OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 26 … 2017 ENUNTURI V-XII.pdf · Str. General Berthelot,...

____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Oltsector 1, 010168, București E/mail ISJ: [email protected]: +40 (21) 405 62 00 Tel: +40 (249) 41 09 27+40 (21) 405 63 00 Fax: +40 (249) 41 28 01www.edu.ro www.isjolt.ro

OLIMPIADA DE MATEMATICĂETAPA LOCALĂ

26 FEBRUARIE 2017Clasa a V-a

Subiectul 1Determinaţi două numere naturale a căror sumă să fie egală cu 320, ştiind că, dacă îl împărţim peprimul la al doilea, obţinem restul 20, iar, dacă îl împărţim pe al doilea la primul, obţinem restul150.

Subiectul 2a) Determinați numerele naturale m, n și p astfel încât 8 4 2 5921m pmnm ;

b) Aflați suma cifrelor numărului 2016 100810 10 5.a

Subiectul 3Fie șirul 3, 11, 27, 59, 123,...a) Să se scrie următorii doi termeni ai șirului;b) Dacă S este suma primilor 100 de termeni ai șirului, să se arate că 500 :8 1 : 2S estecub perfect.

Subiectul 4Determinați numărul abcd știind că

3 2abcd ca cd .

NOTĂ. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.

____________________________________________________________________________________



26 FEBRUARIE 2017Clasa a VI-a

Subiectul 1

Rezolvaţi ecuaţia: 1 2 2015... 20162016 2017 2018 4031

x x x x .

Subiectul 2

Arătați că numerele zxy și yxz sunt pătrate perfecte, dacă 1 7 .64

xyxyz y z

Subiectul 3

Se consideră unghiurile adiacente suplementare AOB și AOC astfel încât 0( ) 90m AOB .În semiplanul determinat de dreapta BC și de punctul A, se consideră semidreptele (OM și (OPastfel încât OM BC șiOP OA .

a) Demonstrați că AOM POC .b) Demonstrați că bisectoarele (OE și (OF ale unghiurilor AOM respectiv POC sunt

perpendiculare.

Subiectul 4

Determinați numerele prime a, b, c pentru care 15 35 91 2015a b c .


____________________________________________________________________________________



26 FEBRUARIE 2017Clasa a VII-a

Subiectul 1

Aflați numerele naturale abcd care îndeplinesc simultan condițiile:

i) 2016 2016 2016 20162011 2012 2020 2021

a b c dd c a b

,

ii) .abcd

Subiectul 2

Arătați că numărul 3 12 3 5 3 7 3 14n n na pentru orice n .

Subiectul 3

Fie triunghiul ABC dreptunghic în A, ( )D BC astfel încât 2BD = DC, ( ) 30om BCA , F

mijlocul laturii AB, (BE bisectoarea ABC , ( ), .E AC BE AD O

Arătați că:

a) ED AB ;b) C, O, F coliniare.

Subiectul 4

În exteriorul pătratului ABCD se construiește trapezul BCEF cu CE BF și BF EF , astfel încât [ [ .AE DF B Fie M mijlocul laturii [ ]CE și N punctul în care paralela prin E la AF

intersectează latura [ ]BC .a) Să se stabilească natura triunghiului ACF.b) Să se demonstreze că punctele A, M și N sunt coliniare.


____________________________________________________________________________________



26 FEBRUARIE 2017Clasa a VIII-a

Subiectul 1

a) Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația: 9 8 72 0.yx y z b) Dacă 0 0 0, ,x y z și 0 0 09 8 7 72 63 56 504xyz xy xz yz x y z x x y y z z ,calculați produsul 0 0 04 .x y z

Subiectul 2

Fie , , ,n n nx y zE x y z n

y z x z x y

, unde , ,x y z sunt numere întregi și

0x y x z y z .Demonstrați că, pentru orice număr natural n, și orice numere întregi , , ,x y z dacă , , ,E x y z n , atunci și , , , 1E x y z n .

Subiectul 3

Fie ABCD un pătrat cu latura de lungime egală cu .a cm O dreaptă dusă prin punctul Cintersectează semidreptele ( , (AB AD în punctele E respectiv F astfel încât AE a x cm

şi AF a y cm . Construim paralelipipedul dreptunghic AEGFMNPQ cu muchia AM de

lungime egală cu a x y cm .a) Să se arate că: 2 .x y a b) Dacă notăm cu ,p pA V aria totală respectiv volumul paralelipipedului, să se arate că:

2 3) 32 ; ) 12 .p pi A a ii V a

Subiectul 4

În cubul ' ' ' 'ABCDA B C D se notează cu P proiecţia punctului C pe diagonala .A CDemonstraţi că dreptele AP şi D P sunt perpendiculare.


____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________ Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt

sector 1, 010168, București E/mail ISJ: [email protected]

Tel: +40 (21) 405 62 00 Tel: +40 (249) 41 09 27

+40 (21) 405 63 00 Fax: +40 (249) 41 28 01

www.edu.ro www.isjolt.ro

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ

ETAPA LOCALĂ

26 FEBRUARIE 2017

Clasa a IX-a

Problema 1. Dacă a, b, c sunt numere reale pozitive, arătaţi că:

2

27

( ) ( ) ( ) 2( )

a b c

bc b c ca c a ab a b a b c

.

Problema 2. Pentru fiecare număr natural n se consideră mulţimea [ ]

{ }n

xA x n

x

.

a) Determinaţi 3A .

b) Arătaţi că nA este infinită dacă şi numai dacă 0n .

Problema 3. Fie ABCD un patrulater convex, cu { }O AC BD , şi punctele ( )M AD ,

( )N BC astfel încât MA NC

MD NB .

a) Arătaţi că dacă O MN , atunci AD BC (ABCD este trapez sau

paralelogram).

b) Arătaţi că dacă O este mijlocul segmentului [MN] , atunci ABCD este

paralelogram.

Problema 4. Determinaţi termenul general al şirului de numere naturale nenule 1( )n na , ştiind că

1a este impar şi că are loc relaţia

2

1 4

2 3

n n

n n

a an

n a a

, pentru orice număr

natural 1n .


____________________________________________________________________________________



Tel: +40 (21) 405 62 00 Tel: +40 (249) 41 09 27

+40 (21) 405 63 00 Fax: +40 (249) 41 28 01



ETAPA LOCALĂ

26 FEBRUARIE 2017

Clasa a X-a

Problema 1. Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuaţia 73 126x x x x x x x .

Problema 2. Se consideră funcţia : \ \ , ( )az b

f f zz

, unde , *a b .

a) Arătaţi că funcţia f este bijectivă.

b) Fie 1 2 3, ,z z z sunt trei numere complexe nereale de module egale. Arătaţi că

1 2 3, ,z z z sunt afixele unui triunghi echilateral dacă şi numai dacă

1 2 3( ) , ( ) , ( )f z f z f z sunt afixele unui triunghi echilateral.

Problema 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia:

3

2

3 1 1 2

13 1 115 3 4 2

15

x x

xx x x

.

Problema 4. Demonstraţi că pentru orice 0,2

x

are loc inegalitatea:

2 2sin cos(sin ) (cos ) (sin cos ) 1x xx x x x .


____________________________________________________________________________________



Tel: +40 (21) 405 62 00 Tel: +40 (249) 41 09 27

+40 (21) 405 63 00 Fax: +40 (249) 41 28 01



ETAPA LOCALĂ

26 FEBRUARIE 2017

Clasa a XI-a

Problema 1. Fie 3, ( )A B astfel încât 3

3A B I B . Arătaţi că .AB BA

Problema 2. a) Fie 2, ( )A B şi x . Demonstraţi relaţia

2det( ) det Tr Tr Tr( ) (det )A xB A A B AB x B x , unde Tr( )M reprezintă

suma elementelor de pe diagonala principală a matricei A .

b) Fie 2( )A

cu 2

2A O . Arătaţi că pentru orice matrice 2( )B

au loc

inegalităţile: det ( ) 0 det ( )AB BA AB BA .

Problema 3. Fie 1( )n na un şir convergent de numere reale pozitive. Calculaţi 2

1

limn

nk k

k

n a .

Problema 4. Se consideră şirul 1( )n na definit prin 1 1a şi 1n n

n

na a

a , 1n .

Calculaţi lim nn

a

şi lim n

n

a

n.


____________________________________________________________________________________



Tel: +40 (21) 405 62 00 Tel: +40 (249) 41 09 27

+40 (21) 405 63 00 Fax: +40 (249) 41 28 01



ETAPA LOCALĂ

26 FEBRUARIE 2017

Clasa a XII-a

Problema 1. Fie mulţimea ( , ) | 0G u v u şi funcţia : * * o funcţie cu

proprietatea că legea de compoziţie definită pe G prin

( , ) ( , ) , ( )a b c d ac bc d a este asociativă.

a) Arătaţi că ( , )G este grup.

b) Determinaţi funcţia pentru care G este grup abelian.

Problema 2. Fie , 2n n şi n inelul claselor de resturi modulo n.

a) Să se arate că dacă există k astfel încât 4 1,n k atunci 1 2 ... 1 0.n

b) Să se demonstreze că orice element nenul din n este fie inversabil, fie divizor

al lui zero.

c) Să se determine numărul divizorilor lui zero din inelul 90 .

Problema 3. Calculaţi integrala 1

1 2

arccos

1 1

xI dx

x

.

Problema 4. a) Fie :[1, ) (0, )f o funcţie descrescătoare. Arătaţi că şirul 1( )n na cu

termenul general1

(1) (2) ... ( ) ( )n

na f f f n f x dx , 1n ,este convergent.

b) Se consideră şirul 1( )n nb , cu 1 1 1

... , 11 1 2 2

nb nn n

.

Calculaţi lim nn

b

şi lim nn

b n

.


OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 26 … 2017 ENUNTURI V-XII.pdf · Str. General Berthelot,...

Documents

Transcript of OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 26 … 2017 ENUNTURI V-XII.pdf · Str. General Berthelot,...