Oscilaiile armonice i caracteristicile lor

Se numesc oscilaii procesele care se repet n timp. Oscilaiile care se supun legii sinusului sau cosinusului se numesc armonice. Dac oscilaiile au loc n absena unor aciuni din exterior, atunci oscilaiile se numesc libere.

Fie c un corp de mas m , care poate s se deplaseze fU frecri pe o suprafa orizontal, este legat de un resort, un capt al cruia este fixat (fig.1). Coeficientul de elasticitate al resortului este k . Dac abatem corpul de la poziia de echilibru (de exemplu, comprimnd resortul), atunci corpul ncepe s se mite sub aciunea forei de elasticitate a resortului

F kx . (1)

Fig.1

Conform legii II a lui Newton F mg N ma G G

G G . Proiectnd ultima expresie pe axa xi innd cont de (1), obinem

0ma kx . (2)

Acceleraia corpului este 2

2

d d xa xdt dt

v . Introducnd n (2), obinem

0mx kx , sau 0kx xm

. (3)

Notm: 2km

Z . (4)

Obinem: 2 0x xZ . (5) Expresia (5) se numete ecuaia diferenial a oscilaiilor libere armonice neamortizate. Soluiile

acestei ecuaii sunt:

sin

cos

x A t

x A t

Z MZ M

. (6)

Din (6) vedem c sub aciunea forelor elastice corpul efectueaz oscilaii armonice. Forele care pot fi reprezentate sub forma (1) se numesc fore cvasielastice. Sub aciunea forelor cvasielastice corpul la fel efectueaz oscilaii armonice.

Vom caracteriza mrimile din expresiile (6). 0rimea x se numete elongaiei reprezint abaterea corpului de la poziia de echilibru. Mrimea A

se numete amplitudinea oscilaiilori reprezint abaterea maximal de la poziia de echilibru. tZ M se numete faza oscilaiilor. Faza caracterizeaz starea oscilatorului la momentul de timp t . M se numete faza iniial a oscilaiilor i caracterizeaz starea oscilatorului la momentul iniial de timp 0t .

Intervalul de timp n care are loc o oscilaie complet se numete perioada oscilaiilor T. Numrul oscilaiilor efectuate ntr-o unitate de timp se numete frecvena oscilaiilor Q . Numrul

oscilaiilor efectuate n 2S secunde se numete pulsaie Z . ntre pulsaie, frecveni perioad exist relaia: 22

TSZ SQ

22TSZ SQ . (7)

Din (4) i (7) obinem

2 mTk

S . (8) Expresia (8) reprezint perioada oscilaiilor pendulului cu resort. Se poate de demonstrat c perioada oscilaiilor pendulului gravitaional simplu este

2 lTg

S , (9)

unde l este lungimea pendulului, iar g acceleraia gravitaional. Viteza i acceleraia oscilatorului sunt:

sin cosdx d A t A tdt dt

Z M Z Z M v = . (10)

2cos sind d A t A tdt dt

Z Z M Z Z M va = . (11)

Energia oscilatorului este compus din energia cinetici cea potenial: 2 2

2 2m kxW v .

Introducem (6) i (10) n ultima expresie:

2 2cos sin2 2m kW A t A tZ Z M Z M .

2 2 2 2 2 2 2cos sin cos sin2 2 2m k k kW A t A t A t t

mZ M Z M Z M Z M .

2

2kAW . (12)

Expresia (12) reprezint energia oscilaiilor.

Pendulul fizic

Pendulul fizic este un corp rigid care poate oscila sub aciunea forei de greutate n jurul unei axe ce nu trece prin centrul de mas a corpului.

Fie c un corp poate s se roteasc n jurul unei axe ce trece prin punctul O. Notm prin a distana de la centrul de mas C a corpului pn la axa de rotaie.

Dac abatem corpul de la poziia de echilibru sub un unghi M atunci corpul va ncepe s se roteasc sub aciunea forei de greutate. Momentul acestei fore este:

sinM mgd mga M . (13) Semnul - ne arat c fora de greutate tunde totdeauna s ntoarc

corpul n poziia de echilibru. Pentru unghiuri mici de abatere a corpului sinM M| i din (13)

obinem M mgaM (14)

Conform ecuaiei de baz a dinamicii miFrii de rotaie: M IH . (15) Acceleraia unghiular este:

2

2

d ddt dtZ MH M . (16)

Fig.2

Introducem (14) i (16) n (15):

I mgaM M , sau 0mgaI

M M (17)

Notm: 2mgaI

Z . (18) Obinem:

2 0M Z M . (19) Expresia obinut este analogic expresiei (5). Deci, pendulul fizic, abtut cu un unghi mic de la poziia de echilibru va efectua osculaii armonice.

Perioada acestor oscilaii conform (7) i (18) este:

2 ITmga

S . (20)

Comparnd (9) i (20), putem introduce notaia IL

ma . (21)

Atunci pentru perioada oscilaiilor pendulului fizic obinem expresia:

2 LTg

S (22)

0rimea L se numete lungime redus a pendulului fizic. Lungimea redus a pendulului fizic reprezint lungimea unui pendul gravitaional sincron cu cel fizic.

Compunerea oscilaiilor coliniare Fie c un corp particip la dou oscilaii armonice coliniare de aceeai frecven descrise de ecuaiile

1 1 1sinx A tZ M , 2 2 2sinx A tZ M .

n rezultatul compunerii acestor oscilaii corpul va efectua o micare oscilatorie armonic de aceeai frecven, descris de ecuaia:

sinx A tZ M . Vom determina amplitudinea Ai faza iniial M a oscilaiilor rezultante utiliznd metoda fazorilor. n conformitate cu aceast metod fiecare oscilaie se reprezint printr-un vector modului cruia este

egal cu amplitudinea oscilaiei. Vectorul oscilaie se rotete n jurul originii unui sistem de coordonate cu viteza unghiular Z egal cu frecvena oscilaiei. n momentul iniia de timp vectorul oscilaie formeaz cu axa absciselor un unghi M egal cu faza iniial a oscilaiei.

Fig.3

Conform teoremei cosinusurilor, din figura 3 obinem:

2 2 21 2 1 22 cos( )A A A A A S M ' ,

2 2 21 2 1 22 cosA A A A A M ' . (23)

Din (23) putem determina amplitudinea oscilaiilor rezultante. Din figura 3 obinem:

1 2 1 1 2 2

1 2 1 1 2 2

sin sincos cos

y y y

x x x

A A A A AtgA A A A A

M MM M M

. (24)

Din (24) putem determina faza iniial a oscilaiilor rezultante. Vom cerceta cteva cazuri particulare: 1. Diferena de faz ntre oscilaiile care se compun este egal cu zero (oscilaiile au loc n aceeai

faz). Din (23) obinem:

22 2 21 2 1 2 1 22A A A A A A A , sau 1 2A A A (25)

Din (25) vedem c n acest caz amplitudinea oscilaiilor rezultante este egal cu suma amplitudinilor oscilaiilor componente.

Graficul compunerii oscilaiilor n acest caz este reprezentat n fig. 4

Fig.4

2. Diferena de faz ntre oscilaiile care se compun este egal cu S (oscilaiile au loc n faze opuse). Din (23) obinem:

22 2 21 2 1 2 1 22A A A A A A A , sau 1 2A A A (26)

Din (26) vedem c n acest caz amplitudinea oscilaiilor rezultante este egal cu diferena amplitudinilor oscilaiilor componente.

Graficul compunerii oscilaiilor n acest caz este reprezentat n fig. 5.

Fig.5

Dac frecvenele oscilaiilor care se compun difer puin una de alta, atunci se obin oscilaii amplitudinea crora variaz periodic. Astfel de oscilaii se numesc EWi. Graficul bWilor este reprezentat n fig. 6.

Intervalul dintre dou momente vecine de timp n care amplitudinea oscilaiilor este minimal se

numete perioada bWilor i are valoarea 2T SZ ' , unde Z' este diferena dintre frecvenele oscilaiilor care se compun.

Fig.6

Compunerea oscilaiilor reciproc perpendiculare Fie c un corp particip la dou oscilaii armonice reciproc perpendiculare de aceeai frecven.

Pentru simplitate vom considera faza iniial a uneia din oscilaii egal cu zero. Ecuaiile care descriu aceste oscilaii sunt:

1

2

cos ,cos

x A ty A t

ZZ M

(27)

Pentru a obine ecuaia traiectoriei miFrii rezultante a corpului, din legile miFrii (27) trebuie s excludem timpul. Din (27) obinem:

1

cos xtA

Z , (28)

2

cos ytA

Z M . (29)

innd cont de expresia cos cos cos sin sinD E D E D E , din (29) obinem

2

cos cos sin sin yt tA

Z M Z M , sau

2

2

cos cos 1 cos sin yt tA

Z M Z M . Introducem (28) n ultima expresie:

2

21 1 2

cos 1 sinx x yA A A

M M .

2

21 1 2

1 sin cosx x yA A A

M M . Ridicm la ptrat ultima expresie: 22

221 1 2

1 sin cosx x yA A A

M M

,

2 2 22 2 2

2 2 21 1 2 1 2

sin sin cos 2 cosx x y x yA A A A A

M M M M ,

2 22 2 22 21 2 1 2

sin cos 2 cos sinx y x yA A A A

M M M M , sau 2 2

22 21 2 1 2

2 cos sinx y x yA A A A

M M (30)

Ecuaia (30) este ecuaia traiectoriei miFrii rezultante a corpului. Aceasta este ecuaia unei elipse cu semiaxele orientate arbitrar fa de axele unui sistem rectangular de coordonate.

Vom cerceta cteva cazuri particulare: 1. Diferena de faz ntre oscilaiile care se compun este egal cu zero (oscilaiile au loc n aceeai

faz). n acest caz, 2 1 0 0M M M M M' i din (30) obinem

2 2

2 21 2 1 2

2 0x y x yA A A A

, 2

1 2

0x yA A

, 1 2

0x yA A , sau

2

1

Ay xA

. (31)

Din (31) vedem c traiectoria miFrii corpului n acest caz este o linie dreapt situat n cadranele I-III (fig.7).

Fig.7 Fig.8

2. Diferena de faz ntre oscilaiile care se compun este egal cu S (oscilaiile au loc n faze opuse). n acest caz, 2 1 0M M M M M S' i din (30) obinem

2 2

2 21 2 1 2

2 0x y x yA A A A

, 2

1 2

0x yA A

, 1 2

0x yA A , sau

2

1

Ay xA

. (31)

Din (31) vedem c traiectoria miFrii corpului n acest caz este o linie dreapt situat n cadranele I-IV (fig.8).

3. Diferena de faz ntre oscilaiile care se compun este egal cu / 2S . n acest caz, / 2M M S' i din (30) obinem

2 2

2 21 2

1x yA A

. (32)

Din (32) vedem c n acest caz traiectoria miFrii corpului reprezint o elips cu semiaxele orientate de-a lungul axelor de coordonate (fig.9).

Fig.9

Dac amplitudinile oscilaiilor sunt egale, atunci elipsa se transform ntr-un cerc. Din cele expuse vedem c n urma compunerii oscilaiilor reciproc perpendiculare de aceeai

frecven traiectoria miFrii corpului va reprezenta o elips, care n dependen de diferena de faz dintre oscilaiile care se compun, poate s se transforme sau ntr-o linie dreapt, sau ntr-un cerc.

n cazul cnd frecvenele oscilaiilor care se compun sunt diferite, atunci traiectoria miFrii corpului reprezint nite figuri mult mai complicate, numite figurile lui Lissajous.

Oscilaiile amortizate Demonstrnd ecuaia oscilaiilor armonice (5), am considerat c corpul se miF doar sub aciunea

unei fore cvasielastice. n orice sistem oscilant real acioneaz fore de rezisten, din cauza crora energia oscilaiilor i corespunztor amplitudinea lor treptat se micoreaz. Astfel de oscilaii se numesc amortizate.

Dac viteza de micare a oscilatorului este relativ mic, atunci fora de rezisten a mediului este proporional cu viteza corpului

rF r rx v Ecuaia (3) n acest caz se va scrie astfel:

0mx rx kx , sau 0r kx x xm m

(33) Introducem notaiile:

2rm

E , (34)

20

km

Z (35) 0rimea E se numete coeficientul amortizrii. 0Z se numete frecvena proprie a oscilatorului i

reprezint frecvena pe care ar avea-o oscilatorul, dac ar lipsi rezistena mediului. Introducem (34), (35) n (33):

202 0x x xE Z (36)

Ecuaia (36) se numete ecuaia diferenial a oscilaiilor amortizate. Soluia acestei ecuaii are forma tx e uE , (37)

unde u este o funcie dependent de timp. Aflm prima i a doua derivat a expresiei (37):

t tx e u e uE EE (38) 2 t t t tx e u e u e u e uE E E EE E E (39)

Introducem (37) (39) n (36): 2 2 2

02 2 0t t t t t t te u e u e u e u e u e u e uE E E E E E EE E E E E Z .

2 2 202 2 0u u u u u u uE E E E E Z .

2 20 0u u uE Z .

2 20 0u uZ E . (40) Soluia ecuaiei (40) este

0 cosu A tZ M , (41) unde 2 20Z Z E .

Introducem (41) n (37): 0 costx A e tE Z M (42)

Expresia (42) reprezint ecuaia care descrie oscilaiile libere amortizate. Mrimea 0

tA A e E (43) reprezint amplitudinea oscilaiilor amortizate. Din (43) vedem c amplitudinea acestor oscilaii depinde de timp. Graficul oscilaiilor amortizate este reprezentat n fig. 10.

Din (43) vedem c intervalul de timp W n care amplitudinea se micoreaz de e ori este 1/W E . De aici rezult c coeficientul de amortizare este mrimea invers intervalului de timp n care amplitudinea se micoreaz de e ori. Timpul W se mai numete timp de relaxare. n timpul W sistemul efectueaz

/eN TW oscilaii.

Fig.10

0rimea egal cu raportul dintre amplitudinea oscilaiilor n momentul de timp t ( )A t i amplitudinea

peste o perioad ( )A t T se numete decrement al amortizrii. Logaritmul natural al acestui raport se numete decrement logaritmic al amortizrii G .

( )ln( )A t

A t TG

. (44)

Introducem (43) n (44): 0

( )0

ln ln lnt t

Tt T t T

A e e e TA e e e

E EE

E E EG E

. (45)

Din (45) obinem: / 1/ eT T NG E W . Din ultima expresie vedem c decrementul logaritmic este Prime invers numrului de oscilaii n decursul crora amplitudinea se micoreaz de e ori.

Pentru caracterizarea sistemului oscilant deseori se utilizeaz mrimea / eQ NS G S numit factor de calitate a sistemului oscilant. Dup cum vedem din ultima expresie, factorul de calitate a sistemului oscilant este proporional cu numrul de oscilaii eN n decursul crora amplitudinea oscilaiilor se micoreaz de e ori.

Autooscilaii Rezonan parametric