Testul nr. 21

Problema 1 (30 puncte = 3x10 puncte)

a) Să se calculeze: ( )12 36 : 3 9 3+ − × b) Să se determine numărul natural a din egalitatea: ( ){ }12 36 : 3 9 3 4 : 3 5 16a+ − × + × + = c) Un număr de cinci cifre se termină cu cifra 1. Dacă mutăm ultima cifră la început, numărul obținut este cu 68589 mai mic decât numărul inițial. Determinați numărul inițial.

Problema 2. (20 puncte = 2x10 puncte)

Dintr-un tren coboară la prima stație 1

6 din numărul călătorilor și urcă 2. La a doua stație

coboară 1

7 din numărul călătorilor existenți în tren și urcă 4. La a treia stație coboară

1

4 din numărul de

călători existenți în tren si urcă 6. La a patra stație coboară 2

9 din numărul de călători existenți în tren si

urcă 2 călători. Acum sunt în tren 30 călători. Să se determine: a) Numărul de călători existenți în tren la început; b) Câți călători au coborât din tren în total în cele patru stații?

Problema 3. (20 puncte = 10 puncte pentru a) + 5 puncte pentru b) + 5 puncte pentru c))

Pe o masă sunt de 3 ori mai multe mere decât pere. Aceste fructe sunt împărțite de un învățător la copii din clasa a IV-a de la o școală din Galați astfel: câte 4 mere la fiecare copil, rămânând 13 mere și câte 2 pere la fiecare copil, dar acestea sunt insuficiente, deoarece un copil primește doar o pară și 4 copii nu primesc nicio pară. Să se determine: a) câte mere au fost inițial pe masă. b) câți copii sunt la masă. c) cât a plătit învățătorul pe toate fructele, dacă o pară costă 1 leu și 3 mere costă 2 lei. Problema 4 (20 puncte = 10 puncte pentru a) + 5 puncte pentru b) + 5 puncte pentru c))

Se consideră șirul: 44, 51, 58, 65, 72, 79, ..., 2011, 2018 a) Care este al 78-lea termen al șirului? b) Câți termeni are șirul?

c) Calculați suma ultimilor 78 de termeni ai șirului. Justificați răspunsurile!

test elaborat de prof. ROMEO ZAMFIR

Rezolvarea testului. Rezolvări prezentate de prof. ROMEO ZAMFIR

Problema 1 (30 puncte = 3x10 puncte)

a) Avem că

( )

( )

( )

12 36 :3 9 3

48:3 9 3

16 9 3

7 3

21

+ − × =

= − × =

= − × =

= × =

=

b)

( ){ }( )

( )

( )

12 36 : 3 9 3 4 : 3 5 16

21 4 : 3 5 16

21 4 : 3 16 5

21 4 : 3 11

21 4 11 3

21 4 33

4 33 21

4 12

12 : 4

3

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

+ − × + × + =

+ × + =

+ × = −

+ × =

+ × = ×

+ × =

× = −

× =

=

=

c) Avem că:

1

68589

1

abcd

abcd

+

Analizând cifra unităților obținem 9 11d + = , deci 2d = .

1 2

68589

21

abc

abc

+

Analizând cifra zecilor obținem 8 1 12c + + = , deci 3c = .

1 32

68589

321

ab

ab

+

Analizând cifra sutelor obținem 5 1 13b + + = , deci 7b =

1 732

68589

7321

a

a

+

Analizând cifra miilor obținem 8 1 17a + + = , deci 8a = . Răspuns: numărul ințial este 87321.

Problema 2. (20 puncte = 2x10 puncte)

Desenul corespunzăr problemei este următorul:

Avem că: 7 2 30

7 30 2

7 28

28 : 7

4

d

d

d

d

d

× + =

× = −

× =

=

=

3 6 9

3 6 9 4

3 6 36

3 36 6

3 30

30 : 3

10

c d

c

c

c

c

c

c

× + = ×

× + = ×

× + =

× = −

× =

=

=

6 4 4

6 4 4 10

6 4 40

6 40 4

6 36

36 : 6

6

b c

b

b

b

b

b

b

× + = ×

× + = ×

× + =

× = −

× =

=

=

5 2 7

5 2 7 6

5 2 42

5 42 2

5 40

40 : 5

8

a b

a

a

a

a

a

a

× + = ×

× + = ×

× + =

× = −

× =

=

=

a) La început în tren au fost 6 6 8 48a× = × = călători. b) Din tren au coborât 2 8 6 10 2 4 32a b c d+ + + × = + + + × = călători. Răsounsuri. a) 48 călători b) 32 călători Problema 3. (20 puncte = 10 puncte pentru a) + 5 puncte pentru b) + 5 puncte pentru c))

a) Desenul corespunzător problemei este următorul (un segment reprezintă un copil):

Pentru rezolvarea problemei este necesar ca numărul merelor să fie egal cu numărul perelor. Pentru aceasta triplăm numărul perelor şi astfel învăţătorul dă fiecărui elev câte 2 3 6× = pere, iar cum perele au fost insuficiente, unul dintre elevi primeşte doar 3 1 3× = pere şi 4 elevi nu au primit nicio pară. Desenul corespunzător acestei situaţii este următorul:

Deoarece acum numărul merelor este egal cu numărul perelor putem considera că avem un singur tip de fructe pe care o dată învăţătorul le împarte câte 4 la fiecare elev, iar după aceea le ia înapoi şi apoi le împarte câte 6 la fiecare elev.

Acum considerăm că fructele sunt împărţite câte 4 la fiecare elev şi încercăm să trecem din această situaţie în situaţia cu 6 fructe la fiecare elev. În acest scop luăm cele 4 fructe de la ultimii patru elevi, deoarece aceştia trebuie să rămână fără fructe, de la următorul luăm 4 3 1− = fructă şi astfel vom avea de redistribuit ( )4 3 4 4 13 1 16 13 40− + × + = + + = de fructe (diferenţă totală). În acest moment avem

următorul desen:

Cele 30 de fructe trebuie să le împărţim elevilor care acum au 4 fructe, astfel încât fiecare elev să aibă 6 fructe, deci fiecare elev cu 4 fructe trebuie să primească: 6 4 2− = fructe (diferenţă pe unitate). Prin urmare, numărul elevilor cu 4 fructe din desenul de mai sus (ultimul desen) este egal cu 30 : 2 15= elevi. Numărul total al elevilor este 15 1 4 20+ + = elevi, numărul merelor este egal cu 20 4 13 80 13 93× + = + = şi numărul perelor este egal cu 93 : 3 31= pere. Răspunsuri. a) 93 mere b) 20 copii c) 31 1 93:3 2 93 lei× + × = Problema 4 (20 puncte = 10 puncte pentru a) + 5 puncte pentru b) + 5 puncte pentru c))

a) Notăm cu x al 78-lea termen al șirului. Avem că:

44 : 7 6 rest 2

51: 7 7 rest 2

58 : 7 8 rest 2

.........................

: 7 rest 2x a

=

=

=

=

Deoarece x este al 78-lea termen al șirului, urmărind șirul câturilor, avem că 5 78a − = , deci 83a = și 7 2 7 83 2 583x a= × + = × + = .

Altfel, problema se poate rezolva cu formula: Numărul de termeni = (Ultimul termen – Primul termen) : Rație + 1 În cazul nostru avem șirul:

78 de termeni

44,51,58,...., x�������

. Aplicând formula de mai sus avem că:

( )

( )

( )

44 : 7 1 78

44 : 7 78 1

44 : 7 77

44 77 7

44 539

539 44

583

x

x

x

x

x

x

x

− + =

− = −

− =

− = ×

− =

= +

=

b) Aplicând formula de mai sus pentru șirul: ? termeni

44, 51, 58, 65, 72, 79, ..., 2011, 2018�����������������

obținem:

( )2018 44 : 7 1

1974 : 7 1

282 1

283

− + =

= + =

= + =

=

Altfel, folosind regula împățirilor obținem:

44 : 7 6 rest 2

51: 7 7 rest 2

58 : 7 8 rest 2

.........................

2018 : 7 288 rest 2

=

=

=

=

Urmărind coloana câturilor obținem că șirul are 288 5 283− = de termeni (avem câturile 6, 7, 8, …, 288, deci lipsesc primele 5 numere naturale nenule). c) Notăm cu z al 78-lea termen numărat de la sfârșitul șirului. Avem că:

78 de termeni

,...., 2011, 2018z�������

.

Prin urmare,

( )

( )

( )

2018 : 7 1 78

2018 : 7 78 1

2018 : 7 77

2018 77 7

2018 539

2018 539

1479

z

z

z

z

z

z

x

− + =

− = −

− =

− = ×

− =

= −

=

Altfel, al 78-lea termen numărat de la sfârșitul șirului este al 283 78 1 206− + = -lea termen al șirului. Deci,

44 : 7 6 rest 2

51: 7 7 rest 2

58 : 7 8 rest 2

.........................

: 7 rest 2z b

=

=

=

=

Deoarece z este al 206-lea termen al șirului, urmărind coloana câturilor obținem că 5 206b − = , deci 211b = și 7 2 7 211 2 1479z b= × + = × + = .

Mai departe avem de calculate o sumă cu 78 de termeni: 1479 1486 ... 2011 2018S = + + + + . Avem că:

de 78 ori

1479 1486 ... 2011 2018

2018 2011 ... 1486 1479

2 3497 3497 ... 3497 3497

S

S

S

= + + + +

= + + + +

× = + + + +�������������

Deci, 3497 78 : 2 272766 : 2 136383S = × = = . Răspunsuri: a) 583 b) 283 c) 136383