S5.Oscilatii

7/27/2019 S5.Oscilatii

1/12

CRISTINA ZARIOIU

FIZIC

GHID DE SEMINAR

OSCILAII MECANICE

V

PITETI

2013


2/12

2

Problema V.1

Un mobil este constrns s efectueze simultan dou micri oscila-torii armonice dupdoudirecii perpendiculare. Astfel, dac

a.) tsinax = i t2cosay = , cu a = const.;

b.) tsinax = i t2sinay = , cu a = const.;

c.)

+

=

2t

6sin3x i

= t

6sin2y ;

d.) tcosAx = i t2cosBy = , cu A, B = const.;

e.) tcosAx = i

+= 2t2cosBy , cu A, B = const.,

sse gseascexpresia traiectoriei mobilului.R:

Expresia analitica traiectoriei unui mobil se obine prin eliminareatimpului din ecuaiile parametrice, n cazurile date, pentru axele Ox i Oy,

)t(xx= i )t(yy= , iar micarea mobilului n planul xOy va fi caracteri-

zatde o funcie 0)y,x(f = .

a.) Dac tsinax = , t2cosay = , cu a = const., vom scrie

tsinax = i tsintcost2cos

ay 22 == . (1) (2)

Din prima relaie, prin ridicare la ptrat, avem

2

22

a

xtsin = , (3)

dar conform formulei fundamentale a trigonometriei, 1tcostsin 22 =+ ,

2

222

a

x1tsin1tcos == (4)

i astfel, nlocuind relaiile (3) i (4) n (2), rezultc traiectoria mobiluluin acest caz este o parabol, de ecuaie

2

2

a

x21

a

y= sau

=

2

2

a

x21ay . (5)

b.) Cnd tsinax = i t2sinay = , a fiind o constant, procedmanalog i avem

tsina

x= i tcostsin2t2sin

a

y== , (6) (7)

din care, cum


3/12

3

2

22

a

x1tsin1tcos == , (8)

aflm expresia traiectoriei mobilului n planul xOy:

2

2

a

x1x2y = sau

=

2

222

a

x1x4y . (9)

c.) Dac

+

=

2t

6sin3x ,

= t

6sin2y , scriem

+

=

2t

6sin

3

x i

= t

6sin

2

y. (10) (11)

Utiliznd formula trigonometric de reducere la un unghi ascuit,

=

+ cos

2sin , relaia (10) devine

=

+

= t

6cos

2t

6sin

3

x. (12)

Ridicm la ptrat relaiile (11) i (12)

= t

6cos

9

x 22

i

= t

6sin

4

y 22

, (13) (14)

iar aplicnd formula fundamentala trigonometriei obinem

14

y

9

x 22=+ , (15)

traiectoria mobilului n planul xOyeste o elipsnscrisntr-un drept-unghi cu laturile:

6a23a =

= i 4b2 2b == .

d.) Pentru tcosAx = , t2cosBy = , cu A i B constante, proce-dnd analog, vom avea

tcosA

x= i tsintcost2cos

B

y 22 == . (16) (17)

Ridicnd la ptrat relaia (16)scriem

2

22

A

xtcos = , (18)

dar potrivit formulei fundamentale a

33 0

y2

x

2

AA 0

y

B

x

B


4/12

4

trigonometriei 1tcostsin 22 =+ scriem:

2

222

A

x

1tcos1tsin == , (19)rezultat pe care l nlocuim n relaia (17),

1A

x2

A

x1

A

x

B

y2

2

2

2

2

2=

= , (20)

i obinem ctraiectoria mobilului este o parabol, de ecuaie:

= 1

A

x2By

2

2. (21)

e.) Dac tcosAx = i

+= 2

t2cosBy , cu A i B constante,

vom scrie

tcosA

x= i

+=

2t2cos

B

y. (22) (23)

Utiliznd formula trigonometric de reducere la un unghi ascuit,

=

+ sin

2cos , cea de-a doua relaie devine

tcostsin2t2sin2t2cosBy == += . (24)

Ridicnd la ptrat relaia (22)

tcosA

x 22

2= (25)

i totodat, conform formulei funda-mentale a trigonometriei, gsim

== tcos1tsin 22

2

2

A

x1= , (26)

din care rezult

2

2

A

x1tsin = . (27)

Prin nlocuirea relaiilor (22) i (27) n (24), obinem ecuaia traiecto-riei descrise de mobil n planul xOy:

2

2

A

x1

A

x2

B

y= sau

2

2

A

x1x

A

B2y = . (28)

AA 0

y

B

x

B


5/12

5

Problema V.2

Sse calculeze perioada de oscilaie a unui sistem format din doucorpuri cu masele 1m i 2m , legate ntre ele printr-un resort de masnegli-

jabili constantde elasticitate k, sistemul oscilnd liber, frfrecare, pe osuprafaorizontal.R:

Ecuaia de micarea sistemului se obine uti-liznd metoda separrii(sau izolrii) corpurilor,potrivit creia se va rea-liza o a doua reprezentare

n care prezena resor-tului va fi nlocuit cuforele care acioneazasupra fiecruia din celedoucorpuri.

Notnd cu 1x i 2x deplasrile corpurilor cu masele 1m i 2m fa

de poziiile de echilibru cnd sistemul oscileaz n lungul axei Ox, vomscrie pentru fiecare corp, separat, ecuaia fundamentala dinamicii:

1211 FFxm =&& (1)2122 FFxm =&& , (2)

unde 1F , respectiv 2F reprezintforele cu care un corp acioneazasupra

celuilalt datoritprezenei resortului, iar 1x&& i 2x&& acceleraiile corpurilor.

Cu

11 kxF = i 22 kxF = ,

relaiile (1) i (2) devin)xx(kkxkxxm 121211 ==&& (3)

)xx(kkxkxxm 122122 ==&& (4)sau

0)xx(kxm 1211 =&& (5)

0)xx(kxm 1222 =+&& . (6)

nmulind relaia (5) cu 2m , iar relaia (6) cu 1m , avem

0)xx(mkxmm 122121 =&& (7)

0)xx(mkxmm 121221 =+&& . (8)

Efectum diferena relaiilor (7) i (8) i obinem

0)xx)(mm(k)xx(mm 12211221 =++ &&&& , (9)

1x&& 2x&&

2F 2F1F 1Fm2m1

2x1x

km1 m2


6/12

6

iar mprind relaia cu produsul 21 mm scriem

0)xx(

mm

mmk)xx( 12

21

2112 =

++ &&&& , (10)

unde

21

21

21 mm

mm

m

1

m

11 +=+=

, (11)

adic

21

21

mm

mm

+= (11)

care poartnumele de masredus.

Totodatdeplasarea sistemului fade poziia de echilibru va fi:12 xxx = (12)

i, n consecin,

12 xxx &&&&&& = (13)

este acceleraia sistemului.nlocuind relaiile (11), (12) i (13) n (10), obinem

0xk

x =

+&& , (14)

care reprezintecuaia de micarea sistemului mecanic.

Efectund notaia 2k =

, unde estepulsaia proprie de oscilaie

a sistemului, rezult

0xx 2 =+&& . (15)

Scriem

202

201

2121 m

k

m

k

m

1

m

1k

k+=+=

+=

= , (16)

unde

101 m

k= i

202 m

k= (17) (18)

sunt pulsaiile proprii de oscilaie a doi oscilatori liniari armonici formaidintr-un corp, de mas 1m sau 2m , legat de un resort cu constanta de elasti-

citate k.

CumT

2= , unde T esteperioada proprie de oscilaie, prin egalare,

scriindT

2k =

, obinem


7/12

7

202

201

2

k2T

+

=

= . (19)

Problema V.3Fie doucorpuri cu masele 1m i 2m , fixate de pereii laterali prin

intermediul a douresorturi cu constantele de elasticitate 1k i 2k , corpu-

rile fiind legate ntre ele printr-un resort cu constanta de elasticitate k. Ssegseasc ecuaia de micare a sistemului mecanic format, pentru cazul n

care 202

2

1

1

m

k

m

k== , precum i frecvena proprie de oscilaie a sistemului.

Sse afle ecuaia de micare i perioada de oscilaie pentru un sistemformat din doucorpuri cu mase identice m, legate ntre ele printr-un resorti de asemenea fixate de pereii laterali prin intermediul a dou resorturi,toate avnd aceeai constantde elasticitate k, sistemul oscilnd liber, frfrecare, pe o suprafaorizontal.R:

Ecuaia de micare a sistemului se obine utiliznd metoda separriicorpurilor, fcnd deci reprezentarea forelor care acioneazasupra corpu-rilor datoritprezenei celor trei resorturi.

Sistemul oscilnd n lungul axei Ox, notm cu1

x i2

x deplasrile

corpurilor cu masele 1m i respectiv 2m fa de poziiile de echilibru i

scriem pentru fiecare corp ecuaia fundamentala dinamicii:

11211 FFFxm =&& (1)

22122 FFFxm =&& , (2)

unde 1F , 2F i 1F , 2F reprezint forele care acioneaz asupra corpurilor

datoritprezenei resorturilor i configuraiei date, iar 1x&& i 2x&& sunt accele-

raiile celor doucorpuri.

k2k1

2x1x

km1 m2

1x&& 2x&&

2

F2

F1

F1

Fm2m1 2

F 1

F


8/12

8

Cu

11 kxF = , 22 kxF = i 111 xkF = , 222 xkF = ,

relaiile (1) i (2) devin1121111211 xk)xx(kxkkxkxxm ==&& (3)

2221222122 xk)xx(kxkkxkxxm ==&& (4)

sau0xk)xx(kxm 112111 =++&& (5)

0xk)xx(kxm 222122 =+&& , (6)

pe care le scriem sub forma:

0xmk)xx(

mkx 1

1

1211

1 =++&& (7)

0xm

k)xx(

m

kx 2

2

221

22 =+&& . (8)

Conform enunului problemei cu 202

2

1

1

m

k

m

k== , relaiile (7) i (8)

devin:

0x)xx(m

kx

1

2

02111

=++&& (9)

0x)xx(m

kx 2

2021

22 =+&& . (10)

Efectund diferena relaiilor (9) i (10), obinem

0)xx()xx(m

1

m

1k)xx( 21

2021

2121 =+

++ &&&& . (11)

Deoarece

2121

21 mm

mm

m

1

m

11 +=+= sau 21

21 mm

mm

+= (12) (12)

este masa redusi cum

21 xxx = (13)

reprezintdeplasarea sistemului fade poziia de echilibru, iar

21 xxx &&& = (14)

este viteza, iar

21 xxx &&&&&& = (15)

acceleraia sistemului, nlocuind n relaia (11) rezult


9/12

9

0xk

x 20 =

+

+&& , (16)

care constituie ecuaia de micarea sistemului dat.Efectund notaia 220

k=+

, unde estepulsaia proprie de osci-

laie, obinem

0xx 2 =+&& . (17)

Cum

20

k+

= (18)

i totodatntruct= 2 , (19)

unde este frecvena proprie de oscilaiea sistemului mecanic considerat,

prin egalare =+

2k 2

0 , vom gsi

20

k

2

1+

= . (20)

n cazul particular cnd cele doucorpuri au masa identic, notatm,i sunt legate att ntre ele, ct i de pereii laterali prin resorturi cu aceeaiconstantde elasticitate k vom afla direct, din relaiile deduse anterior, ecu-aia de micare i perioada de oscilaie a sistemului.

Utiliznd relaiile (12), (16) i (18) n care nlocuim

m

k20 = i 2

m= (21) (22)

gsim ecuaia de micarea sistemului considerat:

0x

m

k3x =+&& sau 0xx 2 =+&& (23) (23)

unde s-a utilizat notaiam

k32 = , fiind pulsaia proprie de oscilaie n

acest caz.

CumT

2= , unde T esteperioada proprie de oscilaie, prin egalare

T

2

m

k3 = , rezult

k3

m2T = . (24)


10/12

10

Problema V.

Sse gseascecuaia de micare pentru un sistem format din doucorpuri identice, cu masa m, prinse ntre ele prin douresorturi, legate fie nserie, fie n paralel i avnd fiecare constanta de elasticitate k, dacasupraunuia dintre corpuri acioneazo forexcitatoare de forma tcosF0 .

R:n scopul aflrii ecuaiei de micare a sistemului se utilizeazmetoda

separriicorpurilor.Considerm csistemul oscileazn lungul axei Ox i, notnd cu 1x

i 2x deplasrile corpurilor fade poziiile lor de echilibru, scriem pentru

fiecare corp ecuaia fundamentala dinamicii.Astfel, avem

tcosFFFxm 0121 +=&& (1)

212 FFxm =&& , (2)

unde tcosF)t(F 0 = este fora excitatoare periodiccare variazarmonic

n timp, 1F , respectiv 2F reprezintforele cu care un corp acioneazasupra

celuilalt datoritprezenei resortului, iar 1x&& i 2x&& acceleraiile corpurilor.

Cu

1e1 xkF = i 2e2 xkF = ,

relaiile (1) i (2) devin

tcosF)xx(ktcosFxkxkxm 021e01e2e1 +=+=&& (3)

)xx(kxkxkxm 21e2e1e2 ==&& (4)

sautcosF)xx(kxm 021e1 =+&& (5)

0)xx(kxm 21e2 =&& . (6)

2x&& 1x&&

1F 1F2F 2Fmm

1x2x

ekm m

tcosF0

)t(F


11/12

11

Efectund diferena relaiilor (5) i (6), obinem

tcosF)xx(k2)xx(m 021e21 =+ &&&& , (7)

iar mprind relaia cu m scriem

tcosm

F)xx(

m

k2)xx( 021

e21 =+ &&&& . (8)

Deplasarea sistemului fade poziia de echilibru va fi:

21 xxx = (9)

i, n consecin, 21 xxx &&& = este viteza, iar

21 xxx &&&&&& = (10)

este acceleraia sistemului.

nlocuind relaia (10) n (8), obinem

tcosqxm

k2x e =+&& , (11)

cum

Fq 0= , care reprezintecuaia de micarea sistemului considerat.

n general, pentru legarea n serie, respectiv pentru legarea n paralela n resorturi avem formulele:

=

=n

1i is k

1

k

1 i

=

=n

1iip kk , (12) (13)

i pentru n = 2

21s k

1

k

1

k

1+= i 21p kkk += , (14) (15)

iar cnd kkk 21 == obinem

k

2

k

1

s

= i deci2

kk s = (16) (16)

k2kp

= . (17)

Prin urmare, constanta de elasticitate echivalenta legrii resorturilorn serie sau n paralel va fi notat esk sau epk , unde

2

kk es = i k2k ep = . (18) (19)

Revenind la relaia (11), efectum urmtoarele notaii n care nlo-cuim i expresiile (18) i (19):

m

k

m

k2 es2s0 == i m

k4

m

k2 ep2p0 == , (20) (21)

deci


12/12

12

2s0

2p0 4m

k4 == , deci s0p0 2= , (22) (23)

cu s0p0 > , unde s0 i p0 suntpulsaiile proprii de oscilaiea siste-mului cnd cele doucorpuri avnd masa m sunt prinse ntre ele prin douresorturi identice, cu constanta de elasticitate k, legate fie n serie, fie nparalel.

Astfel, pentru fiecare din cele doucazuri, rezultecuaia de micarea oscilatorului neamortizat care efectueazoscilaii forate:

tcosqxx 2s0 =+&& , (24)

respectiv

tcosqxx 2

p0

=+&& . (25)

S5.Oscilatii

Documents

Transcript of S5.Oscilatii