zero pe axa barei (fig.8.16,a). Distribuţia

tensiunilor nu se modifică până la Mt = MtLe= τc ⋅ Wp (fig. 8.16,a) unde s-a notat cu

MtLe - momentul maxim până la care secţiunea este solicitată în întregime în

domeniul elastic.

Când momentul de răsucire creşte peste valoarea MtLe atunci numai o

parte din secţiune se va deforma elastic (cea cuprinsă în distanţa r ≤ a) iar coroana va

avea deformări elasto-plastice.

Dacă bara este realizată din oţel de rezistenţă mică şi mijlocie ce are palier de

curgere lung, atunci curba caracteristică (τ = f(γ)), se poate schematiza printr-o

diagramă de tip Prandtl pentru material ideal elasto-plastic (fig.8.17). Pentru aceste

materiale curba caracteristică are o porţiune liniară ( τ γ= ⋅G , pentru γ ≤ γc) şi un

palier de curgere (τ = τc pentru γ > γc). În acest caz, când Mt > MtLe, tensiunile

tangenţiale se distribuie în secţiune aşa cum sunt arătate în figura (8.16,c,d).

Pentru a stabili limita dintre zona solicitată elastic şi cea solicitată în domeniul

plastic, fiecărei secţiuni i s-a ataşat o curbă caracteristică schematizată pentru

materialul ideal elasto-plastic (conform ipotezei făcute). Punctul de pe fiecare

caracteristică reprezintă starea de solicitare-deformare. Lunecarea specifică γc,

corespunzătoare începutului palierului de curgere va preciza mărimea “a” a razei

maxime a zonei solicitate elastic.

Lunecarea specifică are o distribuţie liniară de la zero pe axa barei la γmax pe

conturul exterior. Tensiunea tangenţială nu poate depăşi limita de curgere τc, fiind

constantă pe zonele solicitate plastic (τ = τc) şi variază liniar de la 0 la τc pe zonele

solicitate în domeniul elastic (zero pe axa barei).

Fig. 8.16

Ecuaţia echivalentă dintre momentul de răsucire şi tensiunile din secţiune,

considerând dA = 2π ⋅ r ⋅ dr,

( )

( ) ( ) da21

12ddrr2rdrr2

arr

dArM

c3

332/d

a cca

0

t

τ⋅

−⋅

⋅π=⋅⋅π⋅τ⋅+⋅⋅π⋅τ⋅⋅=

=⋅τ⋅=

∫∫

∫ (8.46)

unde:

- τ = τc pe zona solicitată în domeniul plastic r a d∈

,2

- τ τ= ⋅ra c pentru zona solicitată în domeniul elastic [ ]r a∈ 0, .

Momentul de răsucire are două limite:

W16

dM cpc

3

te τ⋅=τ⋅⋅π

= , (8.47)

pentru a = d/2 (vezi relaţia 8.15) şi momentul de torsiune limită:

pcc

3

tL S12

dM ⋅τ=τ⋅⋅π

= . (8.48)

când întreaga secţiune este solicitată în domeniul plastic (fig. 8.16,a) şi unde s-a notat

cu:

12

dS3

p⋅π

= , (8.49)

caracteristica geometrică de rezisteţă la răsucire în domeniul plastic a barelor de

secţiune circulară.

Raportul dintre momentul de torsiune limită în domeniul elastic (Mte) şi

momentul limită (MtL) al barelor de secţiune circulară este:

333,1d

1612

dWS

MM

3

3

pc

pc

te

tL =⋅π

⋅⋅π

=⋅τ

⋅τ= .

Deci, bara de secţiune circulară are rezerve de rezistenţă de 33,3 % ce se pun în

evidenţă prin calculul la rezistenţa la starea limită.

Aplicaţia 8.10. Să se dimensioneze o bară de secţiune circulară încastrată la

ambele capete (fig. 8.18) solicitată de un moment Mt = 31,4 kNm, prin metoda stării

limită, cunoscând τc=180 MPa şi coeficientul de siguranţă impus co= 3.

Rezolvare: Dacă Mt aplicat, creşte

atunci deformaţiile plastice apar mai întâi

în zona mai scurtă a barei. Bara mai poate

suporta o creştere de moment de răsucire

până când ambele regiuni devin solicitate

plastic.

În această stare, din condiţia de echilibru la starea limită va avea:

M ;t1 = = =M M dt tl c2

12

312

τπ

Dar:

Mt = = ⋅ ⋅M

c cdtL c2

12

3τ π ,

din care rezultă:

d M c mmnectc

c=

⋅⋅

=⋅ ⋅ ⋅

⋅=

6 6 31 4 10 3180

99 983

63

π τ π, , .

Se adoptă: d = 100 mm.

Aplicaţia 8.8. O bară de secţiune inelară

(fig. 8.19) este solicitată la torsiune de un moment

M KNm= 9 . Limita de curgere a materialului

τc MPa= 180 , d= 0,8 D şi se admite un coeficient

de siguranţă c= 2,5. Să se dimensioneze bara.

Rezolvare. Din relaţia de echivalenţă rezultă:

Fig. 8.18

Fig. 8.19

( ) ( )

( )

M =

= D12

1- k ,

tl

c

33

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −

⋅⋅

⋅

∫ ∫r dA r r dA D dd

Dcd

D

cτ τ π π τ

τπ

/

/

2

2

2

23 3

2 224 24

unde k = d/D.

Ştiind că

( )M Mc c

D kc

Stcptl c c

p= = ⋅⋅

⋅ − = ⋅τ π τ3

3

121 ,

în care s-a notat:

( )S D kp =⋅

⋅ −π 3

3

121 , (8.50)

caracteristica geometrică la răsucire în domeniul plastic al barelor de secţiune

inelară, se obţine:

( ) ( )D = mmnec 312

112 9 10 2 5

180 1 0 89317

3

6

33M c

kt

c

⋅⋅ ⋅ −

=⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ −=

π τ π,

,, .

Se adoptă: D=100 mm şi d= 80 mm.

9. ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE ŞI CURBE 9.1. Introducere

O bară este solicitată la încovoiere, când în secţiunile acesteia există numai

momente încovoietoare. În majoritatea cazurilor, solicitarea la încovoiere este

produsă de forţe transversale (care acţionează pe axa barei). În aceste cazuri în

secţiunile transversale se produc atât momente încovoietoare cât şi forţe tăietoare, iar

solicitarea se numeşte încovoiere simplă.

În cadrul acestui capitol se admite că fiecare forţă trece prin centrul de

greutate al secţiunii transverale şi nu produce o solicitare suplimentară de torsiune.

Momentul încovoietor solicită bara astfel încât întinde fibrele dintr-o parte şi le

comprimă pe cele de pe partea opusă, producând în secţiune tensiuni normale. Forţa

tăietoare solicită bara la forfecare, producând în secţiune tensiuni tangenţiale.

În funcţie de natura eforturilor interioare ce apar în bară, solicitarea poate fi:

- încovoiere pură, când în secţiunea transversală a barei există numai

momente încovoietoare:

- încovoiere simplă, când în secţiunea transversală a barei există atât

momente încovoietoare cât şi forţe tăietoare.

După poziţia în spaţiu a forţelor transversale, solicitarea la încovoiere poate

fi:

- încovoiere plană, când toate forţele sunt într-un singur plan central

principal de inerţie:

- încovoiere oblică, când toate forţele aplicate aparţin unui singur plan

central longitudinal, diferit de planele principale centrale de inerţie:

- încovoiere strâmbă, când forţele aplicate sunt dispuse în două sau mai

multe plane centrale.

Solicitarea de încovoiere simplă este cea mai întâlnită în aplicaţiile inginereşti.

9.2. Tensiuni şi deformaţii în bare drepte solicitate

la încovoiere pură plană

Se consideră o bară dreaptă a cărei secţiune transversală este simetrică în raport cu

planul vertical x0y, solicitată la încovoiere pură, de un moment de încovoiere dirijat

după axa 0z (fig.9.1,a).

Bara este confecţionată din material continuu omogen şi izotrop, având

caracteristica liniar-elastică (deformaţiile sunt elastice şi proporţionale cu tensiunile).

Prin deformare, după aplicarea momentului încovoietor, ipoteza secţiunilor plane

verificată experimental pentru punctele de pe contur se extinde la toate punctele din

secţiune (secţiunile plane şi normale pe axa barei înainte de deformare, vor fi plane şi

normale pe axa barei şi după

deformare). De asemenea se admite că

toate sarcinile aplicate sunt conţinute

intr-un plan principal central de inerţie

(planul x0y).

Din bara considerată se

detaşează un element de lungime dx

(fig.9.1b). Înainte de aplicarea

momentului încovoietor, fibrele

elementului AD, BC, MN, sunt drepte

şi paralele cu axa barei 0x. Secţiunile

de la capetele elementului (AB, CD),

sunt plane şi perpendiculare pe axa

barei. După solicitare (se aplică

momentul încovoietor M), bara se va

deforma (fig.9.1.c), astfel încât fibrele

elementului devin curbe , iar secţiunile Fig. 9.1

AB şi CD se vor roti una faţă de cealaltă cu unghiul dϕ. În urma deformării numai

unele fibre îşi vor păstra lungimea iniţială. Aceste fibre poartă denumirea de fibre

neutre şi formează o suprafaţă neutră . Suprafaţa se consideră plană şi se numeşte

plan neutru. Când M › 0, fibrele superioare ale planului se scurtează, iar cele

inferioare planului se lungesc. Linia de intersecţie a planului neutru cu un plan

longitudinal vartical (x0y), ce conţine axa barei , poartă numele de fibră neutră, axa

neutră, sau fibra medie.

O fibră oarecare, MN, situată la ordonata y de planul neutru, are înainte de

deformare lungimea dx = MN = OP = r ⋅dϕ.

Din această relaţie se defineşte rotirea secţiunii:

r1

dxd

=ϕ

=ω .

După deformarea barei, fibra MN = dx, va avea lungimea :

dx + ∆dx = MăNă = (r+y) ⋅ dϕ, iar alungirea va fi: ∆dx = y ⋅ dϕ.

Lungirea specifică rezultă :

( )ry

drdrdyr

MNMNNM

dsds ''

=ϕ⋅

ϕ⋅−ϕ⋅+=

−=

⋅∆=ε . (9.1)

Tensiunea normală σ, care ia naştere în secţiune, la ordonata y, (în dreptul

fibrei MN), conform legii lui Hooke, va fi:

ryEE ⋅=⋅ε=σ . (9.2)

Pentru a obţine relaţia dintre momentul încovoietor şi tensiunile produse pe

suprafaţa secţiunii transversale se scriu ecuaţiile de echivalenţă. În acest caz

particular, când toate forţele elementare σ⋅dA sunt paralele între ele şi normale pe

suprafaţa secţiunii transversale, aceste ecuaţii sunt :

∫∫∫ =⋅⋅σ=⋅⋅σ=⋅σ)A()A()A(

.MdAy,0dAz,0dA (9.3)

Dacă se ţine seama de expresia (9.2) acestea devin :

∫∫∫ =⋅⋅=⋅⋅=⋅)A(

2

)A()A(

MdAyrE,0dAzy,0dAy . (9.4)

Din relaţiile obţinute se constată următoarele :

- întrucât:

∫ =⋅)A(

0dAy ,

axa neutră trece prin centrul de greutate al secţiunii transversale, deoarece numai

faţă de o axă centrală momentul static al unei suprafeţe este egal cu zero. Deci,

originea sistemului de referinţă coincide cu centrul de greutate al secţiunii

transversale:

Din:

∫ =⋅⋅)A(

0dAzy ,

rezultă că axele Oy şi Oz trebuie să fie axe principale de inerţie ale secţiunii

transversale:

De la § 5.4:

∫ =⋅)A(

z2 IdAy ,

este momentul de inerţie axial faţă de axa neutră Oz, a întregii secţiuni

transversale.

Axele secţiunii (Oy şi Oz) trecând prin centrul de greutate şi Oy fiind axă de

simetrie, sunt axe centrale principale de inerţie. Dacă se intersectează suprafaţa neutră

cu un plan normal se obţine axa de încovoiere a secţiunii (axa Oz) .

Ţinând seama de cele deduse mai sus, rotirea secţiunii este definită de relaţia :

zIE

Mr1

⋅==ω . (9.5)

Deci, rotirea secţiunii este egală cu curbura ( 1r

) şi este direct proporţională cu

momentul încovoietor şi invers proporţională cu rigiditatea la încovoiere (E ⋅ Iz).

Dacă în relaţia (9.5) se ţine seama de relaţia (9.2), expresia tensiunii normale

devine :

yIM

z

⋅=σ . (9.6)

Aceasta este formula lui L. M. H. Navier şi arată că valoarea tensiunii

normale la încovoiere este o funcţie liniară faţă de ordonata punctului, raportată

la axa neutră. Relaţia lui Navier exprimă o distribuţie liniară a tensiunilor: zero în

axa neutră şi valori maxime şi minime în fibrele extreme (fig. 9.1,c). Tensiunea

maximă din secţiune este :

z

maxz

max WMy

IM

=⋅=σ . (9.7)

În formula (9.7) s-a introdus mărimea geometrică (vezi § 5.7):

max

zz y

IW = , (9.8)

care se numeşte modul de rezistenţă axial.

Deşi relaţia lui Navier a fost dedusă şi corespunde solicitării la încovoiere pură,

se utilizează şi la calculul tensiunilor normale la barele solicitate la încovoiere simplă.

Dacă axa de încovoiere nu este axă de simetrie, atunci se determină atât

tensiunea maximă de întindere cât şi cea maximă de compresiune,

1z

1 WM

=σ şi 2z

2 WM−

=σ (9.9,a)

În relaţiile de mai sus Wz1 şi Wz2 sunt

modulele de rezistenţă definite de relaţiile (9.9,b),

(fig.9.2).

1

z1z y

IW = şi

2

z2z y

IW = (9.9,b)

Fig. 9.2

9.3. Calculul de rezistenţă la

încovoiere

Relaţiile deduse mai sus se utilizează

pentru rezolvarea problemelor de rezistenţa

materialelor: de verificare, de calculul

capacităţii de încărcare şi de dimensionare. Rezolvarea acestor probleme se face

respectând condiţia de rezistenţă

σmax ≤ σa. Relaţiile pentru calculul de rezistenţă la încovoiere se deduc din relaţia

(9.8) şi sunt :

- de verificare :

az

maximax W

Mσ≤=σ , (9.10)

- de calculul capacităţii de încărcare :

azefcapi WM σ⋅= , (9.11)

- de dimensionare :

a

maxinecz

MW

σ= . (9.12)

Relaţiile (9.10), (9.11) şi (9.12) se aplică pentru secţiunea cea mai solicitată

(secţiunea periculoasă). În cazul barelor (grinzilor) de secţiune constantă, aceasta

corespunde cu secţiunea în care momentul încovoietor este maxim în valoare

absolută. La barele (grinzile) cu variaţie de secţiune în trepte, se determină pe baza

diagramei de momente încovoietoare, pentru fiecare segment, câte o secţiune

periculoasă pentru care se face apoi calculul de rezistenţă.

În secţiunea transversală a barei pot exista concentratori de tensiune, care

modifică distribuţia liniară a tensiunilor după cum este prezentat în figura 9.3.

Fig. 9.3

În aceste cazuri relaţia (9.8) dă numai valoarea tensiunii `nominale`σn, iar

valoarea tensiunii maxime este funcţie şi de un coeficient de concentrare a tensiunilor

αk şi se calculează cu relaţia:

maxz

iknkmax y

IM

⋅⋅α=σ⋅α=σ . (9.13)

Valorile coeficienţilor de concentrare a tensiunilor sunt date în manualele

inginereşti. Valorile acestor coeficienţi sunt cu atât mai mari cu cât discontinuităţile

geometrice sunt mai pronunţate. De efectul concentrării tensiunilor trebuie ţinut

seama cu precădere în cazul materialelor fragile.

9.4. Forme raţionale de secţiuni pentru încovoiere

O bară (grindă) rezistă cu atât mai bine, la solicitarea de încovoiere cu cât

modulul de rezistenţă axial Wz este mai mare. Valoarea modulului de rezistenţă axial

depinde nu numai de mărimea secţiunii ci şi de forma ei. Forma secţiunii este cu atât

mai raţională cu cât modulul de rezistenţă are o valoare mai mare pentru un consum

de material cât mai mic.

Altfel spus, o secţiune este cu atât mai raţională cu cât raportul dintre modulul

de rezistenţă axial şi aria secţiunii este mai mare. În tab. 9.1 se dau valori ale acestui

raport pentru câteva forme uzuale de secţiuni.

Din acest tabel rezultă că secţiunile profilelor laminate I şi U, utilizate foarte

mult la construcţiile metalice, sunt mult mai raţionale decât secţiunile circulare şi

dreptunghiulare. În cazul acestor profile secţiunea este raţional utilizată întrucât

majoritatea materialului se află acolo unde tensiunile au valori mari (fig. 9.4) .

Aceste profile trebuiesc solicitate de momente încovoietoare ce au direcţia

axei principale, adică au M = Mz şi Iz = I1 (fig. 9.4). În caz contrar (când momentul

acţionează după axa 0y), întrucât momentul de inerţie Iy = I2 = (1/20..1/30) ⋅ Iz,

capacitatea de rezistentă la încovoiere a profilului este minimă.

Secţiunile circulare şi pătrate au module de rezistentă axiale mai mici, deoarece

se află mult material dispus în apropierea axei neutre, unde tensiunile normale sunt

mici. Secţiunea circulară prezintă avantajul de a rezista la fel de bine în raport cu

orice axă centrală şi de aceea este

utilizată în special la arbori de

maşini. În acest caz fortele îsi menţin

poziţia în spaţiu, în schimb se roteşte

arborele, care trebuie să reziste la fel în

orice poziţie.

În cazul materialelor care rezistă

mai bine la compresiune decât la întindere (ex. fonta) sunt mai raţionale acele secţiuni

care nu prezintă simetrie faţă de axa de încovoiere (exemplu secţiunea T, secţiunea

trapezoidală fig. 9.5).

Bara confecţionată din materiale fragile

trebuie astfel asezată încât tensiunile cele mai

mari trebuie să fie la compresiune şi nu la tracţiune. În acest caz trebuie îndeplinite

atât condiţiile de rezistentă la tracţiune cât şi cele la compresiune.

Fig. 9.4

Fig. 9.5

;yIM

at1z

i1 σ≤⋅=σ ac2

Z

i2 y

IM

σ≤⋅=σ . (9.14)

Făcând raportul acestor două relaţii se obţin dimensiunile optime ale secţiunii:

ac

at

2

1

yy

σσ

= . (9.15)

Aplicaţia 9.1 Pentru bara din figura 9.6, care poate fi realizată în 3 variante

constructive, toate de aceeasi greutate, se cere să se determine sarcina capabilă ce o

poate suporta fiecare variantă, dacă tensiunea admisibilă este σa = 150 MPa şi

a = 40 mm.

Pentru cele trei cazuri ariile secţiunilor sunt egale, iar modulele de rezistentă

axiale au valorile:

W az1 =

3

6, W a

z1 =3

3,

( ) 333

3z a12077

12a2

4a3

2a5

12a

a54W ⋅=

⋅−

⋅⋅= .

Din condiţia de rezistenţă:

M p L Wi z amax =⋅

= ⋅2

8σ ,

rezultă valoarea forţei pentru cele trei variante constructive:

p aL

N mm kN mcap a1

3

2

3

286

8 40 1506 1000

12 8 12 8=⋅

⋅ =⋅ ⋅⋅

= =σ , / , / ,

Fig. 9.6

p aL

N mm kN mcap a2

3

2

3

283

8 40 1503 1000

25 6 25 6= ⋅ =⋅ ⋅⋅

= =σ , / , / ,

p aL

N mm kN mcap a3

3

2

3

28 77120

8 77 40 150120 1000

49 28 49 28=⋅ ⋅

⋅⋅ =

⋅ ⋅ ⋅⋅

= =σ , / , / .

Secţiunea corespunzătoare variantei a treia rezistă cel mai bine la solicitarea de

încovoiere, varianta este de 3,85 ori mai rezistentă decât varianta întâi. Deci alegând

judicios forma secţiunii se pot obţine reduceri importante de material.

Aplicaţia 9.2 Să se dimensioneze o bară din fontă cu σat = 30 MPa şi

σac = 90 MPa, de lungime l = 1300 mm şi având secţiunea în formă de T, cu t b=

9,

solicitată de o fortă P=24 kN, (fig.9.7).

Rezolvare: În punctele 1 şi respectiv 2 ale secţiunii tensiunea maximă va

trebui să fie cel mult egală cu tensiunea admisibilă de întindere şi respectiv cea de

compresiune.

σ σ1 = ⋅ ≤MI

yi

zat1 , σ σ2 2= ⋅ ≤

MI

yi

zac .

Ordonatele y1 şi y2 măsurate de la axa neutră (axa care trece prin centrul de

greutate) rezultă din expresiile:

( ) ( ) ( )hb18h9hb2b

hbahth2tb

thb2htth

2ttb

y222

1 +⋅+⋅+

=+⋅

+⋅+⋅=

⋅+

+⋅⋅+⋅⋅⋅

= ,

( ) ( ) ( )hb18h9hb18b

hbabthb2h

thb2thtb

2hth

y222

2 +⋅⋅+⋅⋅+

=+⋅

+⋅+=

⋅+

+⋅⋅+⋅⋅⋅

=

.

Din relaţia 9.15 se obţine:

σσ

σσ

1

2

1

2

= =at

ac

yy

sau Fig. 9.7

31

h9hb18bh9hb2b

22

22

=+⋅++⋅+ .

Din această relaţie rezultă:

b2 - 6 bh + 9h2 = 0, cu soluţia

compatibilă cu problema: b = 3h.

Cu această soluţie

dimensiunile secţiunii, exprimate în funcţie de grosimea t, sunt următoarele:

b = 9t: h = 3t: y1 = t: y2 = 3t.

Momentul de inerţie al secţiunii este:

( ) 42323

z t122t)t9(t

12tt9

2t3)t3(t

12)t3(tI =

⋅⋅+

⋅+

⋅⋅+

⋅=

iar modulele de rezistentă axiale sunt:

W Iy

tt

tz1z= =

⋅= ⋅

1

4312 12 W I

yt

ttz

z2

2

4312

34= =

⋅= ⋅

Din condiţia de rezistentă la încovoiere Mimax = Wz ⋅σa, se obţine grosimea:

mm25,44301213001012

12M

t 33

3

at

maxnec =

⋅⋅⋅

=σ⋅

=

Se adoptă: t = 45 mm: b = 405 mm: h = 135 mm.

Aplicaţia 9.3 Să se verifice bara din figura 9.8, confecţionată din fontă, cu

rezistenţa admisibilă la tracţiune σat = 75 MPa şi rezistenţa admisibilă la

compresiune σac = 140 MPa. Poziţia axei neutre faţă de baza inferioară este:

y y mmg1300 5 200 20

300 20011= =

⋅ + ⋅+

= , iar: y2 = 30 - 11 = 19 mm.

Momentul de inerţie axial rezultă:

42244

z cm617,3)19,1(4)1,15,1(912

23I =−⋅−−⋅+−

= ,

iar modulele de rezistenţă axială sunt:

WIy

cmz1z= = =1

43 61711

3 288,,

, , W Iy

cmzz

22

43 6171 9

1 904= = =,,

, .

Fig. 9.8

Prin calculul de verificare (comparare a tensiunilor extreme din punctele (1) şi

(2) cu ale tensiunilor admisibile), se obţine:

σ σ11

2

1

2

381 800

8 3 288 1024 33max

max

,,= =

⋅=

⋅⋅ ⋅

= <MW

p lW

MPaz z

at ,

ac3

2

2z

2

2z

maxmax2 MPa02,42

10904,188001

W8lp

WM

σ<=⋅⋅

⋅=

⋅==σ .

Deci bara rezistă.

9.5. Tensiuni tangenţiale în secţiunile (grinzilor)

solicitate la încovoiere simplă

In secţiunea transversală a unei bare (grindă), solicitată la încovoiere simplă

acţionează eforturile: moment încovoietor şi forţă tăietoare. Bara simplu rezemată,

încărcată cu forţa transversală P, (fig. 9.9,a), este solicitată la încovoiere simplă. Din

această bară se izolează un element de lungime dx (fig.9.9,b). În secţiunile

transversale iau naştere eforturile T, M şi respectiv T şi M+dM.

Se admite că secţiunea barei este simetrică faţă de axa Oy (fig. 9.9c) şi

constantă pe toată lungimea L. Bara este confecţionată dintr-un material omogen şi

izotrop care satisface legea lui Hooke. Forţa tăietoare este dirijată în lungul axei Oy.

Momentele încovoietoare M şi M + dM vor produce în cele două secţiuni

tensiunile normale σ, respectiv σ + dσ, distribuţia acestora pe secţiune este dată de

relaţia lui Navier:

σ = ⋅MI

yi

z

, respectiv σ σ+ =+

⋅d M dMI

yi i

z

, (9.16)

şi este prezentată în figura (9.9,d).

Fig. 9.9

Forţa tăietoare T produce tensiuni tangenţiale. Repartizarea acestora în

secţiune nu se cunoaşte încă. Tensiunea tangenţială, în dreptul punctelor de pe

contur trebuie să fie tangentă la contur. Dacă într-un punct de pe contur tensiunea

tangenţială τ ar avea o direcţie oarecare (fig. 9.9c), atunci acesta s-ar descompune în

două componente: una τxt tangentă la contur şi alta τxr normală la contur.

Componentei τxr ar trebui să-i corespundă, conform principiului dualităţii tensiunilor

tangenţiale, o tensiune τrx situată pe suprafaţa exterioară a barei şi orientată în lungul

barei. Întrucât bara este solicitată la încovoiere simplă şi nu se aplică barei astfel de

forţe de frecare, longitudinale, rezultă că cele două componente τrx şi τxr (de pe

suprafaţa exterioară şi din secţiunea transversală) sunt nule. Rezultă că tensiunea

tangenţială τ este egală cu componenta τxt (τ = τnt), ceea ce înseamnă că în punctele

din vecinătatea conturului există numai tensiuni tangenţiale tangente la contur.

Considerăm o linie BC paralelă cu axa de încovoiere Oz (situată la ordonata y

de aceasta). Notăm cu A1 aria secţiunii transversale de sub linia BC. Lungimea

segmentului BC se notează cu b. În punctele B şi C tensiunile tangenţiale τ sunt

tangente la contur şi pot fi descompuse într-o componentă τxy perpendiculară pe axa

de încovoiere Oz şi o componentă τxz paralelă cu axa de încovoiere. Conform ipotezei

lui D.I. Juravski se admite că valorile componentei τxy sunt egale în dreptul

tuturor punctelor de pe linia BC.

Se consideră un plan paralel cu axa barei, care conţine segmentul BC = b.

Acest plan (BCC’B’) intersectează elementul dx după o suprafaţă dreptunghiulară cu

dimensiunile b şi dx. Pe partea de sub planul considerat ( sub ordonata y ) acţionează

atât tensiunile tangenţiale τxy cauzate de acţiunea forţei tăietoare T, cât şi tensiunile

normale σ şi σ+dσ cauzate de acţiunea momentului încovoietor M în stânga şi

M+dM în dreapta.

Ecuaţia de proiecţii a eforturilor de pe elementul de sub planul BCC’B’ pe axa

Ox, este: ∫ ∫ =⋅⋅τ−⋅σ−⋅σ+σ1A 1A

xy 0dxbdAdA)d(

şi ţinând seama de relaţiile (9.16), ecuaţia devine:

0dxbdAyIM

dAyI

dMM

1Axy

z

i

1A z

ii =⋅⋅τ+⋅⋅−⋅⋅+

∫∫ ,

valoarea tensiunii tangenţiale este:

∫ ⋅⋅⋅⋅

=τ1A

i

zxy dAy

dxdM

Ib1 .

Ţinând seama că dMdx

T= este forţa tăietoare din secţiune şi y dA SzA

⋅ =∫1

este

momentul static al suprafeţei A1, ( de sub linia BC) faţă de axa Oz, se obţine:

τ τ τ= = =⋅⋅xy yx

z

z

T Sb I

, (9.17)

relaţie cunoscută sub numele de formula lui Juravski.

Din formula lui Juravski rezultă că, valoarea tensiunii tangenţiale dintr-o

anumită secţiune transversală depinde de valoarea raportului Sz/b, ceea ce înseamnă

că τxy este o funcţie de ordonata y. Pe marginea inferioară şi superioară a secţiunii

aceste tensiuni sunt nule pentru că A1 = 0.

9.6. Variaţia tensiunilor tangenţiale la diferite secţiuni

a) Secţiunea dreptunghiulară.

În acest caz lăţimea b este constantă pe înălţimea secţiunii. Mărimile din

formula lui Juravski au valorile:

I b hz =

⋅ 3

12; A h y b1 2

= − ⋅( ) ;

e h y= ⋅ +12 2

( );

S A e b h y b h yhz = ⋅ = ⋅ − =

⋅⋅ −1

22

2

2

2

2 4 81 4( ) ( ) . (9.18)

Înlocuind aceste mărimi în relaţia (9.17), se obţine:

)hy41(

AT

23)

hy41(

hbT

23

12hbb

)hy41(

8hbT

IbST

2

2

2

2

3

2

22

z

−⋅⋅=−⋅⋅

⋅=⋅

⋅

−⋅⋅

⋅=

⋅⋅

=τ (9.19)

unde s-a notat cu A = b ⋅h aria secţiunii

transversale.

Relaţia (9.19) arată că tensiunile

tangenţiale variază parabolic pe înălţimea

secţiunii. Tensiunea tangenţială maximă rezultă în

dreptul axei neutre, pentru y = 0 şi are valoarea:

τmax =32

TA

. (9.20)

Fig. 9.10

Deci, valoarea maximă a tensiunii tangenţiale, în cazul forfecării barelor de

secţiune dreptunghiulară, este cu 50% mai mare decât valoarea obţinută prin calcul

convenţional la forfecare. (vezi § 7).

b) Secţiune circulară.

Se consideră o secţiune circulară de diametru d (fig 9.11). Pentru calculul

momentului static, se consideră un element de arie dA , de lăţime b şi înălţimea dy,

aflat la ordonata y.

Lăţimea BC a secţiunii A1 este:

b d d= ⋅ = ⋅22

sin sin ,α α

iar ordonata y d= ⋅

2cosα ,

astfel că

dy d d= − ⋅ ⋅2

sinα α .

Aria elementară rezultă:

dA b dy d d= ⋅ = − ⋅ ⋅2

2

2sin .α α

Momentul static al secţunii A1, de sub

ordonata y va fi :

S y dA d d d dz

A

= ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅−∫∫ 2 2 12

22

3

1

cos ( sin ) siα α αα

α

Ţinând seama că:

A d I d ydz=

⋅=

⋅= − = −

⋅π πα α

2 42 2

2

24 641 1 4; ; sin cos ,

rezultă valoarea tensiunii tangenţiale:

Fig. 9.11

τα

α

α=

⋅ ⋅

⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ −

T d

d d dTA

yd

33

4

2

2

2

23

64

163

43

1 4sin

sin

sin ( ) . (9.21)

Valoarea tensiunii tangenţiale maxime se obţine ca şi pentru secţiunea

dreptunghiulară pentru y = 0 şi are valoarea:

τ = ⋅43

TA

. (9.22)

Relaţia (9.21) ne arată că tensiunile tangenţiale variază tot parabolic ca în cazul

secţiunii dreptunghiulare.

9.7. Distribuţia tensiunilor tangenţiale τxz

Aşa cum s-a văzut la punctul 9.5 tensiunea τ poate avea două componente: τxy

şi τxz. Variaţia tensiunilor tangenţiale τxy s-a analizat, iar pentru câteva secţiuni uzuale

s-a stabilit şi distribuţia acestora în cadrul § 9.6.

Pentru studiul componentei τxz se i-a elemntul de bară de lungime dx, cu

secţiunea din figura (9.12,a), ce este izolat într-o bară solicitată la încovoiere simplă.

Prin secţiunea longitudinală 1-1 figura (9.12,a), se separă elemetul 11’2’2 de lungime

dx, figura (9.12,b), din talpa inferioară, solicitată la încovoiere simplă: T şi M fiind

pozitive.

Pe faţa 1-2, de dimensiuni t şi z, rezultanta tensiunilor normale σ = ⋅MI

yz

va

fi: zzz

SIMdAy

IMdAX ′⋅=⋅⋅=⋅σ= ∫∫ , ( 9.23 )

unde S’z, reprezintă momentul static al ariei haşurate, ( fig. 9.12a) faţă de axa de

încovoiere şi are expresia :

′ = ⋅ ⋅ =⋅

⋅S t z h t h zzm m

2 2. (9.24)

Pe faţa 1’2’, conform celor precizate la demonstrarea relaţiei lui Juravski, se

obţine :

zz

zz1A z

SI

dMSIMdAy

IdMMdXX ′⋅+′⋅=⋅⋅

+=+ ∫ . ( 9.25)

Fig. 9.12

Pe faţa 1221 acţionează tensiunile tangenţiale τxz considerate constante la

aceeaşi coordonată z, pe grosimea t. Conform dualităţii tensiunilor tangenţiale pe faţa

111’1’ vor acţiona tensiunile tangenţiale τzx, constante pe întreaga suprafaţă t⋅dx

(fig.9.12,b). Din ecuaţia de echilibru a acestui element faţă de axa Ox rezultă:

X + τzx ⋅ t ⋅ dx - (X + dx) = 0,

şi ţinând seama de relaţiile (9.23) şi (9.25) se obţine relaţia lui Juravski pentru

tensiunile τxz:

τ τxz zxz

z

T St I

= =⋅ ′⋅

(9.26)

Dacă în relaţia (9.26) se introduce expresia momentului static al unei porţiuni

din talpă de lăţime z, dată de relaţia (9.24), rezultă expresia:

τ τxz zxm

z

T hI

z= =⋅

⋅2

, (9.27)

valabil pentru [ ]b,0z∈ , care arată că tensiunile τxz variază liniar. Sensul acestor

tensiuni este cel indicat în figura (9.12,a), unde semnul (+) s-a adoptat pentru τxz

orientat în sensul axei 0z. Pentru stabilirea semnelor trebuie reţinută regula că sensul

lui τxz şi τxy este cel al curgerii unui fluid printr-o conductă. Cum sensul lui τxz pe

inimă coincide cu sensul lui Tz, sensurile tensiunilor τxz converg către inimă pe una

din talpi (cea inferioară) şi diverg pe cealaltă (cea superioară).

Valoarea cea mai mare,

z

1z

maxxz I2

bhT ⋅⋅=τ (9.28)

se obţine la marginea inimii (pe linia 33 în figura 9.12,a).

Remarcă. Pe grosimea inimii nu pot să apară tensiuni τxz, deoarece pe

elementul dx având una din feţe formată dintr-o secţiune longitudinală pe toată

înălţimea profilului, rezultanta eforturilor normale Y este nulă şi deci nu există

tensiuni de lunecare τzx.

9.8. Distribuţia tensiunilor τ la un profil cu o singura axa de simetrie.

Centrul de încovoiere-torsiune

Pentru exemplificare se prezintă profilul din figura (9.13,a). În mod similar ca

la profilul I, distribuţia tensiunilor τxy se considera numai pe inima şi are aliura din

figura (9.13,b). Valorile determinate cu relaţia (9.17) sunt:

z

Bz

zt

BzCt

xyBtxy IB

STIb

ST⋅⋅

=⋅⋅

=τ=τ , (9.29)

z

Bz

zi

BzCi

xyBixy Ig

STIb

ST⋅⋅

=⋅⋅

=τ=τ , (9.30)

z

Gz

zt

GzG

xymaxxy Ig

STIb

ST⋅⋅

=⋅⋅

=τ=τ . (9.31)

Tensiunile τxz apar numai pe tălpi, până la contactul acestora cu inima

profilului şi au variaţii liniare.Valoarea maximă a acestora determinată cu relaţia

(9.26) şi va fi:

z

'zmax

xz ItST⋅⋅

=τ . (9.32)

Sensurile tensiunilor τxy şi τxz sunt arătate în figura (9.13,a). Rezultanta forţelor

elementare date de tensiunile tangenţiale τxyse aplică pe linia mediană a inimii

profilului, iar rezultantele forţelor elementare date de tensiunile tangenţiale τxzse

reduc la două forţe H, egale şi de sens contrar, ce formează un cuplu, aplicate pe

liniile mediane ale tălpilor (fig.9.13,c).

Cele trei forţe se află în acelaşi plan şi au o rezultantă RT, al cărui punct de

aplicaţie I, se află pe axa de simetrie Oz. Distanţa dintre I şi rezultanta tensiunilor

tangenţiale τxy, pe linia mediană a inimii, care determină poziţia centrului de

încovoiere sau a centrului de încovoiere-răsucire I. Se notează cu “a” distanţa de

la centrul de încovoiere-răsucire I şi marginea profilului (figura 9.13) şi se determină

din ecuaţia de momente faţă de I. Scriind momentele forţelor RT şi H faţă de centrul

de încovoiere-răsucire I, care trebuie sa fie nule :

,hH2gaT m⋅=

+⋅ (9.33)

obţinem distanţa pînă la centrul de încovoiere I:

a HT

h gm= ⋅ −

2. (9.34)

Folosind relaţia (9.26) şi introducând valoarea rezultantei H:

H b txz= ⋅ ⋅τmax

,2

(9.35)

se obţine poziţia centrului de încovoiere-răsucire :

Fig. 9.13

a t bT

gxz=⋅ ⋅⋅

−τmax

.2 2

(9.36)

Punctul I din planul secţiunii transversale în care se aplică rezultanta forţelor

elementare tangenţiale T din secţiune este denumit centrul de încovoiere-răsucire

sau centrul de încovoiere.

Se observă că atunci când forţele exterioare F trec prin centrul de greutate al

secţiunii, Rt nu are acelaşi suport cu T şi deci secţiunea este solicitată suplimentar şi

la răsucire, de momentul dat de RT faţă de centrul de greutate G.

Pentru ca secţiunea să fie solicitată numai la încovoiere, trebuie ca forţele

exterioare F să se găsească intr-un plan longitudinal care să conţină şi punctul I

(centrul de încovoiere-răsucire). În acest caz RT şi T sunt echilibrate deoarece au

acelasi suport şi sunt egale. Denumirea de centru de încovoiere-răsucire urmăreşte să

sugereze fie numai prezenţa încovoierii, fie absenţa răsucirii.

Un profil cornier cu aripi egale (fig.9.14,a) pentru a fi solicitat numai la

încovoiere, după axa Oz, trebuie ca forţele să fie paralele cu Oy şi să treacă prin

centrul de încovoiere-răsucire I care se afla la intersecţia liniilor mediane ale tălpilor

(tensiunile tangenţiale τ sunt paralele cu conturul şi se reduc la două forţe care sunt

Fig.9.14

concurente în I).

La profilul din figura (9.14,b), având axa de simetrie Oz, pentru a nu fi supus şi

la torsiune datorită eforturilor τ produse de T, trebuie ca planul forţelor sa conţină

centrul de incovoiere-răsucire I. Deoarece tensiunile τxz ce se dezvoltă pe inima

profilului se pot neglija, forţele tăietoare preluate de elementele 1 şi 2 satisfac relaţia:

T1 + T2 = T.

Pentru a determina valorile acestora se foloseşte condiţia:

1 1

1 2r r= ,

care ţine seama de relaţia (9.5) şi care conduce la:

TT

II

z

z

1

2

1

2

= .

Din cele două relaţii se stabilesc valorile T1 şi T2 precum şi punctul de aplicaţie

al rezultantei lor care este centrul de încovoiere-răsucire I a carei poziţie este dată de

relaţia:

a II

hz

zm= ⋅ ⋅2 (9.37)

Aplicaţia 9.4 Să se traseze diagramele de variaţie a tensiunilor tangenţiale

pentru secţiunea din figura 9.15.

Mărimile geometrice ale secţiunii necesare sunt :

I cmz =⋅ − ⋅

=11 16 10 12

122315

3 33 ,

S SzA

zD= = 0,

S S cmzB

zC= = ⋅ ⋅ =11 2 7 154 3 ,

S S cmzG

zB= + ⋅ ⋅ =6 1 3 172 3 .

Momentele statice ale tălpilor libere vor fi (cu indice s pentru talpa din stânga:

cu indice d pentru talpa din dreapta):

S cmzs' = ⋅ ⋅ =4 2 7 56 3,

S cmzd' .= ⋅ ⋅ =6 2 7 64 3

Pentru solicitarea de răsucire, deoarece forţa T nu trece prin centrul de

încovoiere-răsucire I, folosind relaţiile pentru caracteristicile geometrice de la profile

cu pereţi subţiri deschise se obţine:

( )I b t cmtd = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =∑1

313

2 11 2 12 1 62 673 3 3 4, ,

WI

tcmt

d td

= =max

, ,62 672

3133 3 ,

W It

cmtdi t

d

i

= = =62 67

162 67 3, , .

Utilizând relaţia (9.17) se determină tensiunile tangenţiale τxy :

τ τxyA

xyD= = 0 ,

Fig. 9.15

τ τxyBt

xyCt z

B

t z

T Sb I

MPa= =⋅⋅

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=125 10 154 10110 2315 10

7 5593 3

4 , ,

τ τxyBi

xyCi z

B

i z

T Sb I

MPa= =⋅⋅

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=125 10 154 1010 2315 10

83153 3

4 , ,

τ xyG z

G

i z

T Sb I

MPa=⋅⋅

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=125 10 172 1010 2315 10

92 873 3

4 , .

Reprezentarea acestor tensiuni este dată în fig. 9.15,b.

Tensiunile tangenţiale τxz se determină cu relaţia (9.26) şi vor fi :

τxzs zs

z

T St I

MPamax'

,=⋅⋅

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=125 10 56 1020 2315 10

15 123 3

4 ,

τxzd z d

z

T St I

MPamax ,'

, .=⋅⋅

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=125 10 84 1020 2315 10

22 683 3

4

Variaţia acestei tensiuni precum şi semnele lor convenţionale sunt prezentate în

figura (9.15,a).

Aceste tensiuni tangenţiale se reduc în tălpile libere la forţele Hs şi Hd care au

valorile:

H A kNs xzs

t s= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =12

12

1512 20 40 10 6 0483τmax, , , ,

H A kNd xzd

t s= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =12

12

22 68 20 60 10 13 613τmax, , , .

Din ecuaţia de momente faţă de centrul de încovoiere-răsucire I rezultă poziţia

acesteia:

( )T a g H H hd s m⋅ +

= − ⋅

2,

a H HT

h g mmd sm=

−⋅ − =

−⋅ − =

213 61 6 048

125140 5 3 47, , , .

Momentul de torsiune ce solicită secţiunea, din cauza forţei tăietoare T care nu

acţionează în centrul de încovoiere-răsucire I, va fi:

( ) ( )M T a b H H h kNmt d s m= ⋅ +

= − ⋅ = ⋅ + ⋅ =

2125 3 47 5 10 10593, , ,

iar tensiunile tangenţiale produse de acest moment sunt:

τ ti

td

MW

MPamax ,,

,= =⋅⋅

=109 103133 10

33 783

3 ,

τ ti t

td

MW

MPa= =⋅⋅

=109 10

62 67 1016 89

3

3

,,

, .

Diagramele acestor tensiuni sunt redate în figura (9.15,c).

9.9. Lunecarea longitudinală şi împiedicarea ei

Se consideră două bare identice suprapuse care au secţiunea transversală

dreptunghiulară (fig 9.16,a). Ansamblul format din cele două bare simplu rezemate la

Fig. 9.16

capete se încarcă cu o forţă transversală P. După cum barele sunt imbinate sau nu

(prin pene, nituri, şuruburi, etc) pot să apară doua stări distincte de tensiune:

a) Barele nu sunt imbinate, astfel că ele se deformează independent una faţă

de cealaltă. Dacă forţa de frecare, dintre cele două bare, este mică şi se poate neglija,

atunci cele două suprafeţe în contact alunecă una faţă de cealaltă. Fenomenul se

numeşte lunecare longitudinală şi este cauzat de alungirea, prin încovoiere, a

fibrelor de jos ale barei superioare 1 şi scurtarea fibrelor de sus ale barei inferioare 2.

Considerând că cele două bare se deformează identic, momentul încovoietor capabil

al sistemelor de bare neîmbinate este:

M W b hcap a z= ⋅ ⋅ =

⋅23

2

σ .

b) Barele sunt îmbinate, astfel că ele lucrează ca o singură bară compusă

solicitată la încovoiere. În acest caz îmbinările împiedică lunecarea longitudinală (fig

.9.16,c). Bara compusă rigidizată este mai rezistentă decât ansamblul celor două bare

nerigidizate şi în acest caz momentul încovoietor capabil este:

( ) .3

hb26

h2bWM2

a

2

azacap⋅

σ=⋅

⋅σ=⋅σ=

Rezultă că, prin utilizarea barelor suprapuse, ce au lunecarea longitudinală

impiedicată, se obţin bare mai rezistente. În tehnică se utilizează frecvent bare

compuse (cu inima plină, realizate prin sudură,

nituire, etc.). În funcţie de mărimea

momentului încovoietor, pentru construcţiile

metalice se adoptă, de obicei, următoarele

soluţii:

- se utilizează profile laminate pentru

momente încovoietoare relativ mici

( [ ] )I sau :

- se utilizează bare compuse din platbenzi şi profile laminate pentru valori

intermediare ale momentului încovoietor (fig.9.17,a):

Fig. 9.17

- se utilizează grinzi cu zăbrele pentru momente încovoietoare foarte mari

(fig.9.17,b).

Calculul barelor cu secţiuni transversale compuse presupune rezolvarea a două

probleme de rezistenţă:

a) Dimensionarea secţiunii barei numai la încovoiere pură, astfel ca bara

compusă să reziste la momentul încovoietor maxim (de obicei se adoptă forma şi

dimensiunile secţiunii transversale şi apoi se verifică).

b) Dimensionarea îmbinării dintre elementele compuse, astfel încât să se

asigure rezistenţa îmbinărilor la lunecare longitudinală. Pentru a face calculul de

rezistenţă al elementelor de îmbinare se consideră bara compusă din două elemente

identice (fig.9.16). Lunecarea relativă a celor două elemente suprapuse, în planul AB,

este datorată tensiunilor tangenţiale, ce apar în acest plan. Forţa produsă de tensiunile

tangenţiale τyx, pe o distanţă elementară dx, numită forţa de lunecare elementară

este:

dxbdN yxL ⋅⋅τ= ,

unde:

τyx rezultă din relaţia lui Juravski (9.17), iar b este lăţimea barei în planul de

lunecare. Înlocuind valoarea lui τyx se obţine:

.dxI

STdxb

IbST

dNz

z

z

zL ⋅

⋅=⋅⋅

⋅⋅

=

Pe o lungime L de bară, forţa de lunecare este:

.dxIST

dNNL L z

zLL ⋅

⋅== ∫ ∫ (9.38)

Dacă bara are secţiunea constantă:

Tz

z

Lz

zL I

SdxT

IS

N Ω⋅=⋅⋅= ∫ ,

unde:

∫ ⋅=ΩL

dxT , este suprafaţa diagramei forţei tăietoare de pe lungimea L.

Pentru orice secţiune compusă din mai multe elemente se pune totdeauna

problema lunecării longitudinale şi a împiedicării ei. La barele din lemn împiedicarea

lunecării longitudinale se poate realiza prin pene transversale (fig.9.16,c) sau prin

încleiere. La barele metalice se pot realiza secţiuni compuse împiedicând lunecarea

longitudinală prin nituire, sudură sau prin şuruburi (fig. 9.18).

Calculul de rezistenţă al îmbinărilor, se face din condiţia ca rezistenţa

elementelor de îmbinare să fie mai mare sau cel mult egală cu forţa de lunecare

longitudinală L[ NR ≥ , astfel:

a) Pentru îmbinări cu pene transversale (fig.9.16,c):

eLa Ncb ≥⋅⋅τ , (9.39)

unde s-a notat cu:

- τa tensiunea admisibilă pentru materialul penelor:

- c lăţimea penelor utilizate la îmbinarea barelor:

- b lăţimea barei în secţiunea de lunecare:

- NLe forţa de lunecare longitudinală corespunzatoare distanţei e dintre două

pene.

Din relaţia de sus se calculează pasul e, la care se vor monta penele (dacă au

fost alese în prealabil dimensiunile acestora, sau lăţimea penelor dacă s-a ales pasul e,

în prealabil, cu ajutorul relaţiei:

∫ ⋅⋅≥⋅⋅τez

za dxT

IS

eb . (9.40)

Fig. 9.18

b) Pentru cazul îmbinărilor cu şuruburi sau nituri (fig.9.17,a) relaţia (9.37)

devine:

∫ ⋅⋅≥⋅π

⋅⋅τ⋅Lz

z2

a dxTIS

4din , (9.41)

relaţie din care se obţine diametrul d (diametrul interior al şuruburilor sau diametrul

niturilor dacă s-a ales pasul) sau se obţine pasul la care se vor monta şuruburile,

respectiv niturile dacă se alege în prealabil diametrul (n, este numărul de nituri din

secţiunea considerată, iar i este numărul de planuri de forfecare pentru nituri sau

şuruburi).

c) Pentru îmbinari sudate, relaţia de calcul este:

∫ ⋅⋅≥⋅⋅⋅τLz

za dxT

IS

Lai , (9.42)

unde:

- a este grosimea sudurii:

- τas este tensiunea admisibilă pentru cordonul de sudură:

- i numarul de cordoane de sudură din secţiunea considerată.

Grosimea cordonului de sudură va fi:

∫ ⋅⋅⋅τ

≥Lzas

z dxTLI2

Sa . (9.43)

Pentru cazul în care grosimea cordonului de sudură rezultă mult mai mic decât

grosimea sudurii standardizate (care este în funcţie de grosimea minimă a

platbandelor de sudat) se adoptă sudura pe porţiuni (fig.9.18.c) şi relaţia (9.37)

devine: ∫ ⋅⋅≥⋅⋅τez

zsas dxT

IS

La2 .

În această relaţie se înlocuieşte a cu grosimea sudurii standardizate şi se obţine

lungimea sudurii necesare Lsnec. Pasul e la care se execută: la lungimea sudurii

calculată Lsnec , se adaugă de două ori grosimea sudurii, deoarece începutul şi sfârşitul

sudurii nu au aceleaşi caracteristici mecanice ca cele teoretice luate în calcul.

L L as s nec= +, 2 . (9.45)

Aplicaţia 9.15. Să se determine sarcina maximă care poate să o suporte bara

din fig.9.19, ţinând seama numai de solicitarea de încovoiere dacă σa= 150 MPa şi să

se dimensioneze sudura dacă τas=100 MPa.

Momentul de inerţie axial este:

I cmz =⋅

−⋅

=40 84

1237 5 80

12375680

3 34, iar modulul de rezistenţă axial:

W Iy

cmzz= = =

max

37568042

8945 3 ,

Momentul static al unei tălpi care poate luneca va fi:

S cmz = ⋅ ⋅ =40 2 41 3280 3.

Sarcina capabilă este:

q WL

Nmmcap

z a=⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ =8 8 8945 10 150

250017172

3

2

σ

.

Se adoptă: q=1700 kN/m.

Pentru calculul îmbinării sudate se

aplică relaţia (9.37) şi se obţine:

a SI L

T dx SI

q L

mm

z

z asL

L

z

z as

L

≥⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = ⋅⋅

⋅ ⋅ −

=⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅=

∫ ∫22

2 2

3280 10 1700 2500275680 10 100 8

6 32

0

2

3

4

π τ τ

, ;

Deoarece grosimea cusăturii a, reieşită din calcul este mult mai mică decât cea

corespunzatoare din STAS (a=10 mm) se adoptă a =10 mm şi pasul e = 1250 mm şi

se face calculul pentru sudura pe porţiuni (relaţia 9.30):

Fig. 9.19

2τ as sz

z e

a L SI

T dx⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⋅∫ ,

2 12 2 2

τas sz

za L S

Iq L L

⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ,

iar lungimea sudurii va fi:

L SI

q L mmsnecz

as z≥

⋅ ⋅⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=2 8

3280 10 1700 250016 100 10 375680 10

579 82 3 2

49τ, .

Se adoptă sudura pe porţiuni cu pasul e = 1250 mm şi lungimea cusăturii

Ls= Lsnec + 2a = 600 mm (fig.9.19).

Aplicaţia 9.6 Să se traseze diagramele de variaţie a tensiunilor în secţiunea

periculoasă pentru bara din figura 9.20 şi să se dimensioneze sudura ştiind că

τas= 80 MPa.

Marimile geometrice ale secţiunii sunt:

I cmz =⋅

−⋅

=6 9 6

125 4 8

12212

3 34, , ,

W Iy

cmzz= = =

max ,,212

4 844 17 3 ,

Sz1 = 0 ,

Fig. 9.20

S S cmz z2 336 0 8 4 4 2112= = ⋅ ⋅ =, , , ,

S S cmzG z= + ⋅ ⋅ =334 0 6 2 25 92, , ,

S cmz' , , , ,= ⋅ ⋅ =2 7 0 8 4 4 9 504 3.

Tensiunile pentru secţiunea din încastrare sunt:

σmax,max

,,= =

⋅ ⋅⋅

=M

WMPai

z

24 10 25044 17 10

135 83

3 ,

σ22

3

4

24 10 250212 10

40 113 2= ⋅ =⋅ ⋅

⋅⋅ =

MI

y MPai

z

,max , ,

τ xy1 0= ;

τ22

2

3 3

4

24 10 2112 1060 212 10

3 985xyz

z

T Sb I

MPa=⋅⋅

=⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅=

, , ;

τ33

3

3 3

4

24 10 2112 106 212 10

39 85xyz

z

T Sb I

MPa=⋅⋅

=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=, , ,

τGxyzG

z

T Sb I

MPa=⋅⋅

=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=24 10 25 92 10

6 212 1048 91

3 3

4, , ,

τxyz

z

T Sb I

MPamax

, , ,=⋅⋅

=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=24 10 9 504 10

8 212 1013 45

3 3

4 .

iar variaţia lor este redată în figura (9.20,b).

Dimensionarea sudurii se face cu relaţia (9.37) şi se obtine:

a SI L

T dx T SI

mmz

z as

z

z asl

≥⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ =⋅

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

=∫2 224 10 10 2112

2 212 10 801 494

3 3

4τ τ, , .

Deoarece grosimea sudurii este mult mai mică decât cea standardizată

( a mm= 6 ), se dimensionează sudura pe porţiuni alegând pasul e = L/2 = 125 mm, cu

relaţia (9.30):

2 2⋅ ⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⋅∫τas sz

z e

a L SI

T dx

sau

LS

a Immsnec

z T

as z

e≥⋅

⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=Ω

22 12 10 24 10 125

2 6 80 212 103113

3 3

4τ, ,

Se adoptă Ls =Lsnec+ 2a = 43 mm.

Deci, pentru bara dată se fac două cusături la capete de Ls = 43 mm.

9.10 Bare de egală rezistenţă solicitate la încovoiere simplă

În general barele se dimensionează la încovoiere pe baza momentului

încovoietor maxim, utilizându-se bare prismatice (de secţiune constantă pe toată

lungimea barei). Folosirea barelor prismatice (de secţiune constantă pe toată lungimea

barei), se recomandă pentru încărcări complicate, cu multe sarcini pentru care rezultă

o diagramă de momente cu mai multe valori extreme ce nu diferă mult între ele.

Dimensionarea raţională a barelor solicitate la încovoiere se face astfel ca

tensiunea maximă din orice secţiune a barei să fie egală cu rezisţenţa admisibilă.

Astfel de bare poartă denumirea de bare de egală rezistenţă la încovoiere. Mai jos

se analizează două exemple de asemenea bare.

9.10.1. Bare cu secţiunea circulară

Se consideră o bară simplu rezemată solicitată de o forţă concentrată P

(fig.9.21,a). Momentul încovoietor variază liniar având valoarea maximă în dreptul

forţei concentrate (fig.9.21,b), iar într-o secţiune oarecare este dat de relaţia:

M P bL

x=⋅

⋅ .

Din condiţia de egală rezistenţă la încovoiere:

az

max WM

σ==σ ,

rezultă:

W Mznec

i

a

=σ

,

sau ţinând seama de secţiunea circulară şi de

expresia momentului:

3

a LxbP32d

⋅σ⋅π⋅⋅⋅

= , (9.46)

ceea ce ne dă legea de variaţie a diametrului

în lungul barei, care este o variaţie după o

curbă de gradul trei (fig.9.21.c) şi care are

diametrul maxim:

3

amax L

baP32d⋅σ⋅π⋅⋅⋅

= . (9.47)

În practică nu pot fi realizate astfel de

bare (arbori) în condiţii de eficienţă şi ca

atare se adoptă soluţia barei cu mai multe tronsoane, de diametre diferite (fig.9.21,d).

Pentru calculul diametrelor minime necesare la capetele barei (care din legea

de variaţie ar fi zero), se dimensionează la forfecare:

A Tnec

a

= ⋅43 τ

,

de unde rezultă:

d P bLnec

a1

163

=⋅ ⋅⋅ ⋅π τ

, (9.48,a)

Fig. 9.21

şi d P aLnec

a2

163

=⋅ ⋅⋅ ⋅π τ

. (9.48,b)

Pentru alte moduri de încărcare, legea de variaţie a diametrului barei este dată

de relaţia:

πσ

⋅=

d Mi

a

3

32,

sau:

d Mi

a

=⋅⋅

323π σ

. (9.49)

9.10.2. Bare de secţiune dreptunghiulară

Barele de secţiune dreptunghiulară de egală rezistenţă la încovoiere se execută

menţinând constantă una din dimensiunile secţiunii:

Se consideră o bară în consolă încărcată cu o sarcină P (fig.9.22,a). Momentul

încovoietor într-o secţiune oarecare la abscisa x este: M = - P ⋅ x. Modulul de

rezistenţă al secţiunii dreptunghiulare este:

W b hz =

⋅ 2

6 .

Punând condiţia de egală rezistenţă pentru

orice secţiune x:

σ σmax = =MW

i

za ,

se obţine: b h Mi

a

⋅ =2

6 σ.

Fig. 9.22

Dacă se menţine constantă lăţimea b, atunci înălţimea h, a secţiunii rezultă

din relaţia:

h P xb a

=⋅⋅ σ

. (9.50)

Deci, în acest caz bara trebuie sa aibă înălţimea după o variaţie parabolică

(fig.9.22.b).

Dacă se menţine constantă înălţimea h, rezultă:

b P xh a

=⋅ ⋅⋅

62 σ

, (9.51)

iar bara trebuie să aibă lăţimea variabilă liniar (formă triunghiulară, fig.9.22,c). În

practică, o astfel de bară se realizează din fâşii de lăţime b0 care se pun una peste alta,

rezultând bara cunoscută sub numele de arcul în foi.

Lăţimea bo se calculează din condiţia de rezistenţă la forfecare a capătului

barei:

A Tnec

a

= ⋅32 τ

sau b Tha

032

= ⋅⋅τ

.

9.11. Încovoierea oblică

Solicitarea produsă de forţe care se află într-un plan longitudinal central, dar

nu principal de inerţie, se numeşte încovoiere oblică (fig.9.23).

Se consideră o secţiune transversală oarecare

dintr-o bară (grindă) solicitată la încovoiere oblică şi se

raportează la axele ei principale de inertie 0y şi 0z

(fig.9.24). Momentul încovoietor poate fi reprezentat

printr-un vector înclinat cu unghiul α faţă de una din

axele principale de inerţie a secţiunii transversale.

Fig. 9.23

În cazul încovoierii oblice este recomandabil să se traseze o singură diagramă

de momente încovoietoare, cea corespunzătoare forţelor aplicate. Momentul

încovoietor calculat formează acelaşi unghi α cu o axa principală ca şi planul forţelor

cu cealaltă axă principală centrală de inerţie.

Relaţia lui Navier nu poate fi aplicată direct deoarece momentul încovoietor

este dirijat după o direcţie oarecare şi nu se realizează cea de a doua ecuaţie de

echivalenţă (9.3). Ca urmare este necesară descompunerea momentului încovoietor în

componente orientate în lungul axelor principale centrale de inerţie.

α⋅= cosMM z şi α⋅= sinMM y .

Relaţia lui Navier este aplicabilă faţă de aceste componente şi în dreptul unui

punct oarecare M, de coordonate y şi z, de pe suprafaţa transversală a secţiunii,

fiecare componentă a momentului încovoietor produce câte o tensiune normală: σ1 şi

σ2. Pentru momentul încovoietor admis în primul cadran al secţiunii transversale

tensiunile sunt de semne contrare şi anume:

σ , = ⋅MI

yz

z

, σ ,, = − ⋅MI

zy

y

.

În figura 9.24 se arată

modul de distribuţie al acestor

tensiuni şi se observă că în două

cadrane tensiunile σ’ şi σ’’ au

acelaşi semn, iar în celelalte două

au semne contrare. Tensiunea

totală din dreptul unui punct

oarecare M se obţine prin

însumarea algebrică a tensiunilor:

σ σ σ= + = ⋅ − ⋅' " MI

yMI

zz

z

y

y

Fig. 9.24

. (9.52)

În funcţie de semnul coordonatelor punctului M, componentele tensiunilor σ’ şi

σ’’ vor rezulta pozitive sau negative. Punctul cel mai solicitat se află în cadranul în

care cele două componente au acelaşi semn. Prin anularea expresiei de sus se obţine

ecuaţia axei neutre:

MI

yMI

zz

z

y

y

⋅ − ⋅ = 0 . (9.53)

Se observă că axa neutră este o dreaptă centrală înclinată faţă de axa 0z cu un

unghi β dat de relaţia:

tg yz

MM

II

II

tgy

z

z

y

z

y

β α= = ⋅ = ⋅ . (9.54)

Axa neutră este o dreaptă ce este înclinată cu unghiul β faţă de axa 0z şi de

obicei nu coincide cu suportul vectorului moment. În caz particular, când Iz=Iy, atunci

rezultă β = α şi deci axa neutră coincide cu suportul vectorului moment.

Aplicaţia 9.7 Să se determine sarcina capabilă să o suporte o bară simplu

rezemată, confecţionată dintr-un profil I 20 (fig.9.25) dacă rezistenţa admisibilă a

materialului este σa=150 MPa.

Rezolvare: Profilul este solicitat la încovoiere oblică de un moment

încovoietor maxim M p Lmax =

⋅ 2

8, ce

se descompune în lungul axelor centrale

principale de inerţie ale secţiunii în:

M M p Lz i= ⋅ =

⋅⋅cos cosα

2

820o şi

M M p Ly i= ⋅ =

⋅⋅sin sinα

2

820o .

Fig. 9.25

Profilul rezistă dacă este indeplinită condiţia:

σ σmax = + ≤MW

MW

z

z

y

ya .

Înlocuind valorile momentelor cu expresiile de mai sus se obţine:

( )

( ) ,m/kN94,101020sin21420cos262500

102621415820sinW20cosWL

WW8p

32

6

zz2

yzacap

=⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

=⋅+⋅⋅

⋅⋅σ⋅=

oo

oo

unde s-a înlocuit: W cmz = 214 3şi W cmy = 26 3 din anexa nr. 9.

Se adoptă p kN mcap = 11 / .

Deoarece s-a ales o valoare mai mare decât cea calculată se face calculul de

verificare:

σ σmax ,≤ ⋅1 05 a ,

σ

σ

maxcos sin

cos sin , , .

= + =⋅ ⋅

⋅+

⋅ ⋅⋅

=

=⋅

⋅⋅

+⋅

= < ⋅

MW

MW

p LW

p LW

z

z

y

y z y

a

2 2

2

3 3

208

208

11 25008

20214 10

2026 10

150 9 1 05

o o

o o

deci valoarea adoptată este bună, bara rezistă.

9.12. Încovoierea strâmbă

Solicitarea de încovoiere produsă de forţe aplicate în plane longitudinale

diferite se numeşte încovoiere strâmbă. În acest caz se determină momentele

încovoietoare Mz şi My, după descompunerea forţelor aplicate, în componente situate

în cele două plane principale de inerţie ale barei (grinzii).

Pentru secţiunea (sau secţiunile periculoase) se face calculul de rezistenţă

asemănător cu cel de la încovoierea oblică.

Aplicaţia 9.8 Să se dimensioneze bara din figura 9.26 ştiind că σa = 150 MPa.

Rezolvare: Se descompun forţele după direcţiile axelor 0y şi 0z şi se trasează

diagramele de momente în cele două plane principale centrale de inerţie Mz şi My. Se

observă că momentul încovoietor maxim este în încastrare, respectiv:

M M M kNmi iz iymax , , ,= + = + =2 2 2 22 419 3 45 4 213 .

Din condiţia de rezistenţă:

σ σmax = + =⋅

+⋅

≤MW

MW

Ma

Ma

z

z

y

y

z ya

32

33 3

pentru că:

W az =

23

3

şi W ay =

3

3

iar:

( )aM M

mmz y=+

=⋅ + ⋅ ⋅

⋅=

3 62

3 2 419 6 3 45 102 150

45 343

63

, ,, .

Se adoptă: a = 45 mm.

Fig .9.26

9.13.Tensiuni în bare curbe plane

În cadrul acestui paragraf se vor studia deformaţiile şi tensiunile în bare curbe

plane de mare curbură. În acest caz axa barei este conţinută într-un plan şi raza de

curbură este mică. Se vor avea în vedere numai barele curbe plane, de curbură

constantă (circulare) cu secţiunea simetrică faţă de planul forţelor. Sarcinile ce

acţionează asupra barei sunt conţinute în planul de simetrie al secţiunii transversale a

barei.

9.13.1 Tensiuni şi deformaţii

În bara curbă plană, acţionată

de sarcini conţinute în planul barei,

se produc eforturile N, T şi M (fig.

9.27,a). Momentul încovoietor

produce cele mai importante efecte

(tensiuni şi deformaţii), apoi forţa

normală. Tensiunile produse de

forţa tăietoare se pot calcula cu

formula lui Jurawski: τxyz

z

T Sb I

=⋅⋅

,

şi au distribuţia studiată la

încovoierea simplă. În cele mai

multe cazuri tensiunile tangenţiale

maxime sunt mici în comparaţie cu

cele normale şi ca atare se

neglijează.

Forţa axială produce în

Fig. 9.27

secţiunea barei tensiuni ce se consideră uniform repartizate şi se determină cu

formula: σ =NA

, cunoscută de la solicitări axiale.

Momentul încovoietor produce în secţiunea barei tensiuni normale. În cazul

barelor de mică curbură, variaţia acestora nu diferă de cea dată de formula lui Navier

(de la barele drepte). Totuşi, când raza de curbură este mai mare de 5 ori faţă de

înălţimea secţiunii transversale, diferenţa dintre tensiunile calculate cu formula lui

Navier şi cele calculate cu formula dedusă mai jos este mică. De aceea, când R h> ⋅5

se admite că tensiunile normale au distribuţia dată de formula lui Navier, σ = ⋅MI

yi

z

.

Dacă bara este de mare curbură (R < 5⋅h) este necesar să se stabilească o

nouă relaţie pentru tensiunile normale. În acest scop se consideră elementul de bară

din figura (9.27,b). Pe acesta se definesc elementele geometrice specifice.

Sub acţiunea momentului încovoietor se admite valabilă ipoteza lui Bernoulli

(a secţiunilor plane) şi deci secţiunea plană 1’2’ se roteşte cu unghiul ∆dϕ în nouă

poziţie, rămanând tot plană.

Din toate fibrele din planul axei barei numai fibra 00’ îsi păstrează lungimea iniţială,

ds = r ⋅ dϕ; fibrele inferioare se alungesc, iar cele superioare se scurtează. Această

fibră (00’) se numeste axa neutră. O fibră AA’, aflată la ordonata y în raport cu axa

neutră se va alungi cu:

ϕ∆⋅=∆= dyds''A'A .

Alungirea specifică a fibrei este:

( ) ϕϕ∆

⋅−

==εdd

yry

'AA''A'A

Tensiunea normală, în dreptul fibrei A’A’’, conform legii lui Hooke va fi:

( ) Edd

yryE ⋅

ϕϕ∆

⋅−

=⋅ε=σ . (9.55)

Întrucât mărimile dϕ , ∆dϕ şi E sunt constante (pentru secţiunea transversală

şi pentru material), din relaţia (9.55) rezultă că tensiunile normale variază hiperbolic

pe înălţimea secţiunii.

În condiţia când în secţiunea transversală acţionează numai momentul

înconvoietor (încovoiere pură), ecuaţiile de echivalenţă pentru secţiunea din 0 şi

respectiv 0’ sunt:

∫ =⋅σA

0dA şi ( ) MdAyA

=⋅σ⋅∫ . (9.55,a)

Înlocuind pe σ din relaţia (9.55) în prima ecuaţie se obţine:

0yr

dAyd

EA

=−⋅

⋅ϕϕ∆⋅∫ ,

respectiv:

( ) 0yr

dAyA

=−⋅

∫ , (9.56)

relaţie ce precizează poziţia axei neutre.

Înlocuind pe σ în a doua relaţie (9.55,a) rezultă:

( )

( ) .dAyyr

dAyrd

dE

dAyr

yryryd

dEyr

dAyd

dEM

AA

A

2

A

2

⋅−

−⋅

⋅⋅ϕϕ∆⋅

=

=⋅−

⋅+⋅−⋅

ϕϕ∆⋅

=−⋅

⋅ϕ

ϕ⋅∆⋅=

∫∫

∫∫

Prima integrală, din paranteză este nulă conform relaţiei (9.56) iar a doua este

momentul static al întregii secţiuni faţă de axa neutră (axă normală în 0 pe 0y). Deci:

∫ =⋅=⋅A

z ,SAedAy

în care e = - y, este excentricitatea axei neutre 00’ faţă de axa barei GG’.

Drept urmare:

eAd

dEM ⋅⋅ϕϕ∆⋅

= sau eA

Md

dE⋅

=ϕϕ∆⋅ .

Ţinând seama de aceasta în relaţia (9.55) se obţine ecuaţia tensiunilor normale

pentru barele de mare curbură solicitate la încovoiere pură:

yr

yeA

M−

⋅⋅

=σ , (9.57)

care este ecuaţia unei hiperbole.

Tensiunile maxime din fibrele extreme (1 -pe fibra interioară şi 2 -pe fibra

exterioară) rezultă prin particularizarea relaţiei (9.57): y = y1, r - y = r - y1= R1 şi

respectiv y = - y2 şi r - y = r + y2 = R2 astfel că:

1

11 R

yeA

M⋅

⋅=σ ,

2

22 R

yeA

M⋅

⋅−=σ . (9.58,a)

Dacă în secţiunea barei acţionează atât momentul încovoietor cât şi forţa

normală variaţia tensiunilor normale pe secţiune rezultă din suprapunerea efectelor

date de relaţiile (6.1) şi (9.57), adică:

yr

yeA

MAN

−⋅

⋅+=σ , (9.58)

iar tensiunile extreme, din fibra interioară şi exterioară, sunt date de relaţiile:

.

Ry

eAM

AN

,Ry

eAM

AN

2

22

1

11

⋅⋅

−=σ

⋅⋅

+=σ

(9.59)

9.13.2. Poziţia axei neutre

La barele curbe fibra neutră nu coincide cu axa barei, ci totdeauna este către

interiorul acesteia, la distanţa e de axa barei. Fibra neutră este definită prin raza r,

sau prin excentricitatea e. Între raza de curbură a barei R, raza fibrei neutre r şi

excentricitatea e, există relaţia:

r = R - e sau e = R - r. (9.60)

Folosind schimbarea de variabilă v = r - y, respectiv y = r - v şi înlocuind în

relaţia (9.56) se obţine:

0dAv

dArdAv

vryr

dAyAAA

=−⋅=⋅−

=−⋅

∫∫∫∫ .

Din aceasta rezultă ecuaţia axei neutre:

∫

=

A vdAAr . (9.61)

Pentru calculul razei r se ia un element de arie dA = b ⋅ dy paralel cu axa 0z.

Aria ce variază se exprimă funcţie de mărimea v. Astfel pentru secţiunile din figura

9.28 se obţin formulele:

- pentru secţiunea dreptunghiulară:

1

2

RR

ln

hr = , (9.62)

- pentru secţiunea circulară:

4

dR4R2r22 −+

= , (9.63)

Fig.9.28

- pentru secţiunea trapez isoscel:

( ) ( ) hbB

RR

lnRbRB

hB2hr

1

212 ⋅−−⋅⋅−⋅

−⋅= . (9.64)

- pentru secţiunea dublu T:

∑= +⋅

⋅=

⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅=

n

1i

i

1ii

ii

3

43

2

32

1

21

332211

RR

lnb

hb

RR

lnbRR

lnbRR

lnb

hbhbhbr . (9.65)

Se poate obţine o formulă aproximativă pentru determinarea poziţiei axei

neutre dacă se face o nouă schimbare de variabilă v = R - yc, integrala de la numitor

devine:

dA

Ry

1

1R1

yRdA

vdA

A GA GA

⋅

−⋅=

−= ∫∫∫ ,

în care yG este ordonata unui punct al secţiunii faţă de axa centrală ce trece prin

punctul G.

Dezvoltând în serie expresia de sub integrală vom obţine:

...Ry

Ry

Ry

1

Ry

1

13

G2

GG

G

+

+

++=

−

Dacă se iau primii termeni ai seriei, integrala devine:

3zc

A2

2GG

A G RI

RAdA

Ry

Ry

1R1

Ry

1

1R1

+=⋅

++⋅≅

+⋅ ∫∫ .

Termenul al doilea reprezintă momentul static al secţiunii faţă de axa centrală

şi este nul. Înlocuind în formula lui r, rezultă:

zc

2

3

3zc IRA

RA

RI

RA

Ar+⋅

⋅=

+≅ .

Excentricitatea axei neutre se obţine:

zc

2zc

zc2

3

IRAIR

IRARARrRe

+⋅⋅

=+⋅

⋅−=−= .

Întrucât valoarea momentului de inerţie axial faţă de axa centrală Izc, este neglijabil faţă de valoarea A⋅R2, expresia excentricităţii va fi:

e IA R

zc≅⋅

. (9.66)

Aplicaţia 9.9 Să se traseze diagramele de variaţie a tensiunilor pentru

secţiunea periculoasă a barei curbe din figura 9.29, dacă: h1=150 mm: h2=200 mm:

h3=150 mm: b1=300mm: b2=100 mm: b3=200 mm.

Rezolvare: Din figură se obţin R1 = 100 mm: R2 = 250 mm: R3 = 450 mm:

R4=600 mm.

Ordonata centrului de greutate este:

Fig. 9.29

yy A

AcmG

i i

i=

⋅=− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅= −∑

∑20 10 17 5 20 15 3530 15 20 10 20 15

14 74, , ,

iar mărimile geometrice ale secţiunii sunt:

A cm= ⋅ + ⋅ + ⋅ =30 15 20 10 20 15 950 2 ,

rb h

b RR

cmi i

n

ii

ii

n=⋅

⋅=

⋅ + ⋅ + ⋅=

∑

∑ +

1

1

950

30 2510

10 4525

20 6045

24 28ln ln ln ln

, ,

R R y cmG= + + =1 7 5 32 24, , ,

y r R cm1 1 24 28 10 14 28= − = − =, , ,

y R r cm2 4 60 24 28 35 72= − = − =, , .

Tensiunile în punctele extreme ale secţiunii periculoase sunt:

σ1

1

1

3

2

3 3

2

800 10950 10

800 10 10950 10 79 6

142 8100

8 42 1511 159 5

= +⋅⋅ =

⋅⋅

+⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ =

= + =

NA

MA e

yR

MPa,

,

, , , ,

σ2

2

2

3

2

3 3

2

800 10950 10

800 10 10950 10 79 6

357 2600

8 42 52 98 54 56

= +⋅⋅ =

⋅⋅

−⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ =

= − = −

NA

MA e

yR

MPa,

,

, , , .

iar variaţia acestora este dată în figura 9.29, trasate prin suprapunere de efecte.

Aplicaţia 9.10 Să se determine forţa capabilă să o suporte bara curbă din

figura 9.30 pentru R=300 mm şi σa=150 MPa.

Rezolvare: Mărimile geometrice ale secţiunii

sunt:

A cm= ⋅ − ⋅ =8 6 4 2 40 2 ,

I cmz =⋅ − ⋅ =8 612

4 212

141 333 3

4, ,

e IA R

cmz=⋅

=⋅

=141 3340 30

0 12, , ,

Fig. 9.30

r R e cm= − = − =30 0 12 29 88, , ,

R R cm1 3 27= − = ,

R R cm2 3 33= + = ,

y r R cm1 1 29 88 27 2 88= − = − =, , , y R r cm2 2 33 29 88 312= − = − =, , .

Din relaţia:

σaiN

AM

A eyR

PA

P RA e

yR

≥ +⋅⋅ = +

⋅⋅

⋅1

1

1

1

2 ,

se obţine sarcina capabilă :

.N10104,18,2830022702,1

2702,11040150

yR2ReReA

ReAyR2

A1

P

42

11

1a

1

1

acap

⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅

=

=⋅+⋅

⋅⋅⋅σ=

⋅⋅⋅

+

σ=

Se aoptă: Pcap= 11 kN.

9.14. Încovoierea barelor (grinzilor) de secţiune neomogenă

Se consideră o bară dreaptă cu secţiune transversală constantă, neomogenă

formată din mai multe straturi din materiale

diferite (spre exempulu o bară din lemn întărită

cu o platbandă din oţel figura 9.31). Bara este

solicitată la încovoiere pură şi pentru a deduce

relaţiile de calcul se admit următoarele ipoteze:

- elementele barei sunt rigidizate înte ele şi

lucrează ca un tot unitar la încovoiere,

- materialele barei satisfac legea lui Hooke, sarcinile aplicate se află întru-un

singur plan, care este totodată şi plan de simetrie al barei,

- prin încovoiere se realizează ipoteza lui Bernoulli cu privire la secţiunile

transversale plane.

Fig. 9.31

Din bară se izolează un element oarecare de lungime dx (fig.9.32,a) şi se

ataşează un sistem de referinţă triortogonal drept, considerând cazul a două materiale,

fară a elimina astfel generalizarea problemei. Prin deformarea elementului sub

acţiunea momentului încovoietor M, cele două secţiuni marginale se rotesc

(fig.9.32,c). Se notează cu r, distanţa de la centrul de curbură la axa neutră, a cărei

poziţie urmează să fie determinată.

Se consideră câte o fibră oarecare în fiecare material la ordonatele y1 şi

respectiv y2, de axa neutră. Prin solicitarea la încovoiere aceste fibre se alungesc.

Considerând secţiunile transversale plane şi după deformare, conform ipotezei lui

Bernoulli se obţine:

ε ε1

1

2

2

⋅=

⋅=

dxy

dxy

dxr

, sau ε 11=

yr

şi ε 22= y

r.

Pe baza legii lui Hooke, alungirilor specifice ε, le corespund tensiunile

normale σ:

Fig. 9.32

σ ε1 1 1 11= ⋅ = ⋅E E y

rşi σ ε2 2 2 2

2= ⋅ =E E yr

. (9.67)

Rezultă că, tensiunile normale pe fiecare zonă a secţiunii transversale

sunt proportionale cu distanţa de la axa neutră, factorul de proporţionalitate fiind

funcţie de modulul de elasticitate longitudinal al materialului. În figura (9.32,d) sunt

prezentate diagramele de variaţie a tensiunilor. Dacă modulul de elasticitate

longitudinal, este mare şi tensiunile sunt mari şi invers.

În figură s-a considerat E1 > E2.

Scriind ecuaţiile de echivalenţă se obţine:

∫ ∫∫ =⋅⋅σ=⋅⋅σ=⋅σA AA

MdAy;0dAz;0dA . (9.68)

Aceste integrale se aplică pe cele două zone ale secţiunii transversale.

Din prima integrală se obtine:

∫ ∫ =⋅σ+⋅σ1A 2A

21 ,0dAdA sau ∫ ∫ =⋅⋅+⋅⋅1A 2A

2211 0dAyEdAyE ,

sau: E S E S1 1 2 2 0⋅ + ⋅ = .

În cazul general al mai multor materiale se poate scrie:

∑=

=⋅n

1iii 0SE (9.69)

unde s-a notat cu ∫ ⋅=iA

ii dAyS momentul static, al unei suprafeţe oarecare, faţă de

axa neutră. Relaţia (9.69) determină poziţia axei neutre. Dacă se notează cu e1, e2,..en,

distanţele de la o dreaptă arbitrară de referinţă la centrele de greutate ale suprafeţelor

de arie A1, A2, ..An, atunci din (9.69) rezultă:

∑=

=−⋅⋅n

1iiii ,0)ee(AE sau

∑

∑

=

=

⋅

⋅⋅= n

1iii

n

1iiii

AE

eAEe . (9.70)

Ecuaţia a doua (9.68) este satisfăcută deoarece s-a facut ipoteza că axa Oy este

axa de simetrie a secţiunii transversale.

Din relaţia a treia (9.68) se obţine:

∫∫⋅+⋅

=⋅⋅+⋅⋅=2A

221122

2

1A

21

1

rIEIE

dAyr

EdAy

rE

M ,

sau pentru cazul general:

∑=

⋅= n

1iii IE

Mr1 . (9.71)

unde: Ii este momentul de inerţie al unei suprafeţe oarecare i, faţă de axa neutră.

Numitorul ∑=

⋅n

1iii IE , constituie rigiditatea la încovoiere a barelor de secţiune

neomogenă.

Prin înlocuirea în relaţiile (9.67) se obţin expresiile tensiunilor:

∑=

⋅

⋅⋅=σ n

1iii

111

IE

yME şi

∑=

⋅

⋅⋅=σ n

1iii

222

IE

yME. (9.72)

Dacă se consideră drept module de rezistenţă ale secţiunii neomogene

rapoartele:

max11

n

1iii

1 yE

IEW

⋅

⋅=∑= şi

max22

n

1iii

2 yE

IEW

⋅

⋅=∑= (9.73)

atunci tensiunile maxime se pot calcula cu relaţia lui Navier:

1

1 WM

=σ şi 2

2 WM

=σ , etc. (9.74)

Pentru aplicarea acestor relaţii trebuie determinată în prealabil poziţia axei

neutre cu relaţia (9.70).

Aplicaţia 9.11 Să se determine sarcina capabilă să o suporte bara din figura

9.33 şi pentru aceasta să se traseze diagrama de variaţie a tensiunilor pe secţiunea

periculoasă. Bara este confecţionată din lemn cuσaL MPa= 20 , E GPaL = 12 întărită

cu o platbandă de oţel cu σaOL MPa= 150 şi E GPaOL = 210 .

Poziţia axei neutre va fi:

eE A y

E Ammi i i

i i

=⋅ ⋅

⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

=∑∑

12 10 50 80 40 2 1 10 50 10 8512 10 50 80 2 1 10 50 10

70 883 5

3 5

,,

, .

Rigiditatea barei la încovoiere este:

( )

E I

Nmm

i i⋅ = ⋅ ⋅⋅

+ ⋅ ⋅

+

+ ⋅ ⋅⋅

+ ⋅ ⋅ −

= ⋅

∑ 12 1050 80

1250 80 30 88

2 1 10 50 1012

50 10 85 70 88 9 317 10

33

2

53

2 10 2

,

, , , .

Din relaţia 9.73 rezultă:

pE I

E L yNcapL

i i aL

L

=⋅ ⋅

⋅ ⋅=

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

=∑( ) ,,

σ

1

10

3

9 317 10 2012 10 1000 70 88

2191 .

PE I

E L yNcapOL

i i aOL

OL

=⋅ ⋅

⋅ ⋅=

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ −

=∑( ) ,, ( , )

σ

3

10

5

9 317 10 1502 1 10 1000 90 70 88

3481 .

Se adoptăP kNcap = 2 , iar tensiunile pentru secţiunea periculoasă vor fi:

σ11

3 3

10

12 10 2 10 1000 70 889 317 10

18 26LL i

i i

E M yE I

MPa=⋅ ⋅

⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

=∑

max ,,

, ,

σ22

3 3

10

12 10 2 10 1000 70 889 317 10

2 349LL i

i i

E M yE I

MPa=⋅ ⋅

⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅

=∑

max (80 , ),

, ,

( )σ2

25 3

10

2 1 10 2 10 1000 80 70 889 317 10

4111OLOL i

i i

E M yE I

MPa=⋅ ⋅

⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅

=∑

max , ,,

, ,

Fig. 9.33

( )σ3

25 3

10

2 1 10 2 10 1000 90 70 889 317 10

86 19OLOL i

i i

E M yE I

MPa=⋅ ⋅

⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅

=∑

max , ,,

,

Variaţia tensiunilor pentru secţiunea periculoasă au fost reprezentate în

figura 9.33.

9.15. Calculul de rezistenţă al barelor drepte la încovoiere

în domeniul plastic

La toate problemele studiate până acum, la acest capitol, s-a admis că

materialele (ER) au deformaţii elastice şi satisfac legea lui Hooke. Deci, tensiunile

maxime au valori mai mici decât tensiunea corespunzatoare limitei de elasticitate a

materialului.

În practică se întâlnesc probleme la care nu poate fi admisă legea lui Hooke, fie

din cauza depăşirii limitei de proporţionalitate a materialului, prin solicitarea

produsă, fie din cauza că materialul nu are o caracteristică liniar-elastică. Din

prima categorie fac parte procesele tehnologice care dau deformaţii permanente iar, în

a doua categorie se încadrează materialele a căror curbă caracteristică nu are nici o

porţiune rectilinie.

La solicitările în domeniul plastic, nemai fiind valabilă legea lui Hooke, nu

poate fi aplicat principiul suprapunerii efectelor şi ipoteza deformaţiilor mici.

Pentru calculul la încovoiere, în domeniul plastic al barelor drepte se consideră

o porţiune de bară dreaptă solicitată la încovoiere pură. Secţiunea transversală are cel

puţin o axă de simetrie (axa Oy) ce este conţinută în planul forţelor (fig. 9.34).

Materialul barei admite o curbă caracteristică, identică cu cea de la tracţiune.

Momentul încovoietor care solicită bara Mi : σa ⋅Wz , are o valoare suficent de

mare pentru a produce şi deformaţii plastice. Datorită faptului că secţiunea este

simetrică faţă de axa Oy, axa neutră a secţiunii este perpendiculară pe planul forţelor

şi poziţia ei trebuie determinată.

Axa neutră împarte secţiunea în două zone, una intinsă (A1) şi alta comprimată

(A2). Ca şi la încovoierea liniar - elastică, se verifică ipoteza lui Bernoulli: secţiunile

plane şi normale pe axa barei înainte de deformare rămân plane şi normale pe axa

barei şi după aplicarea sarcinilor. Deci, se poate exprima alungirea specifică, a unei

fibre oarecare, situată la ordonata y, în funcţie de raza de curbură r, astfel:

ry

=ε . (9.75)

Tensiunea normală, produsă de momentul încovoietor, este funcţie de alungirea

specifică şi se poate exprima astfel:

)y(fr1)(f ⋅=ε=σ . (9.76)

Fig.9.34

Relaţia (9.76) ne arată că tensiunile normale la încovoiere sunt repartizate pe

înălţimea secţiunii, după o lege asemănătoare cu cea exprimată de curba

caracteristică a materialului.

- Din ecuaţia de echivalenţă a proiecţiilor eforturilor elementare σ⋅dA pe axa

longitudinală a barei,

∫ =⋅σA

,0dA (9.77)

se obţine poziţia axei neutre.

- Din ecuaţia de echivalenţă a momentelor forţelor elementare faţă de axa

neutră Oz, se obţine relaţia dintre tensiunile normale σ şi momentul încovoietor Mi:

M y dAi A= ⋅ ⋅∫ σ . (9.78)

Rezolvarea ecuaţiilor (9.77) şi (9.78) presupune cunoaşterea curbei

caracteristice a materialului şi forma secţiunii transversale.

Se admite că materialul este ideal elasto-plastic, adică are o curbă caracteristică

schematizată prin două linii drepte (fig.9.35), porţiunea OC, are modulul de

elasticitate E = tgα şi CC’, modulul de plasticitate

EP = 0. În acest caz stările de tensiune care se

produc succesiv cu creşterea momentului

încovoietor sunt redate în fig.9.36.

Pentru o valoare mică a momentului

încovoietor, tensiunile se distribuie liniar pe

înălţimea secţiunii şi pot fi determinate cu relaţia lui

Fig. 9.35

Fig. 9.36

Navier. În acest caz axa neutră trece prin centrul de greutate al secţiunii (fig.9.36,a).

La o valoare mai mare a lui Mi, tensiunea maximă atinge valoarea de curgere

σc (fig.9.36,b) şi în acest caz valoarea momentului încovoietor este:

M Wc c z= ⋅σ (9.79)

La creşterea în continuare a momentului încovoietor apare o stare de solicitare

elasto-plastică. În acest caz relaţia lui Navier nu mai este aplicabilă. Axa neutră nu

mai trece prin centrul de greutate decât în cazul în care axa Oz este axă de simetrie

(fig.9.32,c,d). Pe măsura creşterii momentului încovoietor creşte zona plastică

(fig.9.36,c,d) şi zona elastică se micşorează. La limită, momentul încovoietor limită

ML, produce deformaţii plastice în toată secţiunea (fig.9.36,e).

Pentru o stare elasto-plastică (MC : Mi : ML) tensiunile se pot exprima astfel

(pentru fig.9.36,d):

σ σ= ⋅yyc

c , -pentru zona elastică , (9.80,a)

σ σ= c , -pentru zona plastică. (9.80,b)

Ţinând seama, în ecuaţia de echivalenţă (9.77), de relaţiile (9.80) se obţine :

∫ ∫ ∫−− −

=⋅σ+⋅σ⋅+⋅σ− c

2

c

c

1

c

yy

yy

yy cc

cc 0dAdA

yydA .

Simplificând cu σc, rezultă:

∫ ∫ ∫−

−=+⋅⋅+− c

2

c

c

1

c

yy

yy

yy

c.0dAdAy

y1dA

Dacă notăm cu A1P şi A2P - ariile suprafeţelor marginale solicitate plastic, iar

cu Se - momentul static al zonei centrale, solicitată elastic, faţă de axa neutră se

obţine:

( ) 0AAyS p2p1ce =+⋅+ (9.81)

Pentru cazul particular al secţiunii solicitate plastic în totalitate, la starea

limită:

A1P = A2P, (9.82)

adică axa neutră împarte o secţiune solicitată plastic în părţi egale.

Înlocuind expresiile (9.80) în ecuaţia (9.78) se obţine :

∫ ∫ ∫−

− −⋅⋅σ+⋅⋅σ⋅+⋅⋅σ−= cy

2y

cy

cy

1y

cy ccc

ci ,dAydAyyydAyM

sau:

( )peci SWM +⋅σ= , (9.83)

unde s-a notat cu:

∫− ⋅⋅= c

c

yy

2

ce dAy

y1W : (9.84)

-modulul de rezistenţă al zonei elastice calculat faţă de axa neutră:

∫ ∫−−

⋅+⋅−= c

2

1

c

yy

yy 1P dAydAyS : (9.85)

-suma momentelor statice calculate în valoare absolută faţă de axa neutră, a

zonelor solicitate plastic.

Pentru cazul particular al secţiunii solicitate numai plastic (We= 0) se obţine

expresia momentului încovoietor limită (ML).

M SL c P= ⋅σ . (9.86)

Pentru această valoare a momentului încovoietor întreaga secţiune este

solicitată plastic. Pe toată secţiunea există σ = σc, aşa că tensiunile nu mai pot creşte.

Deci nici momentul încovoietor nu poate creşte şi se numeşte moment limită. În

acest caz alungirea specifică poate creşte nedefinit (fig.9.35), o dată cu aceasta creşte

nedefinit şi rotirea secţiunii faţă de poziţia iniţială. De aceea în secţiunea unde se

ajunge ca M = ML se produce o articulaţie plastică.

Diferenţa dintre articulaţia plastică şi articulaţia mecanică este că cea

plastică apare pentru o solicitare M = ML, iar la articulaţia mecanică M =0.

Aplicaţia 9.12 Să se determine forţa capabilă a barei din figura 9.37. prin

metoda stării limită şi prin metoda rezistenţelor admisibile, dacă σc = 240 MPa şi

coeficientul de siguranţă impus este de c0 = 1,6.

Rezolvare:

a) Metoda stării limită:

Poziţia axei neutre este dată de relaţia:

A1p = A2p,

şi pentru dimensiunile secţiunii din figură se poate scrie:

( )30 5 4 20 5 20 4⋅ + ⋅ = ⋅ + − ⋅⋅y yc c ,

din care rezultă:

y cmc =⋅ + ⋅ − ⋅ =20 5 20 4 30 5

83 75, .

Momentul static al secţiunii este:

( )S A e

cm

p = ⋅ = ⋅ ⋅ +

+ ⋅ + ⋅

−+ ⋅ ⋅ + −

=

=

30 5 52

3 75 4 3 752

42 3 75

220 5 5

220 3 75

3369

2 2

3

, , ,,

.

Din condiţia M Mc

Lmax = , scrisă astfel :

Fig. 9.37

q L Sc

c p⋅ =⋅2

8σ

,

se obţine sarcina capabilă la starea limită:

qS

c LN

mmcpc p=

⋅ ⋅

⋅=

⋅ ⋅ ⋅⋅

=8 8 240 3369 10

1 6 3000449 22

3

2

σ

,, .

Se adoptă: qcp = 450 kN/m.

b) Metoda rezistenţelor admisibile:

y cmG = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ + ⋅ + ⋅

=20 5 2 5 20 4 15 30 5 27 520 5 20 4 30 5

16 89, , , ,

( )

( ) ( )

I

cm

z =⋅ + ⋅ + ⋅

+ ⋅ ⋅ − +

+ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − =

30 5 20 5 4 2012

20 5 16 89 2 5

20 4 16 89 15 30 5 27 5 16 89 41066

3 3 32

2 2 4

, ,

, , , ,

iar sarcina capabilă se obţine din condiţia:

M q L Iycap

a z=⋅

≤⋅2

8σ

max

,

σ σmaxmax

max max , ,= ⋅ =⋅

⋅ =⋅

⋅ ⋅⋅ = <

MI

y p LI

y MPai

z zc

2 2

48450 3000

8 41066 10168 9 208 2 .

mm/N2,3249,16830006,1

10410662408yL

I8q 2

4

max2

zacap =

⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅

⋅σ⋅=

Se adoptă: qcap = 325 kN/m.

Observaţie:

Dacă se face raportul între qcp şi qcap se obţine:

qq

cp

cap

⋅ = ⋅ =100 450325

100 138 5, % ,

deci se obţine o creştere a sarcinii capabile cu 38,5 % prin metoda stării limită faţă de

metoda rezistenţelor admisibile

Aplicaţia 9.13 Pentru bara din figura 9.38, se cere să se determine zona

solicitată plastic în secţiunea periculoasă pentru: σc = 250 MPa şi L = 2m.

( )M W Si c e p= ⋅ +σ .

Admitem ca ipoteză, că zona de delimitare între porţiunile de secţiune solicitate

plastic şi cea elastică, se află pe porţiunea inimii, la ± yc de axa Oz şi în acest caz

mărimile geometrice sunt:

( ) ( )S y y y yp cc

c c= ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅+

⋅

= ⋅ − = −2 2 4 5 2 2

21 2 42 842 2 ,

( )Wy y

ec c=

⋅=

1 26

23

2 2

,

( )M y y yi c cc

c= ⋅ + −

= ⋅ −σ

σ23

843

2522

2 2 ,

252 3− =y M

cci ,

y M cmci

c

= ± − = −⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

= ±252 3 252 3 40 10 2004 250 10

3 4643

2σ, ,

yc =± 34,64 cm.

Observaţie: Deoarece yc< 40 mm ipoteza adoptată este corectă.

Pentru determinarea abscisei xp, de la care începe zona plastică, se pune

condiţia: Mx= σc⋅Wz, unde:

Fig. 9.38

W cmz = ⋅⋅

−⋅

=

16

4 1212

3 812

74 673 3

3, ,

MP x

xp=

⋅

2,

de unde rezultă:

x WP

mmpc z=

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅⋅

=2 2 240 74 67 10

40 10896

3

3

σ , .

Secţiunea solicitată plastic este reprezentată în figura 9.39.

Fig. 9.39

10. SOLICITĂRI COMPUSE

10.1. Noţiuni introductive

Până acum s-au studiat solicitările simple ale (ER). În practica inginerească

sunt frecvente cazurile când sunt prezente simultan două sau mai multe solicitări

simple. Prezenţa simultană în secţiunea unui element de rezistenţă a două sau

mai multor eforturi produce o solicitare compusă.

În cazul solicitărilor compuse fiecare efort va produce în secţiune câte o

tensiune, respectiv deformaţie, mărimi ce se pot calcula cu formulele învaţate la

solicitările simple. Se pune însă problema însumării acestor tensiuni respectiv

deformaţii şi stabilirii pentru aceste cazuri, a stării limită.

În decursul timpului, rezistenţa materialelor s-a străduit să dea un răspuns la

această întrebare care să poată fi confirmată de practică. Acest răspuns nu este univoc

şi aceasta se va vedea în continuare.

10.2. Starea limită

La punctul 1.14, s-a arătat că ipotezele rezistenţei materialelor sunt aproximări

necesare pentru a putea cuprinde fenomenul fizic complex în relaţii matematice

simple.

De multe ori se depăşeşte limita de proporţionalitate, uneori de elasticitate şi

chiar, în anumite cazuri, cea de curgere producându-se deformaţii permanente

(neelastice respectiv nereversibile). Se ajunge astfel în situaţia când se spune despre

ER că nu rezistă. Faptul că nu rezistă nu implică nicidecum că ER se rupe ci

depăşirea unei stări limită.

Se spune că un ER a atins starea limită când acesta nu mai îndeplineşte

condiţiile tehnice impuse de exploatarea normală, adică funcţionarea acestuia

devine imposibilă.

Stările limită se pot clasifica în două grupe:

I - stări limită de epuizare totală a capacităţii portante, care se poate

caracteriza prin:

a) ruperea ER;

b) atingerea limitei de curgere pe întreaga secţiune a ER şi

c) apariţia fenomenului de instabilitate elastică (flambaj).

II - stări limită de cedare funcţională, care se caracterizează prin:

a) apariţia unor deformaţii elastice sau neelastice mai mari decât cele

permise;

b) apariţia unor vibraţii inadmisibile.

Buna funcţionare a ER este compromisă de existenţa oricăreia din stările

limită de mai sus. Ruperea se produce, în general la materialele fragile şi este cea mai

gravă. La materialele ductile se produc mai întâi, deformaţii plastice mari, ce se pot

observa şi se pot lua măsuri de evitarea lor.

La fel de periculoasă este şi instabilitatea elastică a (ER). şi a doua stare limita

este inaccesibilă deoarece face imposibilă funcţionarea.

10.3. Tensiunea echivalentă

Verdictul dat de ingineri că un ER nu rezistă, înseamnă că s-a depăşit o

anumită stare limită. În cele ce urmează prin stare limită se va considera atingerea

unei caracteristici mecanice sau elastice a materialului până la care se consideră

îndeplinite ipotezele de bază ale rezistenţei materialelor, respectiv sunt aplicabile

relaţiile din teoria elasticităţii. Prin aceasta se restrânge noţiunea de stare limită la

domeniul liniar - elastic.

Pentru a se determina starea limită se consideră cinci criterii:

I. - tensiunea normală maximă;

II. - alungirea specifică maximă;

III. - tensiunea tangenţială maximă;

IV. - energia specifică totală de deformaţie maximă;

V. - energia specifică de schimbarea formei maximă.

Aceste cinci criterii s-au impus din două motive:

a) Prin încercări la întindere - compresiune se pot determina valorile

caracteristicilor mecanice corespunzătoare stării limită ce nu trebuie depăşite;

b) Între tensiunea limită determinată la întindere sau compresiune (ce nu

trebuie depăşită) şi cele cinci criterii, prin care se determină starea limită, se

pot stabili relaţii simple.

Dacă considerăm limita de proportionalitate drept stare limită, celelalte criterii

de stare limită se pot scrie funcţie de σp :

σ σmax ;≤ p εσ

pp

E= ; τ

σp

p=2

; UEpp

1

2

2=σ

; UEfp p1

213

=+

⋅ν

σ . (10.1)

Starea spaţială de tensiune dintr-un punct al ER poate fi echivalată, prin

ipoteză, cu o stare monoaxială de tensiune. Echivalarea se face utilizând un criteriu

din cele cinci. Acest lucru poate fi sintetizat prin figura de mai jos:

Dacă se cunoaste starea limită la solicitarea de întindere sau compresiune se

pot enunţa cele cinci teorii de rezistenţă clasice prin care se stabilesc condiţiile în care

se atinge starea limită într-un punct al unui element de rezistenţă solicitat spaţial.

Verificarea stării limită se face determinând, pentru o stare de tensiune critică dintr-

un punct, pe baza ipotezei de rezistenţă admisă, a unei tensiuni convenţionale, numită

tensiune echivalentă, care trebuie să satisfacă relaţia:

σ σech L≤ . (10.2)

Fig. 10.1

Inegalitatea aceasta poate fi scrisă la limită şi sub forma de egalitate:

σσ

echL

c= , (10.3)

unde, c > 1 este coeficientul de siguranţă corespunzător.

Întrucât tensiunea echivalentă este funcţie de starea de tensiune dinr-un punct

al ER, iar starea limită depinde prin coeficientul de siguranţă de starea reală de

tensiune (σ1, σ2, σ3) rezultă că starea limită se poate exprima printr-o functie:

S(σ1, σ2, σ3) = 0 (10.4)

ce reprezintă o suprafaţă în sistemul de axe (σ1, σ2, σ3). Astfel, starea de tensiune

dintr-un punct al ER se poate reprezenta printr-un punct în sistemul (Oσ1, σ2, σ3).

Coordonatele punctului sunt, în acest caz tensiunile σ1, σ2 şi σ3 adică tensiunile

principale din punctul respectiv al ER.

Dacă punctul P(σ1, σ2, σ3) se află în interiorul suprafeţei (10.4), respectiv

starea de tensiune este inferioară stării limită, se spune ca ER “rezistă”, iar dacă este

situat în exteriorul suprafeţei (10.4) este o stare de tensiune periculoasă (nu

rezistă).

10.4. Teoriile clasice de rezistenţă

În funcţie de cei cinci parametri aleşi pentru atingerea stării limită avem cinci

teorii (ipoteze) de rezistenţă.

10.4.1 Teoria tensiunii normale maxime

Formulată iniţial de Galileo Galilei şi reformulată de Rankine.

Se atinge starea limită într-un punct al unui ER atunci când tensiunea

normală maximă din acel punct ajunge să fie egală cu tensiunea normală limită

de la starea de întindere sau compresiune simplă a materialului ER respectiv.

Această teorie se poate exprima şi prin relaţiile:

− ≤ ≤σ σ σLc Lt1 ,

− ≤ ≤σ σ σLc Lt2 , (10.5)

− ≤ ≤σ σ σLc Lt3 ,

care se pot reprezenta printr-un cub pentru starea spaţială (fig.10.2,a) sau un pătrat

pentru starea plană de tensiune (fig.10.2,b).

Dacă σ σLt Lc≠ , originea sistemului ale axe nu se află în centrul cubului

(respectiv al pătratului).

Această teorie nu corespunde complet realităţii deoarece pentru starea de

compresiune tridimensională (σ σ σ σ1 2 3= = = − L ), pentru care corpul nu poate fi

distrus, trebuie să rezulte σ Lc = ∞ .

De asemenea, în cazul forfecării, pentru care tensiunea limită este τ σL L= / 2 ,

ce corespunde punctului K, din interiorul pătratului şi nu punctului B, care este limita

Fig. 10.2

conform acestei teorii.

Datorită acestor neconcordanţe, teoria tensiunilor normale maxime poate fi

folosită, cu precauţie, numai pentru stări de tensiune la care ruperea se face prin

smulgere (este o teorie de smulgere).

Pentru starea de tensiune cea mai defavorabilă dintr-un punct al ER, tensiunea

echivalentă, conform teoriei tensiunii normale maxime, este:

σ σ σ σ σech L= ≤max ; ;1 2 3 . (10.6)

10.4.2. Teoria alungirii specifice maxime

Această teorie a fost emisă de Barré de Saint-Venant. Conform acestei teorii

se consideră că distrugerea elementului de rezistenţa este cauzată de lungirile

specifice maxime. Într-un punct al unui ER se atinge starea limită când alungirea

specifică maximă εmax, din acel punct, ajunge să fie egală cu valoarea alungirii

specifice limită de la întindere sau compresiune simplă.

ε εσ

max ≤ =LL

E,

sau exprimând prin tensiuni:

− ≤ − ⋅ + ≤σ σ ν σ σ σLC Lt1 2 3( ) ,

− ≤ − ⋅ + ≤σ σ ν σ σ σLC Lt2 3 1( ) , (10.7)

Fig. 10.3

− ≤ − ⋅ + ≤σ σ ν σ σ σLC Lt3 1 2( ) .

Relaţiile (10.7) exprimă suprafaţa limită care este în acest caz, un paralelipiped

înclinat (fig.10.3,a). Pentru starea plană de tensiune se obţine rombul din figura

(10.3,b), ce rezultă din secţionarea paralelipipedului cu planul σ3= 0.

Unghiul α, cu care sunt înclinate laturile rombului, de la teoria a II-a faţă de

pătratul ce reprezintă prima teorie este dat de relaţia:

α= arctg(ν) Această teorie are aproape aceleaşi deficienţe ca şi prima. De aceea se poate

aplica, cu bune rezultate la materiale casante, ca o ipoteză de smulgere.

Tensiunea echivalentă, în acest caz pentru starea spaţială se exprimă prin

relaţia:

σσ ν σ σ

σ ν σ σσech L=

− ⋅ +

− ⋅ +

≤max

( )

( )1 2 3

3 1 2

(10.8)

10.4.3. Teoria tensiunii tangenţiale maxime

A fost formulată de Coulomb şi conform aceste teorii starea limită apare prin

lunecări în planul în care acţionează tensiunea tangenţială maximă. Sub forma actuală

a fost reformulată de Tresca. Conform acestei teorii starea limită într-un punct al

unui ER se atinge atunci când tensiunea tangenţială maximă ajunge sa fie egală

cu valoarea tensiunii tangenţiale (L) de la solicitarea de întindere sau

compresiune simplă.

Aceasta teorie se poate exprima prin:

τσ

max ≤L

2,

condiţie ce este îndeplinită de:

− ≤ ≤τ τ τL L1 ;

− ≤ ≤τ τ τL L2 ;

− ≤ ≤τ τ τ3 3 L .

Ţinând seama că τ σ σ1

2 3

2= ±

− ;τ σ σ2

1 3

2= ± − şi τ σ σ

31 2

2= ± − se

obţine:

− ≤ − ≤σ σ σ σL L1 2 ;

− ≤ − ≤σ σ σ σL L1 3 ; (10.9)

− ≤ − ≤σ σ σ σL L2 3 .

Relaţiile (10.9) reprezintă, pentru semnul egal între tensiuni, o prismă

hexagonală regulată deschisă la capete. Axa prismei este trisectoarea σ σ σ1 2 3= =

Suprafaţa rezultă deschisă la ambele capete deoarece atât pentru compresiune

triaxială σ σ σ σ1 2 3= = = − L cât şi pentru întindere triaxială σ σ σ σ1 2 3= = = L ,

tensiunile tangenţiale sunt nule (fig.10.4.a) şi nu se produc lunecări.

Conform acestei ipoteze, în aceste cazuri, nu se atinge starea limită şi ER nu

este distrus. Concluzia este adevarată numai pentru compresiune uniformă triaxială,

dar nu corespunde cu realitatea pentru întinderea uniformă triaxială.

Fig. 10.4

Starea plană, ce este o secţiune cu planul σ 3 0= (fig. 10.4) este reprezentată

printr-un hexagon neregulat AEFCGH (fig.10.4,b) şi corespunde, pentru σ σ1 2 0⋅ >

cu teoria I şi diferă de aceasta pentru σ σ1 2 0⋅ < . În cazul forfecării pure, când

σ σ τ1 2= − = max , este reprezentată de punctul K de coordonate σL

2 şi − σL

2.

Această teorie a fost verificată experimental şi s-a constatat că ea corespunde

cu realitatea cu excepţia stării de tensiune apropiată de întindere triaxială, când

datorită faptului ca tensiunile tangenţiale sunt mici, nu se produc lunecări.

Nici teoria a - III-a nu este perfectă pentru că:

a) nu ţine seama de influenţa tensiunii normale în planul de lunecare;

b) nu ţine seama de rezistenţa diferită a materialelor la întindere şi

compresiune;

c) neglijează efectul tensiunii intermediare (în calcul se iau numai două

tensiuni principale).

Condiţia de rezistenţă pentru această teorie, se exprimă prin relaţia:

σ σ σ σ σ σ σ σech L= − − − ≤max ( ); ( ); ( )1 2 1 3 2 3 .

Dacă se ţine seama că σ σ σ1 2 3> > , condiţia de rezistenţă devine:

σ σ σ σech L= − ≤1 3 , (10.10)

şi deci este independentă de valoarea tensiunii normale intermediare σ2.

10.4.4. Teoria energiei totale de deformaţie Aceasta teorie a fost formulată de Haigh şi se enunţă astfel: într-un punct al

unui ER se atinge starea limită atunci când energia de deformaţie specifică

ajunge sa fie egală cu valoarea energiei de deformaţie specifică corespunzatoare

solicitării de întindere sau compresiune simplă, adică:

U U L1 1≤ .

Exprimând aceste energii de deformaţie, în functie de tensiuni, se obţine

inegalitatea:

12

221

222

32

1 2 2 3 3 1

2

Ε Ε⋅ + + − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ≤( ( )σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ

σL ,

sau simplificând prin (2E) rezultă:

σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ σ12

22

32

1 2 2 3 3 122+ + − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ≤( ) L

, (10.11)

relaţie ce exprimă un elipsoid.

Pentru starea plană de tensiune se

reprezintă printr-o elipsă ce trece prin punctele

EFGH (fig.10.5). Această teorie de rezistenţă

este de smulgere. Este utilizată numai pentru stări de tensiune apropiate de starea

triaxială de întindere: ( σ σ σ1 2 3

30+ +

> ).

Tensiunea echivalentă, în acest caz, se exprimă cu relaţia:

σ σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ σech L= + + − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ≤12

22

32

1 2 2 3 3 12 ( ) . (10.12)

10.4.5. Teoria energiei specifice de variaţie a formei

A fost formulată de catre Huber - Hencky - Mises şi ia în considerare numai

energia specifică de variaţie a formei.

Conform acestei teorii, într-un punct al unui ER se atinge starea limită

când energia de deformaţie specifică de schimbare a formei, din acel punct,

ajunge sa fie egală cu energia specifică de schimbare a formei corespunzătoare

stării limită de la solicitarea de întindere sau compresiune simplă.

U Uf fL1 1≤ ,

sau, exprimând în funcţie de tensiuni se obţine:

Fig. 10.5

[ ]16

131 2

22 3

23 1

2 2+ ⋅ − + − + − ≤ + ⋅ν σ σ σ σ σ σ ν σΕ Ε

( ) ( ) ( ) L ,

iar după simplificări se obţine:

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ12

22

32

1 2 2 3 3 12+ + − ⋅ − ⋅ − ⋅ ≤ L . (10.13)

Relaţia (10.15) reprezintă un cilindru deschis la ambele capete, având ca axă

bisectoarea σ σ σ1 2 3= = (fig.10.6,a)

Secţiunea normală la axa cilindrului este un cerc, iar secţiunea făcută cu planul

σ3=0, corespunzătoare stării plane de tensiune, este o elipsă circumscrisă hexagonului

neregulat de la teoria a III-a, fig. 10.6b.

Tensiunea echivalentă în acest caz se exprimă cu formula:

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σech L= + + − ⋅ − ⋅ − ⋅ ≤12

22

32

1 2 2 3 3 1 ) . (10.14)

Această teorie este apropiată de realitate cu excepţia stării triaxiale uniforme de

întindere. Este superioară teoriei a III-a deoarece ţine seama şi de tensiunea

intermediară.

Fig. 10.6

10.5. Particularizări ale teoriilor de rezistenţă

10.5.1. Starea plană de tensiune

Înlocuind în relaţiile de mai sus σ3 = 0 rezultă starea plană de tensiune

caracterizată numai prin tensiunile principale σ 1 şi σ 2 .

Relaţiile pentru tensiunile echivalente devin:

I ech L) max ;σ σ σ σ= ≤1 2 ;

II ech L) max ;σ σ ν σ σ ν σ σ= − ⋅ − ⋅ ≤1 2 2 1 ;

III ech L) σ σ σ σ= − ≤1 2 ;

IV ech L) σ σ σ ν σ σ σ= + − ⋅ ⋅ ≤12

22

1 22 ;

V ech L) σ σ σ σ σ σ= + − ⋅ ≤12

22

1 2 . (10.15)

În figura 10.7 s-au reprezentat prin aceste relaţii :

- pătratul ABCD - conform teoriei I;

- rombul LMNP - conform teoriei a - II-a;

Fig. 10.7

- hexagonul neregulat AEFCGHA - conform teoriei a - III -a;

- elipsa ERFSGTHUE - conform teoriei a - IV -a;

- elipsa EVFCGWHAE - conform teoriei a -V-a.

Din această figură se observă că în punctele de pe axe, adică la întindere sau

compresiune simplă toate ipotezele de rezistenţă coincid. Suprafaţa haşurată

interioară reprezintă stările plane σ σ1 2, care nu depăşesc starea limită după toate

ipotezele, iar suprafaţa haşurată exterioară reprezintă stările de tensiune care, după

toate ipotezele, conduc la depăşirea stării limită. Suprafaţa nehaşurată reprezintă zona

în dispută între diferitele teorii de rezistenţă.

10.5.2. Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare

În cazul particular al barelor, în secţiunile cărora pot exista numai tensiuni

normale σ σ= x şi tangenţiale τ τ τ= +xy xz2 2 , tensiunile principale se obţin cu

relaţia:

σ σ σ τ1 22 2

212

4, = ± + ⋅ ,

care înlocuite în relaţiile (10.17), pentru ν= 0,3 dau formulele:

L22

ech )4(5,0)I σ≤τ⋅+σ+σ⋅=σ :

L2222

ech 465,035,042

12

1()II σ≤τ⋅+σ⋅+σ⋅=τ⋅+σ⋅ν+

+σ⋅ν−

=σ ;

III ech L) σ σ τ σ= + ⋅ ≤2 24 ;

IV ech L) ( ) ,σ σ ν τ σ τ σ= + + ⋅ = + ⋅ ≤2 2 2 22 1 2 6 ;

V ech L) σ σ τ σ= + ⋅ ≤2 23 . (10.16)

10.5.3. Aplicarea teoriilor de rezistenţă la starea de forfecare pură

Pentru starea de forfecare pură, când σ σ τ1 2= − = înlocuind în relaţiile

(10.17) şi luând ν= 0,3 acestea devin:

I. σ τ τech L= ≤ , deci τ σL L= ;

II. σ ν τech L= + ⋅( )1 , deci LL

L 7692,01

σ⋅=ν+

σ=τ ;

III. σ τ σech L= ⋅ ≤2 , deci τ σL L= ⋅0 5, ;

IV. σ τ ν σech L= ⋅ + ≤2 1( ) , deci τ σν

σLL

L=+

= ⋅2 1

0 62( )

, ;

V. σ σech L= ⋅3 , deci τ σ σLL

L= = ⋅3

0 5774, . (10.17)

Admiţând că legea lui Hooke poate fi extinsă până la limita de curgere, se

poate exprima limita de curgere la torsiune în funcţie de limita de curgere la tracţiune

sau compresiune, conform teoriilor de rezistenţa, astfel:

I) τ σc c= ,

II) τ σc c= ⋅0 7692, ,

III) τ σc c= ⋅0 5, ,

IV) τ σc c= ⋅0 62, ,

V) σ σc c= ⋅0 5774, . (10.18)

10.6 Criterii de alegere a teoriilor de rezistenţă

În general pentru materialele tenace se folosesc teoriile de rupere prin lunecare,

adică teoria V sau III, iar pentru materialele casante se utilizează teoriile de rupere

prin smulgere, respectiv teoria II sau teoria I. Ordinea indicată a teoriilor este de

preferat.

Experimental s-a constat că modul de rupere depinde în mare măsură de starea

de tensiune la care este supus ER. Din aceste considerente se recomandă alegerea

teoriei de rezistenţă în funcţie de semnul tensiunii medii:

σ σ σ σm = + +1 2 3

3 şi anume:

a) pentru σ m < 0 , se alege o teorie de rupere prin lunecare, adică teoria V sau

teoria III;

b) pentru σ m > 0 , se alege o teorie de rupere prin smulgere, adică teoria II sau

teoria I.

De asemenea, pentru alegerea teoriilor de rezistenţă se poate utiliza criteriul

lui Davidenko - Fridmann. Conform acestui criteriu se defineşte starea mecanică

de solicitare prin raportul:

[ ])(2)II()III(

m321

31

ech

ech

σ+σ⋅ν−σ⋅σ−σ

=σσ

= , (10.19)

raport ce reprezintă panta unei drepte ce trece prin origine într-un sistem de axe Oστ.

Diagrama din figura 10.8, se obţine pentru orice material pentru care s-a determinat

experimental σL şi τL.

Dreptele de pantă m prezentate în

figură, pentru diferite valori ale stării

mecanice de solicitare, sunt:

- dreapta - 1, cu panta m=0, ce se

obţine pentru σ σ σ1 2 3 0= = > ,

reprezintă întindere uniformă după

trei axe;

- dreapta - 2, cu panta 0 : m : 0,5 o solicitare dată de σ σ σ1 2 3 0> > >

(întindere după 3 direcţii);

- dreapta - 3, cu panta m = 0,5 o solicitare de întindere simplă

σ 1 0> ,σ σ2 3 0= = ;

Fig. 10.8

- dreapta - 4, cu panta m = 0,7692 o solicitare de forfecare pură: σ 2 0= ;

σ 3 0= ;

- dreapta - 5, cu panta m = 1,67, o solicitare de compresiune simplă,

σ σ1 2 0= = , σ 3 0< .

Pentru a alege teoria de rezistenţă ce trebuie utilizată, după acest criteriu, se

calculează panta dreptei cu relaţia (10.19) şi se trasează dreapta respectivă pe

fig.10.11, apoi se procedează astfel:

a) dacă dreapta trasată taie întâi verticala σ= σL, înseamnă că ruperea se va

produce prin smulgere, se impune să se aleagă o teorie de smulgere (teoria II sau I);

b) dacă dreapta trasată taie întâi orizontala τ = τL, atunci ruperea se va produce

prin lunecare şi se impune să se aleaga o teorie de rupere prin lunecare (t. V sau III).

10.7 Calculul de rezistenţă al barelor supuse la solicitări compuse

Prin solicitare compusă se înţelege acţiunea simultană asupra barei a două sau

mai multe eforturi, cazuri ce se întâlnesc frecvent în aplicaţiile inginereşti. Dar

fiecare efort produce câte o tensiune, unele tensiuni normale, altele tangenţiale.

Datorită acestui fapt, solicitările compuse se pot studia având în vedere tensiunile ce

le produc.

După tipul de tensiune produsă, eforturile ce produc solicitarea compusă se

grupează în urmatoarele trei grupe:

a) N şi M (My şi Mz) ce produc tensiuni normale;

b) T (Ty şi Tz) şi Mt ce produc tensiuni tangenţiale;

c) N şi T sau N şi Mt, M şi Mt, M şi Mt, N, M, Mt, ce produc atât tensiuni

normale cât şi tangenţiale.

În cazurile a şi b când tensiunile au aceeaşi direcţie acestea se însumeaza

algebric, iar când au direcţii diferite se însumează geometric.

În cazul c, cele două tipuri de tensiuni σ

şi τ nu se însumează algebric şi nici geometric

ci numai folosind una din teoriile de rezistenţă

(cea corespunzatoare).

După forma secţiunii grupa c de solicitare

compusă se subdivizează, pentru analiză în

două subgrupe:

- bare de secţiune circulară sau inelară şi

- bare de secţiune oarecare.

10.7.1. Întindere sau compresiune excentrică

Solicitarea de întindere sau compresiune excentrică se produce în barele

încărcate cu o forţă paralelă cu axa bazei (cazul a).

Considerăm o bară, încarcată în punctul A, de coordonate yo şi z0 cu forţa P,

paralelă cu axa barei (fig.10.9). Reducând forţa P în centrul de greutate al secţiunii se

obţin eforturile:

- forţa axială,

N = P,

-momentul încovoietor, având componentele:

M P yz = ⋅ 0 şi M P zy = − ⋅ 0 ,

unde, y0 şi z0 sunt coordonatele punctului de aplicare al forţei P.

Aceste eforturi produc, într-un punct oarecare, de coordonate y şi z a secţiunii,

tensiunile:

σ tNA

= , σ iz

z

MI

y' = ⋅ şi σ iy

y

MI

z'' = − ⋅ .

Aceste tensiuni având aceeaşi direcţie, paralelă cu axa barei se vor însuma

algebric:

Fig. 10.9

σ σ σ σ= + + = + ⋅ − ⋅tz

z

y

y

NA

MI

yMI

z' '' .

Înlocuind valorile eforturilor, tensiunea totală este:

σ = +⋅ ⋅

+⋅ ⋅

= ⋅ +⋅

⋅ +⋅

⋅NA

P y yI

P z zI

NA

A yI

y A zI

zz y z y

0 0 0 01( ) .

|inând seama că i IAz

z= şi iIAy

y= , reprezintă razele de inerţie, tensiunea

într-un punct al secţiunii se obţine din relaţia:

σ = ⋅ +⋅

+⋅N

Ay y

iz z

iz y

( )1 02

02 . (10.20)

Axa neutră ce corespunde punctelor pentru care σ = 0 , se obţine prin anularea

parantezei, adică din ecuaţia:

1 002

02+

⋅+

⋅=

y yi

z ziz y

, (10.21)

ce reprezintă ecuaţia unei drepte având tăieturile pe axele Oy şi Oz:

y iyM

z= −2

0

, zM = 0 , yN = 0 , z izN

z= −2

0. (10.22)

Din relaţiile (10.24) rezultă că tăieturile axei neutre pe axele de inerţie

principale au semne contrare coordonatelor punctului de aplicaţie al forţei. Înseamna

că axa neutră va trece prin cadranul opus cadranului în care se află punctul de

aplicaţie al forţei.

Aplicaţia 10.1 Să se determine sarcina capabilă să o suporte stâlpul din figura

10.10 confecţionat dintr-un profil I30, din OL 37 cu σ a =150 MPa. Să se traseze

diagrama de variaţie a tensiunilor pe secţiune.

Rezolvare: Mărimile geometrice pentru profilul I30 (vezi anexa 9) sunt

A = 69,1cm2, iz = 11,9 cm, iy = 2,56 cm, şi b = 125 mm.

Coordonatele punctului de aplicare a forţei, faţă de sistemul de axe ales

sunt y0 = - 140 mm şi z0 = - 60mm. Punctul cel mai solicitat (tensiune maximă în

valoare absolută), este punctul 1 (cel mai depărtat punct din cadranul forţei), de

coordonate y mm1 150= − şi z1 = -62,5 mm.

Din relaţia (10.22) scrisă pentru punctul 1 se obţine:

P Ay y

iz z

i

kNcapa

z y

=⋅

+⋅

+⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

+⋅

+⋅

=σ

1

150 69 1 10 10

1 150 40119

62 5 6025 6

126 31 0

21 0

2

2 3

2

,,

,

,

Adopt: Pcap =125 kN.

Intersecţia axei neutre cu axele de

coordonate sunt :

y iy

mmMz= − = −

−=

2

0

2119150

94 4, ,

zM = 0 ;

ziz

mmNy= − = −

−=

2

0

225 660

10 9, , ,

yN = 0.

Tensiunile extreme pentru

punctele 1 şi 2 rezultă:

σ11 0

21 0

2

3

2 2 21 125 10691 10

1 150 140119

625 60256

1484= ⋅ +⋅

+⋅

=− ⋅

⋅⋅ +

⋅+

⋅= −

NA

y yi

z zi

MPaz y

( ),

( ,,

) , ,

σ22 0

22 0

2

3

2 2 21 125 10691 10

1 150 140119

62 5 60256

112 2= ⋅ +⋅

+⋅

=− ⋅

⋅⋅ −

⋅−

⋅=

NA

y yi

z zi

MPaz y

( ),

( ,,

) , .

Poziţia axei neutre şi variaţia tensiunilor este dată în fig. 10.10.

Fig. 10.10

10.7.2. Calculul de rezistenţă al arborilor de secţiune circulară şi

inelară solicitaţi la încovoiere şi răsucire

Dintre ER solicitate compus în care se produc atât tensiuni normale cât şi

tangenţiale o frecvenţă deosebit de mare în aplicaţiile inginereşti o au arborii, osiile

motoare, şuruburile, etc.

Arborii sunt organe de maşini care transmit prin intermediul roţilor dinţate, a

roţilor de curea sau a cuplajelor, momente de torsiune şi sunt solicitaţi la încovoiere

simplă. Calculul de rezistenţă al arborilor se face ţinând seama numai de momentele

de încovoiere şi de torsiune, neglijând efectul forţei tăietoare. Datorită acestor

momente tensiunile normale şi tangenţiale maxime ce se produc în secţiunile

transversale periculoase se determină în relaţiile:

σmax =MW

i

z

şi τmax =MW

t

p

.

Având în vedere că la o secţiune circulară sau inelară, W Wz p= 2 , tensiunile

maxime, exprimate numai în funcţie de modulul de rezistenţă axial, sunt:

σmax =MW

i

z

şi τmax =MW

t

z2.

Deoarece, atât la încovoiere cât şi la torsiune aceste tensiuni sunt maxime în

cele mai depărtate puncte faţă de axa neutră (Oz în fig. 10.11), pentru aceste puncte

se calculează tensiunea echivalentă. Utilizând teoria III de rezistenţă (III, 10.16) se

obţine:

σ σ τechz

t

z

MW

MW

MW

= + ⋅ = + =+2 2

2

2

2

2

2

4 42( )

.

În care, în cazul teoriei III, s-a

notat cu:

Fig. 10.11.

M M Mech i t= +2 2 ,

mărime ce se numeşte moment încovoietor echivalent.

Momentul echivalent este un moment de încovoiere convenţional, calculat cu

ajutorul unei teorii de rezistenţă prin care se echivalează o solicitare compusă de

încovoiere şi torsiune, numai pentru arborii de secţiune circulară sau inelară, cu o

solicitare de încovoiere.

Procedând în mod analog cu toate relaţiile (10.16) rezultă urmatoarele expresii

pentru momentul încovoietor echivalent:

I) M M M Mech i i t== ⋅ + +0 5 2 2, ( ) ,

II) M M M Mech i i t= ⋅ + ⋅ +0 35 0 65 2, , ,

III) M M Mech i t= +2 2 ,

IV) M M Mech i t= + ⋅2 20 65, ,

V) M M Mech i t= + ⋅2 20 75, . (10.23)

Utilizând relaţiile (10.23) se obţine valoarea momentului încovoietor

echivalent. Acesta se utilizează în calculul de rezistenţă ca şi cum arborele ar fi

solicitat numai la încovoiere de către un moment având valoarea lui Mech,

Astfel, calculul de rezistenţă la arbori de secţiune circulară şi inelară

solicitaţi de Mi şi Mt va fi analog cu cel prezentat la încovoiere şi anume:

a) problemele de verificare:

σ σechech

za

MW

= ≤ , (10.24)

b) problemele de capacitate de încărcare:

M Wechcap a z= ⋅σ , (10.25)

c) problemele de dimensionare:

d Mnec

ech

a

=⋅

323π σ

sau D Mknec

ech

a

=− ⋅ ⋅

321 43

( ) π σ. (10.26)

În cazul arborilor, tensiunea admisibilă se ia mai mică şi anume σa = σa III,

deoarece s-a neglijat efectul forţei taietoare şi faptul că arborele este solicitat şi la

oboseală.

Aplicaţia 10.2 Să se dimensioneze arborele din figura (10.12,a), confecţionat

din OL 50 cu σa = 80 MPa ştiind că are secţiune inelară cu d = 0,8 D.

Rezolvare: Forţele P şi Q de la periferia celor două roţi se reduc în centrele

roţilor respective, rezultând schema de încărcare din figura (10.12,b), prin care

arborele este solicitat de forţele P şi Q la încovoiere (se neglijează solicitarea de

forfecare) şi de momentele M M P Rt t, 3 1= ⋅ şi M Q Rt4 2= ⋅ la torsiune.

Din ecuaţia de echilibru Mtx = 0 se determină sarcina Q:

Q P R MR

kNt=⋅ −

=⋅ −

=1

2

20 0 2 2 40 4

4, ,,

.

Momentele de torsiune sunt:

M M kNmt t1 3 2 4− = − = − , ,

M M P R kNmt t3 4 1 2 4 20 0 2 1 6− = − + ⋅ = − + ⋅ =, , , ,

Mt4 2 0− = ,

iar diagrama momentelor de torsiune este

reprezentată în figura (10.12,c).

Reacţiunile din lagăre sunt:

V kN120 1 4 0 4

1 218=

⋅ + ⋅=

,,

şi

V kN220 0 2 4 0 8

1 26= ⋅ + ⋅ =, ,

,,

iar momentele de încovoiere:

M V kNm3 1 0 2 18 0 2 3 6= ⋅ = ⋅ =, , , şi Fig. 10.12

M V kNm4 2 0 4 6 0 4 2 4= ⋅ = ⋅ =, , , .

Diagrama momentelor de încovoiere este reprezentată în figura (10.12,d).

Secţiunea periculoasă, unde se face calculul de rezistenţă este secţiunea (3)

unde Mi şi Mt au valori maxime (în valoare absolută) şi pentru această secţiune

momentul echivalent este:

M M M kNmech V i t= + ⋅ = + ⋅ =2 2 2 20 75 3 6 0 75 2 4 4 157, , , , , .

Diametrul necesar determinat de relaţia 10.26, pentru secţiune inelară este:

D Mk

mmnecech

a

=⋅ ⋅ −

=⋅ ÷⋅ ⋅ −

=32

132 4 157 10

80 1 0 896 4243

6

43

π σ π( ),( , )

, .

Se adoptă: D = 95 mm şi d = 76 mm.

Deoarece s-a adoptat o valoare inferioară celei calculate se va face obligatoriu

verificarea pentru a se vedea dacă nu s-a depăşit cu mai mult de 5% ⋅ σa.

( ) ( )σπ π

σmax,

,, ,=

⋅⋅ ⋅ −

=⋅ ⋅

⋅ ⋅ −= < ⋅ =

321

32 4 157 1095 1 0 8

83 65 1 05 843 4

6

3 4

MD k

MPa MPaech

efca .

10.7.3. Calculul de rezistenţă al barelor de secţiune oarecare supuse

unor solicitări compuse

Eforturile ce produc tensiuni normale într-o secţiune a barei sunt forţa axiala şi

momentul încovoietor. Tensiunile normale au direcţia axei astfel că se pot însuma

algebric în orice punct al secţiunii. Valorile acestor tensiuni într-un punct oarecare al

secţiunii pot fi calculate cu una din relaţiile:

σ = NA

, σ = ⋅MI

yz

z

, σ = ⋅ − ⋅MI

yMI

zz

z

y

y

, σ = + ⋅ − ⋅NA

MI

yMI

zz

t

y

y

. (10.27)

Tensiunile normale maxime, ce se produc în secţiunea periculoasă şi în

punctele cele mai îndepărtate de axa neutră se calculează cu una din relaţiile:

σmaxmax ,=

NA

σmaxmax ,=

MWz

σmax ,= +MW

MW

z

z

y

y

σmax = + +NA

MW

MW

z

z

y

y

. (10.28)

Tensiunea tangenţială produsă de momentul de răsucire se calculează cu una

din relaţiile:

τ ttM

k h b=

⋅ ⋅ 2 , τ ttM

t=

⋅ ⋅2 Ω, τ t

t

td

MI

t= ⋅ , (10.29)

în funcţie de forma secţiunii barei, dreptunghiulară, profil subţire închis sau deschis,

sau:

τ tt

t

MW

= ,

de la generalizarea relaţiilor de calcul la răsucire (vezi § 8.9).

În toate aceste cazuri trebuie avut în vedere că aceste tensiuni sunt maxime pe

conturul exterior al secţiunii şi au direcţia tangentă la contur.

Forţa tăietoare produce tensiuni tangenţiale ce se calculează cu formulele lui

Juravski:

τ xyz

z

T Sb I

=⋅⋅

şi τ xzz

z

T St I

=⋅⋅

'

. (10.30)

Tensiunile tangenţiale dintr-un punct oarecare al secţiunii dacă au direcţii

diferite se vor însuma geometric cu relaţia:

τ τ τ τ τ α= + + ⋅ ⋅ ⋅t f t f2 2 2 cos , (10.31)

unde α este unghiul format de cele două tensiuni.

Întrucât tensiunile tangenţiale maxime τxy şi τt sunt pe conturul exterior, unde

iau valori maxime şi sunt tangente la contur, pentru toate punctele de pe contur

unghiul α poate fi 0o sau 180o. Astfel că pe conturul secţiunii tensiunile

tangenţiale se însumează algebric. În general însumarea se face în punctele

secţiunii în care cele două tensiuni sunt maxime şi au acelaşi sens (α = 0o):

τ τ τmax max= + = +⋅⋅t xy

t

t z

MW

T Sb I

0 (10.32)

Pentru barele lungi, tensiunile tangenţiale produse de forţa tăietoare au valori

mici, în comparaţie cu τt şi ca atare nu se va lua în considerare efectul forţei taietoare

ci numai cel al momentului de răsucire, astfel că:

τ τmax max .≅ =tt

t

MW

(10.33)

Ordinea operaţiilor în calculul de rezistenţă al barelor de secţiune

oarecare este urmatoarea:

a) Se trasează diagramele de eforturi, se evidenţiază secţiunile periculoase (unde

eforturile sunt maxime) şi se notează valorile eforturilor din fiecare secţiune

periculoasă. În cazul calculului de capacitate de încărcare este bine ca în loc de valori

să se scrie expresiile literare ale eforturilor.

b) Se efectuează calculul de rezistenţă cerut de problema respectivă şi anume:

- calculul de verificare al barei: constă în calcularea şi trasarea diagramei de

variaţie a tensiunilor pentru fiecare efort din secţiunea periculoasă. Pentru punctele

secţiunii cu tensiuni maxime se calculează tensiunile echivalente ce se compară cu

tensiunea admisibilă;

- sarcina capabilă: În acest caz trebuie ca eforturile şi tensiunile sa fie exprimate în

funcţie de sarcina P, necunoscută, apoi din condiţia σ σmax ≤ a se determină sarcina

capabilă P. Acest calcul este posibil numai dacă expresiile eforturilor pot fi exprimate

în funcţie de un singur parametru şi anume forţa P.

Dimensionarea barei solicitate compus este de fapt o predimensionare unde

se consideră:

σ σap a= ⋅( , ... , )0 5 0 9 , (10.34)

şi se calculează dimensiunile secţiunii ţinând seama numai de efortul preponderent.

Se adoptă dimensiunile şi apoi se face verificarea luând în considerare tensiunile

produse de toate solicitările din secţiunea periculoasă.

Aplicaţia 10.3 Să se verifice bara din figura 10.13 ştiind că este confecţionată

din OL 70 cu σa=180 MPa.

Rezolvare: Diagramele de eforturi sunt reprezentate sub bară şi se observă că

secţiunea periculoasă este secţiunea din încastrare (secţiunea B.)

Mărimile geometrice necesare sunt:

433

i2

i0zoiz cm21212

84,56,96)AyI(I =⋅−⋅

=⋅+= ,

S S1 4 0= = ,

S S cm2 336 0 8 4 4 2112= = ⋅ ⋅ =, , , ,

S S cmG = + ⋅ ⋅ =234 0 6 2 25 92, , ,

S cmz' , , , ,= ⋅ ⋅ =2 7 0 8 4 4 9 504 3 ,

I b t cmt = = ⋅ ⋅ + ⋅ =∑13

13

2 6 0 8 8 0 6 2 6243 3 3 4( , , ) , ,

W It

cmtdt= = =

max

,,

,2 6240 8

3 28 3 ,

Fig. 10.13

W It

cmtdit

i

= = =2 624

0 64 373 3,

,, .

Tensiunile corespunzatoare solicitărilor din secţiunea periculoasă sunt:

- la încovoiere:

σ σ1 4

6

4

6 10 48212 10

135 9= − =⋅

=− ⋅ ⋅ −

⋅=

M yI

MPai i

z

( ) , ,

σ σ2 33

6

4

6 10 40212 10

113 2= − =⋅

=− ⋅ ⋅ −

⋅=

M yI

MPai

t

( ) , ,

- la forfecare:

τ τxy xy1 4 0= =

τ τxy t xy tt z

T Sb I

MPa2 32

2

3 3

424 10 2112 10

60 212 103 985= =

⋅⋅

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=, , ,

τ τxy i xy ii z

T Sb I

x x xx x

MPa2 32

2

3 3

4

24 10 2112 106 212 10

39 85= = ⋅ = =, , ,

τ GG

G z

T Sb I

MPa= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=⋅

24 10 25 92 106 212 10

48 913 3

4

, , ,

τ xzz

z

T St I

MPamax

' , ,= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=⋅

24 10 9 504 108 212 10

13 453 3

4 ,

- la rasucire:

τ tt

td

MW

MPamax,,

,= = ⋅⋅

=0 144 103 28 10

43 96

3 ,

τ tit

tdi

MW

MPa= = ⋅⋅

=0 144 104 373 10

32 936

3

,,

, .

Diagramele de variaţie a tensiunilor, pe secţiunea periculoasă sunt reprezentate

în figura 10.14.

Calculând tensiunile echivalente cu una din teoriile de rezistenţă (teoria a V-a)

şi comparând cu rezistenţa admisibilă se obţin:

σ σ σ τ σech ech aMPa1 4 1

212 2 23 135 9 3 43 9 155 7= = + ⋅ = + ⋅ = <, , , ,

σ σ σ τ σech ech t at tMPa

2 3 22

22 2 23 113 2 3 43 9 13 45 3 985 150 8= = + ⋅ = + ⋅ + + = <, ( , , , ) ,

a222

i222echech MPa4,169)93,3285,39(32,1133

i3i2σ<=+⋅+=τ⋅+σ=σ=σ

σ τ σechG G aMPa= ⋅ = ⋅ + = <3 3 48 91 32 93 1418( , , ) ,

Bara rezistă.

Aplicaţia 10.4 Să se determine momentele capabile să le suporte secţiunea

periculoasă a barei din figura 10.15, dacă M Mt i= ⋅2 şi σa = 150 MPa.

Rezolvare: Mărimile geometrice necesare sunt:

W Iy

cmzz= =

⋅ − ⋅⋅

=max

, ,,

,20 15 19 4 14 412 7 5

106 43 3

3 ,

Fig. 10.14

W t cmt = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =2 2 19 7 14 7 0 3 173 8 3Ω min , , , , .

Deoarece cele mai solicitate puncte ale secţiunii sunt cele de pe liniile 1 şi 2

(vezi diagramele tensiunilor) sarcinile capabile se vor determina cu ajutorul unei

teorii de rezistenţă (teoria III în acest caz) scrisă pentru acestea:

2t

2z

i

2

t

t2

z

i21

21ech W

16W1M

WM

4WM

41 +⋅=

⋅+

=τ⋅+σ=σ

din care se obţine,

M W WW W

kNmi capa z t

t z

,, ,

, ,,=

⋅ ⋅

+ ⋅=

⋅ ⋅

⋅ + ⋅=

σ2 2 3 2 216

150 106 4 173 810 173 8 16 106 4

6 033 .

Se adoptă: Mi cap = 6 kNm şi Mt cap= 12 kNm.

Fig. 10.15

Teorie Si Aplicatii Rezolvate de Rezistenta Materialelor

Documents

Transcript of Teorie Si Aplicatii Rezolvate de Rezistenta Materialelor