RMCS_nr.24

7/29/2019 RMCS_nr.24

http://slidepdf.com/reader/full/rmcsnr24 1/32

Societatea de Ştiinţe Matematice din RomâniaFiliala Caraş-Severin

REVISTA DE

MATEMATICĂ

A ELEVILOR ŞI PROFESORILOR

DIN JUDEŢUL

CARAŞ-SEVERIN

Nr. 24, An IX-2008

Editura „Neutrino”

Reşiţa, 2008 2

© 2008, Editura „Neutrino”Titlul: Revista de matematică a elevilor şi profesorilor din judeţulCaraş-SeverinI.S.S.N. 1584-9767

Colectivul de redac ţ ie

Bădescu Ovidiu Iatan Rodica

Chiş Vasile Lazarov MihaelDragomir Adriana Mitrică Mariana

Dragomir Lucian Moatăr Lavinia Dr ăghici Mariana Pistrilă Ion Dumitru

Didraga Iacob Stăniloiu Nicolae

Gâdea VasilicaGolopenţa Marius

Şandru MariusŞuşoi Paul

Redac ţ ia

Redactor- Ş ef : Dragomir Lucian Redactor- Ş ef Adjunct: Bădescu Ovidiu Redactori principali : Dragomir Adriana

Neagoe Petri şor

St ăniloiu Nicolae

Responsabil de număr : Dragomir Adriana

© 2008, Editura „Neutrino”Toate drepturile rezervateMobil: 0724224400www.neutrino.roE-mail: [email protected]

7/29/2019 RMCS_nr.24


3

CUPRINS

● Câteva gânduri ……………………………………... Pag. 4● Chestiuni metodice, note matematice

■ Fractali(I) (George Mahalu) ......................

■ Mulţimi legate(Nicolae Stăniloiu) ……….............

Pag. 5

Pag.12■ Inegalitatea lui Sylvester

(Lucian Dragomir)...............................■ Concursul de Matematică al Revistei RMCS,

Ediţia a III-a, 15 martie 2008, Oţelu-Roşu

Pag. 15

Pag.17● Probleme rezolvate …………………………………...● Concursul revistei, ediţia a IV-a ...................................

Pag. 27Pag. 46

● Probleme propuse ……………………………………. Pag. 47● Rubrica rezolvitorilor ………………………………… Pag. 59● Primăvara la Timişoara…………………………………... Pag. 64

4

Câteva gânduri

● Oamenii trec, dar operele lor r ămân.Cauchy

● Am observat că pretenţiile de orice fel sunt în raport invers cu meritul;aceasta este una din axiomele mele de morală.

Lagrange

● Ceea ce cunoaştem este prea puţin, ceea ce nu ştim este imens.Laplace

● Dreptatea nu este altceva decât iubirea de om a înţeleptului.Leibniz

● Întrebările la care trebuie să r ăspunzi cel mai sincer sunt cele pe care ţile pui singur.

Grigore C.Moisil

● Este adevărat că un matematician care nu are ceva de poet nu va finiciodată un perfect matematician.

Weierstrass

● Primul precept al cunoaşterii este să nu admiţi niciodată că un lucru esteadevărat dacă nu l-ai cunoscut în chip evident ca atare; adică, să eviţi cugrijă graba şi prejudecata şi să nu primeşti în judecăţile tale decât ceea ce

s-ar înf ăţişa spiritului tău atât de clar şi de distinct încât să nu ai nici un prilej de a-l pune la îndoială.

Descartes

● Prietenul care ne ascunde defectele ne slujeşte mai r ău decât duşmanulcare ni le reproşează.

Pitagora

7/29/2019 RMCS_nr.24


7/29/2019 RMCS_nr.24


21

3. Se consider ă un paralelogram ABCD în care BD DA⊥ şi

{ } AC BD O∩ = .Prin mijlocul M al segmentului ( ) AO se duce

// , , . EF BD E BC F CD∈ ∈

Să se arate că există k ∈ astfel încât . FC k EO= ⋅ Gazeta Matematică 6/2007

4. Se consider ă un triunghi ABC în care B AC = şi punctele

( ) ( ), , D AC E BC O AE BD∈ ∈ ∈ ∩ astfel încât // . DE AB Ar ătaţi că:

a) BD este mediană în triunghiul ABC dacă şi numai dacă ( AE este

bisectoarea unghiului BAC ;

b) dacă

CBD BAE ≡

, atunci . AC DC BE BC ⋅ = ⋅

Lucian Dragomir

Clasa a VIII-a1. Pentru fiecare n∈ se notează

8 3 4 3 2 ,n n nna k k = + ⋅ + ⋅ + ∈ .

Să se arate că dacă 0a şi 1a sunt cuburi perfecte, atunci na este

cub perfect , oricare ar fi n∈ .Gazeta Matematică 6/2007

2. a) Să se determine numărul perechilor ( , )m n de numere întregi pentru care 2 24 4 5;m n n m+ + + =

b) Să se arate că oricare ar fi ,m n∗∈ , numerele 2 4 A m n= +

şi 2 4 B n m= + nu pot fi simultan pătrate perfecte.RMCS 22 , articol pag. 9

3. a) Confecţionăm o cutie în formă de paralelipiped dreptunghic pentru a o umple cu 1001 cuburi identice cu muchia de 1 cm.Calculaţi

care este aria totală minimă a cutiei; b) O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 10cm, 15 cm şi 25 cm.Determinaţi care este cel mai mic număr de cuburiidentice,având lungimea muchiei exprimată în cm printr-un număr natural, cu care putem umple cutia.

Mircea Fianu

22

4. Se consider ă un paralelogram ABCD şi un punct M nesituat în planul ABC astfel încât B AB⊥ şi D AD⊥ . Să se arate că:

a) ;C BD⊥

b) Dacă ABCD este romb şi 2 C AC ⋅ = , atunci( , ) ( , ( )).d MC BD d M ABC =

GM 10/2007

Clasa a IX-a

1. Se consider ă mulţimile

{ }2/ 3 0 A x x x m= ∈ + − = şi { }2/ 4 0 B x x x m= ∈ − + = .

Să se determine m∈ ştiind că există ,a b A B∈ ∪ astfel încât3.a b+ =

Lucian Dragomir, RMCS 20, enunţ modificat

2. a) Să se arate că dacă *: f ∗→ este o funcţie cu

proprietatea că ( ) ( ) ( ) , , f m n f m f n m n ∗+ = ⋅ ∀ ∈ , atunci există

p ∗∈ astfel încât ( ) , f n p n ∗≠ ∀ ∈ .

b) Să se determine funcţiile : f → cu proprietateacă ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 , , . f x y f x y f x y x y+ + − = − ∀ ∈

RMCS 213. Să se arate că dacă centrul cercului circumscris unui

patrulater inscriptibil este centrul de greutate al patrulaterului,atunci patrulaterul este dreptunghi.

RMCS 204. Fie M mijlocul laturii ( ) BC a unui triunghi ascuţitunghic ABC.

Notăm cu P şi Q proiecţiile lui M pe AB , respectiv AC .

Să se arate că 6

Aπ

= dacă şi numai dacă 4( ) . P MQ AB AC + = +

Gazeta Matematică 9/2006

7/29/2019 RMCS_nr.24


23

Clasa a X-a1. Dacă ( ), , 0,1a b c ∈ , să se arate că 2 2 2log log log 1.

a b b c c aa b c+ + ≤

GM 9/20062. Se consider ă numerele complexe distincte 1 2 3 4, , , z z z astfel

încât 1 3 2 4 z z z + = + şi 2 21 3 2 42 . z z z + = Să se arate că 1 2 3 4, , , z z z

sunt afixele vârfurilor unui pătrat.GM 3/2007

3. a) Să se arate că nu există funcţii injective : f → cu

proprietatea că (2 ) ( 2 ) 5( ( ) ( )) , , . f x y f x y f x f y x y+ + − = + ∀ ∈

b) Să se determine funcţiile surjective : f ∗ ∗→ pentru care

1 1 1 1... , , 22 (1) 3 (2) ( 1) ( )

nn n

f f nf n f n

−+ + + = ∀ ∈ ≥−

.

RMCS 21, Nicolae Stăniloiu, Lucian Dragomir 4. Se consider ă un alfabet cu numai trei litere: A,B,C.

a)Să se determine numărul na de „cuvinte” cu n litere şi care conţin

un număr par de litere A. b)Să se arate că dacă n este număr par, atunci na este număr impar.

* * *Clasa a XI-a1. a) Să se arate că există ( ), , , A B A B∈ ≠2M

( ){ }2, / cu A B X X I α α ∉ ∈ ∃ ∈ = ⋅ 2M astfel încât 2 224 A B I = = ⋅ ;

b) Să se arate că există o infinitate de matrice ( ) X ∈ 2M pentru

care 4 2220 . X X I + = ⋅

Lucian Dragomir, RMCS 21, enunţ modificat

2. Dacă ( ) A∈ 3M este o matrice nenulă, să se arate că 2 3 A O= dacă şi numai dacă ( ) 0tr A = şi ( ) 1.rang A = G. M. 10/2006

3. Fie A o mulţime nemărginită de numere reale cu proprietatea că

pentru orice , x y A∈ avem2

x y A

+∈ . Să se arate că pentru orice a A∈

există un şir ( ) 1n n x

≥de numere din { }\ A a convergent la a.

Olimpiadă locală Olt 2007

24

4. a) Să se arate că nu există funcţii continue ( ): 0,1 f → cu

proprietatea că ( )2

1( ( )) , 0,1 ; f f x x

x

= ∀ ∈

b) Să se arate că dacă [ ] [ ): 0,1 1, f → ∞ este o funcţie continuă

neconstantă, atunci există ( )0 0,1 x ∈ cu proprietatea că 0 20

1( ) f x

x= .

RMCS nr.19

Clasa a XII-a1. Fie ( ),G ⋅ un grup finit cu p elemente , p număr prim, având

elementul neutru e. Să se demonstreze că dacă : f G G→ este un

morfism pentru care există { }\t G e∈ astfel încât ( ) f t t = , atunci

( ) , . f x x x G= ∀ ∈

RMCS nr.17

2. a) Să se rezolve în corpul 7 sistemul de ecuaţii :

3 4 4

4 5 0

x y

x y

⎧ ⋅ + ⋅ =⎪⎨

⋅ + ⋅ =⎪⎩

;

b) Să se determine numerele n ∗∈ pentru care ecuaţia2

3 2 1 0n

x x x+ + + = are cel puţin o soluţie în 5 .Andrei Eckstein, Viorel Tudoran , GM 2/2006

3. a) Să se arate că pentru orice 0,2

xπ ⎡ ⎤

∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦avem: 1 sin cos 2; x x≤ + ≤

b) Să se calculeze2

0

1lim (sin cos ) .

2n

nn x x dx

π

→∞+∫

Concurs admitere Universitatea Bucureşti 2007, GM 9/2007

4. a) Să se arate că :1

, 0;2

arctgt arctg t t

π + = ∀ >

b) Să se calculeze2

1

2

arctgxdx

x∫ .

GM 4/2007

7/29/2019 RMCS_nr.24


25

5.Elevi premianţi :Nume,prenume elev Clasa Şcoala Profesor PremiuCiobanu Anca 4 Şc.2 Reşiţa Boulescu

Florica

I

Stanciu Ana-Maria 4 Lic.HerculesBăile Herculane

Bolbotină Mirela

II

Balmez Andrada Ioana 4 Şc.1 Oraviţa Cr ăciunLiliana

III

Neaţu Monica 4 Şc.2 Reşiţa BoulescuFlorica

M

Dinulică Septimiu 5 Lic.CD Loga BuzescuAntoanela

I

Gheorghişan Călin 5 Şc.1 Oraviţa Bădoi

Marian

I

Ştef ănescu Andrei 5 Şc.1 Oţelu-Roşu Feil Heidi IDinulică Augustin 5 Lic.CD Loga Buzescu

AntoanelaII

Pîrvu Ancuţa Iulia 5 Şc.1 Oraviţa BădoiMarian

III

Peptan Andrei 5 Şc.9 Reşiţa Belci Ion MBivolaru Iulia Mălina 5 Lic.CD Loga Buzescu

AntoanelaM

Dragomir Ioana 5 Lic.Traian Doda Dragomir

Adrian

M

Şandru Ilie Daniel 5 Lic. Hercules GolopenţaMarius

M

Ţeudan Adina 6 Şc.2 Reşiţa Dr ăghiciMariana

I

Lazăr Silviu Ioan 6 Şc.9 Reşiţa Avr ămescuIrina

II

Aghescu Monica Elena 6 Şc.2 Reşiţa Dr ăghiciMariana

III

Muscai Lorena 6 Şc.9 Reşiţa Belci Ion MPop Cristian Ionuţ 6 Şc.1 Oţelu-Roşu Feil Heidi MSzabo Ildiko 6 Lic.Traian Doda Hogea

GheorgheM

Colgea Alexandru 6 Şc.9 Reşiţa Chiş Vasile MPeptan Alexandru 6 Şc.9 Reşiţa Avr ămescu

IrinaM

Popa Andreea 7 Lic.Traian Doda Dragomir Adrian

I

Krocoş Lorena 7 Şc.1 Oţelu-Roşu Feil Heidi II

26

Nasta Laura 7 Grup Şc.Oţelu-Roşu

Dragomir Adriana

III

Stoicănescu Gelu 7 Lic.Traian Doda Dragomir Adrian

M

Dumitresc Cecilia 7 Grup Şc.Oţelu-Roşu

Dragomir Adriana

M

Semenescu Anca 8 Lic.CD Loga HumiţaDorina

I

Mocanu Ioana 8 Lic.Traian Doda Dragomir Delia

II

Zanfir Cristian 9 Lic.Traian Doda Dragomir Delia

I

Cococeanu Oana 9 Grup Şc.

Oţelu-Roşu

Dragomir

Lucian

II

Galescu Dan 9 Lic.Traian Doda Dragomir Delia

III

Meşter Sergiu 9 Lic. TraianLalescu Reşiţa

BădescuOvidiu

M

Atinge Carina 9 Grup Şc.Oţelu-Roşu

Dragomir Lucian

M

Stăniloiu Ovidiu 10 Lic. Bocşa Todor Ioan IMilcu Roxana 10 Lic.CD Loga Moatăr

LaviniaII

Vlad Adina 10 CN Moise Nicoar ă Arad

BodrogeanOvidiu

III

Lupu Vlad 10 Grup Şc.Oţelu-Roşu

Dragomir Lucian

M

Timofte Andrei 10 Lic.CD Loga Moatăr Lavinia

M

Unguraş Dragoş 11 Grup Şc.Oţelu-Roşu

Dragomir Lucian

I

Beg Apostol 11 Grup Şc.Oţelu-Roşu

Dragomir Lucian

II

Buzuriu Alina 11 Grup Şc.Oţelu-Roşu

Dragomir Lucian

III

Dragomir Lucia 11 Grup Şc.Oţelu-Roşu

Dragomir Lucian

M

Popovici Doru 12 Lalescu Reşiţa Bădescu O. IIstodor Cosmin 12 Grup Şc.

Oţelu-RoşuDragomir Lucian

II

Labo Laurenţiu 12 Lic.CD Loga MirulescuMariţa

III

7/29/2019 RMCS_nr.24


7/29/2019 RMCS_nr.24


37

Soluţie: 1) (autorii): notăm 2 3 2m m x+ + = şi astfel avem

( 1)( 1) 2 3 x m x m m− − + + ≤ + sau 2 2( 1) 2 3 x m m− + ≤ + , de unde

( )22 2 x m≤ + , deci 2 2m x m− − ≤ ≤ + .Prima inecuaţie, după înlocuire, conduce la x ∈ , iar a doua este

2 3 2 2m m m+ + ≤ + , de unde { }2, 1, 0m ∈ − − . Acum,verificări !!

Metoda 2) Inecuaţia se poate scrie ( ) ( )3

1 3 2 3m m m+ ⋅ + ≤ + şi avem

câteva cazuri : (i) 3m ≤ − (nu conduce la soluţii...) ; (ii) 2m = − ,verificare; (iii) 1m = − (verificare) ; (iv) 0m = (verificare);(v) 1m ≥ (searată că nu obţinem soluţii întregi). □

IX.105 O dreaptă variabilă intersectează laturile AB,BC,CD,DA ale unuidreptunghi respectiv în M,N,P,Q.Să se arate că

2 2

2 2constant.

AB BC

NQ MP + =

* * *

Soluţie: (Clasa a VII a!) // N BN MN MP

PC MB P BC BN BC

⇒ = ⇒ = sau

2 2

2 2 BN BC BN BC MN MP N MP

= ⇒ = (1). Din AMQ BMN Δ Δ∼ deducem

AM AQ MQ AB NQ

BM BN MN BM MN = = ⇒ = sau

2 2

2 2

AB BM AB BM

NQ MN NQ MN = ⇒ = (2).

Din (1) şi (2), cu teorema lui Pitagora,deducem imediat că 2 2

2 21 .

AB BC const

NQ MP + = =

Metoda 2: Notăm cuα

unghiul format de dreptele MN şi AB ;obţinem

imediat:2 2

2 22 2

cos sin 1. AB BC

NQ MP α α + = + = □

IX.106 Să se arate că numărul 0 0sin1 cos1+ este iraţional.* * *

Soluţie: Prin reducere la absurd, presupunem că 0 0sin1 cos1 p = + ∈ .

Deducem astfel 0 2 0 2 0sin 2 1 ,cos 4 1 2sin 2 p= − ∈ = − ∈ .

38

Folosind formula 3cos3 4cos 3cost t t = − ajungem la

0cos36 cos

5

qπ

= = ∈ ; folosim şi2 3

sin sin

5 5

π π π

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

, egalitate

care arată că q este r ădăcina pozitivă a ecuaţiei 24 2 1 0 x x− − = ,adică

1 5

4q

+= ∈ , fals. (De remarcat că am demonstrat astfel şi egalitatea

1 5cos

5 4

π += ) □

Clasa a X-a

X.101 Să se determine funcţiile injective : f → cu proprietatea

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , f x f y x f y y f x f x y x y⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ∀ ∈ .

Prof. Iacob Didraga, Caransebeş Soluţie: Pentru 0 x y= = obţinem (0) 0 f = sau (0) 1 f = − ; pentru

1 x y= = ajungem la (1) 0 f = sau (1) 1 f = .

Dacă (0) 0 f = , atunci (1) 1 f = şi pentru 1 y = deducem

( ) , f x x x= ∀ ∈ care verifică toate condiţiile din enunţ

Dacă (0) 1 f = − , pentru 0 y = deducem ( ) 1, f x x x= − ∀ ∈ , careverifică deasemenea enunţul.

X.102 Să se rezolve ecuaţia [ ] ( ) [ ]2 2 3log log 2 log 2008 x x⎡ ⎤+ =⎣ ⎦

.

Prof.Antoanela Buzescu,Caransebeş

Soluţie: Folosim identitatea (Hermite) : [ ] [ ]1

22

a a a⎡ ⎤

+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦, unde în

cazul nostru avem 2loga x= şi ajungem la [ ] [ ]2 32log log 2008 6 x = =

Avem imediat(sau aproape) )8;8 2 . x ⎡∈ ⎣ □

X.103 Să se arate că lg 25 lg9 lg36

3lg18 lg30 lg15

+ + > .

Prof. Antoanela Buzescu, Caransebeş

7/29/2019 RMCS_nr.24


7/29/2019 RMCS_nr.24


41

Soluţie : Sistemul de ecuaţii x y u

x y v

+ =⎧⎨

− =⎩are, pentru orice ,u v ∈ ,

soluţii : ,2 2

u v u v x y

+ −

= = şi astfel ecuaţia funcţională din enunţ conduce

la( ) ( )

, ,2 2

u v f u f v f u v

+ +⎛ ⎞= ∀ ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠ (ecuaţia lui Jensen). Dacă funcţia f

verifică această egalitate, atunci şi funcţia : , ( ) ( ) (0) g g x f x f → = −

verifică aceeaşi ecuaţie, este continuă şi (0) 0 g = ; pentru 0 y = deducem

( ) ( ) ( ), , g u v g u g v u v+ = + ∀ ∈ , adică ecuaţia lui Cauchy, aşadar g este

aditivă şi continuă: există a ∈ astfel încât ( ) , g x ax x= ∀ ∈

( ) , f x ax b x⇒ = + ∀ ∈ .Soluţia 2 (Prof.Nicolae Stăniloiu) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 0 f x y f x y f x f x y f x y f x+ + − = ⇒ + − + + = ⇒

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )⎪

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−++−+−+=−++−+−−+

=+++−+

=+++−+

=++−+

021203221

.......................................................

02324

0223

022

yn x f yn x f ny x f

yn x f yn x f yn x f

y x f y x f y x f

y x f y x f y x f

x f y x f y x f

Adunând se obţine ( ) ( )( ) ( ) ( ) x f y x f yn x f ny x f −+=−+−+ 1 (1)

Relaţia (1) o scriem dând lui n valorile 1, 2, .... m şi apoi se adună relaţiilerespective obţinându-se:

( ) ( ) ( ) ( )( ) x f y x f m x f my x f −+=−+ , relaţie care o putem scrie şi

astfel: ( ) ( )( ) ( )

m

x f

m

my x

my x

my x f x f y x f −

+

+

+=−+ .

Facem acum ∞→m şi deducem că există ( )

limt

f t

t α

→∞= ∈ şi

deasemenea: ( ) ( ) y x f y x f α =−+ . Luăm acum 0 x = şi se va obţine:

( ) ( ) y f y f α =− 0 . Dacă notăm ( ) β =0 f atunci se va obţine:

( ) β α += y y f , funcţie care verifică relaţia din enunţ.□

42

XI.106 Se notează { } *1,2,3, ..., , A n n= ∈ şi se consider ă o matrice

simetrică ( )n X A∈M care are toate elementele fiecărei linii distincte.Să

se determine n astfel încât suma elementelor de pe diagonala principală amatricei X să fie un număr impar.

Gazeta Matematică 1988Soluţie: (Prof.Nicolae Stăniloiu) : Suma tuturor elementelor matricii este

( )( )2

1....321

2 +=++++=

nnnnS . Această sumă se poate calcula

însă şi astfel: ∑∑=≤<≤

+=n

i

ii

n ji

ji aaS 1

,1

,2 şi este impar ă. Trebuie deci ca

( )2

12 +nn să fie impar. Acest lucru se întâmplă doar dacă: 4 1n k = + ,

caz în care mai trebuie să ar ătăm că există o matrice cu proprietăţile dinenunţ. De fapt există o matrice având toate numerele de la 1 la n pediagonala principală. Vom completa o astfel de matrice doar deasupradiagonalei principale fiind o matrice simetrică.

A=

⎟⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−−

−

1....

..................

2.....5

1.....43

......321

n

n

. □

Clasa a XII-a

XII.101 Se consider ă funcţia : f → ,2 2

1 2( )

(1 )

x arctgx f x

x

− ⋅=

+.Să se

calculeze1

10

( ) I f x dx= ∫ şi1

20

( ) I x f x dx= ⋅∫ .

Prof.Iacob Didraga,Caransebeş

7/29/2019 RMCS_nr.24


43

Soluţie : Folosim identitatea/

2( )

1

arctgx f x

x

⎛ ⎞=⎜ ⎟

+⎝ ⎠şi deducem

2( )

1arctgx f x dx C = +

+∫ ; utilizăm acum/

2( )

1arctgx xf x x

x⎛ ⎞= ⎜ ⎟

+⎝ ⎠, metoda

integr ării prin păr ţi, apoi achimbare de variabilă şi ajungem la

( )2

2( )

21

arctgx x f x dx arctgx C

x= ⋅ − +

+∫ . Calculul final e imediat.□

XII.102 Dacă G este un grup multiplicativ în care, pentru orice

, , x y z G∈ , avem:2 2

xy z x y z = ⇒ = , să se arate că :a) { }2 , \ x e x G e≠ ∀ ∈ ;

b) G este abelian ;c) Orice grup cu proprietăţile a) şi b) are proprietatea din enunţ.

Prof. Marian Andronache, BucureştiSoluţie : a) Prin reducere la absurd, presupunem că există , x G x e∈ ≠ cu

2 x e= (*) .Pe de altă parte, pentru orice 2 2a G a ae ae ea x a∈ ⇒ = = = = şi astfel condiţia din enunţ conduce la e x= ,contradicţie cu (*) ;

b) pentru x,y oarecare din G avem : 2( ) y xy yxyx= şi ( )2 yx y yxyxy= ,

deci ( )22( ) y xy yx y= şi,folosind aceeaşi condiţie din enunţ, deducem

xy yx= ;

c)dacă , , x y z G∈ satisfac 2 2 xy z x= (●), din b) avem2 2 2 2 , , xy z x y z y z G= ⇒ = ∀ ∈ ( **).

Pe de altă parte, avem ( )21 1 1 2 2 yz yz yz y z − − − −= = şi,cu ( **), deducem

1( ) yz e− = . Folosim acum condiţia a) şi avem 1( ) yz e y z − = ⇒ = (●●).

XII.103 Să se dea un exemplu, justificând alegerea f ăcută, de funcţie

:h → neconstantă derivabilă pentru care ( )1

0

( ) ' 2h x x h x dx⎡ ⎤+ ⋅ =⎣ ⎦∫ .

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu

44

Soluţie: Consider ăm : f → , ( ) ( ) f x x h x= ⋅ care este derivabilă, cu

( )'( ) ( ) ' f x h x x h x= + ⋅ , de unde ( )1

0

( ) ' (1) (0) 2h x x h x dx f f ⎡ ⎤+ ⋅ = − =⎣ ⎦∫ .

Cum (1) (1), (0) 0 f h f = = , trebuie să alegem h, neconstantă, cu (1) 2h = .

De exemplu, putem încerca cu ( ) 1h x x= + … □

XII.104 Să se calculeze1

0 2

1

1

arctgxdx

arctg x x− +

∫ .

Prof. Călin Burduşel, Tîrgovişte, Gazeta Matematică 1987

Soluţie: Folosim: ( )1 1

tga tgb tga tgbtg a b a b arctg

tga tgb tga tgb

⎛ ⎞+ ++ = ⇒ + =

⎜ ⎟− ⋅ − ⋅⎝ ⎠

dacă aici consider ăm , (1 )a arctgx b arctg x= = − , ajungem la identitatea

2

1(1 )

1arctgx arctg x arctg

x x+ − =

− +. Avem astfel pentru

1

0 2

1

1

arctgx I dx

arctg x x

=

− +

∫ , cu schimbarea de variabilă 1t x= − ,

0 1

1 0

(1 ) (1 )( 1)(1 ) (1 )

arctg t arctg t I dt dt J arctgt arctg t arctgt arctg t

− −= − = =+ − + −∫ ∫ .

Observăm acum că 1

2 12

I J I I + = = ⇒ = .□

XII.105 Să se calculeze limita şirului ( ) 1n na

≥definit prin

1

20

, 13 2

n

n

xa dx n

x x= ≥

+ +∫ . * * *

Soluţie: avem1

0

( ) , 1nna x f x dx n= ⋅ ≥∫ , unde [ ]: 0,1 f → este o funcţie

continuă (în cazul nostru2

1( )

3 2 f x

x x=

+ +). Deoarece funcţia este

continuă, avem că există ,m M ∈ cu [ ]( ) , 0,1m f x M x≤ ≤ ∀ ∈ ;

7/29/2019 RMCS_nr.24


7/29/2019 RMCS_nr.24


53

VIII.114 Se consider ă dreptunghiurile ABCD şi AEFG astfel încât punctele B, E, D, G să fie coliniare (în această ordine). Dacă T este punctul de intersecţie al dreptelor BC şi FG, iar H punctul de intersecţie aldreptelor DC şi FE , să se arate că punctele A, H şi T sunt coliniare.

Prof. Mircea Fianu, Bucureşti

Clasa a IX-a

IX.107 Să se arate că:[ ]

[ ]11 52 , 0

1 1 2

x x x

x x

++≤ + ≤ ∀ ≥

+ +, unde [ ]a

reprezintă partea întreagă a numărului real a.

Prof. Pavel Rîncu, Dalboşeţ

IX.108 Să se rezolve ecuaţia:5 9

4 9 9

x

x x= +

+ +.

Prof. Alfred Eckstein, Viorel Tudoran, Arad

IX.109 Se consider ă numerele reale , , , 0a b c a ≠ , pentru care 2ac b> .

Să se arate că dacă 2a c b+ > , atunci 4 4 .a c b+ > Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu

IX.110 Să se arate că dacă ( ), 0, 2 x y ∈ şi 1 x y⋅ = , atunci

2 22

2 2

x y

y y x x+ ≥

− −.

Prof. Ovidiu Bădescu, ReşiţaIX.111 Să se determine a ∈ pentru care există , x y ∈ astfel încât

2

2 22

x xy a

y xy a

⎧ − =⎪⎨

+ =⎪⎩

.

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-RoşuIX.112 Se notează cu O şi H centrul cercului circumscris, respectivortocentrul triunghiului ABC. Să se arate că dacă HA OA= şi HB OB= , atunci . HC OC =

Prof.Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu

54

IX.113 Să se determine funcţiile : g → ştiind că:

a) ( 1) ( ) ( 1) 1 , ; x g x x g x x+ ⋅ − ⋅ + = ∀ ∈

b) (4), (12), (24) g g g sunt pătrate perfecte.

Prof. Lucian Dragomir, Ovidiu BădescuIX.114 Graficul funcţiei 2: , ( ) , , f f x x ax b a b→ = + + ∈ , este

cel din desenul de mai jos:a) Dacă (0,1) A şi B este punctul detangenţă cu Ox, puteţi determina a şi b?

b) Să se arate că există C şi D punctedistincte pe graficul funcţiei date astfelîncât ariile triunghiurilor ABC şi ADC reprezintă un acelaşi număr întreg.


Clasa a X-aX.107 Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia :

6

3

1 1 1 1

4 27 32

x x x⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Prof. Alfred Eckstein, Viorel Tudoran, Arad

X.108 Să se arate că pentru orice n ∗∈ , numărul( )

3

3 !

( !)

n

neste natural.

* * *

X.109 Să se determine numărul funcţiilor { } { }: 1, 2,3,4,5,6,7 0,1 f →

pentru care (1) (2) ... (7) 3 f f f + + + = .

Elev Istodor Cosmin, Oţelu-RoşuX.110 Să se arate că există un singur număr întreg x pentru care

22 2

log1

x x+ =+

.

Prof. Ovidiu Bădescu, ReşiţaX.111 Să se găsească în câte feluri poate fi ales un număr impar deobiecte având la dispoziţie n obiecte.

* * *

7/29/2019 RMCS_nr.24


55

X.112 Se consider ă 3 1n + obiecte, dintre care n sunt identice, iar restuldiferite. Să se determine în câte feluri se pot alege n obiecte dintre cele3 1n + considerate.

* * *X.113 Să se calculeze 3

1

nk

n nk

S k C =

= ⋅∑ .

* * *X.114 Să se arate că în orice triunghi de laturi a,b,c este adevărată inegalitatea

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 3a b c a b c a b c a b c abc+ − + + − + + − ≤ .

* * *

Clasa a XI-a

XI.107 a) Să se arate că există cel puţin două funcţii derivabile

: f → pentru care 2'( ) 1, f x x x x= + + ∀ ∈ ;

b) Să se arate că există o singur ă funcţie derivabilă : g →

pentru care (0) 0 g = şi '( ) ( ).

x

x e g x= + Prof. Nicolae Stăniloiu, Bocşa

XI.108 Să se demonstreze că : cos sin 1 x x x⋅ + ≥ , 0,2

xπ ⎡ ⎤

∀ ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦.

* * *XI.109 Să se arate că dacă numerele reale a, b, c unde 0c ≥ , satisfacrelaţiile 2 3 3, 3 4 4,2 1a b c a b c a b c+ + = + + = − + = , atunci

0.a b c− + ≥


XI.110 Să se demonstreze că 2e

e ee

π π

π < < ⋅ .

Prof. Nicolae Stăniloiu, Bocşa

56

XI.111 Pentru orice funcţii derivabile , : f g → se notează

{ }/ ( ) ( ) A x f x g x= ∈ = . Să se arate că dacă { }0 A = ,atunci există

( )0,1c ∈ pentru care'( ) '( ) 1

( ) ( ) 1

f c g c

f c g c c

−=− − .

Prof.Lucian Dragomir, Oţelu-RoşuXI.112 Graficul funcţiei : , f →

3( ) , 0 f x ax bx c a= + + ≠

este cel alăturat. Să se arate că 0abc < .

Prof.Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu

XI.113 Se consider ă matricea ( )21 2

2 3 A

−⎛ ⎞= ∈⎜ ⎟−⎝ ⎠

M .

a)Să se arate că pentru orice ( )2,1 B ∈ M , există o unică matrice

( )2,1 B ∈ M astfel încât A X B⋅ = ;

b) Să se arate că există ,m n ∈ astfel încât3

2 A mA nI = + ;c) Să se determine numărul perechilor ( , ) x y de numere întregi pentru

care

2

2 3

3 5 7

y

x y

x y

≥⎧⎪

≥⎨⎪ − ≤⎩


XI.114 Se consider ă funcţia ( ) R →∞ ,: f 0 , ( )2

1 x f = .

a) Să se arate că f este strict descrescătoare pe ( )∞,0 ;

b) Să se arate că:144

5211

144

2522

<+<π e

.


7/29/2019 RMCS_nr.24


57

Clasa a XII-a (a XI-a)

XII.107 Pentru orice numere reale x şi y se notează y x y xy∗ = + + .

a) Să se arate că există a ∈ astfel încât( ) ( 1)( 1)( 1) , , , x y z x y z a x y z ∗ ∗ = + + + + ∀ ∈ ;

b) Să se calculeze1 1 1

1 ...2 3 2008

∗ ∗ ∗ ∗ ;

c) Să se determine toate numerele reale b pentru care avem:, y b x y b∀ ≥ ⇒ ∗ ≥ .

* * *

XII.108 Se consider ă mulţimea( )2 2

210

/ , , 10 1a b

G a b a bb a

⎧ ⎫⎛ ⎞= ∈ − = ⊂⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭ M ;

a) Să se arate că G ≠ ∅ ; b) Să se arate că pentru orice X G∈ , există Y G∈ astfel încât 2 XY I =

c) Să se arate că mulţimea G este infinită. * * *

XII.109 Pentru orice ( ), 5, x y ∈ ∞ se notează 5 5 30 x y xy x y= − − + .

a) Să se arate că ( )5, x y ∈ ∞ ; b) Să se arate că pentru orice ( )5,a ∈ ∞ , există ( )5,b ∈ ∞ astfel

încât 6a b = ;

c) Să se determine , , y z pentru care

x y z

y z x

z x y

=⎧⎪

=⎨⎪ =⎩

* * *

XII.110 Se consider ă funcţia ( ): 0, , ( ) ln ,nn n f f x x x n ∗∞ → = + ∈

Să se demonstreze că dacă n este soluţia ecuaţiei ( ) 0n f x = , atunci şirul

( ) 1n n x

≥este convergent. Să se determine limita şirului ( ) 1n n

x≥

.

* * *

XII.111 Pentru fiecare t ∈ se consider ă 3 2: , ( )t t f f x x t x→ = + .

58

a) Să se arate că t este bijectivă;

b) Să se arate că funcţia 1: , ( ) (1)t g g t f −→ = este continuă în 0.

* * *

XII.112 Se consider ă o funcţie [ ]: 1,1 f − → de două ori derivabilă cu

(0) 0 f = şi '(0) 1. f =

a) Să se arate că dacă [ ]'( ) 1, 0,1 f x x≥ ∀ ∈ , atunci1 1

( ) , ,12 2

f x x⎡ ⎤

≥ ∀ ∈⎢ ⎥⎣ ⎦;

b) Să se calculeze ( )1

0lim 1 ( ) x

x f x

→+ .

* * *XII.113 Să se determine cel mai mare număr real a pentru care2 1 ln , . x a x x+ ≥ + ∀ ∈

* * *XII.114 Să se determine numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei

x x e m

−+ = , unde m este un număr real oarecare.* * *

7/29/2019 RMCS_nr.24


RMCS_nr.24

Documents

Transcript of RMCS_nr.24