Sisteme liniare

SISTEME CRAMER Un sistem se numeste sistem Cramer daca

matricea A a sistemului este inversabila, deci daca det A≠0.

Un sistem Cramer are solutie unica (x1, x2, x3, …, xn)∈Cn , data de formulele: .

Notam cu A matricea coeficientilor necunoscutelor x1, x2, …., xn, deci A=(aij )∈Mn(ℂ). Matricea A se numeste matricea sistemului.

(1)

nxnxx ,....,22,11

bnannxnxanxan

bnxnaxaxabnxnaxaxa

...2211....................................................22...22212111...212111

Demonstratie. Notam matricea coloana a

necunoscutelor si cu matricea coloana a termenilor liberi.

Atunci sistemul (1) se scrie AX=B (forma matriceala a sistemului). Cum A este inversabila, aceasta ecuatie matriceala are solutia unica X=A-1 B ∈ Mn,1(ℂ). Daca (x1, x2, x3, …, xn)∈Cn este solutia sistemului, atunci

B= unde C1, C2, …., Cn sunt coloanele matricei A.

xn

xx

X....21

bn

bb

B....21

xnCnCxCx

ann

nana

xn

an

aa

x

an

aa

x

...2211......21

...

2......2212

2

1......2111

1

Fie j∈{1, 2, …, n}. Din proprietatea 3 a determinantilor rezulta ca△j=det(C1, C2, …, Cj-1, B, Cj, …, Cn)=det(C1, C2, …., Cj-1, Ck, Cj+1, …, Cn)=

= det(C1,C2,…,Cj-1, Ck, Cj+1,…., Cn)=

=xj det(C1, C2, ….,Cj-1, Cj, Cj+1, …, Cn)=xj det A==xj △, deoarece A=(C1, C2, …, Cj-1, Cj, Cj+1,…, Cn) si pentru orice k≠j det(C1, C2,…, Cj-1, Ck, Cj+1, …, Cn)=0 fiind determinantul unei matrice cu doua coloane egale.Cum △≠0 rezulta ca xj= , j∈{1, 2,…., n}.

n

k

xk1

n

k

CnCjxkCkCjCC1

),....,1,,1,.....2,1det(

n

k

xk1

j

EXEMPLU: Sa se rezolve peste ℂ sistemulMatricea sistemului are determinantul deci sistemul este Cramer. Avem: , si Aplicand regula lui Cramer obtinem: x=△1/△=12/12=1, y=△2/△=24/12=2 si z=△3/△=36/12=3. Deci solutia sistemului ese (1, 2, 3)

13223032

zyxzyxzyx

012223111112

122213110113

1

242133101132

2 361323011312

3

Exercitii propuse:

1142311243

42)1(

zyxzyx

zyx

2916949432

3)2(

zyxzyx

zyx

03221

)3(zayxzyxzyx

321

)4(azyxzayxzyax

SISTEME COMPATIBILE Forma generala:

(1)

unde a11, a22, …, amn ∈ℂ, b1, b2, … bm ∈ℂ, x1, x2,…., xn ∈ℂ.x1, x2,…., xn - necunoscuteb1, b2, … bm - termeni liberiaij∈ℂ(1≤i≤m, 1≤j≤n) – coeficientii necunoscutelor

bmamnxnxamxam

bnxnaxaxabnxnaxaxa

...2211....................................................22...22212111...212111

In cazul in care m=n adica numarul de ecuatii coincide cu nr de necunoscute, sistemul liniar respectiv se numeste sistem liniar patratic.

Sistemului liniar (1) ii asociem in mod natural urmatoarele doua matrice:

∈Mm,n(ℂ) numita matricea

sistemului

Ā= ∈Mm,n+1(ℂ) numita

matricea extinsa

Observam ca matricea extinsa provine din matricea sistem, careia ii adaugam coloana termenilor liberi.

amnamam

naaanaaa

A

...21............2...22211...1211

bmamnamam

bnaaabnaaa

...21...............22...222111...1211

Daca notam cu X coloana necunoscutelor si cu B coloana termenilor liberi, adica:

∈Mn,1(ℂ) ∈Mm,1(ℂ) ,

observam ca sistemul liniar (1) se scrie sub forma ecuatiei matriceale: AX=B (2).

Egalitatea (2) se numeste forma matriceala a sistemului liniar (1).

Sistemul liniar (1) se numeste compatibil daca are cel putin o solutie, respectiv incompatibil daca nu are nici o solutie.

xn

xx

X....21

bm

bb

B....21

In cazul cand sistemul este compatibil si are o solutie, spunem ca sistemul este compatibil determinant, iar daca are mai multe solutii spunem ca este compatibil nedeterminat.

Rangul matricei A a sistemului se mai numeste rangul sistemului; ecuatiile care corespund liniilor principale(respectiv secundare) ale matricei A se numesc ecuatii principale(respectiv secundare); necunoscutele care corespund coloanelor principale(respectiv secundare) se numesc necunoscute principale(respectiv secundare).

Teorema 1 (Kronecker – Capelli) Un sistem liniar este compatibil daca si numai daca rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse.

Demonstratie:S. l. (1) se scrie sub forma echivalenta:

(3)

Presup. s. l. (1) compatibil si demonstram ca matricele A si Ā au acelasi rang. S. l. (1) compatibil rezulta ca exista x1, x2, …, xn ∈ℂ a.i . are loc egalitatea (3). r si r’ sunt rangurile matricelor A si Ā. A este submatrice a matricei Ā rezulta ca r≤r’.

bm

bb

amn

nana

xn

am

aa

x

am

aa

x...21

...21

...

2...2212

2

1...2111

1

Fie △ un minor de ordin r+1 al matricei extinse Ā. Daca △ este minor al matricei A, de rang r, rezulta ca △=0. Daca △ are ultima coloana formata din termeni liberi din (3) rezulta ca aceasta coloana este o combinatie liniara de coloane ale matricei A si atunci △ este combinatie liniara de minori de ordin r+1 ai matricei A, minori nuli, prin urmare △=0. Din r≤r’ si r’≤r rezulta r’=r.

Definitie: Fie △ un minor principal al matricei A a sistemului liniar (1). Bordatii minorului △ in matricea extinsa Ā, care au ultima coloana formata din termeni liberi (daca exista asemenea bordati) se numesc minori caracteristici. Daca matricea A are rangul r, minorii caracteristici au ordinul r+1, iar conditia necesara si suficienta sa existe minori caracteristici este r<m, adica rangul sa fie mai mic decat numarul ecuatiilor. Exemplu:Daca sistemul liniar: are minorul principal △= atunci minorii caracteristici sunt: si

4343242141333323213123232221211313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxabxaxaxa

22211211aaaa

332312222111211

baabaabaa

442412222111211

baabaabaa

Teorema (2) (Rouche) In cazul r<m (rangul sistemului mai mic decat numarul ecuatiilor) s. l. (1) este compatibil daca si numai daca toti minorii caracteristici sunt nuli.

Demonstratie:Presupunem s. l. (1) compatibil. Rangul matricei extinse Ā este egal cu rangul r al matricei A (Teorema (1)). Deoarece minorii caracteristici sunt minori de ordinul r+1 ai matricei Ā, rezulta ca ei sunt nuli.

Exemplu:

Solutie: =1 ≠0, deci r=2/. r=m rezulta sistemul este compatibil. Deoarece minorul principal este △p= rezulta ca necunoscutele principale sunt x si y, iar necunoscuta secundara z. Sistemul se scrie echivalent si, aplicand

regula lui Cramer, obtinem x= =2z; y= =1-3zNotam z=λ ∈ℂ rezulta multimea solutiilor sistemului este S={(2λ, 1-3λ, λ) | λ∈ℂ}

35321zyx

zyx

3211

3211

zyxzyx5332

1

321135311

zz

3211532

11zz

Exercitii propuse:

(5)

(6)

5521212

tzyxtzyxtzyx

132312213

zyxzyxzyxzyx

Raspunsuri: (1) (3, 1, 1)(2) (1, 1, 1)(3) a≠-3(4) a∈ R \ {-2, 1}(5) (λ, m, -λ+2m, -1)(6) incompatibil