Pendulul gravitațional reprezintă un sistem fizic, format dintr-un corp de masă m suspendat de un punct fix printr-un fir de lungime l, care efectuează o miscare oscilatorie sub acțiunea fortei gravitationale.

- a fost studiat pentru prima dată de savantul italian Galileo Galilei.

Dacă pendulul este scos din poziţia sa de echilibru şi este lăsat liber, el oscilează într-un plan vertical, datorită forţei de greutate.

Galileo Galilei a descoperit legile pendulului, pe baza lui dezvoltând primul ceas modern din istoria umanităţii.

Pendulul gravitational

În secolul al XVI-lea, Galileo Galilei (student la medicina) improviza un mijloc de masurare, deoarece nu dispunea de nimic potrivit: cronometra cu ajutorul propriului puls perioada de oscilatie a unui candelabru care se balansa în Catedrala din Pisa, sub actiunea curentilor de aer.

Pendulul lui Galileo Galilei- prima sa descoperire stiintifica 1564-

Doar in 1602 a început însă experimente serioase pe tema pendulelor –legile pendulului

→ Galileo sugereza ca pendulul ar putea fi folosit ca și dispozitiv pentru cronometrarea timpului → primul brevet pentru un ceas cu pendul a fost depus în 1656 de un alt fizician, Christian Huygens.

Studiile ulterioare au condus la descoperirea relației dintre perioada pendulului și masa, amplitudinea și lungimea acestuia: -perioada de oscilatie nu depinde de amplitudinea de oscilatie daca aceasta ramâne sub anumite valori. - pentru un pendul de o lungime dată, perioada de oscilaţie nu depinde de masa atârnată la capătul acestuia

Mişcarea unui corp sau a unui sistem material , care se repetă la intervale de timp egale şi care se face simetric faţă de o poziţie de repaus se numeşte mişcare oscilatorie sau oscilaţie mecanică.

Daca pendulul este scos din pozitia de echilibru are loc o mişcare continuă de o parte şi de alta a poziţiei iniţiale (de echilibru) a corpului sub actiunea fortei de greutate.

tTn

=

Perioada mişcării oscilatorii T, reprezinta timpul necesar efectuării unei oscilaţii complete

Daca notăm cu n numarul de oscilaţii efectuate de un oscilator în intervalul de timp t atunci avem:

[ ] 1SI

T s=

Frecvenţa mişcării ν este numărul de oscilaţii efectuate în unitatea de timp :

nvt

= [ ] 11 1SI

v s Hz−= =

1vT =

tTn

=

Pendul: lungimea - l, masa – m θ - unghiul pe care firul il formeaza cu verticala - numit elongaţie unghiulară.

Forţele care acţionează asupra

punctului material OA sunt:

- forţa de greutate

- tensiunea din fir.

gmG =

T

G

T

TG =

l

Forţele care acţionează asupra unui pendul gravitaţional la echilibru

Componentele fortei de greutate -componenta normala- pe direcţia firului Gn= mg cos θ -componenta tangenţială Gt = mg sin θ

A

B l

O

θ

θ

nG

T

tG

θcosGT =

amF = θsinGF = θsinmgma −=

Pe directia OB tensiunea in fir face echilibru cu componenta normala a greutatii:

-miscarea are loc numai pe directia tangentiala. Legea a doua a lui Newton:

in cazul nostru

Geometria cercului

r – raza cercului s - arc de cerc c - coarda cercului θ - unghiul in radiani

θrs =sau

rs

=θ

Din definitie 2

2

dtsda =

unde s este spatiul parcurs, in cazul nostru arcul de cerc

ls θ=2

2

2

2

dtdl

dtsda θ

==

2

2

2

2

dtdl

dtsda θ

==

θsinga −=

0sin2

2

=+ θθ gdtdl

sau

0sin2

2

=+ θθlg

dtd

Daca notam lg

=2ω unde ω -se numeste pulsatie

0sin22

2

=+ θωθdtd

ecuatia diferentiala a miscarii oscilatorii a pendulului simplu

Remarcăm că forta nu este proportională cu elongatia unghiulară θ ci cu sin de θ.

Dacă unghiurile θ sunt mici atunci sin θ este foarte apropiat de θ exprimat în radiani. Analizând tabelul următor observăm că pentru unghiuri sub 50

Unghiul θ sin θ grade radiani

1

2o

30

40

5o

putem scrie că sin θ ≈ θ în radiani.

0sin22

2

=+ θωθdtd

daca unghiurile θ sunt mici

θθ ≅sin02

2

2

=+ θωθdtd

ecuatia diferentiala a miscarii oscilatorii a pendulului simplu izocron

Pendulul simplu gravitational

Pentru mişcarea oscilatorie marimea ω se numeşte pulsaţie si reprezinta viteza de variaţie a fazei. Această marime se masoara in S.I. in rad/s.

Ca şi la mişcarea circulară intre frecvenţa ν , perioada T si pulsaţia ω, sunt marimi caracteristice mişcarii oscilatorii, sunt valabile relaţiile:

lg

=2ω

ω = 2πν

glT π2=

perioada pendulului gravitaţional este independentă de masa

Pendulul simplu gravitational

Pendulul simplu gravitational

Un aparat seismic reprezintă un sistem cu un singur grad de libertate dinamică care înregistrează răspunsul acestuia la perturbaţiile provenite din deplasările bazei ca urmare a mişcării terenului.

Aplicatie-Seismografele

Seismometre cu înregistrare directă, care înregistrează vectorul deplasare a solului tradus prin deplasarea masei M a pendului direct pe tamburul de înregistrare, desigur amplificat într-un raport dat.

lg

T

=

22 4π

ga

24π=

1. Luam 10 lungimi diferite si pentru fiecare lungime se masoara timpul si numarul de oscilatii. Masurati pentru fiecare lungime timpul necesar efectuarii a 5, 7, 9, 11 oscilatii. Calculati apoi perioada pendului pentru fiecare timp. Pentru fiecare lungime se face o medie a perioadei obtinute, aceasta valoare fiind apoi utilizata in tabelul de mai jos:

Nr. l(m) t(s) T(s) T2 1 2 .... 10

Grafic T2 vs l – dependenta are o tendinta liniara

y=ax, unde l=x, y=T2 ,

Probleme

Calculati acceleratia gravitationala si precizia

http://www.walter-fendt.de/ph14e/pendulum.htm

( ) 100% / xv

valoarevaloare

obtinuta

teoreticaeaactaobtinuta −=ε

Provocare Folosind datele obtinute, proiectați și construiți un pendul pe care îl puteți folosi cu exactitate pentru a masura un interval de timp de 30 de secunde. Testați-vă ceasul pendulului împotriva unui ceas.

Tema pentru acasa

3. Modificati din noi lungime-a pendulului fixand-o la 10m. Apoi setati unghiul α=10° (suntem acum in cazul pendulului simplu anizocron. o Masurati timpul t in care pendulul face 20 de oscilatii. Masurati timpul doar o singura

data. Calculati apoi perioada pendulului T=t/20. o Calculati acceleratia gravitationala utilizand perioada pendulului anizocron

o Comparati rezulatatul obtinut cu celelalte doua. o Calculati erorile absolute asociate lui T si g. Eroarea lui t se ia jumatate din cea mai

mica diviziune a cronometrului. Aceasta este δt=0.005s. o δT=δt/20.

http://phet.colorado.edu/sims/pendulum-lab/pendulum-lab_en.html