PatruLatere

COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACU

PROFESOR MDLINA BONDREA

RECAPITULARE CLASA A VII-A PATRULATERE

Paralelogramul. Proprieti.

Def.: Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele.

Proprieti:

a) Laturile opuse sunt congruente dou cte dou: DC AB

AD BC

b) Unghiurile opuse sunt conguente dou cte dou i oricare dou unghiuri consecutive

sunt suplementare:

m A m C

m B m D

i

0

0

180

180

m A m B

m B m C

c) Diagonalele au acelai mijloc AO OC i BO OD

Un patrulater convex este paralelogram dac:

- Are laturile opuse paralele;

- Are laturile opuse congruente dou cte dou;

- Are dou laturi opuse paralele i congruente;

- Are unghiurile opuse congruente dou cte dou sau oricare dou unghiuri consecutive

sunt suplementare;

- Diagonalele au acelai mijloc.

Aria paralelogramului este egal cu produsul dintre nlime i baz: ABCDA h AB

Probleme rezolvate:

1. ntr-un paralelogram ABCD AB = 20cm, AD = 15cm. Determinai lungimile laturilor

[BC] i [CD].

Rezolvare:

A B

D C

A B

C D

O h



ABCDparalelogram DC AB

AD BC

15

20

BC cm

CD cm

2. Perimetrul unui paralelogram este de 30m. Una dintre laturi are lungimea de 5m.

Determinai lungimile celorlalte laturi.

Rezolvare:

Ip.: ABCD paralelogram

30ABCDP m

5AB m

C: , , ?BC AD CD

Dem.:

ABCD paralelogram DC AB

AD BC

5CD m

AD BC x

5 5 10 22 10 30 2 30 10

30

ABCD

ABCD

P AB BC CD DA m x x m m xx m m x m m

P m

2 20 10x m x m 5

10

AB CD m

AD BC m

3. Un unghi al unui paralelogram are msura de 70O. Determinai msurile celorlalte

unghiuri ale paralelogramului.

Rezolvare:


070m A

C: , , ?m B m C m D

Dem.:

A

70O

B

C D



ABCD paralelogram

m A m C

m B m D

(1)

ABCD paralelogram

0

0 0 0 0 0

0

18070 180 180 70 110

70

m A m Bm B m B

m A

(2)

Din (1) i (2)

0

0

70

110

m A m C

m B m D

4. n paralelogramul ABCD, AB = 8m, DB = 14m, AO = 6m (O este punctul de intersecie

a diagonalelor). Calculai perimetrul triunghiului DOC.


8AB m

14DB m

6 ,AO m O AC BC

C.: ?DOCP

Dem.:

DOCP DO OC DC

ABCD paralelogram

72

6 7 6 8 21

8

DOC

DBDO m

OC OA m P m m m m

DC AB m

A B

C D

O



5. Fie ABCD un paralelogram. Dac distana de la A la BD este egal cu 15cm, calculai

distana de la C la BD.

Notm distana de la A la BD cu Ah i distana de la C la BD cu Ch

ABCDparalelogram DD . .2 2

CACD

h BDh BDCD l u l A A

15A C Ch h h cm

6. Perimetrul unui patrulater convex ABCD este egal cu 25cm, 7,5AD BC cm i

5AB cm . Este ABCD paralelogram?

Dem.:

2525 5 7,5 7,5 25

ABCD

ABCD

P cmAB BC CD DC cm c cm CD cm cm

P AB BC CD DA

20 25 5cm CD cm CD cm

5:

7,5

AB CD cmABCD ABCD

AD BC cm

paralelogram

Probleme propuse:

1. Calculai perimetrul paralelogramului ABCD tiind c: a) AB=10cm i BC=3,5cm;

b) AD=5m; CD=25dm.

2. Determinai msurile unghiurilor unui paralelogram ABCD tiind c: a) 065m A ;

b) 0125m C ; c) 035m B ; d) 0118m D .

3. Patrulaterul convex ABCD are perimetrul 18 cm. Se tie c AB=CD=4 cm i AD=5 cm.

Stabilii natura acestui patrulater.

A B

C D



4. Fie paralelogramul ABCD i punctele M, N(AC) astfel nct AM=MN=NC. Artai c

patrulaterul DMBN este paralelogram.

5. ABCD este un paralelogram n care AB=10 cm, AC=14 cm i BD=16 cm. Aflai perimetrul

triunghiurilor AOB i DOC, unde O este intersecia diagonalelor paralelogramului.

6. n paralelogramul ABCD, AB=7 dm, DB=12 dm, AO=5 dm (O este punctul de intersecie a

diagonalelor). Calculai perimetrul triunghiului DOC.

7. n paralelogramul AMCD, m(CDB)=50, m(DCB)=70. Calculai msurile unghiurilor

paralelogramului.

8. Fie un paralelogram ABCD pentru care avem: m(A)=(2x+40) i m(B)=(5x) , unde x este

un numar natural. Aflai msurile unghiurilor paralelogramului.

9. Patrulaterele ABCD i ABEF sunt paralelograme (AB este latur comun). Demonstrai c

EFDC este paralelogram.

10. Fie ABCD un paralelogram n care m(BAC) = 90 , m(ABD) = 60 , ACBD = {O} i M

mijlocul lui [OB]. Dac AM intersecteaz pe DC n Q i pe bisectoarea unghiului BDC n

P, atunci aratai c: 2 MP = DM.

11. Perimetrul unui paralelogram este 36 cm. tiind c lungimea uneia dintre laturi este de 10

cm, aflai lungimile celorlalte laturi ale paralelogramului.

12. Perimetrul unui paralelogram este egal cu 150 cm. Aflai lungimile laturilor paralelogramului

tiind c 2

3

AB

BC .

13. ntr-un paralelogram ABCD avem 3m ABC m BAD . Aflai msurile unghiurilor

paralelogramului.

14. Perimetrul unui patrulater convex este egal cu 28 cm. tiind c BC = AD = 8 cm i CD = 6

cm, artai c ABCD este paralelogram.

15. ntr-un paralelogram ABCD cu AB BC se noteaz cu E i, respectiv, F picioarele

perpendicularelor din vrfurile A i C pe diagonala BD.

a) Demonstrai c patrulaterul AECF este paralelogram;

b) Dac G i H sunt picioarele perpendicularelor din vrfurile B i, respectiv, D pe diagonala

AC, demonstrai c patrulateru cu vrfurile F, G, E, H este paralelogram.



Dreptunghiul. Proprieti

Def.: paralelogramul cu un unghi drept se numete dreptunghi.

Proprieti:

a) Dreptunghiul are toate unghiurile congruente i deci toate unghiurile sunt drepte.

b) Diagonalele unui dreptunghi sunt congruente i au acelai mijloc

c) Laturile opuse sunt congruente dou cte dou

d) Punctual de intersecie al diagonalelor este centru de simetrie, iar mediatoarele laturilor

sunt axe de simetrie.

Perimetrul i aria dreptunghiului:

2 2 2P L l L l

A L l

Un patrulater convex este dreptunghi dac: - este paralelogram cu un unghi drept;

- Are trei unghiuri drepte;

- Este paralelogram cu unghiuri congruente.

Probleme rezolvate:

1. Aflai perimetrul i aria unui dreptunghi tiind ca L= 10 cm i l = 4 cm.

Rezolvare:

Ip.: L=10 cm

l=4cm

C.: P=?, A=?

A B

C D

L

l O



Dem.:

2 2 10 4 2 14 28P L l cm

210 4 40A L l cm cm cm .

2. ntr-un dreptunghi ABCD avem OC = 3,5cm, unde O este punctual de intersecie al

diagonalelor. Calculai suma diagonalelor.

Rezolvare:

Ip.: OC = 3,5cm

AC BD O

C.: ?AC BD

Dem.:

ABCD dreptunghi i AC BD O 3,5OC OA BO OD cm AC BD

3,5 3,5 3,5 3,5 4 3,5 14AO OC BO OD cm cm cm cm cm cm

3. ABCD este un paralelogram, iar M este mijlocul lui DC. Dac AM=MB, demonstrate

c ABCD este dreptunghi.

Rezolvare:


M DC a.. DM MC

AM MB

C.: ABCD dreptunghi

Dem.:

A B

C D M



ABCD paralelogram

. ...

l l l

AD BC

DM MC ip ADM BMC m D m C

AM MB ip

(1)

ABCD paralelogram 0180m D m C (2)

Din (1) i (2) 0

0180 902

m D m C ABCD paralelogram cu un unghi drept

ABCD este dreptunghi

4. Laimea unui dreptunghi este de 40% din lungimea sa, iar perimetrul su este de 140

cm. aflai aria dreptunghiului.

Rezolvare:

Notm cu x lungimea dreptunghiului l este 40

100din x

40 2

100 5l x x

ABCD dreptunghi

22 2 2

2 14055

140

P L l x xx x cm

P cm

5)2

705

x x cm

7 70 570 50

5 7

xx x cm

50L cm

2 250 20

5 5l L cm

250 20 1000A L l cm cm cm

Probleme propuse:

1. Construii un dreptunghi care are lungimile laturilor de 5cm si 12 cm. Calculai perimetrul i

aria dreptunghiului construit.

2. Construii un dreptunghi ABCD cunoscnd: a) 6AB cm i 1

3BC AB ; b) 5AC cm i

3BC cm ; c) 12ABCDP cm i 2AD AB

3. Un dreptunghi cu perimetrul 28 cm are ltimea egal cu o treime din lungime. Aflai

dimensiunile dreptunghiului.

4. Fie dreptunghiul ABCD, cu AC BD O , 060m AOD i AC = 10 cm. calculate

perimetrul triunghiului AOD.



5. Pe latura AB a unui paralelogram ABCD se consider punctele M i N aa nct AM = BN.

Dac BN = CM, s se arate c ABCD este dreptunghi.

6. ntr-un paralogram ABCD se noteaz cu O punctul de intersecie al diagonalelor i cu E,

respectiv F, mijloacele laturilor AB i BC. S se demonstreze c dac EF = BO, atunci

ABCD este dreptunghi.

7. Demonstrai c dac ntr-un paralelogram ABCD, distana de la vrful A la BD este egal cu

distana de la vrful D la AC, atunci ABCD este dreptunghi.

8. Perimetrul unui dreptunghi este egal cu 36 de cm. tiind c AB este de patru ori mai mare ca

BC s se afle aria dreptunghiului.

9. Fie A aria unui dreptunghi ABCD.

a) Dac AB = 5 cm i BC = 30 mm, aflai A;

b) Dac AB = 200 m i A = 6 ha, aflai BC;

c) Dac BC = 0,7 dam i A = 28 2m , aflai AB

10. n dreptunghiul ABCD, ACBD=O, AB=8 cm, BC=6 cm i AO=5 cm. Aflai perimetrul

dreptunghiului ABCD; Aflai perimetrul triunghiului BOC; Dac M, N, P, Q sunt mijloacele

laturilor [AB], [BC], [CD], [DA] stabilii natura patrulaterului MNPQ i aflai perimetrul su.

Rombul. Proprieti.

Def.: paralelogramul cu dou laturi consecutive congruente se numete romb.

Proprieti:

a) Toate laturile rombului sunt congruente;

b) ntr-un romb diagonalele au acelai mijloc, sunt perpendicular i sunt bisectoarele

unghiurilor lui;

A

B

C

D O



c) ntr-un romb unghiurile opuse sunt congruente i oricare dou unghiuri consecutive sunt

suplementare;

d) Punctual de intersecie al diagonalelor este centru de simetrie, iar diagonalele sunt axe de

simetrie ale rombului;

Perimetrul i aria rombului:

4P l

1 2

2

d dA

, unde 1d i 2d sunt diagonalele rombului

A h b , unde h este nlimea rombului i b este latura

Un patrulater convex este romb dac:

- Este paralelogram cu dou laturi consecutive congruente

- Are toate laturile congruente

- Este paralelogram cu diagonalele perpendiculare

- Este paralelogram n care o diagonal este bisectoarea unui unghi.

Probleme rezolvate:

1. Calculai perimetrul unui romb tiind c latura sa este 15 cm.

Rezolvare:

4 4 15 60P l cm cm

2. Justificai c patrulaterul ABCD este romb, tiind c: || , ||AB CD BC AD i AC BD .

Rezolvare:

|| , ||AB CD BC AD def ABCD paralelogram cu AC BD ABCD romb.

3. Peimetrul unui paralelogram ABCD este 20 de cm. Dac AB = 5cm, demonstrai c

ABCD este romb.

Rezolvare:

ABCDparalelogram DC AB

AD BC

2 205

ABCDP AB BC cm

AB cm

2 5 20 5 10 5cm BC cm cm BC cm BC cm

ABCD paralelogram cu 5 defAB BC cm ABCD romb.



4. Se consider un romb ABCD cu 0120m ABC . S se determine perimetrul rombului

tiind c BO = 4cm, unde O este punctul de intersecie al diagonalelor rombului.

Rezolvare:

Metoda I:

ABCD romb AB BC CD DA

.BDbis ABD

2

m ABCm ABD m ADB

00120 60 .

2ABDechilat AB BD (1)

4 2 2 4 8BO cm BD BO cm cm (2)

Din (1) i (2) 4 4 8 32ABCDP AB cm cm

Metoda II:

ABCD romb cu 0120m ABC 0 0 0 0180 180 120 60m BAD m ABC

n ABD : AB AD i 060m A .ABDechilat AB BD

4 2 2 4 8BO cm BD BO cm cm 4 4 8 32ABCDP AB cm cm

5. Un romb ABCD are AC = 5 cm, BD = 12 cm i perimetrul P = 16cm. Aflai: a) aria

rombului; b) nlimea rombului.

Rezolvare:

a) 25 12

302 2

AC BCA cm

b) 4

4 16 416

ABCDP ll cm l cm

P cm

A

B

C

D O



2

2

3030

30

A h lh l cm h cm

A cm l

307,5

4h cm cm

Probleme propuse:

1. Fie rombul ABCD n care AC BD O . S se calculeze: a) perimetrul rombului dac AB

= 1,75 cm; b) m ABD , dac 055m BCD ; c) m AOB

2. n rombul ABCD alegem punctele M (AD) i N(DC), astfel nct [DM][DN]. Artai c

triunghiul BMN este isoscel.

3. Fie M , N , P mijloacele laturilor AB , AC i BC ale unui triunghi isoscel ABC cu baza BC.

Demonstrai c AMPN este romb.

4. Perimetrul unui romb este de 20 cm, iar lungimea diagonalei mici este de 5 cm. Deteminai

msurile unghiurilor rombului.

5. ntr-un romb cu perimetrul 20 cm, unghiul format de o diagonal cu o latur este de 30. S

se determine: laturile rombului; unghiurile rombului; Ce fel de triunghi este triunghiul format

de diagonala mic i de dou laturi ale rombului ?

6. Se consider rombul ABCD cu BD = 25cm. tiind c aria triunghiului ABD este 25 2cm ,

aflai aria rombului i diagonala AC.

7. Fie A aria unui romb ABCD n care AE i DF sunt nlimi (E BC i F AB ). tiind c:

a) AB = 5cm i AE = 2cm, aflai A; b) DC = 10cm i DF = 6 cm, aflai A; c) 2100A cm , AE

= 4 cm, aflai ABCDP ; d) 16ABCDP cm , DF = 3 cm, aflai A.

8. Aria unui romb ABCD se noteaz cu A. a) S se determine A tiind c BD = 1,2 cm i AC =

0,5 cm; b) S se determine AC tiind c BD = 3cm i 2300A mm

Ptratul. Proprieti

Def.: 1. Rombul cu un unghi drept se numete ptrat.

2. Dreptunghiul cu dou laturi consecutive congruente se numete ptrat.

A B

C D



Proprieti:

- Ptratul fiind dreptunghi i romb, are toate proprietile dreptunghiului i rombului

- ntr-un ptrat toate laturile sunt congruente

- ntr-un ptrat toate unghiurile sunt congruente i sunt unghiuri drepte

- ntr-un ptrat diagonalele au acelai mijloc, sunt congruente, sunt perpendiculare i sunt

bisectoare ale unghiurilor lui

- Ptratul admite patru axe de simetrie: dou sunt mediatoarele laturilor lui ( ca la

dreptunghi) i dou sunt dreptele care includ diagonalele lui ( ca la romb)

- Punctual de intersecie al diagonalelor ptratului este centru de simetrie al ptratului

Pentru a arta c un patrulater convex este ptrat trebuie s demonstrm una din cele dou

definiii echivalente.

Perimetrul i aria ptratului:

4P l

2A l , unde l este latura ptratului

Probleme rezolvate:

1. Fie ABCD un patrulater convex cu toate laturile congruente astfel nct A B . S se

arate c ABCD este ptrat.

Rezolvare:

ABCD patrulater convex cu laturile congruente ABCD romb

0180m A m B

m A m B

0

0180 902

m A ABCD ptrat.

2. Limea unui dreptunghi este 1

5 din latura unui ptrat cu perimetrul de 30 de cm. tiind c

cele dou patrulatere au acelai perimetru, aflai dimensiunile dreptunghiului.

Rezolvare:

Notm latura ptratului cu x

Limea dreptunghiului este 1

5 din x, adic

1

5x



Perimetrul ptratului: 30

4 30 7,54

P x cm x cm cm

Limea dreptunghiului: 17,5 1,5

5l cm cm

Perimetrul dreptunghiului: 2 2 1,5

1,5 15 13,530

P L l LL cm cm L cm

P cm

Dimensiunile dreptunghiului sunt: 1,5l cm i 13,5L cm .

3. Fie ptratul ABCD i punctele M i N aparinnd diagonalei BD astfel nct BM=MN=ND.

Artai c patrulaterul AMCN este romb.

Rezolvare:

Ip.: ABCD ptrat

MN BD a.. BM MN ND

C.: AMCN romb

Dem.:

AMCN patrulater convex (1)

. .

. .

. .

DNC DNA l u l CN NA

BMA DNA l u l MA NA NA AM MC CN

MBA CMA l u l CM AM

(2)

Din (1) i (2) AMCN romb

4. Aflai aria unui ptrat tiind c perimetrul su este egal cu 24m.

Rezolvare:

4 244 24 6

24 4

P ll m l m m

P m

A B

C D

M

N



22 26 36A l m m

5. Aflai perimetrul unui ptrat tiind c aria sa este egala cu 122 2cm .

Rezolvare:

2

2 2

2144 12

144

A ll cm l cm

A cm

4 4 12 48P l cm cm

Probleme propuse:

1. Pe laturile unui ptrat ABCD se iau punctele M(AB), N(BC), P (CD), P(CD), Q(AD)

astfel nct [AM] [BN] [CP] [DQ]. Ce fel de patrulater este NMPQ?

2. Se d ptratul ABCD i n interiorul lui se construiesc triunghiurile echilaterale MAD i

NDC. a) Artai c MN=BN, b) Care este msura unghiului MNB?, c) Ce fel de triunghi este

MNB?

3. ABCD este ptrat i fie E astfel inct C(AE) si CE=AB. Calculai msurile unghiurilor

triunghiului DBE.

4. ABC este un triunghi dreptunghic in A. Bisectoarea unghiului BAC intersecteaz pe [BC] in

D, N(AB) si M(AC) astfel inct DM||AB si ND||AC. Stabilii natura partulaterului

AMDN.

5. Fie ABCD un ptrat iar BCM un thiunghi echilateral (M este in exteriorul patratului). Fie N

si P mijloacele segmentelor BM si respectiv CM. [AP][DN]?

6. ABCD este un dreptunghi. Bisectoarea unghiului ABC intersecteaz pe [AD] in M. Fie

N(BC) astfel inct MN||DC. Ce fel de patrulater este ABNM?

7. ABCD este ptrat si fie M(AD), N(DC) astfel incat AM=DN. Notam cu {S}=ANMB si

P intersecia dreptei AN cu perpendiculara din D pe AN. Stabilii dac [AS][DP]

8. Aflai aria i perimetrul unui ptrat tiind c latura sa este: a) 0,5cm; b) 20 mm; c) 1,2 m

9. Aflai aria unui ptrat tiind c perimetrul su este egal cu: a) 6,4 cm; b) 1,6 m; c) 0,15m

10. Aflai perimetrul unui ptrat tiind c aria sa este egal cu: a)1,69 2m ; b) 225 2cm ;

c) 0,64 2mm

11. Aflai latura unui ptrat tiind c are aria egal cu a unui dreptunghi de dimensiuni 16cm i

0,4dm.



12. Un teren de form ptratic se acoper cu dale de pavaj. Latura ptratului este 15 m. dalele

au form de dreptunghi cu dimensiunile 5cm i 45cm. Cte dale sunt necesare pentru a

acoperi terenul?

Trapezul. Clasificare. Proprieti

Def.: Patrulaterul convex care are dou latui paralele i dou neparalele se numete trapez

Clasificare:

a) Trapezul dreptunghic: - trapezul n care una din laturile neparalele este perpendicular

pe baze

AB = B baza mare; DC=b - baza mica

|| , ,AB CD DA AB DA DC

b) Trapezul isoscel - trapezul care are laturile neparalele congruente

|| ,AB CD DA BC

c) Trapezul ortodiagonal - trapezul cu diagonalele perpendiculare

Proprieti:

- ntr-un trapez isoscel unghiurile alturate unei baze sunt congruente;

- ntr-un trapez isoscel diaginalele sunt congruente;

A B

C D

A B

C D



- ntr-un trapez ortodiagonal isoscel nlimea este media aritmetic a bazelor

- ntr-un trapez ortodiagonal dreptunghic nlimea este media geometric a bazelor

Un trapez este isoscel dac: - unghiurile alturate unei baze sunt congruente

- diagonalele lui sunt congruente

Aria trapezului:

2

B b hA

, unde B - baza mare a trapezului, b - baza mic a trapezului i h-

nlimea trapezului (distana dintre cele dou baze)

Linia mijlocie in trapez

Def.: Segmentul de dreapt determinat de mijloacele laturilor neparalel ale unui trapez se

numete linie mijlocie.

ntr-un trapez linia mijlocie este paralel cu bazele i are lungimea egal cu semisuma

lungimilor acestora.

ABCD trapez, ||AB DC , M mij. AD, N mij. BC

|| , ||

. .

2

MN AB MN DC

MN l m AB DCMN

Probleme rezolvate:

1. n trapezul ABCD avem BC||AD, msura unghiului cu vrful in A este jumtate din msura

unghiului cu vrful in B iar acesta din urm este triplul msurii celui cu vrful in D. Aflai

msurile unghiurilor trapezului ABCD.

Dem.:

ABCD trapez cu BC||AD

0

0

180

180

m A m B

m C m D

Notm cu 0x msura unghiului D: 0m D x

03m B x

A B

C D

M N



03

2m A x

0 0 2) 0 0 0 0 0 0 03 9 2

180 3 180 180 180 402 2 9

m A m B x x x x

0 03 40 120m B

0 03

40 602

m A

040m D

0 0 040 180 140m C m C

2. Fie un trapez isoscel cu bazele AB i CD. Dac O este punctual de intersecie al

diagonalelor s se demonstreze c triunghiurile AOB i DOC sunt isoscele.

Dem.:

ABCD trapez isoscel || , ,AB CD AD BC BD AC

. .l l lBD AC

AD BC DAB CAB DBA CAB OAB OBA AOB

AB AB

isoscel cu

OB OA

. .l l lBD AC

AD BC DCA DBC ACD BDC OCD ODC COD

DC CD

isoscel cu

OC OD

A B

C D

O



3. Fie trapezul dreptunghic ABCD, AB||CD, m(A)=m(D)=90, AB=6 cm, CD=8 cm,

AD=3 cm. Calculai aria trapezului. Calculai aria triunghiului ABC.

Dem.:

2ABCD

B b hA

, , ,B DC b AB h AD

28 6 3 14 3 21

2 2ABCD

cm cm cm cm cmA cm

ABC ABCD ADCA A A

0 23 8

, 90 122 2

ADC

AD DC cm cmADC m D A cm

2 2 221 12 9ABCA cm cm cm

4. Calculai perimetrul patrulaterului BEFC unde ABC este un triunghi echilateral cu

latura de 10 cm iar E i F sunt mijloacele laturilor AB i respectiv AC.

Dem.:

ABC echilateral 10AB BC AC cm

A B

C D

6cm

8cm

3cm

A

B C

E F



n ABC : E mij AB i F mij AC

||

. . 105

2 2

EF BC

EF l m BCEF cm cm

BCEF trapez

isoscel cu 10

52

EB FC cm

10 5 5 5 25BCEFP BC CF FE EB cm cm cm cm cm

5. a) Calculai aria unui trapez ortodiagonal isoscel cu bazele 7cm, respectiv 15cm;

b) Calculai aria unui trapez ortodiagonal dreptunghic cu bazele 4cm i 9cm;

c) Calculai aria unui trapez ortodiagonal cu diagonalele 10cm i 6 cm.

Rezolvare:

a) 15 , 7B cm b cm

Trapez ortodiagonal isoscel7 15 22

112 2 2

B b cm cm cmh cm

27 15 11 22 11 1212 2 2

B b h cm cm cm cm cmA cm

Aria trapezului ortodiagonal isoscel este 2A h

b) 9 , 4B cm b cm

Trapez ortodiagonal dreptunghic 29 4 36 6h B b cm cm cm cm

29 4 6 13 6 392 2 2

B b h cm cm cm cm cmA cm

c) 1 210 , 6d cm d cm , unde 1 2,d d sunt diagonalele trapezului

Trapez ortodiagonal 21 210 6

302 2

d d cm cmA cm

Probleme propuse:

1. S se construiasc un trapez ABCD cu bazele AB i CD tiind c: AB=4cm, BC=3cm,

CD=2cm i AD=4cm.

2. Stabilii natura unui patrulater convex cu AB=CD i ABC BCD .

3. ntr-un trapez isoscel msura unui unghi este de 0100 . Determinai msurile celorlalte

unghiuri ale sale.



4. Demonstrai c dac ABCD este trapez isoscel cu baza mic [AB] i construim n exterior

ptratul ABEF, atunci [CE][DF].

5. ABCD este un trapez isoscel la care [AD] este baza mic. E(AD) astfel nct CE||AB. Ce

fel de triunghi este CED?

6. ABCD este un trapez isoscel cu [AB] i [CD] baze. M este intersecia dreptelor AD i BC.

Calculai msurile unghiurilor trapezului ABCD tiind c m(ADC)=60. Calculai msurile

unghiurilor triunghiului AMB. Calculai perimetrul triunghiului AMB dac MB=8 cm.

7. Fie ABCD un trapez cu bazele AB i CD. Dac O este punctul de intersecie al diagonalelor

i AO=BO, demonstrate c trapezul ABCD este isoscel.

8. Determinai lungimea unui trapez isoscel ortodiagonal cu bazele de 8cm i 10cm.

9. Calculai aria trapezului dreptunghic ABCD cu bazele AB=6cm, CD=8cm, 090m A i

AD=12cm.

10. Calculai aria unui trapez isoscel i ortodiagonal ce are bazele de 6cm i respectiv 12cm.

11. Un trapez are lungimea bazei mari de 24 cm i lungimea bazei mici de 8 cm. Calculai aria

trapezului dac nlimea sa este jumtate din media aritmetic a lungimilor bazelor.

12. Artai c diagonalele unui trapez determin pe linia mijlocie un segment de lungime egal

cu lungimea egal cu jumatatea diferenei dintre baza mare i baza mica a trapezului.

13. n trapezul isoscel ABCD ( || ,AB CD AB CD ) diagonalele AC i BD sunt perpendiculare.

Fie O punctul de intersecie al diagonalelor. tiind c AB=15cm i CD=7cm, calculai:

a) Lungimea liniei mijlocii a trapezului;

b) Lungimea segmentului [MN], unde M i N sunt interseciile perpendicularei din O pe dreapta

AB.

PatruLatere

Documents

Transcript of PatruLatere