OLM_Brasov_2015_cl_9-12

8/19/2019 OLM_Brasov_2015_cl_9-12

http://slidepdf.com/reader/full/olmbrasov2015cl9-12 1/4

OLIMPIADA DE MATEMATIC AFaza locala

Brasov, 28 februarie 2015

Clasa a IX-a

1. Vericati ca numarul 720 −1 este divizibil cu 103 si determinat¸i ultimele trei cifreale numarului 7 2015 .

Marin Marin

2. Rezolvati ın mult¸imea numerelor reale ecuat ia

[x + 2015] −5x −2015

2=

x2

+ 2015,

unde [a ] reprezint a partea ıntreag˘ a a numarului real a.

Ioana Masca

3. Fie ABC un triunghi ın care ( b+ c)−→P A + ( c + a )−−→P B + ( a + b)−→P C = 0, unde punctul

P ∈ {O,I ,G }. Demonstrat i ca triunghiul ABC este echilateral. (Notat¸iile sunt celeuzuale).

Gazeta Matematic˘a - Supliment cu exercit ii, octombrie 2014.

4. Rezolvati ın mult¸imea numerelor reale ecuat ia

x −a 1

a 2 + ... + an+

x −a 2

a 1 + a3 + ... + an+ ... +

x −a n

a 1 + ... + an − 1=

nxa 1 + ... + an

,

unde n ≥2 si a i > 0, i∈ {1, 2, · · · , n}.

Florica Zubascu-Andreica

Nota. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valoreaz˘ a 7 puncte.Timp de lucru 3 ore.

8/19/2019 OLM_Brasov_2015_cl_9-12




Clasa a X-a

1. Fie n∈

N , n ≥2 si numerele z 1 , z 2 ,...,z n ∈C astfel ınc at |z 1 | = |z 2 | = ... = |z n | = 1si z 1 + z 2 + ... + z n = 0.

(a) Demonstrat¸i ca |z −z 1 |2 + |z −z 2 |2 + ... + |z −z n |2 = n|z |2 + n , pentru oricez ∈C .

(b) Demonstrat¸i ca |z −z 1 | + |z −z 2 | + ... + |z −z n | ≤ n√ 2, pentru orice z ∈ C ,

|z | ≤1.

Gazeta Matematic˘a 12/2014

2. Sa se rezolve ecuatia

14x + 1

+ 1

2x ·3x −1 =

2x

4x ·3x −2 ·2x −3x.

Marin Marin

3. Rezolvati ecuat ia log2015 [log2015 x] = 1, unde [a ] reprezint a partea ıntreag˘ a anumarului real a.

Ioana Masca

4. Determinat i valorile reale x, y,z , pentru care

2 x 2

x 2 +1 = y3 y 3

y 4 + y 2 +1 = z 4 z 4

z 6 + z 4 + z 2 +1 = x.

Sorina Stoian


8/19/2019 OLM_Brasov_2015_cl_9-12




Clasa a XI-a

1. Sirurile ( x n )n ≥ 0 si (yn )n ≥ 0 de numere reale sunt denite prin x0 = y0 = 1 si

x n +1

yn +1=

12

3 51 3 ·

x n

yn, n ≥0.

Sa se arate ca xn +2 −3x n +1 + xn = 0 si yn +2 −3yn +1 + yn = 0, pentru orice n ≥0.Sa se demonstreze ca ecuatia x2 −5y2 = −4 are o innitate de solut ii ın mult imeanumerelor ıntregi.


2. Fie A∈Mn (C ), cu proprietatea det ( A + mI n ) = m n det A + 1

m I n , pentru oricarem ∈ {1, 2, · · · , n + 1}, unde I n este matricea unitate de ordinul n . Sa se arate cadet( A) = 1.

Marin Marin

3. (a) Fie matricea A =1 1 11 ω ω2

1 ω2 ω∈M

3 (C ), unde ω este o radacina de ordinul

3 a unit at ii, diferit a de 1. Sa se determine A2015 .

(b) Sa se arate c a ecuatia matriceal˘a X 2 =0 1 01 0 00 0 1

nu are solutii ın mult¸imea

M3 (R ), dar admite solut ii ın mult¸imea M3 (C ).

Ioana Masca

4. Se considera sirul ( x n )n ≥ 1 de numere reale pozitive cu limn →∞

x n = 0. Sa se calculezelim

n →∞

a n

n , unde

a n = 20152 x 21 + 2015x 1 x 2 + x2

2 + 20152 x 22 + 2015x 2 x 3 + x2

3 + ...+

+ 20152 x 2n + 2015x n x 1 + x2

1 .

Florica Zubascu-Andreica

Nota. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valoreaz˘ a 7 puncte.

Timp de lucru 3 ore.

8/19/2019 OLM_Brasov_2015_cl_9-12




Clasa a XII-a

1. Fie functia f : Z 9 −→ Z 9 , f (x) = x9 . Sa se determine submult imile nevide A alemult imii Z 9 cu proprietatea f (A) = A .


2. Fie (A, + , ·) un inel si dou a elemente xate a, b∈

A cu proprietatile (a + b)2 = a 2 + b2

si (a + b)3 = a 3 + b3 . Sa se arate ca (a + b)n = a n + bn , pentru orice num ar naturalnenul n .

Marin Marin

3. Determinat i primitiva F : R −→R a functiei f : R −→R

f (x) = sin x ·sin x − π

4

e2 x + sin 2 x ,

pentru care F (0) = 0.

Ioana Masca

4. Sa se calculeze

2x + 5(x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) + a

dx,

unde a ≥1.

Sorina Stoian


OLM_Brasov_2015_cl_9-12

Documents

Transcript of OLM_Brasov_2015_cl_9-12