Probleme propuse pentru clasa a IX-a · Web viewProbleme propuse pentru Concursul de matematică...
15
Probleme propuse pentru Concursul de matematică “Adolf Haimovici” Probleme propuse pentru clasa a IX-a 1. Fie funcţia care satisface condiţiile: a) , b) , c) pentru orice , fiind o constantă reala. Se cere: 1) Să se afle valoarea lui ; 2) Să se determine şi ; 3) Să se găsească expresia funcţiei ; 4) Să se calculeze ; 5) Să se rezolve ecuaţia . Rezolvare. 1) Pentru şi din relaţia de la c) obţinem , de unde rezultă . 2) Pentru şi , din relaţia de la c) obţinem , de unde iar pentru , , , de unde . 3) Pentru şi din relaţia de la c) obţinem . Înlocuind pe cu găsim pentru orice . 4) . 5) Ecuaţia a cărei rezolvare se cere este
Transcript of Probleme propuse pentru clasa a IX-a · Web viewProbleme propuse pentru Concursul de matematică...
Probleme propuse pentru clasa a IX-a
Probleme propuse pentru Concursul de matematică “Adolf Haimovici”
Probleme propuse pentru clasa a IX-a
1. Fie
funcţia care satisface condiţiile:
a)
(
)
2007
0
=
f
,
b)
(
)
2007
2
1
×
=
f
,
c)
(
)
(
)
(
)
k
x
y
y
x
f
y
x
f
+
+
=
-
+
2
2
pentru orice
R
y
x
Î
,
,
k
fiind o constantă reala.
Se cere:
1) Să se afle valoarea lui
k
;
2) Să se determine
(
)
1
-
f
şi
(
)
2
f
;
3) Să se găsească expresia funcţiei
f
;
4) Să se calculeze
(
)
(
)
1
-
f
f
o
;
5) Să se rezolve ecuaţia
(
)
2007
2
×
=
x
f
.
Rezolvare. 1) Pentru
0
=
x
şi
1
=
y
din relaţia de la c) obţinem
k
+
=
1
2007
, de unde rezultă
2006
=
k
.
2) Pentru
2006
=
k
şi
1
-
=
x
,
1
=
y
din relaţia de la c) obţinem
(
)
(
)
2006
2
1
1
0
+
-
=
-
-
f
f
, de unde
(
)
2
1
=
-
f
iar pentru
1
=
x
,
1
=
y
,
(
)
(
)
2006
2
1
1
2
+
+
=
-
f
f
, de unde
(
)
2005
2
-
=
f
.
3) Pentru
0
=
x
şi
R
y
Î
din relaţia de la c) obţinem
(
)
y
y
y
f
2006
2007
2
+
=
-
. Înlocuind pe
y
cu
x
găsim
(
)
2007
2006
2
+
+
=
x
x
x
f
pentru orice
(
)
+¥
Î
,
0
x
.
4)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2005
2
1
1
-
=
=
-
=
-
f
f
f
f
f
o
.
5) Ecuaţia a cărei rezolvare se cere este
0
2007
2006
2
=
-
+
x
x
care are soluţiile
2007
1
-
=
x
şi
1
2
=
x
.
2. În planul paralelogramului
ABCD
se consideră
E
simetricul lui
C
faţă de
B
şi
M
un punct pe segmentul
[
]
AE
astfel încât
[
]
1
,
0
,
Î
=
a
a
AE
AM
. Fie
P
simetricul lui
M
faţă de
A
,
Q
simetricul lui
P
faţă de
B
şi
R
simetricul lui
Q
faţă de
C
.
a) Să se găsească descompunerile vectorilor
MP
şi
QR
după direcţiile vectorilor
BC
BA
,
.
b) Să se arate că patrulaterul
PMQR
este trapez şi să se afle raportul bazelor.
c) Să se arate că punctele
R
D
M
,
,
sunt coliniare.
R
R
f
®
:
Rezolvare. a) Vectorii
MP
şi
QR
se pot exprima după cum urmează.
(
)
(
)
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
-
=
+
+
=
+
=
=
A
B
BC
AM
BA
EB
ME
BA
MB
MA
MP
a
a
1
2
2
2
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
-
-
=
A
B
BC
MP
a
a
2
1
2
,
(1)
(
)
C
B
A
B
MP
+
=
a
2
,
(
)
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
+
=
+
+
+
=
=
BC
BA
MP
BA
BC
AB
MA
QM
QC
QR
2
1
2
2
2
2
(
)
(
)
BC
BA
BC
BA
MP
BC
BA
+
+
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
=
a
2
2
1
2
,
(2)
(
)
(
)
C
B
A
B
QR
+
+
=
a
1
2
.
b) Din relaţiile (1), (2) avem
(
)
QR
MP
a
a
=
+
1
, ceea ce înseamnă că vectorii
MP
şi
QR
sunt coliniari. Rezultă că patrulaterul
PMQR
este trapez şi raportul bazelor este
a
a
+
=
1
QR
MP
.
c) Exprimăm vectorii
MD
şi
MR
în funcţie de
BC
BA
,
:
(
)
BC
BA
BC
MP
AD
MA
MD
a
a
+
+
=
+
=
+
=
1
2
1
,
(
)
BC
BA
QR
AB
QR
MQ
MR
a
a
+
+
=
+
=
+
=
1
2
2
2
.
Se vede că vectorii
MD
şi
MR
sunt coliniari şi în consecinţă punctele
R
D
M
,
,
sunt coliniare.
Probleme propuse pentru clasa a X-a:
1. Fie
(
)
R
f
®
+¥
,
0
:
funcţia care satisface condiţiile:
a)
(
)
0
1
=
f
,
b)
(
)
1
2
=
f
,
c)
(
)
(
)
(
)
[
]
kx
y
x
y
x
kx
x
f
y
x
f
+
×
+
=
-
+
2
2
log
log
pentru orice
(
)
+¥
Î
,
0
,
y
x
,
k
fiind o constantă reala.
Se cere:
1) Să se afle valoarea lui
k
;
2) Să se determine
(
)
3
f
şi
(
)
4
f
;
3) Să se găsească expresia funcţiei
f
;
4) Să se arate că
(
)
(
)
(
)
x
f
f
f
x
4
2
=
o
pentru orice
(
)
+¥
Î
,
0
x
;
5) Să se rezolve ecuaţia
(
)
(
)
2007
2
15
=
-
x
f
x
f
.
Rezolvare. Relaţia de la c) se mai poate scrie
(1)
(
)
(
)
(
)
kx
y
x
x
f
y
x
f
2
2
2
2
log
log
-
+
=
-
+
1) Pentru
1
=
=
y
x
din relaţia (1) obţinem
k
2
2
2
2
log
2
log
1
-
=
, de unde rezultă
1
=
k
.
2) Pentru
1
=
k
şi
1
=
x
,
2
=
y
din relaţia (1) obţinem
(
)
3
log
3
2
2
=
f
, iar pentru
2
=
x
,
2
=
y
,
(
)
2
log
4
log
1
4
2
2
2
2
-
=
-
f
, de unde
(
)
4
4
=
f
.
3) Pentru
1
=
x
şi
(
)
+¥
Î
,
1
y
din relaţia (1) obţinem
(
)
(
)
y
y
f
+
=
+
1
log
1
2
2
. Înlocuind pe
y
cu
1
-
x
găsim
(
)
x
x
f
2
2
log
=
pentru orice
(
)
+¥
Î
,
0
x
.
4)
(
)
(
)
(
)
(
)
x
f
x
x
f
f
x
x
4
log
4
log
2
log
log
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
o
.
5) Ecuaţia se scrie succesiv
2007
log
2
log
2
2
15
2
2
=
-
x
x
,
2007
log
2
log
225
2
2
2
2
=
-
x
x
,
9
log
2
2
=
x
,
care are soluţiile
8
1
=
x
şi
8
1
2
=
x
.
2. Ştiind că
(
)
1416
,
3
,
1415
,
3
Î
p
se cer:
a) Să se arate că
a
p
-
=
639
2007
, unde
÷
ø
ö
ç
è
æ
Î
4
,
0
p
a
;
b) Să se arate că
x
x
<
sin
pentru orice
÷
ø
ö
ç
è
æ
Î
2
,
0
p
x
;
c) Să se stabilească semnele numerelor
2007
cos
şi
2007
sin
;
d) Să se compare numerele
(
)
2007
cos
cos
şi
(
)
2007
sin
sin
;
e) Să se arate că
(
)
(
)
(
)
(
)
2007
cos
cos
cos
2007
sin
sin
sin
<
.
Rezolvare: a) Avem
2007
785375
,
0
4824
,
2007
4
1415
,
3
1416
,
3
639
4
639
<
-
=
-
×
<
-
p
p
,
2007
4185
,
2007
1415
,
3
639
639
>
=
×
>
p
,
de unde rezultă relaţia de la a).
b) Reprezentând unghiul cu măsura
÷
ø
ö
ç
è
æ
Î
2
,
0
p
x
pe cercul trigonometric, aria tringhiului AOM este egală cu
x
sin
2
1
iar a sectorului de cerc AOM este egală cu
x
2
1
.
Rezultă
x
x
<
sin
.
c) Utilizând rezultatul de la a) avem
(
)
0
cos
639
cos
2007
cos
<
-
=
-
=
a
a
p
,
(
)
0
sin
639
sin
2007
sin
>
=
-
=
a
a
p
.
d) Folosim următoarele inegalităţi
(1) sin(cos x) < cos(sin x) pentru orice x
0,
2
p
éù
Î
êú
ëû
,
(2) sin(sin x) < cos(cos x) pentru orice x
0,
2
p
éù
Î
êú
ëû
,
care se obţin pe baza monotoniei funcţiilor
cos
şi
sin
şi a inegalităţii de la b)
după cum urmează :
sin(cos x) < cos x < cos(sin x),
sin(sin x) = sin(cos(
2
p
- x)) < cos(sin(
2
p
- x)) = cos(cos x).
Atunci
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
>
=
-
=
-
=
a
a
a
p
cos
cos
cos
cos
639
cos
cos
2007
cos
cos
(
)
(
)
(
)
(
)
2007
sin
sin
639
sin
sin
sin
sin
=
-
=
>
a
p
a
.
e) Pe baza inegalităţilor (1), (2) obţinem
(
)
(
)
(
)
(
)
<
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
<
=
2
2
sin
sin
4
sin
sin
sin
sin
sin
sin
2007
sin
sin
sin
p
a
(
)
(
)
(
)
(
)
2007
cos
cos
cos
cos
cos
cos
4
cos
cos
cos
2
2
cos
cos
=
<
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
<
a
p
.
Probleme propuse pentru clasa a XI-a
1. Fie
R
R
f
®
:
funcţia care satisface condiţiile:
a)
(
)
e
f
=
1
,
b)
(
)
4
2
e
f
=
,
c)
(
)
(
)
(
)
1
2
2
-
=
-
+
+
y
kxy
x
e
e
x
f
y
x
f
pentru orice
R
y
x
Î
,
,
k
fiind o constantă reala.
Se cere:
1) Să se afle valoarea lui
k
;
2) Să se determine
(
)
3
f
;
3) Să se calculeze
(
)
(
)
3
3
lim
3
-
-
®
x
f
x
f
x
;
4) Să se găsească expresia funcţiei
f
.
Rezolvare. 1) Pentru
1
=
=
y
x
din relaţia de la c) obţinem
(
)
1
1
4
-
=
-
+
k
e
e
e
e
, de unde rezultă
2
=
k
.
2) Pentru
1
=
x
şi
2
=
y
din relaţia de la c) obţinem
(
)
(
)
1
3
8
-
=
-
e
e
e
f
, de unde
(
)
9
3
e
f
=
.
3)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
-
=
-
+
=
-
-
+
®
®
®
y
e
e
y
f
y
f
x
f
x
f
y
y
y
y
x
1
lim
3
3
lim
3
3
lim
2
6
9
0
0
3
9
2
0
9
6
6
lim
e
y
y
y
e
y
=
+
=
®
.
4) Pentru
1
=
x
şi
R
y
Î
din relaţia de la c) obţinem
(
)
(
)
1
1
2
2
-
=
-
+
+
y
y
e
e
e
y
f
, adică
(
)
(
)
2
1
1
y
e
y
f
+
=
+
. Înlocuind pe
y
cu
1
-
x
găsim
(
)
2
x
e
x
f
=
pentru orice
R
x
Î
.
2. Fie M =
{
}
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
Î
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
2007
,
2006
,
,
1
1
1
1
1
c
b
a
c
a
b
a
.
a) Câte elemente are mulţimea M ?
b) Câte matrice din mulţimea M sunt inversabile?
c) Dacă
Î
A
M este o matrice inversabilă să se determine inversa ei..
d) Care este matricea din mulţimea M al cărei determinant are valoarea cea mai mare?
e) Care este matricea din mulţimea M al cărei determinant are valoarea cea mai mică?
Rezolvare: a) Fiecare dintre parametrii
c
b
a
,
,
poate lua 2 valori şi astfel mulţimea M are 8 elemente.
b) Dacă
Î
A
M , atunci
(
)
(
)
b
c
a
A
-
-
=
1
det
.
Cum pentru
{
}
2007
,
2006
Î
=
b
c
şi
{
}
2007
,
2006
Î
a
avem
0
det
=
A
rezultă că mulţimea M are 4 matrice inversabile.
c) Dacă
Î
A
M este o matrice inversabilă, avem
c
b
¹
,
(
)
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
-
-
-
-
-
=
*
1
1
0
1
1
a
a
b
c
c
b
a
b
c
a
b
c
a
A
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
-
b
c
c
b
b
c
a
b
b
c
a
c
a
b
c
a
a
b
b
c
a
c
a
a
a
A
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
.
d) Cea mai mare valoare a lui
A
det
se obţine pentru
2007
,
2006
,
2007
=
=
=
c
b
a
.
e) Cea mai mică valoare a lui
A
det
se obţine pentru
2006
,
2007
,
2007
=
=
=
c
b
a
.
Probleme propuse pentru clasa a XII-a:
1. Pe mulţimea
{
}
3
,
2
,
1
,
0
=
M
se consideră legea de compoziţie “
*
“ definită prin relaţia
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
=
*
2
y
x
x
y
x
, unde
[
]
semnifică partea întreagă.
a) Să se arate că
ï
î
ï
í
ì
+
+
+
=
*
diferite
paritati
au
si
daca
,
2
1
,
paritate
aceiasi
au
si
daca
,
2
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
pentru orice
M
y
x
Î
,
.
b) Să se întocmească tabla legii de compoziţie “
*
“ pe mulţimea
M
.
c) Să se stabilească dacă legea de compoziţie “
*
“ admite element neutru pe mulţimea
M
.
d) Să se stabilească dacă legea de compoziţie “
*
“ este comutativă.
e) Să se arate că legea de compoziţie “
*
“ nu este asociativă.
f) Să se rezolve în mulţimea
M
ecuaţia
2
2
=
*
x
.
Rezolvare: a) Dacă
x
şi
y
au aceiaşi paritate atunci
2
y
x
-
este număr par şi
2
2
y
x
y
x
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
. Prin calcul găsim
2
y
x
y
x
+
=
*
. Dacă
x
şi
y
au parităţi diferite atunci
2
y
x
-
este număr impar şi
2
1
2
2
-
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
y
x
y
x
. Prin calcul găsim
2
1
+
+
=
*
y
x
y
x
.
b) Tabla legii de compoziţie este
*
0
1
2
3
0
0
1
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
2
3
3
2
2
3
3
c) Din tabla legii de compoziţie se vede că aceasta nu admite element neutru.
d) Tabla legii de compoziţie este simetrică faţă de diagonala principală ceea ce înseamnă că legea ” * ” este comutativă.
c) Pentru elementele
M
Î
3
,
2
,
1
avem
(
)
3
3
2
3
2
1
=
*
=
*
*
şi
(
)
2
3
1
3
2
1
=
*
=
*
*
ceea ce arată că legea ” * ” este nu este asociativă.
d) Din tabla legii de compoziţie se vede că ecuaţia
2
2
=
*
x
are soluţiile
2
,
1
2
1
=
=
x
x
.
2. Se consideră funcţia continuă
(
)
{
}
ï
î
ï
í
ì
Î
Î
=
®
0
,
0
,
0
\
,
1
cos
,
:
x
R
x
x
x
x
g
R
R
g
şi fie
R
R
G
®
:
o primitivă a lui
g
. Definim funcţia
(
)
(
)
{
}
(
)
ï
î
ï
í
ì
=
-
Î
-
=
®
.
0
,
0
2
,
0
\
,
2
1
cos
,
:
2
x
G
R
x
x
G
x
x
x
F
R
R
F
a) Să se arate că funcţia
F
este contină pe
R
.
b) Să se arate că funcţia
F
este derivabilă pe
R
.
c) Să se arate că
F
este o primitivă a funcţiei
(
)
{
}
ï
î
ï
í
ì
=
Î
=
®
.
0
0
,
0
\
,
1
sin
,
:
x
R
x
x
x
f
R
R
f
Rezolvare: a) Funcţia
G
fiind o primitivă a lui
,
:
R
R
g
®
este contină pe
R
. În baza operaţiilor cu funcţii continue rezultă că
F
este contină pe
{
}
0
\
R
. În 0 avem
(
)
(
)
(
)
0
0
2
lim
0
F
G
x
F
x
=
-
=
®
ceea ce înseamnă că
F
este contină în 0. În consecinţă
F
este contină pe
R
.
b) Funcţia
G
fiind o primitivă a lui
,
:
R
R
g
®
este derivabilă pe
R
. Mai departe, pentru
{
}
0
\
R
x
Î
avem
(
)
(
)
x
x
G
x
x
x
x
F
1
sin
2
1
sin
1
cos
2
=
¢
-
+
=
¢
iar
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
-
=
-
=
¢
®
®
x
G
x
G
x
x
x
F
x
F
F
x
x
0
2
2
1
cos
lim
0
lim
0
2
0
0
(
)
(
)
(
)
0
0
2
0
lim
2
1
cos
lim
0
2
0
=
¢
-
=
-
-
=
®
®
G
x
G
x
G
x
x
x
x
.
În consecinţă
F
este derivabilă pe
R
.
c) De la b) se vede că
(
)
(
)
R
x
x
f
x
F
Î
=
¢
,
ceea ce înseamnă că
F
este o primitivă a funcţiei
f
.
3. Fie
R
R
f
®
:
funcţia care satisface condiţiile:
a)
(
)
e
f
=
1
,
b)
(
)
4
2
e
f
=
,
c)
(
)
(
)
(
)
1
2
2
-
=
-
+
+
y
kxy
x
e
e
x
f
y
x
f
pentru orice
R
y
x
Î
,
,
k
fiind o constantă reala.
Se cere:
1) Să se afle valoarea lui
k
;
2) Să se determine
(
)
3
f
şi
(
)
3
f
¢
;
3) Să se găsească
(
)
x
f
¢
pentru orice
R
x
Î
;
4) Să se găsească expresia funcţiei
f
.
Rezolvare. 1) Pentru
1
=
=
y
x
din relaţia de la c) obţinem
(
)
1
1
4
-
=
-
+
k
e
e
e
e
, de unde rezultă
2
=
k
.
2) Pentru
1
=
x
şi
2
=
y
din relaţia de la c) obţinem
(
)
(
)
1
3
8
-
=
-
e
e
e
f
, de unde
(
)
9
3
e
f
=
.
Din definiţia derivatei într-un punct avem
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
9
2
0
9
6
9
0
0
3
6
6
lim
1
lim
3
3
lim
3
3
lim
3
2
e
y
y
y
e
y
e
e
y
f
y
f
x
f
x
f
f
y
y
y
y
y
x
=
+
=
-
=
-
+
=
-
-
=
¢
®
+
®
®
®
.
3) Într-un punct oarecare
R
x
Î
0
avem
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
0
2
0
2
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
0
0
0
0
3
0
2
2
lim
1
lim
lim
lim
x
y
x
y
y
x
x
y
y
x
e
x
y
y
y
x
e
y
e
e
y
x
f
y
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
=
+
=
-
=
-
+
=
-
-
=
¢
®
+
®
®
®
şi deci
(
)
2
2
x
xe
x
f
=
¢
pentru orice
R
x
Î
.
4) Funcţia
f
este primitive lui
f
¢
care în 1 ia valoarea
e
. Se obţine
(
)
2
x
e
x
f
=
pentru orice
R
x
Î
.
Păpară Nicolae
Grupul Şcolar Industrial de Transporturi Căi Ferate Sibiu
_1230223571.unknown
_1230292670.unknown
_1230294098.unknown
_1230634730.unknown
_1230883689.unknown
_1230885040.unknown
_1230885631.unknown
_1230886155.unknown
_1231169650.unknown
_1234453323.unknown
_1230887184.unknown
_1230887483.unknown
_1230887694.unknown
_1230887783.unknown
_1230887278.unknown
_1230886712.unknown
_1230886732.unknown
_1230885915.unknown
_1230885460.unknown
_1230885530.unknown
_1230885553.unknown
_1230885290.unknown
_1230884886.unknown
_1230884932.unknown
_1230883703.unknown
_1230883349.unknown
_1230883490.unknown
_1230883553.unknown
_1230883423.unknown
_1230882388.unknown
_1230882977.unknown
_1230883319.unknown
_1230883009.unknown
_1230882435.unknown
_1230882893.unknown
_1230882134.unknown
_1230294480.unknown
_1230488170.unknown
_1230488230.unknown
_1230489078.unknown
_1230624572.unknown
_1230488684.unknown
_1230294588.unknown
_1230487996.unknown
_1230488115.unknown
_1230294587.unknown
_1230294233.unknown
_1230294351.unknown
_1230294227.unknown
_1230293062.unknown
_1230293676.unknown
_1230294005.unknown
_1230294065.unknown
_1230293911.unknown
_1230293550.unknown
_1230293574.unknown
_1230293513.unknown
_1230293539.unknown
_1230292937.unknown
_1230293031.unknown
_1230293048.unknown
_1230293006.unknown
_1230292876.unknown
_1230292906.unknown
_1230292794.unknown
_1230292430.unknown
_1230292512.unknown
_1230292610.unknown
_1230292634.unknown
_1230292563.unknown
_1230292459.unknown
_1230292476.unknown
_1230288465.unknown
_1230289942.unknown
_1230290418.unknown
_1230291094.unknown
_1230291760.unknown
_1230291935.unknown
_1230292018.unknown
_1230292044.unknown
_1230291894.unknown
_1230291131.unknown
_1230291585.unknown
_1230291120.unknown
_1230290737.unknown
_1230291028.unknown
_1230290586.unknown
_1230290251.unknown
_1230290378.unknown
_1230290119.unknown
_1230288728.unknown
_1230289226.unknown
_1230289377.unknown
_1230289139.unknown
_1230288511.unknown
_1230288648.unknown
_1230288483.unknown
_1230228233.unknown
_1230228381.unknown
_1230285675.unknown
_1230286331.unknown
_1230288438.unknown
_1230286596.unknown
_1230287830.unknown
_1230287953.unknown
_1230286708.unknown
_1230286752.unknown
_1230286847.unknown
_1230286686.unknown
_1230286483.unknown
_1230286052.unknown
_1230286098.unknown
_1230230262.unknown
_1230230844.unknown
_1230231705.unknown
_1230232347.unknown
_1230232419.unknown
_1230232514.unknown
_1230232596.unknown
_1230232368.unknown
_1230231757.unknown
_1230231409.unknown
_1230231428.unknown
_1230230972.unknown
_1230230989.unknown
_1230231120.unknown
_1230230909.unknown
_1230230604.unknown
_1230230765.unknown
_1230230362.unknown
_1230229978.unknown
_1230230037.unknown
_1230228921.unknown
_1230228271.unknown
_1230227936.unknown
_1230227605.unknown
_1230143874.unknown
_1230144523.unknown
_1230145859.unknown
_1230151595.unknown
_1230151856.unknown
_1230222332.unknown
_1230223205.unknown
_1230223213.unknown
_1230222604.unknown
_1230153678.unknown
_1230220340.unknown
_1230222275.unknown
_1230153798.unknown
_1230151963.unknown
_1230153457.unknown
_1230153509.unknown
_1230153567.unknown
_1230151997.unknown
_1230151877.unknown
_1230151671.unknown
_1230151818.unknown
_1230151533.unknown
_1230151575.unknown
_1230151555.unknown
_1230146298.unknown
_1230151474.unknown
_1230146409.unknown
_1230146266.unknown
_1230145253.unknown
_1230145500.unknown
_1230145526.unknown
_1230145288.unknown
_1230144819.unknown
_1230145156.unknown
_1230144536.unknown
_1230144276.unknown
_1230124659.unknown
_1230138446.unknown
_1230140031.unknown
_1230140350.unknown
_1230140400.unknown
_1230140085.unknown
_1230138524.unknown
_1230125116.unknown
_1230125695.unknown
_1230125714.unknown
_1230124787.unknown
_1230123736.unknown
_1230123972.unknown
_1230124156.unknown
_1230124279.unknown
_1230124495.unknown
_1230124237.unknown
_1230124094.unknown
_1230123879.unknown
_1224619388.unknown
_1230123593.unknown
_1224619693.unknown
_1224619762.unknown
_1224619648.unknown
_1224619035.unknown
_1224619370.unknown
_1167489359.unknown
_1167484429.unknown
![[] A-Hristev-Probleme-de-fizica-pentru-clasele-IX-X (1).pdf](https://static.fdocumente.com/doc/165x107/577c7e991a28abe054a1c3b0/wwwfisierulmeuro-a-hristev-probleme-de-fizica-pentru-clasele-ix-x-1pdf.jpg)
