Puteri-Si-Radicali

Clasa a 9-a - 1 - Puteri si Radicali

Puteri .

Puteri :

- Fie a , b ∈ R si n ∈ R exponent real .

- Avem urmatoarele formule :

ori

....... n

n aaaaa ⋅⋅⋅⋅=

1 0 =a

aa 1 =

a

a nn 1

=−

00 =n

( ) aanmnm ⋅=

aaa mnmn +=⋅

aaa mnmn - : =

aaa mnm

n - =

( ) baba nnn ⋅=⋅

ba

b

an

nn

=

Identitati importante :

( ) bababa 222 2 ++=+

( ) bababa 222 2 +−=−

( ) ( )bababa +−= - 22

( ) abbaba 2 - 222 +=+

( ) babbaaba 32233 33 +++=+

( ) babbaaba 32233 33 −+−=−

( ) ( )babababa 2233 - +=+ +

( ) ( )babababa 2233 ++=− −

( ) ( )bcacabcbacba 22222 +++++=++

Puteri si Radicali


Media aritmetica , geometrica , armonica :

- Pentru orice doua numere reale strict positive x , y se definesc mediile :

Media aritmetica :

2

yxma

+=

Media geometrica :

yxmg ⋅=

Media armonica :

yx

xy

yx

mh

2

1

1 2

+

=+

=

Inegalitatea mediilor :

mmm agh ≤≤

Puteri si Radicali


Radicali .

Definitia radicalului :

- Daca a ∈ R , a > 0 , n ≥ 2 , se numeste radical de ordin n din a , numarul

pozitiv a carui putere a n –a este numarul a .

0 si >=⇔= xxa axnn

Observatii :

- daca ordinul radicalului este un numar par , adica n = 2k , este necesar ca expresia

de sub radical sa fie ≥ 0 , pentru ca radicalul sa existe !!!

( deoarece nu exista radical de ordin par dintr-un numar negativ )

- daca ordinul radicalului este impar , adica n = 2k + 1 , nu este necesara nici o

conditie de existenta a radicalului !!!

Puteri si Radicali


Proprietatile radicalilor :

- Pentru ( ∀ ) a , b ∈ [ 0 , + ∞ ) , ( ∀ ) m , n , k ∈ N , m ≥ 2 , n ≥ 2 , k ≥ 2 avem :

1). nnn baba ⋅=⋅

2). n

nn

b

a

b

a =

3). aa n

mn m =

4). aa mn mn =⋅

5). ( ) n mmaan =

6). kn kmn m aa ⋅ ⋅=

7). nmm n aa ⋅=

8). R , 2 ∈= aaa .

Formule utile :

1). ( ) ( ) bababa - - =+⋅

2). ( ) ( ) bababa ba - 3 233 233 −=+⋅+⋅

3). ( ) ( ) bababa ba 3 233 233 +=+⋅−⋅+

Formulele radicalilor compusi : Puteri si Radicali


2

- -

2

-

22 baba aaba +

+=+

2

- -

2

-

22 baba aaba −

+=−

Exercitii :

- Sa se gaseasca valorile lui x , pentru care sunt definite expresiile :

1). 2 )( −= xxf

2). 5 2 )( −= xxf

3). 4 2 253 - )( xxxf +=

4). 43 55 -3 )( −+= xxxf

5). 6 2 1 - )( += xxxf

Exercitii :

Sa se calculeze :

1). ? 128 2 85 - 50 =++

2). ? 16 - 686 - 250 2 3333 =+

3). ( ) ( ) ? 32 - 2 - 6 6 23 - 32 =⋅+

4). ( ) ( ) ? 0,43 1,6 2 10 23 - 8 =++⋅+

Exercitii :

Sa se rationalizeze numitorii fractiilor :

1). ; 2

1 2). ;

3

23 3). ;

5

5

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4). ; 2 1

2 - 1

+

5). ; 24 - 25

133

6). ; 5 - 2 3

12

+

7). ; 7 3

1533 +

8). ; 6 - 2 2

31

+

9).

; 6 - 3 2 - 2

1

+

10). ;

-

ba

ba

+

Exercitii :

Rezolvati ecuatiile :

1). 14 10 −=− xx

2). xx 41 10 −=−

3). 21 2 −=+− xxx

4). xx −=− 5 7

5). xx 28 4 −=−

6). 2267 2 −=+− xxx

7). 421111 22 =+++ xx

8).

4452153 22 =++++ xxxx

9). xx −=+ 6 6

10). 13 1 =−+ xx

11). xx -22 211 =+

12). 0 1 1183 =++− xx

13). 4 1 24 ++=+ xx

14). 4232 2 −=+− xxx

15). ( )( ) 1 1312 +=+− xxx

16). 12232 2 +=+− xxx

17). 262 2 +=−+ xxx

18). xxx 244 24 =+−

Exercitii :


1). 2220 22 =++ xx

2). 6565 22 +−=+− xxxx

3).

xxxx 254235 22 =+−−+

4). 3414 22 +−=+− xxxx

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5). 22623 22 −−=+− xxxx

Exercitii :


1). 2 - 205 - 8 =++ xx 2). 3 5 4 =++− xx

3). 47x 1 6 +=+++ xx

4). xxxxx 3532532 22 =+−+++

5). 112594 222 - −=−+++ xxxxx

6). 1153853 22 =++−++ xxxx

7). 1622 2 12 4 4 −+=+−++ xxxx

Exercitii :

Rezolvati ecuatiile irationale :

1). 6 2 10 =−++ xx

2). 5 1 32 =+++ xx

3). 2 1 - 73 =++ xx

4). 1 -1 - 1 =+ xx

5). 4 7 - 3 =−− xx

Exercitii :


1). 122 29 - 1 −=−+ xxx

2). xxx 5 12 12 =++−

3). xxx +=−− 52 39 - 341

4). 74 32 - 2 −=−+ xxx

5). 7 2 4 3 +++=+++ xxxx

Puteri si Radicali


Exercitii :


1). 22233 22 =+−+−+ xxxx

2). 34412 22 =+−−++ xxxx

3). ( )( ) ( )( ) 2 43 21 =−−+−− xxxx

4). 415373 22 =−−−−+ xxxx

Exercitii :


1). xxxxxx −=−+++− − 222 2334

2). 87232232 222 +=+−+++ xxxxx

Exercitii :


1). 295 - 2 22 =++ xx

2). 162132 - 22 =++++ xxxx

Puteri si Radicali


3). 36333 22 =+−++− xxxx

4). 78231523 22 =+−++− xxxx

5). ( )( ) xxxxx 24 312 3 10 −=+−+++−

6). ( )( ) xxxxx 24 312 3 1 −=+−+++−

Exercitii :


1). 12 1 - 6

1 6 −=+++++

xxx

xx

2). 122

-

1 -

- -

122

=+ xxxx

3). xxx

xx

2 - 5

1

2 - 3

2 3 =−−−+−

4). 0 , -

>=−+−++

ax

a

xaxa

xaxa

5). 12 - 1

2 - 12

12 1

2 12

−+=

−+++

x

xx

x

xx

6). 0 , 5

- - 2

- 2

4

422

22

>=+

++a

a

x

xa

xa

xa

xa

7). 3 -

1 -

- -

122

=+ xxxx xx

8). xxx xxxx

3

1 -

422

=+−++

9). 22 2 - 2

- 2

2 2

2 =+

+++

+x

x

x

x

Puteri si Radicali


Alte tipuri de ecuatii care se rezolva prin intoducerea unei necunoscute

auxiliare

Exercitii :

1). xx 3 2 54 =+

2). 03233 - 25 =+xxx

3). ( ) ( ) 0 , 3 223 23 254 >−=+ ++ axaxaxa

4). ( )( )633 325 3 36 −−=−+− xxxx

Exercitii :

1). 0352 - - 33 2 =⋅⋅ xx

2). 0 8 - 2 =⋅+ xx

3). 023 - 3 =+⋅ xxx

4). 0 12 - 5 5 4 =+++ xx

5). 0 2 - - 63 =xx

6). 2 - 4 22 1515 =++ xx xx

7). 0 1 - 3 - 4 3 =xx

Puteri si Radicali


Exercitii :

1). 0 2 - 1

- 1 =++

x

x

x

x

2). 3 1

2 - 1

=++ x

x

x

x

3). 2

5

45

1

1

4533 =

+−+

−+

x

x

x

x

4). 4 9

4 9 =

+++

x

x

x

x

Exercitii :

1). ( ) ( ) ( )( )33 23 232

2

5 22 −−=+ −− xxxx

2). ( ) ( ) ( ) ( )33 23 2 5-8 58 +=+ +− xxxx

3). ( ) ( ) 3 23 23 2422 4 4 −=+ −+ xxx

Exercitii :

1). 1 1610 145 =+−+++−+ xxxx

2). 4 11 - 11 =++++ xxxx

3). 27 5232 522 =−+++−+− xxxx

4). 1 168 143 =+−+++−+ xxxx

5). 1 122 145 =+−++−−+ xxxx

6). 1 12 12 −=−−+−+ xxxxx

7). 4 71 728 =+−+++++ xxxx

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8). 14 4914 4914 =−−+−+ xxxx

9). 2 2 - 2 =−+−− xxxx

Ecuatii de tipul :

{ } 4 , 3 unde , )( )( )( ∈=± nxhxgxf nnn

Ecuatiile de acest tip se rezolva prin ridicare la putere sau prin introducerea unor necunoscute auxiliare .

Exercitiul 1 :


1). 1 1 12 33 =−+− xx

2). ( )333 112 32 −=−+ xxx

3). ( ) ( ) ( ) ( ) 37272 - 33 23 2 =+ +−+− xxxx

4). 2 -7 1 33 =++ xx

5). 5 22 13 33 =++− xx

6). 1 3- 34 33 =−+ xx

7). 2 31-2 132 33 =−+ xx

8). 333 babxax −=+−+

9). ( ) ( ) axaxxax 3 23 2 =+ −−

Puteri si Radicali


Exercitiul 2 :


1). 333 5 1 1 xxx =−++

2). 333 32 2 1 −=−+− xxx

3). 0 3 2 1 333 =+++++ xxx

4). 333 1 13 1 −=+++ xxx

5). 3333 24 8 33 72 −+−=−+− xxxx

6). ( ) ( ) ( )( ) 7278278 33 23 2 +=+ +−+− xxxx

Exercitiul 2 :


1). 2 15 1 44 =++− xx

2). 2 1 15 44 =−−+ xx

3). 5 97 44 =+− xx

4). 2 4 2 44 =−+− xx

5). 4 15 97 44 =−+− xx

6). 1 3 2 44 =−+− xx

7). 2 2 18 44 =+−+ xx

8). ( )( ) 2 262 2 6 4 =−−+−+− xxxx

Exercitiul 2 :


1). 6 12 243 =−++ xx 2). 3 1 23 =++− xx

Puteri si Radicali


3). 1 1 23 =−+− xx

4). 2 5 33 =−+− xx

5). 7 11 3 =−+ xx

6). 2121 3 2 =++++ xxx

Ecuatii irationale cu parametru .

Exercitiu :

Rezolvati urmatoarele ecuatii in necunoscuta x , unde m este parametru real :

1). mxx −=− 12

2). 1 2 - 2 =+−+ mxx

3). mxx 3 7 =−+−

4). xxmxm 2 44 =++−

5). 12 2 +=−+ xmmxx

6). 1 2 −− = xxm

7). xxmxxmx 11 22 =−++ ++

8). mmxx =−−

Exercitiu :


1). mxx −=+ 1

Puteri si Radicali


2). ( )44

1 1 −=+ mxx

3). mxx −=+ 12

4). mxx +=− 12

5). mxxx −=+− 12

6). mxxx +=++ 122

7). mxmxx +=− 2

8). 444 1 1 xxx

mxm =+++

Exercitiu :


1). 1 2 - =++ xmx

2). ( ) ( ) xxmxxmx 2 =−+−

3). xmmxm x −=+− 222

4). ) 0 ( - 2222 22 >=−−−+ mmmmxxmmxx

Puteri si Radicali


Inecuatii irationale .

Exercitii :

Rezolvati inecuatiile :

1). 1- 2 ≥−x

2). 0 4 ≥+−x

3). 2- 3 ≤+x

4). 6 42 ≥+x

5). 4 2 −≥− xx

6). 2 8 +≤+ xx

7). 2

1

4

1 +≥− xx

8). 7353 22 +≤++− xxxx

Exercitii :


1). 0 7

12194 2<

+−

−

xx

x

Puteri si Radicali


2). 0 10

17152 2

≥−

−+xxx

3). ( ) 0 21 2 ≥−−− xxx

Exercitii :


1). 3- 3 ≥−x

2). 4 3 ≥−x

3). 1- 42 ≤+x

4). 8 2 ≤−x

5). R unde , 12 4 ∈−≥+− mmx

6). R unde , 3 2 ∈−≥− mmx

Exercitii :


1). 1- 21

2 >−−x

x

2). 1 2

13 >−−x

x

3). 132 2 <−+ xx

4). xx −>− 6 103

Exercitii :

Puteri si Radicali



1). 2 12 −<− xx

2). 3 142 +>+ xx

3). xxx −<−+ 2652 2

4). 243 2 −>−− xxx

5). xxx −>+− 112 24

Exercitii :


1). 1 1 91 2

<−−xx

2). 5 42x 9 >+++x

3). 6 15 3 <+++ xx

4). 1253753 - 22 >++++ xxxx

5). 1 2 - 1 ≤−+ xx

6). 2 4 - 3 ≥−+ xx

7). 5 5 ≤+− xx

8). 54 4-x 13 +<++ xx

Exercitii :


Puteri si Radicali


1). 3111 22 <++ xx 5). 341

1 2

<− −xx

2). ( )( ) ( ) 0 33 25 >++−+ xxxx 6). 1224

2

<−−x

xx

3). ( )( ) 9137232 2 +−− <− xxxx 7). 2 3 - 4 2 ≥+−

x

xx

4). 1 1

5 <−+x

x

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