7/22/2019 Seminar02 VO

1/1

SEMINAR 2 - VEGHES OVIDIU

Octombrie 2012

Tema seminarului: Spatii si subspatii vectoriale. Dimensiunea unui spatiu vectorial. Complexi-ficatul unui spatiu vectorial real.

1.2.1 Exercitiu Sa se stabileasca care dintre urmatoarele operatii definesc pe R2 o structurade spatiu vectorial (real sau complex) si care nu:

(1)

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1+y1, 0) , (x1, x2) , (y1, y2) R2, (x1, x2) = (x1, x2) , (x1, x2) R2, R.

(2) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1+y1, y2) , (x1, x2) , (y1, y2) R2,

(x1, x2) = (x1, x2) , (x1, x2) R2

, R.

(3)

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1+y1, x2+ y2) , (x1, x2) , (y1, y2) R2,

(x1, x2) = (0, x2) , (x1, x2) R2, R.

(4)

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1+y1, x2+ y2) , (x1, x2) , (y1, y2) R2, (x1, x2) = (x1 x2, x1+x2) , (x1, x2) R

2, = +i C.

1.2.2 Exercitiu Probati urmatoarele afirmatii: a) Daca la o multime de generatori al unuispatiu vectorial Vpeste un corp Kse adauga un vector se obtine tot o multime de generatori aispatiului. b) Daca dintr-o multime libera se extrage un vector se obtine o multime libera. c) Dacaunei multime legate i se adauga un vector se obtine o multime legata.

1.2.3 Exercitiu Fie E={e1, e2, e3, e4}baza canonica nR4,R

si Ei =

ei,

j=1,4;j=iej

,

i= 1, 2, 3, 4. Sa se determine dimRspanR(Ei) , i= 1, 2, 3, 4 si dimRspanR

i=1,4

Ei

.

1.2.4 Exercitiu Determinati dimQR, dimRR, dimRRn, dimCCn, dimRCn.1.2.5 Exercitiu Fie V un spatiu vectorial real si CV = VV. Definim operatiile

+ : CV CV CV, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2): C CV CV, (+i) (x, y) = (x y,x+y) .

Sa se arate ca CV este spatiu vectorial complex. Se numeste complexificatul spatiului vectorialreal V. n plus, dacadimRV =n, atunci sa se determinedimC CV.

1.2.6 ExercitiuAratati ca multimea tuturor solutiilor unui sistem liniar si omogen de necuatiicunnecunoscute este un subspatiu vectorial a lui (Rn,R). Determinati dimensiunea sa.

1.2.7 Exercitiu nzestram multimea FR([a, b]) = {f : [a, b] Rfunctie} cu operatiile obisnuitede adunare a functiilor si nmultire cu scalari reali. Aratati ca FR([a, b])este un spatiu vectorialreal. n plus, care din urmatoarele submultimi nzestrate cu aceste operatii definesc un spatiu

vectorial? a) Multimea aplicatiilor injective; b) Multimea aplicatiilor surjective; c) Multimeaaplicatiilor pentru care 2f(a) = f(b); d) Multimea aplicatiilor pentru care f(a) =f(b) + 1.Tema recomandata:Capitolul 1: (sect.2-rezolvate): ex.1-5,7-11,13-20,26, (sect.3-propuse): ex.1-10,13.

Bibliografie

[1] R. Serban (coord.), L. Badin, M . Carpusca, G . Ciurea.Algebr a liniar a. Culegere de p robleme.Ed.ASE, Bucu resti,1999.

1