Mihail IANCOVICI

STATICA CONSTRUCIILOR II:

Exemple numerice

Ediia a II-a| 2012

Departamentul de Mecanica Structurilor (DMS)

Universitatea Tehnic de Construcii din Bucureti (UTCB)

ii

PRECIZRI PRIVIND CONINUTUL LUCRRII

Lucrarea este destinat activitii didactice, fr valoare comercial. Autorul i declina orice responsabilitate pentru consecinele utilizrii inadecvate a instrumentelor dezvoltate i prezentate n lucrare. Lucrarea nu conine informaii confideniale sau informaii care ncalc reglementrile referitoare la legislaia drepturilor de autor. Opiniile profesionale exprimate de autor, nu reprezint i nu reflect poziia sau opiniile Universitii Tehnice de Construcii din Bucureti (UTCB).

Mihail IANCOVICI Universitatea Tehnic de Construcii din Bucureti (UTCB)

iii

Cuprins Pagina

Prefa

iv

Introducere n formularea matriceal a Metodei deplasrilor 1

A| Exemple numerice, platforme utilitare 10

A1. Grind cu seciune variabil 10

A2. Structur articulat 19

A3. Cadru 36

B| Exemple numerice, calcul automat Graphical User Interface (GUI) 47

B1. Structur articulat 47

B2. Cadru 54

B3. Structura n cadre, influena modelrii 55

B4. Cadru simetric supus ncrcrii termice 58

B5. Hal industrial 61

B6. Cadru etajat 63

B7. Cadru etajat, influena modelrii 66

B8. Cadru etajat, influena rezemrii pe mediu elastic 76

B9. Structur n arc 85

B10. Cadru etajat, neconvenional 91

B11. Structur n cadre, cu perei structurali 95

Anexa 1 100

Anexa 2 104

Bibliografie 106

iv

Prefa

***

Exigenele societii n ceea ce privete performanele sistemelor structurale pentru cldiri i alte tipuri de structuri, au crescut considerabil n ultimii zeci de ani. Dezvoltarea accelerat, att a instrumentelor teoretice i experimentale, precum i a performanelor software i hardware, are ca efect reproducerea mai facil i cu acuratee superioar, pe de o parte a caracteristicilor aciunii, i pe de alt parte a comportrii elementelor structurale i a structurilor n ansamblu.

Odat cu apariia Metodei distribuirii momentului ncovoietor n 1930 (eng. Moment Distribution Method, Hardy CROSS), procedeele de analiz au cunoscut o dezvoltare fr precedent, n special datorit creterii performanei instrumentelor de calcul automat. Este posibil astzi reproducerea comportrii sistemelor structurale de mare complexitate, convenionale sau neconvenionale, la diferite tipuri de aciuni, statice i dinamice.

Ca urmare, nivelul de cunoatere de care inginerul proiectant de structuri trebuie s dispun, este mult mai ridicat, fiind necesar att cunoaterea aprofundat a dezvoltrilor teoretice, necesare modelrii, operrii cu instrumentele avansate de analiz automat a structurilor precum i a celor referitoare la interpretarea i verificarea rezultatelor oferite de programele de analiz .

Lucrarea prezint suportul aplicativ al seciunii dedicate formulrii matriceale a Metodei deplasrilor pentru calculul automat al structurilor, al cursului Static II, din anul al III-lea, susinut de autor la Facultatea de Construcii Civile din Bucureti. Lucrarea dubleaz instrumentul calculului manual al structurilor prin posibilitatea realizrii unui volum mare de calcul, care excede posibilitile umane. Lucrarea trateaz problematica analizei modelelor structurale plane, supuse diferitelor tipuri de aciuni statice (fore exterioare, cedri de reazeme i rezemare elastic, variaii de temperatur). Aplicaiile includ analiza influenei interaciunii elastice dintre terenul de fundare i structur, precum i reproducerea aproximativ a comportrii structurilor cu axa barei curb sau cu perei structurali, prin modelarea cu elemente drepte echivalente. Odat familiarizai cu analiza asupra modelelor structurale plane, trecerea la modele tridimensionale de analiz , va fi uor de realizat de ctre utilizatori.

Sistemele structurale abordate sunt cele larg utilizate n practic curent a proiectrii construciilor civile i a altor categorii de structuri: grinzi, cadre, arce, structuri articulate i structuri neconvenionale. Lucrarea are ca scop principal familiarizarea studenilor ciclului I, cu fundamentele calculului automat al structurilor, o extindere n fapt, a Metodei deplasrilor, n formulare clasic. Aplicaiile rezolvate conin punctual, elementele teoretice dezvoltate n cadrul cursului, care susin din punct de vedere teoretic, soluiile numerice. Pentru simplitatea

v

scrierii i a uurinei parcurgerii textului, s-a preferat scrierea n relief - pentru matrice i vectori, i scrierea cu litere obinuite- n cazul mrimilor scalare. Pentru evitarea confuziilor datorate similaritii aparente de notaie, acestea trebuie interpretate contextual.

Exemplele numerice rezolvate sunt dublate de dezvoltri punctuale n sarcina utilizatorilor, crora le sunt oferite sugestii de rezolvare. n scopul ilustrrii i al nelegerii algoritmilor care stau la baza analizei automate a structurilor, sunt inserate rutine de analiz, dezvoltate de autor, cu ajutorul platformei utilitare Matlab Educational. Acestea pot, desigur, comporta mbuntiri ulterioare personale ale utilizatorilor. Lucrarea prezint n anexe, principalele operaii necesare pentru generarea rutinelor de analiz Matlab Educational, precum i etapele algoritmului de calcul automat.

Autorul i exprima sperana c utilizatorii vor regsi n materialul propus nu numai suportul adecvat de studiu pentru aplicaiile practice pe care le au de rezolvat n cadrul disciplinei Static II, dar le va servi deopotriv, la dezvoltarea i detalierea tematicilor specifice n cadrul disciplinelor de strict specialitate (Construcii civile, Construcii din beton armat, Construcii metalice etc).

De asemenea, materialul servete ca platforma pentru extinderea formatului de analiz matriceala a sistemelor structurale, plane i spaiale, cu comportare liniara i neliniar-geometrica sau/i fizic, precum i la studiul efectelor induse de aciunile dinamice, studiate n continuare, n cadrul disciplinei Dinamica structurilor i Elemente de Inginerie seismic.

***

Mihail IANCOVICI

Departamentul de Mecanica Structurilor UTCB

1

[INTRODUCERE N FORMULAREA MATRICEAL A METODEI DEPLASRILOR]

Etapa preliminar n realizarea unei structuri de rezisten a unei construcii, const n alegerea tipului structural, capabil s satisfac criterii de performan arhitectural, tehnic i funcional, i nu n ultimul rnd, economice. Atingerea obiectivelor propuse se realizeaz pe cale iterativ, pornind de la o configuraie iniial i obinnd finalmente, o structur funcional care ndeplinete cu un anumit grad de satisfacere, criteriile de performan impuse. ntr-o etap de analiz integrat, superioar, acest proces poart denumirea de optimizare.

Analiza rspunsului structural la diferite tipuri de aciuni, exercitate pe durata de exploatare a construciei, reprezint elementul central n ingineria structural. Prin instrumentul ingineriei structurale sunt de asemenea conduse analize de identificare a caracteristicilor aciunii i de stabilire a caracteristicilor optime ale sistemului structural, n raport cu proprieti pre-definite ale aciunii.

Analiza rspunsului structural, presupune determinarea distribuiei de eforturi i a deplasrilor elementelor structurale, n vederea dimesionarii i verificrii acestora, precum i a legturilor interioare i exterioare (noduri active i de rezemare, denumite mbinri). Dei idealul oricrei analize l reprezint reproducerea realist a rspunsului structural, practic acurateea cu care este surprins rspunsul structural, depinde esenialmente de civa factori precum (i) acurateea modelarii aciunii, (ii) acurateea modelarii sistemului structural, a interaciunii dintre diferitele elemente structurale i nestructurale componente, (iii) performana software i hardware, i nu n ultimul rnd (iv) erorile umane, inerente n analiz.

Calculul structurilor se realizeaz prin (i) formulri clasice bazate pe metodelor generale de calcul, Metoda forelor i Metoda

deplasrilor; (ii) procedee iterative, utile pentru rezolvarea manual a modelelor de dimensiune

redus; (iii) formularea matriceal, ncorporat n programele de analiz automat.

2

Calculul construciilor opereaz cu dou tipuri de mrimi fundamentale: fore i deplasri. Legtura dintre acestea este realizat prin aspectul fizic, exprimat prin flexibilitate sau rigiditate, caracteristic intrinsec a structurii. n consecin, rezult dou instrumente de rezolvare a structurilor, bazate pe controlul primar n fore i controlul primar n deplasri. De aici, rezulta cele dou metode generale de analiz a structurilor:

(i) Metoda forelor (Metoda matricei de flexibilitate) i

(ii) Metoda deplasrilor (Metoda matricei de rigiditate).

n abordarea prin Metoda forelor, structurile sunt caracterizate prin gradul de nedeterminare static i sunt rezolvate n raport cu necunoscutele fore de legtura static nedeterminate- din legturile suplimentare, fa de numrul minim necesar asigurrii invariabilitii geometrice. Acestea sunt determinate prin impunerea condiiei de compatibilitate a deformatei, fiind obinut distribuia eforturilor secionale i apoi, poziia deformat. Metoda este aplicabil modelelor de dimensiune redus i presupune utilizarea calculului manual., nefiind pretabil la algoritmizare.

Metoda deplasrilor are la baza ideea c dac se cunoate poziia deformat a structurii, atunci poate fi determinat starea de eforturi, analiza fiind controlat primar prin deplasri. Metoda prezint dou formulri. Formularea matriceal (integral)- pretabil la algoritmizare i, n consecin, constituie platforma ncorporat n programele de analiz automat a structurilor. n fapt, reprezint instrumentul Metodei elementului finit (MEF; Turner et al., 1956; Clough, 1960; Bathe i Wilson, 1975; Bathe, 1995; Zienkiewicz i Taylor, 2000; Felippa, 2006) pentru structuri modelate cu elemente de tip bar, dreapta sau curba. Formularea matriceal poate fi utilizat, n mod aproximativ, i la alte tipuri de structuri, a cror modelare se abate de la includerea elementelor de tip- bar, de exemplu structuri cu perei- elemente de suprafa. Formularea clasic (redus) se bazeaz pe reducerea dimensiunii modelului de analiz utilizat n formularea integral, i este utilizat intensiv n aplicaiile curente. Modelul de analiz este o reprezentare idealizat a unei structuri, care tinde s reproduc- cu un anumit grad de imprecizie ns, comportarea real a acesteia, la diferite tipuri de aciuni. Un model de analiz trebuie s aib capacitatea de a surprinde totalitatea efectelor care ar putea influena comportarea unei structuri (alegerea modelului adecvat de element structural i legturile dintre acestea, efectul elementelor nestructurale, efectul interaciunii dintre structur i diferite medii- fluid, solid sau aer, efectul incorporrii sistemelor de disipare a energiei vibratorii, efectele comportrii neliniare etc.). Cu foarte puine excepii, structurile au proprieti fizico-mecanice distribuite, modelele asociate necesitnd operarea prin intermediul ecuaiilor difereniale. Eficiena numeric a utilizrii acestor modele este foarte redus i aplicabil n mod uzual, unui numr foarte redus de sisteme.

3

n practica curent de analiz se prefer utilizarea modelor cu proprieti concentrate (modele discrete de analiz), nlturnd astfel inconvenientul operrii cu funcii de variabil continu. Aceasta reprezint consecina utilizrii instrumentului Metodei elementului finit (MEF; Turner et al., 1956; Clough, 1960; Bathe i Wilson, 1975; Bathe, 1995; Zienkiewicz i Taylor, 2000; Felippa, 2006) care permite utilizarea de modele matematice, reprezentate prin ecuaii algebrice liniare sau neliniare- n funcie de tipul problemei de rezolvat. Modelul discret de analiz este un model aproximativ al structurii. Aceasta aproximare se transfera i procesului de modelare a ncrcrilor, aa nct trebuie fcut precizarea c utilizarea sistemelor discrete tinde s reproduc, cu un anumit grad de fidelitate, comportarea real a structurii. Operarea prin tehnica Metodei Elementului Finit (MEF; Clough, 1960) const n (i) transmiterea informaiei referitoare la proprietile fizico-mecanice ale elementelor, la extremiti/puncte nodale (noduri), prin intermediul funciilor de interpolare a deplasrilor, (ii) reconstruirea sistemului de elemente prin asamblarea proprietilor acestora (submatrice constitutive i subvectori ai ncrcrilor), i (iii) rezolvarea modelului matematic i determinarea rspunsului structural, exprimat n mrimi primare de rspuns (deplasri) i apoi, reaciuni i eforturi secionale. Considerarea unui numr mai mare de elemente, n cadrul modelului, va gener a un efort de calcul suplimentar. n principiu, prin discretizare, informaia referitoare la rspunsul structurii n seciunile inter-nodale, se pierde. Se va arta ns, n paragrafele urmtoare c aceasta poate fi recuperat la final, prin utilizarea funciilor de interpolare a deplasrilor nodurilor (Zienkiewicz i Taylor, 2000; Iancovici, 2010). Nivelul de cunoatere de care inginerul proiectant de structuri trebuie s dispun trebuie s fie mult superior, fiind necesar att cunoaterea profund a dezvoltrilor teoretice necesare modelarii diferitelor tipuri de aciuni, operrii cu instrumentele avansate de analiz automat a structurilor dar i a celor referitoare la interpretarea i verificarea rezultatelor oferite de programele de analiz.

Aceste cunotine sunt completate cu cele referitoare la detalierea elementelor structurale componente, utiliznd instrumente avansate de analiz, care conin att module de generare a geometriei structurii - module de tip CAD (Computer-Aided Design) precum i module de conducere a proiectrii pe baza unor formate pre-definite.

n operarea cu aceste instrumente, utilizatorul trebuie s neleag i s stpneasc att conceptele de baz, precum i s aib capacitatea mnuirii cu eficien, a instrumentelor de verificare a rezultatelor analizei utiliznd principiile Staticii construciilor. Dei principiile calculului structural au rmas aceleai, instrumentele de realizare practic, s-au evoluat ntr-un ritm fr precedent (Figura 1).

4

Figura 1 Calculul structurilor articulate, ilustrat n lucrarea Statica construciunilor i Rezistena materialelor, Gh. Em. Filipescu (1940, Ed. a II-a)

O parte semnificativ a aciunilor care se exercit asupra structurilor de rezisten ale construciilor pot fi considerate statice sau cvasi-statice. Aceasta modalitate de considerare se bazeaz pe faptul c viteza de variaie, a intensitii i a modificrii punctelor de aplicaie ale acestora, poate fi neglijat pentru multe dintre situaiile ntlnite n practic, astfel nct aplicarea acestora nu induce structurii efecte inerial semnificative. Din aceast categorie de aciuni, fac parte greutatea proprie a structurii, forele provenite din exploatare, cedrile de reazeme, variaiile de temperatur, inexactitile de execuie, presiunea hidrostatic, mpingerea activ a pmntului etc.

De asemenea, analiza static neliniar, denumit analiz biografica, poate fi interpretat ca o succesiune de analize statice liniare. n fine, normativele de proiectare a structurilor la aciuni cu caracter dinamic, provenite din hazard natural (seism i vnt) au la baza operarea n raport cu fore statice echivalente. Studiul efectelor induse de aciuni statice are, prin urmare, o importan deosebit. Prin utilizarea i ncorporarea formulrii matriceale a Metodei deplasrilor n algoritmii de analiz, poate fi rezolvat o clas foarte larg de aplicaii. De la analiza diferitelor sisteme structurale supuse aciunii forelor exterioare, a cedrilor de reazeme, al variaiilor de temperatur, al inexactitilor de execuie i al efectului precomprimrii elementelor de beton armat, la modelarea efectului mpingerii active a terenului, la influena interaciunii dintre teren i structur, i a presiunii hidrostatice a fluidelor.

Dezvoltrile legate de Metoda deplasrilor sunt realizate fie direct adresndu-se unei categorii standard de sisteme structurale de regul cu elemente de seciune constant, fie utiliznd tehnici de tip element finit pentru elemente de tip bar

5

adresabilitatea fiind mult mai larg, att n ce privete modelarea elementelor structurale (de exemplu, elemente cu seciune variabil) dar i a ncrcrilor.

n practica constructiv curent, pentru asigurarea prelurii diferitelor tipuri de aciuni, sunt utilizate diferite tipuri de sisteme structurale de rezisten, ilustrate schematic in figurile de mai jos.

Grinzi i sisteme cu grinzi

Cadre pure

FATADA

NOD

REZEMARE

GRINDA

PLANSEU-RAMPA SCARA

PLANSEU

STALP

6

Structuri cu perei/structuri duale

Cadre cu diagonale (contravntuiri)

DIAFRAGMA DIN BETON ARMAT

DIAGONALE METALICE

7

Structuri cu arce

Structuri hibride

CONSOLA SUSPENDATA

REZEMARE SECUNDARA

REZEMARE PRINCIPALA

FIR GRINDA

ARC

SISTEM DE FUNDARE

SISTEM DE INCHIDERE FRONTALA

SISTEM DE RIGIDIZARE IN PLAN

SISTEM DE INCHIDERE IN PLAN

8

Structuri reticulare i structuri parametrice

Structuri tubulare

9

Structuri neconvenionale

Structurile neconvenionale sunt structuri echipate cu sisteme de disipare a energiei

vibratorii, n scopul reducerii acestor efecte asupra structurii, a echipamentelor i a utilizatorilor. Sistemele disipative ncorporate n structurile convenionale pot fi: (i) sisteme pasive, (ii) sisteme active i (iii) sisteme combinate (Kelly, 1990; Soong i Dargush, 1997).

n Figura 2 sunt ilustrate dou exemple de structuri neconvenionale, utilizate n practic curent: structur echipat cu disipatori cu fluid vscos (eng. Fluid Viscous Dampers-FVD) i structur echipat cu sistem de izolare a bazei.

Figura 2 Cadru metalic, echipat cu sistem disipativ cu fluid vscos (stnga) i sistem de izolare a bazei (dreapta)

Comportarea la ncrcri statice sau statice- echivalente, poate fi reprodus prin

instrumentele dezvoltate n prezenta lucrare (exemplul numeric B10). Cu toate acestea, exist o larg varietate de aspecte ale comportrii n regim dinamic, care nu pot fi dezvoltate n aceast etap datorit limitrii instrumentelor i a specificului lucrrii.

Prin intermediul dezvoltrilor teoretice, al aplicaiilor ilustrative i al studiilor parametrice realizate, sunt puse n eviden efectele diferitelor tipuri de modelare a caracteristicii elastice, a legturilor interioare i exterioare asupra distribuiei de eforturi i a deplasrilor.

Prin studiul lucrrii, utilizatorul va deine un instrument util n nelegerea comportrii structurilor de rezisten i va putea extinde aplicaiile prezentate, prin includerea i a altor tipuri de modelare a aciunii i a sistemului structural (de exemplu, structuri neconvenionale). n mod cert, aplicaiile tratate pot fi completate i cu alte exemple, care din motive de limitare tematic i a spaiului lucrarii, nu au putut fi incluse.

10

A| Exemple numerice, platforme utilitare

Exemplul numeric A1| Se determin distribuia eforturilor secionale pentru grinda cu

o singur deschidere, cu seciune variabil la extremiti, din Fig. 1.1. Se traseaz diagramele de eforturi secionale. Rutina de analiz Matlab Educational este creat n cadrul laboratorului didactic, pe baza suportului teoretic, de curs.

Figura 1.1- Grind de beton armat, cu seciune variabil liniar, la reazeme

Forele i deplasrile extremitilor elementului, precum i caracteristica de rigiditate- , ale elementului de bar dublu ncastrat, este exprimat n raport cu sistemul de referin local i de coordonate nodale precizate n Figura 1.2.

Figura 1.2- Element de bara ncovoiat, cu for axial: deplasri i fore nodale, axe de coordonate asociate (nod i- origine, nod j- terminaie)

nodul i nodul j

2 5

1 6

3 4

y

x

L,E,A(x),I(x)

nodul i

fyi,vi fyj,vj

fi,i fxi,ui fxj,uj

nodul j fj,j

1.50 m 1.50 m 6.00 m

45x100 cm

45x80 cm 45x100 cm

E = 2.1x107 kN/m2

11

Datorit variaiei seciunii transversale, modelul de calcul va fi un model discretizat n 3 elemente (Figura 1.3).

Figura 1.3- Model de analiz, incidena dintre elemente i noduri, grade de libertate asociate

Sistemul axelor de coordonate ale elementelor, n sistemul de referin local este precizat separate, pentru fiecare element, n Figura 1.4.

Figura 1.4- Axe de coordonate locale ale elementelor discrete

Matricea de rigiditate a elementului dublu ncastrat, de seciune variabil, solicitat la ncovoiere cu for axial, n sistemul de referin local, are forma general (Iancovici, 2010)

= 0 0 0 00 () () 0 () ()0 () 0 () 0 0 0 00 () () 0 () ()0 () 0 ()

(1.1)

1

2

3

1

2

3

4 6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

4

5

6 7

9

8

1

2

3 10

11

12

1

2 3

4

1 3 2

12

n care, este modulul de elasticitate longitudinal (modulul lui Young), este lungimea elementului, Ai i Aj sunt ariile seciunilor transversale corespunztoare extremitilor elementului i, respectiv j; Ii i Ij sunt momentele de inerie ale sectiunilor. Pentru elemente cu seciune constant, matricea de rigiditate se obine prin particularizarea expresiei (1.1) i are structura

= 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0

(1.2)

alctuit din cele patru submatrice, doua- de extremitate, i doua- de interaciune datorat cuplajului elastic dintre extremitile i i j.

() = !! !!" (1.3) Pentru grinda din Figura 1.1, structura numeric a matricelor de rigiditate, este redat n Tabelul 1.

Tabelul 1- Matrice de rigiditate ale elementelor, n sistemul local de coordonate

ELEMENTUL MATRICE DE RIGIDITATE N SISTEMUL LOCAL (L)

#, #

(% ,) = 105.6700 0 0 5.6700 0 00 2.1168 1.7584 0 2.1168 1.41680 1.7584 1.8430 0 1.7584 0.79385.6700 0 0 5.6700 0 00 2.1168 1.7584 0 2.1168 1.41680 1.4168 0.7938 0 1.4168 1.3314

#

() = 101.2600 0 0 1.2600 0 00 0.0224 0.0672 0 0.0224 0.06720 0.0672 0.2688 0 0.0672 0.13441.2600 0 0 1.2600 0 00 0.0224 0.0672 0 0.0224 0.06720 0.0672 0.1344 0 0.0672 0.2688

Trecerea la ansamblul structural, necesit transformarea mrimilor, din sistemul local- L (propriu, al elementului) n cel global- G (propriu structurii), 0 reprezentnd unghiul dintre cele doua sisteme.

13

n Figura 1.5 este reprezentat un element structural, n ambele sisteme de referin.

Figura 1.5 Sistem de referin local (L) i sistem de referin global (G) ale elementului structural (e)

n Figura 1.6 sunt reprezentate forele asociate extremitilor elementului, n ambele sisteme de referin, i este exprimat echilibrul static al acestuia, n ambele sisteme.

()1() = 2() 3()13() = 23()

Figura 1.6 Transformarea coordonatelor forelor elementului Relaia de transformare a vectorului forelor nodurilor elementului (e), din sistemul local n cel global de forma

2(#) = 4(#)25(#) (1.4)

fyjG

fiG fxiG

fyiG fjG

fxjG

e

fyjL

fxjL

e

fxiL

fyiL

fiL

fjL

SISTEM GLOBAL SISTEM LOCAL

nodul i

nodul j x(e)

y(e)

z(e)

X

Y

Z

e

SISTEM LOCAL

SISTEM GLOBAL

element e

14

matricea de transformare a coordonatelor avnd structura

4(6) = 748(6) 99 4:(6); = 0# >8?0# 0 0 0 0>8?0# 0# 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0# >8?0# 00 0 0 >8?0# 0# 00 0 0 0 0 1

(1.5)

Precizarea coordonatelor nodurilor structurii n sistemul global (G) i ordinea de numerotare a acestora (orientarea elementului)- care va ataa automat sistemul de referin local (L), vor furniza sinusii i cosinusii directori ai elementului (e) adic

>8?0 = @ABA C(), 0 = @DBD C() (1.6) unde, lungimea elementului (e) este data de expresia,

# = EFG: G8H2 + FJ: J8H2 (1.7a) Observnd c sistemul de referin local coincide, n acest caz, cu sistemul de referin global, matricele de rigiditate ale elementelor exprimate n raport cu cele dou sisteme sunt aceleai, matricea de transformare (1.3) fiind matricea diagonal, unitate. Matricea de rigiditate a structurii- K este construit prin asamblarea submatricelor de rigiditate ale elementelor n sistemul global (G, n acest caz particular-acelasi; relaia 1.3), obinute prin transformarea liniar

L(6) = M4(6)NO P(6)4(6) (1.7b) adic

K = 3()() , e=1,2,3-elemente (1.8) i va avea structura

K, = (6R) !(6R) 9 9! (6R) !!(6R) + (6S) !(6S) 99 ! (6S) !!(6S) + (6T) !(6T)9 9 ! (6T) !!(6T)

UVW1X R UVW1X S UVW1X TUVW1X Y (1.9)

Dupa efactuarea operaiilor numerice, aceasta va cpta structura

15

K, =

10

5.6700 0 0 5.6700 0 0 0 0 0 0 0 00 2.1168 1.7584 0 2.1168 1.4168 0 0 0 0 0 00 1.7584 1.8438 0 1.7584 0.7938 0 0 0 0 0 05.6700 0 0 6.9300 0 0 1.2600 0 0 0 0 00 2.1168 1.7584 0 2.1392 1.3496 0 0.0224 0.0672 0 0 00 1.4168 0.7938 0 1.3496 1.6002 0 0.0672 0.1344 0 0 00 0 0 1.2600 0 0 6.9300 0 0 5.6700 0 00 0 0 0 0.0224 0.0672 0 2.1392 1.3496 0 2.1168 1.75840 0 0 0 0.0672 0.1344 0 1.3496 1.6002 0 1.4168 0.79380 0 0 0 0 0 5.6700 0 0 5.6700 0 00 0 0 0 0 0 0 2.1168 1.4168 0 2.1168 1.75840 0 0 0 0 0 0 1.7584 0.7938 0 1.7584 1.8438

RSTYZ[\]^

R9RRRS

(1.10) Matricea de rigiditate corespunztoare coordonatelor nodurilor efective este

K__ = 106.9300 0 0 1.2600 0 00 2.1392 1.3496 0 0.0224 0.06720 1.3496 1.6002 0 0.0672 0.13441.2600 0 0 6.9300 0 00 0.0224 0.0672 0 2.1392 1.34960 0.0672 0.1344 0 1.3496 1.6002

(1.11)

Observaie: aceast modalitate de numerotare a nodurilor, prezint dezavantajul c, matricea de rigiditate trebuie s sufere ulterior, o rearanjare a liniilor i a coloanelor, n sensul reordonrii corespunztoare axelor de coordonate ale nodurilor efective- de indice n, i respectiv ale celor restricionate- de indice r. Aceasta reordonare va avea efect, n fapt, asupra elementelor ntregului sistem de ecuaii (1.13), att matrice, ct i vectori. Aceast operaiune este costisitoare din punctul de vedere al efortului de calcul, pentru modele de mari dimensiuni. Se prefer prin urmare, atribuirea de la nceput a indicilor axelor de coordonate, n sensul menionat. Majoritatea algoritmilor incorporai n programele de analiz, utilizeaz aceast tehnic. Atribuirea de la bun nceput a indicilor axelor de coordonate ale structurii n sistemul global ncepnd cu nodurile efective, conduce la urmtoarea expresie a matricei de rigiditate a structurii

K, = (6R) + !!(6S) !(6R) !(6S) 9! (6R) !!(6R) + (6T) 9 9! (6S) 9 !!(6S) 99 9 9 !!(6T)

UVW1X R UVW1X S UVW1X TUVW1X Y (1.12)

Sistemul de ecuaii de echilibru static al ansamblului, are forma generala K` + a + a4 = b (1.13) n care, matricea de rigiditate este partiionata in patru sub-matrice, cu elemente complet cunoscute, asociate gradelor de libertate de tip n- efective, respectiv de tip r-restricionate,

16

K = KUUKcU KUcKcc" (1.14) Efectul declarrii condiiilor de rezemare se aplic i celorlalte componente, adic `- vectorul deplasrilor nodurilor, a- vectorul forelor echivalente incarcrii de element, n raport cu extremitile, a4- vectorul forelor echivalente incarcrii termice (variaii de temperatur), n raport cu extremitile, i b- vectorul forelor exterioare aplicate direct nodurilor. n fapt, declararea condiiilor de rezemare, suprim deplasrile de corp rigid ale ansamblului de elemente (matrice de rigiditate singular), transformndu-l n structur- capabil s preia i s transmit incrcri. Sistemul de ecuaii (1.13) se partiioneaz astfel

KUUKcU KUcKcc" `U`c" + daUace + da4,Ua4,ce = bUbc" (1.15) decuplandu-se ulterior n dou sub-sisteme, KUU`U+KUc`c + aU + a4,U = bU (1.16) i KcU`U + Kcc`c + ac + a4,c = bc (1.17) Prin rezolvarea primului sub-sistem, deumit sistem redus de ecuaii, rezult deplasrile nodurilor efective (active), astfel `U = KUUR(bU aU a4,U KUc`c) (1.18) iar cel de al doilea sub-sistem furnizeaz reaciunile structurii astfel bc = KcU`U + Kcc`c + ac + a4,c (1.19) n acest caz, vectorii a i a4 sunt nuli, iar vectorul deplasrilor reazemelor `c este de asemenea nul- structura nefiind supus cedrilor de reazeme. Orice alt situaie de ncrcare, de element, termic sau cu cedri ale reazemelor, va trebui precizat. Pstrnd doar pentru acest exemplu, numerotarea iniial a nodurilor (Figura 1.2), i considernd grinda ncrcat cu o for concentrat de valoare 100 kN, aplicat n sens gravitaional nodului 2 (Figura 1.7), vectorul forelor efective aplicate are forma

bU =01000000

,fgfgfghfgfgfgh

(1.20)

Prin rezolvarea sistemului redus de ecuaii KUU`U = bU (1.21) rezult vectorul deplasrilor nodurilor efective

17

`U = KUURbU = 10B

00.1081 0.0951 00.02570.0342 ,

hhijkhhijk (1.22)

Reaciunile grinzii rezult din al doilea sub-sistem de ecuaii (1.17) i aume

bc = KcU`U =094.0601114.575905.939918.0384

,fgfgfghfgfgfgh

(1.23)

reprezentate mpreun, n Figura (1.7)

Figura 1.7- ncrcare cu for exterioar i reaciunile grinzii

Determinarea eforturilor secionale presupune revenirea la coordonatele locale ale elementului, pe baza relaiei de transformare invers

2(#) = 4(#)25(#) = 4(#)(5(#)15(#) + l5(#) + lO,5(#) ) (1.24) n care toate componentele care intervin n expresie, sunt complet cunoscute, fie iniial- 4(#), 5(#), l5(#) i lO,5(#) , fie ca rezultat al analizei- 15(#) (deplasri ale extremitilor elementelor, n sistemul de referina global). Pentru determinarea eforturilor la extremitile unui anumit element (e), din vectorul global al deplasrilor `, trebuie selectate numai acele deplasri care corespund extremitilor i i j ale elementului.

n acest caz particular, vectorii l3() i lm,3() sunt nuli, grinda nefiind supus ncrcrilor de element- mecanice sau termice. Vectorii eforturilor secionale sunt redai n Tabelul 2 i reprezentai n Figura 1.8.

/

114.5759

100 kN

94.0601 5.9399

/

18.0384

18

Tabelul 2- Eforturile secionale ale elementelor (n sistemul local de coordonate, L)

ELEMENTUL EFORTURI SECIONALE

#

2(%) =gOngOn

=094.0601114.5759094.060126.5107

,

fgfgfghfgfgfgh

#

2() =g2O2n2g3O3n3

=05.939926.510705.93999.1286

,fgfgfghfgfgfgh

# 2() =

g3O3n3g4O4n4

=05.93999.128605.939918.0384

,fgfgfghfgfgfgh

Figura 1.8- Eforturile secionale ale elementelor, la extremiti

Dimensiunea modelului de analiz ar fi putut fi redus de la nceput, prin utilizarea de elemente ncovoiate, observndu-se faptul c fora axiala este nul. Diagramele de for tietoare i de moment ncovoietor sunt reprezentate n Figura 1.9.

1

2

3

/

94.0601

114.5759 26.5107

26.5107

5.9399

9.1286

5.939

9.1286

5.9399

18.0384

/

94.0601

/ /

5.9399

//

19

CAZUL FORELOR EXTERIOARE

Figura 1.9 Diagrame de eforturi secionale

Modificarea seciunii grinzii, genereaz vrf n diagrama de moment ncovoietor, chiar dac structura este nencrcata n acea seciune. Odat cunoscute eforturile secionale la extremitile elementelor, pot fi trasate diagramele de eforturi secionale, dup determinarea acestora n alte seciuni de interes, folosind funciile de interpolare a deplasrilor extremitilor (Iancovici, 2010). Exerciiu individual| se dezvolt rutina de analiz Matlab Educational pentru calculul grinzii i se compar rezultatele obinute, cu grinda avnd seciune constant (a elementelor 1 i 3). Exemplul numeric A2| Se determin distribuia de for axial n barele structurii

articulate din Figura 2.1, pentru (i) ncrcarea cu fore exterioare, (ii) ncrcarea cu cedare de reazem. Este studiat apoi, efectul rezemrii elastice a reazemului simplu. Caracteristicile geometrice i fizice ale elementelor sunt precizate in Figura 2.1. Rutina de analiz Matlab Educational este creat n cadrul laboratorului didactic pe baza suportului teoretic, de curs.

Modelului discret de analiz i este ataat sistemul global de referin (G). Modelul prezentat n Figura 2.1, conine 3 elemente i 3 noduri (un nod efectiv i dou, de rezemare).

+94.0601

-5.9399

T

-114.5759

-9.1286

M

+26.5107

-18.0384

20

Figura 2.1 Modelul discret de analiz, incidena dintre elemente i noduri

Modelul idealizat de analiz const n fapt, dintr-un ansamblu de resoarte axiale, conectate prin noduri interioare i exterioare (Figura 2.2).

Figura 2.2 Modelul idealizat de analiz

Interaciunea dintre elemente i noduri, precum i datele primare referitoare la geometria structurii, necesare n analiz, sunt furnizate n Tabelul 3.

Tabelul 3 Incidena dintre elemente i noduri, topologia structurii

ELEMENTUL Xi Yi Xj Yj Le(m) e sine cose # 0.00 4.00 4.00 0.00 5.657 315o -0.707 0.707 # 4.00 0.00 0.00 0.00 4.00 180o 0 -1 # 0.00 4.00 0.00 0.00 4.00 270o -1 0

Y

E,A,L=4m

E,A

,L=

4m

E,A,L=5.657m

60kN

100kN

X

1

2

3

2

3

e

n

X2 Y2

1 X1

Y1

X3 Y3

E,A,L=4m

E,A,

L=4m

E,A,L=5.657m

60kN 100kN

X

Y

21

1 fx1L(e1) fy1L(e1)

fx2L(e1) fy2L(e1)

fx3L(e2) fx2L(e2)

fy3L(e2) fy2L(e2)

fx1L(e3)

fx3L(e3)

fy1L(e3)

fy3L(e3)

3 2

Seciunea transversal este aceeai pentru toate elementele, profil metalic 2L 150x150x18 (mm), de arie 0.0102 m2.

Modelul discret de analiz este detaliat n Figura 2.3, prin reprezentarea separat a forelor asociate extremitilor, n sistemul de referin local.

Figura 2.3 Elemente, noduri, fore de capt n sistemul local de referin (L)

Algoritmul de analiz este prezentat n cele ce urmeaz. Astfel, matricea de rigiditate a elementului n coordonate locale are expresia

() = o 1 11 1 p (2.1) n care, este modulul de elasticitate longitudinal (modulul lui Young), este lungimea elementului iar A este aria seciunii transversale a elementului. Pentru compatibilizarea dimensiunii matricei n sistemul local, cu cea n sistemul global, se adug artificial linii i coloane nule astfel

() = q1 0 1 00 0 0 01 0 1 00 0 0 0r (2.2)

Exprimarea matricei de rigiditate n sistemul global de axe de referin se face prin intermediul matricei de transformare a coordonatelor, adaptat dimensiunii elementului dublu articulat, astfel

4(6) = q 0 >8?0 0 0>8?0 0 0 00 0 0 >8?00 0 >8?0 0r (2.3)

22

utiliznd relaia de transformare

L(6) = F4(6)HmP(6)4(6) (2.4) Opernd asupra relaiei (2.4), rezult c pentru elemente dublu articulate la extremiti, matricea de rigiditate n sistemul de referin global, poate fi rescris sub forma

L(6) = 0 >8?00 0 >8?00>8?00 >8?0 >8?00 >8?00 >8?00 0 >8?00>8?00 >8?0 >8?00 >8?0

(2.5) aceasta exprimare facilitnd scrierea direct a matricelor elementelor, n sistemul de referin global. Sinteza generrii a matricelor i a vectorilor elementelor, a procesului de asamblare a ecuaiilor de echilibru este prezentat mai jos.

ELEMENTUL MATRICE DE TRANSFORMARE I MATRICE DE RIGIDITATE N SISTEMUL DE REFERIN GLOBAL, G

#

4(%) = q0.707 0.707 0 00.707 0.707 0 00 0 0.707 0.7070 0 0.707 0.707 r

L(%) = s q0.088 0.088 0.088 0.0880.088 0.088 0.088 0.0880.088 0.088 0.088 0.0880.088 0.088 0.088 0.088 r

#

4() = q1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1r

L() = s q0.25 0 0.25 00 0 0 00.25 0 0.25 00 0 0 0r

23

#

4() = q0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0 r

L() = s q0 0 0 00 0.25 0 0.250 0 0 00 0.25 0 0.25 r

Exprimarea condiiei de echilibru static al nodurilor, n direciile x i y este

NODUL 1

tu = tu(%) + tu() + tu() (2.6a) tv = tv(%) + tv() + tv()

NODUL 2

tu = tu(%) + tu() + tu() (2.6b) tv = tv(%) + tv() + tv()

NODUL 3

tu = tu(%) + tu() + tu() (2.6c) tv = tv(%) + tv() + tv()

reprezentnd contribuia fiecrei extremiti de element, la echilibrul nodului incident. Se nelege c nodurile fr cuplaj elastic, vor avea componenta sub-vectoriala nul (de ex. tu() i tv() pentru exprimarea echilibrului nodului 1). Exprimnd n mod compact i unitar relaiile (2.6 a-c), rezult 2 = 2(%) + 2() + 2() (2.7) La nivelul fiecrui element, echilibrul static se exprim astfel

24

ELEMENTUL 1 2(%) = s0.088 0.088 0.088 0.088 0 00.088 0.088 0.088 0.088 0 00.088 0.088 0.088 0.088 0 00.088 0.088 0.088 0.088 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

wxwxwx

(2.8a)

ELEMENTUL 2

2() = s0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0.25 0 0.25 00 0 0 0 0 00 0 0.25 0 0.25 00 0 0 0 0 0

wxwxwx

(2.8b)

ELEMENTUL 3

2() = s0 0 0 0 0 00 0.25 0 0 0 0.250 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0.25 0 0 0 0.25

wxwxwx

(2.8c)

Expresia (2.7) are urmtoarea dezvoltare

2 = (#1)` + (#2)` + (#3)` = o(#1) + (#2) + (#3)p ` = K` (2.9) Astfel nct, matricea de rigiditate a structurii- K va putea fi obinut prin suprapunere direct (asamblare) i are urmtoarea expresie

K = s0.088 0.088 0.088 0.088 0 00.088 0.338 0.088 0.088 0 0.250.088 0.088 0.338 0.088 0.25 00.088 0.088 0.088 0.088 0 00 0 0.25 0 0.25 00 0.25 0 0 0 0.25

(2.10)

Aceeai expresie poate fi obinut prin asamblare direct, pe baza toplogiei structurii (Tabelul 3), adic

K, = (6S) + (6T) !(6R) !(6T)! (6R) !!(6R) + (6S) !(6S)! (6T) ! (6S) !!(6S) + !!(6T)

UVW1X R UVW1X S UVW1X T (2.11)

25

n care sub-matricele rezultate din partiia generat de precizarea condiiilor de rezemare (n=1,2,3; r=4,5,6) sunt

KUU = s 70.088 0.088 0.0880.088 0.338 0.0880.088 0.088 0.338 ; (2.12a)

KUc = s 70.088 0 00.088 0 0.250.088 0.25 0 ; (2.12b)

KcU = s 70.088 0.088 0.0880 0 0.250 0.25 0 ; (2.12c)

Kcc = s 70.088 0 00 0.25 00 0 0.25; (2.12d) Vectorul forelor exterioare (active) aplicate direct nodurilor este

bU = 7 60100 0 ; (2.13) Prin rezolvarea sistemului redus de ecuaii, rezult deplasrile nodurilor `U = KUUBbU (2.14a) adic

7wxw; = 7 761.818160.000 240.000 ; , h (2.14b)

Reaciunile sunt furnizate de sub-sistemul bc = KcU`U (2.15a) adic

bc = 7 6060 40; , fg (2.15b) Vectorul deplasrilor totale i al forelor totale, rezult prin urmare ca fiind

` = 761.818160 240 0 0 0

, h i b = 60100 0 6060 40

, fg (2.16)

26

Determinarea forelor axiale presupune revenirea la coordonatele locale ale elementului, pe baza relaiei de transformare invers

2(#) = 4(#)25(#) = 4(#)5(#)15(#) (2.17) n care toate componentele care intervin n expresie sunt complet cunoscute, fie iniial- 4(#), 5(#), fie ca rezultat al analizei- 15(#) (deplasri ale extremitilor elementelor, n sistemul de referin global). Pentru determinarea eforturilor la extremitile unui anumit element (e), din vectorul global al deplasrilor `, trebuie selectate numai acele deplasri care corespund extremitilor i i j ale elementului. n particular, n echilibrul static poate

interveni vectorul lm,3() i, respectiv am, dac structura este supus ncrcrilor termice (de element).

Mrimile de rspuns sunt redate i reprezentate n Tabelul 4.

Tabelul 4- Deplasri ale extremitilor elementelor (n sistemul de referin global, G) i fore axiale (n sistemul de referin local, L)

ELEMENTUL 1

1L(%) = 1s q 761.818160 240 0 r

2P(%) = q 85.227 085.227 0 r

ELEMENTUL 2

1L() = 1s q240000 r

2P() = q60 0 60 0 r

ELEMENTUL 3

1L() = 1s q 761.818160 0 0 r

2P() = q 40 040 0 r

-

+

-

27

Verificarea rezultatelor, const n cercetarea echilibrului static al nodurilor, prin dou relaii de proiecie, ortogonale (Figura 2.4).

Figura 2.4- Verificarea echilibrului nodurilor Prin calculul manual, clasic, bazat pe metoda izolrii nodurilor, efortul axial n elementul 2 rezult -84.853 kN. Rezulta prin urmare, o diferen relativ de 0.44% dar se reine c ambele abordri sunt afectate de erori numerice, inerente. Dac suplimentar se dorete calculul deplasrii orizontale a nodului 1 spre exemplu, se acioneaz structura cu o fora unitate i se determina distribuia eforturilor axiale n elemente (Figura 2.5).

Figura 2.5 Distribuia de for axial, corespunztoare situaiei virtuale de ncrcare

Utiliznd binecunoscut relaie de calcul a unei deplasri punctuale, particularizat pentru structuri articulate, deplasarea orizontal a nodului 1 rezulta

w = ?g = (1.414 y 84.853 y 5.657 I 1 y 60 y 4 1 y 40 y 4 z{|.z}~ (2.18)

Nodul 1

N1-2=85.227 N1-3=40

60 100

60

N1-2=85.227

Nodul 2

N2-3=60

40

60 N1-3=40

N2-3=60

Nodul 3

1

1

1 1

-1.414

+1

+1

28

n care, ? reprezint forele axiale din situaia virtual de ncrcare iar g- forele axiale din situaia real de ncrcare. Rezult o diferen relativ de 0.41% fa de deplasarea rezultat din analiza utiliznd formularea matriceal a Metodei deplasrilor.

Analiza automat a structurii MATLAB

% Rutina pentru calculul structurii articulate % Mihail Iancovici, UTCB

clear all

% A. Date structura % Material, otel, modul de elasticitate longitudinala E=2.1*10^8;

% Sectiuni A = 0.0102 ; % aria sectiunii transversale, m2

% Geometrie id=[1 1 2 0 4 4 0;2 2 3 4 0 0 0;3 1 3 0 4 0 0]; % tabel de incidenta elemente-noduri % element, nod origine, nod terminatie, X,Y- nod origine, X,Y- nod terminatie

% Element 1 L1=sqrt((id(1,6)-id(1,4))^2+(id(1,7)-id(1,5))^2); sinb1=(id(1,7)-id(1,5))/L1; cosb1=(id(1,6)-id(1,4))/L1;

% Element 2 L2= sqrt((id(2,6)-id(2,4))^2+(id(2,7)-id(2,5))^2); sinb2=(id(2,7)-id(2,5))/L2; cosb2=(id(2,6)-id(2,4))/L2;

% Element 3 L3= sqrt((id(3,6)-id(3,4))^2+(id(3,7)-id(3,5))^2); sinb3=(id(3,7)-id(3,5))/L3; cosb3=(id(3,6)-id(3,4))/L3;

% B. Forte exterioare, kN F1=60; F2=-100;

%C. Matrice de rigiditate a elementelor in sistem LOCAL (L) mat=[1 0 -1 0;0 0 0 0;-1 0 1 0;0 0 0 0]; % matrice intrinseca

% Element 1 k1=(E*A/L1)*mat;

% Element 2 k2=(E*A/L2)*mat;

% Element 3 k3=(E*A/L3)*mat;

29

Figura 2.6- Rutin de analiz a structurii articulate ( Matlab Educational)

% Matrice de rigiditate a elementelor in sistem GLOBAL (G)

% Matrice de transformare a coordonatelor elementelor T1=[cosb1 sinb1 0 0;-sinb1 cosb1 0 0; 0 0 cosb1 sinb1;0 0 -sinb1 cosb1]; T2=[cosb2 sinb2 0 0;-sinb2 cosb2 0 0; 0 0 cosb2 sinb2;0 0 -sinb2 cosb2]; T3=[cosb3 sinb3 0 0;-sinb3 cosb3 0 0; 0 0 cosb3 sinb3;0 0 -sinb3 cosb3];

% Matrice de rigiditate a elementelor kg1=T1'*k1*T1; kg2=T2'*k2*T2; kg3=T3'*k3*T3;

% Matricea de rigiditate a structurii

K=[kg1(1:2,1:2)+kg3(1:2,1:2) kg1(1:2,3:4) kg3(1:2,3:4);kg1(3:4,1:2) kg1(3:4,3:4)+kg2(1:2,1:2) kg2(1:2,3:4);... kg3(3:4,1:2) kg2(3:4,1:2) kg2(3:4,3:4)+kg3(3:4,3:4)];

% Declararea conditiilor de rezemare

Knn=K(1:3,1:3); % partitionarea matricei K, GL n=1,2 si 3, r=4,5 si 6 Krn=K(4:6,1:3); Knr=K(1:3,4:6); Krr=K(4:6,4:6);

Ur=zeros(3,1); %nu exista cedari de reazeme

% Forte exterioare (active)

Fn=[F1 F2 0]';

%D. Raspuns structural

% Deplasarile nodurilor

Un=inv(Knn)*(Fn-Knr*Ur);

% Reactiuni

Fr=Krn*Un+Krr*Ur;

% Eforturi axiale

U=[Un;Ur];

f1=k1*T1*U(1:4); f2=k2*T2*U(3:6); f3=k3*T3*[U(1:2);U(5:6)]; %------------------------------------------------------------------------

30

Rularea rutinei din Figura 2.6, genereaz urmtoarele rezultate, n termeni de

(i) deplasri ale nodurilor efective, i anume

`U d wxw e 7 0.35430.07470.1120 ; 10B , m (2.19a)

i

(ii) reaciuni

bc = 7 {; = 7 6060 40;, kN (2.19b)

Forele axiale n elemente, sunt ilustrate n Tabelul 5 (interpretarea semnelor este realizat n funcie de axele de coordonate n sistemul local).

Tabelul 5- Fore axiale (in sistemul de referinta local, L) ELEMENTUL 1

2P(%) = q 84.8528 084.8528 0 r

ELEMENTUL 2

2P() = q60 0 60 0 r

ELEMENTUL 3

2P() = q 40 040 0 r

-

+

-

31

CAZUL CEDRILOR DE REAZEME Structura este acum acionat de forele exterioare, care induc nodului 2 o cedare vertical (Figura 2.7), n jos, egal cu 0.3/EA (m). Se determin rspunsul structurii.

Figura 2.7 Structur articulat supus forelor exterioare i cedrii reazemului

Vectorul deplasrilor nodurilor devine

` `U`c" wxwSwx

w x w 9.T 0 0 (2.20)

Procedeul de rezolvare a sistemului de ecuaii const n eliminarea liniilor i a coloanelor corespunztoare deplasrilor cunoscute, n acest caz 4, 5 i 6. Sistemul redus de ecuaii devine astfel

s 70.088 0.088 0.088 0.088 0 00.088 0.338 0.088 0.088 0 0.250.088 0.088 0.338 0.088 0.25 0 ; w x w . 0 0

= 7 60100 0 ; (2.21) Prin trecerea n membrul drept a ultimelor 3 coloane, se obine sistemul de ecuaii

s 70.088 0.088 0.0880.088 0.338 0.0880.088 0.088 0.338 ; 7wxw; = 7

60.026100.0260.026 ; (2.22) n care vectorul forelor exterioare reprezint vectorul forelor exterioare efective.

E,A,L=4m

E,A,

L=4m

E,A,L=5.657m

60kN 100kN

X

Y

DEPLASARE VERTICAL

32

Prin rezolvarea sistemului (2.22), rezult vectorul deplasrilor nodurilor

7wxw; 7 762.114160 240 ; , h (2.23a)

astfel nct vectorul deplasrilor nodurilor, inclusiv cele de rezemare, este

` =wxwxwx

=

762.114160 2400.3 0 0

, h (2.32b) Prin comparaie cu cazul precedent, rezult o cretere nesemnificativ a deplasrii orizontale a nodului 1, adic exact cedarea reazemului. Dac numai cedarea de reazem ar aciona structura, atunci vectorul forelor efective devine

7 0.0260.0260.026; (2.33a) iar vectorul deplasrilor nodurilor este

7wxw; = 70.29600 ; , h (2.33b)

Prin calcul manual, deplasarea orizontal a nodului 1 rezulta

w = i = o1 ( .)p = .~ (2.34) n care, i reprezint reaciunile din situaia virtual de ncrcare (Figura 2.5) iar este cedarea de reazem (Figura 2.7).

*Este de observat c structura fiind static determinat, cedarea reazemului nu produce eforturi. Exerciiu individual| se adapteaz rutina de analiz , din Figura 2.6, pentru incorporarea situaiei de ncrcare cu cedare de reazem, tratat analitic, in exemplul de mai sus.

Sugestie de rezolvare | se modifica vectorul deplasrilor gradelor de libertate restricionate, n acord cu noua situaie de ncrcare.

33

CAZUL REZEMRII ELASTICE Se consider structura cu rezemare elastic a reazemului simplu, acionat de forele exterioare (Figura 2.8). Rigiditatea axial a resortului este kr = 0.2 EA (kN). Se determin rspunsul structurii.

Figura 2.8 Modelul de calcul i reprezentare idealizat

Acest model de analiz tinde sa reproduca efectul rezemarii structurii pe medii deformabile sau efectul izolarii vibratorii- din punct de vedere elastic.

Figura 2.9 Modelul discret de analiz, incidena dintre elemente i noduri

1

2 3

2

3

1

4

4

Y1 Y1

X2 Y2

X3 Y3

X4 Y4

Y

E,A,L=4m

E,A,

L=4m

E,A,L=5.657m

60kN

100kN

X

kr

Y

E,A,L=4m

E,A,

L=4m

E,A,L=5.657m

60kN

100kN

X

kr

34

Potrivit expresiei matricei de rigiditate a elementului dublu articulat (elementul 4 n Figura 2.9), expresia acesteia n raport cu sistemul de referin local devine

P( 7 (6Y !(6Y! (6Y !!(6Y; q f 0 f 0 0 0 0 0f 0 f 0 0 0 0 0r (2.35a)

adic

P() = 0.2s q1 0 1 00 0 0 01 0 1 00 0 0 0r (2.35b) 0 = 270 i rezult matricea de transformare a coordonatelor 4() = q0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0 r (2.36) aceeai cu a elementului 3. Matricea de rigiditate a elementului 4, n sistemul de referin global este

L() = 0.2s q0 0 0 00 1 0 10 0 0 00 1 0 1 r (2.37) Matricea de rigiditate a structurii, n sistemul de referin global, capta urmtoarea structura prin asamblarea elementului 4 la matricea structurii cu rezemare rigid

K = (6S) + (6T) !(6R) !(6T) 9! (6R) !!(6R) + (6S) + (6Y) !(6S) !(6Y)! (6T) ! (6S) !!(6S) + !!(6T) 99 ! (6Y) 9 !!(6Y)

(2.38a)

Numeric, aceasta devine

K = s0.088 0.088 0.088 0.088 0 0 0 00.088 0.338 0.088 0.088 0 0.25 0 00.088 0.088 0.338 0.088 0.25 0 0 00.088 0.088 0.088 0.088 + 0.2 0 0 0 0.20 0 0.25 0 0.25 0 0 00 0.25 0 0 0 0.25 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0.2 0 0 0 0.2

=

(2.38b)

35

s0.088 0.088 0.088 0.088 0 0 0 00.088 0.338 0.088 0.088 0 0.25 0 00.088 0.088 0.338 0.088 0.25 0 0 00.088 0.088 0.088 0.288 0 0 0 0.20 0 0.25 0 0.25 0 0 00 0.25 0 0 0 0.25 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0.2 0 0 0 0.2

Impunnd condiiile de rezemare, deplasrilor cunoscute ale nodurilor sunt v2 = u3 = v3= u4 = v4=0 iar prin rezolvarea sistemului redus de ecuaii, rezult deplasrile necunoscute ale nodurilor 1 i 2, astfel

qwxwxr = q

1061.8160240300 r , h (2.39a) iar reaciunile rezult

uvuv

= q6040060 r , fg (2.39b)

Sinteza rezultatelor este prezentat comparativ, pentru (i) modelul cu rezemare rigid la translaie vertical, i (ii) pentru modelul cu rezemare elastic (Tabelul 6).

Tabelul 6- Sinteza rezultatelor analizei pentru dou cazuri de rezemare

REAZEM RIGID REAZEM ELASTIC

Model de analiz

Deplasri, m

7w1x1w2; = 1s 7 761.818160 240 ;

qwxwxr =1s q

1061.8160 240300 r

E,A,L=4m

E,A,

L=4m

E,A,L=5.657m

60kN

100kN

x

y y

E,A,L=4m

E,A,

L=4m

E,A,L=5.657m

60kN

100kN

x

kr

36

Reactiuni, kN

vuv 7 6060 40;

uvuv

= 1s q60 40 0 60r

Deplasarea orizontal la vrful structurii, nregistreaz o cretere de cca. 40%, n timp ce eforturile n elemente, rmn neschimbate, darorita determinrii statice a structurii. Efortul de compresiune n resort este de 60 kN, adic exact fx.

Exemplul numeric A3| Pentru structura tip- cadru plan din beton armat din Figura 3.1, avnd proprieti fizico-mecanice i geometrice specificate, se determin rspunsul exprimat n deplasri i eforturi secionale. Rutina de analiz Matlab Educational este dezvoltat n cadrul laboratorului de calcul.

Figura 3.1- Structura real i caracteristici fizico-mecanice ale elementelor

Modelul discret propus spre analiz, const n 3 elemente de tip bar dublu ncastrat, pentru care matricea de rigiditate este dat de expresia (1.2). Modelul va dipune prin urmare, de un numr total de 12 grade de libertate elastic (Figura 3.2), din care 6 sunt active (n=1-6) iar 6- restricionate (r= 7-12).

Figura 3.2- Modelul discret de analiz i grade de libertate elastic asociate n sistemul de referin global (XYZ)

Modul lui Young E = 2.1x107 kN/m2 Seciuni: Stlpi|50x50 (cm)

Grind|35x90(cm)

5.00

8.00

20 kN/m

60 kN

2

5

1 3

4 6

8

7 9

11

10 12

X

Y

Z

0

37

Elementele structurale individuale i axele de referin locale asociate, sunt reprezentate n Figura 3.3.

Figura 3.3- Elemente structurale discrete, noduri i sisteme de referin local (xyz)

Structura matricei de rigiditate a elementului, n sistem local este

(6 (6 !(6! (6 !!(6 (3.1) n care, (6 i !!(6 sunt sub-matricele primare de rigiditate, iar !(6i ! (6sunt sub-matricele secundare de rigiditate, ca efect al cuplajului elastic ntre extremitile i-nod origine i j-nod terminaie. Utiliznd transformarea (2.4), rescris aici

L(6 M4(6NO P(64(6 (3.2) n care, P(6 reprezint matricea (3.1) iar 4(6 este matricea de transformare a coordonatelor elementului (1.4).

Astfel, matricele de rigiditate ale elementelor, rezult succesiv prin transformarea (3.2). Matricea de rigiditate a structurii K, se obine prin suprapunerea sub-matricelor de capt ale elementelor convergente ntr-un anumit nod, n acord cu topolgia structurii, conform relaiei (1.7) i are structura

K12,12 = (6R) + (6T) !(6R) 9 !(6R)! (6R) (6R) + (6S) !(6S) 99 ! (6S) (6S) 9! (6R) 9 9 (6T)

UVW1X R UVW1X S UVW1X TUVW1X Y (3.3)

UVW1X R UVW1X S UVW1X T UVW1X Y

1 2

3 4

e1: k1

e2: k2 e3: k3

x

y

z

0

x

y z

0

x

y z

0

38

Prin declararea condiiilor de rezemare, sunt eliminate deplasrile cinematice, de corp rigid, iar matricea de rigiditate se partiioneaz astfel

K12,12 = KUU KUcKcU Kcc" (3.4) Sub-matricea de rigiditate corespunztoare gradelor de libertate elastic active (1 la 6) rezult

KUU = 106

0.8079 0 0.0868 0.7500 0 00 2.0908 0.0262 0 0.0075 0.0262 0.0868 0.0262 0.2961 0 0.0262 0.06120.7500 0 0 0.8079 0 0.08680 0.0075 0.0262 0 2.0908 0.02620 0.0262 0.0612 0.0868 0.0262 0.2961 (3.5)

Vectorul forelor exterioare active (fore propriu-zise i momente), construit n acord cu axele de coordonate n sistem global (Figura 3.2) este

bU =

{

=

6000 000 (3.6)

Pentru elementul de grind dublu ncastrat, avnd seciune constant i supus forelor uniform distribuite n lungul elementului-px i normal la element-py , ambele pozitive n raport cu sistemul de referin local, vectorul forelor echivalente ncrcrii de element, reduse n raport cu extremitile are expresia general

l(#3) = l8l:" =

2 >8?0# 2 0# 212 2 >8?0# 2 0# 212

(3.7)

n care, >8?0i 0 sunt sinuii i cosinuii directori ai elementului. Vectorul reprezint exact eforturile de ncastrare perfect, cunoscute din formularea clasic a Metodei deplasrilor. Vectorul forelor echivalente ncrcrii de element, necesit aceeai transformare de coordonate, din sistemul local, n cel global, pe baza relaiei

l5(#) = M4(6)N4 l(#) (3.8)

39

Rezult, prin acelai procedeu de asamblare, vectorul forelor echivalente forelor aplicate elementului a, prin suprapunerea sub-vectorilor elementelor de forma a8 l8,5(#(# , e=1,2,,m-elemente ; 8 1,2, , ?=kwi8 (3.9) n exemplul numeric curent, grinda orizontal este singura afectat de ncrcare de element, aa nct structura vectorului global va fi

a, =l,3(%) + l,3()l,3(%) + l,3()l,3()l,3()

UVW1X R UVW1X S UVW1X TUVW1X Y =

l,3(%)l,3(%)99 = a_a " (3.10)

Sistemul de ecuaii de echilibru este K` + a = b (3.11a) rescris sub forma partiionat astfel

KUUKcU KUcKcc" `U`c" + daUace = bUbc" (3.11b) Sistemul redus de ecuaii este KUU`U+KUc`c + aU = bU (3.12a) iar cel de-al doilea sub-sistem rezult KcU`U + Kcc`c + ac = bc (3.12b) Prin rezolvarea primului sub-sistem rezult deplasrile nodurilor efective (active) astfel `U = KUUR(bU aU KUc`c) (3.13a) iar cel de al doilea sub-sistem furnizeaz reaciunile structurii astfel bc = KcU`U + Kcc`c + ac (3.13b) Determinarea eforturilor secionale presupune revenirea la coordonatele locale ale

elementului, prin relaia

2(#) = 4(#)25(#) = 4(#)(5(#)15(#) + l5(#)) (3.14) n care, toate componentele care intervin n expresie sunt complet cunoscute, fie iniial- 4(), 3() i l3() i fie ca rezultat al analizei- 13(). Pentru determinarea eforturilor la extremitile unui anumit element (e), din vectorul global al deplasrilor `, trebuie selectate numai acele deplasri care corespund nodurilor i i j ale elementului. Odat cunoscute eforturile secionale la extremitile elementelor, pot fi trasate diagramele de eforturi secionale, dup determinarea acestora n alte seciuni de interes, folosind funciile de interpolare a deplasrilor extremitilor (Iancovici, 2010).

40

n Figura 3.4 este redat rutin de calcul a cadrului din Figura 3.1, care ncorporeaz algoritmul de analiz descris mai sus.

% Rutina pentru calculul structurilor in cadre plane % Mihail Iancovici, UTCB

clear all;

%A. Date structura % material, beton armat, modul de elasticitate longitudinala E = 2.1*10^7; % kN,m

%Sectiuni %Stalpi bst=0.5; hst=0.5; Lst=5; Ast = bst*hst; Ist=bst*hst^3/12;

%Rigla br=0.35; hr=0.9; Lr=8; Ar = br*hr; Ir=br*hr^3/12;

%B. Forte exterioare p=20; % forta de element P=60; % forta la nod

% Matrice de rigiditate a elementelor in sistem LOCAL (L) % elementul 1-rigla k1 = [E*Ar/Lr 0 0 -E*Ar/Lr 0 0;0 12*E*Ir/Lr^3 -6*E*Ir/Lr^2 0 -12*E*Ir/Lr^3 -6*E*Ir/Lr^2; 0 -6*E*Ir/Lr^2 4*E*Ir/Lr 0 6*E*Ir/Lr^2 2*E*Ir/Lr;... -E*Ar/Lr 0 0 E*Ar/Lr 0 0;0 -12*E*Ir/Lr^3 6*E*Ir/Lr^2 0 12*E*Ir/Lr^3 6*E*Ir/Lr^2; 0 -6*E*Ir/Lr^2 2*E*Ir/Lr 0 6*E*Ir/Lr^2 4*E*Ir/Lr];

%elementul 2-stalp k2 = [E*Ast/Lst 0 0 -E*Ast/Lst 0 0;0 12*E*Ist/Lst^3 -6*E*Ist/Lst^2 0 -12*E*Ist/Lst^3 -6*E*Ist/Lst^2; 0 -6*E*Ist/Lst^2 4*E*Ist/Lst 0 6*E*Ist/Lst^2 2*E*Ist/Lst;... -E*Ast/Lst 0 0 E*Ast/Lst 0 0;0 -12*E*Ist/Lst^3 6*E*Ist/Lst^2 0 12*E*Ist/Lst^3 6*E*Ist/Lst^2; 0 -6*E*Ist/Lst^2 2*E*Ist/Lst 0 6*E*Ist/Lst^2 4*E*Ist/Lst];

%elementul 3-stalp k3=k2;

%Matrice de transformare a coordonatelor elementelor T1 = eye(6); T2= [0 -1 0 0 0 0;1 0 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 -1 0;0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 0 1]; T3=T2;

41

%Matrice de rigiditate a elementelor in sistem GLOBAL (G)

kg1 = T1'*k1*T1; % elementul 1-rigla kg2 = T2'*k2*T2; %elementul 2-stalp kg3 = T3'*k3*T3; %elementul 3-stalp

% Submatrice de rigiditate ale elementelor

% elementul 1-rigla kgii1 = [kg1(1,1), kg1(1,2), kg1(1,3); kg1(2,1), kg1(2,2), kg1(2,3);kg1(3,1), kg1(3,2), kg1(3,3)]; kgij1 = [kg1(1,4), kg1(1,5), kg1(1,6); kg1(2,4), kg1(2,5), kg1(2,6),;kg1(3,4), kg1(3,5), kg1(3,6)]; kgji1 = [kg1(4,1), kg1(4,2), kg1(4,3); kg1(5,1), kg1(5,2), kg1(5,3),;kg1(6,1), kg1(6,2), kg1(6,3)]; kgjj1 = [kg1(4,4), kg1(4,5), kg1(4,6); kg1(5,4), kg1(5,5), kg1(5,6);kg1(6,4), kg1(6,5), kg1(6,6)];

% elementul 2-stalp kgii2 = [kg2(1,1), kg2(1,2), kg2(1,3); kg2(2,1), kg2(2,2), kg2(2,3);kg2(3,1), kg2(3,2), kg2(3,3)]; kgij2 = [kg2(1,4), kg2(1,5), kg2(1,6); kg2(2,4), kg2(2,5), kg2(2,6);kg2(3,4), kg2(3,5), kg2(3,6)]; kgji2 = [kg2(4,1), kg2(4,2), kg2(4,3); kg2(5,1), kg2(5,2), kg2(5,3),;kg2(6,1), kg2(6,2), kg2(6,3)]; kgjj2 = [kg2(4,4), kg2(4,5), kg2(4,6); kg2(5,4), kg2(5,5), kg2(5,6);kg2(6,4), kg2(6,5), kg2(6,6)];

% elementul 3-stalp kgii3 = kgii2; kgij3 = kgij2; kgji3 = kgji2; kgjj3 = kgjj2;

% C. Matricea de rigiditate a structurii

K = [kgii1+kgii3,kgij1,zeros(3),kgij3;kgji1,kgjj1+kgii2,kgij2,zeros(3);zeros(3),kgji2,kgjj2,zeros(3);kgji3,zeros(3),zeros(3),kgjj3]; % asamblarea matricei

for i=1:12 for j=1:12 if i~=j if K(i,j)~=K(i,j) disp('K nesimetrica) else disp('K simetrica) end end end end

% Partitionarea matricei de rigiditate a structurii Knn = K(1:6,1:6); Knr = K(1:6,7:12); Krn = K(7:12,1:6) Krr = K(7:12,7:12);

42

Figura 3.4- Rutina de analiz a structurii ( Matlab Educational) Rularea rutinei din Figura 3.4, genereaz urmtoarele rezultate, n termeni de (i) deplasri ale nodurilor efective

`U

wx wx{

0.00340.0001 0.0008 0.00340.00010.0003

, m, rad (3.15a) i (ii) reaciuni

bc =

z|}

=

43.8745 97.5788 102.5767 16.1255 62.4212 56.7925 , kN, kNm ( 3.15b)

De asemenea, eforturile secionale n elementele structurale, rigl i stlpi, sunt ilustrate n Tabelul 7 (interpretarea semnelor este realizat n funcie de axele de coordonate n sistemul locala al fiecrui element).

% Construirea vectorului fortelor aplicate nodurilor efective si a % vectorului fortelor de element

Fn = [F1 0 0 0 0 0]'; % vectorul fortelor aplicate nodurilor efective Q = [0 p*Lr/2 -p*Lr^2/12 0 p*Lr/2 p*Lr^2/12 0 0 0 0 0 0]';%vectorului fortelor de element Qn = Q(1:6); Qr = Q(7:12);

Un = inv(Knn)*(Fn-Qn) Ur = zeros(6,1); Fr = Krn*Un+Qr

%Vectorul deplasarilor totale U = [Un; Ur]

%Vectorul fortelor totale F = [Fn; Fr]

%Eforturi sectionale f1 = T1*kg1*U(1:6)+T1*Qn; f2 = T2*kg2*[U(4:6); U(7:9)]; f3 = T3*kg3*[U(1:3); U(10:12)]; %-----------------------------------------------------------------------

43

Tabelul 7- Eforturi secionale la extremitile elementelor (n sistemul de referin local, L)

ELEMENTUL 1

2(%

t1t2t3 t4t5t6 =

g1O1n1 g2O2n2 =

43.8745 62.4212 23.8348 43.8745 97.5788116.7960

ELEMENTUL 2

2() =

t1t2t3 t4t5t6 =

g2O2n2 g3O3n3

=

97.5788 43.8745 116.796097.578843.8745 102.5767

ELEMENTUL 3

2() =

t1t2t3 t4t5t6 =

g1O2n3 g4O4n4 =

62.4212 16.1255 23.834862.421216.1255 56.7925

Exerciiul individual 1| Se determina rspunsul structurii din Figura 3.1, pentru situaia de ncrcare corespunztoare unor cedri ale reazemelor ncastrate (exprimate n sistemul de referin global), dup cum urmeaz: w|, = 2

44

Exerciiul individual 2| Se determin rspunsul structurii din Figura 3.1, pentru situaia de ncrcare cu variaii de temperatur (ncrcri termice). Variaia de temperatur la interior, este de 20C, iar la exterior, de 10C.

Sugestie de rezolvare | Se modific structura sistemului de ecuaii (3.11a) i structura algoritmului Matlab Educational din Figura 3.4, dup cum urmeaz: K` I a4 b (3.15a) a4 este vectorul forelor echivalente ncrcrii termice, obinut prin asamblarea de forma a,m lm,3(( , e=1,2,,m-elemente ; 8 1,2, , ?=kwi8 (3.15b) n care, lm,3() este sub-vectorul forelor echivalente ncrcrii termice, corespunztor extremitii i a elementului (e), exprimat n sistemul global de referin.

Elementul dublu ncastrat, de seciune constant, supus variaiilor de temperatur ( > > 0), este reprezentat n Figura 3.5.

Figura 3.5 Element structural dublu ncastrat, supus variaiilor de temperatur

Expresia vectorului forelor echivalente variaiei de temperatur, n raport cu sistemul local de coordonate (Iancovici, 2010) este

lO(#) = dl8,Ol:,Oe = =s0= =s0 =

(3.16)

n care, reprezint coeficientul de dilataie termic a materialului, este componenta uniform a variaiei de temperatur, reprezint componenta neuniform a variaiei de temperatur iar este inalimea seciunii transversale a elementului. Precizarea semnului i a valorilor temperaturilor corespunztoare fibrelor extreme ale elementului, va indica automat termenii nuli i semnele componentelor nenule ale vectorului lO. Matricea de rigiditate K este aceeai, indiferent de natura aciunii, rigiditatea fiind o caracteristic intrinsec a structurii. Scris sub forma partiionat, sistemul (3.15a) devine

L,E,I,t2o

nodul i nodul j

2 5

1 6

3 4

t1o

t2o

h

t1o

y1

y2 axa neutr to

to

45

KUUKcU KUcKcc" `U`c" I daU,4ac,4e bUbc" (3.17) n care, aU,4 i ac,4 reprezint sub-vectorii forelor echivalente ncrcrii termice, n accord cu coordonatele de indice n-active i respectiv, de coordonate r- mpiedicate. Sistemul redus de ecuaii este KUU`UIKUc`c I aU,4 bU (3.18a) iar cel de-al doilea sub-sistem rezult KcU`U I Kcc`c I ac,4 bc (3.18b) Prin rezolvarea primului sub-sistem rezult deplasrile nodurilor efective (active) astfel `U KUUR(bU aU,4 KUc`c (3.19a) iar cel de al doilea sub-sistem furnizeaz reaciunile structurii astfel bc KcU`U I Kcc`c I ac,4 (3.19b) Determinarea eforturilor secionale presupune revenirea la coordonatele locale ale

elementului adic, prin relaia

2(# 4(#25(# 4(#(5(#15(# I lO,5(# (3.20) n care, toate componentele care intervin n expresie sunt complet cunoscute, fie iniial- 4(, 3(i lm,3( , fie ca rezultat al analizei- 13(. Odat cunoscute eforturile secionale la extremitile elementelor, pot fi trasate diagramele de eforturi secionale, dup determinarea acestora n alte seciuni de interes, folosind funciile de interpolare a deplasrilor extremitilor (Iancovici, 2010).

Exercitiul individual 2| Se determina rspunsul structurii din Figura 4.1, cu rezemare elastic. Caracteristicile fizico-mecanice ale structurii, precum i rigiditile resoartelor de translaie i de rotire, sunt precizate n Figura 4.2.

Figura 4.1 Situaia real

TEREN

FUNDATIE

STRUCTURA

46

Sugestie de rezolvare| Dimensiunea modelului global de analiz, crete- de la 6 grade de libertate active, la 12 grade de libertate active, prin ncorporarea matricelor de rigiditate ale sistemelor de rezemare elastic. Se utilizeaz conceptual, modelul de operare prezentat n exemplul numeric 2, pentru calculul structurii articulate, cu rezemare elastic.

Figura 4.2 Model de analiz i caracteristici fizico-mecanice ale structurii i ale mediului deformabil

Se modific rutina de analiz Matlab Educational (Figura 3.4), n acord cu noul model al structurii i se ruleaz analiz. Rezultatele vor fi comparate cu cele obinute prin instrumentele dezvoltate n seciunea urmtoare a lucrrii. Observaie: pentru elemente structurale cu legturi incomplete la extremiti, matricele de rigiditate i vectorii forelor echivalente, se vor modifica n acord cu tipul elementului (Iancovici, 2010).

***

Modul lui Young E = 2.1x107 kN/m2 Seciuni: Stlpi|50x50 (cm)

Grind|35x90(cm) Rigiditi resoarte teren kx,t=200000 kN/m

ky,t= 350000 kN/m

k,t= 120000 kNm/rad

4.00 4.00

60 kN 120 kN

3.50 kx,t

ky,t

k,t

47

B| Exemple numerice, calcul automat

Graphical User Interface (GUI)

Dezvoltarea unor rutine proprii de analiz, prezint avantajele (i) de a familiariza

cursantul cu algoritmii de calcul structural, cu succesiunea de operaii necesare analizei, (ii) de a ncorpora cu o mai mare flexibilitate, noi modele de analiz (de exemplu, elemente structurale avnd forme oarecari ale seciunii transversale), dar prezint de asemenea, dezavantajul unei eficiene sczute de generare a geometriei structurii, de automatizare a calculului, de vizualizare i de stocare a rezultatelor. Acest dezavantaj este suplinit prin utilizarea pe scar larg, n practic curent, a programelor de analiz automat, comerciale sau- n cazul de fa, cu valene didactice. Platforma utilitar Matlab Educational, permite realizarea unor astfel de programe.

Seciunea curent a lucrrii i propune familiarizarea cursantului cu operarea prin intermediul programelor de analiz automat. Aplicaiile practice sunt rezolvate cu programul didactic FTOOL v3.0, dezvoltat de profesorul Luiz Fernando MARTHA (Pontifical Catholic University of Rio de Janeiro, Brazilia) i disponibil gratuit la adresa http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftool/ftooleng.html. Autorul exprima calde mulumiri pentru acceptul de a folosi programul de analiz, n prezenta lucrare didactic.

Sunt descrise doar principalele operaii pe care analistul trebuie s le parcurg, precum i valenele programului de calcul. Totalitatea informaiei referitoare la performanele i operarea programului, se regsete n manualul acestuia, disponibil la adresa http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/ftoolman300-en.pdf .

Este prezentat n continuare ecranul principal de interaciune cu utilizatorul i sunt detaliate etapele operrii prin intermediul programului de analiz structural. De asemenea, sunt inserate spaii libere n subsolul paginilor, pentru notie ale cursantului, la fiecare seciune.

PRE-PROCESARE

Etapa presupune declararea tipului materialului, a generrii geometriei structurii, a declarrii condiiilor de rezemare, a seciunii elementelor i a atribuirii ncrcrilor.

48

material

rezemare

[Notie cursant]

seciuni

geometrie

49

legturi interioare

constrngeri elastice

[Notie cursant]

50

fore generalizate concentrate

fore liniar distribuite

[Notie cursant]

51

PROCESARE

Etapa presupune apelarea bibliotecii de elemente, a matricelor de rigiditate corespunztoare, a transformrii de coordonate, a asamblrii matricei de rigiditate a structurii i a vectorilor termenilor liberi, a partiionrii acestora, a rezolvrii sub-sistemelor de ecuaii de echilibru i determinarea eforturilor secionale.

ncrcri termice

convoaie de fore mobile

52

POST-PROCESARE

Etapa presupune reprezentarea grafic a ncrcrilor, a reaciunilor, a diagramelor de eforturi, a poziiei deformate a structurii sau a liniilor de influen.

poziia deformat

[Notie cursant]

53

Exemplul numeric B1| Structura articulat supus forelor exterioare, rezolvat prin rutina Matlab Educational, n exemplul numeric A2 (Figura 2.6), este rezolvat n aceast seciune, utiliznd programul de analiz FTOOL. Sunt comparate apoi, rezultatele obinute prin cele dou instrumente.

n Figurile 1.1a i 1.1b, sunt reprezentate poziia deformat i reaciunile generate de forele exterioare, precum i fora axial n elementul 1.

Figura 1.1a)- ncrcri, deformata (factor de

multiplicare 1700) i reaciunile structurii Figura 1.1b)- Forele axiale ale structurii

n Tabelul 1, sunt prezentate conparativ rezultatele obinute prin cele dou instrumente de analiz.

Tabelul 1 Deplasri ale nodurilor active i eforturi axiale n elementul 1(diagonal)

Matlab Educational FTOOL

d wxw e 7 0.35430.0747 0.1120; 10B, h

7wxw; = 7 0.3559 10B0.0751 10B 0.1126 10B ; , h

(%) = 84.8528 kN (%) = 84.9 kN

54

Exemplul numeric B2| Pentru cadrul rezolvat prin rutina Matlab Educational (Figura 3.4), n exemplul numeric A3, este utilizat programul FTOOL. Sunt comparate apoi, rezultatele obinute prin cele dou instrumente.

Figura 2.1- Modelul de analiz a structurii ( FTOOL)

Prin rularea modelului de analiz creat, rezult urmtoarele distribuii de eforturi, reaciuni i poziie deformat (Figurile 2.2a-d):

Figura 2.2a)- ncrcri, deformat (factor de

multiplicare 240) i reaciunile structurii Figura 2.2b)- Diagrama de for axial-N

N

55

T

Figura 2.2c)- Diagrama de for tietoare-T Figura 2.2d)- Digrama de moment

ncovoietor- M

Exemplul numeric B3| Se determin distribuia eforturilor secionale n elementele structurale ale halei parter din Figura 3.1. Este studiat apoi influenta modelrii legturii interioare dintre rigl i stlpi, precum i a raportului momentelor de inerie dintre rigl i stlpi.

Figura 3.1 Hala parter din beton armat, cu o singura deschidere

Modelul de calcul al halei parter cu o singur deschidere este prezentat n Figura 3.1. Grinda cadrului este prefabricat, prin urmare, n modelul propus, rigla se consider articulat de stlp. n acest caz, reprezint o legtur simpl interioar, bilateral (pendul), cadrul devenind cadru de ncovoiere. Diagramele de eforturi secionale obinute prin analiz sunt prezentate n Figura 3.2.

MATERIAL Beton armat, E = 2x107 kN/m2

SECIUNI ELEMENTE Stlpi 40x40 (cm)

Grind 25x40 (cm)

T M

N

56

Figura 3.2 Diagrame de eforturi secionale i poziia deformat a structurii

(factor de multiplicare 150)

Tabelul 1 - Sinteza deplasrilor nodurilor

Deplasare Nodul A Nodul B Deformaie axial, m

u, m 0.00603 0.00599 0.00004 v,m -0.00034 -0.00034

, rad -0.00156 -0.00200 Se poate observa cu uurin c ecuaiile de echilibru static, reprezentate prin dou ecuaii de proiecie i o ecuaie de moment n raport cu reazemul ncastrat din stnga, sunt satisfcute: u 10 4.50 36.6 8.4 = 0 v = 240 + 240 240 240 = 0 n,_ = 10 4.50 2.25 + 240 9 63.4 240 9 37.8 = 0.05 (3.1) Eroarea relativ n echilibrul static este de 0.05%. (i) Influena modelarii legturii interioare dintre rigla i stlp

n cazul cadrelor de ncovoiere pur, riglele sunt modelate c avnd rigiditate nul la ncovoiere. Prin urmare acestea reprezint legturi simple (penduli), avnd capacitatea de a prelua doar fora axial. n cazul cadrelor de forfecare pur, riglele sunt considerate perfect rigide la ncovoiere n raport cu stlpii. Legturile stlpilor cu riglele sunt considerate incastrri glisante.

M

A B

57

Figura 3.3 Diagrame de eforturi secionale i poziia deformat a modelului cu rigl perfect rigid (factor de multiplicare 256.5)

Se noteaz raportul momentelor de inerie ale riglei i al stlpilor cu 0 (3.2) iar influena acestuia asupra distribuiei de eforturi i a deplasrilor nodurilor, modelate ca noduri rigide, este reprezentat grafic n Figurile 3.4 i 3.5.

Figura 3.4 Variaia forei tietoare i a momentului ncovoietor n incastrare i n nodul A, n funcie de raportul momentelor de inerie dintre rigl i stlp

32

32.5

3333.5

34

34.5

35

35.536

36.5

37

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15

=Ir/Is

Fort

a ta

ieto

are

(kN)

0

2

4

6

8

10

12

TincTnod

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15

=Ir/Is

Mo

men

t in

covo

ieto

r (kN

m)

0

2

4

6

8

10

12

14

MincMnod

M

T N

58

Figura 3.5 Variaia deplasrilor nodului A (translaii i rotire), n funcie de raportul momentelor

de inerie dintre rigla i stlp

Creterea raportului momentelor de inerie dintre rigla i stlp conduce la descrcarea seciunii de rezemare i ncrcarea seciunii de nod, prin sporirea rigiditii acestuia. ncepnd cu valori ale raportului de cca. 4, rotirea nodului rigid devine aproace zero- nodul comportndu-se c o incastrare glisant la translaie lateral. De la aceeai valoare de 4 a raportului 0, valorile eforturilor secionale i ale deplasrilor devin cvasi-constante.

Exemplul numeric B4| Se determin distribuia eforturilor secionale n elementele

structurale ale halei parter simetrice, supus variaiilor de temperatur (ncrcri termice), aplicate simetric. Caracteristicile de seciune sunt prezentate n Figura 4.2. Modulul de elasticitate longitudinal a oelului este E = 2.1x108 kN/m2 iar coeficientul de dilataie termic, 10B{ ()B.

Figura 4.1 Hal industrial parter, supus variaiilor de temperatur (ncrcri termice)

0.E+00

1.E-03

2.E-03

3.E-03

4.E-03

5.E-03

6.E-03

7.E-03

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15

=Ir/Is

Tran

slat

ii al

e n

odu

lui A

(m

)

-3.E-04

-3.E-04

-3.E-04

-3.E-04

-3.E-04

-3.E-04

-3.E-04

-3.E-04

-3.E-04

-3.E-04

orizontalaverticala

0.E+00

2.E-04

4.E-04

6.E-04

8.E-04

1.E-03

1.E-03

1.E-03

2.E-03

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

=Ir/Is

Ro

tirea

n

odu

lui A

(rad)

59

Figura 4.2 Seciunile elementelor structurale

Rularea programului de analiz, genereaz urmtoarele distribuii de eforturi secionale, n elementele structurale.

Figura 4.3a) Diagrama de forta axiala, N

Figura 4.3b) Diagrama de forta taietoare, T

SECIUNI ELEMENTE (MM)

STLPI HD 400X818 RIGL HE 800B

514x60.5

437x97

800x17.5

300x33

N

T

60

Figura 4.3c) Diagrama de moment incovoietor, M

Diagramale de for axiala i de moment ncovoietor, sunt simetrice n raport cu axa de simetrice, n timp ce diagram de for tietoare, este anti-simetrica. Deformat structurii este de asemenea simetric, n raport cu axa de simetrie (Figura 4.4; Tabelul 2).

Figura 4.4 Poziia deformat a structurii (factor de multiplicare 3000)

Tabelul 2 - Deplasarile nodurilor active

NODUL u, m v, m , rad

A -2.274 x10-4 7.146 x10-5 6.651 x10-5

B -6.877 x10-5 1.445 x10-4 5.432 x10-5

C 0 4.962 x10-4 0

M

A B

C

61

Exemplul numeric B5|Se determin distribuia eforturilor secionale n elementele structurale ale halei industriale parter, avnd seciune variabil n trepte. Hala este prevzut cu un pod rulant amplasat pe prima deschidere (Figura 5.1).

Figura 5.1 Hala industrial parter echipat cu pod rulant

Caracteristicile de seciune sunt prezentate in Figura 5.2. Modulul de elasticitate longitudinal a otelului este E = 2.1x108 kN/m2.

Figura 5.2 Caracteristicile de sectiune ale elementelor structurale

Modelarea aciunilor are la baza urmtoarele fore i surse de provenien: greutatea permanent a halei; greutatea podului rulant, considerat prin intermediul forelor concentrate verticale; fora concentrat orizontal, provenit din frnarea podului, i momente concentrate n punctul de modificare a seciunii stlpilor, provenite din

prinderea excentric a tronsonului superior de cel inferior- n cazul stlpilor perimetrali, i din rezemarea podului rulant pe consol.

Podul rulant este considerat c avnd poziia fix pe structur.

8.50m

4.50m

30.00m 25.00m

POD RULANT

1008x21

302x40

SECIUNI ELEMENTE (MM)

STLPI RIGLE HE 800B

INFERIOR HEM 1000 SUPERIOR HEM 700

716x21

304x40

800x17.5

300x33

62

Modelul de analiz este reprezentat in Figura 5.3.

Figura 5.3 Modelul de analiz a structurii

Rularea programului de analiz, genereaz urmatoarele distribuii de eforturi secionale, n elementele structurale. Distribuiile de eforturi secionale i poziia deformat a structurii sunt prezentate n figurile 5.4a-d.

Figura 5.4a) Diagrama de for axial, N

Figura 5.4b) Diagrama de for tietoare, T

T

N

63

Figura 5.4c) Diagrama de moment incovoietor, M

Figura 5.4d) Poziia deformat a structurii (factor de multiplicare 80)

Deplasarea maxim vertical a riglei pe prima deschidere este de 0.04192 m la abscisa 13.83 m. Prin compararea valorii rezultate cu valoarea admis de normative (L/350-400 =0.075m), rezult c este ndeplinit condiia de limitare a deplasrilor verticale. Deplasarea orizontal a nodului B este de 7.546 mm iar deplasarea nodului rigid A este 9.828 mm, adic 0.0754 din nlimea total a structurii (%). Exemplul numeric B6| Se determin distribuia eforturilor secionale n elementele

structurale ale cadrului etajat din Figura 6.1, supus ncrcrilor gravitaionale i laterale (tip- for seismic). Caracteristicile fizico-mecanice i de seciune sunt precizate. Distribuia de rigiditate la translaie lateral, n elevaie, nu este uniforma.

B

M

A

64

Figura 6.1 Structur n cadre etajate

Rularea programului de analiz , genereaz urmtoarele distribuii de eforturi secionale, n elementele structurale (Figurile 6.2 a-d).

Figura 6.2a) Diagrama de for axial, N

SECIUNI ELEMENTE Stlpi: 50x50 (cm) Rigle: 30x55 (cm) MATERIAL Beton armat E = 3x107 kN/m2

N

65

Figura 6.2b) Diagrama de for tietoare, T

Figura 6.2c) Diagrama de moment incovoietor, M

M

T

66

Figura 6.2d) Poziia deformat a structurii (factor de multiplicare 83.3)

Exemplul numeric B7| Se determin distribuia eforturilor secionale n elementele

structurale ale cadrului etajat din Figura 7.1, supus ncrcrii laterale (tip- presiune aerodinamic uniform). Caracteristicile fizico-mecanice i de seciune sunt precizate. Distribuia de rigiditate la translaie lateral, este uniforma pe nlimea cadrului.

Figura 7.1 Sistem structural n cadre etajate P+4E

SECIUNI ELEMENTE Stlpi: 80x80 (cm) Rigle: 40x65 (cm) MATERIAL Beton armat E = 3x107 kN/m2

67

Este studiat apoi, influena raportului momentelor de inerie ale stlpilor i riglelor (cadru de ncovoiere pura- cadru de forfecare pur), asupra mrimilor de rspuns.

Raportul momentelor de inerie ale riglei i al stlpilor este 0 0.28 (7.1) rezultnd un cadru de incovoiere. Distribuia de for axial, fora tietoare, moment ncovoietor, precum i poziia deformat a cadrului sunt reprezentate n Figura 7.2.

Figura 7.2 Diagrame de eforturi secionale i poziia deformat

(factor de multiplicare 1680.5)

N T

M

68

0

1

2

3

4

5

0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025

Deplasarea orizontala a nodurilor (m)

Niv

el

beta=0.28

0

1

2

3

4

5

0.000 0.010 0.020 0.030

Indicele rotirii relative de nivel (%)

Niv

el

beta=0.28

Distribuia deplasrii orizontale de nivel, precum i a indicelui rotirii relative de nivel, sunt reprezentate n Figura 7.3.

Figura 7.3 Deplasrile orizontale ale nodurilor i indicele rotirii relative de nivel ale structurii iniiale

Rezult aadar, dou cazuri extreme, n modelarea unei structuri n cadre: cadrul de ncovoiere pur i cadrul de forfecare pur, reprezentate idealizat n Figura 7.4.

Figura 7.4 Cazuri extreme n comportarea i modelarea structurilor n cadre

n cazul cadrelor de ncovoiere pur, riglele sunt modelate c avnd rigiditate nul la ncovoiere. Prin urmare acestea reprezint legturi simple (penduli), avnd capacitatea de a prelua doar fora axial.

CADRU DE NCOVOIERE PUR CADRU DE FORFECARE PUR

69

n cazul cadrelor de forfecare pur, riglele sunt considerate perfect rigide la ncovoiere n raport cu stlpii. Legturile stlpilor cu riglele sunt considerate ncastrri glisante ( a se vedea Exemplul numeric B3). Distribuia de for axiala n elementele structurale pentru zece rapoarte de rigiditate la rotire/moment de inerie, este reprezentat n Figura 7.5a.

=0 =1

=2 =4

70

Figura 7.5a) Distribuii succesive de for axial, N

Distribuia de for tietoare n elementele structurale pentru zece rapoarte de rigiditate la rotire/moment de inerie, este reprezentat n Figura 7.5b.

=6 =8

=10 :

71

=0 =1

=2 =4

=6 =8

72

Figura 7.5b) Distribuii succesive de for tietoare, T

Distribuia momentului ncovoietor n elementele structurale pentru zece rapoarte de rigiditate la rotire/moment de inerie, este reprezentat n Figura 7.5c.

=10 :

=0 =1

73

Figura 7.5c) Distribuii succesive de moment ncovoietor, M

=2 =4

=6 =8

=10 :

74

Poziiile deformate ale structurilor i variaia reaciunilor, sunt reprezentate n Figura 7.6.

=0 =1

=2 =4

75

Figura 7.6 Poziiile deformate succesive ale structurilor

(factor de multiplicare 1680) Distribuia deplasrii orizontale de nivel, precum i a indicelui rotirii relative de nivel, sunt reprezentate n Figura 7.7 a i b (fr cazul modelului de ncovoiere pur).

=6 =8

=10 :

76

Figura 7.7a) Variaia deplasrii orizontale a nodurilor i a indicelui rotirii relative de nivel

Figura 7.7b) Variaia deplasrii orizontale a nodurilor i a indicelui rotirii relative de nivel (fr modelul de ncovoiere pur)

Exemplul numeric B8| Se determin distribuia eforturilor secionale n elementele

structurale ale cadrului etajat P+4E (supra-structura) din Figura 8.1. Iniial, se consider cadrul cu rezemare rigid, ulterior studiindu-se efectul rezemrii pe mediu elastic (rotire liber, rotire mpiedicat i rotire proporional). Caracteristicile fizico-mecanice ale elementelor, percum i caracteristica terenului, sunt precizate n Figura 8.1.

0

1

2

3

4

5

0.000 0.010 0.020 0.030

Deplasarea orizontala a nodurilor (m)

Niv

el

beta=0.28 beta=0beta=1 beta=2beta=4 beta=6beta=8 beta=10beta inf.

0

1

2

3

4

5

0.00 0.10 0.20

Indicele rotirii relative de nivel (%)

Niv

el

beta=0.28 beta=0beta=1 beta=2beta=4 beta=6beta=8 beta=10beta inf.

0

1

2

3

4

5

0.000 0.001 0.002 0.003

Deplasarea orizontala a nodurilor (m)

Niv

el

beta=0.28 beta=1beta=2 beta=4beta=6 beta=8beta=10 beta inf.

0

1

2

3

4

5

0.000 0.010 0.020 0.030

Indicele rotiri