Sesiunea Interjudeeana de Comunicri tiinifice i Metodice a Profesorilor de Matematic, Judeul Slaj,

23 Mai 2015

Asupra unei noi clase de curbe Bzier

Autori: 1. Picoran Laurian-Ioan,

Universitatea Tehnic din Cluj Napoca Centrul Universitar Nord - Baia Mare

2. Barbu Ctlin Ionel

Colegiul Naional Vasile Alecsandri Bacu

Asupra unei noi clase de curbe Bzier

Picoran Laurian-Ioan, Barbu Ctlin Ionel

Introducere : n aceast lucrare, construim o nou clas de curbe Bzier folosind funcia gudermannian. n cea de-a doua parte a lucrrii, analizm cteva proprieti proiective ale acestei familii speciale de curbe noi, cu ajutorul formulei lui Conway pentru punctele de control ale curbei folosind coordonate baricentre omogene .

Cuvinte cheie : curb Bzier, funcia gudermannian.

1. Noiuni introductive

1.1. Curbe Bzier o scurt introducere

Curbele Bzier sunt utilizate n grafica pe calculator, n inginerie, n domeniul medical dar i n alte ramuri ale tiinei. Generalizrile curbelor Bzier sunt suprafeele Bzier care deasemenea au multiple aplicaii.

O curb Bzier este definit astfel:

= 1 unde [, ], iar reprezint punctele de control ataate curbei, cu = , , , . Polinoamele de tip Bernstein care apar n ecuaia curbei Bzier de mai sus, sunt de forma:

, = pentru [, ]. Curbele Bzier raionale au urmtoarea form:

= ( ),0n

n k k kk

B x w P=

( ),

0

n

n k kk

B x w=

unde reprezint punctele de control ataate curbei, cu = 0,1, , , iar reprezint ponderile punctelor de control . Dac = !, atunci obinem curba Bzier ptratic raional:

= ( )2,02

k k kk

B x w P=

( )2,0

2

k kk

B x w=

(1)

Teorema 1.1.1 ([2]) Dac punctul P este un punct arbitrar n triunghiul """! iar , , ! sunt ariile triunghiurilor ""! ; ""!; "". Condiia necesar i suficient, ca punctul P s se afle pe curba Bzier ptratic raional (1), este:

!! = &!&&! 1.2. Funcia Gudermannian

Funcia gudermannian este puntea de legtur dintre funciile circulare i funciile hiperbolice fr a folosi numerele complexe.

Funcia gudermannian este definit astfel:

===x

xext

dtxgd

0 21)arctan(2)harcsin(tan

coshpi (2)

Inversa funciei gudermannian este definit pe intervalul 22pipi

n lucrarea [4] sunt prezentate cteva rezultate n ceea ce privete formula Conway n coordonate baricentrice omogene, astfel:

Fie 0 = !01 unde 01 reprezint aria triunghiului ABC. Pentru un numr real 2, autorul lucrrii [4], a utilizat urmtoarele notaii:

03452 = 02 i 026 = 02 06 Pentru vrfurile A, B, C, are loc:

01 = 8!93!:!! ; 0 = :!93!8!! ; 0 = :!98!3!! Lema 1.3.1.([4]) a) 0 ; 0 = :!; 0 ; 01 = 8!; 01 ; 0 = 3! b) 01 ; 0 ; 01 = 0! Formula lui Conway este de asemenea prezentat n lucrarea [4], dup cum urmeaz: n cazul n care unghiurile determinate de un punct P exterior triunghiului ABC i latura BC sunt: ? = 2; ? = 6, coordonatele punctului P sunt: :!: 0 ; 06:0 ; 02.

De asemenea, n lucrarea ([4]) sunt prezentate urmtoarele rezultate importante: punctul lui Nagel n coordonate omogene baricentrice este (p-a: p-b: p-c), unde p reprezint semi-perimetrul triunghiului ABC. Punctul lui Gergonne are urmtoarele coordonate baricentrice @ A: : A8 : A3B. Utiliznd formula lui Conway, n lucrarea [3], este prezentat urmtoarea teorem:

Teorema 1.3.2.([3]) ntr-un triunghi oarecare ABC, dac punctul P este un punct interior, care determin unghiurile orientate = >; C = 1>; D = 1>. Atunci punctul P are coordonatele baricentrice omogene:

@ 3451345 : 345345C : 345345DB

2. Rezultat principal

2.1 Curbe GD-Bzier

n continuare, ca rezultat principal al acestei lucrri, vom construi o nou familie de curbe Bzier, nlocuind parametrul x din baza polinoamelor Bernstein, cu parametrul 5F4, unde 5F4,reprezint funcia gudermannian.

Definiia 2.1.1. Curba GD- Bzier este:

( ) ( )( )0

(1 ( )) =

= n kk n k

n kk

P t C gd t gd t P (8)

unde 4 G, H!I iar 5F4 este funcia gudermannian. sunt punctele de control ale curbei GD-Bzier.

Noile polinoame vor fi:

( ) ( )( ), (1 ( ))n kG = kk n knt C gd t gd t (9) Pentru cazul n=2, obinem baza urmtoare:

J KL,M = =1 NOM?LKL,PM = NOM1 NOMKL,LM = =NOM?LQ

n figura de mai jos, sunt trasate cu rou polinoamele Bernstein pentru cazul n=2 iar cu albastru polinoamele din baza de mai sus.

Pentru cazul n=3, obinem urmtoarea baz:

RSTSU KV,M = =1 NOM?VKV,PM = 3NOM=1 NOM?LKV,PM = 3=NOM?L1 NOMKV,LM = =NOM?V

Q

n figura de mai jos, sunt trasate cu rou polinoamele Bernstein pentru cazul n=3 iar cu albastru polinoamele din baza de mai sus.

Teorema 2.1.2 Dac considerm curba GD-Bzier ptratic raional cu punctele de control P0,P1,P2, atunci punctul lui Nagel se afl pe curba raional GD-Bzier ptratic, dac:

X = PYZ[ 2 PNOM ; 2 P ; LNOML

unde , P, L sunt ponderile punctelor , P, L , iar p reprezint semi-perimetrul triunghiului PL i ( ) 20

( ( )) (1 ( ))k k n kG nk

P t C gd t gd t =

= , iar M G0, ]LI. Demonstraie: Condiia ca punctul P arbitrar s se gseasc pe curba GD-Bzier ptratic raional, se reduce la:

= 1 NOML2

,20

( )=

i ii

G t w ; 2 P=1 NOM?NOM2

,20

( )=

i ii

G t wP ; LNOML2

,20

( )=

i ii

G t wL

Dac punctul lui Nagel coincide cu punctul P (folosind coordonate baricentrice omogene), atunci dup identificare obinem:

RSSSSTSSSSU 1 NOML

2

,20

( )=

i ii

G t w= X ^

2 P=1 NOM?NOM2

,20

( )=

i ii

G t w= X _

LNOML2

,20

( )=

i ii

G t w= X `

Q 10

nsumnd cele 3 ecuaii din (10), obinem X = PYZ[ 2 PNOM ; 2 P ; LNOML adic ceea ce trebuia demonstrat.

Teorema 2.1.3. Dac considerm curba GD-Bzier ptratic raional cu punctele de control P0,P1,P2, atunci punctul lui Gergonne se afl pe curba raional GD-Bzier ptratic, dac:

X = aM b=NOM?L2 P L L ; 2 P ; NOM L 4 P ; 2 P21 NOMLNOML P L d

unde , P, L sunt ponderile punctelor , P, L , iar p reprezint semi-perimetrul triunghiului PL i ( ) 20

( ( )) (1 ( ))k k n kG nk

P t C gd t gd t =

= , iar M G0, ]LI.

Demonstraie:

Condiia ca punctul P arbitrar s se gseasc pe curba GD-Bzier ptratic raional, se reduce la:

= 1 NOML2

,20

( )=

i ii

G t w ; 2 P=1 NOM?NOM2

,20

( )=

i ii

G t wP ; LNOML2

,20

( )=

i ii

G t wL

Dac punctul lui Gergonne coincide cu punctul P (folosind coordonate baricentrice omogene), atunci dup identificare obinem:

RSSSSTSSSSU 1 NOML

2

,20

( )=

i ii

G t w= 1X ^

2 P=1 NOM?NOM2

,20

( )=

i ii

G t w= 1X _

LNOML2

,20

( )=

i ii

G t w= 1X `

Q 11

nsumnd cele 3 ecuaii din (11), obinem

X = aM b=NOM?L2 P L L ; 2 P ; NOM L 4 P ; 2 P21 NOMLNOML P L d Adic ceea ce trebuia demonstrat.

Observaia 2.1.4. Din teorema 1.3.2, tim c, coordonatele baricentrice omogene ale unui punct P situat n triunghiul ABC sunt:

@ Pe[fge[fh : Pe[fie[fj : Pe[fke[flB. Folosind teorema 2.1.2, nlocuind n (10), obinem : 1`MNm `MN ; 1`MN `MNn ; 1`MN `MNo= 1aM 2 PNOM ; 2 P ; LNOML.

Concluzii: Aa cum am demonstrat n teoremele 2.1.2, respective 2.1.3., se poate stabili o punte de legtur ntre curbele GD-Bzier ptratice raionale construite de noi i punctele importante dintr-un triunghi. Pe viitor ne propunem s stabilim i alte rezultate n aceast direcie.

Bibliografie

[1] Gottschalk W., Good Things about the Gudermannian, Infinite Vistas Press, 2003.

[2] Hu Q. andWang G., Geometric meanings of the parameters on rational conic segments, Science in China Ser. A Mathematics,2005, Vol.48, No.9, pp.1209-1222.

[3] Nikolaos D., A simple barycentric coordinates formula, Forum Geometricorum, Volume 9 (2009) pp. 225-228.

[4] Paul Yiu, Introduction to the Geometry of the Triangle, Course Notes, Department of Mathematics Florida Atlantic University, 2001.

[5] Peters J. M. H., The Gudermannian, The Mathematical Gazette, Vol. 68, No. 445 (Oct., 1984), pp. 192-196

1. Picoran Laurian-Ioan, Universitatea Tehnic din Cluj Napoca Centrul Universitar Nord - Baia Mare, Departamentul de Matematic i informatic, Str. Victoriei nr. 76, cod 430122, Baia Mare, Romnia Adresa e-mail: plaurian@yahoo.com

2. Barbu Ctlin Ionel Colegiul Naional Vasile Alecsandri Bacu Str. Vasile Alecsandri nr. 37, cod 600011, Bacu, Romnia Adresa e-mail : kafka_mate@yahoo.com