ȘCOALA NICOLAE BĂLCESCU, DRĂGĂȘANICONCURSUL ”MEMORIAL NICOLIȚĂ SANDA”

EDIȚIA A XVII A, 9 NOIEMBRIE 2013

CLASA A II ASUBIECTUL I

a) Scrieți în ordine descrescătoare toate numerele de două cifre ce se pot forma cu cifrele 0, 1, 2, 3.

b) Scrieți în ordine crescătoare toate numerele impare de cel mult două cifre, folosind cifrele 1, 2, 3, 4, 5 (Un număr natural este impar, dacă ultima sa cifră este 1, 3, 5, 7 sau 9).

c) Dintre numerele cerute la b) scrieți toate perechile (x, y), x mai mic ca y, pentru care suma x+y este mai mică decât 30

SUBIECTUL IIÎntr-o urnă sunt 16 bile negre și 13 bile albe. La o operație Ionel scoate 2

bile din urnă și pune alta în ea, după regula: dacă bilele scoase au aceeași culoare, introduce în urnă o bilă neagră, iar dacă bilele scoase au culori diferite, bila introdusă va fi albă. El repetă mai multe operații.

a) La a câta operație urna va fi goală?b) Precizați ce culoare are fiecare din ultimele două bile scoase de Ionel.

Justificați răspunsul

SUBIECTUL IIIUn triplet de numere naturale (a, b, c) se numește bun dacă a, b, c sunt scrise

în ordine descrescătoare. (De exemplu tripletele (9, 8, 1), (8, 5, 4) sau (5, 4, 3) sunt bune). Dintre toate tripletele ce se pot forma cu numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, vi se cere:

a) Scrieți toate tripletele bune care au ultimul număr 4.b) Scrieți toate tripletele bune care au suma numerelor 12 sau 13.c) Fără să scrieți tripletele, calculați numărul de triplete bune care conțin

numărul 5. Aceeași cerință pentru tripletele bune care conțin numărul 6.

Subiecte propuse de prof. Ion Marcel Neferu și Malvin Teleșpan

NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 2 h 30 min

SUCCES!

ȘCOALA NICOLAE BĂLCESCU, DRĂGĂȘANICONCURSUL ”MEMORIAL NICOLIȚĂ SANDA”

EDIȚIA A XVII A, 9 NOIEMBRIE 2013

CLASA A III ASUBIECTUL I

Un număr natural de 2 sau 3 cifre se numește acceptabil dacă este format din cifre consecutive în ordine crescătoare (numerele 12 sau 456 sunt acceptabile).

a) Calculați suma tuturor numerelor acceptabile de două cifre.b) Scrieți, în ordine descrescătoare, toate numerele acceptabile de trei cifre.c) Determinați toate perechile (a,b) de numere acceptabile, pentru care

suma a+b este număr acceptabil.

SUBIECTUL IIGigel scrie pe o coală primele 24 numere naturale nenule.a) Calculați suma tuturor numerelor de două cifre, care au cifra zecilor 2,

dintre cele scrise de Gigel.b) Câte perechi (a;b) putem forma cu numerele scrise de Gigel, astfel încât a

este mai mare decât b, iar suma a+b este un număr par?c) Gigel face următoarea afirmație: ”Oricum aș alege 13 numere din cele

scrise pe coală, găsesc mereu două numere a căror diferență este 2”. Justificați dacă are dreptate sau nu.

SUBIECTUL IIIConsiderăm șirul de numere: 3, 5, 13, 15, 23, 25, 33, 35, ..........a) Scrieți următoarele patru numere din șir.b) Calculați suma numerelor de pe locurile 47, 48, 49 și 50 din șir.c) Fără să scrieți termenii, indicați un mod de a afla numărul care se află pe

locul 403 al șirului și precizați acel număr.

Subiecte propuse de prof. Ion Marcel Neferu și Mihai Bolocan

NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 2 h 30 min

SUCCES!

ȘCOALA NICOLAE BĂLCESCU, DRĂGĂȘANICONCURSUL ”MEMORIAL NICOLIȚĂ SANDA”

EDIȚIA A XVII A, 9 NOIEMBRIE 2013

CLASA A IV A

SUBIECTUL I a) Calculați suma celor mai mici cinci numere pare de forma abb. b) Câte numere pare de forma abb există? c) Calculați suma tuturor numerelor pare de forma abb

SUBIECTUL IIUn număr natural xyzt este valabil dacă 2×xy=3×zt+1 și x×z≠0 a) Arătați că 2013 este valabil.

b) Câte numere valabile există? c) Calculați suma tuturor numerelor zt ale numerelor valabile. d) Calculați suma tuturor numerelor xy ale numerelor valabile.

SUBIECTUL IIIUn număr natural se numește pătratic dacă se poate scrie ca produsul a două

numere egale (81 este pătratic pentru că 81=9×9). O pereche de numere diferite (a, b) se numește pătratică dacă suma a+b este un număr pătratic (de exemplu perechea (50, 31) este pătratică).

a) Scrieți toate numerele pătratice de cel mult două cifre.b) Grupați toate numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 în patru perechi pătratice.c) Grupați toate numerele naturale nenule mai mici sau egale cu 50, în 25 de

perechi pătratice.

Subiecte propuse de prof. Ion Marcel Neferu și Maria Neferu

NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 2 h 30 min

SUCCES!

ȘCOALA NICOLAE BĂLCESCU, DRĂGĂȘANICONCURSUL ”MEMORIAL NICOLIȚĂ SANDA”

EDIȚIA A XVII A, 9 NOIEMBRIE 2013

CLASA A V ASUBIECTUL I

Considerăm șirul primelor 2013 numere naturale nenule.a) Calculați suma tuturor termenilor șirului.b) Aflați restul împărțirii numărului A=P+2013 la 213, unde P este

produsul tuturor termenilor șirului.c) Câte perechi de numere (x, y) putem forma cu numerele din șir, astfel

încât x¿y și x+y e număr impar?

SUBIECTUL IIUn număr natural se numește decar dacă suma dintre cifra unităților și cea a

sutelor este 10.a) Calculați suma celor mai mici 10 numere decare de trei cifre.b) Câte numere decare de trei sau patru cifre există?c) Se pot alege 13 numere decare a căror sumă să fie 13000, iar produsul lor

să se termine în 2013? Justificați răspunsul.

SUBIECTUL IIIO pereche de numere naturale nenule (a;b) se numește conservatoare de tip

n , dacă împărțind pe a la b, apoi pe b la a, de fiecare dată suma dintre cât și rest este n.

a) Determinați toate perechile conservatoare de tip 13.b) Câte perechi conservatoare de tip 2013 sunt?c) Pentru fiecare pereche conservatoare de tip 2013, (a;b), calculăm suma

a+b și notăm cu s1, s2, s3,...., sm sumele obținute (m este numărul cerut la b)). Calculați câtul și restul împărțirii numărului A=s1+s2+s3+...+sm la 2013

Subiecte propuse de prof. Ion Marcel Neferu

NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 2 h 30 min

SUCCES!

ȘCOALA NICOLAE BĂLCESCU, DRĂGĂȘANICONCURSUL ”MEMORIAL NICOLIȚĂ SANDA”

EDIȚIA A XVII A, 9 NOIEMBRIE 2013

CLASA A VI ASUBIECTUL I

Un număr natural se numește pereche, dacă este obținut prin alipirea a două numere egale (numerele 33; 2828 sau 471471 sunt pereche).

a) Calculați suma numerelor pereche de două cifre.b) Suma a două numere pereche, dintre care unul este prim, este 525536.

Aflați cele două numerec) Câte numere pereche, de cel mult 6 cifre, sunt pătrate perfecte?d) Câte din numerele pereche de cel mult șase cifre nu sunt divizibile nici cu

44, nici cu 65?

SUBIECTUL IIFie A={x∈N / suma cifrelor lui x este 2013}.

a) Scrieți cel mai mic și cel mai mare element al lui A, care au produsul cifrelor nenul.

b) Calculați cardinalul mulțimii B={ x∈A / x este pătrat perfect}c) Calculați cardinalul mulțimii C={x∈A / x are cel mult două cifre diferite

de 9}SUBIECTUL III

Pe o dreaptă considerăm punctele A1, A2, A3,...,A100, în această ordine, astfel încât lungimile segmentelor [A1A2], [A2A3], [A3A4], [A4A5], [A5A6], ..... , exprimate în centimetri, formează șirul de numere naturale 2; 6; 12; 20; 30;.... Notăm cu M1,

M2, M3, M4,M5,....,M99 mijloacele segmentelor [A1A2], [A2A3], [A3A4], [A4A5], [A5A6],..... [A99A100]

a) Calculați lungimea segmentului [A1A6].b) Calculați lungimea segmentului [M1M10].c) Calculați lungimea segmentului [M1M99].

Subiecte propuse de prof. Ion Marcel NeferuNOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii.

Timp de lucru 2 h 30 minSUCCES!

Scoala “Nicolae Balcescu”DragasaniConcursul Interjudetean Memorial “Nicolita Sanda”

Editia a XVII a 9.11.2013Clasa a VII-a

Subiectul I1.Se dau numerele : a=( 2123 + | 2123 – 382 | ) :381 si b=( 482 + | 3123 – 482 | ) :3122

a) Sa se calculeze a si b.b) Sa se compare opusul lui a cu inversul lui b.

2.Suma a 2 numere naturale este 84. Determinati cele 2 numere stiind ca suma tuturor divizorilor lor comuni este 12.Subiectul II

1.a) Fie k ∈{1,2,3…,2009}. Demonstrati ca daca fractia k

2010 este ireductibila, atunci si fractia

2010−k2010 este ireductibila.

b) Demonstrati ca in multimea A = {1

2010 ,2

2010, 32010 ,….,

20092010 } numarul fractiilor ireductibile

este par.2. Aflati numerele a,b,c stiind ca a si b sunt invers proportionale cu 0,(2) respectiv 1,(1) iar b si c sunt direct proportionale cu 3 respectiv 2 si a + 2b + 3c = 54.Subiectul III

1. Aria unui triunghi ABC este de 48 cm2. Punctul M este mijlocul laturii BC, iar P este mijlocul segmentului AM. Stiind ca BP ∩ AC ={N}, sa se calculeze aria ∆ABN.

2. In ∆ABC, m(A)=90o se noteaza cu G intersectia inaltimii AD ( D∈ (BC) ) cu bisectoarea CE (E ∈(AB) ) iar EF ┴ BC, F ∈ BC. Sa se arate ca : i) ∆AEG este isoscel. ii) Patrulaterul AEFG este romb.

3. Pe o foaie de hartie sunt desenate cu negru triunghiurile echilaterale, isoscele, dreptunghice si dreptunghice isoscele, iar cu rosu liniile lor importante ( mediane, bisectoare, inaltimi si mediatoare). Stiind ca sunt 27 segmente negre, 58 de linii desenate numai cu rosu si ca triunghiurile nu au laturi comune, sa se afle cate triunghiuri de fiecare tip exista.Nota:Toate subiectele sunt obligatorii, Timp de lucru 2 h 30 minute;

Subiecte selectate de prof.Simona Deaconu

ȘCOALA NICOLAE BĂLCESCU DRĂGĂȘANICONCURSUL ”MEMORIAL NICOLIȚĂ SANDA”

EDIȚI A XVII-A, 9 NOIEMBRIE 2013CLASA A VIII-A

SUBIECTUL Ia) Precizați care din numerele a,b,c,d sunt prime sau compuse

a = 68596n+1 + 1 b = 59136n-1 – 1 c = 34816n+1 – 1 d = 8416n+1 + 1 n є N*

b) Se dă E (x,y) = 2x2 + 3y2 + 24y – 12x + 71Determinați (x,y) є Z x Z astfel încât E(x,y) să ia valoare minimă.

c) Pentru ce valori ale (x,y) є Z x Z , E(x,y) = 10

d) Aflați x din: 99x = [ 12 ]+[5

3 ]+[114 ]+[ 19

5 ]+……+[9899100 ] unde[ a ] reprezintă partea

întreagă a lui a.

SUBIECTUL IIa) Fie ABCD un trapez. Determinați un punct în interiorul trapezului, astfel încât

orice dreaptă ce trece prin acest punct și intersectează bazele trapezului să împartă trapezul în două trapeze echivalente.

b) În triunghiul echilateral ABC de latură 2a, se prelungește [ AB ] cu segmentul[ BD ] = 2a, B є [ AD ]. Perpendiculara din A pe BC, intersectează [ BC ] în E și [ CD ] în F.

1. Arătați că CF FD = AF FB∙ ∙2. BD AD = FD CD∙ ∙3. Aflați aria patrulaterului ABFC

SUBIECTUL IIISe dă un triunghi isoscel ABC, [ AB ]≡[ AC ]. Să se demonstreze că dacă

2m( A) = m(B) = m(C), atunci între laturile triunghiului are loc relația: AB2= BC( AB+BC) Subiecte propuse de prof. Nicolaescu Ioan

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii.Timp de lucru 2 ore 30 min

SUCCES!BAREM CLASA A II A

SubIa) 33:32;31;30;23;22;21;20;13;12;11;10 (12x0,2p+0,6p bonus pt toate) 3pb)1,3,5,11,13,15,21,23,25,31,33,35,41,43,45,51,53,55 (18x0,1p+0,2p bonus) 2pc) (1,3), (1,5), (1,11),(1,13),(1,15),(1,21),(1,23),(1,25), (3,5),(3,11), (3,13), (3,15)(3,21),(3,23),(3,25),(5,11),(5,13),(5,15),(5,21),(5,23),(11,13),(11,15),(13,15)

(23x0,15p+0,55p bonus pentru toate) 4pNotă: Pentru fiecare număr sau pereche care nu corespunde cerinței se scad 0,1p și nu se acordă bonusul.Sub II a) la început în urnă sunt 29 de bile 0,5p La fiecare operație numărul bilelor din urnă scade cu 1 1pDupă operația 27 în urnă vor fi 2 bile 1pLa operația 28 Ionel scoate cele 2 bile, deci urna rămâne goală 0,5p b) La fiecare operație numărul bilelor albe rămâne același sau scade cu 2 3pDeci numărul bilelor albe din urnă va fi după fiecare operație impar 1,5pAșadar după operația 27 în urnă va fi 1 bilă albă și una neagră (pe care le va scoate ultima dată la operația 28) 1,5pSub III a) (9,8,4), (9,7,4).(9,6,4),(9,5,4),(8,7,4),(8,6,4),(8,5,4), (7,6,4) , (7,5,4), (6,5,4) (10x0,15p) 1,5pb) Suma 12: (9,2,1), (8,3,1).(7,4,1),(7,3,2),(6,5,1),(6,4,2),(5,4,3),Suma 13: (9,3,1), (8,4,1).(8,3,2),(7,5,1),(7,4,2),(6,5,2),(6,4,3) (14x0,15p+0,4p bonus) 2,5pVezi nota de la SUB I !c) Cu 5 pe primul loc: 3 triplete cu nr 4 pe locul 2

2 triplete cu nr 3 pe locul 2 1 triplet cu nr 2 pe locul 2 0,75p

Cu 5 pe locul 2, avem câte 4 triplete cu nr 9, 8, 7 sau 6 pe locul 1 0,75p Cu 5 pe locul 3: 3 triplete cu nr 9 pe locul 1 2 triplete cu nr 8 pe locul 1

1 triplet cu nr 7 pe locul 1 0,75pTotal 6+16+6=28 triplete bune care conțin nr 5 0,25p

Cu 6 pe locul 1: : 4 triplete cu nr 5 pe locul 2 3 triplete cu nr 4 pe locul 2

2 triplete cu nr 3 pe locul 2 1 triplet cu nr 2 pe locul 2 1p

Cu 6 pe locul 2. avem câte 5 triplete cu 9, 8 sau 7 pe locul 1 0,75pCu 6 pe locul 3 avem 2 triplete cu 9 pe locul 1 și un triplet cu nr 8 pe locul 1 0,5p

Total 10+15+3=28 triplete bune care au nr 6 0,25pNOTĂ La fiecare subiect se acordă câte 1p din oficiu.

BAREM CLASA A III ASUB I a) 12+23+34+45+56+67+78+89= 404 (1,5P+1,5P) 3pb) 789,678,567,456,345,234,123 (7x0,2p+0,6p ordinea) 2pc) Diferența a 2 nr acceptabile de 2 cifre poate fi 11,22,33,44,55,66 sau 77Deci suma a 2 nr acceptabile de 2 cifre nu poate fi acceptabil de 2 cifre. 1pCum diferența a 2 nr acceptabile de 3 cifre poate fi 111,222,333,444,555 sau 666, deducem că suma a 2 nr acceptabile de 3 cifre nu este nr acceptabil 1pRămâne de analizat cazul când suma a 2 nr acceptabile de 2 cifre este un nr acceptabil de 3 cifre. 0,5pSuma nu poate fi decât 123 0,5pPerechile sunt: (34,89), (45,78), 56,67) 1pObs. Dacă nu justifică de ce sunt doar cele 3 perechi, se acordă doar 1pSUB II a) 20+21+22+23+24=110 (5x0,3p+0,5p) 2pb) a+b e par rezultă a și b au aceeași paritate

(24,b) sunt 11 perechi(23,b) 11 perechi(22,b) 10 perechi(21,b) 10 perechi

......................................................(4,b) 1 pereche(3.b) 1 pereche 2p

Final 2x1+2x2+2x3+...+2x11=110 perechi 2pc) Formăm următoarele 12 perechi de numere: (1,3), (2,4),(5,7),(6,8),(9,11),(10,12), (13,15),(14,16), (17,19),(18,20),(21,23),(22,24) 1,5pCum avem de ales 13 numere, obligatoriu două dintre ele se vor găsi într-unadin cele 12 perechi, adică diferența lor este 2. Are dreptate Gigel. 1,5pSUB III a) 43,45,53,55 2pb) numerele cerute sunt 233,235,243,245 (2p+0,5 justificare) 2,5pSuma este 956 0,5pc) ( Soluția1) Cifra unităților numerelor de pe locuri impare este 3 1pDeci trebuie să determinăm numărul zecilor 1pAcesta este jumătatea predecesorului lui 403, adică 201 1pFinal : numărul cerut este 2013. 1p(Soluția 2) De la 0 la 99 avem 20 termeni

100 la 199 20 termeni...................................................900 la 999 20 termeni

Deci de la 0 la 999 sunt 200 termeni 2pLa fel de la 1000 la 1999 sunt 200 termeni 1pPeste 2000 mai trebuie 3 termeni: 2003, 2005, 2013. Final 2013 1p

NOTĂ: La fiecare subiect se acordă 1p din oficiu.

BAREM CLS A IV ASUB I a) 100+122+144+166+188=720 (1,5p+0,5p) 2pb) b poate lua 5 valori 1p a poate lua 9 valori 1p Final: 9x5=45 numere 1pc) S= 500+220+1000+220+1500+220+... +4500+220= 2p=500(1+2+3+...+9)+220x9= 1p500x45+1980=24480 1pSUB II a) 2x20=3x13+1 și 2x1=2≠0 (0,75p+0,25p) 1pb) 3×zt+1 e nr par ==>zt e impar 0,5p2×xy<200==>zt<66 0,5pzt poate lua valorile 11,13,15,...,65 2pSunt 28 de numere valabile 1pc) 11+13+15+...+65=1064 2pd) xy poate lua valorile 17,20,23,...,98 1p17+20+23+...+98=1610 1pSUB III a) 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81 (0,2px10) 2pb) (1,8),(2,7),(3,6),(4,5) 1pc) (50,14), (49,15),(48,16), (47,2),(46,18), (45,19),(44,20),(43,21),(42,22),(41,23),(40,24), (39,25),(38,26),(37,27),(36,28),35,29),(34,30),(33,31),(32,17), (13,3), (12.4),(11,5),(10,6),(9,7),(8,1) 6pNotă: Pentru fiecare pereche pătratică se acordă 0,2p. Bonus 1p dacă scrie 25 perechi cu toate cele 50 de numere.Pentru fiecare pereche incorectă (sau în care se repetă numere) se scad 0,1p.

NOTĂ: La fiecare subiect se acordă 1p din oficiu.

BAREM CLASA A V ASUB I a) 1+2+3+...+2013=2013x2014:2=2027091 2pb) A=213x1x2x3x...x212x214x...x2013+213x9+96 1,5p R=96 0,5pc) x=1 avem 1006 perechi x=2 1006 perechi x=3 1005 perechi x=4 1005 perechi ....................................... x=2009 2 perechi x=2010 2 perechi x=2011 1 pereche x=2012 1 pereche 3pTotal: 2(1+2+3+...+1006)=1006x1007=1013042 2pSUB II a) 109+119+129+...+199=1540 (1,5p+0,5p) 2pb) De 3 cifre abc, (a,c)= (1,9),(2,8),....,(8,2),(9,1) (9 perechi) 1p b are 10 posibilități 0,5p 9x10=90 numere decare de 3 cifre. 0,5pDe 4 cifre dabc 90x9=810 numere 1,5pTotal 810+90=900 de numere decare 0,5pc)Dacă produsul se termină în 2013, cele 13 numere trebuie să fie toate impare 1pDar suma este pară 1pDeci nu există cele 13 numere. 1pSUB III a) Cele 2 nr nu pot fi egale (c+r=1<13) 0,3pFie a<b, a=bxc+r, c=0 ==> a=r 0,3pa=13 ==> b=13q+t, q=1,2,3,,...,13 0,8p(a,b): (13,25),(13,37),(13,49),(13,61),(13,73), (13,85), (13,97), (13,109), (13,121),(13,133),(13,145),(13,157), (13,169) (13X0,2p) 2,6pb) Cf. a) b=2013q+t, q=1,2,3,....,2013 1,5p Deci avem 2013 perechi 0,5pc) Perechile sunt de forma(2013, 2013q+t) 0,5pA= (2013+2013x1+2012)+(2013+2013x2+2011)+...+(2013+2013x2012+1)++(2013+2013x2013)=2013x2013+2013(1+2+3+...+2013)+1+2+...+2012 1pA=2013(2013+2013x1007+1006) 1pR=0 0,25pC=2013x1008+1006 (=2030110) 0,25p

NOTĂ: La fiecare subiect se acordă 1 p din oficiu.

BAREM CLASA A VI ASUB I a) 11+22+33+...+99=11x45=495 (1p+1p) 2pb) cele 2 nr au cel mult 6 cifre 0,5pDintre nr de cel mult 6 cifre, doar 11 este prim 1pNumerele sunt 11 și 525525 0,5pc) a1a2a3...ana1a2a3...an=a1a2a3...an(10n+1) 1pa1a2a3...an<¿10n+1→nici un nr pereche nu e pătrat perfect 0,5pd) Numărul numerelor pereche de cel mult 6 cifre e 999, (9+90+900) 0,5pnr pereche de 2 cifre divizib cu 44 sunt 2 (44 și 88), cu 65 niciunul 0,25pabab=101ab==>abab ⋮44 dacă ab ⋮44 sunt 2 numere 0,25p

abab ⋮65 dacă ab ⋮65 un nr 0,25pabcabc=1001abc=7x11x13abc 0,25pabcabc ⋮44==>abc ⋮4, adică 25x9=225 numere 0,4pabcabc ⋮65==>abc ⋮5, adică 20x9=180 numere 0,4pabcabc ⋮44 și 65==>abc ⋮4și 5, adică 45 numere 0,4p2+3+225+180-45=365 numere divizibile cu 44 sau cu 65 0,4pFinal 999-365=634 0,4p

SUB II a) 2013=9x223+6, cel mai mic: 6999....999 (9 de 223 ori) 1p cel mai mare 1111....1111 (de 2013 ori 1) 1pb) Pătratele perfecte sunt de formele: 9k, 9k+1, 9k+4 sau 9k+7 1p2013=9x223+6, deci cardB=0 1pc) Dacă o cifră e mai mică decât 9, aceasta e 6, avem 224 numere 1pDacă 2 cifre sun mai mici ca 9, acestea pot fi: (0,6), (1,5), (2,4),(3,3), (8,7) 0,5p (1,5) avem 225x224 numere 0,5p(2,4) 225x224 numere 0,5p(6,0) 224x223+224=2242 numere 0,5p(3,3) 224x225:2 numere 0,5p(8,7) 224x223 numere 0,5pFinalizare 1p

SUB III a) 2+6+12+20+30=70 cm 2pb) A10A11=110cm 0,5pM1M10=2+6+12+...110-(1+55)=384 cm 2,5pc) M1M99=A1A100-(1+9900:2) 0,5pA1A100=1x2+2x3+3x4+...+99x100 0,5p

=33x100x101=333300 2,5pM1M99=328349 0,5pNOTĂ: La fiecare subiect se acordă 1 p din oficiu.

Concursul Interjudetean Memorial “Nicolita Sanda “ editia a XVII-a 9 .11.2013Barem de corectare Clasa a VII-aSubiectul I1.a)calculeaza a=3………………………………………………………….1,5p calculeaza b=3…………………………………………………………1,5p b)opusul lui a este -3……………………………………………………….1p

inversul lui b este 13

………………………………………………………1p

compara ………………………………………………………………….1p2.a+b=84 si d=(a,b)=6 ………………………………………………………0,5pa=6x,b=6y, x,y nr.naturale (x,y)=1………………………………………….0,5pdetermina (x,y)∈{(1,13);(3,11);(5,9);(9,5);(11,3);(13,1)}……………………1p(a,b)∈{(6,78);(18,66);(30,54);(66,18);(78,6)}………………………………..1pOficiu 1pSubiectul II

1.a)k

2010 e ireductibila,(k,2010)=1 ……………………………………………1p

Fie d=(2010,2010-k) si d|2010 ;d|2010-k…………………………………….1pd|(2010-2010+k);d|k;d=(k,2010);d=1………………………………………..1p

b)din a) fiecare fractie ired. k

2010 are o pereche

2010−k2010

ired. ≠ k

2010…………1p

daca 2010−k

2010=

k2010

atunci k=1005 si fractia 10052010

este reductibila……………1p

finalizare multimea A are nr.par de fractii ired………………………………1p

2.a∙0,(2)=b∙1,(1)=k;a=9k2

,b=9 k10

………………………………………………..0,5p

b3

=c2

=t;b=3t;c=2t…………………………………………………………….0,5p

t=3 k10

; c=6k10

……………………………………………………………………0,5p

inlocuieste in relatie si determina k=203

……………………………………….0,5p

finalizeaza a=30,b=6,c=4……………………………………………………1pOficiu 1pSubiectul III1.construieste ME║BN, E∈(AC) si arata AN=NE=EC………………………0,5p

Arata A∆MNE=A∆MEC=12

A∆MNC si A∆ANP=A∆PMN=12

A∆AMN......................................0,5p

Arata ca A∆AMN=A∆MNE……………………………………………………….0,5pCalculeaza A∆ABP=12 cm2…………………………………………………….0,5pCalculeaza A∆APN=4 cm2………………………………………………………0,5pCalculeaza A∆ABN=16 cm2…………………………………………………….0,5p

2.i)m(¿AEG)=900-12

m(¿ACB) si m(¿AGE)=m(¿CGD)……………………0,5p

Arata ca m(¿CGD)=900-12

m(¿ACB) si m(AGE)=m(AEG)…………………..0,5p

Finalizare ∆AGE isoscel de baza [GE]…………………………………………0,5pii)E∈bisectoarei ¿ ACB →d(E;AC)=d(E;BC)………………………………….0,5pArata AGFE parallelogram……………………………………………………..0,5pArata AGFE romb………………………………………………………………0,5p3.Stabileste relatia intre liniile negre a+b+c+d=9……………………………..0,75p(a=nr.triunghiuri echilaterale,b=nr.triunghiuri isoscele,c=nr.triunghiuri dreptunghice isoscele,d=nr.triunghiuri dreptunghice)Stabileste relatia intre liniile rosii 3a+9b+7c+10d=58……………………….0,75pDetermina a=4,b=c=1,d=3…………………………………………………..0,75pDetermina a=3,b=2,c=3,d=1………………………………………………..0,75pOficiu 1p

BAREM CLASA A VIII-ASUBIECTUL I

a) Scrie a=(196n+1 )3+1, aplică formula……………………………………………..………..1p

b=(176n−1 )3−1, apica formula………………………………………………………………..1p

c=( 596 n+1 )2−1, aplica formula………………………………………………………………..1p

d= (296n+1 )2+1, identifica numar prim…………………………………………………….1p

b) Obține E ( x , y )=2 ( x−3 )2+3 ( y+4 )2+5……………………………………………….1pEgalează x−3=0 , y+4=0 , x=3 , y=−4 , E ( x , y )=5…………………………1pEgalează x−3=±1 , y+4=± 1 , S={( 4 ,−3 ) , ( 4 ,−5 ) , (2 ,−3 ) , (2 ,−5 ) }….1p

c) 99 x=1+2+…+98…………………………………………………………………………..……...1p 99 x=4851 şi x=49…………………………………………………………………………………...1p Oficiu…………………………………………...1p Total…………………………………………….10p

SUBIECTUL IIa) Identifică punctul ca fiind mijlocul liniei mijlocii……………………………………………….2p

Justifică echivalența celor două trapeze…………………………………………………………..1pb) Arată CF ≡ FB , AF ≡ FD, prin înmulțire obținem relația………………………………1p

Arată că ABFC este inscriptibil, puterea punctului față de cerc ….………………….2p

Obține AE și EF , deci AF=3 a√32

……………………………………………………………………2p

Folosește semiprodusul diagonalelor, obține SABFC=3a2 √3

2…………………………..1p

Oficiu……………………………………………….1p

Total………………………………………………10pSUBIECTUL III

Obținem m (¿ A )=36 ° , m (¿ B )=m (¿C )=72°………………………….…………1p

Scrie relația AB

AB+BC=BC

AB …………………………………………………………………………………1p

Prelugește [ CD ] ≡ [ AC ]………………………………………………………………………………..1pAC bisectoare și aplică teorema………………………………………………………………………2p

Obținem ABAD

= BCCD …………………………………………………………………………………………...2p

CD=AB , AD=BC+ AD, ∆ ABD isoscel…………………………………………………….1pFinalizare AB2=BC ( AB+BC )………………………………………………………………….…1p Oficiu……………………………………………..1p

Total……………………………………………..10p La o ședință de pregătire pentru concursul Nicoliță Sanda, participă 3 fete (Ana, Laura și Maria) și 3 băieți (Cristi, Petre și Vasile). Învățătoarea le cere să se așeze în primul rând de bănci care are exact 6 locuri (1, 2, 3, 4, 5, 6), astfel încât să nu fie băiat lângă băiat, nici fată lângă fată.

a) Precizați un mod de așezare a celor 6 elevi.b) Dacă băieții sunt așezați pe locurile 1, 3, 5 în ordinea Cristi, Petre, Vasile,

câte posibilități de așezare există?c) Dacă Ana ocupă locul 3, câte posibilități de așezare a celor 6 elevi există?