Sisteme de Arbori Ramificate

7/24/2019 Sisteme de Arbori Ramificate

1/7

1

VIBRATIILE DE TORSIUNE ALE SISTEMELOR DE ARBORI RAMIFICATE FOLOSIND

METODA ELEMENTELOR FINITE SPECIFICE

Una dintre metodele cele mai utilizate pentru studiul vibratiilor de torsiune ale arborilor este

metoda matricelor de transfer. Aceasta metoda se foloseste cu mult succes daca miscarea de rotatie se

transmite dea lungul unei singure linii. Daca sistemul este ramificat aceasta metoda este mai dificil de

aplicat si de aceea se prefera studiul vibratiilor folosind metoda elementelor finite cu utilizarea unor

elemente finite specifice (elemente finite composite, macroelemente).Exemple de sisteme ramificate: cutii

de viteze ale masinilor unelte; sistemele de propulsive ale navelor, etc.

Elementul finit compozit cuprinde:

un element finit de arbore ( cu

caracteristicele: !"densitatea materialului, #"modulul de elasticitate transversal, $p "momentul de inertie

geometric polar al sectiunii transversal a arborelui, l" lungimea elementului finit de arbore);

volanti ( de momente de inertie mecanice %& , %' si & , ' raze ale rotilor dintate pe cercurile derostogolire) montati la extremitatile elementului finit de arbore.

Asupra volantilor pot actiona momente (cupluri) exterioare & (t), ' (t). $n s*stem pot exista amortizori

exterior de constant c& , c' si amortizori interior de constant c&'.

Elementul finit specific cu numerotarea deplasarilor nodale pe element este reprezentat in figura

de mai +os:


2/7

2

Ecuatiile de miscare ale elementului fnit sunt:

[ ] [ ] [ ] ( )

( ) ( )&

'

&

'

&

'

&

'

&

=

+

+

tM

tMkcm

espectiv:

( )

( ) ( )'

&

-

&-

&

&

'

&

'

&

'

&

&''&'

&'&'&

'

&

'

&

=

+

+

++

+

+

tM

tM

kk

kk

ccc

ccc

JJJ

JJJ

Unde :

- J este momentul de inertie mecanic al tronsonului de arbore :

lIJ p=

- k este constanta de rigiditate a tronsonului de arborerezultata din interpolarea

linira a deplasarilor unghiulare :l

IGk p=

Din elemental finit specific poate lipsi un volant sau pot lipsi ciar amandoi. Daca lipsesc ambii volanti

matricele /m0, /c0 si /10 sunt specifice elementului finit specific de arbore. 2e poate tine cont de variatiile

de diametru ale arborilor intre doi volanti si ecuatiile difderentiale in lipsa amortizarilor devin:

( )3

3

&

-

&-

&

&

'

&

'

&

=

+

kk

kk

JJ

JJ

FORMAREA ECUATIILOR DIFERENTIALE DE MISCARE ALE SISTEMULUI FARA

CONSTRANGERI CINEMATICE

Angrena+ele realizeaza constrangeri cinematice (miscarea relative a rotilor aflate in angrenare este

de rostogolire fara alunecare la nivelul cercurilor de rostogolire) astfel ca la nivelul sistemului unele

deplasari ungiulare sunt independente iar altele dependente. 2e realizeaza numerotarea deplasarilor pe

s*stem numerotand mai intai deplasarile independente si in continuare deplasarile dependente. 4umerele

din paranteze corespund numerotarii elementelor finite.

2e considera desfacute constrangerile cinematice si se construiesc matricele M,C,K ale sistemului prin

asamblarea matricelor m,c,k ale elementelor finite.

5peratia de asamblare inseamna depunerea elementelor matricelor elementale e(m,c,k) in matricele

corespondente ale sistemului fara constrangeri 2(M,C,K). 2e construieste matricea de corespondenta ,MC, intre numerele deplasarilor din numerotarea pe s*stem si numerotarea deplasarilor pe element

(6ig.a). 2e analizeaza linia ne din MCcare corespunde elementului finit cu numarul (ne).2e ia un

element din aceasta linie. 4umarul coloanei coloanei in care se gaseste elemental este i. 7aloarea acestui

element este i1MC(ne,i). 8astrand constant valorile ne si I se parcurge din nou linia luand in

considerare toate elementele liniei.


3/7

3

6ie + numarul coloanei in care se gaseste un astfel de element, valoarea lui fiind !1MC(ne,j) .7aloarea e(ne)(i!) se depune in matricea corespunzatoare a sistemului, S(i1,!1) sumandul cu valorile

depuse anterior,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )9,,, &&&& jiejiSjiS ne+=

Ecuatiile dierentiale de miscare ale sistemului ara constrangeri cinematice se

obin de orma:

( ) ( ):tFKxxCxM =++

Vectorul deplasarilor generalizate pentru sistemul ara constrangeri, , cuprinde

deplasarile nodale ale sistemului in orma

[ ]TT xxx ;=

!ndex;

cuprinde deplasarile independente iarx

deplasarile dependente" Vectorul

ecitatiilor #$t% se obtine localizand cuplurile ecitatoare corespunzator

numerotarii pe s&stem a deplasarilor 'olantilor"

(mortizarile inerente din s&stem sunt considerate obisnuit amortizari

proportionale si la matricea ) din relatia $*% se adauga matricea +

KMCp +=


4/7

65AEA E5 D$6EE4=$A>E DE $2E 2$2=EU>U$


5/7

*

Ecuatiile constrangerilor cinematice se obtin din examinarea condi?tiilor de rostogolire fara alunecare

intre rotile aflate in angrenare

( )-3=+ jjii RsR

Unde @ieste deplasare independent, @+este deplasare dependenta. 8rin s (semn) se tine cont de conventia

de semen: la angrena+e cilindrice : s" & pentru angrenare exterioara si s" & pentru angrenare interioara.Daca arboreal intre doi volanti este lung siBsau are sectiune variabile fiind divizat in mai multe elemente

finite ecuatiile de constrangere cinematic rezulta din conditiile de continuitate a deplasarilor (egalitatea

rotirilor) in sectiunile nodale commune:

( )C3= ji


6/7

( ) ( )tFBtFKBBKCBBCMBM TTTT ==== ;

,;

,;

,;

5DU$ 858$$ 4EA5=$GA=E . 858$E=A=$

Ecuatia diferentiala matriceala a vibratiilor libere ale sistemului este

( )&'3;; =+ xKxM


7/7

.

[ ] VBVVBVVBVcuVVVVVV eeee;

,;

,;

,;;;

3333 =====

Sisteme de Arbori Ramificate

Documents

Transcript of Sisteme de Arbori Ramificate