TRAPEZE ORTODIAGONALE

de Pintilie Oana Liliana

Sunt o tânără profesoară și mă confrunt cu diverse probleme în intenția de a-i pregăti pe elevi pentru olimpiade. Visul meu ar fi ca pentru nivelul gimnazial să existe cărți bine structurate metodic pentru unitățile de învățare prevăzute în aceste programe. În acest sens, din experiența acumulată, m-am gândit să structurez pentru elevii claselor a-VII-a tema de sinteză „Trapeze ortodiagonale”. Am plecat de la definiție și am continuat cu două teoreme principale. Pe parcurs sunt anexate și observații metodice sau științifice necesare înțelegerii de către elevi a demonstrațiilor. Îmi face plăcere să împărtășesc elevilor cunoștințele matematice într-o formă cât mai accesibilă și bine structurată metodic. Astfel, matematica va deveni o pasiune pentru ei și vor fi mult mai motivați să-i cerceteze tainele ascunse și să participe la olimpiade.

Definiție: Patrulaterul care are diagonalele perpendiculare se numește patrulater ortodiagonal.

Observa ț ii :

Cazuri particulare de patrulatere ortodiagonale: rombul, pătratul.

TEOREMA 1: Un trapez isoscel este ortodiagonal dacă și numai dacă înălțimea lui este medie aritmetică a bazelor.

Teorema directă: Dacă un trapez isoscel este ortodiagonal atunci înălțimea lui este medie arimetică a bazelor.

Construc ț ie : dreptunghic isoscel, de bază și mediatoarea , jumătate din

ipotenuza ;

Demonstra ț ie :

c.c.t.d.

Teorema reciprocă: Dacă într-un trapez isoscel înălțimea este medie arimetică a bazelor atunci el este ortodiagonal.

Ipoteză:

Concluzie:

Demonstra ț ie :

D P C

A M B

O

Ipoteză:

Concluzie:

} (1)

} (2)

}

}

.

c.c.t.d.

Observa ț ie : Cazuri de construcție:

a)

b)

c)

TEOREMA 2 : Un trapez dreptunghic este ortodiagonal dacă și numai dacă înălțimea lui este medie geometrică a bazelor.

Teorema directă: Dacă un trapez dreptunghic este ortodiagonal atunci înălțimea lui este medie geometrică a bazelor.

Ipoteză:

Concluzie:

A B

CD

o

}

}

Demonstra ț ie :

c.c.t.d.

Teorema reciprocă: Dacă într-un trapez dreptunghic înălțimea este medie geometrică a bazelor atunci el este ortodiagonal.

Ipoteză:

Concluzie:

Demonstra ț ie :

(conform criteriului II de asemănare)

c.c.t.d.

PROBLEME APLICATIVE

1) În trapezul isoscel ABCD, cu bazele AB =12 cm și CD =4 cm, se știe că diagonalele

sunt perpendiculare. Calculați perimetrul triunghiului din care provine trapezul.

2) În trapezul dreptunghic ABCD, cu bazele AB =12 cm și CD =3 cm, se știe că

diagonalele sunt perpendiculare. Calculați perimetrul triunghiului din care provine trapezul.

Bibliografie: Dan Brânzei, Anton Negrilă, Maria Negrilă „Mate2000+”, Editura

Paralela 45

}

(conform criteriului I de asemănare)

}

}

Profesor Școala cu clasele I-VIII Malu- Spart

oraș Bolintin- Vale, județul Giurgiu