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Tema 6 - Analiz clasa a 11-a

1

Tema 6 Analiz - clasa a 11-a

1) S se calculeze limitele irurilor definite prin

termenul general:

a)

( ) [(

) ];

b)

;

c)

;

d)

;

e)

;

f)

;

g)

;

h)

;

i)

( );

j)

;

k) ( )

( ) ;

l) (

)

;

m)

n)

;

o)

;

p) ( )

;

q) ( )

( );

r) ( )

( );

s) ( )

( )

;

t)

.

2) S se calculeze limitele irurilor definite prin:

a)

;

b)

;

c)

;

d) ;

e) ;

f) ;

g) ( );

h) ( );

i) (

)

;

j)

( );

k)

;

l)

.

3) Calculai:

a)

(

);

b)

;

c)

(

)

;

d)

[ ( )

( )]

;

e)

(

);

f)

g)

;

h)

( )

( );

i)

( )

( );

j)

( )

;

k)

(

)

;

l)

;

m)

(

)

;

n)

(

)

;

o)

(

);

p)

(

);

q)

(

);

r)

;

s)

( )

( )

;

t)

;

u)

(

)

;


2

v)

(

).

4) S se afle , i , astfel nct:

a)

[

( )] ;

b)

(

) ;

c)

(

)

;

d)

( )

;

e)

( ) .

5) Fie irul (

) (

)

(

), .

a) S se aduc la forma cea mai simpl.

b) S se arate c

, oricare ar fi

.

c) S se calculeze

.

6) S se studieze convergena irurilor:

a) , , ;

b) , , ,

[ ];

c) ,

, ;

d) ,

, .

n caz de convergen, s se calculeze limita.

7) Fie ( ) o progresie geometric cu

i raia , i

,

.

a) S se calculeze i , n funcie de

i .

b) tiind c

i

, s

se afle i .

8) Calculai:

a)

;

b)

;

c)

;

d)

;

e)

;

f)

;

g)

;

h)

;

i)

(

);

j)

( );

k)

( );

l)

(

);

m)

(

);

n)

(

);

o)

;

p)

;

q)

;

r)

( )

;

s)

(

)

;

t)

[ ( ) (

)];

u)

( )

( );

v)

;

w)

;

x)

( )

( );

y)

( )

( );

z)

(

).

9) Calculai:

a)

(

)

;

b)

(

)

;

c)

(

);

d)

(

);

e)

( )

( );

f)

( )

( );

g)

( );


3

h)

( );

i)

;

j)

;

k)

[ ( ) ];

l)

;

m)

(

)

;

n)

(

)

;

o)

( )

.

10) Calculai:

a)

( );

b)

( );

c)

( );

d)

( );

e)

( );

f)

;

g)

;

h)

;

i)

;

j)

;

k)

;

l)

| |;

m)

;

n)

;

o)

;

p)

;

q)

;

r)

;

s)

(

)

;

t)

(

)

;

u)

(

)

;

v)

(

)

;

w)

(

)

;

x)

(

)

;

y)

(

)

;

z)

;

11) Calculai:

a)

;

b)

;

c)

;

d)

( ) ;

e)

(

)

;

f)

( );

g)

( );

h)

( ).

12) Calculai:

a)

;

b)

( ) ;

c)

( ) ;

d)

( );

e)

(

);

f)

( )

( );

g)

;

h)

( ) ;

i)

(

);

j)

( )

;


4

k)

;

l)

( )

( );

m)

( )

( );

n)

(

)

;

o)

(

);

p)

( );

q)

( );

r)

(

)

;

s)

( )

( ) ( ) ;

t)

;

u)

(

);

v)

;

w)

.

13) Calculai:

a)

( );

b)

( );

c)

( );

d)

( );

e)

;

f)

( );

g)

( )

;

h)

( );

i)

;

j)

;

14) Stabilii dac urmtoarele funcii au limit n

punctul indicat:

a) , ( ) {

,

;

b) { } , ( )

( ) ,

c) , ( )

, ;

d) , ( ) { | |

| |

, .

15) S se determine pentru care funcia

,

( ) {

are limit n

.

16) S se determine pentru care funcia

{ } ,

( ) {

( )

are limit n .

17) S se determine , astfel nct s fie

ndeplinite egalitile:

a)

(

) ;

b)

( ) ;

c)

( ) ;

d)

(

)

;

e)

.

18) S se determine asimptotele funciilor

( D este domeniul maxim de

definiie) , definite prin:

a) ( )

;

b) ( )

;

c) ( )

;

d) ( ) ;

e) ( ) ;

f) ( ) ;

g) ( ) ;

h) ( )

;

i) ( )

;

j) ( )

;

k) ( ) ( );

l) ( )

;

m) ( )

;

n) ( ) ;


5

o) ( ) ;

p) ( )

;

q) ( )

;

r) ( ) | |

;

s) ( ) ;

t) ( )

;

u) ( ) .

19) Fie { } , ( )

.

a) S se determine asimptotele la graficul

funciei .

b) S se calculeze

[ ( ) ( )

( )].

20) Fie , ( )

.

a) S se determine i , astfel nct

( )

.

b) Pentru s se determine

asimptotele la graficul funciei.

( este domeniul maxim de definiie)

21) Se consider funcia , ( )

. S se determine asimptota la

graficul funciei spre .

22) Fie ( ) , ( )

. S se

calculeze:

a)

( );

b)

[ ( )]

.

23) S se determine limitele laterale n :

a) ( )

;

b) ( )

( ) ;

c) ( )

.

24) S se calculeze:

a)

;

b)

;

c)

;

d)

;

e)

;

f)

(

);

g)

(

)

;

h)

;

i)

;

j)

;

k)

(

)

;

l)

;

m)

;

n)

( ) (

);

o)

(

)

;

p)

(

);

q)

;

r)

[

(

)

]

.

25) S se determine , astfel nct urmtoarele

funcii s fie continue pe :

a) ( ) {

;

b) ( ) {( )

.

26) S se indice punctele de discontinuitate i

natura lor pentru funcia , dac:

a) ( ) {

;

b) ( ) {

;

c) ( ) {

.


6


{

( ]

( ]

( )

[ )

.

a) S se arate c i sunt puncte

de discontinuitate pentru funcia i s

se determine natura lor.

b) S se determine domeniul de

continuitate al funciei .

28) S se determine pentru care

funcia ,

( ) {

(

)

este

continu n , ( ) ( ) i exist

( ) ( )

.


.

a) S se determine dac funcia poate fi

prelungit prin continuitate n i s se

scrie prelungirea ei prin continuitate.

b) S se determine asimptota la graficul

funciei spre .

30) S se precizeze dac funciile urmtoare pot

fi prelungite prin continuitate n i s

se scrie prelungirile lor prin continuitate:

a) ( )

;

b) ( )

;

c) ( )

;

d) , ( )

;

31) S se studieze continuitatea funciei

, ( )

.

32) S se arate c fiecare ecuaie are cel puin o

soluie pe intervalul indicat:

a) pe [ ];

b) pe ;

c) pe (

).

33) S se arate c urmtoarele ecuaii au cel

puin o soluie n intervalul indicat:

a) ( );

b)

[ );

c) , [ ].

34) S se arate c ecuaia are

trei rdcini reale distincte i s se calculeze

partea ntreag a fiecrei rdcini.

35) S se rezolve inecuaiile:

a)

;

b) (

)

.

36) S se calculeze derivatele funciilor:

a) ( ) ;

b) ( )

;

c) ( )

;

d) ( )

;

e) ( ) ;

f) ( ) ;

g) ( ) ;

h) ( )

;

i) ( ) ( ) ;

j) ( ) ;

k) ( )

;

l) ( )

;

m) ( ) ( );

n) ( ) ;

o) ( ) ( ) ;

p) ( ) ;

q) ( ) ;

r) ( ) ;

s) ( ) ( ).

37) S se studieze derivabilitatea funciilor:

a) [ ) , ( ) | | ;

b) , ( ) {

;

c) , ( ) {

;

d) , ( ) {

;


7

e) [ ) ,

( ) {

[ );

f) , ( ) { ( )

.

38) S se determine punctele unghiulare i

punctele de ntoarcere:

a) , ( ) | |;

b) ( ) | |;

c) , ( )

{

( ]

( )

[ ]

( )

;

d) , ( ) {

( ]

( )

( )

.


{

. S se determine

, astfel nct funcia s fie

derivabil n

.

40) S se determine i , astfel nct funcia

( ) {

s fie

derivabil pe .

41) S se determine parametrii reali i

pentru care funciile urmtoare sunt

derivabile pe domeniul maxim de definiie:

a) ,

( ) {

( ) ;

b) ,

( ) {

( ) .

42) Calculai:

a)

;

b)

.

43) S se determine punctele de pe graficul

funciei , ( ) n

care tangenta este paralel cu dreapta de

ecuaie i s se scrie ecuaiile

tangentelor.

44) S se scrie ecuaia tangentei la graficul

fiecrei funcii n punctul indicat:

a) ( ) , ;

b) ( ) , .

45) S se scrie ecuaia tangentei la graficul

funciei n punctul indicat:

a) ( )

,

;

b) ( )

,

.

46) Fie , ( ) .

a) S se arate c ( ) , oricare ar fi

.

b) S se arate c este bijectiv.

c) S se calculeze ( ) ( ).

d) S se arate c ( ) ( ) .

47) Fie ( ) ( ), ( ) .

S se arate c este bijectiv i s se

calculeze ( ) ( ).

48) Fie , ( )

.

a) S se determine intervalele de

monotonie i punctele de extrem.

b) S se determine Im .

c) S se determine intervalele de

convexitate i concavitate i punctele de

inflexiune.

49) S se determine intervalele de monotonie i

punctele de extrem pentru funciile

urmtoare, fiind domeniul maxim de

definiie:

a) ( )

, ;

b) ( )

, ;

c) ( ) , ;

d) ( ) ( ) , ;

e) ( ) , ;

f) ( )

, .

50) Calculai :

a) [ ] , ( )

;

b) [

] , ( )

;

c) [ ] , ( ) ( ).

51) Se consider funcia { } ,

( )

( ) .


8

a) S se determine asimptotele graficului

funciei .

b) S se demonstreze c nu are puncte de

extrem local.

c) S se calculeze

[ ( ) ( )

( )] .

52) S se determine intervalele de convexitate i

concavitate i punctele de inflexiune pentru

urmtoarele funcii ( , unde este

domeniul maxim de definiie):

a) ( ) ;

b) ( ) ;

c) ( )

;

d) ( )

;

e) ( )

;

f) ( ) ( );

g) ( ) ;

h) ( ) ;

i) ( )

;

j) ( )

;

k) ( ) .

53) Fie { } , ( )

.

S se determine:

a) ( );

b)

( ) ( )

;

c) asimptota spre ;

d) intervalele de monotonie ale funciei ;

e) ( )( ) .

54) S se arate c:

a)

{ }, ;

b) ( )

( ) , { }, .

55) Fie , ( ) .

a) S se demonstreze c ( )( )

.

b) S se calculeze

( ) ( ) ( )( )

.

56) Se consider funciile {

} ,

( )

i {

} ,

( )

, .

a) S se determine ( )( ), ,

{

}.

b) S se calculeze

[ ( )

( )

( )( )

].

57) Fie , ( ) ( )

( ).

a) S se determine pentru care

este cresctoare pe .

b) Pentru , s se scrie ecuaia

tangentei la grafic n punctul de

intersecie cu axa Oy.

58) Artai c

.

59) Fie , ( )

.

a) S se determine domeniul maxim de

definiie i domeniul de derivabilitate

.

b) S se determine dac exist intervale pe

care este constant i s se precizeze

constanta.

60) Fie , ( )

.

a) S se determine monotonia i punctele

de extrem ale funciei .

b) S se determine numrul punctelor de

inflexiune.

61) Fie ( ) , ( )

( )

, ( ) .

a) S se studieze monotonia funciilor i

.

b) Determinai numrul de soluii reale ale

ecuaiei ( ) ( ).

62) S se arate c funcia ( ) ,

( )

este

convex.


9

63) S se determine numerele reale

pentru care funciei [ ] ,

( ) { [ ]

( ] i se

poate aplica teorema lui Rolle.

64) S se arate c funciei [ ] ,

( ) {

[ ]

( ] i se poate aplica

teorema lui Lagrange i s se aplice efectiv

teorema.

65) S se determine pentru care

funciei [ ] ,

( ) { [ ]

( ] i se poate

aplica teorema lui Lagrange i s se aplice

efectiv aceast teorem.

66) S se determine numrul soluiilor reale ale

ecuaiei .

67) S se discute, dup valorile parametrului

real , numrul rdcinilor reale ale ecuaiei

.

68) S se demonstreze inegalitile:

a) ;

b) ;

c) ( )

;

d) ( ) ( ) ;

e)

;

f)

[ );

g)

.

69) Trasai graficul funciei :

a) ( )

;

b) ( )

;

c) ( )

.

70) Fie [ ] , ( )

.

a) S se determine i .

b) S se demonstreze c ( ) i

( )

, oricare ar fi [ ].

c) S se arate c ecuaia ( ) are

soluie unic pe [ ].

71) Fie ( ] { } , ( )

| |

.

a) S se calculeze limitele funciei n

capetele domeniului de definiie.

b) S se stabileasc monotonia funciei.

c) S se demonstreze c ecuaia ( )

are soluie unic pe intervalul ( ).

72) Fie , ( )

( ).

a) S se calculeze ( ).

b) S se arate c este cresctoare.

c) S se determine monotonia i punctele

de extrem ale funciei .

d) S se rezolve inecuaia ( ) .

73) Se consider funcia ( ) ,

( )

.

a) S se arate c funcia este convex pe

( ].

b) S se determine asimptotele graficului

funciei .

c) S se arate c irul

( ), , este convergent.


( ) i irul ( ) ,

, .


funciei .

b) S se arate c

( ) ( )

, .

c) S se arate c irul ( ) este

descresctor i are termeni pozitivi.

75) Fie funcia , ( )

.

a) S se determine asimptota la graficul

funciei spre .

b) S se arate c funcia este strict

cresctoare pe .

c) S se arate c funcia este mrginit.

d) S se arate c irul ( ) , definit prin

( ) este

convergent.


10

76) Fie funcia [ ] , ( )

( ) .

a) S se calculeze

( )

.

b) S se determine punctele n care funcia

nu este derivabil.

c) S se arate c funcia este convex.


( )

a) S se calculeze ( ), .

b) Demonstrai c ( )

.

c) S se demonstreze c funcia ,

( ) ( ) ( )

este

constant.

78) Fie [ ) , ( ) .

a) Determinai tangenta la graficul funciei

, care este paralel cu prima bisectoare.

b) Artai c

( ) ( )

, .

c) Artai c irul ( ) definit prin

( ),

, este convergent.

79) Fie funcia ( ) , ( )

i irul

.

a) S se arate c funcia este strict

cresctoare pe ( ).

b) S se demonstreze c

( )

, .

c) S se demonstreze c irul ( ) este

convergent.


( )

(

) (

) i irul

(

), .

a) S se demonstreze c funcia este

strict cresctoare pe ( ).

b) S se arate c ( ) ( ).

c) S se demonstreze c irul ( ) este

strict descresctor.


( ).

a) S se studieze monotonia funciei .


funciei .

c) S se arate c

( ) .

82) S se arate c ecuaia ( ) are

cel puin o soluie n intervalul [

].

83) S se determine asimptota spre la

graficul funciei , ( )

.


.


funciei .

b) S se precizeze monotonia i punctele de

extrem ale funciei .

c) S se determine punctele de inflexiune

ale funciei .

85) S se determine domeniul maxim de

definiie i asimptotele la graficul funciei

definite prin ( )

.

86) S se rezolve inecuaia

.

87) S se calculeze

[

(

)].

88) Fie , ( )

. S se

arate c ( ) .


( ) i irul ( ) definit prin

relaiile , ( ) .

a) Calculai derivata funciei .

b) Determinai monotonia irului ( ) .

c) Artai c ( ) ( ) .

90) Se consider funciile ,

( ) ( ) i

( ) ( ).

a) S se determine valoarea minim a

funciei .

b) S se arate c ( ( ) ) ( ) ,

.

c) S se demonstreze c ( ) .

91) Fie , ( ) . Calculai

( ) ( ) ( )( )

( )( ).


11

92) Fie , ( ) . Calculai

( ) ( ) ( ) ( )( )

.

93) Fie { } , ( )

.

a) S se determine ( )( ) .

b) S se calculeze

[ ( )

( )

( )( )

].

94) Fie , ( ) . S se

calculeze ( )( ).


( ) ( )

.

a) S se arate c ( ) ( )

.

b) S se calculeze

( ).

c) S se arate c funcia este

descresctoare.

96) Fie , ( )

.

a) Precizai monotonia i punctele de


b) Stabilii intervalele pe care este

convex sau concav.

97) Fie , ( ) .


funciei .

b) S se determine intervalele de

monotonie i punctele de extrem pentru

funcia .

c) S se determine valorile numrului real

pentru care ( ) .

d) S se determine intervalele pe care

este convex sau concav i punctele de

inflexiune.

98) Fie , ( ) .

a) S se calculeze

( )

( ).

b) S se demonstreze c funcia este

inversabil.

c) S se calculeze

( )

.

99) Fie , ( ) .

a) S se scrie ecuaia tangentei la graficul

funciei n punctul de abscis .

b) S se determine asimptotele la graficul

funciei .

c) S se arate c funcia este inversabil.

d) S se calculeze ( ) ( ).

e) S se calculeze

( )

.

100) Pentru fiecare se consider

funcia , ( ) .


cresctoare.

b) S se arate c ecuaia ( ) are o

unic soluie , oricare ar fi .

c) S se arate c irul ( ) este

nemrginit.

d) S se calculeze

.

101) Fie [ ) , ( )

| | | |.

a) S se studieze derivabilitatea funciei .

b) S se determine punctele de extrem

local ale funciei .

102) Fie { } , ( )

,

.

a) S se determine valorile lui pentru

care funcia are trei puncte de extrem

local.

b) Pentru , s se precizeze intervalele

de monotonie i punctele de extrem ale

lui .

103) Se consider funcia [ ] ,

( ) {

( )

( )

{ }.

S se stabileasc:

a) domeniul de continuitate al funciei ;

b) domeniul de derivabilitate al funciei ;

c) intervalele de monotonie i punctele de


104) S se arate c, pentru orice numr real ,

, este adevrat relaia

.

105) Se consider funcia { } ,

( )

, . S se


12

determine i , astfel nct graficul

funciei s admit asimptota ,

iar punctul ( ) s se afle pe grafic.

106) Fie { } , ( )

.

a) S se stabileasc intervalele de

monotonie ale funciei .

b) S se arate c ( )

{ }.

c) S se determine ( )( ), ,

{ }.

107) S se determine valorile parametrului

real pentru care ecuaia

are soluii reale.

108) Se consider funcia ( este

domeniul maxim de definiie), ( ) arctg

, .

a) S se determine pentru care

( ( )) .

b) Pentru , s se determine

domeniul de derivabilitate i intervalele

de monotonie ale funciei .


( ) .

a) S se determine intervalele de

monotonie ale funciei .

b) S se determine valorile lui pentru

care ( ) , ( ).

c) S se determine numrul de rdcini

reale ale ecuaiei ( ) , unde

este un parametru real.

110) Fie ( ) , ( ) .

a) S se arate c ( ) ( )( ),

.

b) Determinai monotonia funciei .

c) S se determine valoarea minim a

funciei .

d) S se calculeze

( ).

e) S se arate c este convex pe ( ).

f) Artai c irul ( ) , definit prin

( ) i ( ), ,

este convergent.

111) Fie , ( )

.

a) S se arate c graficul funciei admite

asimptot spre .

b) S se arate c funcia este inversabil.

c) S se calculeze ( ) ( ) i ( ) (

).

d) S se calculeze

( ( ))

.

112) Fie , ( )

.

a) Artai c ( ) , .

b) Scriei ecuaia tangentei la graficul

funciei n punctul ( ( )).

c) Artai c funcia , ( )

( ) ( ) admite exact un punct de

extrem.

d) S se calculeze

( )

.

113) Fie , ( )

.

a) Artai c , ( ) ( )

este funcie strict cresctoare.

b) Artai c ecuaia ( ) are o soluie

unic .

c) Artai c irul dat de ,

( ), este convergent

ctre .

114) Fie ( ) , ( ) ( ).

a) S se determine ecuaia tangentei la

graficul funciei n punctul de abscis

.

b) S se demonstreze c funcia este

concav.

c) S se calculeze

( ) ( )

( ).

115) Fie , ( ) .


cresctoare.

b) S se arate c funcia este inversabil.

c) S se calculeze

( )

.

116) Fie , ( ) .

a) S se arate c funcia este concav pe

intervalul [ ).

b) Calculai

( ( ) ( )).

c) S se rezolve inecuaia ( )

.


13

117) Fie , ( ) ( ).

a) Artai c funcia este strict

cresctoare.

b) Studiai convergena irului ( ) dat

de i ( ), .

c) Demonstrai c ( ) ( ) ,

.

118) Fie , ( ) .

a) S se studieze monotonia funciei .

b) Artai c ( ) ( ) ( )

, oricare ar fi .

c) S se arate c graficul funciei admite

asimptot spre .

119) Fie , ( ) ( )

.



b) S se arate c funcia admite dou

puncte de extrem.

c) S se determine ecuaia asimptotei la

graficul funciei spre .

d) S se determine asimptota vertical la

graficul funciei .

120) Fie , ( )

.


funciei .

b) S se determine punctele de inflexiune

ale graficului funciei .

c) Calculai

( ( ) ( )).

121) Fie { } , ( )

.




funciei .

c) Calculai

(

( ) ( ) ( ))

.

122) Fie ( ) , ( ) .

a) Artai c graficul funciei nu admite

asimptot spre .

b) Artai c ecuaia ( ) are o soluie

unic (

).

c) Artai c

( ), unde

este numrul definit la punctul b).

123) Fie , ( ) .

a) Determinai asimptotele la graficul

funciei .

b) Determinai punctul n care tangenta la

graficul funciei este paralel cu prima

bisectoare.

c) Artai c valoarea minim a funciei

este 1.

d) Artai c funcia , ( )

( ) nu este derivabil n .

124) Fie ( ) , ( )

.


funciei .

b) S se studieze monotonia funciei .

c) S se determine intervalele de

convexitate i concavitate i punctele de

inflexiune ale funciei .

d) S se calculeze

(

).

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