Responsabil disciplină, Şef lucrări dr. ing. Ciprian...
Transcript of Responsabil disciplină, Şef lucrări dr. ing. Ciprian...
Hidraulică 1
Şef lucrări dr. ing. Ciprian BACOŢIU
Responsabil disciplină,
Conţinut Curs :
C1 : Introducere. Obiectul cursului. Metode generale de studiu folosite în hidraulică.
C2 : Noţiuni de analiză dimensională. Teorema PI.
C3-C4 : Elemente de similitudine hidraulică. Proprietaţile fluidelor.
C5-C6 : Statica fluidelor. Legea hidrostaticii. Măsurarea presiunii.
C7-C8 : Forţe de presiune pe suprafeţe plane.
Forţe de presiune pe suprafeţe curbe.
C9 : Plutirea corpurilor. Legea lui Arhimede. Echilibrul relativ al fluidelor.
C10 : Cinematica fluidelor. Mărimi şi noţiuni specifice mişcării fluidelor.
Ecuaţia de continuitate.
C11-C12 : Dinamica fluidelor. Ecuaţia lui Bernoulli pentru un fluid perfect.
Ecuaţia lui Bernoulli pentru un fluid real.
C13 : Ecuaţiile lui Cauchy, Navier-Stokes, Reynolds.
Consideraţii cu privire la integrarea acestor ecuaţii.
C14 : Teorema impulsului
Conţinut Seminar :
S1 : Analiză dimensională
S2 : Teorema PI a analizei dimensionale. Similitudine hidraulică.
S3 : Proprietăţile fluidelor.
S4 : Legea hidrostaticii.
S5 : Forţe de presiune.
S6 : Plutirea corpurilor.
S7 : Repausul relativ.
Bibliografie
Curs[1] L. Marian, M. Muste - Hidraulica şi Maşini hidraulice. UTC-N, 1993
(2 volume)[2] C. Iamandi, V. Petrescu - Mecanica fluidelor, E.D.P., Bucureşti, 1978[3] Cristea Mateescu - Hidraulica, E.D.P., Bucureşti, 1961[4] A. Hoţupan, C. Bacoţiu - Hidraulică 1 – Elemente de teorie şi aplicaţii,
Ed. NAPOCA STAR, Cluj-Napoca, 2009[5] C. Bacoţiu - Teste de hidraulică, Ed. NAPOCA STAR, Cluj-Napoca, 2012
Seminar[1] L. Marian, M. Muste - Hidraulica şi Maşini hidraulice. UTC-N, 1993[2] C. Iamandi, ş.a. - Hidraulica instalaţiilor - aplicaţii, E.T., Bucureşti, 1985[3] D. Cioc, ş.a. - Hidraulică: probleme, E.D.P., Bucureşti, 1973[4] J. Florea, ş.a. - Mecanica fluidelor şi maşini hidropneumatice, E.D.P.,
Bucureşti, 1982[5] D. Taşcă, I. Băcanu - Culegere de probleme de hidraulică tehnică, E.T.,
Bucureşti, 1966
Ca urmare, ideal ar fi ca studenţii să o folosească activ în timpul orelor de curs şi seminar.Având cartea în faţă, eficienţa activităţii noastre creşte mult, focusul fiind orientat spre înţelegerea materiei.
LucrareaL. Marian, M. Muste - Hidraulica şi Maşini hidraulice. UTC-N, 1993va fi considerată ca referinţă pentru toată activitatea noastră.
Pentru studenţii care nu vin la curs, beneficiul adus de aceste materiale auxiliare este redus. Practic, în mod voit structura lor a fost concepută astfel încât să necesite prezenţa activă la curs.
Notele de curs / slide-urile au fost gândite doar ca un sprijin suplimentar, ca un ghid minimal de parcurgere a materiei de studiu, subliniind elementele esenţiale.
Pagina web
http://users.utcluj.ro/~bacotiu/
Necazuri, pericole, semnale de alarmă
Viziunea deformată a relaţiei : Materie de studiu - Cadru didactic - Student
“Trăim în România … “
Respectarea regulilor “jocului” : no tricks !!!
Elemente de folclor studenţesc
Toamna grea şi lungă : scurt istoric
Duşmanul din umbră : Fizica (de liceu)
Modalitatea de examinare
Pilele … “nu se poate face CEVA ?” … “să fie bine pentru toţi …”
Totul pe final … în sesiune
Construcţie gradată a materiilor de studiu → bumerang
Elementul cheie : cadrul didactic ?!?
Neverending story
Obiectul cursului
Etimologie
Fluide … fluiditate
Clasificare
Ipoteza continuumului material
Legătura cu alte discipline
Scurt istoric
Generalităţi
Metoda teoretică-modelare, simplificare-definiţia particulei fluide-consecinţe-modele de fluid
Metoda experimentală-scopuri
Metoda analogică-identitate formală, asemănare
Metode generale de studiu în hidraulică
Obiect şi scop
-studiul structurii relaţiilor fizice
-stabilirea regulilor generale de formare a acestor relaţii
Obs. : relaţia fizică ≠ relaţia matematică
Mărime fizică
-Def. : Un anumit aspect cantitativ şi calitativ
al fenomenului studiat…
-formalismul x=X·a (exemplu d=3m)
-operaţii cu mărimi fizice
x1+x
2=X
1·a+X
2·a=(X
1+X
2)·a=X·a
x1·x
2=(X
1·a
1)·(X
2·a
2)=(X
1·X
2)·(a
1·a
2)=X·a=x
Noţiuni de analiză dimensională
Unităţi de măsură-sisteme necoerente: dezordine-unităţi de măsură fundamentale şi derivate-sisteme coerente de unităţi de măsură:
S.I. ; S.T. (MKfS) ; C.G.S.-adoptarea S.I. în România : STAS 737-1973-7 (!) unităţi şi mărimi fundamentale: m, kg, s, A, K, cd, mol
Formule dimensionale-operatorul [ ] : [x] = A-A se numeşte dimensiunea mărimii fizice x şi este un simbol-exemple: L, M, T, LT-1
-reţinem 4 notaţii convenţionale : x, X, a, Ax=mărime fizicăX=valoarea mărimii fizice x (număr)a=unitatea de măsură a mărimii fizice xA=dimensiunea mărimii fizice x (simbol)
TstimpTstimpTstimp
MgmasăFkgfforţăMkgmasă
LcmlungimeLmlungimeLmlungime
Dim.U.M.
fundam.
Mărimi
fundam.
Dim.U.M.
fundam.
Mărimi
fundam.
Dim.U.M.
fundam.
Mărimi
fundam.
C.G.S.S.T. (MKfS)S.I.
Cele 3 sisteme coerente de unităţi de măsură
Concluzie
Mărimi şi unităţi derivate : anexa pag. 381
Ce cunoştinţe am dobândit în acest curs?
-cu ce se ocupă Hidraulica-ce este fluiditatea-ce metode de studiu se folosesc în Hidraulică-ce este particula fluidă-modele de fluid-la ce foloseşte analiza dimensională-sisteme coerente de unităţi de măsură-dimensiunea unei mărimi fizice-mărimi fizice / unităţi de măsură fundamentale şi derivate
Test de v
erificare
a c
unoştinţe
lor 1) Dimensiunea unei mărimi fizice este ...
A. un numărB. un simbolC. unitatea de măsură a respectivei mărimi fizice
2) Sistemul Tehnic de unităţi de măsură se mai numeşte şi ...A. CGSB. InternaţionalC. MKfsD. unidimensional
3) Sistemul Internaţional de unităţi de măsură are la bază 7 unităţi de măsură fundamentale.
A. AdevăratB. Fals
4) Pentru Hidraulică, dimensiunile mărimilor fundamentale în Sistemul Tehnic sunt:
A. L,M,TB. m,kg,sC. M,K,FD. L,F,T
B
C
A
D
Obiective:
-studiul structurii relaţiilor fizice
-familiarizarea studenţilor cu mărimile fizice fundamentale şi derivate
-utilizarea sistemelor de unităţi de măsură: S.I., S.T., C.G.S. -> conversii
-folosirea noţiunii de dimensiune a unei mărimi fizice
-teorema 1 a analizei dimensionale: aplicare şi importanţă / exemple
-teorema 2 a analizei dimensionale: importanţă
-definirea noţiunii de complex adimensional
-criteriul Reynolds
-criteriul Froude
Cursul 2
Recapitulare:
-formalismul x=X·a-unităţi de măsură fundamentale şi derivate în 3 sisteme coerente-operatorul dimensional-folosirea anexei pag. 381
TstimpTstimpTstimp
MgmasăFkgfforţăMkgmasă
LcmlungimeLmlungimeLmlungime
Dim.U.M.
fundam.
Mărimi
fundam.
Dim.U.M.
fundam.
Mărimi
fundam.
Dim.U.M.
fundam.
Mărimi
fundam.
C.G.S.S.T. (MKfS)S.I.
Noţiuni de analiză dimensională (continuare)
Teorema 1 (a omogenităţii)
O relaţie fizică poate fi reductibilă la o relaţie matematică dacă relaţia este omogenă din punct de vedere dimensional, în raport cu un sistem coerent de mărimi fundamentale.
adică
Dimensiunea membrului stâng = Dimensiunea membrului drept
SAU
Unitatea de măsură din m. s. = Unitatea de măsură din m. d.
Exemple
Teoremele analizei dimensionale
Problema 1 (alimentări cu apă):
Pentru un deznisipator orizontal-longitudinal se calculează
volumul depunerilor: [m3]
în care:
Q - debitul [m3/s]T - durata între 2 curăţiri succesive [zile] ; se alege 1…7 zilea - proporţia de subst. în suspensie care sunt reţinute în deznisipator (0,25…0,3)p0 - concentraţia totală de particule în suspensie [g/m3] ; se alege pt. cazul cel mai defavorabil = viiturăρ - densitatea depunerilor [kg/m3] ; se alege între 1500…1700 kg/m3
Ce reprezintă 86400 ?
Aplicaţii inginereşti: timp alocat – aproximativ 1 h
ρ⋅
⋅⋅⋅
⋅=
100086400
0TQpa
Vd
Problema 2 (instalaţii sanitare):
Se dă formula de dimensionare a unui rezervor tampon deschis dintr-o staţie de
hidrofor:
[ l ]
în care Qp - debitul pompei [l/s].
Ce părere aveţi despre această formulă din punct de vedere dimensional ?
)(PRTD
Q10150V +⋅=
Teorema 2
O relaţie fizică (scrisă cu respectarea teoremei omogenităţii) nu îşimodifică forma în cazul schimbării sistemului de unităţi de măsură, dacă dimensiunile (unităţile de măsură) ale mărimilor derivate, înambele sisteme, se exprimă sub forma unor formule dimensionalede tip monom.
adică
A = LαMβTγ respectiv A = LdFeTf
Teoremele analizei dimensionale
Complexe adimensionale
Definiţie : Raportul dintre două sau mai multe mărimi fizice, de aceleaşidimensiuni, ce contribuie la desfăşurarea unui fenomen.
Teoremele analizei dimensionale
Criterii = complexe adimensionale cu rol deosebit în tehnică
Exemple : criteriul Reynolds, criteriul Froude
0
yy
y=π cu condiţia ]y[]y[
0=
ν
⋅
=
lvRe
2 observaţii pag.19
hg
vFr
2
⋅
=
Ce cunoştinţe am dobândit în acest curs?
-importanţa analizei dimensionale
-transformări de unităţi de măsură
-primele 2 teoreme ale analizei dimensionale
-aplicarea practică a teoremei omogenităţii
-complex adimensional
-criteriu
Test de v
erificare
a c
unoştinţe
lor 1) Operatorul [ ] ...
A. se numeşte operator SchollB. este operatorul dimensionalC. dă rezultat subunitar în sistemul CGS
2) Teorema 1 a analizei dimensionale se mai numeşte şi ...A. teorema omogenităţiiB. teorema πC. teorema monomuluiD. teorema Van der Waals
3) Un criteriu este un complex adimensional special.A. AdevăratB. Fals
4) Complexele adimensionale se notează uzual în hidraulică…A. cu litera XB. folosind simbolul πC. liber, nu există nicio convenţieD. cu formule de tip monom
B
A
A
B
Obiective:
-complexe adimensionale (continuare)-teorema 3 a analizei dimensionale: enunţ şi demonstraţie-critici legate de teorema π-reguli de aplicare practică-exemple de folosire a teoremei Buckingham în cercetare-noţiuni de similitudine: teorie şi aplicaţii
Cursul 3
Recapitulare:
-dimensiunea unei mărimi fizice-teorema omogenităţii-complex adimensional-criteriu
Teorema 3 (teorema π sau teorema Buckingham)
Scop : Descoperirea şi scrierea sub formă de relaţii fizice a legilor unor fenomene
Metodă : Simplificarea relaţiei fizice prin înlocuirea unor mărimifizice cu complexe adimensionale.
O relaţie fizică (scrisă cu respectarea teoremelor I şi II a analizei dimensionale) cuprinzând n+1 mărimi, poate fi (re)scrisă ca o relaţie între n+1-k complexe adimensionale, dacă se renunţă la sistemul iniţial de unităţi de măsură şi se adoptă un sistem propriu fenomenului studiat, format din mărimile x
1, x
2, …, x
k.
Teoremele analizei dimensionale (continuare)
)x,,x,,x,x,,x,x(fy np1kk21 KKK
+=
Complexele adimensionale:
k21d
k
d
2
d
1xxxYy ⋅⋅⋅= L
kpp2p1 e
k
e
2
e
1pp xxxXx ⋅⋅⋅= L n,1p =
k21 d
k
d
2
d
1
yxxx
yY
⋅⋅
=π=
L
kpp2p1p e
k
e
2
e
1
p
xpxxx
xX
⋅⋅
=π=
L
În urma aplicării teoremei PI se obţine o altă relaţie funcţională:
k21
n1k
d
k
d
2
d
1xxxxx),,(y LK ⋅⋅ππϕ=
+
Observaţii la Teorema π
-la ce foloseşte-alegerea corectă a mărimilor fizice ce determină fenomenul …
k < n … forme multiple
-critici-pentru fenomene mecanice k=3-grupe (categorii) de mărimi : -liniare
-cinematice şi dinamice -proprietăţi fizice ale fluidului
“Reţete” pentru mărimile alese:
-să intervină cu pondere în desfăşurarea fenomenului;
-să fie independente dimensional;
-sistemul propriu ales să fie coerent;
-să fie alese mărimi din fiecare categorie, conform clasificării anterioare.
cba
kvD),(R ρ⋅⋅⋅ππϕ=
η
zyxkvD
k
ρ⋅⋅=π
twu
vD ρ⋅⋅
η=π
η
ρ⋅⋅⋅
ϕ= 22vD
Re
1,
D
kR
Aplicaţie pag. 23
Rezistenţa la înaintare a unui corp sferic, care se mişcă cu viteză
constantă într-un fluid omogen aflat în repaus.
R = f ( D, k, v, ρ, η );
3 ecuaţii cu 3 necunoscute
Elemente de similitudine hidraulică
Similitudine = asemănare generalizată
Scara tuturor mărimilor care au dimensiunea [x]:
N
M
x
x
xS =
2 teoreme
Aplicaţie pag. 29
unde M - model, N - natură
Ce cunoştinţe am dobândit în acest curs?
-teorema 3 a analizei dimensionale
-reguli de aplicare practică a teoremei π
-similitudine
-folosirea analizei dimensionale şi similitudinii în activitatea de cercetare
Test de v
erificare
a c
unoştinţe
lor 1) Teorema π se poate aplica ...
A. doar în S.I.B. doar în S.T.C. în orice sistem de unităţi de măsură coerent
2) Teorema 3 a analizei dimensionale se mai numeşte şi ...A. teorema omogenităţiiB. teorema BuckinghamC. teorema ReynoldsD. teorema Adler
3) Similitudinea operează cu noţiunea de scară a unei mărimi fizice.
A. AdevăratB. Fals
4) La aplicarea teoremei π în hidraulică, pentru numărul mărimilor fizice ce determină fenomenul …
A. se alege k=3B. se alege k>5C. nu există nicio restricţie
C
B
A
A
Obiective:
-enumerarea forţelor care acţionează asupra fluidelor
-studiul caracteristicilor fizice ale fluidelor:
-compresibilitatea
-dilatarea termică
-densitatea
-greutatea specifică
Cursul 4
Forţe exterioare:
-forţe de suprafaţă
-forţe masice: G, fm
-forţe de inerţie: doar pentru particule de fluid în mişcare
Forţe interioare:
-forţe masice interioare
-forţe de suprafaţă interioare (de legătură): efort unitar pn
Forţele care acţionează asupra fluidelor
Noţiunea de fluid
-stări de agregare-fluide, fluiditate
-reologia
-interpretarea fig. 2.1:
-fluid newtonian
-fluid perfect-fluid Bingham
Caracteristici fizice ale fluidelor
Compresibilitatea fluidelor
- coeficient de compresibilitate
Fig. 2.2: dpVdV ⋅⋅β−=
ββ
=ε1
Integrarea ecuaţiei diferenţiale conduce la relaţia:
unitate de măsură: m2/N
)pp(
1212eVV
−⋅β−⋅=
Dacă se dezvoltă în serie exponenţiala rezultă expresia în diferenţe finite:
pVV1∆⋅⋅β−=∆
12FL][
−
⋅=β
Variaţia cu temperaturaVariaţia cu presiunea: în majoritatea situaţiilor, lichidele se pot considera
practic incompresibile, deci ρ=const., iar β=0. Interpretare fig. 2.3.Excepţie: propagarea undelor de presiune. Ar rezulta c = ∞ !
Aplicaţii:
1. Calculaţi creşterea de presiune necesară producerii uneireduceri relative a unui volum de apă cu 5%. Cum interpretaţirezultatul ? Se dă β ≈ 5·10-10 m2/N.
2. Încercarea etanşeităţii unui tronson dintr-o conductă de fontăavând diametrul D = 200 mm şi lungimea L = 500 m se face cu apă la presiunea 7 at (scara manometrică). După un anumit timpse constată că presiunea apei din conductă a scăzut cu 3 at. Săse determine volumul de apă pierdut prin neetanşeităţi. Temperatura apei este de 20oC (β = 4,68·10-10 m2/N).Se ştie că 1 at = 1 kgf / 1 cm2.
Dilatarea termică a fluidelor
Coeficientul de dilatare termică:
Integrarea ecuaţiei diferenţiale conduce la relaţia:
Se preferă expresia în diferenţe finite:
dT
1
V
dV⋅=α se măsoară în 1/K
)TT(
1212eVV
−⋅α
⋅=
TVV1∆⋅⋅α=∆
Densitatea
Relaţia de definiţie pentru fluide omogene:V
m=ρ
3LM][−
⋅=ρ unitate de măsură: kg/m3
Densitate relativă : fluid de referinţă
;
O altă formulă care exprimă variaţia densităţii cu temperatura:
Anomalia apei !!
Variaţia densităţii cu temperatura:T1
1
2
∆⋅α+
ρ=ρ
Tabelul 2.4
Variaţia densităţii cu presiunea:
Efectul combinat al presiunii şi temperaturii (“suprapunerea efectelor”):
T1∆⋅ρ⋅α−=ρ∆
p1∆⋅ρ⋅β=ρ∆
)pT(VV1
∆⋅β−∆⋅α⋅=∆
)pT(1
∆⋅β+∆⋅α−⋅ρ=ρ∆
Tabelul 2.5
Aplicaţie
Trei studenţi, pregătindu-se pentru examenul de hidraulică, au intratîntr-o dispută cu privire la formula care exprimă variaţia densităţii unuifluid în raport cu temperatura…Considerând că mărimile fără indice exprimă starea finală, iarmărimile cu indice 0 starea iniţială, iată ce susţine fiecare:
Cine are dreptate ? De ce ?
T1
0
∆⋅+=
α
ρρA)
)( T10
∆⋅−⋅= αρρ
T
0e
∆⋅−⋅=
α
ρρ
B)
C)
;
Greutatea specifică
Legătura dintre densitate şi greutate specifică:
Relaţia de definiţie pentru fluide omogene:
unitate de măsură: N/m3
V
G=γ
22TLM][
−−
⋅⋅=γ
g⋅ρ=γ
Ce cunoştinţe am dobândit în acest curs?
-înţelegerea forţelor care acţionează asupra fluidelor
-analiza a 4 caracteristici fizice ale fluidelor (vor urma şi altele
în cursul viitor):
-compresibilitatea
-dilatarea termică
-densitatea
-greutatea specifică
-modul de aplicare a formulelor corespunzătoare acestor proprietăţi în
probleme de instalaţii
Test de v
erificare
a c
unoştinţe
lor
1) Care afirmaţie este FALSĂ?A. Forţa masică unitară are dimensiunea unei acceleraţii.B. Fluidul Bingham se mai numeşte şi fluid dilatant.C. Dacă un fluid este incompresibil, atunci β est nul.
2) Care este densitatea mercurului?A. 1000 kg/m3
B. 2250 kg/m3
C. 13600 kg/m3
D. 30000 kg/m3
3) Greutatea specifică se măsoară în S.I. în kgf/m3.A. AdevăratB. Fals
B
C
B
A
4) La creşterea presiunii, volumul fluidului scade.A. AdevăratB. Fals
Obiective:
- studiul caracteristicilor fizice ale fluidelor (continuare):
-vâscozitatea
-tensiunea superficială
-capilaritatea; legea lui Jurin
-absorbţia şi degajarea gazelor; cavitaţia
Cursul 5
Vâscozitatea
O proprietate a fluidelor de a se opune mişcării / deformării.
Forţele datorate vâscozităţii se manifestă ca forţe de frecare interioară →consum de energie.
Fig. 2.4 pentru ilustrarea ipotezei lui Newton
η – coeficient de vâscozitate dinamică
υ – coeficient de vâscozitate cinematică
Legea lui Newton pentru vâscozitate:
n
vAT
∆
∆⋅⋅η=
ρ
η=υ
Semnul lui τ : pozitiv dacă normala suprafeţei este în sensul creşterii vitezei
dn
dv⋅η=τ
Geometric, gradientul vitezei reprezintă viteza de deformare a
unghiului drept în unitatea de timp.
Deosebiri între forţa de vâscozitate şi forţa de frecare “clasică” …
m2/s m2/s Stokes = cm2/sυ
kgf·s/m2N·s/m2 (daP)Poise = dyn·s/cm2η
STSICGS
Gradul Engler (tolerat)
Fig. 2.7: Variaţia lui υ cu temperatura pentru apă, respectiv aer
Fluide newtoniene (normal vâscoase)
Fluide ideale (perfecte) = lipsite de vâscozitate
Aplicaţie pag. 54
Experimente simple de fizică de liceu
Suprafaţa unui lichid se comportă ca o membrană elastică, uniform solicitată, care tinde permanent să îşi reducă aria.
La suprafaţa liberă a lichidului, forţele moleculare de coeziune se
echilibrează numai parţial, dând o rezultantă de compresiune, îndreptată spre interiorul lichidului.
dF = σ·dL dW= σ·dA
σ – coeficient de tensiune superficială, se măsoară în N/m
Fig. 2.12, 2.13 … “udare perfectă”
Tensiunea superficială
Forţe de adeziune = forţe de atracţie la suprafaţa de contact dintre un corp solid şi un fluid.
Fig. 2.14 … menisc concav, menisc convex
Grosimea stratului aderent este de ordinul unei sutimi de mm !
Adeziunea
Capilaritatea
Se manifestă în tuburi cu secţiune mică sau între 2 suprafeţe de corpuri solide apropiate (ex.: plăci plan paralele).
Fig. 2.15 Ascensiune / coborâre în tuburi capilare
Legea lui JURINd
4h
⋅γ
σ⋅=
Absorbţia = pătrunderea prin difuzie a gazelor şi vaporilor în masa unui lichid.
Coeficient de solubilitate = raportul dintre volumul de gaz dizolvat şi volumul de lichid care îl conţine.
Aerul dizolvat în apă ≠ aerul atmosferic
Degajarea gazelor se produce la scăderea presiunii sau la creşterea temperaturii masei de lichid.
Tabelul 2.11: presiunea de vaporizare a apei în funcţie de temperatură
Efectele distructive ale cavitaţiei: mecanice, chimice, termice, electrice
Absorbţia şi degajarea gazelor. Cavitaţia
Ce cunoştinţe am dobândit în acest curs?
-analiza a încă 4 caracteristici fizice ale fluidelor:
-vâscozitatea
-tensiunea superficială
-capilaritatea
-absorbţia şi degajarea gazelor
-modul de aplicare a formulelor corespunzătoare acestor proprietăţi în
probleme de instalaţii
Test de v
erificare
a c
unoştinţe
lor
1) Care afirmaţie este FALSĂ?A. Poise este unitate de măsură a vâscozităţii dinamice.B. Fluidul perfect est considerat normal vâscos.C. Legea lui Jurin se referă la capilaritate.
2) Anomalia apei se referă la …A. variaţia densităţii cu temperaturaB. variaţia vâscozităţii cu temperaturaC. structura de dipolD. caracterul dual undă-corpuscul
3) Vâscozitatea este proprietatea fluidelor de a curge.A. AdevăratB. Fals
4) Coeficientul de tensiune superficială este adimensional.A. AdevăratB. Fals
B
A
B
B
Obiective:
-ce este presiunea
-proprietăţile presiunii hidrostatice
-ecuaţiile lui Euler din statica fluidelor
-legea fundamentală a hidrostaticii
-consecinţe şi aplicaţii ale legii hidrostaticii
Cursul 6
Starea de tensiune la fluide în repaus
Stare de repaus = forţe de inerţie zero = viteze nuleAsupra masei de fluid în repaus acţionează doar forţe masice şi de legătură.
Metoda secţiunilor imaginare (fig. 3.1)
Presiunea statică medie:
Diferenţa dintre presiune medie şi presiune punctuală (hidrostatică)
Proprietăţile presiunii hidrostatice:
Statica fluidelor
A
Fpm= (este un efort unitar mediu)
-presiunea este întotdeauna normală la suprafaţa pe care se exercită-presiunile sunt eforturi unitare de compresiune-într-un punct al unui fluid în repaus, presiunea are aceeaşi valoare după toate direcţiile (presiunea este deci o mărime scalară care nu depinde de orientarea suprafeţei pe care acţionează, ci numai de poziţia punctului considerat !)
Ecuaţiile lui Euler din statica fluidelor
- sunt ecuaţii de echilibru static, care exprimă legea de variaţie a presiunilor din interiorul unui fluid aflat în stare de repaus, în funcţie de poziţia punctului considerat.
În scriere vectorială : pgrad1
fρ
=
r
sau 0p1
f =∇ρ
−r
Integrarea ecuaţiilor lui Euler
Se introduce funcţia de potenţial U−=π
dzfdyfdxfdzyx
++=π−
0dp
d =ρ
+π - ecuaţia fundamentală a staticii fluidelor sub formă diferenţială
Dacă ρ = const. (fluid incompresibil), atunci rezultă .constp=
ρ+π
Proprietăţi generale ale echilibrului fluidelor
-Suprafeţele echipotenţiale sunt şi suprafeţe izobare.-Presiunile cresc în direcţia scăderii potenţialului.-Suprafeţele echipotenţiale sunt şi izodense, şi izoterme.
-Suprafaţa de separaţie dintre 2 fluide nemiscibile este o suprafaţă izobară (echipotenţială).-Într-un fluid în repaus, suprafeţele echipotenţiale nu se intersectează.
Legea hidrostaticii în câmp gravitaţional terestru
Forţa masică unitară are componentă doar după axa z, pe –g.
.constp
zg =ρ
+⋅ sau .constp
z =γ
+
Pentru 2 puncte din masa fluidului: )zz(ppBAAB
−⋅γ+=
Caz particular: hppat
⋅γ+=Observaţie legată de aplicare !
-Valoarea presiunii depinde doar de înălţimea coloanei de lichid şi de densitatea sa (vezi paradoxul hidrostaticii … nu forma contează, nici volumul !)
-Trasarea corectă a graficului distribuţiei presiunilor pe un perete oarecare (fig. 3.9)
-Suprafeţele izobare sunt plane orizontale … principiul vaselor comunicante
-Legea lui Pascal: orice modificare a presiunii într-un punct al unui lichid în repaus se transmite nemodificată în toate celelalte puncte ale lichidului. Fig. 3.10: presa hidraulică
-Legea hidrostaticii se poate aplica doar pentru o masă de fluid omogen aflat în echilibru … atenţie la cazul fluidelor nemiscibile (fig. 3.11)
Consecinţe şi aplicaţii ale legii hidrostaticii
Aplicaţia 3.1
Ce cunoştinţe am dobândit în acest curs?
-noţiunea de presiune
-proprietăţile presiunii hidrostatice
-ecuaţiile lui Euler din statica fluidelor
-legea fundamentală a hidrostaticii
-consecinţe ale legii hidrostaticii
-aplicaţii bazate pe legea fundamentală a hidrostaticii
Test de v
erificare
a c
unoştinţe
lor
1) Care afirmaţie este FALSĂ?A. Presiunile sunt eforturi statice de compresiune.B. Paradoxul hidrostaticii se explică pe principiul vaselor
comunicante.C. Suprafeţele echipotenţiale sunt şi suprafeţe izobare.
2) Suprafaţa de separare dintre 2 fluide nemiscibile este …A. o suprafaţă convexăB. o suprafaţă concavăC. un paraboloid hiperbolicD. o suprafaţă izobară
3) În câmp gravitaţional terestru, funcţia de potenţial este g.A. AdevăratB. Fals
4) Valoarea presiunii depinde doar de înălţimea coloanei de lichid.
A. AdevăratB. Fals
B
D
B
B
Obiective:
-interpretarea legii hidrostaticii-scări pentru măsurarea presiunii-unităţi de măsură pentru presiune-statica gazelor-instrumente pentru măsurarea presiunii
Cursul 7
Recapitulare:
-presiunea-legea fundamentală a hidrostaticii-consecinţe
Geometric : reprezentare grafică în 2 situaţii
z = înălţime de poziţie (sarcină de poziţie)
Interpretarea legii hidrostaticii
Energetic : energia potenţială (ca sumă dintre energia de poziţie şi energia de presiune) se conservă.
γ
p= înălţime piezometrică
Hp = cotă piezometrică (sarcină hidrostatică)
Reprezentarea grafică a legii hidrostaticii
în cazul p0>pat
Reprezentarea grafică a legii hidrostaticii
în cazul p0<pat
Exprimarea presiunii în 3 scări de măsură:
-scara absolută (barometrică)-scara relativă (manometrică) : pat = 0-scara vacuumetrică
Unităţi de măsură pentru presiune
Definiţii:1 Atmosferă fizică = 1 At ≡ 760 mm Hg1 atmosferă tehnică = 1 at = 1 kgf / 1 cm2
1 torr ≡ 1 mm Hg1 bar = 105 Pa1 psi = 1lbf / 1 in2 (1 pound = 1 lb = 0,453 kg ; 1 inch = 2,54 cm)
Fig. 3.15 şi 3.16 - foarte importante
Aplicaţii – conversia unităţilor de măsură pentru presiune
Statica gazelor : 2 cazuri
-în ipoteza incompresibilităţii gazelor (!) : p = const., deoarece γ ≈ 0
-în general însă, ρ este funcţie de presiune şi temperatură (ecuaţia de stare a gazelor), ceea ce determină o lege de variaţie a presiunii de tip exponenţial (relaţia 3.44).
-instrumente cu lichid (piezometre)-manometre cu piston-instrumente cu element elastic (manometre metalice): -cu arc
-cu membrană-cu burduf
-instrumente electrice: piezoelectrice, tensometrice, capacitive etc.
Măsurarea presiunii
Un sistem hidraulic format din trei cilindri verticali cu diametrele D
0= 0,2 m, D
1= 0,1 m, D
2= 0,15 m
conţine apă. La suprafaţa apei, în fiecare cilindru se află câte un piston de bronz. Înălţimile sunt h
0= 0,1 m, h
1= 0,07 m, h
2 = 0,05 m.
Se consideră că pistoanele alunecă fără frecare. Să se determine cotele absolute Z' ale pistoanelor, când sistemul se află în echilibru. Se cunoaşte volumul total de apă V = 0,02 m3, iar ρbronz
= 8800 kg/m3. Se neglijează volumul apei în tuburile de legătură.
R : 0,178 m ; 0,442 m ; 0,618 m
Aplicaţie
Ce cunoştinţe am dobândit în acest curs?
-interpretarea legii hidrostaticii
-folosirea celor 3 scări pentru măsurarea presiunii
-relaţii de transformare între unităţile de măsură a presiunii
-legea fundamentală a staticii gazelor
-cunoaşterea instrumentelor pentru măsurarea presiunii
Test de v
erificare
a c
unoştinţe
lor 1) 1 torr = 760 mmHg.
A. AdevăratB. Fals
2) Piezometrele …A. funcţionează pe baza efectului piezoelectric.B. au nevoie de un burduf pentru a măsura presiunea.C. sunt nişte manometre cu lichid.D. au nevoie de un mecanism multiplicator Engler.
3) Care afirmaţie este ADEVĂRATĂ?A. Sarcina hidrostatică este cota piezometrică.B. Manometrele cu arc se numesc manometre Bourbon.C. 1 bar = 10 mHg
4) Atmosfera fizică este mai mare decât atmosfera tehnică.A. AdevăratB. Fals
B
C
A
A
Obiective:
-forţe de presiune pe suprafeţe plane
-calculul forţelor de presiune pe suprafeţe curbe
-legea lui Arhimede
-noţiuni legate de plutirea corpurilor
Cursul 8
Recapitulare:
-presiunea / legea fundamentală a hidrostaticii
-moment static al unei suprafeţe în raport cu o axă
-coordonatele centrului de greutate pentru o figură plană
Rezultanta eforturilor unitare de presiune care acţionează pe suprafaţa considerată.
pat nu se ia în considerare !
Trebuie determinate: mărimea forţei, punctul de aplicaţie, direcţia şi sensul.
Volumul presiunilor este egal ca mărime cu forţa de presiune.Punctul de aplicaţie al forţei de presiune este C, centrul de greutate al volumului presiunilor.
Forţe de presiune
Aplicaţie
Să se determine forţa de (supra)presiune a apei pe un
stăvilar plan, care închide un canal triunghiular cu
dimensiunile b = 0,8 m şi h = 0,9 m.
R : 108 kgf
Forţe de presiune pe suprafeţe plane
Fig. 3.26: perete înclinat
-punctul de aplicaţie:
-mărimea forţei: ApAzFGG⋅=⋅⋅γ=
undex
Gx
GC
S
I'z'z += A'zS
Gx⋅=
Uneori se calculează componentele forţei de presiune după axe: relaţiile 3.61 şi 3.62.Ay reprezintă proiecţia ariei A pe un plan de normală y.
Cazuri particulare: -perete plan orizontal-perete plan vertical
Aplicaţie pag. 113 (de corectat !)
Semnificaţia mărimilor:
-zGx = distanţa măsurată (pe verticală)de la planul de apă până în centrulde greutate al proiecţiei ariei A pe
un plan de normală x
-Vz = volumul de fluid cuprins în corpulde presiune
Forţe de presiune pe suprafeţe curbe
-se calculează pe componente după axe: relaţiile 3.72
xGxxGxxApAzF ⋅=⋅⋅γ=
yGyyGyy ApAzF ⋅=⋅⋅γ=
zzVF ⋅γ=
Corpul de presiune = un “cilindru” cu generatoare verticale, o bază este A
(suprafaţa curbă), iar cealaltă bază este Az din planul manometric.
Foarte important: Dacă generatoarele verticale intersectează suprafaţa curbă în mai multe puncte, forma corpului de presiune se stabileşte ţinând seama de părţile comune de volum şi de semnele acestora.
Să se determine efortul global la care trebuie
calculate îmbinările 1-1 şi 2-2, care realizează
legarea suprafeţei sfert de cilindru cu pereţii
rezervorului.
Se dau : R = 1 m, L = 5 m, h1
= 2 m, h2
= 1 m,
γ1
= 1 kgf/dm3, γ2
= 0,8 kgf/dm3.
Greutatea proprie a părţii sfert de cilindru este
G = 500 kgf.
R : 22,68 tf
Aplicaţie
VFA
⋅γ−=
Plutirea corpurilor. Legea lui Arhimede
Fig. 3.32
Formularea din liceu a legii lui Arhimede
se numeşte portanţă (sau forţă arhimedică) şi reprezintă o forţă verticală ce trece prin centrul de greutate al volumului de fluid dezlocuit.
Dacă corpul este cufundat parţial în fluid, se va considera doar volumul imersat.
Fig. 3.33: condiţii de plutire
Plutirea (la suprafaţă) înseamnă egalitatea a 2 forţe: G = FA’
Definiţii şi noţiuni legate de plutirea corpurilor: vezi fig. 3.34-carenă, deplasament, plan de plutire, linie de plutire, axă de plutire, axă longitudinală, pescaj etc.
Să se determine pescajul unui con din lemn
(ρL
= 800 kg/m3) care pluteşte în apă. Se dă
h = 30 cm.
R : 0,278 m
Aplicaţie
D = ?
Ce cunoştinţe am dobândit în acest curs?
-calculul forţelor de presiune pe suprafeţe plane
(orizontale şi înclinate)
-calculul forţelor de presiune pe suprafeţe curbe
-legea lui Arhimede
-noţiuni legate de plutirea corpurilor
Test de v
erificare
a c
unoştinţe
lor 1) Centrul de presiune este centrul de greutate al
volumului presiunilor.A. AdevăratB. Fals
2) Carena este …A. volumul pescajuluiB. volumul de fluid dezlocuit de plutitorC. aria laterală a plutitoruluiD. o mărime adimensională
3) La o suprafaţă înclinată, mărimea forţei de presiune depinde de unghiul α.
A. AdevăratB. Fals
4) Care afirmaţie este ADEVĂRATĂ?A. Pescajul este situat pe axa longitudinală de plutire.B. Corpul de presiune are o bază în planul manometric.C. Volumul imersat nu depinde de densitatea fluidului.
A
B
B
B
Obiective:
-condiţii de stabilitate a corpurilor plutitoare-echilibrul relativ de translaţie:
-legea de variaţie a presiunilor-ecuaţia suprafeţelor izobare
-echilibrul relativ de rotaţie:-legea de variaţie a presiunilor-ecuaţia suprafeţelor izobare
Cursul 9
Recapitulare:
-noţiuni legate de plutirea corpurilor-noţiuni de geometrie analitică-noţiuni de calcul integral (determinarea volumului)
Un plutitor este scos din poziţia de echilibru şi lăsat să oscileze.
Curba tuturor centrelor de carenă se poate asimila cu un cerc de rază r.Centrul acestui cerc se numeşte metacentru şi se notează cu M.
Poziţia metacentrului pe axa de plutire este o caracteristică geometrică şi mecanică a plutitorului.
Dacă M este situat deasupra lui G, plutirea este stabilă.Dacă M coincide cu G, echilibrul este indiferent.Dacă M este situat sub G, plutirea este instabilă.
Stabilitatea corpurilor plutitoare
Distanţa dintre C şi M se numeşte rază metacentrică = rDistanţa dintre G şi M se numeşte distanţă metacentrică = δ
CGr −=δ
carenaV
Ir =
Deci stabilitatea se poate studia determinând semnul lui δ:
δ > 0 => echilibru stabilδ = 0 => echilibru indiferentδ < 0 => echilibru instabil
unde
I este momentul de inerţie al ariei de plutire în raport cu axa cu care se studiază stabilitatea (de obicei axa longitudinală de plutire)
Aplicaţie:
Un cilindru din lemn având diametrul D şi înălţimea h pluteşte vertical pe apă.Să se afle pentru ce raport D/h cilindrul îşi va pierde stabilitatea.Se dă densitatea relativă a lemnului: 0,75.
R : 1,225
Fig. 3.40: după o direcţie orizontală
Se obţine o lege de variaţie a presiunilor de aceeaşi formă ca în cazul repausului absolut.
Ecuaţia suprafeţelor izobare într-o secţiune de tip xOz:
Particulele de fluid sunt în mişcare faţă de un sistem de referinţă fix …Suprafaţa liberă a lichidului nu mai este plană şi orizontală !Apar deci forţe de inerţie care trebuie luate în calcul.
2 lucruri sunt necesare a fi determinate:- legea de variaţie a presiunilor din masa de lichid- ecuaţia suprafeţelor izobare
Echilibrul relativ al lichidelor
Echilibrul relativ de translaţie
g
Cx
g
az +⋅−=
- familie de drepte cu coeficient unghiularg
atgm −=β=
Fig. 3.42: în jurul unei axe verticale
Se obţine o lege de variaţie a presiunilor de aceeaşi formă ca în cazul repausului absolut…
Ecuaţia suprafeţelor izobare: familie de paraboloizi de rotaţie în jurul axei Oz verticale şi cu vârful la cota z
0:
Echilibrul relativ de rotaţie
Cota z0 rezultă din condiţia de conservare a volumului !
Ce se întâmplă la rotaţia în jurul unei axe orizontale ?
Aplicaţii tehnice ale echilibrului relativ: accelerometrul şi tahometrul
Aplicaţiile se rezolvă folosind noţiuni simple de geometrie analitică …
Ce se întâmplă după o direcţie înclinată ?
2
2
0r
g2zz ⋅
⋅
ω+=
Un rezervor conic de rază R şi înălţime H, iniţial
plin cu apă, începe să se rotească în jurul axei
proprii. Se cere să se determine viteza unghiulară
ω, astfel încât suprafaţa liberă a lichidului să
devină tangentă la suprafaţa laterală a
rezervorului la partea lui superioară. Să se
calculeze în acest caz volumul de apă care se
pierde din rezervor.
Aplicaţie:
R
gH=ω
V4
3⋅
R:
Ce cunoştinţe am dobândit în acest curs?
-analiza stabilităţii corpurilor plutitoare
-scrierea legii de variaţie a presiunilor şi determinarea
ecuaţiei suprafeţelor izobare în cazul echilibrului
relativ de translaţie
-scrierea legii de variaţie a presiunilor şi determinarea
ecuaţiei suprafeţelor izobare în cazul echilibrului
relativ de rotaţie
Test de v
erificare
a c
unoştinţe
lor 1) Metacentrul este punctul de aplicaţie
al forţei arhimedice. A. AdevăratB. Fals
4) Plutirea este stabilă dacă …A. distanţa metacentrică este pozitivăB. distanţa metacentrică este zeroC. distanţa metacentrică este negativăD. M este situat sub G
3) Accelerometrul cu mercur este o aplicaţie tehnică a echilibrului relativ de translaţie.
A. AdevăratB. Fals
2) Care afirmaţie este ADEVĂRATĂ?A. Distanţa metacentrică nu poate fi egală cu raza
metacentrică.B. Tahometrul hidraulic se foloseşte la măsurarea presiunii.C. Repausul relativ nu ia în considerare forţele de inerţie.
B
A
A
A
Obiective:
-sisteme de reprezentare a mişcării-ipotezele lui Helmholtz-mărimi şi noţiuni specifice mişcării fluidelor-clasificarea mişcării fluidelor-mişcări laminare şi mişcări turbulente-ecuaţia de continuitate
Cursul 10
Recapitulare:
-particula fluidă-noţiuni de teoria câmpurilor
Cinematica fluidelor
Mişcarea fluidului este considerată ca mişcarea unui sistem continuu de particule fluide (!) care ocupă în întregime spaţiul în care se află fluidul.
Particula fluidă este asimilată cu punctul material din mecanica teoretică.
2 sisteme de reprezentare a mişcării: Lagrange şi Euler
Sistemul de reprezentare Lagrange
-studiază mişcarea fiecărei particule în lungul traiectoriei sale, raportată la un sistem de axe fix.Coordonatele particulei în momentul iniţial (a, b, c) sunt variabileindependente (se numesc variabilele lui Lagrange).
Sistemul de reprezentare Euler
-studiază parametrii mişcării tuturor particulelor care trec printr-un punctfix din spaţiu, în timp.Coordonatele punctului considerat sunt variabile independente !
-linie de curent: condiţia de tangenţă a vitezelor !-traiectorie
Asemănări, deosebiri… concluzii pag. 135
Ipotezele lui Helmholtz : descompunerea mişcării unei particule fluide
Rotorul vitezelor : pag. 139… mişcări rotaţionale / irotaţionale
Mărimi şi noţiuni specifice mişcării fluidelor
-viteza medie a curentului-perimetru udat-raza hidraulică-vârtej
-tub de curent-suprafaţă de curent-suprafaţă de control
-viteză locală-secţiune vie-debit
-fir de curent-linie trasoare
-mişcări permanente şi nepermanente
-mişcări tridimensionale, bidimensionale, unidimensionale
-mişcări uniforme şi neuniforme
-mişcări paralele şi neparalele
-mişcări sub presiune şi mişcări cu suprafaţă liberă
-mişcări laminare şi mişcări turbulente
Clasificarea mişcării fluidelor
Fig. 4.24 şi 4.25: Punerea în evidenţă a fenomenului
Mişcarea laminară: ordonată, în straturi paralele, aspect telescopic înconducte circulare
Mişcarea turbulentă: dezordonată, straturile se încrucişează, aparvârtejuri, consum energetic sporit
Fig. 4.23: Distribuţia vitezelor într-o conductă circulară pentru cele 2 tipuride mişcări
Important: în domeniul instalaţiilor, în marea majoritate a cazurilor, mişcarea este turbulentă !
Mişcări laminare şi mişcări turbulente
Criteriul Reynoldsυ
⋅
=
DVRe
D
Trecerea de la mişcarea laminară la cea turbulentă are loc la valoareacritică 2300 (conducte circulare !)
Modelarea mişcărilor turbulente
2 fenomene specifice mişcării turbulente:
-difuzia turbulentă: caracterul spaţial al mişcării, deplasări uneoriperpendiculare pe direcţia de curgere.
-pulsaţia vitezei: chiar în ipoteza unui regim permanent, se constată căviteza prezintă variaţii rapide în jurul unei valori medii…rezultă o uniformizare a vitezei în “sâmburele central” al curgerii şi o variaţierapidă într-un strat foarte subţire lângă perete.
Se doreşte înlăturarea formală a vitezelor de pulsaţie … se considerămacroparticule … schema simplificată Boussinesq-Reynolds.
În mişcarea turbulentă, efortul tangenţial are 2 componente: unavâscoasă şi una turbulentă.
Ecuaţia de continuitate
Forma generală: 0)v(divt
=ρ+∂
ρ∂ r
Pentru mişcarea permanentă şi fluide incompresibile: 0z
v
y
v
x
vzyx=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
Cazul tubului de curent
Forma generală: 0t
)A(
l
)Q(=
∂
ρ∂+
∂
ρ∂
Pentru mişcarea permanentă şi fluide incompresibile: 0l
Q=
∂
∂
debitul rămâne constant în lungul tubului de curent. Pe scurt, Q = AV = const.
Ecuaţia de continuitate în noduri/ramificaţii: 0Qi=∑
Debit volumic, debit masic, debit de greutate … ATENŢIE
adică
Ce cunoştinţe am dobândit în acest curs?
-caracterizarea sistemelor de reprezentare a mişcării
-ipotezele lui Helmholtz
-mărimi şi noţiuni specifice mişcării fluidelor
-clasificarea mişcării fluidelor
-caracterizarea mişcărilor laminare şi mişcărilor turbulente
-ecuaţia de continuitate
Test de v
erificare
a c
unoştinţe
lor 1) Rotorul vitezelor este dublul vectorului
de rotaţie al particulei fluide.A. AdevăratB. Fals
2) Mişcarea permanentă se mai numeşte şi …A. EulerB. LagrangeC. staţionarăD. laminară
3) O mişcare paralelă poate fi uniformă sau neuniformă.A. AdevăratB. Fals
4) Care afirmaţie este ADEVĂRATĂ?A. Mişcarea laminară are o structură dezordonată.B. Traiectoria coincide cu linia de curent doar la mişcarea permanentă.C. Fenomenul pulsaţiei vitezei este specific mişcării laminare.
A
C
A
B
Obiective:
-obiectul dinamicii fluidelor
-ecuaţiile de mişcare în forma dată de Euler
-forma Lamb-Helmholtz a ecuaţiilor de mişcare
-integrarea ecuaţiilor de mişcare
-ecuaţia lui Bernoulli în câmp gravitaţional
-aplicaţii ale ecuaţiei energiei
Cursul 11
Dinamica fluidelor
Ecuaţiile de mişcare tip Euler – comparaţie cu statica
∂∂⋅
ρ−=
∂∂⋅
ρ−=
∂∂⋅
ρ−=
z
p1f
dt
dv
y
p1f
dt
dv
x
p1f
dt
dv
z
z
y
y
x
x
În formă diferenţială:
În formă vectorială: pgrad1
fdt
vd⋅
ρ−=
r
În formă diferenţială:
În formă vectorială:
Forma Lamb-Helmholtz a ecuaţiilor de mişcare
Ω⋅−Ω⋅+∂
∂=
++π
∂
∂−
Ω⋅−Ω⋅+∂
∂=
++π
∂
∂−
Ω⋅−Ω⋅+∂
∂=
++π
∂
∂−
yxxyz
2
xzzx
y2
zyyzx
2
vvt
v
2
vP
z
vvt
v
2
vP
y
vvt
v
2
vP
x
++π−=×Ω+
∂
∂
2
vPgradv
t
v2
unde π este funcţia de potenţial, iar P funcţia de presiune: ∫ρ
=dp
P
Integrarea ecuaţiilor de mişcare
Se face notaţia2
vPe
2
++π=
şi ecuaţia diferenţială devine:
zyx
zyx
vvv
dzdydx
dzz
edy
y
edx
x
eΩΩΩ=⋅
∂
∂−⋅
∂
∂−⋅
∂
∂−
Se notează determinantule
zyx
zyx
vvv
dzdydx
δ−=ΩΩΩ
ecuaţiile lui Euler admit ca soluţieintegrala lui Bernoulli
0e=δDacă determinantul atunci
Ecuaţia lui Bernoulli în câmp gravitaţional (mişcare permanentă, fluid incompresibil)
.constHg2
vpz
2
==+γ
+
Există 4 situaţii în care determinantul respectiv este nul
-mişcare irotaţională
-mişcare în lungul unei linii de curent
-mişcare în lungul unei linii de vârtej
-mişcare elicoidală
Integrala lui Bernoulli .const2
vPe
2
=++π=
Legea lui Bernoulli se scrie de obicei pentru 2 secţiuni consecutive în lungul firului de curent:
Hg2
vpz
g2
vpz
2
22
2
2
11
1=+
γ+=+
γ+
Ecuaţia lui Bernoulli este o lege de conservare a energiei
Semnificaţia celor 3 termeni din ecuaţie:
a) energii specifice-energie specifică de poziţie-energie specifică de presiune-energie specifică cinetică γ
+p
z -energie specifică potenţială
b) înălţimi-înălţime de poziţie-înălţime piezometrică-înălţime cinetică
Fig. 5.4 - Linii caracteristice: linia piezometrică şi linia energetică
Reprezentarea grafică a legii lui Bernoulli – fig. 5.3
Alte forme ale legii lui Bernoulli
.const2
vpzg
2
=+ρ
+⋅
.const2
vpz
2
=⋅ρ++⋅γ
Presiunea hidrodinamică este egală cu suma dintre presiunea de poziţie, presiunea statică şi presiunea dinamică.
Evidenţierea presiunii de stagnare (impact)
Aplicaţii: -Sondele pentru măsurarea vitezelor
-Venturimetrul
Ce cunoştinţe am dobândit în acest curs?
-obiectul dinamicii fluidelor
-scrierea ecuaţiilor de mişcare în forma Euler
-scrierea ecuaţiilor de mişcare în forma Lamb-Helmholtz
-integrarea ecuaţiilor de mişcare
-scrierea ecuaţiei lui Bernoulli în câmp gravitaţional, fluid perfect
-aplicaţii ale ecuaţiei energiei
Test de v
erificare
a c
unoştinţe
lor
1) Care afirmaţie este ADEVĂRATĂ?A. Integrala lui Bernoulli se notează cu B.B. Presiunea statică se mai numeşte presiune de stagnare.C. Presiunea de impact este presiunea dinamică.
2) Linia piezometrică …A. nu poate creşte în sensul curgerii fluduluiB. trece deasupra liniei energetice pentru mişcări turbulenteC. se reprezintă pe baza termenilor z şi p/γD. se datorează termenului cinetic
3) În integrala lui Bernoulli, P este funcţia de potenţial.A. AdevăratB. Fals
C
C
B
A
4) Venturimetrul este un aparat pentru măsurarea debitului.A. AdevăratB. Fals
Obiective:
-ecuaţia energiei pentru un fir de fluid real în mişcare permanentă-ecuaţia energiei pentru un tub de curent real în mişcare permanentă-ecuaţia energiei pentru curenţi unidimensionali în mişcare nepermanentă-ecuaţia energiei pentru conducte pe care sunt montate maşini hidraulice-starea de tensiune la fluide reale-ecuaţiile Cauchy pentru mişcarea fluidelor reale-ecuaţiile de mişcare Navier-Stokes-integrarea ecuaţiilor de mişcare a fluidelor vâscoase
Cursul 12
Recapitulare:
-fir de curent-tub de curent-legea lui Bernoulli pentru fluidul perfect
Cazul fluidelor reale EEE21
∆=−
Ecuaţia energiei pentru un fir de fluid real în mişcare permanentă
21r
2
22
2
2
11
1h
g2
vpz
g2
vpz
−
++γ
+=+γ
+
Fig. 5.10 – interpretare … Panta hidraulică
Ecuaţia energiei pentru un tub de fluid real în mişcare permanentă
v=kV vezi fig. 5.11 Coeficientul lui Coriolis
∫=α
A
3dAk
A
1
-la fluide perfecte α=1
-la fluide reale, α este cuprins între 1 şi 1,1
-la mişcarea laminară în conducte circulare α=2
-la mişcarea turbulentă în conducte circulare α=1,03…1,05
-la mişcarea turbulentă în canale deschise α=1,1
-la ieşirea din pompe şi pe aspiraţia turbinelor α=3…7
2 observaţii:
În final se obţine
21r
2
22
2
2
11
1h
g2
Vpz
g2
Vpz
−
+α
+γ
+=α
+γ
+
• Relaţia de mai sus este valabilă pentru un curent de fluid real
incompresibil, mişcarea fiind permanentă.
Uzual se aplică pentru puncte situate pe axul conductei.
• Relaţia este riguros exactă numai pentru mişcarea uniformă.
Liniile caracteristice pentru o conductă care prezintă zone de neuniformitate a curgerii (diafragmă, respectiv lărgire bruscă de secţiune) indică apariţia unor pierderi suplimentare de energie.
Ecuaţia energiei pentru curenţi unidimensionaliîn mişcare nepermanentă
Ecuaţia energiei pentru conducte pe care sunt montate maşini hidraulice
Apare un termen de corecţie H* - reprezintă schimbul de energie care se
produce între curentul de fluid şi maşină.
Semnul lui H* !
Cazul turbinei, cazul pompei
Apare un termen nou, de tip pierderi, numit înălţime inerţială (cuantifică energia consumată pentru variaţia vitezelor locale în timp).
t
V
g
lhi
∂
∂β= unde
3
2+α=β
Evident se trasează şi o nouă linie caracteristică, linia inerţială.
Starea de tensiune la fluidele reale
În jurul unui punct la un fluid real, se poate exprima starea de tensiune printr-o matrice pătrată formată din 9 elemente, ce poartă numele de tensorul eforturilor unitare:
Primul indice dă axa normală la suprafaţa considerată,
iar al doilea indice dă direcţia efortului unitar.
Tensorul eforturilor unitare are 2 proprietăţi:-simetria faţă de diagonala principală.-suma elementelor de pe diagonala principală este un invariant.
Relaţii generale de calcul la curenţii de fluid compresibil în mişcarea permanentă (gaze)
3 variabile în loc de 2 (deoarece densitatea nu este constantă), ca urmare sunt necesare 3 ecuaţii:
-ecuaţia de continuitate
-ecuaţia de stare fizică a fluidului
-relaţia de bilanţ energetic
=
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ppp
ppp
ppp
T
Ecuaţiile generale ale mişcării fluidelor realeîn funcţie de eforturile unitare
Ecuaţiile lui Cauchy:
∂∂
+∂
∂+
∂∂
⋅ρ
+=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂⋅
ρ+=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
⋅ρ
+=
z
p
y
p
x
p1f
dt
dv
z
p
y
p
x
p1f
dt
dv
z
p
y
p
x
p1f
dt
dv
zzyzxz
z
z
zyyyxy
y
y
zxyxxx
x
x
Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor vâscoase(ecuaţiile Navier-Stokes)
θ∂∂
⋅ν
+∆⋅ν+∂∂⋅
ρ−=
θ∂∂
⋅ν
+∆⋅ν+∂∂⋅
ρ−=
θ∂∂
⋅ν
+∆⋅ν+∂∂⋅
ρ−=
)(z3
)v(z
p1f
dt
dv
)(y3
)v(y
p1f
dt
dv
)(x3
)v(x
p1f
dt
dv
zz
z
yy
y
xx
x
2
x
2
2
x
2
2
x
2
x
z
v
y
v
x
v)v(
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∆⋅ν
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂⋅=θ
z
v
y
v
x
v3 zyx
unde
şi
Integrarea ecuaţiilor de mişcare a fluidelor vâscoase
Nu există metode generale de integrare!
Se impun următoarele categorii de condiţii:
-condiţii iniţiale: au sens doar pentru mişcările nepermanente,
descriu câmpul de viteze şi presiuni la un moment dat.
-condiţii geometrice de contur: legate de forma pereţilor rigizi
care delimitează domeniul curgerii : problema internă, problema externă,
pericolul apariţiei discontinuităţilor…
-condiţii legate de caracteristicile fluidului: densitate şi vâscozitate,
adeziune, strat limită.
-condiţii cinematice şi dinamice: pentru viteze, respectiv presiuni pe
anumite frontiere ale mişcării.
Ce cunoştinţe am dobândit în acest curs?
-scrierea ecuaţiei energiei pentru un fir de fluid real în mişcare permanentă
-scrierea ecuaţiei energiei pentru un tub de curent real
în mişcare permanentă
-scrierea ecuaţiei energiei pentru curenţi
unidimensionali în mişcare nepermanentă
-scrierea ecuaţiei energiei pentru conducte pe
care sunt montate maşini hidraulice
-starea de tensiune la fluide reale
-scrierea ecuaţiilor Cauchy pentru mişcarea fluidelor reale
-scrierea ecuaţiilor de mişcare Navier-Stokes
-condiţii de integrare a ecuaţiilor de mişcare a fluidelor vâscoase
Test de v
erificare
a c
unoştinţe
lor
1) Panta hidraulică este de fapt un număr adimensional.A. AdevăratB. Fals
2) Coeficientul lui Coriolis …A. este subunitar la mişcări laminareB. este egal cu 2300 în mişcări permanenteC. apare la caracterizarea firului de curent staţionarD. este egal cu 1 la fluide perfecte
3) Tensorul eforturilor unitare este o matrice 4x4.A. AdevăratB. Fals
4) Care afirmaţie este ADEVĂRATĂ?A. Pierderea de sarcină este egală cu panta hidraulică.B. Ecuaţiile Navier-Stokes descriu mişcarea fluidului vâscos.C. Nu există nici un impediment de a folosi în loc de viteza v,
viteza V.
A
D
B
B
Obiective:
-la ce foloseşte teorema impulsului
-expresia forţei de impuls
-forma generală a teoremei impulsului
-aplicaţii în domeniul instalaţiilor
Cursul 13
Recapitulare:
-ce este impulsul
-teorema lui d’Alembert din mecanică
Teorema impulsului şi aplicaţii
Utilitate: permite obţinerea unor relaţii pe suprafaţa care delimitează domeniul mişcării, fără a fi necesară cunoaşterea în detaliu a mişcării fiecărei particule din interiorul domeniului.
De exemplu: calculul forţelor care acţionează pe palele unei turbine, pe pereţii rigizi ai unui tub de curent, determinarea pierderilor de sarcină locale, etc.
În hidraulică ecuaţia impulsului are o formă proprie, care se obţine însă din forma generală dată de mecanica teoretică.
Impulsul (cantitatea de mişcare) este produsul dintre masa unui punct material m şi viteza sa v.
Teorema lui d'Alembert din mecanica teoretică: derivata cantităţii de mişcare a unui punct material în raport cu timpul este egală cu suma forţelor exterioare care acţionează asupra acelui punct material.
0)I(IRFFG21C21=−+++++
rrrrrr
în care:G - greutatea masei de fluid din interiorul suprafeţei de controlF1, F
2- forţele de presiune pe suprafaţa de intrare, respectiv ieşire
I1, I
2- forţele de impuls prin suprafaţa de intrare, respectiv ieşire
RC
- reacţiunea conturului solid
Expresia mărimii forţei de impuls
VQI ⋅⋅ρ⋅β=
în care:β - coeficient de neuniformitate a vitezelor în secţiune... vezi cursul 12ρ - densitatea fluiduluiQ - debitul volumicV - viteza medie în secţiune
Observaţii:-ecuaţia vectorială a impulsului trebuie proiectată pe o axă sau pe un
sistem de axe convenabil ales. -atenţie la semnul MINUS din faţa vectorului I
2!
-ecuaţia vectorială a impulsului este folosită în principal pentru determinarea mărimii lui R
C- reacţiunea conturului solid.
-punctul de aplicaţie al acestei forţe se determină cu ajutorul unei alte ecuaţii: o ecuaţie de moment a forţelor implicate în ecuaţia impulsului în raport cu un punct arbitrar din spaţiu.
Aplicaţia 1: Reacţiunea opusă de pereţii unei conducte rectilinii la mişcarea uniformă a fluidului
0)VV(QRPPsinG2121=−⋅⋅ρ⋅β+−−+α⋅
Se aplică ecuaţia impulsului, care se proiectează după axa conductei:
21VV = ApP
11⋅= ApP
22⋅= lAG ⋅⋅γ=
21zzsinl −=α⋅Dar
Dacă se exprimă reacţiunea R prin produsul dintre efortul tangenţial mediu la perete şi aria pe care acesta acţionează
lPR0
⋅⋅τ=
rezultă o relaţie care va fi folosită ulterior la calculul pierderilor de sarcină:
JRh0⋅⋅γ=τ
în care:
γ
γ - greutatea specifică a fluidului
Rh - raza hidraulică a conductei (=A/P)
J - panta hidraulică (uneori notată cu i, I sau j)
După aplicarea ecuaţiei lui Bernoulli, rezultă:
rhAR ⋅⋅γ=
21r
21
21h
ppzz
−
=γ
−γ
+−
Se obţine
Aplicaţia 2
O curbă la 90o aflată pe o conductă de alimentare cu agent termic
(ρ ≈ 1000 kg/m3) de diametru D = 500 mm este pozată în plan orizontal.
Presiunea medie a apei în conductă este p = 15·105 N/m2 (în scara
manometrică), iar debitul este 590 l/s.
Dacă nu se iau în considerare solicitările datorate diferenţei de
temperatură şi se neglijează pierderile de sarcină, să se determine forţa
care apare în curbă.
R : ~ 419 kN
Ce cunoştinţe am dobândit în acest curs?
-importanţa şi utilitatea teoremei impulsului
-scrierea relaţiei de calcul a forţei de impuls
-scrierea teoremei impulsului
-cum se poate aplica ecuaţia impulsului în domeniul instalaţiilor
Test de v
erificare
a c
unoştinţe
lor 1) Impulsul unui punct material este dublul
energiei sale cinetice.A. AdevăratB. Fals2) În expresia vectorială a teoremei impulsului, cu litera I s-a
notat …A. intensitatea debituluiB. forţa de inerţieC. forţa incidentă a pereteluiD. forţa de impuls3) Efortul tangenţial mediu la perete nu depinde de raza
hidraulică a conductei.A. AdevăratB. Fals4) Care afirmaţie este ADEVĂRATĂ?A. Coeficientul β din expresia mărimii forţei de impuls este
coeficientul lui Coriolis.B. Forţele de impuls acţionează perpendicular pe pereţii
conductei.C. Mărimea forţei de impuls depinde de debitul volumic.
B
D
B
C