RECAPITULARE:şiruri de numere

reale

determinarea termenilor unui Şir ce respectĂ

anumite particularitĂŢi

1) Fie şirul , având termenul general Să se determine şi

1nna

nan 26

5a 10a

2) Fie şirul , având primul termen 5 şi relaţia de recurenţă:

Să se determine termenul de rang 5, adică

1nna

321 nn aa

5a

3) Să se completeze cu încă 3 termeni fiecare şir:

• 1, 5, 9, 13, 17, ......, ......., .....

• 2, 12, 22, 32, ......, ......., .....

• 7, 9, 11, 13, ......, ......., .....

• 19, 16, 13, 10, ......, ......., .....

• 36, 31, 26, 21, ......, ......., .....

titlul lecţiei:

Progresia aritmetică

Obiectivele urmărite în lecţie:

• să poată identifica o progresie aritmetică

• să poată determina orice termen al unei progresii aritmetice, având anumite ipoteze

• să utilizeze legătura cu media aritmetică a termenilor unei progresii aritmetice

• să calculeze suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, în diverse ipoteze

Definiţie:

Un şir de numere reale în care orice termen, începând cu al doilea, se obţine din termenul precedent adunat cu acelaşi număr se numeşte progresie aritmetică.

Aşadar, progresia aritmetică este un şir definit prin relaţia de recurenţă

, unde r este un număr real fixat, numit raţie.

1nna

raa nn 1

Exemple de progresii aritmetice

• 1,2,3,4,5,... cu raţia r = 1

• -10,-5,0,5,10,15,... cu raţia r = 5

• 99,96,93,90,87,84,81,..., cu raţia r = -3

• 19,17,15,13,11,9,7,5,3,1,..., cu raţia r = -2

Proprietăţile unei progresii

aritmetice

P1) Un şir este progresie aritmetică dacă şi numai dacă orice termen începând cu al doilea este medie aritmetică a termenilor vecini lui, adică pentru n ≥ 2 avem:

1nna

211

nnn

aaa

Exemplu

Fie o progresie aritmetică pentru care avem = 17 şi = 25.

Să se afle şi raţia r.

Soluţie: Avem:

Termenii consecutivi cunoscuţi sunt:

17, 21, 25, adică r = 4.

1nna

8a 10a

9a

212

2517

2108

9

aa

a

P2) Într-o progresie aritmetică , termenul general este dat de formula:

1nna

rnaan )1(1

Exemplu

Fie o progresie aritmetică pentru care avem = 24 şi r = -5.

Să se afle

Soluţie:

1nna

1a

9a

164024)5()19(249 a

P3) Suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice este dată de formula:

1nna

2

... 1321

naaaaaaS nnn

Exemplu

Să se calculeze suma S = 2+4+6+8+...+24.

Soluţie: Avem o progresie aritmetică cu raţia

r = 2 şi cu numărul de termeni n = 12. Atunci:

156626

2

12242

S

Exerciţii orale

• 1) Care din următoarele şiruri este progresie aritmetică:

a) 7, 5, 3, 1, -1, -3, ...

b) 2, 3, 5, 6, 8, 9, ...

Exerciţii orale

2) Care este raţia unei progresii aritmetice cu

=10 şi = 151a 2a

Exerciţii orale

• 3) Să se determine x real pentru care tripletul 4, x, 12 formează o progresie aritmetică.

Muncă independentă

• Manual pag: 79 ex E3, E7 a, b

Prof: Tulvan Emilia