MATEMATICA GIMNAZIU Probleme de geometrie tratare metodic

PAGE 4

MATEMATICA GIMNAZIU Probleme de geometrie tratare metodic

Paralelogramul Moto: s nu pierdem din vedere c, n clasele noastre, nu avem a forma candidai la secia de geometrie a Academiei de tiine ci mini clare, care vd just, care judec just.

L. Liard Les science dans lenseignement secondaire 1904

Este recunoscut rolul metodicii n predare nvare evaluare. [Nu oricine poate s fie profesor, n primul rnd din cauza absenei metodei! n.n.] Iar importana ei este cu att mai mare cu ct gradul de rigoare a disciplinei respective este mai ridicat. Este i cazul geometriei. Se pot scrie cri ntregi pe aceast tem. Ne vom referi doar la cteva aspecte ale geometriei la nivelul gimnaziului din punctul de vedere al metodicii predrii matematicii.

Tratarea metodic se impune, astfel, din cel puin cteva consideraii:

n primul rnd, rigoarea amintit mai sus s nu uitm c orice afirmaie trebuie s fie justificat (pe baza ipotezei i a cunotinelor acumulate), iar ntregul raionament reprezint o succesiune logic a implicaiilor;

Faptul (recunoscut!) c interesul elevilor este mai sczut la geometrie fa de cel pentru aritmetic i algebr;

Folosirea n cadrul unei demonstraii de geometrie, n general, a unui bagaj mare de cunotine legate printr-o altfel de reea de fire dect cea de la alte ramuri matematice;

Aparentul paradox reprezentat de faptul c, dei pare a avea un fundament solid privind modelul fizic, geometria prezint un ridicat caracter abstract;

O program excesiv de aglomerat n care totul pare esenial, posibilitile profesorului de a sintetiza fiind considerabil reduse acest lucru genereaz i ritmul alert n care, de obicei este parcurs materia;

Tendina general a elevilor de a memoriza, de a reduce la minimum construirea de conexiuni logice;

Ponderea redus a geometriei n programa ciclului liceal;

Spre deosebire de algebr pe care elevii o recepteaz drept o niruire algoritmic, geometria nu prezint imediat tipuri de probleme a cror rezolvare s nu ridice dificulti;

Nu n ultimul rnd, faptul c vederea n spaiu este o chestiune similar urechii muzicaleNe vom opri asupra paralelogramelor din cadrul capitolului Patrulatere.

Dup ce cunotinele anterioare vor fi strnite prin ntrebri i prin sarcina de a descrie (n cuvintele lor) i de a desena aceste figuri, se va ncepe cu definiia (evident, este vorba despre patrulaterul convex. n trecere, se poate face referire la patrulaterul concav pentru a face distincia dar fr a se insista, att pentru c se studiaz doar patrulaterul convex ct i pentru a nu ngreuna nelegerea):

Patrulaterul este figura geometric format de patru puncte A, B, C i D, dintre care oricare trei s nu fie coliniare i ndeplinind condiia c segmentele AB i CD ca i AD i BC s nu aib puncte interioare comune.

De remarcat c nu are rost s fie impus reinerea definiiei lucru care ar implica un efort deosebit i o pierdere a sensului n tentativa de a o reproduce. Este mult mai important recunoaterea patrulaterului dintre mai multe figuri date i construirea acestuia cu verificarea pe figur a condiiilor din definiie. Cele dou clase de obiecte studiate aici sunt paralelogramele i trapezele.

Paralelogramele reprezint o clas de patrulatere care au laturile opuse paralele adic ambele perechi de laturi opuse paralele. (Se poate ridica aici problema: ce se ntmpl dac doar dou laturi opuse sunt paralele? Este de ateptat ca elevii s recunoasc astfel, trapezul.) Deci, toate patrulaterele cu aceast proprietate sunt paralelograme. Exist patrulatere cunoscute din clasele anterioare care verific aceast proprietate? va veni ntrebarea. Elevii vor recunoate astfel cel puin ptratul i dreptunghiul.

Aadar, este momentul n care descoperim mpreun c unele dintre paralelograme au proprieti specifice pe care elevii le vor evidenia studiind reprezentarea grafic a acestora. Urmeaz expunerea definiiilor, subliniindu-se minimum-ul necesar concept reliefat de un unghi drept, de dou laturi consecutive congruente, etc., sintagme care apar n definiii, dei observaia elevilor va fi c toate unghiurile sunt drepte i c toate laturile sunt congruente.

Este un alt moment oportun de a observa c, ntr-un enun matematic (teorem, problem, definiie) nimic nu este n plus i nimic nu lipsete!

Este foarte important, n continuare, insistena discret a profesorului de a scoate n eviden relaiile dintre mulimile paralelogramelor, ptratelor, dreptunghiurilor i romburilor, treptat, ns, pe msura prezentrii elementelor acestei mulimi.

Astfel, o eficient metod de verificare a nelegerii temei este dat de uurina cu care elevii vor reui s sintetizeze, rspunznd la ntrebri de genul: care paralelograme au unghiurile drepte? sau n care diagonalele sunt bisectoare ale unghiurilor?.

Apar apoi condiiile necesare i suficiente, odat cu care profesorul va insista asupra echivalenei implicat de aceasta.

Lucruri asupra crora trebuie insistat pentru nelegerea noiunilor i n demonstraii (de fapt, acestea reprezint tendine generale i/ sau greeli tipice):

Definiia paralelogramului cuprinde, aa cum precizeaz i denumirea, paralelismul laturilor se poate evidenia acest lucru i prin construirea paralelogramului, ducnd laturile paralele, congruena lor aprnd ulterior!

Desenele se realizeaz cu ajutorul instrumentelor deja cunoscute i pe care este bine ca elevii s tie s le foloseasc n mod corespunztor, cu att mai mult cu ct tabla clasei nu este liniat i nici foaia de examen de exemplu, construirea dreptunghiului sau a ptratului se face translatnd echerul de-a lungul unei drepte, etc.

Paralelogramele particulare, aa cum reiese din definiia lor, sunt deja paralelograme, deci ndeplinesc (prin definiie) toate proprietile paralelogramului.

Prezentarea desenelor paralelogramelor dar i altfel poziionate, (de exemplu, rombul desenat cu dou laturi opuse orizontale) pentru a evita formarea la elevi de reprezentri n care poziia desenului influeneaz proprietile lui.

Alegerea triunghiurilor ce urmeaz a fi comparate la un moment dat.

Tendina de a folosi relaii ale concluziei n derularea metodei triunghiurilor congruente.

Elevii trebuie obinuii cu posibilitatea pe care o au de a executa construcii ajuttoare de exemplu, n demonstrarea congruenei laturilor opuse se vor trasa diagonalele.

Aplicaii

Acestea pot s apar pe parcursul ntregului material sau la sfritul acestuia. Se impune odat n plus, prezentarea gradat a problemelor, pentru a uura nelegerea i retenia. Astfel, se va ncepe firesc, cu aplicaii imediate ale teoriei, (se pot repeta aplicaii simple cu perimetre, chestiuni cunoscute din clasele anterioare) unele dintre acestea putnd s fie chiar demonstrarea de proprieti ale paralelogramelor. De exemplu, cnd sunt predate condiiile necesare i suficiente, profesorul poate demonstra o implicaie urmnd ca elevii s o demonstreze pe cealalt, evident cu sprijinul (persuasiv) al profesorului.

Apoi, problemele teoretice care ajut la utilizarea reprezentrilor mentale prin analiz i sintez:

1. Ce au n comun dreptunghiul i ptratul? Dar ptratul i rombul?

2. Care paralelograme au diagonalele perpendiculare?

3. Care paralelograme au laturile congruente?

4. Care au toate unghiurile congruente?

5. Diagonalele cror paralelograme sunt bisectoarele unghiurilor acestora?

6. Desenai un romb cu un unghi drept.

7. Desenai un dreptunghi cu oricare dou laturi congruente.

8. Desenai un paralelogram care s nu aib unghiuri drepte.

9. Numii paralelogramele care s nu fie romburi.

10. Numii triunghiuri congruente din interiorul unui paralelogram.

i mai departe:

11. Dac un romb are un unghi de 60o, atunci o diagonal a sa este congruent cu laturile.

12. Linia mijlocie n triunghi este jumtate din latura opus.

13. Mijloacele laturilor unui dreptunghi formeaz un romb. (Interesant de prezentat aceast problem evident, i n funcie de nivelul clasei sub forma: ce formeaz mijloacele laturilor unui dreptunghi? Demonstrai.)14. Mijloacele laturilor unui romb formeaz un dreptunghi.

15. Mijloacele laturilor unui ptrat formeaz un ptrat.

(Dintre problemele 13 15 este suficient rezolvarea la tabl doar a uneia dintre ele i s se recomande ca tem celelalte dou).

Este foarte important ca, de la nceput s se lucreze difereniat. Cci este de ateptat ca elevii buni s deprind repede utilizarea noiunilor i a proprietilor acestora. Astfel, o variant de rezolvare de probleme este aceea de a distribui fie de lucru elevilor buni care vor ndeplini sarcinile individual, iar ceilali vor rezolva la tabl probleme cu un grad mediu de dificultate. (ntre timp, profesorul va supraveghea i activitatea individual a celor buni.)

Alte aplicaii

Exist probleme care n manualele mai vechi apreau ca proprieti, aa-numitele probleme remarcabile, aceasta neimplicnd neaprat un grad ridicat de dificultate ci remarcabile pentru aplicabilitatea lor. De exemplu:

1. Mediana din vrful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic este jumtate din ipotenuz.

2. S se demonstreze c mijlocul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal deprtat de cele trei vrfuri ale triunghiului.

3. Demonstrai c mijloacele laturilor unui patrulater convex reprezint vrfurile unui paralelogram.

4. S se arate c bisectoarele interioare ale unghiurilor unui paralelogram formeaz un dreptunghi. Artai c laturile acestuia sunt paralele cu laturile paralelogramului.

5. n triunghiul ABC, G este punctul de intersecie al medianelor BE i CF. Dac M i N sunt mijloacele segmentelor BG i, respectiv CG, s se arate c patrulaterul MNEF este paralelogram.

Exist un mare pericol: excesiva teoretizare i axiomatizare, exagerata rigoare, fenomene care nu doar ngreuneaz nelegerea ci duc la disfuncii ale nvrii i la deplasarea ateniei ctre reproducerea exact a unui enun, deci la forma acestuia, neglijnd coninutul i nuanele acestuia. n acest sens, credem c, pe lng o modificare rapid i o substanial aerisire a programei, se impune evitarea unor corecii aplicate de ctre profesor elevului care a neles fenomenul dar nu a folosit corect, riguros limbajul strict, impus de manuale. De exemplu, ni se par pertinente observaiile autorilor materialului [1] din bibliografie cnd vorbesc despre congruen sau despre numrul raional introdus drept o clas de echivalen. Astfel, credem c este mai important dac elevul a neles c unghiurile determinate de bisectoare sunt egale dect excesiv de rigurosul congruente, cu att mai mult cu ct ei oricum, asociaz intuitiv egalitii unghiurilor egalitatea msurilor lor. Inclusiv folosirea parantezelor care ar delimita conceptele de segment, dreapt, lungimea unui segment ni se pare uor forat cci, nu numai c se nregistreaz o tendin general de simplificare a limbajului, dar sensul segment ca obiect geometric sau lungimea lui se va deduce fr echivoc din context, deci nu exclusiv din nsoirea notaiei de ctre paranteze! De asemenea, niruirea genitivelor ndeamn la nvarea mecanic, pierznd sensul matematic: suma ptratelor lungimilor catetelor triunghiului dreptunghic, lucru care se poate evita i asigurnd nelegerea efectiv prin descrierea n cuvinte a pailor din aplicarea teoremei respective.

Prof. Ctlin Minescu, coala cu clasele I-VIII Bobiceti

Prof. Corina Minescu, coala cu clasele I-VIII GropaniSurse bibliografice

[1]Brnzei, D. i Brnzei, R.Metodica predrii matematicii, Ed. Paralela 45, Piteti, 2000

[2]Hrgu, DumitruElemente de didactica matematicii, Ed. Universit-ii de Vest, Timioara, 2001

[3]Minescu, C. i Minescu, C. Repere n proiectarea demersului didactic, Ed. Else, Craiova, 2002

[4]Popescu, O. i Radu, V.Metodica predrii geometriei n gimnaziu, Ed. Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1983

[5]Sabu, . i Svulescu, D.Cum demonstrm c?, Ed. Paralela 45, 1995

[6]ieica, G. Probleme de geometrie, Ed. Apollo, Craiova, 1992

[7]Zlate, B. i aliiMetodica predrii geometriei, Ed. Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1965

[8]Minescu, C. i Minescu, C. Geometria poligoanelor,

Ed. Universitii de Vest, Timioara, 2005