oscilatii

OSCILATIIARMONICE 1.DefinitiiFie un corp care, la un moment dat se afla intr-o pozitie in care rezultanta fortelor aplicate estenula. Aceasta reprezintapozitia de echilibrua lui.Prinoscilatieintelegem o miscare ce se executa de-o parte si de alta a unei pozitii de echilibru.Nota: aceasta definitienuimpune nici un fel de constrangeri asupra miscarii:a) deplasarea maxima fata de pozitia de echilibru de-o parte a pozitiei de echilibrunutrebuie sa fie egala cu deplasarea maxima de cealalta parte a pozitiei de echilibru;b) timpul cat corpul evolueaza de-o parte a pozitiei de echilibrunutrebuie sa fie egal cu timpul cat corpul evolueaza de cealalta parte a pozitiei de echilibru; se cere DOARca miscarea sa fie cand de-o parte, cand de cealalta a pozitiei de echilibru.In matematica se numescfunctii ARMONICEfunctiile SIN si COS.Prinoscilatie ARMONICAintelegem acea oscilatie descrisa de functii armonice.Exemple:miscarea limbii unui ceas cu pendul;miscarea unui corp atarnat de un resort (daca NU se depaseste limita alungirilor elastice ale resortului);etc.Astfel de miscari se caracterizeaza prin aceea ca se repetain mod identicdupa intervale egale de timp. Deci, aceste miscari suntmiscari PERIODICE. Marimile definite (la modul general) pentru ORICE miscare periodica, sunt valabile si in cazul miscarilor oscilatorii armonice.Perioada( T ) unei miscari oscilatorii armonice este o marime fizica scalara numeric egala cu timpul in care se executa o oscilatie completa.(1)< T > = s.Secunda este unitate fundamentala in S. I.Frecventaunei miscari oscilatorii armonice ( ) este o marime fizica scalara numeric egala cu numarul de oscilatii complete efectuate in unitatea de timp.Perioada si frecventa suntmarimi inverse, deci:(2)T = 1, de unde, pentru relatia de definitie a frecventei:(3)(4).Sa definim aceasta unitate de masura (1 Hz = Hertz).1 Hzeste frecventa acelei miscari periodice in cadrul careia se efectueaza cate o miscare completa in fiecare secunda.Acestea sunt marimi caracteristicenu numaioscilatiilor, ci ORICARUI TIP DE MISCARE PERIODICA.Miscarea oscilatorie armonica este descrisa de un model specific, numitmodelul oscilatorului liniar armonic, model care va fi detaliat in cele ce urmeaza. 2.Modelul oscilatorului liniar armonicconsta inproiectia unei miscari circulare uniforme pe unul din diametri.y

INCLUDEPICTURE "http://www.rasfoiesc.com/files/fizica/98_poze/image007.gif" \* MERGEFORMATINET





INCLUDEPICTURE "http://www.rasfoiesc.com/files/fizica/98_poze/image015.gif" \* MERGEFORMATINET ( P )yOxFig. 2.1Fie un punct material (P) care descrie cu viteza constanta o traiectorie circulara de raza A. Viteza mobilului pe traiectorie este notata cuv0. Proiectia punctului figurativ (P) pe diametrul verticaloyva efectua o miscare de-o parte si de alta a originii O, deplasarea maxima de fiecare parte fiind egala cuA.Deci,proiectiamiscarii circulare uniforme a punctului figurativ ce efectueaza miscarea circulara uniforma reprezinta omiscare oscilatorie.Coordonata oscilatorului ( y ) se numesteelongatie.Valoarea maxima a elongatiei( A ) se numesteamplitudine.Din figura 2.1 deducemlegea elongatiei:(1),in care argumentul ( ) al functiei armonice se numestefazamiscarii oscilatorii. Aceasta are ca si corespondent in miscarea circulara uniforma:(2), in carereprezintaviteza unghiularaa punctului figurativ ce descrie miscarea circulara.In cazul miscarii oscilatorii, marimeapoarta numele depulsatiesi are aceeasi unitate de masura ca si marimea corespondenta din miscarea circulara uniforma ( radian/s ).Inlocuind (2) in (1) obtinem legea EXPLICITA a elongatiei:(3).Pentru a gasilegea vitezeiutilizam relatia de definitie a vitezei instantanee:(4).Dupa efectuarea calculelor se obtine:(5).Acceleratia instantanee a oscilatorului se gaseste utilizand relatia de definitie a acceleratiei instantanee:(6), ceea ce, dupa efectuarea calculelor inseamna:(7).Nota: relatiile (5) si (7) se pot deduce din (3) si prin utilizarea unor metode matematice elementare, fara utilizarea operatorului derivata. Aceste demonstratii, accesibile elevilor din clasele mici de liceu, sunt prezentate inAnexa 1. 3.Forta elasticaComparand relatiile (3) si (7) se observa ca putem stabili urmatoarea relatie intre ele:(1).inmultind ambii membri ai relatiei (1) cu masama oscilatorului, gasim:(2)in care:(3)reprezintaforta TOTALAaplicata oscilatorului (rezultanta forteloraplicate).Notand produsul din paranteza din membrul drept:(4), gasim:(5), ceea ce inseamna ca marimeakdefinita de relatia (4) reprezinta echivalentulconstantei elasticea resortului de careartrebui atarnat oscilatorul cu masampentru a oscila conform relatiei (2.3).Daca forta totala aplicata unui sistem fizic se poate pune sub forma (5), oricare ar fi expresia marimiik, cu conditia doar ca aceasta sa fie O CONSTANTA, se spune ca forta aplicata estede tip elastic.Deoarece, asa cum se demonstreaza in cadrul studiului miscarii circulare:(6), coreland (4) cu (6) obtinem, pentru perioadaMICILORoscilatii armonice:(7).Sunt multe probleme in care se cere ca, pentru un sistem fizic dat,sa se arate ca daca este scos din pozitia de echilibru si lasat liber, va efectuaoscilatii armonice. De cele mai multe ori este greu sa demonstram ca, lasat liber, sistemul se va misca respectand legea (2.3).Relatia (5) ne permite sa enuntamurmatoarea teorema (pe care o prezentanfara demonstratie):Conditia necesara si suficienta ca un sistem fizic sa efectueze oscilatii armonice este ca forta totala aplicata sa fie DE TIP ELASTIC.In cele mai multe cazuri este mult mai facil sa se arate ca forta totala aplicata este de tip elastic, ceea ce ne va indreptati sa afirmam ca sistemul studiat, lasat liber intr-o pozitie apropiata celei de echilibru,va efectua OSCILATII ARMONICE.Perioada acestora se calculeaza usor prin utilizarea relatiei (7). 4.Energia oscilatorului liniar armonicEnergia totala mecanica a oricarui sistem fizic are doua componente: energia cinetica si cea potentiala.Pentru energia cinetica utilizam cunoscuta relatie:(1)in care, dupa inlocuirea legii vitezei (2.5) gasim dependenta:(2)si tinand seama de (3.4):(3).Pentru a determina dependenta de timp a energiei potentiale, vom tine seama ca oscilatorul studiat se miscain campul fortelor elastice. Dupa cum s-a aratat in cadrul capitolului "Lucru mecanic, energie, putere", energia potentiala in campul fortelor elastice se exprima ca fiind:(4)in care, in urma inlocuirii relatiei (2.3), deducem:(5).Pentru a determina energia TOTALA, tine seama ca:(6).In urma inlocuirii in aceasta expresie a relatiilor (4.3) si (4.5), tinand seama de identitatea fundamentala a trigonometriei, obtinem:(7)Remarcam faptul ca,in absenta frecarilor, energia totala a oscilatorului liniar armonic este constanta in timp.Aceasta ultima afirmatie reprezinta enuntul in cuvinte allegii conservarii energiei, particularizata tipului de miscare studiat.

oscilatii

Documents

Transcript of oscilatii