RMCS_nr.27

7/29/2019 RMCS_nr.27

1/32

Societatea de tiine Matematice din RomniaFiliala Cara-Severin

REVISTA DE

MATEMATIC

A ELEVILORI PROFESORILOR

DIN JUDEUL

CARA-SEVERIN

Nr. 27, An X-2009

Editura Neutrino

Reia, 2009 2

2009, Editura NeutrinoTitlul: Revista de matematic a elevilori profesorilor din judeulCara-SeverinI.S.S.N. 1584-9481

Colectivul de redacie

Avrmescu Irina Lazarov MihaelBdescu Ovidiu MitricMarianaChi Vasile Moatr Lavinia

Dragomir Adriana Monea MihaiDragomir Lucian Neagoe PetriorDrghici Mariana PistrilIon DumitruDidraga Iacob Stniloiu NicolaeGdea Vasilica andru MariusGolopena Marius uoi Paul

Iatan Rodica

Redacia

Redactor-ef: Dragomir LucianRedactor-ef Adjunct:Bdescu OvidiuRedactori principali: Dragomir Adriana

MitricMarianaNeagoe PetriorStniloiu Nicolae

Responsabil de numr:Bdescu Ovidiu

2009, Editura NeutrinoToate drepturile rezervateMobil: 0741017700www.neutrino.roE-mail: [email protected]

7/29/2019 RMCS_nr.27

2/32

3

CUPRINS

Proverbe romneti ........................................................... Pag. 4 Chestiuni metodice, note matematice

Principiul invarianilor

(Adriana i Lucian Dragomir)....................................... Puncte importante n triunghi (III)(Marina i Mircea Constantinescu) .............

Asupra unei probleme din RMCS)(Aurica i Mihai Lazarov) ...........................

Metode de rezolvare a problemelor cu unghiuri nspaiu (III) (Maria Iancu) ..

Analiza SWOT a programei i subiectelor pentruTezele cu subiect unic (Irina Avrmescu)...................

Concursul Judeean al Revistei, ediia a IV- a,28.02.2009, Oelu Rou(Ovidiu Bdescu, Lucian Dragomir).........

Pag. 5

Pag. 9

Pag. 14

Pag. 15

Pag. 20

Pag. 23 Ediia a V- a a Concursului Revistei

. Pag. 35

Probleme rezolvate .......... Pag. 36

Probleme propuse ........ Pag. 37

Rubrica rezolvitorilor Pag. 57

4

Proverbe i ziceri romneti

Toat ziua doarme i noaptea spune c-i obosit.

Toi sap, da el duce cinii la ap.

Trestia care se pleac vntului nu se frnge niciodat.

Vorbele nu potolesc foamea.

Acul e mic, dar coase haine scumpe.

i n colibe se nasc oameni mari.

i marea are fund.

i stafida e uscat, dar dulceaa nu i-o pierde.

Ru faci, ru gseti.

Romnul tie multe-a suferi, dar nu uit.

S cumperi aua dup cum e calul.

S nvei pentru tine, dar stii i pentru alii.

S nu fii uor la limbi greu la fapte.

S nu te ruinezi a nva i de cel mai mic.

Pot opri vntul, apele i gurile oamenilor ?

7/29/2019 RMCS_nr.27

3/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

4/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

5/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

6/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

7/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

8/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

9/32

17

Cnd unghiul a dou plane se determin folosind metodele M1) sauM2), n rezolvarea acestui tip de probleme se impun parcurgerea unoretape:

(E1). Aflarea muchiei diedrului.(E2). Construirea perpendicularelor n acelai punct pe muchiadiedrului.

(E3). Precizarea unghiului celor dou plane.(E4). ncadrarea unghiului ntr-o figur geometric, de obicei

ntr-un triunghi.(E5). Demonstrarea faptului c acel triunghi este dreptunghic (dac

e posibil !).(E6). Aflarea unei funcii trigonometrice a acelui unghi.

Dac triunghiul nu este dreptunghic se construiesc dou nlimi aleacelui triunghi i folosind relaia a b ca h b h c h = = se aflelementele necesare pentru a putea calcula sinusul unui unghi sau seafl direct cosinusul acelui unghi folosind teorema cosinusului.

( E7). Precizarea msurii acelui unghi dac este posibil.Exemple.

)1C Triunghiurile echilaterale ABC i DBC sunt situate n planediferite. S se afle unghiul diedru dintre aceste plane tiind c distana

dintre vrfurile A i D este egal cu lungimea laturii triunghiurilor.Soluie. Fie AB a AD a= = (E1) : ( ) ( )ABC DBC BC= (muchia diedrului)

(E2) :AM BC mijloc ( )BC DM BC .

(E3):MA BC , ( )AM ABC i DM BC , ( )DM DBC

( ) ( )( );BC DBC ( );AM DM AMD .(E4): AMD

(E6):3

2

aAM MD= = .Fie N AD i AA DM .

AMD : AD MN = D AA a MN =3

2

aA ( )1 .

Cu T.Pitagora n AMN 2

2

aMN= .

A

CM

A'

18

Din relaia ( )1 6

3

aAA = .

AMA ( ) 2 2sin3

AMA = .

(E7):Unghiul planelor ( )ABC i ( )DBC este unghiul al crui sinus este

egal cu2 2

3.

)2C n cubul BCDA B C D de latur a cm, este mijlocul

segmentului ( )BB , iarN este mijlocul segmentului ( )BC . S se afle:

a) Msura unghiului format de dreptele MNi D .b) Msura unghiului diedru format de planele ( )DMN i ( )BC .

Soluie.

)a ( )BCC ( )DD planul ( )DMN taie planul ( )ADD

dup o dreapt ce trece prin D , paralel cu N.N = l.mij. BB C N B C i B C A D

N A D m ( )( );N A D 00= .

)b Vom afla msura unghiului celor dou plane prin M3), prin proiecii.

( ) { }ABCpr A A = , ( ) { }ABCr M B= ( )ABCpr A MND ABND =

BND MNDAS S = cos u , unde u = ( ) ( )( );DMN ABC .N DA i A M DN A DNM = trapez .

B M dr. DCN dr. ( ). .C C DN A M =

A DNM = trapez isoscel.

DCN 2 2 2DN DC CN= + 5

2

aDN = .

D

7/29/2019 RMCS_nr.27

10/32

19

Fie E A D i2 1

; , 22 2

aNF A D E F A D FD a

=

24

aFD = 2 2 2NF ND DF= 3 24

aNF =

22 3 2 1 9

22 4 2 8MNDA

a a aS a

= + =

.

( )1

2ADNBS BN AD AB= +

23

4ADNBa

S =

2 2

3 9 cos4 8a a= u cos u 23=

( ) ( )( );DMN ABC este unghiul ce are cosinusul egal cu 23

.

BIBLIOGRAFIE :1. Ion Doru Albu, Geometrie. Concepte pentru metode de studiu,

Editura Mirton, Timioara ,1998.2. N. Ivchescu, C.Basarab, Probleme de matematic pentru

clasele V-VIIIEditura Cardinal,Craiova, 1995.

3. Gh. ieica, Culegere de probleme de geometrie, EdituraTehnic,Bucureti, 1991.

4. Gheorghe Adalbert Schneider , Probleme de geometrie cl.VI-X,EdituraHyperion , Craiova, 1997.

5. Traian Cohal, Eugenia Cohal, Geometria-o ntreag lume,EdituraDosoftei, Iai,1983.

Profesoar, coala Romul Ladea, Oravia

D

M N

F

20

ANALIZ SWOT A PROGRAMEI DE MATEMATIC

pentru Tezele cu subiect unic la MatematicAn colar 2008 2009, semestrul I

Irina Avrmescu

PUNCTE TARI-Toate unitile colare din ar s-austrduit s parcurg materia nritmul cerut de program- Au fost tratate cu maximseriozitate cerinele programei- Elevii au fost contieni c nvapentru un examen, care va dovedicapacitatea lor de a acumula ocantitate de informaii i de a otranspune n rezolvarea unorexerciii i probleme, deci aumanifestat mai mult seriozitate

PUNCTE SLABE- La clasa a VII-a au trebuitparcurse ntr-un timp foarte scurtdou capitole mari de algebr, pecnd la geometrie a fost materiemai puin, timpul de predarefiind acelai- Materia din semestrul II este multprea larg incluznd materie dinsemestrul I

OPORTUNITI- O planificare mai unitar amateriei, astfel nct fiecareprofesor din ar s fie la unmoment dat n acelai loc cumateria- Urmrirea cu atenie a programeicolare i astfel nici un profesor nu

trateaz nici o tem din program cusuperficialitate

AMENINRI- Programa s nu fie din timpanunat (adic planificareaprofesorului s nu corespund cupropunerea de program pentrutez a ministerului)

7/29/2019 RMCS_nr.27

11/32

21

ANALIZ SWOT A SUBIECTELOR DE LA TEZA UNICLA MATEMATIC

PUNCTE TARI

- Exist un numr suficient de marede exerciii cu un grad sczut dedificultate- Este acoperit o mare parte amateriei- Punctajul este n favoarea elevului

PUNCTE SLABE

- Exerciiile de la partea I au cerutn unele cazuri mai multe etapepn la obinerea rspunsului.Nesolicitndu-se dect rspunsulfinal e posibil ca elevul s fi gnditcorect, dar s fi greit rezultatul,astfel fiind punctat incorect

OPORTUNITI

- Elevii au neles c trebuie s fieateni la detalii, la amnunte i c nue suficient stii s rezolvi exerciii- Elevii vor da mai mult atenieteoriei matematice, cnd vornelege c aceasta a fost cauzaprincipal a rezultatelor slabe

AMENINRI

- Elevii s fie att de speriai desubiecte i de teze unice nct srefuze de acum matematica- Subiectele s fie tot mai dificile,elevii s le abordeze tot mai greu

22

ANALIZ SWOT A BAREMELOR PENTRU EVALUARE INOTARE LA TEZELE UNICE LA MATEMATIC

PUNCTE TARI-

PUNCTE SLABE- Baremul nu este suficient de clar,las loc interpretrilor- La clasa a VII-a nu s-a punctat

figura la problema de geometrie,dei elevii au pierdut timp preioss o realizeze- Cum tezele unice au scopul de arealiza o notare ct mai unitar,baremul trebuia alctuit astfel ncts se mearg n cel mai micamnunt al rezolvrilor,specificnd chiar variante de

rspunsOPORTUNITI- Realizarea unor bareme care sexclud posibilitatea de interpretarea corectorului

AMENINRI- Notarea incorect a elevilor- Analiza mpreun cu ei arezolvrilori explicarea unor notecare nu neaprat coincid cu celeale corectorului 2 creaz elevuluiimpresia unei mari nedrepti

Profesoar, coala Generalnr. 9 Reia

7/29/2019 RMCS_nr.27

12/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

13/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

14/32

27

3. La un concurs de matematic sunt premiai ase concureni, cu sumediferite de bani. Fiecare dintre primii patru premiani primete cturmtorii doi clasai la un loc. Dac orice premiant primete cel puin 26

de lei, iar elevul care a ctigat premiul I primete 260 de lei, calculai cesum total de bani s-a folosit pentru a premia pe cei ase nvingtori.Gazeta matematic

4. Pe o tabl sunt scrise patru numere. O operaie interesant const n :se aleg dou dintre cele patru numere, li se adaug cte o unitate i sescriu pe tabl numerele obinute n locul celor alese.

Este posibil ca, prin mai multe operaii interesante, s se ajung,pornind de la numerele 2, 0, 0, 9, la patru numere egale?

Concurs Rusia

Clasa a VII-a

1. S se determine numerele ntregixiy pentru care 21 2xy x y+ + = .

Gazeta Matematic

2. S se determine numerele naturale nenule a, b, cpentru care

1 1 11

a b c+ + i

32

3

a b

b c

+=

+.

Lucian Dragomir

3. nlimile unui triunghi ascuitunghicABCse intersecteaz n punctulH. Se tie cAB CH= . S se determine msura unghiului .ACB

* * *

4. Pe laturileAB, BC, CD, DA ale ptratuluiABCD cu 1AB = , se iaurespectiv puncteleK, L, MiNastfel nct 2AK LC CM NA+ + + = .

S se arate c : .K LN Concurs Rusia

28

Clasa a VIII-a

1. Se consider numerele , ,1p q q p i( ) ( )

2 22 2, .a p p q b p p q= + + = +

S se arate c :a) nu exist , ,1p q q p , pentru care 2009a b+ = ;

b) a este iraional .RMCS 25

2. a) S se arate c exist un singur numr natural n pentru care3

4 132

n nn

+ + +

;

b) S se determine numerele naturale m pentru care 4 ( 1) 2m mm m+ = + ;

c) S se arate c nu exist numere naturalep pentru care 1 2 4p p+ + este ptrat perfect.

Lucian Dragomir

3. Pe planul ptratuluiABCD cu lungimea laturii de 2 cm, se duce

perpendiculara n A pe care se ia punctul E astfelnct 2 2 cmAE= . S se calculeze:

a) msura unghiului ;ECA b) msura unghiului determinat de drepteleECiAD ;c) distana dintre drepteleECiBD.

Gazeta Matematic

4. Se consider un numr primp , 3p , pentru care exista i b numere

ntregi astfel nct / ( )a b+ i 2 3 3/ ( )a b+ .

a) S se dea un exemplu de triplet ( , , ), , 0,a b a b a b , caresatisface condiiile din enun ;

b) S se arate c 2 / ( )p a b+ sau 3 3 3/ ( )p a b+ .(Prin /x y se nelege cnumrul natural x divide numrul natural y).

Baraj OBMJ 2008

7/29/2019 RMCS_nr.27

15/32

29

Clasa a IX-a

1. S se arate c, dac [ ], 1,3x y i 4x y = , atunci

2 22 2 3

4 4

x y

y y x x +

Ovidiu Bdescu,RMCS(enunmodificat)

2. S se determine funcia :f cu proprietatea c

( )( )2f yx + divide pe ( )( ) 2 , ,yf x x y + .

Gazeta Matematic3. Numerele 9, 25 i 49 sunt termeni ai unei progresii aritmetice cu raiastrict pozitiv. S se arate c numrul 2009 este deasemenea termen alacestei progresii.

Adaptare Concurs Rusia

4. Fie ABCDE un pentagon inscriptibil i 1 2 3 4, , ,H H H H respectivortocentrele triunghiurilor ABC, BCD, CDE i ACE. Demonstrai c

patrulaterul 1 2 3 4H H H H este paralelogram.* * *

Clasa a X-a1. S se rezolve ecuaia : 1 (1 ) 3 2xa a x a = + , unde ( )0,a .

RMCS

2. S se determine funciile ( ) ( ): 0, 0,f cu proprietatea c

( )2 ( ) ( ( ))f x f y x y f f x = , ( ), 0,x y .Gazeta Matematic

4. a) S se determine numrul funciilor { } { }: 1, 2,3,...,8 0,1, 2f cuproprietatea c:

(1) (2) (3) ... (8) 3f f f f+ + + + = .RMCS

30

b) La un turneu de ah au participat de dou ori mai muli biei dectfete. Fiecare pereche de participani a jucat exact o dat i nu s-aunregistrat remize. Raportul ntre numrul victoriilor obinute de fete fa

de cele obinute de biei a fost 7 :5 .Gsii ci participani au fost la acest turneu.OBMJ, 2000

4. a) S se arate c, pentru orice , este adevrat egalitatea:3cos3 4cos 3cos = ;

b) S se demonstreze c, dac numerele reale x, y, z satisfac egalitilecos cos cos 0x y z+ + = i cos3 cos3 cos3 0x y z+ + = ,

atunci cos2 cos 2 cos2 0x y z .

Bogdan Enescu

Clasa a XI-a

1. S se arate c dac numerele reale a,b,c, satisfac relaiile2 3 3, 3 4 4,2 1a b c a b c a b c+ + = + + = + = , atunci

( )2 2 23 2.a b c + +

RMCS

2. S se arate c dac vrfurile unui triunghi sunt situate pe parabola deecuaie 2 3y x x= , iar abscisele lor sunt numere ntregi consecutive,

atunci aria triunghiului este un numr ntreg.Iacob Didraga

3. Se considerirul ( ) 1n na definit prin 1 1a = i21

, .1ana nn n

+ = +

a) S se arate c lim 0;nn a =

b) S se calculeze 1 2...

lim .ln

n

n

a a a

n+ + +

7/29/2019 RMCS_nr.27

16/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

17/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

18/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

19/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

20/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

21/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

22/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

23/32

45

VI.135 Msurile unghiurilor ( msurate n grade ) din jurul unui punct,suntx, y, z, t .Numerele 2x, 3y, 4z, 5tsunt direct proporionale cu 4, 6, 12i respectiv a, unde a este un numr natural nenul. Determinai a, x, y, z, t,

tiind c .x t y z+ = + Prof. Lucian Dragomir, Oelu Rou

VI.136 Determinai numerele ntregixiy pentru care2 2009 4 3 .y x y =

Concurs Vaslui , 2003VI.137 Se consider numerele naturale 1 2 3 4 5 6.a a a a a a< < < < <

Spunem c mulimea { }1 2 3 4 5 6, , , , ,a a a a a a are proprietatea (P) dac

pentru orice { }3,4,5,6k , exist { }, 1, 2,3,4,5,6 ,i j i j , astfel

nct k i ja a a= + . S se afle cte mulimi cu proprietatea (P) sunt de

forma { }1, 2, , , ,a b c d .Concurs Iai, 2003

VI.138 S se gseasc perechile ( ),a b de numere naturale pentru care

5 2 3a b i 2 3a b+ .Prof. Heidi Feil, Oelu Rou

VI.139 S se determine numerele prime ai b pentru care

1

a

b +i

2 2

1

b

a

+

sunt numere naturale.

Prof. Adriana Dragomir, Oelu Rou

Clasa a VII-a

VII.130 Fie: 1 2 3 ...S n= + + + + i

{ }1 1 1 1

1 1 1 ... 1 , 0,12 2 2 22 3 4

P nn

=

Artai c numrul A S P= este raional.Prof. Delia Marinca, Timioara

46

VII.131Pentru n , considerm numrul 2( ) 7 12A n n n= + +a) Aflai prima zecimal a numrului (0)A .

b) Aratai c n ,numrul ( )A n este iraional.c) Artai c, partea fracionar a numrului ( )A n este mai micdect 0,5, .n .

Prof. Irina Avrmescu, Reia

VII.132 S se afle ,x y astfel nct ( 3)( 2) 72x y = inumrul y+ s fie ptrat perfect sau cub perfect.

Prof. Irina Avrmescu, Reia

VII.133 Cte triunghiuri dreptunghice ale cror laturi sunt numerenaturale au o catet egal cu 15?

Prof. Loreta Ciulu, Reia

VII.134Se d un trapezABCD, AD BC> , // .BC AD Pe CD se ia unpunctK, peAB punctulL astfel nct // .AK CL S se arate c // .DL BK


VII.135 Artai c 6 5 7n n+ + , n .Prof. Pavel Rncu, Dalboe

VII.136 Determinai msurile unghiurilor unui triunghi tiind c suntndeplinite simultan condiiile:

a) un unghi este congruent cu complementul altui unghi;b) msurile a dou unghiuri sunt direct proporionale cu numerele 1

i 3.

Prof. Constantin Apostol, Rm.Srat

VII.137 a) Dac 3 3,x a= , care este cel mai mic numr cu care poate fiegalx ? Dar cel mai mare ?

b) Dac 7 9,x b= , care este cel mai mic numr cu care poate fiegalx ? Dar cel mai mare ?

7/29/2019 RMCS_nr.27

24/32

47

c) S se determine numrulxi cifrele nenule a , b pentru care

avem:3 3,

7 9,

x a

b

=

=


VII.138 Suma ptratelor a 18 numere naturale nenule este 2009.Artaic cel puin dou dintre numere coincid.

* * *

VII.139 Fie Vmulimea vrfurilor unui poligon regulat cu 20 de laturi iA V o submulime arbitrar.S se arate c:

a) DacA are cel puin 9 elemente, atunci exist nA trei punctecare sunt vrfurile unui triunghi isoscel;

b) DacA are cel puin 11 elemente, atunci exist nA trei punctecare sunt vrfurile unui triunghi dreptunghic isoscel.

Concurs Cluj Napoca, 2008

Clasa a VIII-a

VIII.130S se gseasc perechile de numere naturale consecutive astfelnct cubul primului numri ptratul celuilalt s fie tot numereconsecutive.

Prof. Snefta Vladu, Moldova Nou

VIII.131Un corp n form de paralelipiped dreptunghic are la baz un

dreptunghi cu dimensiunile de 12 x i ( )22+x , x .

a) Dac( )( )

2

1

2 3 2

h

x x x

=

+ + +

, determinai valorile reale ale lui

x , astfel nct volumul corpului s fie subunitar.b) Dac 3h = , determinai valorile lui x astfel nct aria lateral a

corpului s fie minimi determinai aceast valoare.Prof. Snefta Vladu, Moldova Nou

48

VIII.132 Se consider triunghiul echilateral ABC , un punct O ninteriorul triunghiului i , ,N P proieciile punctului O pe [ ] [ ],BC CA

respectiv [ ].AB S se arate c dac triunghiul NP este echilateralatunci O este centrul de greutate al triunghiului ABC.

Prof.Mircea Constantinescu, Tg-Jiu

VIII.133 S se precizeze dac numrul 30 322 2005a = + este prim,justificnd rspunsul.

Prof. Pavel Rncu, Dalboe

VIII.134 Cte ecuaii de gradul al doilea cu coeficienii diferii i careaparin mulimii { }3,1,2M = exist ? Artai c toate aceste ecuaii auo rdcin comun.


VIII.135 Se consider cubul ABCDA B C D i , ,N P mijloacelemuchiilor[ ] [ ],AB CC respectiv [ ].A D S se demonstreze c

( ).B D MNP Prof. Marina Constantinescu, Tismana

VIII.136 S se demonstreze c dac abc este prim, atunci acb 42 nueste ptrat perfect.


VIII.137 Artai c, dac , , 0a b c > i3

5222 =++ cba , atunci

abccba 1111

7/29/2019 RMCS_nr.27

25/32

49

VIII.139 Exist ,a b astfel nct 2 2 20094a b+ = ? Justificare.Prof. Marina Constantinescu, Tismana

Clasa a IX-a

IX.130 S se determine n i 1 2, ,..., nx x x

+ care satisfac

egalitile:1 2

1 2

... 3

1 1 1... 3

n

n

x x x

x x x

+ + + = + + + =

.


IX.131 a) S se dea un exemplu de numr real a pentru care

{ }1

1aa

+ =

; b) S se arate c dac , 0a a > , satisface

{ }1

1aa

+ =

, atunci a .

Concurs Bucureti 2008

IX.132 Dac este o mulime cu cel puin trei elemente avndproprietatea c, pentru orice dou elemente distincte ,x y A , rezult( )x y+ , artai cA .

Concurs Bucureti 2008

IX.133 S se calculeze suma2009

2

k

k k

a

b= , unde

2

4kk

a

=

i2kk

b

= (prin

[ ] se nelege partea ntreag a numrului realx ).Prof. Andrei Eckstein, Timioara

IX.134 Artai c, dac , 0x y > i 1y = , atunci2 22 1

31 1

x y

y x

+ ++

+ +.

Prof. Andrei Eckstein, Timioara

50

IX.135 Determinai mulimeaA a numerelor reale care se pot scrie subforma [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]3 2 2 3 ,x x x x x x x + + + + + .

Prof. Andrei Eckstein, Timioara

IX.136 DacMeste un punct n interiorul unui triunghiABC, se noteaz

{ }AM BC D = , { }BM CA E = i { }CM AB F = .S se

determine punctulMpentru care produsulA MB MC

D ME MF are valoare

minim.Concurs Slatina 2008

IX.137 S se determine numerele reale m pentru care rdcinile ecuaiei2 ( 2) 3 0x m x + + = sunt ntregi.

Prof. Simina Moica,Arad

IX.138S se determine , pentru fiecare n valoarea maxim aprodusului 1 2cos cos ... cos nP a a a= , tiind c 1 2, ,..., na a a i

1 2 1 2cos cos ... cos sin sin ... sinn na a a a a a = .


IX.139Demonstrai c1

sin2 21

n k nk ctg

n nk

=, , 1n n > .

Cosmin Istodor, student, Timioara

Clasa a X-a

X.130 S se rezolve ecuaia:( )20 16 16 8 6 4 16 2 16x x x x x = + + +

Prof. dr. Vasile Marinca, Timioara

X.131S se rezolve ecuaia : ( ) ( )5 2 6 5 2 6 10x x

+ + = .

Prof. Snefta Vladu, Moldova Nou

7/29/2019 RMCS_nr.27

26/32

51

X.132 Fie 1 2 3, ,z z z numere complexe de modul 1 astfel nct2 2 2

1 2 3 0.z z z+ + =

a) S se arate c 1 2 3z z z+ + ;b) Aflai numerele dac 2 1z z= i 3z .

Prof. Iacob Didraga, Caransebe,OlimpiadCara Severin 2006

X.133 Artai c ecuaia ( ) ( )2 3log 5 3 log 2 1x x = are o unic soluie

real 0 i 04

1,

3

x

. Prof. Ion Dumitru Pistril, Oravia,

OlimpiadCara Severin 2006

X.134 Determinai progresiile geometrice de numere naturale

( ) 1n na pentru care suma0

nk

k nk

a C=

este ptrat perfect pentru orice n

natural.Prof. Lucian Dragomir, Shortlist ONM, 2006

X.135 Fie { }1,2,3,4,5A = . S se determine numrul funciilor

:f A A cu proprietatea c nu exist numere distincte , ,a b c A astfelnct ( ) ( ) ( ).f a f b f c= =

Concurs Iai, 2004

X.136 Un triunghi ascuitunghic ABCeste nscris n cercul de centru O,D este simetricul lui C fa de O, iarI este centrul cercului nscris n

triunghiulABC.S se arate c patrulaterulADBIeste paralelogram dacinumai dac triunghiulABCeste echilateral.Prof. Nicolae Muuroia, Baia Mare

X.137 a) S se arate c 2x x> , pentru orice x .

b) S se rezolve ecuaia 22

xx

xx + = .

Prof. Adrian Troie, Sorin Rdulescu, Bucureti

52

X.138 La un turneu de ah oricare doi participani joac o singurpartid.Dup ce au jucat cte dou jocuri, 5 participani prsesccompetiia.La finele turneului s-a constatat c numrul total de partide

jucate este egal cu 100. Ci ahiti au participat iniial la turneu ?OlimpiadMoldova, 2007

X.139 Pe un cerc se fixeaz 3n + puncte distincte( 3n ), dintre care nse coloreaz cu rou, dou se coloreaz cu galben i unul cu albastru. Sse determine:a) numrul poligoanelor monocolore;b) numrul poligoanelor bicolore;c) numrul poligoanelor tricolore.

Prof.Vasile Pop, Cluj Napoca, Concurs 2008

Clasa a XI-a

XI.130 S se determine limita irului definit prin relaia de recuren:

0,

4 2 4 2 4 2 4 24 4 4 4 4 4 4 42 21 2 2 2 21 1 1 1

2 0x x x x x x x xn n n n n n n nxn

x x x xn n n n

x+ + + +

= + +

= ,

Prof. dr. Vasile Marinca, Timioara

XI.131 S se arate c pentru orice matrice ( ),A B 2M , avem

[ ]1

det( ) det( ) det( ) 12

A iB A iB A+ + = .

Cosmin Istodor, student, Timioara

XI.132 S se arate c exist un ir ( ) 1n na de numere reale cu

proprietatea c 1 , 1,n na a n+ = + daci numai dac1

.4

Prof. Marina Constantinescu, Tismana

7/29/2019 RMCS_nr.27

27/32

53

XI.133 Se consider mulimea1 0

1 0 , ,

0 1

a

M A b a b c

c

= =

] .

a) S se arate c dacA M i tA A M , atunci 3A I= .b) S se determine inversa matricei ( )23A I , tiind cA M nu

este inversabil.c) S se demonstreze c pentru orice matrice X M cu det 0X =

mulimea ( ){ }3 nX I n ` este finit.Prof. Lucian Petrescu, Tulcea

XI.134 Se consider matricea2 2

2 2

2 2

a b c

A b c a

c a b

+ = + +

, unde , ,a b c \ ,

distincte dou cte dou.a) S se determine rang A .

b) S se arate c exist matricele ( )3,B C \M astfel nctA B C= + i ( )det det detB C B C+ = + .

c) S se demonstreze c dac 3a b c+ + = , atunci orice soluie( )0 0 0, ,x y z a sistemului

a

AX b

c

=

verific relaia 0 0 01

2x y z+ + = .

Prof. Lucian Petrescu, Tulcea

XI.135 Fie ( ) 1n na o progresie aritmetic cu raia 0r> cu proprietateac ntre oricare doi termeni consecutivi ai progresiei exist exact unnumr natural. Atunci 1.r=

Prof. Mircea Constantinescu, Tg-Jiu

54

XI.136 Se dirul de numere reale definit prin

1 10, , 1n n nx x x x n+> = + . S se calculeze:

a) lim nn x ; b) lim n nn x ; c) 2limn

n

x

n .Concurs Braov, 2008

XI.137 FieAiB dou matrici ptratice de ordin , 2n n , cu

proprietatea c exist * , astfel nct 0nA B A B + + = . S se

arate cA B B A = .Prof. Ciprian Clin, Reia

XI.138 Fie [ ]: 0,1f o funcie continu n 0 1x = i care are

proprietatea c [ ]2( ) ( 1), 0,1f x f x x x= + . Artai cfesteconstant.

OlimpiadlocalOlt, 2008

XI.139 Determinai funciile continue :f pentru care exist

k astfel nct (0) 1f = i ( ) ,2

xf x f kx x

=

.

OlimpiadlocalSatu Mare, 2008

Clasa a XII-a

XII.130 Fie un numr prim, 2p i polinomul

( )3 2 1f X p X p= + cu rdcinile 1 2 3, ,x x x ^ .

a) S se determinep tiind c 2 2 21 2 3x x x+ + este numr naturaldivizibil cu 4.b) S se demonstreze c polinomul f nu poate avea o rdcin

dubl ntreag.c) S se determinep tiind c mulimea rdcinilor polinomului

f formeaz grup n raport cu operaia de nmulire a numerelor

complexe.Prof. Lucian Petrescu, Tulcea

7/29/2019 RMCS_nr.27

28/32

55

XII.131 Se considerirul ( ) 1n nI definit prin( )ln 11

10

nxI dxn x

+=

+,

oricare ar fi n

` .a) S se determine 1I .b) S se arate c lim 0n

nI

= .


XII.132 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie[ ] [ ], ,x y x y x y = + \ , unde [ ]x desemneaz partea ntreag a

numrului real x .a) S se rezolve n \ ecuaia ( ) ( )1 1 2x x + = .

b) S se determine a \ astfel nct( ) , oricare ar fix x a x = \ .

c) S se determine prile stabile ale lui \ , astfel nct legea decompoziie indus s admit element neutru pe .


XII.133 DacPeste un polinom de gradul 2008 i( ) , 0, 2008

1

kP k k

k= =

+, calculai (2009).P

* * *XII.134 Determinai funciile :f care admit primitive i

( ) ( ) ( ) 3 ( ) , ,f x y f x f y xy x y x y+ = + + + .Concurs Galai, 2008

XII.135 Determinai funciile strict cresctoare [ ]: 0,1f pentru

care1

0

( ) 2008nxf x e dx pentru orice n .

Concurs Iai, 2008

XII.136 S se arate c:4

22

1 2 31 .

36 5dx

x x

Prof. Lucian Dragomir, Oelu Rou

56

XII.137 a) Fie G un grup finit iA o submulime a lui G astfel nct1

( ) ( ).2

card A card G> Demonstrai c pentru orice g G exist

1 2,a a A astfel nct 1 2.a a= b) FieKun corp finit. Demonstrai c pentru orice K , exist

,u v K astfel nct 2 2x u v= + .Concurs Trgovite, 2008

XII.138 S se arate c oricare ar fi numerele reale a i bi n , avem

( )( )11

cos cos sin sin

1

b bn n

a a

xdx xdx a b a b

n

+

=

+ .

Prof.Ciprian Clin, Reia

XII.139Se consider funcia ( ): 0, , ( ) lnf f x x x = + . S se

arate c pentru orice x , ecuaia ( )f t x= are o soluie unic

( ).t x= S se arate apoi c ( ): 0, , ( )x este derivabili

s se calculeze1

1

.1 ( )

e dxI

x

+

=+

OlimpiadlocalOlt, 2008

7/29/2019 RMCS_nr.27

29/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

30/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

31/32

7/29/2019 RMCS_nr.27

32/32

RMCS_nr.27

Documents

Transcript of RMCS_nr.27