Probleme de Oscilatii
-
Upload
andreea-emy -
Category
Documents
-
view
213 -
download
0
Transcript of Probleme de Oscilatii
-
8/13/2019 Probleme de Oscilatii
1/8
Probleme de oscilaii mecanice
1. S se determine raportul frecvenelor proprii de vibraie 0 i 0 n cazul a doumolecule biatomice compuse din atomi de izotopi diferii, dac masele atomilor sunt
egale cu 1m , 2m i respectiv 1m i 2m .ezolvare!cuaia micrii oscilatorii armonice neamortizate este"
0d
d 202
2
=+ xt
x
n carem
k=0 este frecvena ung#iular proprie de vibraie a oscilatorului de mas mi
constant elastic k.Pentru o molecul biatomic micarea oscilatorie a celor doi atomi cu masele 1m i
2m
este ec#ivalent cu micarea unui singur oscilator cu masa
, cunoscut sub numele demas redus, care are valoarea"
21
21
mm
mm
+=
$a urmare, pentru cele dou molecule, pulsaiile proprii sunt"
k=0 %
= k
0
&eoarece atomii celor doi izotopi interacioneaz n acelai mod, se poate consideraegalitatea kk = i raportul pulsaiilor proprii ale celor dou molecule biatomice devine"
21
21
21
21
0
0
mm
mm
mm
mm
+
+
=
2. 'n corp av(nd masa )g1=m este at(rnat de captul unui fir ine*tensibil. Se
imprim pendulului o micare n plan vertical cu amplitudinea ung#iular+
= i
perioada s2
=T . S se calculeze" a viteza ma*im atins n timpul oscilaiei% b
raportul dintre energia cinetic i energia potenial n punctul de elongaie-
1
= .
S se scrie ecuaia de micare a pendulului i soluia acesteia.
+. 'n oscilator sinusoidal e*ecut o micare a crei elongaie este
m.+
1,0sin./
+= tx , n care timpul se msoar n secunde. S se determine" a
condiiile iniiale% b poziia, viteza i acceleraia oscilatorului la momentul de timps=t .
/. particul oscileaz sinusoidal cu perioada s2=T . a momentul iniial 0=t particula are viteza nul, iar la momentul s,0=t viteza este egal cu m3s . Sse scrie ecuaia de micare a particulei i legea de micare.
1
-
8/13/2019 Probleme de Oscilatii
2/8
. 'n automobil are caroseria suspendat pe patru resorturi amortizoare, care npoziia de repaus a automobilului au fiecare deformaia liniar m104 2=l .5utomobilul se deplaseaz pe o strad al crui profil este asimilabil cu o sinusoid cu
perioada de 10 m. S se afle viteza critic a ve#iculului.ezolvare
a ec#ilibru greutatea caroseriei este egal cu fora elastic dezvoltat n resoarte"lkMg =
5stfel, perioada de oscilaie a resoartelor este"
g
l
k
MT
===
22
2
Strada acioneaz asupra resoartelor cu o for sinusoidal. &ac automobilul se deplaseazcu viteza v, perioada forei sinusoidale e*T este dat de relaia"
v
dT =e*
unde d6 10 m.
7iteza este critic la rezonan, atunci c(nd"e*TT=
&in aceast egalitate se obine"
g
l
v
d = 2 i
#
)m8,-+
2=
=
l
gdv
.
-. serie de e*periene efectuate cu un resort 5, suspendat i de mas negli9abil, audus la urmtoarele rezultate"
:asa at(rnatde captul liber
al resortului)g
5lungirearesortului
m
1 1/ +102 2; 210+ /+, 210/ 4 210
a S se afle care este perioada de oscilaie a corpului cu masa de 2 )g suspendat lae*tremitatea acestui resort.
b Se introduce ntre resortul 5 i corpul cu masa de 2 )g un al doilea resort 4,-8
102;
4,;225
=
=
=
= l
mg
l
Fk
deoarece alungirea l la ec#ilibru a resortului sub aciunea masei meste dat de ec#ilibruldintre fora elastic i greutatea corpului suspendat 0=+GF
2
-
8/13/2019 Probleme de Oscilatii
3/8
Perioada de oscilaie a corpului de mas msuspendat de resort este dat de relaia"
s08,1225
=
==g
l
k
mT
b 5lungirea total a celor dou resorturi sub aciunea greutii gm este egal cu sumaalungirilor a celor dou resorturi"
-
8/13/2019 Probleme de Oscilatii
4/8
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
T[
s]
m [kg]
8. 5cul unui galvanometru oscileaz n 9urul diviziunii zero. ?n dou oscilaii succesive
av(nd acelai sens, acul atinge diviziunile 1d i 2d , cu 21 dd > . &eterminaideviaia acului la cea de a n@a oscilaie. 5plicaie numeric" +01 =d , 242 =d ,10=n .
4. particul cu masa )g10 +=m se mic pe a*a A sub aciunea a dou fore"una elastic proporional cu elongaia yF 21 10/
= i cealalt o for de
amortizare proporional cu vitezat
yF
d
d102 22
= , ambele fore fiind e*primate n
neBton. Presupun(nd c la momentul iniial 0=t particula se afl n repaus npunctul m2,00 =y , s se determine legea de micare ( )ty a particulei.
;. 'n corp efectueaz o micare oscilatorie amortizat de@a lungul a*ei A. Perioadamicrii este s2=T , iar decrementul logaritmic este ,0= . Ctiind c la momentuliniial 0=t , 00 =y i m3s10 =v , s se determine" a legea de micare ( )ty % becuaia curbelor e*poneniale pe care se afl poziiile e*treme ale corpului.
10. S se determine decrementul logaritmic al unei micri oscilatorii amortizate pentrucare"a 5mplitudinea micrii se reduce la 9umtate dup fiecare perioad.
b 5mplitudinea micrii se reduce la100
1din amplitudinea iniial dup /+ de
perioade.c Dn ipoteza a s se calculeze diferena ntre perioada micrii amortizate i perioadamicrii fr amortizare.
ezolvarescilaiile unui punct material sunt n realitate amortizate din urmtorul motiv" dac
un punct material se afl n micare, atunci apar fore care se opun micrii i care tind s@lopreasc. astfel de for ia natere n urma frecrii cu mediul n care se produce micarea.$(nd punctul material se mic cu o vitez relativ mic ntr@un mediu rezistent, fora defr(nare este proporional n fiecare moment cu viteza punctului material. Pentru micri cu
viteze mari, fora de fr(nare depinde n alt mod de viteza punctului material.S considerm cazul c(nd fora de fr(nare este proporional cu viteza, adic"
vrF =E
/
-
8/13/2019 Probleme de Oscilatii
5/8
n care reste o constant pozitiv de proporionalitate care se numete rezistena mediului.Semnul minus arat c EF este o for de fr(nare orientat n sens invers vitezei punctuluiaflat n micare. $onsider(nd micarea unidimensional, pe direcia *, fora de fr(naredevine"
t
xrFd
dE =
Prin urmare, presupunem c punctul material de mas mse mic sub aciunea forei
elastice xkF = i a forei de fr(naret
xrFd
dE = . !cuaia micrii va fi"
EFFam += adic
t
xrxk
t
xm
d
d
d
d2
2
=
sau
0
d
d
d
d2
2
=++ xkt
xr
t
xm
&ac notm"
2=m
r% 20=
m
k
ecuaia micrii devine"
0d
d2
d
d 202
2
=++ xt
x
t
x
&ac 0202
-
8/13/2019 Probleme de Oscilatii
6/8
=
=
== 1
1
12112
112
2
0
0022
00
0
TTT
11. 'n corp de mas g20=m e*ecut o micare oscilatorie amortizat cu factorul de
amortizare @1s84,0= . Perioada oscilaiilor neamortizate este s+
20 =T .
scilaiile corpului devin forate ca urmare a aciunii unei fore periodice de forma"tF 2sin1,0= >. S se scrie ecuaia oscilaiilor forate.
12. 'n resort sub form de spiral este plasat ntr@un lic#id. a e*tremitatea sa este fi*atun corp cu masa )g1=m i se constat c la ec#ilibru resortul se alungete cu 0,2m. Pun(nd corpul n micare pe vertical se constat c dup 10 oscilaii completeamplitudinea de oscilaie s@a redus la 0,1 din valoarea sa iniial. S se determineamplitudinea oscilaiilor corpului supus aciunii unei fore sinusoidale a crei valoarema*im este 1 > i a crei frecven este egal cu cea de rezonan.
ezolvareDn acest caz ecuaia diferenial a micrii oscilatorii ntreinute este"
tm
Fx
t
x
t
x1
2
02
2
sind
d2
d
d =++
n carem
r
2= i
m
k=20 .
Soluia acestei ecuaii este"( ) ( ) ( )
11
@ sinsine +++= tBtAtx t
unde22
0 =
.&up un interval de timp destul de lung de la nceputul micrii, 0e@ t i primul termenal soluiei ecuaiei devine negli9abil, a9ung(ndu@se la un regim permanent descris de ecuaia"
( ) ( )11sin += tBtx
?mpun(nd condiia ca aceast e*presie s fie o soluie a ecuaiei difereniale a micrii,rezult c"
( ) 21
222
1
2
0 / +=
m
FB
Dn cazul de fa, la rezonan 01 = , astfel c"
02 m
F
B =
$onstanta de elasticitate a resortului se obine din condiia de ec#ilibru" lkmg = , adic"
m
>/;
2,0
4,;1=
=
=
l
mgk
iar pulsaia proprie a corpului este"
s
rad8
0 ==m
k
&ecrementul logaritmic al micrii este"
10ln10e
lnln010@
10
0
0
==== TA
A
A
AT
astfel c"
-
-
8/13/2019 Probleme de Oscilatii
7/8
2-,010
10ln
210
10ln 0
0
===
T
Dnlocuind n e*presia amplitudiniiBa oscilaiilor corpului supus aciunii forei sinusoidale seobine"
m24,082-,012
1
==B .
1+. 5supra unui corp de mas )g2=m legat de un resort caracterizat prin constanta deelasticitate >3m+2=k acioneaz o for e*terioar constant >2=F . S se scrielegea de micare a oscilaiilor ntreinute ( )ty , tiind condiiile iniiale" 0=t ,00 =y , 00 =v .
1/. 'n sistem mecanic care e*ecut o micare oscilatorie ntreinut se numeterezonator, iar sistemul care imprim fora periodic se numete e*citator.a S se scrie e*presia puterii medii absorbite de rezonator de la e*citator n regim de
rezonan.b S se afle valoarea ma*im a puterii medii absorbite de rezonator n cazul n careamplitudinea forei sinusoidale e*citatoare este F 6 10 >, iar viteza ma*im a
rezonatorului estes
m1=v .
ezolvarea S considerm cazul cel mai frecvent nt(lnit n practic, cel n care rezonatorul esteamortizat de o for proporional cu viteza acestuia. !cuaia diferenial a micriirezonatorului va fi"
tFxkt
xr
t
xm 12
2
sind
d
d
d=++
5ceast ecuaie mai poate fi scris sub forma"
tFtvkvrt
vm 1sindd
d=++
$um n regim permanent vezi problema 20 micarea este sinusoidal i de pulsaie 1 ,viteza instantanee n condiia de rezonan se poate scrie"
( ) = tVv1
sin
&e aici rezult.
( )
+=
+==
2sin
2sincos
d
d111111 tVtVtV
t
v
i( )
+=
+===
2sin
2sincosd 1
1
1
1
1
1
tV
tV
tV
tvx
?ntroduc(nd aceste e*presii n ecuaia micrii rezonatorului se poate afla defaza9ul dintrevitez i fora e*terioar periodic, precum i valoarea ma*im 7 a vitezei rezonatorului.valoarea medie a puterii absorbite de rezonator de la e*citator este dat de relaia"
=T
tvfT
P0
d1
unde tFf 1sin= este valoarea instantanee a forei e*citatoare, iar v este vitezainstantanee a rezonatorului. Prin urmare"
( ) ( ) ttVtFT
PT
dsinsin1
1
0
1 =
8
-
8/13/2019 Probleme de Oscilatii
8/8
Fransform(nd produsul de sinusuri n diferen de cosinusuri, obinem"
=
=TT
VFt
t
T
VFt
T
VFP
0
1
0
cos2
d2
2cosdcos
2
1
b 7aloarea ma*im a puterii medii absorbite de rezonator se obine pentru un defaza9 0=
i este"VFP =
2
1ma*
i valoarea sa numeric este" G1102
1ma* ==P .
1. 'n corp av(nd masa g100=m este legat de un resort i se deplaseaz pe un planorizontal fr frecare. a distana cm11 =x fa de poziia de ec#ilibru fora dinresort are valoarea >01,01 =F . Se introduce sistemul corp@resort ntr@un lic#id ncare fora de frecare este proporional cu viteza. a viteza cm3s1=v fora defrecare are valoarea m>/=frF . S se calculeze pulsaia micrii oscilatorii nlic#id i decrementul logaritmic.
1-. 'n corp cu masa g100=m at(rn de un resort. &ac este tras n 9os cu 10 cm fade poziia de ec#ilibru i este lsat liber, corpul oscileaz cu perioada s2=T . a$alculai viteza cu care corpul trece prin poziia de ec#ilibru% b calculai constantaelastic a resortului.
18. for de -0 > alungete un resort cu +0 cm. &e resort se at(rn un corp cu masa)g/=m care a9unge n ec#ilibru. $orpul este apoi tras n 9os cu 10 cm i este lsat
liber. S se calculeze" a perioada micrii% b energia total a sistemului% c ce for
e*ercit resortul asupra corpului, atunci c(nd acesta se afl la + cm sub poziia deec#ilibru, mic(ndu@se n sus=
14. 'n corp de mas g20=m e*ecut o micare oscilatorie amortizat cu factorul deamortizare @1s8,0= . Perioada oscilaiilor neamortizate este s20 =T . S secalculeze" a pulsaiile micrilor neamortizat i amortizat% b constanta elastic aresortului% decrementul logaritmic% d scriei ecuaia de micare i legea de micare
pentru aceast micare oscilatorie amortizat.
4