Reducerea sistemelor de forţe (continuare)

Mecanica I 1

CURS 5

REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE)

CUPRINS

5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare) ……...………...……………………………1

Cuprins……………………………………………………………………………………..1

Introducere modul………………………………………………………………………….1

Obiective modul...………………………………………………………………………….2

5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe oarecare ……………………....2

5.2. Sisteme de forţe coplanare .....................................................................................3

Test de autoevaluare 1...................................................................................................4

5.3. Sisteme de forţe paralele ........................................................................................5

Test de autoevaluare 2...................................................................................................6

5.4. Centrul forţelor paralele ........................................................................................6

Test de autoevaluare 3...................................................................................................8

Bibliografie modul……………………………………………………………………………..8

Rezumat modul………………………………………………………………………………...9

Rezolvarea testelor de autoevaluare……………………………………………………………9

5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)

Introducere

modul

În acest modul se va enunţa şi demonstra teorema lui Varignon

pentru sisteme de forţe oarecare şi se vor aborda alte două sisteme

particulare de forţe: sistemul de forţe coplanare şi sistemul de forţe

paralele. Aceste două sisteme de forţe vor fi definite şi pentru

fiecare se vor arăta cazurile de reducere posibile. Pentru sistemele

de forţe paralele vectori legaţi se va introduce noţiunea de ,,centrul

forţelor paralele”.

Reducerea sistemelor de forţe (continuare)

Mecanica I 2

Obiective modul

După parcurgerea acestui modul cursantul va şti:

- să enunţe şi să demonstreze teorema lui Varignon pentru

sisteme de forţe oarecare;

- să definească sistemele de forţe coplanare şi paralele;

- cazurile de reducere posibile pentru sistemele de forţe

coplanare şi paralele;

- să definească şi să determine poziţia centrului forţelor

paralele.

Durata medie de

studiu individual

2 ore

Acest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în

acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare.

5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe oarecare

Pentru sisteme de forţe oarecare, teorema lui Varignon are următorul enunţ:

Enunţ: Pentru un sistem de forţe care admite ca sistem echivalent cel mai simplu o rezultantă

unică, momentul rezultant al sistemului de forţe în raport cu un punct oarecare este egal cu

momentul rezultantei sistemului de forţe în raport cu acel punct.

Demostraţie

Fie un sistem de forţe ce se reduce la o rezultantă unică ce trece prin

punctul A. Momentul rezultant al sistemului de forţe în raport cu

punctul A se poate exprima în funcţie de momentul rezultant al

sistemului de forţe în raport cu alt punct oarecare O:

Cum prin punctul A trece dreapta suport a rezultantei unice,

momentul rezultant al sistemului de forţe în raport cu punctul A este

zero. Rezultă:

Reducerea sistemelor de forţe (continuare)

Mecanica I 3

5.2. Sisteme de forţe coplanare

Sistemul de forţe coplanare este sistemul format din forţe ce se află în acelaşi plan.

Fie un sistem de forţe acţionând în planul xOy al unui sistem de referinţă (figura 5.1).

Expresiile forţei şi ale vectorului de poziţie

al punctului de aplicaţie al forţei , notat cu

sunt:

Momentul forţei în raport cu originea

sistemului poate fi determinat astfel:

Torsorul sistemului de forţe în raport cu punctul O va fi:

Se observă că vectorii rezultantă şi moment rezultant sunt întotdeauna perpendiculari

( , adică sistemul de forţe coplanare nu se poate reduce la o dinamă, de unde şi

caracterul de sistem de forţe particular.

Cazurile de reducere posibile pentru un sistem de forţe coplanare sunt:

1) . Sistemul de forţe este în echilibru iar efectul mecanic produs de acesta

este nul. Condiţiile scalare de echilibru sunt:

2) . Sistemul de forţe se reduce la un cuplu.

O x

y

Fig. 5.1. Sistem de forţe coplanare

Reducerea sistemelor de forţe (continuare)

Mecanica I 4

3) . Sistemul de forţe se reduce la o rezultantă unică ce trece prin punctul O.

În această situaţie s-a determinat în mod direct sistemul schivalent cel mai simplu.

4) . Sistemul de forţe se reduce la o rezultantă unică ce nu trece prin punctul

O. În acest caz trebuie determinată poziţia dreptei suport a rezultantei unice în raport cu

punctul O. Prin aplicarea ecuaţiilor axei centrale rezultă ecuaţia acestei drepte suport:

Observaţie. În cazul în care se studiază o problemă plană în care apar vectori perpendiculari

pe planul considerat, reprezentarea

acestor vectori se va face prin

evidenţierea sensului acelui vector şi

prin indicarea mărimii lui.

În figura 5.2 se reprezintă momentul

rezultant al unui sistem de forţe

coplanare în raport cu un punct

oarecare A. Pentru determinarea

sensului acestui vector, se va roti burghiul drept în sensul indicat în reprezentare.

Test de

autoevaluare 1

1. Enunţaţi teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe oarecare.

2. Enunţul ,,sistemul de forţe coplanare este format din forţe aflate

în acelaşi plan” este:

a) adevărat;

b) fals.

3. Un sistem de forţe paralele nu se poate reduce la:

a) rezultantă unică ce trece prin punctul O;

b) dinamă;

c) cuplu.

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

A A

Vectorul ,,iese” din

planul reprezentării

Vectorul ,,intră” în

planul reprezentării

Fig. 5.2

Reducerea sistemelor de forţe (continuare)

Mecanica I 5

5.3. Sisteme de forţe paralele

Sistemul de forţe paralele este sistemul format din forţe care au dreptele suport paralele.

Fie sistemul de forţe , forţe paralele cu axa Oz

a unui sistem de referinţă cartezian.

Expresiile forţei şi ale vectorului de poziţie al

punctului de aplicaţie al forţei , notat cu

sunt:

Momentul forţei în raport cu originea

sistemului poate fi determinat astfel:

Torsorul sistemului de forţe în raport cu punctul O va fi:

Se observă că vectorii rezultantă şi moment rezultant sunt întotdeauna perpendiculari

( , adică sistemul de forţe paralele nu se poate reduce la o dinamă, de unde şi

caracterul de sistem de forţe particular.

Cazurile de reducere posibile pentru un sistem de forţe paralele sunt:

1) . Sistemul de forţe este în echilibru iar efectul mecanic produs de acesta

este nul. Condiţiile scalare de echilibru sunt:

2) . Sistemul de forţe se reduce la un cuplu. Deoarece un cuplu de forţe poate

fi rotit în planul său fără ca efectul produs asupra corpului pe care acţionează să se modifice,

O y

z

Fig. 5.3. Sistem de forţe paralele

x

Reducerea sistemelor de forţe (continuare)

Mecanica I 6

se poate înlocui sistemul de forţe paralele cu un alt sistem de forţe paralele având altă direcţie

a forţelor.

3) . Sistemul de forţe se reduce la o rezultantă unică ce trece prin punctul O.

În această situaţie s-a determinat în mod direct sistemul schivalent cel mai simplu.

4) . Sistemul de forţe se reduce la o rezultantă unică ce nu trece prin punctul

O. În acest caz trebuie determinată poziţia dreptei suport a rezultantei unice în raport cu

punctul O. Prin aplicarea ecuaţiilor axei centrale se determină coordonatele punctului în care

dreapta suport a rezultantei unice intersectează planul xOy:

Test de

autoevaluare 2

1. Definiţi sistemul de forţe paralele.

2. De ce este sistemul de forţe paralele un sistem particular de forţe?

3. Enunţul ,,un sistem de forţe paralele se poate reduce la o dinamă”

este:

a) adevărat;

b) fals.

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

5.4. Centrul forţelor paralele

Un caz particular al sistemelor forţelor paralele este cel al sistemelor de forţe paralele vectori

legaţi (punctele de aplicaţie ale forţelor au poziţii bine definite în spaţiu).

Pentru un astfel de sistem se pot enunţa două proprietăţi [2]:

1) Dacă forţele sistemului sunt vectori legaţi atunci şi rezultanta sistemului (când există) este

un vector legat iar punctul de aplicaţie al rezultantei se numeşte centrul forţelor paralele.

2) Dacă toate forţele din sistem se rotesc cu acelaşi unghi în jurul punctelor lor de aplicaţie,

forţele fiind paralele în continuare, atunci şi rezultanta se roteşte cu acelaşi unghi în jurul

centrului forţelor paralele.

Reducerea sistemelor de forţe (continuare)

Mecanica I 7

Fie un sistem de forţe paralele vectori legaţi , având punctele de aplicaţie Ai a căror poziţie

se pune în evidenţă prin vectorii de poziţie

(figura 5.4) ce se reduce la o rezultantă unică. Se

aplică teorema lui Varignon:

Exprimând momentele:

Cum forţele se consideră paralele cu axa Oz a

unui sistem de referinţă (figura 5.4):

Cunoscând că produsul vectorial este distributiv în raport cu înmulţirea cu un scalar şi

înlocuind mărimea rezultantei cu suma mărimilor forţelor din sistem, rezultă:

Se obţine:

Acest produs vectorial se anulează dacă unul dintre cei doi vectori este nul sau dacă cei doi

vectori sunt coliniari. Cum al doilea vector este un versor (diferit întotdeauna de zero) iar

coliniaritatea celor doi vectori poate fi evitată rotind forţele (şi implicit rezultanta) cu un

unghi în jurul punctelor lor de aplicaţie rezultă că această expresie se anulează doar dacă

primul vector este nul, adică dacă vectorul de poziţie al centrului forţelor paralele are

expresia:

sau:

O

α

α

α

α

α

z

y

x

A1

C

An

A2

Ai

Fig. 5.4. Centrul forţelor paralele

Reducerea sistemelor de forţe (continuare)

Mecanica I 8

Coordonatele centrului forţelor paralele sunt:

Test de

autoevaluare 3

1. Enunţul ,, dacă toate forţele din sistem se rotesc cu acelaşi unghi

în jurul punctelor lor de aplicaţie, forţele fiind paralele în

continuare, atunci şi rezultanta se roteşte cu acelaşi unghi în jurul

centrului forţelor paralele” este:

a) adevărat;

b) fals.

2. Ce înţelegeţi prin centrul forţelor paralele?

3. Alegeţi expresia corectă:

a)

b)

c)

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

Bibliografie modul

[1]. Hangan, S., Slătineanu, I., ,,Mecanică”, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1983, pag. 48-51;

[2]. Szolga, V., Szolga, A. M., ,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi

îndrumător de seminar. Partea I”, Editura Conspress, Bucureşti,

2003, pag. 51-61;

[3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R., ,,Mecanica Teoretică”,

Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag. 139-144.

Reducerea sistemelor de forţe (continuare)

Mecanica I 9

Rezumat modul

În acest modul s-a enunţat şi demonstrat teorema lui Varignon

pentru sisteme de forţe oarecare şi s-au abordat două sisteme de

forţe particulare: sistemele de forţe coplanare şi sistemele de forţe

paralele.

Pentru fiecare sistem de forţe abordat s-au prezentat cazurile de

reducere posibile.

S-a introdus noţiunea de centru al forţelor paralele şi s-au determinat

coordonatele acestuia într-un sistem de referinţă cartezian.

Rezolvare

test de autoevaluare

1

1. Consultare aspecte teoretice pag. 2;

2. a;

3. b.

Rezolvare

test de autoevaluare

2

1. Consultare aspecte teoretice pag. 5;

2. Consultare aspecte teoretice pag. 5;

3. b.

Rezolvare

test de autoevaluare

3

1. a;

2. Consultare aspecte teoretice pag. 6;

3. a.