NUMERELE COMPLEXE ÎN GEOMETRIE - · PDF filetangenţă ale cercului cu laturile...

Revista Virtuala Info MateTehnic ISSN 2069-7988 ISSN-L 2069-7988

1

NUMERELE COMPLEXE ÎN GEOMETRIE

Corneliu Mănescu-Avram,Nicusor Zlota

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe ca puncte din plan permite rezolvarea problemelor de geometrie planä folosind proprietăţile operaţiilor algebrice cu numere complexe, prin transpunerea elementelor geometrice în limbaj algebric. Se pierd astfel ingeniozitatea şi inventivitatea soluţilor geometrice, dar se câştigă în eficienţă. Tratamentul are însă, ca orice alt tratament, unele contraindicaţii, aşa cum vom vedea în continuare.

Această lecţie este una introductivă, deci nu conţine decât informaţiile strict necesare, urmând ca doritorii să consulte bibliografia pentru dezvoltări ulterioare.

Vom nota cu majuscule punctele din plan şi cu litere mici afixele lor (coordonatele complexe).

Distanţa dintre două puncte �� şi �� este �� = |�� − ��|. Fie �� şi �� două puncte distincte. Spunem că punctul ��, � ≠ , � ≠ �, se află între punctele A şi B, dacă

| − �| + |� − �| = | − �|. Descriem această situaţie prin notaţia �–�– �. Mulţimea �� = ��– � − �� este

segmentul deschis determinat de punctele A, B, iar mulţimea �� = �� ∪ ��, �� este

segmentul închis determinat de punctele A, B.

Teorema 1. Fie �� şi �� două puncte distincte. Următoarele afirmaţii sunt echivalente :

1) � ∈ ��; 2) există un număr real strict pozitiv k astfel încât �– = �� − ��; 3) există un număr real � ∈ �0, 1� astfel încât � = �1 − �� + ��,unde z este afixul lui M.

Demonstraţie : 1) ⇔ 2) Avem M ∈ (AB) dacă şi numai dacă | − �| + |� − �| = | − �|. Această egalitate are loc dacă şi numai dacă există un număr real k > 0 astfel încât

�– = �� − ��. 2) ⇔ 3) Fie � = ""#� ∈ �0, 1�,deci � = $�%$ > 0. Atunci �– = �� − �� dacă şi numai dacă

� = �"#� + ""#��. Rezultă � = �1 − �� + ��. Mulţimea (AB = {M A − M − B sau A − B − M} se numeşte semidreapta deschisă cu extremitatea în A care conţine punctul B.



2

1) � ∈ ��; 2) există un număr real pozitiv t astfel încât � = �1 − �� + ��,unde z este afixul lui M;

3) arg�� − � = arg�� − �; 4)

'%()%( ∈ R + .

Demonstraţie : 1) ⇒ 2) Din M ∈ (AB, avem � − �– � sau � − �– �. Există deci numerele t, l ∈ (0, 1) astfel încât � = �1 − �� + �� sau � = �1 − *� + *�. în primul caz nu avem nimic

de demonstrat; în al doilea, punem � = �+ , deci

� = ��–�� − 1� = �1 − �� + ��. 2) ⇒ 3) Din � = �1 − �� + ��, � > 0,se obţine �– = �� − �, � > 0,deci

arg�� − � = arg�� − � . 3) ⇒ 4) Egalitatea

arg '%()%( = arg�� − � − arg�� − � + 2kπ, k ∈ Z,

implică arg '%()%( = 2kπ, k ∈ Z. Din arg

'%()%( ∈ [0, 2π) rezultă k = 0 şi arg '%()%( = 0. Se deduce

'%()%( ∈ R+.

4) ⇒ 1) Fie � = '%()%( ∈ R+, deci � = + �� − � = �1 − �� + ��, � > 0. Dacă t ∈ (0, 1), atunci M ∈ (AB) ⊂ (AB.

Dacă t = 1, atunci z = b şi M = B ∈ (AB. În final, dacă t > 1, atunci l = �$ ∈ (0, 1) şi

� = *� +�1 − *� . Rezultă �– �–� şi M ∈ (AB.


1) �� aparţine dreptei AB;

2) '%()%( ∈ R;

3) există un număr real t astfel încât � = �1 − �� + ��; 4) ,� − �̅ − .� − �̅ − ., = 0;


3

5) /� �̅ 1 . 1� �. 1/ = 0. Demonstraţie : 1) ⇔ 2) ⇔ 3) Observăm că pentru un punct C astfel încât 0– �– � dreapta AB este reuniunea (AB ∪ {A} ∪ (AC şi aplicăm teorema 2.

2) ⇔ 4) Avem '%()%( ∈ R dacă şi numai dacă

'%()%( = '%()%(...... Aceasta înseamnă '%()%( = '̅%(.).%(. sau,

echivalent, ,� − �̅ − .� − �. − ., = 0. 4) ⇔ 5) Avem /� �̅ 1 . 1� �. 1/ = 0 dacă şi numai dacă /� − �̅ − . 0 . 1� − �. − . 0/ = 0, iar ultima

egalitate este echivalentă cu ,� − �̅ − .� − �. − ., = 0. Elementele de geometrie necesare în aplicaţii sunt prezentate în continuare fără demonstraţii. Am notat, pentru simplitate, punctele din planul complex şi afixele lor cu aceeaşi literă. Pentru alte detalii se poate consulta bibliografia.

Punctul c împarte segmentul ab în raportul λ ≠ −1 .1

a bc

λλ

+⇔ =

+

Măsura unui unghi acbϕ = ∠ (de la a la b în direcţie pozitivă) ( )cos sin .c b c a

ic b c a

ϕ ϕ− −= +

− −

Coliniaritate, conciclicitate

• a, b, c coliniare ⇔

1

1 0;

1

a a

b b

c c

=

• a, b, c, d conciclice ⇔ : .a c a d

b c b d

− −∈

− −ℝ

Asemănarea triunghiurilor, triunghiuri echilaterale :

• triunghiurile abc şi pqr sun asemenea şi la fel orientare ,a c p r

b c q r

− −=

− −

• triunghiul abc este echilateral ⇔ a + bε + cε2 = 0, unde 1 + ε + ε2 = 0.

Ecuaţia dreptei ; 0,z z aα α+ + = ,α ∈ℂ .a∈ℝ

Drepte paralele, perpendiculare :


4

• ab � cd ,a b c d

a b c d

− −⇔ =

− −

• ab ⊥ cd .a b c d

a b c d

− −⇔ = −

− −

Dreapta determinată de două puncte a, b :

1

1 0.

1

z z

a a

b b

=

Aria unui triunghi abc :

1

1 .4

1

a ai

A b b

c c

=

Dreapta determinată de un punct a şi de o direcţie λ : ( ).z a z aλ− = −

Piciorul perpendicularei duse dintr-un punct z0 pe o dreaptă 0z z aα α+ + = este

0 0 .2

z z aα αα

− −

Distanţa de la punctul z0 la dreapta 0z z aα α+ + = este .2

z z ad

α α

αα

+ +=

Ecuaţia cercului cu centrul a şi raza r : .z a r− =

Proprietăţile cercului unitate 1z = :

• dacă c aparţine coardei ab, atunci ;a b c

cab

+ −=

• punctul de intersecţie al tangentelor în a şi b este 2

;ab

a b+

• piciorul perpendicularei din c pe coarda ab este ;2

a b c abc+ + −

• punctul de intersecţie al coardelor ab şi cd este ( ) ( )

.ab c d cd a b

ab cd

+ − +−

Centrul de greutate g, ortocentrul h, centrul cercului circumscris o al triunghiului abc :

,3

a b cg

+ += 2 ,h o a b c+ = + +


5

Cercul unitate este cercul înscris într-un triunghi abc şi este tangent laturilor bc, ca, ab în p, q,

r, respectiv :

• 2

,qr

aq r

=+

2

,rp

br p

=+

2

,pq

cp q

=+

• ( )

( )( )( )

2 2 2 2 2 22,

p q q r r p pqr p q rh

p q q r r p

+ + + + + =+ + +

• ( )

( ) ( )( )2

.pqr p q r

op q q r r p

+ +=

+ + +

Utilizarea numerelor complexe în geometrie este contraindicată, dacă :

− sunt multe drepte în poziţie generală,

− sunt mai mult de două cercuri,

− calculele impuse sunt extrem de dificile.

Prezentăm în continuare trei aplicaţii, pe care le considerăm semnificative. Numeroase alte aplicaţii pot fi găsite în bibliografie. Cititorul interesat va putea produce el însuşi astfel de rezultate, prin demonstrarea unor teoreme clasice de geometrie plană.

Formula lui Heron. Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC şi 2p = a + b + c

semiperimetrul său. Atunci aria triunghiului este =12�2 − ��2 − ��2 − 3� . Demonstraţie : Fie I centrul cercului înscris, D, E, F punctele de tangenţă cu laturile BC, CA,

AB, respectiv, �4 = �5 = 6, �7 = �5 = 8, 07 = 04 = �. Avem 2 = 6 + 8 + � şi perechile de triunghiuri dreptunghice congruente : ∆�:4 ≡ ∆�:5, ∆�:7 ≡ ∆�:5, ∆0:7 ≡ ∆0:4.

Fie α, β, γ (α = ∠AIE, etc.) unghiurile din jurul punctului I. Din 2α + 2β + 2γ = 2π, rezultă α + β + γ = π. Definim

< + =6 = ��(cos α + isin α), < + =8 = ��(cos β + isinβ), < + =� = �>(cos γ + isin γ),

unde r este lungimea razei cercului înscris, iar ��, ��, �> sunt numere reale strict pozitive

Se observă că �< + =6��< + =8��< + =�� = ��>[cos (α + β + γ) + isin (α + β + γ)] =

=��>(cos π + isin π) = −��>. Se deduce că acest produs are partea imaginară egală cu zero. Scriem

0 = Im �< + =6��< + =8��< + =�� = <��6 + 8 + �� − 68�, de unde


6

< = ? 68�6 + 8 + � = ?�2 − ��2 − ��2 − 3�2 . Din @ = 2< se deduce formula lui Heron.

Teorema lui Feuerbach. Cercul Euler al oricărui triunghi este tangent cercului înscris şi cercurilor exînscrise.

Demonstraţie : Considerăm cercul înscris drept cerc unitate şi fie a, b, c afixele punctelor de tangenţă ale cercului cu laturile triunghiului. Ecuaţiile laturilor sunt atunci

� + ��̅ = 2 ,� +��̅ = 2�,� +3��̅ = 23.. Rezolvând sistemele formate de câte două din cele trei ecuaţii obţinem vârfurile triunghiului

� B�()(#)C ,� B�)D)#DC ,0 B�D(D#(C.

Rezultă că mijlocul L al laturii BC are afixul

E 33 + + � + �F = G��G�G� − G> − G>� ��G�G� − G>�, unde G� = + � + 3, G� = � + �3 + 3 , G> = �3. Similar, mijloacele M, N ale laturilor CA, AB sunt

�B HIIHJHI%HK − HKI)I�HJHI%HK�C ,L B HIIHJHI%HK − HKIDI�HJHI%HK�C .

Fie M B HIIHJHI%HKC. Avem MN = M� = ML = �|HJHI%HK|, deci K este centrul cercului Euler şi

raza acestui cerc este egală cu �|HJHI%HK|. Ecuaţia cercului Euler este deci

O� − G��G�G� −G>O = 1|G�G� − G>|, adică

P� − G��G�G� −G>QP�̅ − G��G�G� −G>Q = P G>�G�G� − G>Q�,

unde am folosit relaţiile

G�... = G�G> ,G�... = G�G> ,G>... = 1G>. Scriem ultima ecuaţie sub forma


7

��̅ − P G��G�G� − G> + G��̅G�G� − G>Q + G�G� +G>G�G� − G> = 0. Rezolvând sistemul format de această ecuaţie (ecuaţia cercului Euler) şi ecuaţia cercului înscris ��̅ = 1, obţinem

�G�� −G�� = 0. Rezultă că dacă G�≠ 0, atunci acest sistem are rădăcină dublă, ceea ce înseamnă că cele două cercuri sunt tangente. Dacă G� = 0,atunci triunghiul este echilateral (exerciţiu!) şi cele două cercuri coincid.

Calculele de mai sus sunt valabile dacă două dintre punctele de afixe a, b, c sunt pe prelungirile laturilor, caz în care cercul unitate este un cerc exînscris, ceea ce încheie demonstraţia.

Teorema lui Morley. Punctele de intersecţie ale perechilor adiacente de trisectoare ale unghiurilor unui triunghi oarecare sunt vârfurile unui triunghi echilateral.

Demonstraţie : Presupunem, fără a restrânge generalitatea, că punctele A, B, C sunt pe cercul unitate |�| = 1 în sensul invers acelor de ceas şi au afixele respectiv egale cu 1, �>, 3>. Atunci punctele de pe cerc care trisectează arcul AB au afixele �, �� şi similar punctele cu afixele 3, 3� trisectează arcul AC. Constatăm, de asemenea, că punctele cu afixele �>, ��3R, �3�R�, 3>, unde R> = 1,sunt distribuite la egală distanţă între B şi C. Observăm că punctele cu afixele �>, ��3, �3�, 3> sunt şi ele între B şi C, dar în sensul acelor de ceas, atfel că pentru a avea puncte cate trisectează arcul BC în sens invers acelor de ceas trebuie să luăm R≠ 1, deci 1 + R +R� = 0. Punctul de intersecţie w al trisectoarelor mai apropiate de 1, b3 se obţine din

2 21 ,w b cw b c+ = + 3 3 .w b cw b c+ = +

Se elimină ,w se simplifică prin a b− şi se obţine ( ) ( )21 1w b b c b b= − + + + + . La fel,

( ) 2 2 2 ,u bc b c b bc cε ε ε ε= − + + + + ( ) ( )2 21 1 .v c c b c cε ε ε ε ε= − + + + +

În final, ( )2 21 0,u v w bcε ε ε ε+ + = + + = deci triunghiul uvw este echilateral.

Rezolvarea următoarelor probleme ne va arăta care sunt avantajele şi dezavantajele metodei.

1. Să se demonstreze că dintre toate triunghiurile cu raza cercului circumscris egală cu 1, triunghiul echilateral are perimetrul minim. (Olimpiada nordică, 1992)

2. Un hexagon este înscris într-un cerc de rază r. Două dintre laturile hexagonului au lungimea egală cu 1, două au lungimea 2 şi două au lungimea 3. Să se demonstreze că 2<> − 7< − 3 = 0. (Olimpiada nordică, 1993)


8

3. Fie O un punct interior triunghiului echilateral ABC. Dreptele AO, BO şi CO intersectează laturile triunghiului în punctele ��, ��, 0�. Să se demonstreze că U�� + U�� + U0� < ��.

(Olimpiada nordică, 1994)

4. Fie AB un diametru al cercului cu centrul O. Punctul C aparţine cercului şi OC este perpendiculară pe AB. Fie P un punct arbitrar pe arcul mic BC şi fie Q punctul de intersecţie al dreptelor CP şi AB. Alegem punctul R pe AP astfel încât dreptele RQ şi AB să fie perpendiculare. Să se demonstreze că BQ = QR. (Olimpiada nordică, 1995)

5. Cercul care are ca diametru înălţimea din A a triunghiului ABC intersectează a doua oară laturile AB şi AC în D şi E, respectiv. Să se demonstreze că centrul cercului circumscris triunghiului ABC se află pe înălţimea din A a triunghiului ADE sau pe prelungirea ei.


6. Fie ABCD un patrulater convex. Presupunem că există un punct P interior patrulaterului astfel încât ariile triunghiurilor ABP, BCP, CDP şi DAP sunt egale. Să se demonstreze că punctul de intersecţie al diagonalelor este mijlocul al cel puţin uneia dintre diagonale.


7. În triunghiul ABC, bisectoarea unghiului B intersectează AC în D, iar bisectoarea unghiului C intersectează AB în E. Punctul de intersecţie al bisectoarelor este I şi ID = IE. Să se demonstreze că triunghiul ABC este isoscel sau ∠BAC = 60°. (Olimpiada nordică, 2000)

8. Punctul D interior triunghiului ABC satisface ∠ADC = 150°. Să se demonstreze că triunghiul cu laturile de lungimi AD, BD, CD este dreptunghic. (Olimpiada nordică, 2003)

9. În triunghiul ABC avem ∠ACB = 2∠ABC şi există un punct D interior triunghiului astfel încât AD = AC şi DB = DC. Să se demonstreze că ∠BAC = 3∠BAD. (Georgia, test 2005)

10. Pentagonul inscriptibil ABCDE are un unghi drept ∠ABC = 90° şi lungimile laturilor �� = 15, �0 = 20. Presupunând că �� = 74 = 4�,să se calculeze CD.

(Competiţia Harvard-MIT, 2008)

11. Pentagonul inscriptibil ABCDE are lungimile larurilor �� = �0 = 5, 07 = 74 = 12şi AE = 14. Să se determine raza cercului circumscris. (Competiţia Harvard-MIT, 2008)

12. Fie ABC un triunghi cu ∠A = 45°. Fie P un punct pe latura BC cu PB = 3 şi PC = 5. Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Să se determine lungimea lui OP.


13. Fie ABC un triunghi şi I centrul cercului său înscris. Fie D punctul de tangenţă al laturii BC cu cercul înscris şi P, Q punctele în care dreptele BI, respectiv CI intersectează cercul cu diametrul AI. Ştiind că �: = 6, 0: = 5, 7: = 3,să se calculeze (DP/DQ)2.



9

14. Fie AA1 şi BB1 înălţimile unui triunghi ascuţitunghic neisoscel ABC. Fie A0 şi B0 mijloacele laturilor BC şi CA, respectiv. Dreapta A1B1 intersectează dreapta A0B0 în punctul C’. Să se demonstreze că dreapta CC’ este perpendiculară pe dreapta Euler a triunghiului ABC.

(Peru, test 2006)

15. Fie A, B, C, D puncte pe un cerc astfel încât dreptele AC şi BD se intersectează în E, dreptele AD şi BC se intersectează în F, iar AB şi CD nu sunt paralele. Să se demonstreze că punctele C,

D, E, F sunt conciclice dacă şi numai dacă EF ⊥ AB. (Franţa, test 2007)

16. ∆ABC este un triunghi astfel încât AB ≠ AC. Cercul înscris în ∆ABC este tangent la BC, CA,

AB în D, E, F, respectiv. H este un punct pe segmentul EF astfel încât DH ⊥ EF. Să se arate că dacă AH ⊥ BC, atunci H este ortocentrul ∆ABC. (Hong Kong, 2008)

17. Fie ABCDEFGHILMN un dodecagon regulat, fie P punctul de intersecţie al diagonalelor AF şi DH. Fie S cercul care trece prin A şi H, are raza de aceeaşi lungime cu raza cercului circumscris dodecagonului, dar este diferit de acesta. Să se demonstreze că :

1. P aparţine lui S.

2. Centrul lui S aparţine diagonalei HN.

3. Lungimea lui PE este egală cu lungimea laturii dodecagonului. (Italia, 2008)

18. Pentagonul ABCDE este circumscris cercului S. Latura BC este tangentă la S în punctul K.

Dacă AB = BC = CD, să se demonstreze că unghiul EKB este drept. (Sankt Petersburg, 2008)

19. Fie ABC un triunghi, B1 mijlocul laturii AB şi C1 mijlocul laturii AC. Fie P punctul de intersecţie (≠ A) al cercurilor circumscrise triunghiurilor ABC1 şi AB1C. Fie Q punctul de intersecţie (≠ A) al dreptei AP cu cercul circumscris triunghiului AB1C1 .

Să se demonstreze că YZY[ =

>� . (Argentina, test 2009)

20. Se dă un patrulater convex ABCD. Presupunem că există un punct P interior patrulaterului astfel încât triunghiurile ABP şi CDP sunt dreptunghice isoscele, cu unghiul drept în vârful comun P. Să se demonstreze că există un punct Q astfel încât triunghiurile BCQ şi DAQ sunt dreptunghice isoscele, cu unghiul drept în vârful comun Q. (Ungaria-Israel, 2009)

21. Fie ABC un triunghi cu AB = AC. Cercul înscris este tangent la BC, CA şi AB în D, E şi F, respectiv. Fie P un punct pe arcul EF care nu conţine D. Fie Q al doilea punct de intersecţie al lui BP cu cercul înscris în ABC. Dreptele EP şi EQ intersectează dreapta BC în M şi N, respectiv.

Să se demonstreze că punctele P, F, B, M sunt conciclice şi \]\^ =

_`_Z . (Argentina, test 2010)

22. Dreptele paralele printr-un punct interior P al triunghiului ∆ABC împart triunghiul în trei paralelograme şi trei triunghiuri adiacente cu laturile ∆ABC.


10

(a) Să se arate că dacă P este centrul cercului înscris, atunci perimetrul fiecăruia dintre cele trei triunghiuri mici este egal cu lungimea laturii adiacente.

(b) Pentru un triunghi ∆ABC dat, să se determine toate punctele interioare P astfel încât perimetrul fiecăruia dintre cele trei triunghiuri mici să fie egal cu lungimea laturii adiacente.

(c) Pentru care puncte interioare suma ariilor celor trei triunghiuri mici este minimă ?

(Austria, 2010)

23. Fie C1 cercul cu centrul O şi B, C puncte pe C1 astfel încât BOC este un triunghi echilateral. Fie D mijlocul arcului mic BC al lui C1. Fie C2 cercul cu centrul C care trece prin B şi O. Fie E al doilea punct de intersecţie al lui C1 cu C2. Paralela prin B la DE intersectează a doua oară C1 în A. Fie C3 cercul circumscris triunghiului AOC. Al doilea punct de intersecţie al lui C2 cu C3 este F. Să se arate că BE şi BF sunt trisectoarele unghiului ∠ABC. (Costa Rica, 2010)

24. Fie ABC un triunghi cu laturile de lungimi a, b, c şi medianele de lungimi , , .a b cm m m Să se

demonstreze că ( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 34 3 .m m m a b c+ + = + + (enunţ corectat) (Finlanda 2010)

25. Fie ABC un triunghi cu centrul cercului înscris I şi X, Y, Z centrele cercurilor înscrise în triunghiurile BIC, CIA şi AIB, respectiv. Să se arate că dacă triunghiul XYZ este echilateral, atunci şi triunghiul ABC este echilateral. (Germania, test 2010)

26. Fie ABC un triunghi care nu este obtuzunghic, cu CH şi CM înălţime, respectiv mediană. Bisectoarea unghiului ∠BAC intersectează CH şi CM în P şi Q, respectiv. Presupunem că ∠ABP = ∠PBQ = ∠QBC.

(a) Să se demonstreze că triunghiul ABC este dreptunghic.

(b) Să se calculeze _Zab . (Indonezia, test 2010)

27. Într-un triunghi ascuţitunghic ABC, CF este înălţime, cu F pe AB, iar BM este mediană, cu M pe CA. Se ştie că BM = CF şi ∠MBC = ∠FCA. Să se demonstreze că triunghiul ABC este echilateral. (Olimpiada panafricană, 2010)

28. Bisectoarele AA1 şi BB1 ale unui triunghi dreptunghic ABC (∠C = 90°) se intersectează în punctul I. Fie O centrul cercului circumscris triunghiului CA1B1. Să se demonstreze că OI ⊥ AB.

(Olimpiada Şarîghin, 2010)

29. Cercul înscris în triunghiul ABC este tangent la BC, CA, AB în D, E, F, respectiv. Se consideră triunghiul format de dreapta care uneşte mijloacele lui AE, AF, dreapta care uneşte mijloacele lui BF, BD şi dreapta care uneşte mijloacele lui CD, CE. Să se demonstreze că centrul cercului circumscris acestui triunghi coincide cu centrul cercului circumscris triunghiului ABC.

(Polonia, 2010)


11

30. Pe un cerc se află punctele A şi B pe arce opuse ale diametrului CD. Segmentele CE şi DF sunt perpendiculare pe AB astfel încât � − 4 − 5– � (adică punctele A, E, F, B sunt coliniare în această ordine). Ştiind că AE = 1, să se găsească lungimea lui BF. (Portugalia, 2010)

31. Fie AXYZB un pentagon convex înscris într-un semicerc cu diametrul AB. Se notează cu P, Q,

R, S picioarele perpendicularelor din Y pe dreptele AX, BX, AZ, BZ, respectiv. Să se demonstreze că unghiul ascuţit format de dreptele PQ şi RS este jumătate din mărimea lui ∠XOZ, unde O este mijlocul segmentului AB. (SUA, 2010)

32. Fie ABC un triunghi şi I centrul cercului său înscris. Bisectoarele AI, BI, CI intersectează laturile [BC], [CA], [AB] în D, E, F, respectiv. Mediatoarea lui [AD] intersectează dreptele BI şi CI în M şi N, respectiv. Să se arate că punctele A, I, M, N sunt conciclice. (Benelux, 2011)

33. În triunghiul ABC are loc 2BC = AB + AC. Fie M şi N mijloacele laturilor AB şi AC şi I centrul cercului înscris. Să se demonstreze că punctele A, M, I, N sunt conciclice.

(Bosnia-Herţegovina, test 2011)

34. Fie ABC un triunghi ascuţitunghic şi H ortocentrul lui. Fie D punctul de intersecţie al dreptelor BH şi AC şi E punctul de intersecţie al dreptelor CH şi AB. Cercul circumscris triunghiului ADE intersectează cercul circumscris triunghiului ABC în F ≠ A. Să se demonstreze că bisectoarele unghiurilor ∠BFC şi ∠BHC se intersectează pe BC. (Brazilia 2011)

35. Punctul O este interior ∆ABC. Picioarele perpendicularelor din O pe AB, BC, CA sunt D, E,

F. Perpendicularele din A şi B respectiv pe EF şi FD se intersectează în P. Fie H piciorul perpendicularei din P pe AB. Să se demonstreze că D, E, F, H sunt conciclice. (Bulgaria, 2011)

36. Fie AB şi CD două diametre în cercul c. Pentru un punct P arbitrar pe c, fie R şi S picioarele perpendicularelor din P pe AB şi CD, respectiv. Să se arate că lungimea lui RS este independentă de alegerea lui P. (Calea Baltică, 2011)

37. Fie ABCD un patrulater inscriptibil cu laturile opuse neparalele. Fie X şi Y punctele de intersecţie ale dreptelor AB, CD şi AD, BC, respectiv. Fie E, F punctele de intersecţie ale bisectoarei ∠AXD cu AD, BC, respectiv şi G, H punctele de intersecţie ale bisectoarei ∠AYB cu AB, CD, respectiv. Să se demonstreze că EFGH este un paralelogram. (Canada, 2011)

38. Într-un triunghi ascuţitunghic ABC, care nu este echilateral, fie P piciorul înălţimii din C pe latura AB, H ortocentrul, O centrul cercului circumscris, D punctul de intersecţie al dreptelor CO şi AB şi E mijlocul lui CD. Să se demonstreze că dreapta EP trece prin mijlocul lui OH.

(Cehia, 2011)

39. Se dă triunghiul ABC cu centrul de greutate G şi centrul cercului circumscris O, astfel încât GO este perpendiculară pe AG. Fie A’ al doilea punct de intersecţie al lui AG cu cercul circumscris triunghiului ABC. Fie D punctul de intersecţie al dreptelor CA’ şi AB şi E punctul de intersecţie al dreptelor BA’ şi AC. Să se demonstreze că centrul cercului circumscris triunghiului ADE se află pe cercul circumscris triunghiului ABC. (Croaţia, test 2011)


12

40. Se consideră un triunghi ascuţitunghic ABC (cu AB < AC) şi cercul său circumscris c(O, R) (cu centrul O şi raza R). Înălţimea AD intersectează cercul circumscris în E, mediatoarea m a segmentului AB intersectează AD în L, BL intersectează AC în M şi cercul circumscris c(O, R) în N. Dreapta EN intersectează mediatoarea m în N. Să se demonstreze că MZ ⊥ BC dacă şi numai dacă CA = CB sau Z ≡ O. (Grecia, 2011)

41. Fie ABCD un patrulater înscris într-un cerc Γ. Fie E, F, G, H mijloacele arcelor AB, BC, CD,

DA în Γ, respectiv. Presupunem că AC ⋅ BD = EG ⋅ FH. Să se demonstreze că dreptele AC, BD,

EG, FH sunt concurente. (India, 2011)

42. În triunghiul ABC avem ∠ABC = 60°, perpendiculara în B pe AB intersectează bisectoarea unghiului ∠BAC în D, iar perpendiculara în C pe BC intersectează bisectoarea unghiului ∠ABC în E. Să se demonstreze că ∠BED ≤ 30°. (Iran, 2011)

43. Fie ABCD un patrulater şi M mijlocul segmentului AB. Se construiesc în exterioeul patrulaterului triunghiurile echilaterale BCE, CDF şi DAG. Fie P şi N mijloasele segmentelor GF şi EF. Să se demonstreze că triunghiul MNP este echilateral. (Moldova, test 2011)

44. Într-un triunghi scalen ABC, D este piciorul înălţimii din A, E este punctul de intersecţie al dreptei AC cu bisectoarea lui ∠ABC şi F este un punct pe AB. Fie O centrul cercului circumscris

triunghiului ABC şi X = AD ∩ BE, Y = BE ∩ CF, Z = CF ∩ AD. Dacă XYZ este un triunghi

echilateral, atunci cel puţin unul dintre triunghiurile OXY, OYZ, OZX este echilateral.

(Olimpiada Americii Centrale, 2011)

45. Fie D piciorul bisectoarei interioare a unghiului ∠A în triunghiul ABC. Dreapta care uneşte centrele cercurilor înscrise în triunghiurile ABD şi ACD intersectează AB şi AC în M şi N,

respectiv. Să se arate că dreptele BN, CM şi bisectoarea AD sunt concurente.

(Olimpiada mediteraneeană, 2011)

46. Se dă un triunghi ascuţitunghic ABC. Un cerc care trece prin B şi prin centrul O al cercului circumscris triunghiului intersectează BC şi BA în P şi Q, respectiv. Să se demonstreze că ortocentrul triunghiului POQ aparţine dreptei AC. (Rusia, 2011)

47. Un cerc exînscris triunghiului ABC este tangent laturii AB în P şi dreptelor AC şi BC în Q şi R, respectiv. Să se demonstreze că dacă mijlocul lui PQ se află pe cercul circumscris triunghiului ABC, atunci şi mijlocul lui PR aparţine aceluiaşi cerc. (Tuymaada, 2011)

48. Fie ABC un triunghi astfel încât ∠B şi ∠C sunt ascuţite. Fie D un punct variabil pe BC astfel încât D ≠ B, C şi AD nu este perpendiculară pe BC. Fie d dreapta care trce prin D şi este

perpendiculară pe BC. Notăm d ∩ AB = E, d ∩ AC = F. Dacă M, N, P sunt centrele cercurilor

înscrise în ∆�45, ∆�74, ∆075, să se demonstreze că A, M, N, P sunt conciclice dacă şi numai dacă d trece prin centrul cercului înscris în ∆∆��0. (Vietnam, 2011)

49. În triunghiul ABC, ∠A este cel mai mare. Pe cercul circumscris ∆ABC, fie D mijlocul arcului ABC şi E mijlocul arcului ACB. Cercul c1 trece prin A, B şi este tangent la AC în A, cercul c2


13

trece prin A, E şi este tangent la AD în A. c1 şi c2 se intersectează în A şi P. Să se demonstreze că AP este bisectoarea ∠BAC. (China, 2012)

50. Se dă un pătrat ABCD. Fie P ∈ AB, Q ∈ BC, R ∈ CD, S ∈ DA şi PR � BC, SQ � AB şi fie

Z = PR ∩ SQ. Dacă BP = 7, BQ = 6, DZ = 5, să se găsească lungimea laturii pătratului.

(Japonia, 2012)

Note. Există câteva prejudecăţi legate de geometria elementară. Unii consideră că este un domeniu învechit, în care nu mai este nimic de spus. Alţii cred că ea este un domeniu izolat, care are puţine legături cu restul matematicii. Sper ca rândurile de mai sus să spulbere aceste prejudecăţi. Problemele alese arată că geometria euclidiană plană ocupă un loc central în matematica şcolară din toate ţările lumii.

Revista Forum Geometricorum este dedicată în întregime geometriei elementare, considerată însă din punct de vedere superior.

Bibliografie

Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, DOVER PUBLICATIONS, INC., NEW YORK, 1960

Mihăileanu, N. N., Complemente de geometrie sintetică, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1965

Mihăileanu, N., Utilizarea numerelor complexe în geometrie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1968

Yaglom, I. M., Complex Numbers in Geometry, ACADEMIC PRESS, New York and London, 1968

Schwerdtfeger, Hans, Geometry of Complex Numbers, DOVER PUBLICATIONS, INC., NEW YORK, 1979

Hahn, Liang-shin, Complex Numbers and Geometry, The Mathematical Association of America, 1994

Dincă, Marian, Chiriţă, Marcel, Numere complexe în matematica de liceu, All Educational, Bucureşti, 1996

Hoffmann, Jos. E., Sur la géométrie élémentaire du triangle dans le plan complexe, L’OUVERT 96, 1999

Hartshorne, Robin, Geometry : Euclid and Beyond, Springer, 2000

Kedlaya, Kiran S., Geometry Unbound, 2006

Andreescu, T., Andrica, D., Complex Numbers from A to ... Z, Birkhäuser, Boston • Basel •

Berlin, 2006


14

Mihalescu, Constantin, Geometria elementelor remarcabile, Societatea de Ştiinţe Matematice din România, 2007

Radovanović, Marko, Complex Numbers in Geometry, The IMO Compendium Group, www.imomath.com, 2007

Fukagawa, Hidetoshi, Rothman, Tony, Sacred Mathematics : Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, 2008

Engel, Joachim, Komplexe Zahlen und ebene Geometrie, Oldenbourg Verlag München, 2009

Barnes, John, Gems of Geometry, Springer, 2009

Holme, Audun, Geometry, Our Cultural Heritage, Second Edition, Springer, 2010

www.mathlinks

www.mateinfo.ro

NUMERELE COMPLEXE ÎN GEOMETRIE - · PDF filetangenţă ale cercului cu laturile...

Documents

Transcript of NUMERELE COMPLEXE ÎN GEOMETRIE - · PDF filetangenţă ale cercului cu laturile...