Anca Croitoru Marius Durea Cristian Vaideanu

Probleme de Analiza MatematicaI - Calcul Diferential ın R

Referenti stiintifici:

Prof.dr. Eugen Popa,

Universitatea ”Al.I. Cuza” Iasi

Prof.dr. Constantin Zalinescu,

Universitatea ”Al.I. Cuza” Iasi

Profesorilor nostri

Cuprins

Prefata vii

1 MULTIMI. RELATII. FUNCTII 1

Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 SIRURI DE NUMERE REALE 64

Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3 SERII NUMERICE 116

Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4 LIMITE DE FUNCTII. CONTINUITATE 176

Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5 FUNCTII DERIVABILE 225

Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

6 SIRURI SI SERII DE FUNCTII 272

Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

v

vi

Note istorice 333

Bibliografie 340

Index 342

Prefata

Aceasta culegere de probleme este prima dintr-o serie de trei volumecare ınsotesc cursurile de Analiza Matematica oferite ın primii doi ani aiFacultatii de Matematica din Universitatea ”Al.I. Cuza” Iasi. Primul volumurmareste programa cursului de Calcul Diferential din primul semestru alanului I si se adreseaza nu numai studentilor de la facultatile de Matema-tica, dar si celor din primii ani ai facultatilor care ofera cursuri de AnalizaMatematica.

Problemele sunt culese dintr-o variata bibliografie sau sunt propuse decatre autori. Unele probleme au fost propuse la diverse concursuri scolaresau studentesti, la concursuri de definitivat, gradul al II-lea sau titularizaredin ınvatamantul preuniversitar, aceasta carte adresandu-se ın egala masuraelevilor de liceu si cadrelor didactice.

Culegerea cuprinde sase capitole: Multimi. Relatii. Functii, Siruri denumere reale, Serii numerice, Limite de functii. Continuitate, Functii de-rivabile, Siruri si serii de functii, urmate de cateva note istorice. Fiecarecapitol este structurat ın trei parti. La ınceput sunt prezentate doar enunturiale definitiilor si teoremelor ce se refera la subiectul respectiv. Partea a douacontine diverse exercitii si probleme, iar ın ultima parte sunt oferite solutii,indicatii si, acolo unde este posibil, mai multe variante de rezolvare. Uneleprobleme sunt lasate ca teme ın seama cititorului. Teoria prezentata nu esteexhaustiva - pentru completari si demonstratii se pot consulta Precupanu[17], Popa [16] sau Siretchi [20], iar ın rezolvarea unora din problemele pre-zentate, manualele de liceu sunt de un real, pretios, indicat si indispensabilajutor.

Dorim sa multumim doamnei profesor dr. Anca Maria Precupanu, dom-nului profesor dr. Eugen Popa si domnului profesor dr. Constantin Zalinescupentru rabdarea si atentia deosebita cu care au citit aceasta carte, pentruobservatiile pertinente si discutiile utile purtate pe marginea continutului,

viii

precum si pentru variantele de rezolvare oferite la unele probleme.De asemenea multumim doamnei cercetator dr. Cristina Stamate pentru

sugestiile interesante aduse la rezolvarea unor probleme.In sfarsit, multumim doamnei Luminita Teodorescu pentru munca in-

spirata depusa ın tehnoredactare, familiilor si prietenilor pentru ıntregulsprijin.

Autorii

Bibliografie

[1] Arama L., Morozan T. – Culegere de probleme de calcul diferentialsi integral, vol. I, Editura Tehnica, Bucuresti, 1964.

[2] Batinetu D.M. – Siruri, Editura Albatros, Bucuresti, 1979.

[3] Bourbaki N. – Elements de mathematique, Paris, 1954-1961.

[4] Bucur Gh., Campu E., Gaina S. – Culegere de probleme de calculdiferential si integral, vol. II, Editura Tehnica, Bucuresti, 1966.

[5] Campan F. – Din istoria catorva numere de seama, Editura Alba-tros,Bucuresti, 1973.

[6] Campan F. – Povestiri despre probleme celebre, Editura Albatros, Bu-curesti, 1987.

[7] Costinescu O. – Elemente de topologie generala, Editura Tehnica,Bucuresti, 1969.

[8] Costinescu O., Amihaesei C., Bırsan T. – Topologie generala. Pro-bleme, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1974.

[9] Gelbaum B.R., Olmsted J.M.H. – Contraexemple ın analiza, Edi-tura Stiintifica, Bucuresti, 1973.

[10] Iaglom A.M., Iaglom J.M. – Probleme neelementare tratate elemen-tar, Bucuresti, 1962.

[11] Macovei E. – Metode de constructie pentru corpul numerelor reale,Editura Universitatii ”Al.I. Cuza”, Iasi, 1982.

340

341

[12] Marcus S. – Notiuni de analiza matematica, Editura Stiintifica, Bu-curesti, 1967.

[13] Papuc D.I. – Universul matematic al civilizatiei umane, Editura Ma-rineasa, Timisoara, 2003.

[14] Popa E. – Probleme de Analiza Matematica pentru clasele a XI-a si aXII-a, Editura Moldova, Iasi, 1993.

[15] Popa E. – Introducere ın teoria functiilor de o variabila complexa,Editura Universitatii ”Al.I. Cuza” Iasi, 1997.

[16] Popa E. – Analiza I: calcul diferential pentru functii de o variabilareala, http://www.math.uaic.ro/˜epopa.

[17] Precupanu A.M. – Bazele Analizei Matematice, Editura Universitatii”Al.I. Cuza”, Iasi, 1993.

[18] Precupanu A.M., Florescu L., Blendea Gh., Cuciureanu M. –Spatii metrice. Probleme, Editura Universitatii ”Al.I. Cuza”, Iasi, 1990.

[19] Schoenberg I.J. – Privelisti Matematice, Editura Tehnica, Bucuresti,1989.

[20] Siretchi Gh. – Calcul diferential si integral, vol. I, II, EdituraStiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1985.

[21] Tamas V., Leoreanu V. – Curs de Aritmetica, Matrix Rom, Bu-curesti, 2002.

[22] Vasilache S. – Elemente de teoria multimilor si a structurilor alge-brice, Editura Academiei Romane, 1956.

Index

Aaderenta, 177asimptota oblica, 182asimptota orizontala, 182asimptota verticala la dreapta, 183asimptota verticala la stanga, 183

Bbila deschisa, 176bila ınchisa, 176

Ccardinal, 14clasa de echivalenta, 7contraimagine, 4convergent punctual, 272, 276convergent simplu, 272, 276convergent uniform, 272, 276criteriul

de comparatie cu limita, 120de comparatie de specia a II-a, 119de comparatie de specia I, 119Abel, 122, 277Cauchy

de condensare, 120de convergenta uniforma, 273, 276

Dini, 274Dirichlet, 122, 277Gauss, 122Leibniz, 123, 277Raabe-Duhamel, 121Weierstrass, 276majorarii, 180, 274raportului cu limita, 121raportului cu limite extreme, 121raportului cu marginire, 121radacinii cu limita, 120

radacinii cu limita superioara, 120radacinii cu marginire, 120

Dderivare termen cu termen a unei serii de

functii, 278derivare termen cu termen a unui sir de functii,

274derivata, 225derivata la dreapta, 225derivata la stanga, 225dezvoltabila ın serie de puteri

ın serie Maclaurin, 283ın serie Taylor, 283

diametrul unei multimi, 179

Eelement maximal, 8element minimal, 8

Fformula lui Taylor

cu restul lui Lagrange, 229cu restul lui Peano, 228

frontiera unei multimi, 178functie

analitica, 283bijectiva, 5continua, 184continua la dreapta, 185continua la stanga, 185crescatoare, 12cu proprietatea lui Darboux, 187de clasa Cn, 230de clasa C∞, 230derivabila, 225derivabila la dreapta, 225

342

343

derivabila la stanga, 225descrescatoare, 12diferentiabila, 229injectiva, 5inversabila, 5lipschitziana, 187monotona, 12periodica, 13strict crescatoare, 12strict descrescatoare, 12strict monotona, 12surjectiva, 5uniform continua, 187

Hhomeomorfism, 188

Iinfimum, 8interiorul unei multimi, 177

Iınchidere, 177

Llimita

inferioara a sirului, 66superioara a sirului, 66la dreapta a unei functii, 179la stanga a unei functii, 179unei functii, 179unui sir, 65

Mmajorant, 7margine inferioara, 8margine superioara, 8maximum, 8minimum, 8minorant, 7multime

a numerelor reale, 8cel mult numarabila, 15compacta, 178de convergenta, 272, 276derivata, 178deschisa, 176finita, 14

infinita, 15ınchisa, 176majorata, 7marginita, 8minorata, 7numarabila, 15

multimi echipotente, 14multimi cardinal echivalente, 14

Ooscilatie, 196

Pperioada a unei functii, 13polinom Taylor, 229prelungirea prin continuitate, 186produsul Cauchy al doua serii, 124, 282proprietatea lui Arhimede, 11punct

aderent, 177de acumulare, 178de acumulare la dreapta, 179de acumulare la stanga, 179de convergenta, 272, 276de discontinuitate de specia a II-a, 186de discontinuitate de specia I, 186de maxim absolut (sau global), 226de maxim local, 226de minim absolut (sau global), 226de minim local, 226

puterea continuului, 16

Rregula lui L′Hospital, 227relatie

antisimetrica, 7de echipotenta, 14de echivalenta, 7de ordine, 7reflexiva, 7simetrica, 7totala, 7tranzitiva, 7

restul lui Lagrange, 229restul lui Peano, 229

Sserie

344

absolut convergenta, 123alternata, 123armonica, 117armonica generalizata, 117binomiala, 283convergenta, 116de functii, 275de numere reale (sau serie numerica),

116divergenta, 117geometrica, 117, 283semiconvergenta (sau conditionat con-

vergenta), 123telescopica, 117

sistem fundamental de vecinatati, 176subsir, 64supremum, 8

Ssir

al sumelor partiale, 116, 275Cauchy sau fundamental, 65convergent, 65crescator, 64de functii, 272de numere reale, 64descrescator, 64divergent, 66majorat, 64marginit, 64minorat, 64monoton, 64Rolle, 226strict crescator, 64strict descrescator, 64strict monoton, 64uniform Cauchy, 273

Tteorema

clestelui, 68de caracterizare a continuitatii globale,

185de existenta si unicitate a partii ıntregi,

11de unicitate a seriilor de puteri, 281Abel, 279, 280Bernstein, 275Cauchy, 67, 119, 124, 227

Cantor, 187Cauchy-Hadamard, 280Cesaro, 67Darboux, 227Dini, 277Fermat, 226Lagrange, 226Mertens, 124Rolle, 226Stolz-Cesaro, 68Weierstrass, 67, 187, 276razei de convergenta, 279transfer de continuitate la serii de functii,

278transfer de continuitate la siruri de functii,

274transfer de derivabilitate la serii de functii,

278transfer de derivabilitate la siruri de

functii, 274transfer de integrabilitate la serii de

functii, 278transfer de integrabilitate la siruri de

functii, 274transfer de limita la serii de functii, 277transfer de limita la siruri de functii,

274transfer de marginire la serii de functii,

277transfer de marginire la siruri de functii,

274

Uuniform convergent, 272

Cauchy, 273

Vvecinatate, 64, 65