Efectuat: Pădure Cătălina Cl 12 B

Tema: Metoda lui Newton

Printre cele mai cunoscute şi mai folosite tehnici de rezolvare a ecuaţiilor neliniare, găsim metoda Newton, denumită uneori şi metoda Newton- Raphson sau metoda tangentelor.

Ea se deosebeşte de alte metode de aproximaţii succesive prin faptul că pentru fiecare punct din şirul aproximaţiilor este necesar atât evaluarea funcţiei f(x) ce defineşte ecuaţia, cât şi a derivatei acesteia f '(x).

Introducere

Valoarea aproximativă a rădăcinii exacte δ se calculează folosind un şir de aproximaţii succesive {x0, x1, x2, ... } construit după următorul model. Pornind de la aproximaţia x0, curba y=f(x) este aproximată în punctul de coordonate (x0, f(x0)) prin tangenţa la ea. Noua aproximaţie x1 se obţine la intersecţia acestei tangente cu axa absciselor. Folosind pe x1 ca aproximaţie iniţială, se reia procedeul, determinându-se o nouă aproximaţie x2 până cînd abaterea între două iteraţii succesive scade sub o valoare prag impusa: |x_(n+1) - x_n| <ε

Valoarea aproximativă

FORMULA DE RECURENŢĂ

Condiţiile de convergenţă ale metodei Newton sunt relativ complexe ca formă şi se referă nu numai la funcţia f(x), ci şi la primele sale două derivate,  f '(x) şi f ''(x).         Marele avantaj al metodei Newton este rata mare de convergenţă în apropierea soluţiei exacte, se asigură practic dublarea numărului de cifre exacte ale soluţiei calculate la fiecare iteraţie. Această proprietate remarcabilă este "cartea de vizită" ce recomandă metoda Newton ca fiind cea mai eficientă cale de rezolvare a unei ecuaţii neliniare pentru care este posibilă evaluarea derivatei f '(x).

1. Definirea functiei f(x), a derivatei f '(x), a aproximaţiei iniţiale x, a preciziei Eps şi a numărului maxim de iteraţii nmax.2. Iniţializarea procesului iterativ:  It ← 0;3. Procesul iterativ: 1)Se trece la o noua iteratie: It ← It+1; 2)Calculul corectiei: dx ← f(x) / f '(x) ; 3)Calculul noii aproximaţii:  x ← x + dx ; 4)Dacă s-a atins precizia dorită (|dx| <= Eps) sau numărul maxim de iteraţii(nmax) se întrerupe bucla iterativă şi se trece la pasul 4.4. Stabilirea condiţiilor de ieşire din bucla iterativă: 1)Dacă |dx|<Eps - proces convergent – soluţia aproximativă este x. 2)Dacă |dx|>=Eps şi It=nmax, se afişează mesajul : "Depăşire număr maxim iteraţii".

Algoritmul metodei Newton