7/29/2019 RMCS_nr.25

1/36

Societatea de tiine Matematice din RomniaFiliala Cara-Severin

REVISTA DE

MATEMATIC

A ELEVILORI PROFESORILOR

DIN JUDEUL

CARA-SEVERINNr. 25, An IX-2008

Editura Neutrino

Reia, 2008 2

2008, Editura NeutrinoTitlul: Revista de matematic a elevilori profesorilor din judeulCara-SeverinI.S.S.N. 1584-9481

Colectivul de redacie

Avrmescu Irina Iatan Rodica

Bdescu Ovidiu Lazarov Mihael

Chi Vasile MitricMariana

Dragomir Adriana Moatr Lavinia

Dragomir Lucian Neagoe PetriorDrghici Mariana PistrilIon Dumitru

Didraga Iacob Stniloiu Nicolae

Gdea Vasilica andru Marius

Golopena Marius uoi Paul

Redacia

Redactor-ef: Dragomir LucianRedactor-ef Adjunct:Bdescu OvidiuRedactori principali: Dragomir Adriana

Neagoe Petrior

Stniloiu Nicolae

Responsabil de numr:Adriana Dragomir

2008, Editura NeutrinoToate drepturile rezervateMobil: 0724224400www.neutrino.roE-mail: editura@neutrino.ro

7/29/2019 RMCS_nr.25

2/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

3/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

4/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

5/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

6/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

7/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

8/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

9/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

10/36

19

Calculul unor sume cu combinriNicolae Stniloiu

Calculele duse cu puin efort i mare atenie pentru soluionareaproblemei X.113 din RMCS nr.24, prezentate n acest numr al revistei,

au condus la redactarea acestei note. Sunt bine cunoscute egaliti ca:1)

0

2 ,n

i nn

i

C n=

= . 2) 11

2

=

= nn

i

i

n niC , , 1n n .

3) ( ) ( ) 22

211

=

= nn

i

i

n nnCii , , 2n n . Vom da o metod de

calcul pentru sume mai generale, de forma: ( )=

n

i

i

nCiP0

, unde

( ) .grad P p= Mai nti vom enuna un rezultat fr s-l mai demonstrm.Fie polinoamele ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1, 1 ... 1 , 1iQ x Q x x x x i i= = + .Propoziia 1:Dac P este un polinom de grad p , atunci exist

constantele reale i astfel nct:0

p

i ii

P Q=

= .

Obs: Propoziia precedent exprim faptul c polinoamele , 0,iQ i p=

este o baz pentru spaiul vectorial al polinoamelor de grad cel multp.

Propoziia 2: ( ) ( ) knki

n

n

i

k nQCiQ

=

= 20

, pentru orice n .

Demonstraie: Se observ c: ( ) ( ) ki knki

nk CnQCiQ= i atunci:

( ) ( ) ( ) knkn

i

ki

knk

i

n

n

i

k nQCnQCiQ

=

=

== 200

.

Observaie: n sumele anterioare combinrile care apar cu indicesuperior negativ le considerm nule.

Propoziia 3:Dac P este un polinom de grad p atunci exist un

polinom F de grad cel mult p astfel nct: ( ) ( ) pnn

i

i

n nFCiP

=

= 20

Demonstraie: Din propoziia 1 exist j astfel nct: ( ) ( )=

=p

j

jj iQiP0

i atunci: ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0

p pn n ni i i

n j j n j j n

i i j j i

P i C Q i C Q i C = = = = =

= = =

20

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

2 2 2 2 ,p p p

n j n p p j p j

j j j j j j

j j j

Q n Q n F x Q x gr F p

= = =

= = =

Propoziia 3 ne d dreptul s elaborm urmtoarea metod de calcul

al sumelor de tipul: ( )=

n

i

i

nCiP0

unde ( )grad P p= .

Se ncearc determinarea polinomului F de gradp astfel

nct ( ) ( ) pnn

i

i

n nFCiP

=

= 20

lund pentru n suficiente valori.

Problema de care aminteam la nceput (sursa cutrilor noastre)

cere calculul sumei:

=

n

i

i

nCi

1

3 . Evident( )

3iiP = i ( ) 3grad P = .

Presupunem ( ) dcxbxaxxF +++= 23 .

n egalitatea: ( ) 30

3 2

=

= nn

i

i

n nFCi , dm lui n valorile 3, 4, 5 i 6 i

obinem:

=+++=+++

=+++

=+++

324666200555

112444

54333

23

23

23

23

dcba

dcba

dcba

dcba

Determinantul sistemului de mai sus este de tip Vandermonde iarrezolvarea acestuia nu ar trebui sa fie o problem. Se obine

1, 3, 0, 0a b c d = = = = i deci: ( )2330

3 32 nnCi nn

i

i

n +=

=

Ca metod alternativ pentru calculul sumei =

n

i

i

nCi0

3 amintim o

metod la nivelul clasei XI-a: dezvoltarea ( )nn

i

i

n

ixCx +=

=

10

se

deriveaz o data n raport cux iar egalitatea obinut se nmuleste cux,apoi se repet procedeul de dou ori i n final se ia 1.x =

Profesor, Boca

7/29/2019 RMCS_nr.25

11/36

21

Partea ntreag, partea fracionar a unui numr realLucian Dragomir

I. Definiii, notaii, proprieti.

Dac un numr real a are scrierea zecimal 0 1 2 3, ...a a a a a= (evident0a i { }1 2 3, , ,... 0,1,2,...,9a a a ), atunci partea ntreag a lui a se

noteaz cu [ ]a i se definete prin [ ] 00

, dac 0

1 , dac 0

a aa

a a

=

, membrul drept al ultimei egaliti poate fi orict de mare,contradicie. Analog dac a b< , aadar .a b=

2.

Dac ,a b ,s se arate c{ } { } 1a b+ = daci numai dac( )a b+ i , \ .a b

(Gh.Andrei)Soluie: Dac , \a b i ( )a b+ ,atunci { } { } [ )0, 2 ;a b+ cum

{ } { } [ ] [ ]a b a a b b+ = + ,deducem c{ } { } { }0,1 .a b+ Deoarece

{ } { } 0a b+ (n caz contrar am ajunge la ,a b , contradicie), obinem

{ } { } 1a b+ = .Reciproc, dac{ } { } 1a b+ = , avem { } { }0, 0a b i,din

{ } { } [ ] [ ]1 a b a a b b= + = + , deducem ( )a b+ .3. a) S se dea un exemplu de numr real tpentru care { } { }2 1.t t+ >

b) S se rezolve ecuaia4 1 3 1

.3 4

x x + =

7/29/2019 RMCS_nr.25

12/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

13/36

25

,2

kx y k = . Deoarece avem i 1,5x y+ = , deducem imediat c

3 3,

4 4

k kx y

+ = = . Cum ns , 0x y ,ajungem la { }0,1,2,3k .

Analizm uor aceste cazuri i obinem perechile cerute:1 5 1 3

1, , , , ,0 .2 4 4 2

9. S se determine partea ntreag a numrului 2 3 , .n n n + (Concurs Florica T.Cmpan,2003)

Soluie: Deoarece 2 2 22 1 3 4 4,n n n n n n n + + + < + + , deducem

c 21 3 2n n n n+ + < + i astfel 2 3 1, .n n n n + = +

10.S se arate c partea fracionar a numrului 24 ,n n n + ,estemai mic dect 0,25.

(Concurs Unirea,2003)

Soluie: Deoarece 22 4 2 1,n n n n n < + < + , avem c

24 2n n n + =

i deci { }2 24 4 2 .n n n n n+ = + Rmne de artat

c2

4 2 0,25n n n+ < , ceea ce este echivalent cu2 2 24 0,25 2 4 4 0,0625n n n n n n n+ < + + < + + , ultima inegalitate

fiind evident adevrat.

11.S se rezolve ecuaia [ ] { }2003 2002 2... 1.x x x x x + + + + = (Concurs Ucraina,2003)

Soluie: Membrul stng al ecuaiei este numr ntreg,deci , dacx este osoluie a ecuaiei, avem { }x ;cum ns{ } [ )0,1x , ajungem la

{ } 0x x= .Ecuaia devine astfel 2003 2002 2... 1 0x x x x+ + + + + = sau ( )2002 2000 2( 1) ... 1 0.x x x x+ + + + + = Deoarece suma din a douaparantez este strict pozitiv, se obine unica soluie a ecuaiei 1.x = 12.S se calculeze suma

2 3 3 4 11 2 ... ,

2 3

n nS n

n

+ + + + = + + + + +

.

(Concurs Reghin,2005)

26

Soluie: Folosind P.4., avem imediat

3 4 11 2 1 1 ... 1

2 3

nS

n

+ = + + + + + + + +

; deoarece

10 1, , 3k k kk+< < (inegalitate imediat), ajungem

la 1 1 1 1.S n n= + + = + 13.Dac , , ,a b c d sunt patru numere naturale consecutive nenule,s se

arate c

.2

a b c d a b c d

+ + + = + + +

(Dana Piciu,Concurs Gh.ieica,2006)

Soluie: Considerm , 1, 2, 3,a n b n c n d n n = = + = + = + i notm1 2 3

2

n n n nx

+ + + + + += , 4 6y n= + .Prin ridicri la ptrat se

arat imediat c 4 5 3 4 6n n n n+ + + < + i

4 5 1 2 4 6n n n n+ + + + < + ,de unde ajungem la

4 5 4 6n x n y+ < + = ;deducem astfel c

[ ] [ ]4 5 4 6n x n y + + =

. Deoarece 4 6n + nu este ptrat

perfect(ptratele perfecte sunt de forma 4m sau 8 1+ ), rezult

4 5 4 6n n + = + , adic [ ] [ ].x y=

14.S se calculeze suma2 5 3 6 4 7 ... 100 103S = + + + + .

(OL Arad,2006)

Soluie: Prin ridicri la ptrat se arat c 1 ( 3) 2,n n n n n + + < +

i deci ( 3) 1,n n n n + = + . Folosind acest rezultat, deducem

imediat c 3 4 5 ... 101 5148.S= + + + + = 15.a)S se arate c [ ] [ ], , .n x nx x n+

b) S se determine toate numerele reale pozitivex pentru care

[ ] [ ] [ ],2 , 2x x x sunt numere naturale consecutive.(Mircea Fianu,OL Bucureti,2002)

Soluie: a) [ ] [ ] { } [ ] { } [ ].nx n x n x n x n x n x = + = +

7/29/2019 RMCS_nr.25

14/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

15/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

16/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

17/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

18/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

19/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

20/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

21/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

22/36

43

Clasa a IX-a

IX.107 S se arate c :[ ]

[ ]11 52 , 0

1 1 2

xxx

x x

++ +

+ +, unde

[ ]a reprezint partea ntreag a numrului real a.Prof. Pavel Rncu, Dalboe

Soluie: Inegalitatea din stnga e imediat folosind inegalitatea

mediilor: 2 2a b a b

b a b a+ = . Pentru cealalt notm

[ ] { } [ ], , 1 1x n x k x n k x n= = = + + = + i inegalitatea propus devine

1 1 5

1 1 2

n k n

n n k

+ + ++ , care e evident

adevrat (!).

IX.108 S se rezolve ecuaia:5 9

4 9 9

x

x x= +

+ +.

Prof. Alfred Eckstein,Viorel Tudoran, Arad

Soluie:36

5 49 9

x

x x= +

+ +sau

( 9)36 5 95 4 4

9 9 9 9

x xx x

x x x x

++ = =

+ + + +. Imediat ajungem acum la

( )2

4 9 0x x + = ,de unde 3.x =

IX.109 Se consider numerele reale , , , 0a b c a ,pentru care 2ac b> .Sse arate c dac 2a c b+ > , atunci 4 4 .a c b+ >

Prof. Lucian Dragomir, Oelu-Rou

Soluie: Se consider 2: , ( ) 2f f x ax bx c = + .Conform ipotezei

avem 0 < , decifare semn constant pe .Cum 2a c b+ > nseamn defapt (1) 0f > ,deducem ( ) 0,f x x> i 0a >

(2) 4 4 0f a b c = + > i concluzia e imediat.

44

IX.110 S se arate c dac ( ), 0, 2x y i 1x y = , atunci

2 22

2 2

x y

y y x x

+

.

Prof. Ovidiu Bdescu, ReiaSoluie: ( )

2 1, 0, 2 (2 ) 1 1

2 (2 )

x xx y x x

x x

+ =

i deci

(2 )

xx

x x

.Analog avem i

(2 )

yy

y y

. Prin nsumare i folosind

2 2x y xy+ = se ajunge la inegalitatea propus.

IX.111 S se determine a pentru care exist ,x y astfel nct2

2 22

x xy a

y xy a

=

+ =

.

Prof. Lucian Dragomir, Oelu-RouSoluie: Dac 0 0a x y= = = ; dac 0a , nmulim primaecuaie cu a i adunm cele dou ecuaii, apoi mprim ecuaia obinut

cu 2 0x . S mai remarcm c ,x y conduce la a i, cu notaia

yt= avem 22 ( 1) 0t a t a+ + = . Aceast ecuaie trebuie deci s

aib rdcini raionale, deci exist k astfel nct2 2( 5) 24a k = + = , de unde ( 5 )( 5 ) 24a k a k + + + = . Analizm

cazurile posibile i ajungem n final la { }12,0,2 .a IX.112 Se noteaz cu O i H centrul cercului circumscris, respectivortocentrul triunghiului ABC. S se arate c dac HA OA= iHB OB= , atunci .HC OC=

Prof. Lucian Dragomir, Oelu-Rou

Soluie: 2 cos3

HA OA R A R A

= = = ; analog3

B

= i finalizarea

trebuie s v fie la ndemn.(Demonstrai c cosAH R A= )

IX.113 S se determine funciile :g tiind c:a) ( 1) ( ) ( 1) 1 , ;x g x x g x x+ + =

7/29/2019 RMCS_nr.25

23/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

24/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

25/36

49

XI.110 S se demonstreze c 2e

e ee

< < .

Prof. Nicolae Stniloiu, BocaSoluie: Se aplic teorema lui Lagrange funciei [ ]: , , ( ) ln .f e f x x x =

XI.111 Pentru orice funcii derivabile , :f g se noteaz

{ }/ ( ) ( )A x f x g x= = . S se arate c dac { }0A = ,atunci exist

( )0,1c pentru care/ /( ) ( ) 1

( ) ( ) 1

f c g c

f c g c c

=

.

Prof.Lucian Dragomir,Oelu-RouSoluie: Se aplic teorema lui Rolle pe [ ]0,1 funciei derivabile

[ ]: 0,1 , ( ) ( ( ) ( )) (1 )h h x f x g x x = .

XI.112 Se consider matricea ( )1 2

22 3A

=

M .

a)S se arate c pentru orice ( )2,1B M , exist o unic matrice

( )2,1X M astfel nct A X B = ;

b) S se arate c exist ,m n astfel nct 3 2A mA nI= + ;

c) S se determine numrul perechilor ( , )x y de numere

ntregi pentru care

2

2 3

3 5 7

x y

x y

x y

Prof. Lucian Dragomir, Oelu-Rou

Soluie: a) A este inversabil, deci 1X A B= ; b) calcul direct sau relaialui Hamilton-Cayley conduc la 3, 2;m n= = c) Primele dou inegaliticonduc la 2 ,2 3x y a x y b = = , cu 2 3 , 2x b a y b a= = ;

ultima inegalitate conduce astfel la 7b a+ i obinem imediat8 7 ... 1 36+ + + = perechi ( ),a b , deci i 36 perechi care satisfaccondiiile din enun.

50

XI.113 Graficul funciei: ,f

3( ) , 0f x ax bx c a= + + este cel alturat. S se arate c

0abc < .Prof. Lucian Dragomir, Oelu-Rou

Soluie: lim ( ) 0x

f x a

= + > ; (0) 0f c= > i, deoarecefare dou

puncte de extrem distincte, ecuaia asociat derivatei, 23 0ax b+ = , aredou rdcini reale distincte, de unde 0.b < Concluzia e imediat.

XI.114 Se consider funcia ( ) R,:f 0 , ( )2

1

xxf = .

a) S se arate cf este strict descresctoare pe ( ),0 ;b) S se arate c :

144

5211

144

2522

7/29/2019 RMCS_nr.25

26/36

51

XII.109 Pentru orice ( ), 5,x y se noteaz 5 5 30x y xy x y= + .

a) S se arate c ( )5,x y ;b) S se arate c pentru orice ( )5,a , exist ( )5,b astfelc)

nct 6a b = ;

d) S se determine , ,y zpentru carex y z

y z x

z x y

=

=

=

* * *Soluie: Problem de bacalaureat. c) soluie unic, tripletul ( )6, 6, 6 .

XII.110 Se consider funcia ( ): 0, , ( ) ln ,nnf f x x x nn = +

S se demonstreze c dac n este soluia ecuaiei ( ) 0nf x = , atunci irul( ) 1n nx este convergent. S se determine limita irului ( ) 1n nx .

* * *

Soluie: Considerm ( ) ( ): 0, , lnnf f x x x = + , care este continu

i strict cresctoare. Cum ( )0

0

limxx

f x>

= , avem c exist 0 > cu

( ) 0;f < n plus, ( )1 0f > , exist un unic ( ),1nx pentru care

( ) 0nf x = ; evident ( )nx este astfel mrginit. Dac 1n nu v x += = ,

deducem 0 lnn n n nv

u v u v v uu

= > , contradicie. Aadar

1,n nx x n

+< adicirul este i strict monoton. Acum teorema lui

Weierstrass i apoi trecere la limit n relaia ( ) ( )ln 0n

n nx x+ = , de unde

[ ]ln 0, 0,1 1.nL L L L+ = =

XII.111 Pentru fiecare t se consider 3 2: , ( )t tf f x x t x = + .

a) S se arate c teste bijectiv;b) S se arate c funcia 1: , ( ) (1)tg g t f = este continu n 0.

* * *Surs: Varianta 93, subiecte bacalaureat 2008.

52

XII.112 Se consider o funcie [ ]: 1,1f de dou ori derivabil cu(0) 0f = i '(0) 1.f =

a) S se arate c dac [ ]'( ) 1, 0,1f x x , atunci 1 1( ) , ,12 2

f x x

;

b) S se calculeze ( )10

lim 1 ( ) xx

f x

+ .

* * *Soluie: a) Considerm funcia derivabil [ ]: 0,1 ,g ( ) ( )g x f x x= .

Avem evident (0) 0g = i [ ]'( ) 0, 0,1g x x , aadargeste cresctoare.

Presupunem c exist 01

,1

2

x

pentru care ( )01

2

f x < ; deducem c

( )0 01

02

g x x< , contradicie. b) limita cerut este egal cu e.

XII.113 S se determine cel mai mare numr real a pentru care2 1 ln , .x a x x+ +

* * *

Soluie: Se consider funcia :f , 2( ) 1 lnf x x a x= + .

Deoarece 12x = este punct de minim, se impune 1 02

f

, de unde

ajungem la3 ln 2

.2

a+

=

XII.114 S se determine numrul soluiilor reale ale ecuaieix

x e m+ = , unde m este un numr real oarecare.

* * *

Soluie: Se consider :f , ( ) xf x x e= + , se studiaz variaia

acesteia i se ajunge la : pentru 1m < , ecuaia nu are soluii; pentru 1m = ,ecuaia are o rdcin dubl, iar pentru 1m > , ecuaia are dou rdcinireale distincte.

7/29/2019 RMCS_nr.25

27/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

28/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

29/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

30/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

31/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

32/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

33/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

34/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

35/36

7/29/2019 RMCS_nr.25

36/36