MIHAI PUIU - BERIZINŢU

ELECTROTEHNICĂ ŞI ELECTRONICĂ

CURS

OBIECTUL ŞI IMPORTANŢA CURSULUI DE ELECTROTEHNICĂ ŞI ELECTRONICĂ

Electrotehnica este una din ramurile importante ale ştiinţelor tehnice care se

ocupă cu studiul fenomenelor electrice şi magnetice în vederea aplicaţiilor practice. Astfel, rolul electrotehnicii este deosebit de important în:

tehnica producerii, distribuţiei şi utilizării energiei electrice; tehnica transmiterii semnalelor electromagnetice; tehnica de calcul.

În strânsă legătură cu electrotehnica este electronica, care este de fapt o ramură a electrotehnicii, în care se studiază:

• aplicaţiile tehnice ale fenomenelor electromagnetice care pun în evidenţă microstructura sistemelor fizice în care curentul electric se stabileşte în special în vid, în gaze şi în semiconductoare;

• dispozitivele şi aparatele bazate pe aceste fenomene.

Cunoştinţele despre fenomenele electrice şi magnetice sau cristalizat de-a lungul timpului în teorii macroscopice sau microscopice, clasice sau cuantice, relativiste sau nerelativiste. Deoarece în majoritatea aplicaţiilor în tehnică intervin viteze mici în raport cu viteza luminii în vid şi fiindcă prezentarea fenomenologică este indispensabilă, teoria câmpului electromagnetic (electromagnetismul) ce face obiectul primei părţi a cursului este o teorie macroscopică, clasică şi nerelativistă. Capitolele principale ale electromag-netismului, structurate în forma clasică sunt: electrostatica, electrocinetica, magneto-statica şi electrodinamica.

În partea a doua a cursului – circuite electrice – sunt studiate o parte dintre circuitele electrice întâlnite frecvent în practică cum sunt: circuite electrice de curent continuu, circuite monofazate şi circuite trifazate în regim permanent sinusoidal.

În final se face o scurtă introducere în electronică, studiindu-se dispozitivele semiconductoare, aplicaţiile acestora, circuitele electronice utilizate cel mai des în construcţia aparatelor şi echipamentelor electronice.

Cursul se adresează îndeosebi studenţilor de la facultăţile de profil neelectric şi are ca obiectiv asigurarea cunoştinţele generale de electrotehnică şi electronică cu un impact larg în concepţia şi funcţionarea instalaţiilor şi echipamentelor utilizate în diverse domenii de activitate.

Scurt istoric asupra cunoştinţelor de electromagnetism Cunoştinţele despre fenomenele electrice şi magnetice datează încă din antichitate, însă

prima lucrare ştiinţifică asupra acestor fenomene, numită „De magnete”, a fost publicată în 1600 de către medicul englez W . G i l b e r t , care constată analogia între magnetismul terestru şi cel al unor substanţe magnetizate conţinute de unele minereuri (de exemplu, magnetita).

- 1 -

Tot Gilbert introduce noţiunea de electrizare ca explicaţie a fenomenului remarcat încă din antichitate de către T h a l e s d i n M i l e t (sec. VII î.e.n.) cu privire la proprietatea chihlim-barului de a atrage unele obiecte uşoare după ce a fost frecat cu o stofă de lână. La acea dată însă nu se întrevedea legătura între fenomenele electrice şi magnetice.

Relaţiile cantitative care caracterizează forţele dintre corpurile încărcate electric, elaborate prin experienţele lui C h a r l e s A . C o u l o m b şi prin analogie cele dintre polii magneţilor, descoperirile lui L . G a l v a n i , A . V o l t ă , T . J . S e e b e c k etc., experienţele lui H . C . O e r s t e d t , J . B . B i o t , F . S a v a r t , A . M . A m p è r e etc., au fost interpretate în cadrul teoriei la distanţă. Conform acestei teorii, corpurile exercită acţiuni ponderomotoare (electrice şi magnetice) asupra altor corpuri, acţiuni care se transmit instantaneu, cu viteză infinită şi care, la fel ca forţele gravitaţionale, satisfac principiul newtonian al acţiunii şi reacţiunii.

Descoperirea fenomenului inducţiei electromagnetice de către M . F a r a d a y , experien-ţele lui H . H e r t z , W . W e b b e r , P . N . L e b e d e v etc., au arătat că modelul newtonian al interacţiunilor electrice şi magnetice nu este satisfăcător. Deoarece nici o acţiune fizică nu este instantanee, acţiunile pondermotoare fiind localizate în spaţiu şi întârziate, necesită timp pentru a se propaga şi ca urmare se transmit din aproape în aproape, cu viteză finită. Astfel, teoria acţiunii la distanţă a fost înlocuită cu teoria acţiunii din aproape în aproape sau prin contiguitate.

Conceptele şi principiile de bază ale teoriei de câmp a fenomenelor electrice şi magnetice au fost stabilite printr-o lucrare de importanţă crucială, „A Treatise on Electricity and Magnetism” elaborată în 1873 de J . C . M a x w e l l pornind de la conceptele de linie de forţă şi tub de flux introduse de M. Faraday. În cadrul acestei teorii, purtătorul acţiunilor ponderomotoare electrice şi magnetice este câmpul electromagnetic care le transmite în spaţiu şi timp cu viteză foarte mare, dar finită. În această fază, teoria fenomenelor electrice şi magnetice iniţiată de Faraday şi desăvârşită de Maxwell pentru medii imobile şi de Hertz pentru medii în mişcare lentă, este o teorie fenomenologică şi macroscopică; caracterul fenomenologic rezultă din modul în care sunt introduse speciile de mărimi şi se enunţă legile teoriei, nefiind necesare ipoteze care să postuleze imposibilitatea verificării lor prin experienţă; caracterul macroscopic ia în considerare modelul continuu al substanţei, fără preocupare la scară atomică a sistemelor fizice şi a stărilor acestora.

Deşi a reuşit să explice numeroase fenomene electromagnetice, teoria macroscopică şi fenomenologică a lui Maxwell şi Hertz nu putea explica o serie de legi sau fenomene cum sunt: legea electrolizei, legile combinaţiilor chimice, teoria cinetico-moleculară, legile de material şi unele experienţe de optică şi electrodinamică a corpurilor în mişcare (experienţele lui R ö n t g e n , W i l s o n , F i z e a u , etc). Luând în considerare structura discontinuă a substanţei, dar păstrând repartiţia continuă a câmpului electromagnetic, H . A . L o r e n t z a elaborat teoria microscopică clasică a fenomenelor electromagnetice, numită şi teoria electronilor. Extrapolând la scară atomică legile teoriei lui Maxwell şi considerând sarcina electrică proprietate a particulelor elementare denumite generic electroni, teoria lui Maxwell-Lorentz a explicat o mare parte din proprietăţile de material printre care polarizaţiile electrică şi magnetică. Elaborarea de către A E i n s t e i n a teoriei relativităţii restrânse (“Asupra electrodinamicii corpurilor în mişcare”, 1905) a permis lui H . M i n c o w s c h i reformularea adecvată relativităţii restrânse a teoriei lui Maxwell şi Lorentz; s-a constituit în acest fel teoria relativistă a fenomenelor electromagnetice, numită şi electrodinamica relativistă.

Experienţe de mare fineţe arată că dacă energia şi impulsul schimbate între particule sunt foarte mici, nici conceptele şi nici legile electrodinamicii relativiste nu sunt potrivite. A fost necesar să se ia în considerare pe lângă structura discontinuă a substanţei corpurilor şi structura discretă a câmpului electromagnetic. S-a trecut astfel la faza electrodinamicii cuantice.

- 2 -

PARTEA I

ELECTROMAGNETISMUL

Capitolul 1

ELECTROSTATICA

1.1. CÂMPUL ELECTRIC ÎN VID

1.1.1. Câmpul electromagnetic. Câmpul electric. Regimurile câmpului electromagnetic.

Câmpul electromagnetic este o formă aparte de existenţă a materiei,

caracterizat prin aceea că exercită acţiuni ponderomotoare (forţe şi momente) asupra corpurilor situate în câmp. Ca orice formă a de existenţă a materiei, câmpul electromagnetic posedă energie.

Drumul cunoaşterii de la primele constatări empirice disparate, până la concepţia actuală asupra câmpului electromagnetic ca formă a materiei, până la cunoaşterea legilor care guvernează fenomenele electromagnetice şi aplicarea lor în practică, a fost un proces îndelungat, care a necesitat strângerea unui imens material faptic şi o dezvoltare a teoriei nu lipsită de stagnări şi de salturi.

Teoria macroscopică a câmpului electromagnetic, care reprezintă baza teoretică a electrotehnicii, a fost elaborată în liniile ei principale, valabilă şi în prezent, în lucrările lui James Clerk Maxwell (1831-1879) şi ale lui Heinrich Rudolph Hertz (1857-1894). Conform acestei teorii, interacţiunile electromagnetice se transmit din aproape în aproape în spaţiu şi timp (prin contiguitate) prin intermediul câmpului electromagnetic care se propagă în spaţiu cu viteză finită (viteza luminii în vid).

Câmpul electromagnetic are două aspecte particulare: câmpul electric şi câmpul magnetic. Cele două câmpuri formează un ansamblu indisolubil, separarea lor având un caracter relativ, pur teoretic, dând posibilitatea studierii lor separate.

Câmpul electric este deci unul din cele două aspecte ale câmpului electro-magnetic care se manifestă prin forţe mecanice ce acţionează asupra unui corp încărcat electric, imobil, introdus în câmp.

- 3 -

Din punctul de vedere al modului de variaţie în timp a mărimilor electrice şi magnetice, pentru câmpul electromagnetic se disting două regimuri: regimul staţionar şi regimul variabil în timp.

În regim staţionar mărimile nu variază în timp, dar au loc transformări de energie; din această categorie fac parte regimurile de câmp electric staţionar (electrocinetica) şi de câmp magnetic staţionar. Regimurile staţionare neînsoţite de transformări de energie, se numesc statice: regimul electrostatic (electrostatica) şi regimul magnetostatic (magnetostatica).

Regimurile variabile în timp în care se ia în considerare numai viteza de variaţie în timp a uneia dintre inducţiile, fie electrică, fie magnetică, se numesc cvasistaţionare. În regim cvasistaţionar anelectric sau magnetic se neglijează intensitatea curentului electric hertzian, iar în regim cvasistaţionar amagnetic sau electric se neglijează tensiunea electromotoare indusă de fluxul magnetic variabil în timp.

Regimul general valabil este regimul nestaţionar. 1.1.2. Starea de electrizare. Sarcina electrică

şi intensitatea câmpului electric în vid. Experienţa arată că frecând cu o bucată de stofă un baston de sticlă, răşină, etc.,

acesta capătă proprietatea de a atrage anumite corpuri uşoare. De asemenea, între corpurile uşoare (de exemplu mici bucăţele de hârtie) supuse acestui experiment se constată apariţia unor interacţiuni. Atât bucata de stofă, bastonul de sticlă, cât şi obiectele uşoare trec într-o stare diferită de cea mecanică sau termică, numită stare de electrizare. O stare similară se obţine, în unele condiţii, şi prin şoc mecanic, deformarea corpurilor, încălzire, iradierea corpurilor cu lumină, cu raze Röentgen, ultraviolete, etc.

Se numeşte stare de electrizare starea corpurilor în care acestea exercită asupra altor corpuri forţe electrice, adică forţe de natura celor produse de corpurile electrizate prin frecare.

Starea de electrizare se poate transmite de la un corp electrizat la un corp neelectrizat prin contact sau prin influenţă. Din punctul de vedere al modului cum transmit starea de electrizare, corpurile pot fi clasificate în trei categorii:

• conductoare – corpuri care transmit starea de electrizare practic instantaneu (timp de ordinul a 10-12s);

• izolatoare – corpuri care transmit starea de electrizare în timp de ordinul orelor sau zilelor;

• semiconductoare – corpuri cu proprietăţi intermediare (timp de transmitere a stării de electrizare de ordinul secundelor sau fracţiunilor de secundă).

Pentru caracterizarea stării de electrizare a corpurilor se defineşte sarcina electrică ca fiind o mărime de stare ce caracterizează încărcarea electrică a particulelor elementare; este o mărime scalară şi se notează cu q.

Pentru a pune în evidenţă existenţa câmpului electric se foloseşte un corp de probă încărcat cu electricitate, care trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

- să fie imobil şi de sarcină invariabilă, pentru că altfel acţionează asupra lui şi câmpul magnetic;

- să aibă o stare de electrizare astfel aleasă încât să nu modifice starea electrică a sistemului de explorat;

- 4 -

- să aibă dimensiuni cât de mici posibil (practic punctual) pentru ca forţa care se exercită asupra lui să poată fi aproximată prin forţa ce acţionează în acel punct şi nu prin rezultanta forţelor din regiunea ocupată de el.

Experimental se constată că forţa ce acţionează asupra corpului de probă introdus în câmp depinde de punctul P în care este situat corpul şi de starea sa de electrizare η:

( )η= ,PFF (1.1)

Considerând corpul de probă cu diverse stări de electrizare (η1, η2, etc.), situat în diverse puncte (P1, P2 etc.) din spaţiu unde se presupune existenţa câmpului (fig. 1.1), asupra lui acţionează forţe care satisfac relaţia

),P(F 11 η

)P(E)(qF v⋅η= . (1.2) Corpul de probă asupra căruia se exercită forţa se consideră situat în vid, adică

în spaţiul lipsit de substanţă, echivalent cu starea limită de rarefiere a unui mediu molecular. Deci, forţa care se exercită asupra corpului de probă situat în vid este egală cu produsul dintre mărimea scalară q – sarcina electrică (depinde numai de starea lui de electrizare) şi o mărime vectorială vE , numită vectorul intensităţii câmpului electric în vid (depinde numai de punctul considerat în câmp, nu şi de starea sa de electrizare).

Mărimea vectorială )P(Ev , egală cu raportul dintre forţa ),P(F η care se exercită în vid asupra corpului de probă şi sarcina lui electrică q, când aceasta tinde către zero, caracterizează local câmpul electric în vid, fiind definită prin relaţia

q),P(Flim)P(E

0q

dv

η=→

. (1.3)

Din relaţia (1.3) rezultă că unitatea de măsură a lui vE corespunde vectorului câmp în care, asupra corpului de probă încărcat cu sarcina electrică unitate, se exercită unitatea de forţă. În sistemul internaţional de unităţi (S.I.), unitatea de măsură pentru intensitatea câmpului electric este volt pe metru (V/m) şi este valoarea pentru care, asupra corpului punctiform cu sarcina electrică de 1C, acţionează o forţă egală cu 1N.

Dacă se examinează toate punctele spaţiului în care există câmp electric )0E( v ≠ , se pot construi nişte linii care au proprietatea că, în orice punct, tangenta la

aceste linii are direcţia locală a vectorului vE . Aceste linii se numesc linii de câmp. Prin convenţie, sensul liniilor de câmp electric este de la sarcina pozitivă spre sarcina negativă (fig. 1.2). Dacă se notează cu sd elementul de lungime vectorial al liniei de câmp, orientat în sensul acesteia, ecuaţia diferenţială vectorială a liniei de câmp este:

0Esd v =× (1.4)

Ansamblul liniilor de câmp din reprezentarea grafică se numeşte spectru de câmp.

Câmpul electric se numeşte omogen sau uniform dacă în fiecare punct vectorul vE are aceeaşi valoare şi orientare, liniile de câmp fiind în acest caz paralele şi echidistante.

P2

)P(E 2v

)P(E 1v P1

),P(F 22 η

Fig. 1.1.

–q +q

sd vE

Fig. 1.2.

- 5 -

Repartiţii de sarcină electrică. Sarcinile electrice se repartizează pe corpuri sau în corpuri. Analog cu definiţia

densităţii de masă care caracterizează repartiţia masei, se defineşte mărimea scalară derivată care caracterizează local starea de încărcare electrică a corpurilor şi deci repartiţia sarcinii electrice, numită densitate de sarcină electrică.

Densitatea de volum a sarcinii electrice se defineşte prin relaţia

dVdq

Vqlim

0V

dv =∆

∆=ρ

→∆ [C/m3] (1.5)

şi corespunde unei distribuţii a sarcinii electrice în volumul corpurilor când fiecare element de volum ∆V este încărcat cu sarcina elementară ∆q.

Densitatea de suprafaţă a sarcinii electrice este prin definiţie

dAdq

Aqlim

0A

ds =

∆∆

=ρ→∆

[C/m2] (1.6)

şi corespunde unei distribuţii superficiale a sarcinii când fiecărui element de suprafaţă de arie ∆A îi revine sarcina ∆q.

Densitatea de linie (lineică) a sarcinii electrice

dsdq

sqlim

0s

dl =

∆∆

=ρ→∆

[C/m] (1.7)

descrie distribuţia sarcinii electrice pe corpuri filiforme când pe fiecare element de lungime ∆s al firului se află sarcina ∆q.

Sarcina electrică totală a unei distribuţii pe un domeniu D oarecare (în volumul unui corp, pe suprafaţa unui corp sau de-a lungul unui corp filiform) se poate calcula în funcţie de densitatea de sarcină electrică ρ corespunzătoare (de volum, de suprafaţă sau de linie) cu relaţia

∫∫ ==DD

Ddρdqq D . (1.8)

Pentru sarcina electrică este valabil principiul conservării: sarcinile electrice nu pot fi nici create, nici distruse, ci numai deplasate. Cele două tipuri de sarcini electrice apar întotdeauna simultan şi au valori egale.

Pentru un sistem izolat de corpuri electrizate, suma algebrică a sarcinilor repartizate în diferite puncte ale sistemului este constantă, adică

∑ (1.9) =

=n

1k

k .constq

Dacă într-un sistem fizic sarcinile electrice q1, q2,…,qn, în general variabile în timp, satisfac condiţia că în fiecare moment suma lor este nulă,

∑ , (1.10) =

=n

1k

k 0q

ele alcătuiesc un sistem complet de sarcini electrice şi sistemul este neutru. Dacă suma sarcinilor este nenulă,

- 6 -

∑ , (1.11) =

≠n

1k

k 0q

avem un sistem incomplet de sarcini electrice. În aceste condiţii, în acord cu principiul de conservare, prezenţa sarcinii de un anumit semn într-un sistem fizic presupune existenţa unei sarcini de semn contrar în exteriorul acestuia.

1.1.3. Câmpul electric coulombian. Teorema lui Coulomb. Câmpul electric invariabil în timp şi neînsoţit de transformări ale energiei se

numeşte câmp electrostatic. Forţele electrostatice au fost studiate de Charles Augustin Coulomb efectuând experienţe cu mici corpuri încărcate cu sarcini electrice, situate în aer. Proprietăţile electrice ale aerului fiind asemănătoare cu cele ale vidului, câmpul electrostatic stabilit în aer se poate aproxima cu cel din vid şi se numeşte câmp electric coulombian.

Teoria câmpului electric coulombian este o subteorie macroscopică a câmpului electromagnetic şi se elaborează pe baza experienţelor lui Coulomb, a principiului acţiunii şi reacţiunii şi a principiului superpoziţiei.

12F21F

21u12u21F

q1>0 q2<0

R

R

12Fq1>0 q2>0

12u 21u

Fig. 1.3.

Fie q1 şi q2 sarcinile electrice care încarcă două corpuri punctiforme situate în vid la distanţa R (fig. 1.3). Forţele 21F şi respectiv 12F care se exercită asupra primului corp, respectiv asupra celui de-al doilea corp au următoarele proprietăţi:

• satisfac principiul acţiunii şi reacţiunii: forţa 12F pe care o exercită primul corp asupra celui de-al doilea este egală şi de sens opus cu forţa 21F pe care o exercită al doilea corp asupra primului, ;FF 2112 −=

• dacă sarcinile sunt de acelaşi semn, forţele sunt de respingere, iar dacă sunt de semne opuse, forţele sunt de atracţie;

• în valoare absolută, forţele sunt proporţionale cu produsul sarcinilor şi invers proporţionale cu pătratul distanţei dintre sarcini

221

e2112 RqqkFF == . (1.12)

În această relaţie ke este o constantă universală referitoare la proprietăţile

electrice ale vidului, având expresia 0

e 4k

πε=

x , unde x este coeficientul de

raţionalizare, egal cu 4π în sistemele de unităţi neraţionalizate şi cu unitatea în sistemele raţionalizate, iar ε0 este permitivitatea absolută a vidului care, în sistemul internaţional de unităţi S.I., are valoarea

- 7 -

90 19941⋅⋅π

=ε [F/m] . (1.13)

Notând cu 12u , respectiv cu 21u versori orientaţi de la sarcina q1 către sarcina q2, respectiv de la sarcina q2 către sarcina q1, expresiile vectoriale ale forţelor lui Coulomb se scriu:

;uR

qq4

1F 21221

012 ⋅⋅

πε= 122

21

021 u

Rqq

41F ⋅⋅πε

= (1.14)

1.1.4. Câmpul electrostatic produs în vid de o sarcină punctiformă. Principiul superpoziţiei câmpurilor coulombiene. În conformitate cu relaţia de definiţie a intensităţii câmpului electric în vid, forţa

12F cu care sarcina q1 acţionează asupra sarcinii q2 este egală cu produsul dintre sarcina electrică q2 şi vectorul câmpului electric în vid 12vE stabilit de sarcina q1 în punctul în care este situată sarcina q2 şi, similar, forţa 21F cu care sarcina q2 acţionează asupra sarcinii q1 este egală cu produsul dintre sarcina q1 şi vectorul câmpului electric în vid

21E stabilit de sarcina q2 în punctul în care este situată sarcina q1:

12v212 EqF = ; 21v121 EqF = (1.15)

Utilizând expresiile forţelor lui Coulomb (1.14), din (1.15) rezultă:

;uRq

41E 122

1

0

12v ⋅⋅πε

= 2122

0

21v uRq

41E ⋅⋅πε

= (1.16)

O sarcină electrică punctiformă q situată în vid, stabileşte într-un punct oarecare P, situat la distanţa R de sarcină, un câmp electric al cărui vector intensitatea vE este orientat radial (fig. 1.4), proporţional cu sarcina q şi invers proporţional cu pătratul distanţei:

30

R20

vRR

4qu

Rq

41E ⋅

πε=⋅⋅

πε= (1.17)

Intensitatea câmpului electrostatic este orientată de la corpul punctiform spre infinit, dacă sarcina e pozitivă, şi către corp, dacă sarcina este negativă (fig. 1.4).

P

0q >

vER

vE

vE

Fig. 1.4.

- 8 -

Câmpul electric coulombian satisface principiul superpoziţiei care se enunţă astfel: intensitatea câmpului electrostatic vE stabilit într-un punct din vid de n sarcini electrice punctiforme qk, este egală cu suma vectorilor vkE (k = 1, 2, …, n) produşi în acel punct de fiecare sarcină punctiformă:

∑∑==

⋅πε

==n

1kk3

k

kn

1kvkv R

Rq

41EE

0

(1.19)

Dacă sarcina electrică q este repartizată, intensitatea câmpului electrostatic vEd stabilit în vid de sarcina elementară dq se calculează cu relaţia:

RRdq

41Ed 3v

0

⋅⋅πε

= (1.20)

În cazul general, când există sarcini distribuite în volum (cu densita-tea de volum ρv), pe suprafeţe (cu densitatea de suprafaţă ρs), pe corpuri filiforme (cu densitatea ρl), cât şi sarcini punctiforme, intensitatea câmpului electrostatic se calculează cu relaţia:

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+ρ+ρ+ρ

πε= ∑∫ ∫∫

=

n

1kk3

k

k

S C3l3s

V3vv R

Rqds

RRdA

RRdv

RR

41RE

0

. (1.21)

1.1.5. Inducţia electrică şi fluxul electric în vid. Teorema lui Gauss. Mărimea vectorială egală cu produsul dintre intensitatea câmpului electric în vid

vE şi permitivitatea absolută a vidului 0ε reprezintă inducţia electrică în vid, vD :

v0d

v ED ε=Ad

ΓSn

vD α

SΓ

Γ

(1.22)

Se numeşte flux electric în vid, fluxul vectorului inducţie electrică vD printr-o suprafaţă deschisă SΓ,

∫Γ

Γ⋅=

S

vS AdDψ , (1.23)

sau fluxul vectorului vD printr-o suprafaţă închisă Σ,

∫Σ

Σ = AdDψ v Fig. 1.5. . (1.24)

Observaţii. Elementul de arie vectorial Ad este un vector elemen-tar, având modulul egal cu aria elementului de suprafaţă şi fiind orientat după direcţia normalei pozitive la suprafaţă. În cazul suprafeţelor deschise (notate cu SΓ) care se sprijină pe o curbă închisă Γ (fig. 1.5), sensul normalei pozitive la suprafaţă este dat de sensul de înaintare al burghiului drept care este rotit în sensul de referinţă stabilit pentru curba Γ. În cazul suprafeţelor închise (notate cu Σ), normala pozitivă este întotdeauna orientată din interiorul către exteriorul suprafeţei.

Teorema lui Gauss stabileşte că fluxul electric prin orice suprafaţă închisă Σ, trasată exclusiv prin vid, este egal în orice moment cu sarcina electrică qΣ din interiorul suprafeţei.

- 9 -

Σ

Σ

Σ ==ψ ∫ qAdDv (1.25)

Fluxul electric este o mărime derivată, având aceeaşi dimensiune cu sarcina electrică. În sistemul internaţional de unităţi SI, unitatea de măsură pentru fluxul electric este deci coulombul (C).

Ţinând cont de relaţia de definiţie a inducţiei electrice în vid (1.22), expresia formei integrale a teoremei lui Gauss poate fi pusă sub forma:

0v

qAdEε

= Σ

Σ∫ (1.26)

Cu ajutorul acestei relaţii se poate determina valoarea intensităţii câmpului electric în vid în ipoteza că integrala din membrul întâi se poate calcula uşor din considerente fizice, cum ar fi cazul unor sisteme cu simetrie (sferică, cilindrică, etc.).

1.1.6. Tensiunea electrică. Tensiunea electromotoare. Potenţialul electrostatic şi diferenţa de potenţial. În general, într-un câmp de vectori, integrala de linie a vectorului câmp în lungul

unei curbe poate fi denumită tensiune. În cazul câmpului electric această mărime se numeşte tensiune electrică.

vEq sd

CAB

vE

B

ASe consideră o particulă încărcată cu sarcina electrică q care se deplasează cu o viteză foarte mică în lungul unei curbe oarecare CAB într-un câmp electric (fig. 1.6). Se presupune că sarcina q este suficient de mică pentru a nu modifica starea câmpului electric.

Lucrul mecanic necesar pentru deplasarea sarcinii q între punctele A şi B este:

∫=B

A

AB sdFL Fig. 1.6.

(1.27)

Ţinând seama de expresia forţei electrice vEqF = , avem

∫=B

A

AB sdFqL . (1.28)

Prin definiţie, raportul LAB/q reprezintă tensiunea electrică UAB dintre punctele A şi B situate în câmp electric

∫==B

A

vAB

d

AB sdEq

LU (1.29)

Tensiunea electrică între două puncte din câmp este numeric egală cu lucrul mecanic efectuat de forţele câmpului pentru deplasarea sarcinii electrice unitare între cele două puncte.

Tensiunea electrică se măsoară în volţi (V). Un volt este tensiunea dintre două puncte din câmp pentru care se cheltuieşte lucrul mecanic de un joule pentru deplasarea sarcinii electrice de un coulomb între cele două puncte.

- 10 -

Din relaţia (1.29) se vede că UAB = – UBA, deci tensiunea electrică depinde de sensul de integrare. Acest sens, numit sens de referinţă, se indică printr-o săgeată (fig. 1.7).

A

B

UAB

Integrala de linie a intensităţii câmpului electric efectuată pe o curbă închisă Γ (circulaţia a vectorului vE ) se numeşte tensiune electromotoare şi se notează cu eΓ sau cu ueΓ dacă e variabilă în timp (tensiune electromotoare instantanee) şi cu EΓ sau cu UeΓ dacă este constantă în timp:

Fig. 1.7.

∫Γ

=Γ sdEv e (1.30)

În câmp electrostatic (coulombian) tensiunea electromotoare este nulă pentru orice curbă închisă Γ

0sdEE v == ∫Γ

Γ . (1.31)

O proprietate importantă a tensiunii electrice în câmp electrostatic este că valoarea ei nu depinde de curba după care se face integrarea (de drum), ci numai de extremităţile acesteia. Această proprietate se poate demonstra simplu pe baza rel. (1.31). Astfel, considerând punctele A şi B în câmp electrostatic şi două curbe oarecare AmB şi AnB care împreună alcătuiesc conturul închis Γ (fig. 1.8), rezultă Γ A

vE0sdEsd

BnA

vv =+EsdEAmB

v = ∫∫∫Γ

00 BPAPAB UUU −=

,

respectiv, . AnBAmB UU =Fie un punct de referinţă P0 (fig. 1.9). Tensiunea

între punctele A şi B se scrie:

(1.32) Tensiunea unui punct oarecare P în raport cu un

punct de referinţă P0 se numeşte potenţialul electric al punctului respectiv şi se notează cu VP

sdEUV0

0

P

P

vPP

d

P ∫== (1.33)

Astfel, potenţialele punctelor considerate, A şi B, sunt:

sdE0

A

v∫UV0

P

APA == şi respectiv, sdE0

B

v∫UV0

P

BPB ==

În practică se consideră potenţial nul, potenţialul pământului. În unele probleme se consideră ca având potenţial nul punctele de la infinit.

Tensiunea dintre două puncte este deci egală cu diferenţa dintre potenţialele celor două puncte:

UAB = UApo – UBpo= (VA –VPo) – (VB – VPo) = VA – VB (1.34)

Tensiunea electrică UAB, egală cu diferenţa potenţialelor VA şi VB, reprezintă diferenţa de potenţial dintre punctele A şi B considerate în câmp electric.

Fig. 1.8.

m n

B

BA UAB

UAPoUBPo

P0

Fig. 1.9.

- 11 -

1.2. CÂMPUL ELECTRIC ÎN SUBSTANŢĂ

1.2.1. DIELECTRICI Din punctul de vedere al proprietăţilor electrice materialele se împart în trei

categorii: conductoare, izolante (dielectrici) şi semiconductoare. Materialele conductoare sunt substanţe care, în condiţiile normale în care sunt

utilizate, sunt bune conductoare de electricitate (adică permit trecerea rapidă a particulelor încărcate cu sarcină electrică). La conductori există prin urmare particule care se pot deplasa, transportând sarcini electrice. Aceste particule sunt constituite de electroni liberi în cazul metalelor (conductori de speţa sau specia întâi) sau de ioni în cazul electroliţilor (conductori de speţa sau specia a doua). Aceste particule care se pot deplasa la distanţe relativ mari se numesc particule libere, iar sarcina lor se numeşte sarcină electrică liberă sau adevărată.

Dielectricii sunt substanţe rele conductoare de electricitate deoarece, în general, la nivel microscopic, nu conţin particule libere încărcate cu sarcină electrică care să se poată deplasa la distanţe apreciabile. La dielectrici, particulele încărcate cu sarcină electrică nu pot părăsi sistemele de particule (atomi, molecule, ioni) din care fac parte. Totdeauna suma sarcinilor electrice este nulă pentru întreg sistemul pe care îl formează; de aceea, aceste particule sunt denumite particule legate iar sarcina electrică corespunzătoare, sarcină electrică legată. Dielectricii pot fi încărcaţi şi cu sarcini electrice libere aduse din afară.

Dielectricii sunt substanţe solide, lichide sau gazoase formate din sisteme de sarcini electrice, neutre în ansamblu pentru mici domenii (suma sarcinilor electrice din interiorul acestor domenii este nulă).

Ca şi materialele conductoare, materialele dielectrice, numite şi materiale izolante, au largi aplicaţii în tehnică: materialele izolante constituite din dielectrici folosesc proprietatea dielectricilor ideali de a nu permite o conducţie electrică prin spaţiul ocupat de aceştia în prezenţa unui câmp electric din exterior.

1.2.2. DIPOLUL ELECTRIC. MOMENTUL ELECTRIC AL DIPOLULUI. Dipolul electric reprezintă un ansamblu format din două sarcini electrice

punctiforme, egale şi de semn contrar, aşezate la distanţa ∆l foarte mică, dar finită, numită axa dipolului (fig. 1.10).

∆l

p +q –q

Dipolul este caracterizat din punct de vedere electric de momentul electric al dipolului, care este o mărime vectorială, notat cu p , definit prin produsul

lqp ∆= (1.35) Fig. 1.10. al cărui modul este dat de relaţia de mai sus şi al cărui sens se ia

convenţional de la sarcina negativă, –q, la cea pozitivă, +q. Substanţele dielectrice, având numai "sarcini legate" la nivel microscopic, pot fi

considerate, din punct de vedere electric, ca fiind constituite din dipoli electrici. Aceşti dipoli se orientează în câmp electric, iar acest fenomen de orientare a dipolilor se numeşte polarizare electrică.

- 12 -

Dacă un mic corp polarizat electric, ce poate fi echivalat cu un dipol, este introdus într-un câmp electric vE cunoscut, se constată că asupra sa se exercită un dublu efect ponderomotor: o forţă şi un cuplu. Cuplul care acţionează asupra corpului polarizat aflat într-un câmp omogen se determină cu relaţia:

p vE

C

vEpC ×= (1.36) Acest cuplu are tendinţa de a roti micul corp polarizat până ce o anumită axă privilegiată a acestuia, numită axă de polarizare, devine paralelă cu câmpul electric exterior (fig. 1.11). Fig. 1.11.

1.2.3. POLARIZAREA DIELECTRICĂ Starea de polarizare electrică a unui corp de dimensiuni foarte mici, asimilabil

cu un dipol electric, este complet caracterizată de momentul său electric p . Descrierea locală a stării de polarizare a unui corp de dimensiuni mari necesită introducerea unei mărimi vectoriale derivate – polarizaţia electrică P , definită ca densitatea de volum a momentelor electrice:

dV

pdVplim P

0V

d=

∆∆

=→∆

(1.37)

unde p∆ este momentul electric rezultant al dipolilor cuprinşi în elementul de volum ∆V pentru cazul când ∆V se restrânge până la un punct.

Momentul electric rezultant p al corpului se calculează cu integrala de volum:

dVPpV∫= (1.38)

Pentru toţi dielectricii, experienţa pune în evidenţă o dependenţă mai mare sau mai mică a stării lor de polarizare de intensitatea câmpului electric.

Dielectricii al căror moment electric p se anulează după suprimarea câmpului în care au fost aduşi, se numesc cu polarizaţie electrică temporară, iar polarizarea lor se numeşte polarizare electrică temporară. Mărimile care caracterizează starea lor de polarizare sunt: momentul electric temporar tp şi polarizaţia electrică temporară tP .

Dielectricii care prezintă o polarizaţie electrică chiar şi în lipsa unui câmp electric din exteriorul lor, produsă de factori neelectrici, se numesc cu polarizaţie electrică permanentă, iar polarizarea lor se numeşte polarizare electrică permanentă. Mărimile care caracterizează polarizarea electrică permanentă sunt: momentul electric permanent pp şi polarizaţia electrică permanentă pP .

În general deci, momentul electric p al unui mic corp polarizat electric este egal cu suma dintre o componentă temporară şi una permanentă

pvt p)E(pp += . (1.39) Acestei relaţii îi corespunde relaţia similară pentru polarizaţie:

pt P)E(PP += . (1.40)

în care E este intensitatea câmpului electric în corpuri (în substanţă).

- 13 -

Polarizarea electrică temporară se produce numai sub influenţa unui câmp electric din exterior şi dispare odată cu dispariţia acestui câmp. Polarizarea temporară poate fi de două tipuri: de orientare şi de deformare.

Polarizarea temporară de orientare se produce în dielectricii care au molecule sub forma unor dipoli electrici (dielectrici polari) la care centrul de acţiune al sarcinii pozitive nu coincide cu centrul de acţiune al sarcinii negative (de exemplu: molecula de acid clorhidric). Dacă sarcinile au valorile +q şi –q, iar distanţa dintre centrele lor este

l∆ , momentul electric al moleculei este dat de momentul electric al dipolului astfel constituit: lqp ∆= . În câmp electric exterior aceşti dipoli se orientează cu axa în sensul câmpului, adică sarcina +q se deplasează în sensul câmpului, iar sarcina –q se deplasează în sens contrar câmpului. Orientarea va fi cu atât mai puternică, şi deci polarizarea lor mai mare, cu cât câmpul electric este mai intens. Substanţe cu astfel de polarizare sunt: O2, SO2, metan, acizi organici, etc.

La polarizarea temporară de deformare, atomul sau molecula se deformează sub acţiunea câmpului exterior. Ca exemplu se consideră atomul de hidrogen constituit, după cum se ştie, dintr-un nucleu cu sarcină pozitivă în jurul căruia gravitează electronul cu sarcină negativă (fig. 1.12).

a) b)

vE-

l∆

+

0Ev ≠

•p

0p ≠

-q - +

0Ev = 0p =

+q

Fig. 1.12.

În lipsa câmpului electric ( 0E v = ), centrul de acţiune al sarcinii negative coincide cu centrul de acţiune al sarcinii pozitive şi valoarea medie a momentului electric este nulă (fig. 1.12,a). Sub acţiunea câmpului electric din exterior ( ,0Ev ≠ fig. 1.12,b) centrele de acţiune ale sarcinilor nu mai coincid şi atomul se vede din exterior ca un dipol cu momentul electric lqp ∆= . Deformarea (distanţa l∆ ) este proporţională cu intensitatea câmpului electric.

Polarizarea electrică permanentă nu depinde de valoarea locală a intensităţii câmpului electric, fiind determinată de factori neelectrici. Corpurile dielectrice pot fi polarizate sub efectul anumitor acţiuni fizico–chimice cum sunt: încălzirea (polarizarea piroelectrică), deformarea mecanică (polarizare piezoelectrică), topirea şi resolidifi-carea în prezenţa unui câmp electric suficient de intens (polarizarea electreţilor – proprietate pe care o prezintă anumite substanţe cum sunt: răşini, plexiglas, ceruri, etc.).

Dintre materialele care prezintă polarizare electrică permanentă, cele mai cunos-cute sunt: cuarţul, sarea Seignette (dublu tartrat de sodiu şi potasiu), turmalina.

Polarizarea feroelectrică este o formă specială a polarizării permanente care se caracterizează printr-o polarizare neliniară sub acţiunea unui câmp electric. La materialele feroelectrice, dependenţa dintre polarizaţie şi intensitatea câmpului electric este neliniară, prezentând fenomenul de histerezis electric (fig. 1.13).

- 14 -

Pentru un material dielectric ce nu a mai fost supus polarizării, polarizaţia electrică creşte neliniar din origine cu intensitatea câmpului electric după o curbă numită curbă de primă polarizare. La scăderea şi apoi la creşterea monotonă a intensităţii câmpului electric între două valori maxime, –Em şi +Em, se parcurge un ciclu de polarizare de forma celui din figura 1.13, în care s-au notat cu:

0

P

E Ec

-Ec

-Pr

Pr

-EmEm

Pm

-Pm

Fig. 1.13.

Pr – polarizaţia electrică remanentă (existentă la anularea câmpului electric)

Ec – intensitatea câmpului electric coercitiv (valoarea câmpului ce trebuie aplicat pentru anularea polarizaţiei remanente). Se demonstrează că aria ciclului de histerezis este proporţională cu pierderile de

energie electrică (prin dezvoltare de căldură) în unitatea de volum, la efectuarea unui ciclu de polarizare.

Exemple de materiale feroelectrice sunt: titanatul de bariu, titanatul de calciu, sarea Seignette.

Un alt fenomen care apare în polarizarea dielectricilor este fenomenul numit postefect electric sau vâscozitatea electrică. Acest efect se produce în regim nestaţionar, la frecvenţe mari şi constă în aceea că, în această situaţie, variaţiile polarizaţiei instantanee nu mai pot urmări instantaneu variaţiile intensităţii câmpului electric exterior care o condiţionează. Fenomenul de vâscozitate electrică determină pierderi suplimentare de energie în dielectrici. Fenomenul este utilizat la încălzirea dielectricilor.

1.2.5. Legea polarizaţiei electrice temporare

Din interpretarea macroscopică a polarizaţiei electrice rezultă că numai

polarizaţia temporară poate fi exprimată funcţie de intensitatea câmpului electric. Experimental se constată că în medii dielectrice liniare şi izotrope există o relaţie de proporţionalitate între polarizaţie şi intensitatea câmpului electric de forma

EP e0t χε= , (1.41) relaţie numită legea polarizaţiei electrice temporare.

Mărimea este numită susceptivitate electrică şi depinde de natura mediului, fiind deci o mărime de material. Aşadar, în teoria macroscopică a câmpului electromag-netic, legea polarizaţiei electrice temporare este o lege de material. Susceptivitatea electrică este o mărime adimensională pozitivă.

eχ

În medii dielectrice liniare şi izotrope (dielectrici liniari şi izotropi), suscepti-vitatea electrică este independentă de intensitatea câmpului electric şi, în general, depinde de condiţii neelectrice ca: temperatura, presiunea, etc. Un material dielectric este izotrop dacă sub acţiunea unui câmp electric având orice orientare în corp, se polarizează temporar în direcţia câmpului şi este liniar, dacă local, polarizaţia temporară instantanee este proporţională cu intensitatea instantanee a câmpului electric:

)t,r(E)r()t,r(P e0t χε= . (1.42)

- 15 -

1.2.6. Legea dependenţei dintre inducţie, intensitate şi polarizaţie în câmp electric Suma vectorială dintre polarizaţia P şi intensitatea câmpului electric E

multiplicată cu permitivitatea vidului 0ε , este egală în orice moment şi în orice punct cu inducţia electrică D , relaţia

PED 0 +ε= (1.43) fiind numită, în teoria macroscopică a câmpului electromagnetic, legea dependenţei dintre inducţie, intensitate şi polarizaţie în câmp electric. Întrucât în relaţie nu intervin mărimi de material, legea dependenţei dintre inducţie, intensitate şi polarizaţie este o lege generală şi de stare a câmpului electromagnetic, verificabilă experimental şi în regim nestaţionar.

Dacă materialul dielectric este fără polarizaţie permanentă ( 0Pp = , )PP t= , legea poate fi scrisă sub forma

EE)1(PED et 00 ε=χ+ε=+ε= (1.44) în care:

- este permitivitatea absolută a materialului, numită uneori şi constantă dielectrică, cu unitatea de măsură F/m ;

ε

- er 10

χ−=εε=ε este permitivitatea relativă.

Dacă se trasează grafic variaţia inducţiei electrice în funcţie de intensitatea câmpului electric la variaţia periodică a câmpului între două valori extreme, +Em şi –Em, se pune în evidenţă fenomenul de histerezis electric în care inducţia remanentă Dr corespunde polarizaţiei permanente Pr (fig. 1.14,a). Pentru un material feroelectric care nu a mai fost polarizat, se obţine caracteristica neliniară D = f(E) numită caracteristica de primă polarizare (fig. 1.14,b), din care se poate determina permitivitatea ε = D/E.

0

D

E

–Em

Dm

–Dm

–Dr

Dr

–Ec

Ec Em

D ε

0

D, ε

a) b) Fig. 1.14.

- 16 -

1.2.7. Legea fluxului electric

Fluxul electric printr-o suprafaţă închisă Σ, dat de integrala de suprafaţă a produsului scalar dintre inducţia electrică şi elementul de suprafaţă vectorial, este în fiecare moment egal cu sarcina electrică liberă (adevărată) qΣ a corpurilor din interiorul suprafeţei. Sub forma integrală, expresia legii fluxului electric este:

Σ

Σ

Σ =⋅=ψ ∫ qAdD (1.45)

Legea fluxului electric este o generalizare a teoremei fluxului electric în vid (teorema lui Gauss), demonstrată pentru câmpul electrostatic.

Normala la suprafaţă Σ după care este orientat elementul de arie Ad se consideră orientată spre exterior astfel încât, pentru sarcini pozitive fluxul este pozitiv (liniile lui D ies din suprafaţă), iar pentru sarcini negative fluxul este negativ (liniile lui D intră în suprafaţă).

Relaţia se verifică experimental şi în cazul cel mai general al regimului nestaţionar, legea fluxului electric fiind o lege generală şi de stare a câmpului electromagnetic (în relaţie nu intervin mărimi de material).

1.3.1. CAPACITATEA ELECTRICĂ. CONDENSATORUL Sistemul alcătuit din două conductoare separate printr-un dielectric fără

polarizaţie permanentă constituie un condensator electric sau capacitor. Cele două conductoare, numite armăturile condensatorului, se încarcă superficial cu sarcini electrice egale în valoare absolută şi de semn contrar.

Dacă dielectricul este liniar, omogen şi izotrop şi armăturile se încarcă cu sarcini electrice egale şi de semne opuse, teorema capacităţii electrice se enunţă astfel: raportul pozitiv dintre sarcina electrică a uneia dintre armături q1 (q2) prin diferenţa de potenţial faţă de cealaltă armătură V1 – V2 (V2 – V1), este independent de valorile sarcinii sau diferenţei de potenţial şi se numeşte capacitate electrică C:

12

2

21

1

VVq

VVqC

−=

−= sau,

21

2

12

1

Uq

UqC == (1.46)

unde 12212112 VVU respectiv ,VVU −=−= . Cum qqq 21 =−= , se poate scrie mai simplu:

qd

În cazul unui mediu dielectric lisarcinile q1 şi q2 corespund potenţialecorespunde potenţialele nV1 şi respecticapacitatea:

nnVnVnq

21=

−

UC= (1.47)

niar este valabilă teorema superpoziţiei: dacă la le V1 şi V2, atunci la sarcinile nq1 şi nq2 vor v nV2. Noii stări a sistemului îi va corespunde

CVV

q)VV(

nq

2121=

−=

− (1.48)

- 17 -

Prin urmare, dacă dielectricul este liniar, capacitatea electrică a condensatorului nu depinde de sarcinile electrice sau de potenţialele armăturilor, ci numai de caracteristicile geometrice ale sistemului şi de permitivitatea dielectricului.

+ − C u

U

+q –q C

a)

În figura 1.15 se prezintă simbolurile grafice utilizate pentru condensatoare: fig. 1.15,a) pentru condensatorul de curent alternativ (nepolarizat), fig. 1.15,b) pentru condensa-torul de curent continuu (electrolitic, polarizat).

b)

Unitatea de măsură a capacităţii electrice se numeşte farad (F). În sistemul internaţional (S.I.) de unităţi de măsură, un farad este capacitatea unui condensator care la tensiunea de 1V între armături se încarcă cu sarcina de 1C .

Fig. 1.15.

Întrucât faradul este o capacitate foarte mare, în practică se utilizează submultiplii faradului, astfel:

- microfaradul, 1µF = 10-6 F; - nanofaradul, 1nF = 10-9 F; - picofaradul, 1pF = 10-12F

Calculul capacităţii unor condensatoare simple se efectuează în următoarele etape:

se presupun armăturile încărcate cu sarcinile electrice +q şi –q; se calculează intensitatea câmpului electric E într-un punct dintre armături, sau potenţialele celor două armături V1 şi V2;

se calculează tensiunea electrică dintre armături, efectuând integrala de linie a intensităţii câmpului electric pe drumul cel mai convenabil pentru calcul, sau determinând diferenţa de potenţial dintre armături:

sdEVVU2

1

2112 ⋅=−= ∫

se calculează capacitatea electrică cu relaţia: 12U

qC = .

Ca exemplu se efectuează calculul capacităţii condensatorului plan idealizat. Un condensator plan este format din două armături plane paralele de arie A, care

sunt aşezate la distanţa d, mică faţă de dimensiunile plăcilor; între plăci se găseşte un dielectric de permitivitate ε (fig. 1.16). Se consideră cazul în care dielectricul este liniar, izotrop şi omogen, iar liniile de câmp electric sunt perpendiculare pe suprafaţa armăturilor. Un astfel de condensator plan este numit condensator plan idealizat.

Conform etapelor de calcul, rezultă:

E

U12

Fig. 1.16.

A

-q +q

d - q1 = q , q2 = –q ;

- intensitatea câmpului electric: A

qE s

⋅ε=

ερ

= ;

- tensiunea electrică: dAqsd

AqsdEU

2

1

2

112 ε

=ε

== ∫∫ ;

- expresia capacităţii: dA

UqC12

⋅ε== . (1.49)

- 18 -

1.3.2. Capacităţi echivalente Prin definiţie, capacitatea echivalentă a unui sistem de condensatoare este

raportul dintre sarcina absorbită de la sursă pe la una din borne şi tensiunea sursei, dacă iniţial toate condensatoarele erau descărcate.

Astfel, dacă sistemul de condensatoare este conectat la sursă între bornele A şi B, relaţia de definiţie a capacităţii echivalente se scrie:

AB

Ae U

qC =

UCq ABkk

(1.50)

Deci, capacitatea echivalentă a unui sistem de condensatoare este capacitatea unui condensator care sub aceeaşi tensiune la borne se încarcă cu aceeaşi sarcină electrică ca şi sistemul dat (fig. 1.17). Condensatoarele pot fi conectate în serie, în paralel, în stea sau în triunghi şi, în general, în conexiuni mixte.

Condensatoare legate în paralel. Deoarece tensiunea la bornele condensatoarelor legate în paralel (derivaţie) este

aceeaşi, UAB (fig. 1.18), fiecare condensator se va încărca cu sarcina electrică

).n,...,1k( , =⋅=

∑=

==n

1kkA qq

Sarcina absorbită de la sursă pe la borna A este

∑=

n

1kkAB CU .

Conform relaţiei de definiţie, capacitatea echivalentă rezultă:

∑=

==n

1kk

AB

Ae C

UqC

21e CCC

(1.51)

respectiv, nk C...C... +++++= .

Capacitatea echivalentă a unui sistem de n condensatoare legate în paralel este egală cu suma capacităţilor condensatoarelor.

Conectarea în paralel a condensatoarelor este utilizată pentru obţinerea unor valori mari ale capacităţii.

Condensatoare legate în serie. Se consideră sistemul de n condensatoare legate în serie (fig. 1.19).

+qA -qCe

BA A

UAB

Fig. 1.17.

+q1 -q1 C1

+q2 -q2 C2

+qk -qk Ck

+qn -qn Cn

BA

UAB

Fig. 1.18.

+qA –qA C1

+qA –qA C2

+qA –qA Ck

+qA –qA Cn A B

U1 U2 Uk Un

UABFig. 1.19.

- 19 -

În acest caz toate condensatoarele se încarcă cu aceeaşi sarcină,

n21A q...qqq ==== , iar tensiunea între bornele A şi B este:

∑=

=+++++=n

1kknk21AB UU...U...UUU

Tensiunea la bornele fiecărui condensator fiind k

A

k

kk C

qCqU == , rezultă:

∑=

=n

1k kAAB C

1qU .

Expresia capacităţii echivalente a sistemului de condensatoare conectate în serie rezultă:

∑=

== n

1k k

AB

Ae

C1

1UqC sau, ∑

=

=n

1k ke C1

C1 (1.52)

respectiv, nk21e C

1...C1...

C1

C1

C1

+++++=

Se observă cu uşurinţă că, la legarea în serie a condensatoarelor, capacitatea echivalentă este mai mică decât capacitatea oricărui condensator, Ce < Ck, această conexiune utilizându-se pentru mărirea tensiunii de lucru a bateriei de condensatoare.

Pentru două condensatoare legate în serie rezultă relaţia:

21

21e CC

CCC+⋅

= . (1.53)

Pentru n condensatoare de valori egale )CC( k = , rezultă: nCCe = .

1.4. ENERGIA CÂMPULUI ELECTROSTATIC

Pentru a stabili expresia energiei câmpului electrostatic produs de corpuri

încărcate cu sarcini electrice se consideră un experiment idealizat, bazat pe legea conservării energiei. Astfel, pentru a stabili câmp electric într-un domeniu al spaţiului unde acesta era iniţial nul, este necesar să transportăm sarcini electrice din exterior (de la infinit) cu care se încarcă corpurile din domeniu. Energia câmpului electrostatic astfel obţinut va fi dată de lucrul mecanic total efectuat pentru transportul acestor sarcini.

În aceste ipoteze se va stabili expresia energiei câmpului electrostatic în funcţie de sarcinile şi potenţialele conductoarelor ce produc câmpul.

Se presupune starea iniţială identic nulă,

qi (0 ) = 0; Vi = 0, i = 1, 2, ..., n,

iar starea finală dată de sarcinile şi potenţialele:

q1, q2 ,…, qn ; V1, V2 ,…, Vn

- 20 -

O stare intermediară se notează:

n21 q , ... ,q ,q ′′′ − sarcinile corpurilor;

n21 V , ... ,V ,V ′′′ − potenţialele corpurilor.

Se admite că stabilirea stării finale se face proporţional, adică, în orice moment sunt satisfăcute relaţiile:

ii qq λ=′ , ii VV λ=′ (1.55)

unde λ ia valori între 0 şi 1, 0 < λ < 1.

isd

extFd

∞iqd ′

FdPi • • •

•

• •

i

1

n

2

Ed ′

Fig. 1.20.

Pentru a trece sistemul din starea iq′ într-o stare foarte apropiată, , este

necesar a se cheltui un lucru mecanic pentru deplasarea sarcinii elementare contra câmpului (fig. 1.20) dat de relaţia:

ii qdq ′+′

iqd ′

sdFdLiP

ext.ext,i ∫∞

=δ (1.56)

Dar forţa aplicată din exterior este egală şi de sens opus cu forţa coulombiană: .EqdFd iext ′′−= Rezultă astfel,

ii

P

i.ext,i qdVsdEqdLi

′′=′′−=δ ∫∞

(1.57)

Luând în considerare operaţia de încărcare a tuturor conductoarelor, lucrul mecanic elementar efectuat este

∑=

′′=n

1i

ii.ext qdVdL . (1.58)

Lucrului mecanic efectuat în exterior dLext. îi corespunde o creştere a energiei electrostatice

∑=

′′==n

1i

iie qdVdLdW , respectiv . ∑=

λ∆=n

1i

iie dqVdW

Prin integrare, pentru λ variind de la 0 la 1, se obţine expresia energiei înmagazinată în câmpul electric al unui sistem de n conductoare având sarcinile qi si potenţialele Vi:

- 21 -

∑∫∑==

=λλ=n

1i

ii

1

0

n

1i

iie qV21dqVW (1.59)

Aplicaţie. Energia electrică înmagazinată în câmpul electric al unui condensator. Condensatorul are pe armături sarcinile q1 = +q, q2 = −q şi potenţialele V1, V2 care satisfac relaţia: U = V1 − V2 .

Conform relaţiei (1.145), energia înmagazinată în câmpul electric al condensatorului va fi:

( ) qU21qVqV

21qV

21W 21

2

1i

iie =−== ∑=

sau, ţinând cont de relaţia de definiţie a capacităţii CUq = , se obţine:

Cq

21UC

21W

22

e ⋅=⋅= (1.60)

Rezultă că, dacă se menţine tensiunea constantă, energia condensatorului este proporţională cu capacitatea sa, iar dacă se menţine sarcina constantă, energia este invers proporţională cu capacitatea.

- 22 -

Capitolul 2

ELECTROCINETICA 2.1. STAREA ELECTROCINETICĂ. EFECTE ELECTROCINETICE.

După cum s-a arătat în capitolul anterior, în regim electrostatic suprafaţa unui

conductor omogen şi neaccelerat este echipotenţială, iar între diferite părţi ale unui conductor neomogen sau accelerat pot exista diferenţe de potenţial care apar datorită unor factori neelectrici cum ar fi: neomogenităţi de temperatură, de concentraţie, etc.

Dacă printr-un mijloc potrivit se realizează o diferenţă de potenţial între două puncte sau regiuni ale unui conductor omogen şi neaccelerat, se constată că acesta se va găsi într-o stare diferită de cea electrostatică – starea electrocinetică – pusă în evidenţă de noi efecte.

V1

E V2Lc

K C1

C2

Două conductoare C1 şi C2 omogene, imobile, izolate electric şi încărcate la potenţiale electrice diferite, pot menţine timp îndelungat (teoretic infinit) regimul lor electrostatic. Foiţele electroscopului E adus în vecinătatea celor două conductoare se îndepărtează cu unghiuri ce nu variază în timp (fig. 2.1). Fig. 2.1.

Stabilind o legătură conductoare Lc între conductoa-rele C1 şi C2 (de exemplu un fir metalic), se constată că foiţele electroscopului se apropie treptat, regimul electrostatic nu se mai menţine şi sistemul conductoarelor C1, C2 şi Lc se află într-o stare nouă, starea electrocinetică, caracterizată de efecte noi şi anume:

• efecte mecanice - asupra conductoarelor C1, C2 şi Lc se exercită forţe şi cupluri care nu se exercitau anterior;

• efecte calorice - dacă legătura conductoare Lc este un fir metalic, acesta se încălzeşte;

• efecte chimice - dacă legătura conductoare Lc este constituită dintr-o soluţie de acizi, baze sau săruri (soluţii electrolitice), aceasta devine sediul unor reacţii chimice;

• efecte magnetice - dacă în vecinătatea legăturii conductoare Lc constituită dintr-un fir metalic se aduce un ac magnetic, asupra acestuia se exercită forţe şi cupluri care nu se exercitau anterior închiderii legăturii Lc;

• efecte electrice - între părţi diferite ale conductoarelor C1, C2 şi Lc se stabilesc diferenţe de potenţial, iar starea lor de încărcare electrică poate să varieze în timp;

• efecte luminoase - dacă firul legăturii Lc are o secţiune potrivită, poate emite lumină ca urmare a încălzirii lui la incandescenţă; dacă legătura conductoare este un gaz, acesta produce în anumite condiţii lumină, independent de încălzire.

Starea conductoarelor în care are loc, în condiţiile arătate, cel puţin unul din aceste efecte se numeşte stare electrocinetică.

- 23 -

Conductoarele care în stare electrocinetică nu sunt însoţite de efecte chimice, se numesc conductoare de speţa sau specia întâia: metalele, carbonul, semiconductoarele.

Conductoarele care, în stare electrocinetică, sunt sediul unor reacţii chimice, se numesc conductoare de speţa sau specia a doua: soluţiile electrolitice (prescurtat, electroliţi).

Într-o interpretare macroscopică simplificată, starea electrocinetică a conductoarelor se poate considera ca fiind asociată transmisiei de purtători de sarcină, adică unui curent de sarcini electrice în conductoare numit curent electric de conducţie.

Diferenţa de potenţial între conductoarele C1 şi C2 caracterizează în acest caz sursa curentului electric. Existenţa unei diferenţe de potenţial şi, în general, a unei tensiuni electrice între părţi ale unui conductor nu este singura posibilitate de stabilire de curent electric de conducţie; acesta mai poate fi stabilit de fluxul magnetic variabil în timp, de neomogenităţi de temperatură, de concentraţie, etc.

Părţile între care sursa menţine o tensiune electrică într-un circuit electric se numesc borne. Se spune că sursa alimentează circuitul electric, respectiv aplică la bornele circuitului o tensiune electrică.

2.2. INTENSITATEA CURENTULUI ELECTRIC. DENSITATEA CURENTULUI ELECTRIC. Considerând o anumită secţiune printr-un conductor electric, se defineşte

intensitatea curentului electric de conducţie ca fiind viteza de transmitere a sarcinilor electrice prin suprafaţa secţiunii considerate:

dtdq

tqlim

0t=

∆∆=

→∆i (2.1)

Prin convenţie se defineşte ca sens pozitiv al curentului electric, sensul de deplasare al sarcinilor electrice pozitive care se deplasează în sensul câmpului electric, adică de la conductorul cu potenţial mai ridicat către conductorul cu potenţial mai scăzut (fig. 2.2).

În Sistemul Internaţional de unităţi (S.I.), unitatea de măsură a intensităţii curentului electric – amperul – este fundamentală şi cu ajutorul lui se defineşte unitatea de măsură a sarcinii electrice: 1C = 1A⋅1s.

Pentru caracterizarea locală a stării electrolitice a unui conductor în care există o distribuţie de volum a curentului electric, se utilizează o mărime derivată vectorială J – densitatea curentului electric de conducţie – definită din condiţia ca intensitatea curentului electric printr-o suprafaţă oarecare S să fie egală cu fluxul vectorului Γ J prin această suprafaţă:

dAcosJAdJSS∫∫ΓΓ

α== i (2.2)

în care Ad este elementul de arie vectorial orientat în sensul normalei pozitive la suprafaţa S ce se sprijină pe conturul Γ (fig. 2.3).

Γ

Sensul vectorului densităţii de curent J este dat de sensul local de deplasare al sarcinilor pozitive în punctul considerat.

i E C1

V1 C2

V2V2 >V1

Fig. 2.2.

Ad

J α i

Fig. 2.3.

- 24 -

Într-un conductor drept, parcurs de un curent uniform repartizat, densitatea de curent este constantă pe secţiunea transversala de arie A şi are expresia:

AiJ = (2.3)

Unitatea de măsură a densităţii de curent este A/m2. În practică secţiunea conductorului exprimându-se în mm2, densitatea de curent se corelează cu aceasta folosindu-se unitatea de măsură A/mm2 : 1A/mm2 = 106A/m2.

După modul de variaţie în timp a mărimilor ce caracterizează curenţii electrici, ei pot fi împărţiţi în trei categorii:

curenţi electrici staţionari, a căror mărime este constantă în timp (I);

curenţi electrici nestaţionari sau momentani, a căror mărime variază în timp, durata lor fiind în general foarte mică (i);

curenţi electrici cvasistaţionari (i), a căror mărime variază în timp după o anumită lege, durata lor putând fi nelimitată.

Curenţii staţionari sunt curenţii continui produşi de o sursă de energie electrică având tensiunea la borne constantă.

În categoria curenţilor cvasistaţionari intră curenţii periodici, sinusoidali sau deformaţi, produşi de surse de curent alternativ, numindu-se curenţi alternativi;

Curenţi nestaţionari sunt curenţii care apar în regimurile tranzitorii ale circuitelor electrice.

2.3. TENSIUNEA ELECTROMOTOARE Apariţia curentului electric se datorează unor forţe neelectrice care acţionează

asupra sarcinilor electrice. Raportul dintre forţa neelectrică şi sarcina asupra căreia acţionează se numeşte câmp electric imprimat ( iE ):

ineel Eq

F= (2.4)

Pentru ca sarcinile să fie puse în mişcare este necesar ca forţa rezultantă ce acţionează asupra lor, dată de forţa electrică, EqF = şi forţa neelectrică, ineel EqF = , să fie nenulă:

0FF neel ≠+ (2.5)

În consecinţă, în conductoarele aflate în stare electrocinetică, suma dintre intensitatea câmpului electric E şi intensitatea câmpului imprimat iE este nenulă:

0EE i ≠+ , (2.6)

Prin definiţie, tensiunea electromotoare (t.e.m.) este integrala de linie pe contur închis (circulaţia) a sumei dintre câmpul electric şi câmpul imprimat,

( )∫Γ

+= sdEE i

d e , (2.7)

care este numeric egală cu lucrul mecanic efectuat de forţa rezultantă pentru deplasarea sarcinii unitate pe conturul închis Γ.

- 25 -

Dacă conturul Γ este situat numai în medii conductoare, în regim electrostatic avem îndeplinită condiţia:

0EE i =+ , (2.8) numită condiţia de echilibru electrostatic

Se consideră o pilă electrică (fig. 2.4) în două situaţii:

Cu

n

Zn m

K B A

Γ H2SO4

a) comutatorul K închis (regim electrocinetic); b) comutatorul K deschis (regim electrostatic).

Dacă K este închis, conturul Γ se află în întregime în conductoare şi integrala de linie

( ) 0≠sdEE i+∫Γ

deoarece există o circulaţie de sarcini (regim electrocinetic). Dacă K este deschis rezultă, de asemenea,

( )∫Γ

+ sdEE i ≠ 0 Fig. 2.4.

deoarece conturul Γ, nefiind situat în întregime în conductoare, nu se poate impune condiţia de echilibru electrostatic.

În ambele situaţii integrala se poate calcula şi ea reprezintă tensiunea electromotoare a pilei electrice.

Considerând, de exemplu, cazul când întrerupătorul K este deschis, se descompune integrala astfel:

( ) ( )∫ ∫ +++=AmB BnA

ii sdEEsdEE e (2.9)

În această situaţie sistemul se află în regim electrostatic pentru care, în conductoare, este satisfăcută condiţia de echilibru electrostatic ( )0EE i =+ şi integrala a doua este nulă. Pe porţiunea de contur AmB însă, nu poate exista câmp imprimat, ci numai câmp electrostatic. Tensiunea electromotoare este

∫ ==AmB

0ABUsdEe (2.10)

şi deci, tensiunea electromotoare a unei surse este tensiunea măsurată între bornele sale la mersul în gol (întrerupătorul K deschis), notată UAB0.

Un alt mod de calcul al integralei este:

∫∫ΓΓ

+= sdEsdE ie (2.11)

Prima integrală este nulă deoarece este integrala pe contur închis a câmpului coulombian şi rămâne,

∫ ∫∫ +==Γ AmB BnA

iii sdEsdEsdEe (2.12)

Prima integrală este nulă, deoarece pe porţiunea de contur AmB nu este câmp imprimat, neexistând neomogenităţi, deci, în final, rezultă

∫=BnA

i sdEe , (2.13)

ceea ce arată că tensiunea electromotoare este produsă numai de câmpuri imprimate şi

- 26 -

este localizată în porţiunea unde există câmp imprimat (în cazul de faţă pe porţiunea de contur BnA unde există neomogenităţi determinate de aflarea în contact a unor conductoare de specii diferite).

În cazul general al regimului nestaţionar, apare şi un câmp electric solenoidal Es indus prin variaţia în timp a fluxului magnetic, a cărui circulaţie nu este nulă. Prin urmare, în cazul cel mai general, t.e.m. este dată de relaţia:

( )∫∫∫ΓΓΓ

+=+= sdEEsdEsdE sisi e (2.13)

2.4. CÂMPURI ELECTRICE IMPRIMATE După cum s-a arătat, tensiunea electromotoare este o mărime fizică care produce

curent electric în circuite, deci efectuează un lucru mecanic. Acest lucru mecanic este transmis de la un "motor" care transformă o formă de energie în energie electrică. Din punctul nostru de vedere energia este primită prin intermediul câmpului electric imprimat iE care este o mărime fictivă (de calcul).

Câmpurile imprimate pot fi împărţite în două categorii: - câmpuri imprimate de volum - câmpuri imprimate de suprafaţă sau de contact. 2.4.1. Câmpuri imprimate de volum

Câmpul imprimat de acceleraţie.

ω ru

E

iE Fig. 2.5.

Ui

Câmpul imprimat de acceleraţie poate fi pus în evidenţă, de exemplu, la rotirea unui disc metalic cu viteza unghiulara (fig. 2.5). Electronii liberi supuşi forţei centrifuge se deplasează spre periferia discului. Forţa de natură neelectrică este în acest caz forţa centrifugă dată de relaţia:

ω

(2.14) r2

0neel urmF ω=

Această forţă determină câmpul imprimat:

ro

2oneel

i uqrm

qFE ω

−== (2.15)

unde s-a notat cu mo masa şi cu qo sarcina electronului, ru fiind versorul radial. Deplasarea electronilor spre periferie se face până când câmpul electrostatic E

al sarcinilor echilibrează câmpul imprimat iE , adică este îndeplinită condiţia de echilibru electrostatic 0EE i =+ .

Fig. 2.6.

iE E

HClconc.

Perete porosHCl

diluat Câmpul imprimat de concentraţie (difuzie) apare într-un vas cu soluţii de concentraţii diferite despărţite printr-un perete poros (fig. 2.6). Se produce o difuzie prin peretele poros care tinde să egaleze concentraţiile electrolitului din cele două vase. Prin peretele poros tind să treacă din soluţia concentrată în soluţia diluată atât ionii H+ cât şi Cl-, dar mobilitatea celor doi ioni nu este la fel de

- 27 -

mare şi trec mai uşor ionii H+. Se obţine în final o încărcare pozitivă a soluţiei diluate şi una negativă a celei concentrate. Această încărcare cu sarcini echivalează cu un câmp imprimat. Apare astfel şi un câmp electrostatic care opreşte difuzia când este îndeplinită condiţia de echilibru electrostatic 0EE i =+ .

Câmpul imprimat termoelectric de volum apare în situaţia în care se încălzeşte neuniform un conductor metalic. Asupra electronilor se exercită o forţă medie neelectrică datorită necompensării ciocnirilor. Câmpul imprimat este raportul dintre această forţă şi sarcina electronului. Electronii liberi difuzează în partea de temperatură mai joasă (fig. 2.7).

T1 iE

E T2

T1 > T2

Fig. 2.7.

2.4.2. Câmpuri imprimate de contact

Aceste câmpuri sunt localizate în stratul de neomogenitate foarte subţire care separă două conductoare diferite puse în contact. Ele sunt în general foarte intense comparativ cu cele de volum.

Câmpurile imprimate de contact sunt caracterizate prin integrala:

sdE2

1

i12 ∫=e (2.16)

în care drumul de integrare 1 2 este extrem de mic.

Câmpuri imprimate voltaice. Apar la suprafaţa de contact a două metale diferite, fără a fi încălzite la temperaturi diferite. Tensiunea electromotoare voltaică depinde atât de temperatură, cât şi de natura metalelor aflate în contact. Conductoarele de prima speţă se pot ordona într-un şir în care orice conductor, adus în contact cu un conductor din faţa lui, se încarcă pozitiv şi în contact cu un conductor din urma lui se încarcă negativ. O parte din acest şir, numit şirul potenţialelor de contact sau serie Volta este următorul:

(+) Al, Sn, Zn, Cd, Pb, Sb, Bi, Hg, Fe, Cu, Ag, Au, Pt (-)

CuZnDe exemplu, pentru Zn – Cu: Dacă se construieşte un circuit închis de contur Γ cu mai multe conductoare din

acest şir, toate aflate la aceeaşi temperatură, rezultă: 0sdEi =∫Γ

. Deci, prin acest

procedeu nu se poate obţine un curent electric întrucât nu se introduce energie din exterior în sistem. Pentru a se obţine un lucru mecanic (apariţia unei tensiuni

electromotoare), adică, pentru a avea 0sdEi ≠∫Γ

, există următoarele posibilităţi:

- realizarea de temperaturi neuniforme; - introducerea în circuit a unor conductoare de speţa a doua, care produc reacţii

chimice şi deci degajă energie; - excitarea cu anumiţi agenţi exteriori (de exemplu cu lumină sau alte radiaţii).

- 28 -

Câmpuri imprimate termoelectrice de contact. Efectul termoelectric direct, numit şi efectul Seebeck, apare în situaţia când două

conductoare din materiale diferite sudate la capete, alcătuind astfel un circuit, au cele două suduri la temperaturi diferite ba TT ≠ (fig. 2.8). La suprafeţele de contact apar t.e.m. diferite în funcţie de temperatura contactului respectiv:

)T(f bb12e)T(fe aa12 =≠=

T.e.m. rezultantă, numită tensiune termoelec-tromotoare (t.t.e.m), este

TbTa Fe

Constantan

e12be12a

∫ ≠− 0b12e== sdE a12i ee . Fig. 2.8.

Aceasta t.t.e.m. este nenulă numai dacă temperaturile la care sunt situate capetele sudate diferă, Ta ≠ Tb.

Energia care se transformă în căldură prin efect Joule - Lentz ca urmare a trecerii curentului prin conductoare este compensată de căldura transmisă din exterior pentru a menţine diferenţa de temperatură.

Dacă se trece un curent electric prin punctul de contact a două conductoare de prima speţă, se dezvoltă sau se absoarbe căldura după sensul curentului prin conductoare. Fenomenul reprezintă efectul termoelectric invers, numit şi efect Peltier. Căldura schimbată în unitatea de timp este proporţională cu intensitatea curentului electric. Fenomenul dezvoltării de căldura prin efect Peltier se deosebeşte de fenomenul dezvoltării de căldură prin efect Joule-Lentz deoarece, la acesta din urmă, căldura este proporţională cu pătratul intensităţii curentului, fiind independentă de sensul acestuia. Cantitatea de căldura degajată sau absorbită în unitatea de timp este dependentă şi de natura celor două materiale conductoare aflate în contact, efectul fiind mult mai puternic la semiconductoare decât la metale.

În cazul unui circuit compus din două conduc-toare diferite sudate la unul din capete, având capetele la temperaturi diferite (fig 2.9) se obţine un termoelement a cărui diferenţă de potenţial rezultă din însumarea efectelor Volta, Seebeck şi Peltier. Pe acest principiu se construiesc traductoarele termoelectrice de temperatură, numite termocuple, utilizate frecvent pentru măsurarea temperaturilor în tehnică.

Const.

Fe

mV

T1 T0

Fig. 2.9.

.Câmpuri imprimate galvanice. Apar la suprafaţa de contact a două conductoare de specii diferite. Un electrod dintr-un material conductor de prima speţă introdus într-o soluţie electrolitică în care poate exista fluidul sau ionic pozitiv, are tendinţa de a dizolva în soluţie fluidul sau ionic pozitiv cu o presiune care depinde numai de natura conductorului, numită presiune de disoluţie electro-litică pd. Presupunând că soluţia conţine fluidul ionic pozitiv al conductorului, se exercită asupra conductorului o presiune de sens contrar, numită presiune osmotică po. Dacă presiunea de disoluţie este mai mare decât presiunea osmotică, pd > po, o parte a fluidului ionic pozitiv al conductorului trece în soluţie, pe care o încarcă pozitiv, iar conductorul

pd < po pd > po

Fig. 2.10.

- 29 -

rămâne încărcat negativ (fig. 2.10). Se stabileşte astfel un câmp electric în stratul de contact dintre electrod şi electrolit, orientat dinspre electrolit spre electrod. Dacă presiunea de disoluţie este mai mică decât presiunea osmotică, pd < po, o parte a fluidului ionic pozitiv din soluţie trece pe electrod, pe care îl încarcă pozitiv, iar soluţia rămâne încărcată negativ şi, ca urmare, câmpul electric dintre electrod şi electrolit este orientat dinspre electrod spre electrolit (fig. 2.10).

Tensiunea electrică imprimată dintre electrod şi soluţia electrolitică a fluidului său ionic pozitiv se numeşte tensiune sau potenţial electrolitic normal al conductorului dat de relaţia

o

d

0vi p

plnFn

RTU = (2.17)

în care s-a notat cu: R - constanta gazelor perfecte, T - temperatura absolută, n v - numărul de valenţă, Fo - constanta lui Faraday. În tabelul 2.1 sunt prezentate potenţialele electrolitice normale ale unor

elemente.

Potenţialele electrolitice normale ale unor elemente Tabelul 2.1.

Li K Na Zn Fe Cd Ni Pb H Cu Ag Hg Cl

-3,02 -2,92 -2,71 -0,77 -0,43 -0,40 -0,22 -0,12 0 0,34 0,80 0,86 1,35

O pilă voltaică se compune dintr-un vas compartimentat

printr-un perete poros. În fiecare compartiment se introduce câte un electrod într-o soluţie electrolitică în care poate exista fluidul sau ionic pozitiv. De exemplu, dacă se introduc electrozi de cupru şi de zinc în soluţii de acid sulfuric în care CuSO4 şi ZnSO4 sunt cele două soluţii care conţin ionii de cupru şi de zinc (fig. 2.10), tensiunea electrică între electrozi rezultă:

CuSO4 ZnSO4

ZnCu

Fig. 2.10. V11,1)77,0(34,0e =−−+=

Câmpuri imprimate fotovoltaice. Apar la suprafaţa de separaţie a unui

semiconductor cu un metal sub acţiunea luminii. Electronii "scoşi" din semiconductor datorită radiaţiei luminoase sunt trecuţi în metal din cauza proprietăţii joncţiunii de a conduce unidirecţional. Acest fenomen echivalează cu o forţa neelectrică, deci un câmp imprimat. Se obţine prin acest procedeu aşa-numitele fotoelemente, utilizate mai ales în aeronautică.

2.5. Legea electrolizei Legea electrolizei se referă la conductoarele de speţa a doua (electrolitice) în

care trecerea curentului electric de conducţie este însoţită îi de reacţii chimice. În general, la trecerea unui curent electric printr-un electrolit topit sau printr-o

soluţie electrolitică, la electrodul negativ, numit catod, apare hidrogenul sau metalul din soluţie, iar la electrodul pozitiv, numit anod, apare un radical sau un alt element. Elementele eliberate la electrozi pot reacţiona chimic cu electrozii sau cu soluţia.

- 30 -

Legea electrolizei stabilită de Faraday se enunţă astfel: masa de substanţă dm/dt depusă în unitatea de timp la unul din electrozii unei băi electrolitice parcursă de curentul de conducţie i, este egală cu produsul dintre intensitatea curentului şi raportul dintre echivalentul electrochimic A/nv prin constanta universală a lui Faraday F0,

iov Fn

Adtdm = , F0 = 96460 C. (2.18)

Pentru un interval de timp de la 0 la t, masa de substanţă depusă la unul din electrozi este:

∫ ==t

o 0v0v FnAqdt

FnAm i (2.19)

în care:

∫=t

0

dtq i este sarcina electrică,

A – masa atomică a elementului, nv - numărul de valenţă, A/nv – echivalentul electrochimic al substanţei.

Echivalentul electrochimic al substanţei (A/nv) fiind o mărime de material, legea electrolizei este o lege de material.

2.6. LEGEA CONSERVĂRII SARCINII ELECTRICE LIBERE (ADEVĂRATE)

Fie o suprafaţă închisă Σ care intersectează conductoare parcurse de curent electric şi conţine în interior corpuri încărcate cu sarcini electrice. Sub formă integrală enunţul legii este: intensitatea curentului electric de conducţie care iese din suprafaţa închisă Σ este în orice moment egală cu viteza de scădere în timp a sarcinii electrice qΣ care încarcă corpurile din interiorul suprafeţei Σ independent de starea lor cinematică:

Σi

dt

dqΣΣ −=i (2.20)

Dacă primul membru al ecuaţiei este nul,

0=Σi , (2.21) rezultă Curentul total se anulează, fie dacă suma curenţilor care intră prin anumite porţiuni ale suprafeţei Σ este egală în fiecare moment cu suma curenţilor care ies prin alte porţiuni ale suprafeţei, fie dacă densitatea de curent

.constq =Σ

J este nulă în orice punct de pe suprafaţa Σ; acest ultim caz are loc, de exemplu, dacă nici un conductor nu intersectează suprafaţa Σ, prin urmare domeniul VΣ este izolat galvanic. Sarcina electrică qΣ este egală cu fluxul electric ψΣ prin suprafaţa Σ (legea fluxului electric, §1.2.7) şi înlocuind în ecuaţia 2.20, se obţine:

∫Σ

ΣΣ −=

ψ−= AdD

dtd

dtdi (2.22)

- 31 -

În cazul mediilor imobile (suprafaţa Σ imobilă), derivata în raport cu timpul a fluxului electric din membrul drept se reduce la derivata în raport cu timpul a inducţiei electrice,

∫Σ

Σ ∂∂−= Ad

tDi (2.23)

Derivata în raport cu timpul a inducţiei electrice reprezintă densitatea curentului electric de deplasare sau maxwellian,

tDJD ∂∂= (2.24)

iar integrala

∫∫ΣΣ

Σ =∂∂= AdJAd

tD

DDi (2.25)

este intensitatea curentului de deplasare prin suprafaţa închisă Σ. Reconsiderând ecuaţia (2.23) rezultă că, în general, în cazul corpurilor imobile,

curentul total printr-o suprafaţă închisă Σ, compus din curentul de conducţie iΣ şi din curentul de deplasare iDΣ, este în orice moment nul:

0D =+ ΣΣ ii (2.26)

Curentul de deplasare, datorat variaţiei în timp a inducţiei electrice, apare în dielectricii condensatoarelor şi asigură închiderea curenţilor în circuitele de curent alternativ. Astfel, considerând circuitul cu condensator din figura 2.11, curentul total prin suprafaţa Σ1 care conţine în interior condensatorul este: . Prin suprafaţa Σ2 care trece printre armăturile condensatorului, curentul de conducţie este: . Pentru a avea curentul total nul, pe suprafaţa Σ2, pe lângă curentul de conducţie i se ia în considerare şi curentul de deplasare iD corespunzător variaţiei în timp a fluxului electric dintre armăturile condensatorului:

01

=+−=Σ iii

0

i2

2≠−=Σ ii i

u Cq

i

Σ1

Σ2

0D =+−=Σ ii . Fig. 2.11. Intensitatea curentului prin condensator, egală cu intensitatea curentului de deplasare, rezultă:

dtdC

dtdq

Duii === (2.27)

- 32 -

2.7. LEGEA CONDUCŢIEI ELECTRICE

2.7.1. Forma locală a legii conducţiei electrice În regim electrocinetic, având deplasare ordonată de sarcini, rezultă că suma

dintre intensitatea câmpului electric şi intensitatea câmpului imprimat este nenulă: 0EE i ≠+ . Experimental se constată că densitatea curentului electric de conducţie este

proporţională cu această sumă: ( )iEEσJ += (2.28)

în care σ este o mărime pozitivă numită conductivitate electrică ce depinde de natura mediului, fiind deci o mărime de material.

Mărimea inversă, σ

=ρ1 , se numeşte rezistivitate electrică.

Relaţia (2.28) reprezintă în teoria macroscopică a câmpului electromagnetic o lege de material, cunoscută sub numele de legea conducţiei electrice sau legea lui Ohm generalizată.

Relaţia (2.28) mai poate fi scrisă sub forma

JEE i ρ=+ (2.29) şi ambele expresii reprezintă forma locală a legii conducţiei electrice pentru conductoare liniare şi izotrope.

În cazul unui conductor omogen din punctul de vedere al proprietăţilor fizice şi chimice nu există câmp imprimat )0E( i = şi relaţiile (2.28) şi (2.29) se scriu:

EJ σ= ; JE ρ= (2.30) relaţii ce reprezintă expresiile formei locale ale legii conducţiei electrice pentru conductoare liniare, omogene şi izotrope.

2.7.2. Forma integrală a legii conducţiei electrice Forma integrală a legii conducţiei electrice se referă la conductoare filiforme,

liniare, pentru care J este constant în toate punctele oricărei secţiuni transversale de arie A şi deci se poate scrie

AJ i=

sd

JBiE

. (2.31)

Integrând expresia formei locale a legii conducţiei electrice (2.29) de-a lungul axei C a unui conductor filiform între punctele A şi B între care există o neomogenitate caracterizată prin câmpul imprimat 0Ei ≠ (fig. 2.12), rezultă:

AC

Fig. 2.12.

∫∫ =+B

)C(A

B

)C(A

i sdJρsd)EE( (2.32)

Separând termenii din membrul stâng şi considerând relaţia (2.31), rezultă:

dsA

ρsdEsdEB

)C(A

B

)C(Ai

B

)C(A∫∫∫ =+ i (2.33)

- 33 -

respectiv, ∫=+B

)C(AABAB A

dsρeu i . (2.34)

Integrala din membrul drept al relaţiei (2.34) defineşte rezistenţa electrică a conductorului filiform,

∫=B

)C(AAB A

dsρR . (2.35)

Expresia formei integrale a legii conducţiei electrice pentru un conductor filiform şi liniar se scrie mai simplu astfel:

Rieu =+ (2.36)

în care sdEuB

)C(A∫= reprezintă tensiunea electrică între punctele A şi B, iar sdEe

B

)C(Ai∫=

este tensiunea electromotoare a câmpului electric imprimat. Relaţia (2.40) se poate scrie şi sub forma:

)(G eui += , (2.37)

unde R1G = este conductanţa electrică.

Rezistenţa şi respectiv conductanţa unui conductor filiform, omogen, de lungime l şi cu aria secţiunii transversale A constantă, sunt date de relaţiile:

lσ

l

σll A

ρAG,

AAρR ==== . (2.38)

În cazul conductoarelor omogene, 0Ei = şi relaţiile (2.36) şi (2.37) devin:

Riu = , respectiv Gui = , (2.39) relaţii care reprezintă legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit electric.

Dacă conturul de integrare este închis, în ecuaţia (2.33) avem 0sdE =∫Γ

şi legea

lui Ohm pentru un circuit închis se scrie Rie = . (2.40)

În privinţa unităţilor de măsură, se are în vedere că rezistenţa electrică se măsoară în ohmi şi unităţile de măsură în SI ale celorlalte mărimi se deduc din relaţiile (2.38) astfel:

.S/m/m ][1]σ[;m]l[

]A[]R[][);S(]R[1]G[;]R[ 11 =Ω=

ρ=Ω=⋅=ρΩ==Ω= −− (2.41)

Deoarece în practică secţiunea conductoarelor este dată în mm2, unitatea de măsură utilizată pentru rezistivitatea electrică este Ωmm2/m.

Trebuie remarcat că la stabilirea relaţiei (2.36) s-a ales acelaşi sens de integrare de-a lungul curbei (C) pentru u şi e, respectiv în sensul normalei pozitive a oricărei secţiuni transversale a conductorului. În cazul când unul din sensurile de referinţă se inversează, mărimea respectivă intervine cu semnul "–" în ecuaţia (2.36). Tensiunea u care intervine în această ecuaţie a fost calculată ca tensiune de-a lungul firului; în regim staţionar însă, tensiunea nu depinde de drum şi integrarea poate fi efectuată după o

- 34 -

curbă trasată direct prin exteriorul conductorului între extremităţile A şi B ale acestuia, fiind numită tensiune la borne, notată simplu cu u.

A B uAB = u

A

Ri

uAB = u

e a)

b)

i R e

Convenţia de alegere a sensului de referinţă a tensiunii la borne, de la borna de intrare la borna de ieşire a curentului (fig. 2.13,a)., se numeşte convenţia pentru receptoare.

Dacă sensul tensiunii la borne este de la borna de ieşire la borna de intrare a curentului (fig. 2.13,b), avem convenţia pentru generatoare şi aplicând legea conducţiei electrice, obţinem:

B

Fig. 2.13. Rieu =+− (2.42)

2.7.3. Variaţia rezistivităţii conductoarelor cu temperatura Rezistivitate materialelor conductoare liniare, izotrope şi omogene depinde de

temperatură, ρ = ρ(θ). Pentru conductoarele metalice dependenţa este liniară pentru limite relativ mici de temperatură. Legea de variaţie a rezistivităţii cu temperatura este de forma:

ρ(θ) = ρ(θ0)[1+α(θ – θ0)] (2.43)

în care ρ(θ) este rezistivitatea la temperatura θ, ρ(θ0) este rezistivitatea la temperatura de referinţă θ0 şi α este o mărime de material numită coeficientul de temperatură al rezistivităţii. Coeficientul de temperatură al rezistivităţii α are valori pozitive pentru metale şi negative pentru carbon.

La variaţii în limite mai largi ale temperaturii se ia în considerare şi termenul pătratic al dezvoltării în serie Taylor a funcţiei ρ(θ):

ρ(θ) = ~ ρ(θ0)[1+α(θ – θ0) + β(θ – θ0)2 ] (2.44)

Pentru majoritatea materialelor semiconductoare ρ scade cu temperatura după o lege de forma:

e ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 0

a

θ1

θ1

kW

0)ρ(θρ(θ) (2.45)

în care Wa este energia de activare, iar k =1,38 ⋅10-23J/oC este constanta lui Bolztmann. Pentru temperaturi foarte coborâte (1 ÷ 7K), rezistivitatea unor metale şi aliaje

cum sunt Pb, Sn, Th, etc., scade brusc la zero, acestea trecând în starea de supraconductibilitate.

- 35 -

2.8. EFECTUL ELECTROCALORIC JOULE – LENZ. Se consideră un conductor de speţa întâi, liniar, izotrop şi omogen de lungime l

şi cu aria secţiunii transversale A. Experienţa arată că trecerea curentului electric prin conductor este însoţită de dezvoltare de căldură.

Dacă se măsoară cantitatea de căldură Q dezvoltată, se constată că ea este proporţională cu tensiunea U la bornele conductorului filiform, cu intensitatea curentului I şi timpul t conform relaţiei:

Q = αUIt (2.46)

unde α este un factor de proporţionalitate ce depinde numai de unităţile de măsură adoptate.

Dacă tensiunea se măsoară în volţi, curentul în amperi, timpul în secunde şi căldura în kilocalorii, factorul α are valoarea α = 2,4 ⋅ 10 –4kcal/J şi este echivalentul unui Joule în kilocalorii.

În sistemul internaţional de unităţi de măsură (S.I.), în care unitatea de căldură este Joule, α = 1 şi expresia formei integrale a efectului electrocaloric Joule-Lenz în regim staţionar se scrie:

Q = UIt. (2.47)

Fenomenul dezvoltării de căldură în conductoare parcurse de curent electric de conducţie se numeşte efect electrocaloric Joule – Lenz.

Căldura dezvoltată în unitatea de timp prin efect Joule – Lenz, reprezintă puterea dezvoltată prin efect electrocaloric PJ:

]W[UItQPJ == (2.48)

Ţinând seama de relaţiile lui Ohm sub formă integrală, rezultă:

]W[RIGIGU

RUP 2

22

J ==== (2.49)

Din proporţionalitatea puterii cu pătratul tensiunii şi respectiv al curentului, rezultă că efectul electrocaloric este un fenomen ireversibil şi nu depinde de polaritatea tensiunii la bornele conductorului sau de sensul curentului electric.

Dacă intensitatea curentului electric i(t) este lent variabilă în timp, încât densitatea de curent se poate aproxima constantă pe secţiunea conduc-torului, căldura dezvoltată în unitatea de timp, numită putere instantanee, este dată de produsul valorilor instantanee ale tensiunii şi curentului:

pJ(t) = u(t) i(t) (2.50)

Pentru conductoare liniare şi omogene, utilizând relaţiile lui Ohm, rezultă:

pJ(t) = Ri2(t) = Gu2(t), (2.51)

iar căldura dezvoltată în intervalul de timp 0 → t este

∫ ∫ ′′=′′=t

0

t

0

2J td)t(Rtd)t(pQ i . (2.52)

- 36 -

Capitolul 3

MAGNETOSTATICA

3.1. CÂMPUL MAGNETIC ÎN VID

Câmpul magnetic apare în vecinătatea conductoarelor parcurse de curent electric, a corpurilor electrizate în mişcare şi a corpurilor aflate în stare de magnetizare. Câmpul magnetic exercită acţiuni ponderomotoare (forţe sau cupluri) asupra corpurilor aflate în una din aceste stări.

Studiul câmpului magnetic independent de câmpul electric este posibil numai în regim staţionar. În regim nestaţionar, câmpul electric şi câmpul magnetic apar numai ca aspecte ale unui sistem unic – câmpul electromagnetic – care poate exista independent de corpuri.

3.1.1. INDUCŢIA MAGNETICĂ ÎN VID Introducerea mărimii de stare care caracterizează câmpul magnetic în vid –

inducţia magnetică în vid – se face ca şi în cazul câmpului electrostatic pe baza unui experiment idealizat. Se consideră un sistem de corpuri aflate în stare electrocinetică sau în stare de magnetizare staţionară, astfel încât câmpul magnetic în spaţiul vid care le înconjoară să fie constant în timp, ceea ce se constată prin constanţa în timp a acţiunilor ponderomotoare.

I

n Pentru caracterizarea câmpului magnetic într-un punct se urmăreşte acţiunea ponderomotoare care se exercită asupra unui corp de probă. Drept corp de probă se consideră o mică spiră, foarte subţire, parcursă de curent, numită bucla de curent (fig. 3.1). Bucla de curent se caracterizează din punct de vedere magnetic prin vectorul

I

n A

A

nAIAImb ⋅⋅=⋅= , (3.1) Fig. 3.1. numit momentul buclei.

Dacă bucla are N spire, atunci aria ei se consideră A = NAS, AS fiind aria unei spire. Aducând bucla într-un punct din spaţiu unde există câmp magnetic, asupra ei se exercită un cuplu de forţe dat de relaţia:

vb BmC ×= sau vBAIC ×⋅= (3.2) Mărimea vectorială vB se numeşte inducţie magnetică în vid şi în sistemul

internaţional de unităţi de măsură (SI) se măsoară în tesla (T). În sistemul de unităţi CGSem pentru inducţia magnetică este utilizată unitatea de măsură numită gauss (Gs), 1T = 104Gs.

Dacă se examinează toate punctele spaţiului în care se presupune că există câmp magnetic )0B( v ≠ , se pot construi nişte linii care au particularitatea că tangenta la

- 37 -

aceste linii are în orice punct direcţia locală a vectorului inducţiei magnetice vB . Aceste linii se numesc linii de câmp şi totalitatea lor formează spectrul câmpului magnetic. Liniile de câmp se numesc şi linii de inducţie magnetică şi au ecuaţia vectorială

0Bsd v =× . (3.3) Într-un sistem de coordonate carteziene, ecuaţia liniilor de câmp este:

vzvyvx Bdz

Bdy

Bdx

== . (3.4)

Câmpul magnetic este omogen dacă în fiecare punct vectorul vB are aceeaşi valoare şi orientare, liniile de câmp fiind paralele şi echidistante.

3.1.2. FLUXUL MAGNETIC ÎN VID Fluxul magnetic ψ este o mărime derivată scalară care caracterizează proprie-

tăţile câmpului magnetic în raport cu o suprafaţă SΓ dată, fiind definit prin integrala de suprafaţă a inducţiei magnetice vB (fig. 3.2).

Ad

ΓSn ∫∫ α==rr

Γ

Sv

Sv

d

S dAcosBAdBψ . (3.5) vBα

În câmp omogen şi pentru o suprafaţă S plană de arie A, fluxul magnetic este SΓ

α= cosABvψ

ABvψ =

, (3.6) Γiar în cazul când suprafaţa este ortogonală pe liniile de câmp, relaţia devine

Fig. 3.2. . (3.7) Unitatea de măsură pentru fluxul magnetic în sistemul internaţional de unităţi de

măsură (S.I.) se numeşte weber (Wb): 1Wb = 1T⋅1m2. Se mai utilizează şi unitatea de măsură numită Maxwell (Mx), 1Wb = 108Mx (sistemul CGSem).

În cazul unei bobine, conturul Γ pe care se sprijină suprafaţa SΓ prin care se calculează fluxul magnetic se ia de-a lungul conductorului bobinei. În acest caz apar noţiunile de flux magnetic fascicular şi flux magnetic înlănţuit sau total. vB M

În figura 3.4 s-a reprezentat suprafaţa elicoidală (haşurată) care se sprijină pe conductorul bobinei, două linii de inducţie magnetică şi s-a notat cu U tensiunea dintre bornele M şi N ale bobinei.

Fluxul magnetic fascicular notat cu φ, este fluxul magnetic care străbate porţiunea de suprafaţă elicoidală care se sprijină pe o singură spiră a bobinei: U

∫Γ

=φkS

kv AdB (3.8)

NFluxul magnetic prin suprafaţa totală se calculează ţinând cont că fiecare linie de câmp intersectează de mai multe ori suprafaţa SΓ.

Fig. 3.4.

- 38 -

Fluxul magnetic înlănţuit sau total este fluxul magnetic care străbate suprafaţa elicoidală care se sprijină pe toate spirele bobinei

∫=ΓS

AdBψ . (3.9)

Dacă bobina are N spire se observă că există relaţia

ψ = N⋅φ , (3.10)

deoarece fiecare linie a câmpului magnetic străpunge de N ori suprafaţa elicoidală care se sprijină pe toate spirele bobinei.

Dacă fluxul magnetic fascicular nu este acelaşi pentru toate spirele, atunci se consideră o valoare medie φ a fluxului magnetic fascicular, denumită flux magnetic fascicular mediu.

3.1.3. FORŢE PARTICULARE ÎN CÂMP MAGNETIC

3.1.3.1. Forţa magnetică (forţa Lorentz)

Forţa Lorentz sau forţa magnetică este forţa care se exercită asupra unui mic corp încărcat electric, aflat în mişcare în câmp magnetic. Experimental s-a constatat că asupra unui mic corp încărcat cu sarcina electrică dq care se deplasează cu viteaza v într-un câmp magnetic de inducţie vB (fig. 3.5), se exercită forţa

vmq BqF ×⋅= v , (3.11) mqF

v α q

având direcţia perpendiculară, atât pe direcţia de deplasare, cât şi pe direcţia locală a vectorului inducţie magnetică. vB

În modul, forţa magnetică este

Fmq = q⋅v⋅Bv⋅sinα (3.12) Fig. 3.5. Din expresiile forţei magnetice (3.11) şi (3.12) rezultă:

- asupra sarcinii aflate în repaus ( 0=v ) nu acţionează câmpul magnetic;

- dacă sarcina se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe linii de câmp magnetic ( vB⊥v ), forţa este maximă;

- dacă sarcina se deplasează paralel cu liniile de câmp magnetic ( vB||v ), forţa este nulă.

Dacă în domeniul considerat există şi câmp electric de intensitate vE , relaţia lui Lorentz pentru forţa totală exercitată asupra sarcinii elementare este

vvq BqEqF ×⋅+= v . (3.13)

- 39 -

3.1.3.2. Forţa electromagnetică (Forţa Laplace)

Se numeşte forţă electromagnetică sau forţă Laplace, forţa care se exercită asupra unui conductor parcurs de curent electric, aflat în câmp magnetic.

Experimental, se constată că forţa care se exercită asupra elementului de lungime ds a conductorului parcurs de curentul i situat în câmpul magnetic de inducţie Bv (fig. 3.6) este dată de relaţia

iemFd

vB sd

C

vem BsdFd ×⋅= i . (3.16) Forţa care acţionează asupra conductorului se

calculează prin integrare pe conturul C al acestuia

∫ ×=C

vem )Bsd(iF . (3.17) Fig. 3.6.

Sensul forţei este dat de produsul vectorial vBsd × . Forţa este maximă dacă conductorul este perpendicular pe liniile de câmp ( )vBsd ⊥ şi este nulă dacă conductorul este paralel cu liniile de câmp ( )vB||sd .

3.1.3.3. Forţa electrodinamică (forţa Ampère)

d l

i2

i1

12u

21u 12F

21F

Fig. 3.7.

C1

C2

Se consideră conductoarele C1 şi C2 filiforme, rectilinii, dispuse paralel la distanţa d mult mai mică decât lungimea lor şi parcurse de curenţii de conducţie i1 şi i2 (fig. 3.7).

Forţele lui Laplace 21F şi 12F care se exercită asupra unei porţiuni de lungime l din firul 1 şi respectiv din firul 2, au următoarele proprietăţii:

satisfac principiul acţiunii şi reacţiunii, 2112 FF −= ; dacă curenţii au acelaşi sens forţele sunt

de atracţie, iar dacă au sensuri opuse, sunt de respingere;

în valoare absolută forţele sunt egale, proporţionale cu produsul curenţilor şi invers proporţionale cu distanţa d dintre conductoare

d2

FF 21m2112

l iiλ== (3.18)

unde λm este o constantă universală ce se referă la proprietăţile magnetice ale vidului, având expresia:

πχµ=λ 4

0m , (3.19)

În această relaţie χ este un coeficient de raţionalizare, iar µ0 este o constantă universală – permeabilitatea magnetică a vidului, µ0 = 4π⋅10-7H/m. Se notează de obicei: µ0 = 4πλm , λm = 10-7.

În sistemele de unităţi raţionalizate, χ = 1 şi expresiile forţelor se scriu:

d2FF 21

02112 µπ

== lii . (3.20)

- 40 -

Pe baza forţei electromagnetice s-a definit unitatea de măsură a intensităţii curentului electric ca unitate fundamentală în S.I. de unităţi: un amper fiind intensitatea curentului electric care, circulând prin două conductoare filiforme, rectilinii, infinit lungi, situate paralele în vid la distanţa de un metru, produce o forţă egală cu 2⋅10-7 newtoni pe fiecare metru de lungime a conductoarelor.

Notând cu 12u , respectiv 21u versorii orientaţi de la firul 1 la firul 2 şi respectiv de la firul 2 la firul 1, expresiile vectoriale ale forţelor electrodinamice se scriu:

l

l iiii

21121221 ud2

F;ud2

F 21o21o µµπ

=π

= (3.21)

Raportul dintre inducţia magnetică în vid vB şi permeabilitatea absolută a vidului µo reprezintă intensitatea câmpului magnetic în vid

oµv

vBH = . (3.22)

3.1.4. TENSIUNEA MAGNETICĂ. TENSIUNEA MAGNETOMOTOARE. Se defineşte tensiunea magnetică între două puncte din câmp Um12, mărimea

scalară egală cu integrală de linie a intensităţii câmpului magnetic de-a lungul unei curbe C între cele două puncte (fig. 3.8):

2

∫=2

)C(1

v sdHm12u . (3.23)

sdÎn regimurile statice şi staţionare, tensiunea magnetică este invariabilă în timp şi se notează Um12. Dacă este variabilă în timp se notează um12 şi se numeşte tensiune magnetică instantanee.

1

C vH

Fig. 3.8.

În câmp magnetic uniform, tensiunea magnetică um12 între două puncte P1 şi P2 situate la distanţa d (fig. 3.11) nu depinde de forma curbei C:

vHαd

P2

um12 = 0

P1

P1 um12 = Hvd P2

P2

P1

dcosα

C

α⋅⋅ cosdHv=⋅α== ∫∫ dscosHsdHu2

1

v

2

1

v12m

CC

(3.24)

Dacă P1 şi P2 se găsesc pe aceeaşi linie de câmp, α = 0 şi tensiunea magnetică este pozitivă,

um = Hv⋅d > 0. (3.25)

Dacă punctele P1 şi P2 sunt situate pe o dreaptă perpendiculară pe liniile de câmp ( 2π±=α ), tensiunea magnetică este nulă.

Fig. 3.3.

- 41 -

3.1.5. TEOREMA LUI AMPÈRE. SOLENAŢIA. Efectuând experienţele asupra curentului continuu, Ampère a demonstrat că

tensiunea magnetomotoare în lungul unei curbe închise de o formă oarecare este egală cu intensitatea curentului de conducţie înlănţuit de această curbă:

sd

Γ

vH

i1i2

i3

i4 i5

∑∫Γ

Γ∈Γ

==Sk

kvm sdHu i (3.26)

În membrul drept intră toţi curenţii înlănţuiţi de curba închisă Γ, respectiv curenţii care trec prin suprafaţa SΓ delimitată de această curbă. Semnul acestor curenţi se stabileşte după regula burghiului drept în raport cu sensul de referinţă ales pentru curba Γ. Astfel, pentru situaţia ilustrată în figura 3.10, avem: 54321v sdH iiiii +−+−=∫

Γ

. Fig. 3.10.

Tensiunea magnetomotoare umΓ depinde numai de intensitatea curentului electric de conducţie pe care-l înlănţuie curba închisă Γ şi nu depinde de modul cum se repartizează curentul în conductoare. Dacă SΓ este suprafaţa deschisă care se sprijină pe curba Γ trasată exclusiv prin vid, curentul total prin suprafaţa SΓ – iSΓ – se numeşte solenaţie şi se notează cu θSΓ.

În cazul unei bobine cu N spire parcursă de curentul electric de conducţie i, solenaţia bobinei θSΓ se referă la o suprafaţă SΓ străpunsă de toate spirele bobinei (fig. 3.11). Este evident că solenaţia bobinei este dată de relaţia:

NiθS =Γ . (3.27)

Unitatea de măsură a solenaţiei în S.I. este amperul, în general, iar pentru o solenaţia bobinei unitatea de măsură se numeşte ampersipră (Asp).

Cu aceste precizări, teorema lui Ampère se enunţă astfel: tensiunea magnetomotoare umΓ în lungul unei curbe închise Γ trasată exclusiv prin vid este egală cu curentul total iSΓ, respectiv cu solenaţia curenţilor de conducţie θSΓ prin orice suprafaţă deschisă SΓ care se sprijină pe curba Γ:

i

SΓ

ΓN

θ = NiFig. 3.11.

ΓΓθ== ∫

Γ

Svm sdHu . (3.28)

- 42 -

3.2. CÂMPUL MAGNETIC ÎN SUBSTANŢĂ 3.2.1. Curenţi moleculari (ampèrieni) Experimental se constată că dacă aceleaşi circuite, parcurse de aceeaşi curenţi,

sunt aşezate într-o substanţă, nu în vid, sau dacă cel puţin o parte din vecinătatea acestor circuite este ocupată de o substanţă oarecare, inducţia magnetică este modificată de prezenţa substanţei. Această modificare a inducţiei magnetice în prezenţa unei substanţe se explică, la nivel microscopic, prin existenţa în substanţă a aşa-numiţilor curenţi moleculari sau amperieni (după numele celui care i-a introdus). Aceşti curenţi sunt determinaţi de mişcarea pe orbite închise şi de dimensiuni submoleculare a purtătorilor legaţi (mişcarea orbitală a electronilor), precum şi de mişcarea de rotaţie proprie (de spin) a particulelor elementare (mişcarea de spin a electronilor). Din punct de vedere magnetic, curenţii amperieni pot fi asimilaţi unor mici bucle de curent la nivel atomic sau molecular (fig. 3.12). iamper

q-

A0

q+ În absenţa unui câmp magnetic din exterior, orientarea haotică a curenţilor amperieni (moleculari) nu produce un câmp magnetic macroscopic rezultant. În cazul magneţilor permanenţi aceşti curenţi moleculari sunt ordonaţi intrinsec dând naştere unui câmp magnetic macroscopic rezultant în substanţă.

Fig. 3.12.

Câmpul magnetic exterior influenţează substanţele în sensul ordonării curenţilor moleculari. Suprapunerea câmpului magnetic al curenţilor moleculari peste câmpul magnetic al conductoarelor parcurse de curenţi dă naştere unui câmp magnetic rezultant în substanţă. Există o categorie de substanţe la care curenţii moleculari, sub acţiunea unui câmp magnetic exterior, se ordonează în aşa fel încât produc o intensificare a câmpului magnetic rezultant. Aceste substanţe se numesc paramagnetice. Există şi o altă categorie de substanţe, numite diamagnetice, la care curenţii moleculari se orientează sub acţiunea unui câmp magnetic exterior în aşa fel încât slăbesc câmpul rezultant din substanţă.

3.2.2. Momentul magnetic. Magnetizaţia. Starea corpurilor care în câmp magnetic sunt acţionate de forţe şi cupluri

suplimentare faţă de cele condiţionate de starea lor electrocinetică, sau de starea de încărcare cu sarcină electrică în mişcare, se numeşte stare de magnetizare, sau de polarizare magnetică. Corpurile aflate în stare de magnetizare se numesc magnetizate.

Starea de magnetizare pentru corpuri de dimensiuni mici se caracterizează cu mărimea vectorială m , numită moment magnetic, analog cu momentul buclei de curent.

Introducând într-un câmp magnetic omogen de inducţie vB mici corpuri magnetizate, de exemplu bucăţi mici de fier, se constată că acestea se rotesc, orientându-se în sensul vectorului inducţie vB după o axă numită axă de magnetizare. Cuplul care acţionează asupra micului corp magnetizat este dat de relaţia:

vm B mC ×= . (3.29)

- 43 -

Prin fragmentarea macroscopică a unui corp magnetizat finit, fiecare fragment de volum are un moment magnetic V∆ m∆ . Starea de magnetizare a unui corp finit se caracterizează local prin mărimea vectorială egală cu densitatea de volum a momentului magnetic numită magnetizaţie M :

dVmd

VmlimM

0V

d=

∆∆

=→∆

. (3.30)

Momentul magnetic rezultant al corpului va fi:

dVMmV∫= . (3.31)

3.2.3. Magnetizare temporară şi magnetizare permanentă Corpurile al căror moment magnetic se anulează după suprimarea câmpului

magnetic în care au fost aduse se numesc cu magnetizare temporară, iar mărimile care caracterizează starea lor de magnetizare sunt: momentul magnetic temporar tm şi magnetizaţia temporară tM .

Corpurile care prezintă o magnetizare chiar şi în lipsa unui câmp magnetic produs din exteriorul lor, sau care aduse într-un câmp magnetic păstrează o magnetizare după suprimarea câmpului excitator, se numesc cu magnetizare permanentă. Mărimile ce caracterizează magnetizarea permanentă sunt: momentul magnetic permanent pm , magnetizaţia permanentă pM .

În general, se poate scrie deci: ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=

pt

pvt

MHMM

mBmm (3.32)

unde H este intensitatea câmpului magnetic în substanţă.

3.2.4. LEGEA MAGNETIZAŢIEI TEMPORARE Corespunzător celor două stări posibile de magnetizare, temporară şi

permanentă, vectorul magnetizaţie are două componente:

pt M)H(MM += . (3.33)

Magnetizaţia permanentă pM este independentă de câmpul magnetic exterior,

iar magnetizaţia temporară tM depinde de intensitatea câmpului magnetic H în care se introduce corpul supus magnetizării. Legea magnetizaţiei temporare se referă la această legătură dintre magnetizaţia temporară tM şi intensitatea câmpului magnetic H .

Experimental se constată că, atât în regim staţionar, cât şi în regim variabil în timp, este satisfăcută următoarea lege de material: în fiecare punct şi în orice moment, magnetizaţia temporară este funcţie de intensitatea câmpului magnetic:

)H(MM tt = . (3.34)

- 44 -

Relaţia (3.34) caracterizează materialul, legea magnetizaţiei temporare fiind o lege de stare şi de material a câmpului electromagnetic.

După modul explicit al acestei dependenţe, materialele se clasifică în: izotrope sau anizotrope, liniare sau neliniare, cu sau fără histerezis.

Un material magnetic este izotrop dacă sub acţiunea unui câmp magnetic având orice orientare în corp, se magnetizează temporar în direcţia câmpului şi este liniar dacă, local, magnetizaţia temporară instantanee ( )t,rMt este proporţională cu intensitatea instantanee a câmpului )t,r(H :

)t,r(Hχ)t,r(M mt = (3.35) Factorul de proporţionale mχ este o constantă de material numită

susceptivitatea magnetică a mediului (mărime adimensională). Pentru materialele magnetice liniare, susceptivitatea magnetică este în general independentă de H , dar depinde de condiţii de natură nemagnetică cum sunt: temperatura, presiunea, etc. Spre deosebire de susceptivitatea electrică eχ , care este întotdeauna pozitivă, cea magnetică

poate fi atât pozitivă (materiale paramagnetice), cât şi negativă (materiale diamagnetice).

mχ

3.2.5. LEGEA LEGĂTURII DINTRE INDUCŢIE, INTENSITATE ŞI MAGNETIZAŢIE Experienţa arată că în orice mediu şi în orice regim al câmpului electromagnetic

este satisfăcută ecuaţia vectorială:

)MH(B 0 +µ= (3.36)

numită legea legăturii dintre inducţie, intensitate şi magnetizaţie: în fiecare punct din câmp şi în fiecare moment, inducţia magnetică B este proporţională cu suma dintre intensitatea câmpului magnetic H şi magnetizaţia M , factorul de proporţionalitate fiind permeabilitatea magnetică a vidului 0µ .

Dacă materialul este fără magnetizaţie permanentă, utilizând legea magnetizaţiei temporare, relaţia (3.35) devine:

HHH)1()MH(B r0m0t0 µ=µµ=χ+µ=+µ= (3.37) în care mărimea adimensională mr 1 χ+=µ se numeşte permeabilitatea magnetică relativă, iar r0µµ=µ se numeşte permeabilitatea magnetică absolută a mediului şi se măsoară, ca şi , în henry pe metru [H/m]. 0µ

- 45 -

3.2.5. LEGEA FLUXULUI MAGNETIC

Fluxul magnetic printr-o suprafaţă închisă Σ oarecare, egal cu integrala de suprafaţă a produsului scalar dintre inducţia magnetică şi elementul de arie vectorial, este în fiecare moment nul:

∫ΣΣ =⋅=ψ 0AdB (3.38)

Întrucât în ecuaţie nu intervin mărimi de material, legea fluxului magnetic este o lege generală şi de stare a câmpului electromagnetic.

O consecinţă imediată a acestei legi este faptul că nu există sarcini magnetice, similare celor electrice.

Aplicând teorema Gauss-Ostrogradski integralei din membrul drept al ecuaţiei (3.38) şi ţinând seama că suprafaţa Σ şi deci volumul sunt arbitrare, rezultă: ΣV

0B =div . (3.39)

În fiecare punct din câmp şi în fiecare moment, divergenţa inducţiei magnetice este identic nulă.

Consecinţa faptului că 0B =div este că inducţia magnetică este un vector câmp solenoidal – liniile de câmp magnetic sunt închise sau cvasiînchise (se închid la infinit).

- 46 -

Capitolul 4

ELECTRODINAMICA 4.1. LEGEA INDUCŢIEI ELECTROMAGNETICE Fenomenul inducţiei electromagnetice, descoperit de M. Faraday în anul 1831,

constă în apariţia unei tensiuni electromotoare într-un circuit în care există o variaţie în timp a fluxului magnetic.

În forma integrală, enunţul legii este: tensiunea electromotoare produsă prin fenomenul inducţiei electromagnetice de-a lungul unei curbe închise Γ este egală cu viteza de scădere în timp a fluxului magnetic φ

Γe

SΓ prin orice suprafaţă care se sprijină pe curba Γ

ΓS

dt

d SΓφ

−=Γ e . (4.1)

Proporţionalitatea dintre şi Γedt

d SΓφ a fost stabilită de Faraday, iar semnul

schimbat al acestei proporţionalităţi a fost introdus de Lenz. În cazul unei bobine cu N spire, curba Γ se ia de-a lungul conductorului bobinei

şi în expresia t.e.m. induse (4.1) intervine fluxul magnetic total, , φ=ψΓ

NS

dtdN

dtd S φ

−=ψ

−= ΓΓe . (4.2)

Tensiunea electromotoare indusă de fluxul magnetic variabil în timp este egală cu integrala curbilinie a unei componente de câmp electric distinctă de câmpul imprimat

iE şi de cel electrostatic cE , numită câmp electric indus sau solenoidal sE :

∫∫∫Γ

⋅−===ΓΓ

Γ

S

s AdBdtdsdEsdE e (4.3)

în care sE s-a înlocuit cu E deoarece cs EEE += , iar tensiunea electromotoare a

câmpului coulombian este nulă, 0sdEc =∫Γ

.

Derivata fluxului magnetic din membrul drept se calculează ţinând seama de cele două cauze ale variaţiei fluxului: variaţia locală în timp a inducţiei magnetice şi deplasarea mediului, adică a curbei Γ, respectiv a suprafeţei SΓ.

Derivata fluxului magnetic în raport cu timpul se scrie:

Addt

BdAdBdtd

S

f

S

∫∫ΓΓ

= , (4.4)

- 47 -

unde dt

Bdf reprezintă derivata de flux a inducţiei magnetice şi are expresia

)B(tB)B(B

tB

dtBdf vrotvrotdivv ×+

∂∂=×+⋅+

∂∂= , (4.5)

în care s-a ţinut cont de legea fluxului magnetic, 0B =div . Forma integrală dezvoltată a legii inducţiei electromagnetice se scrie:

∫∫∫ΓΓ

⋅++∂∂−==

Γ

Γ

SS

Ad)B(AdtBsdE v rot e (4.6)

Tensiunea electromotoare indusă conţine doi termeni: Γe tensiunea electromotoare indusă prin pulsaţie, numită şi tensiune

electromotoare statică sau de transformare

∫Γ∂∂−=Γ

S

AdtB

tre (4.7)

stabilită exclusiv prin variaţia în timp a inducţiei magnetice, suprafaţa fiind fixă; ΓS tensiunea electromotoare indusă prin mişcare:

∫Γ

+=Γ

S

Ad)B(rotmisc

ve (4.8)

stabilită exclusiv prin variaţia în timp a suprafeţei , respectiv a curbei Γ, inducţia magnetică fiind constantă în timp.

ΓS

Aplicând membrului drept teorema lui Stokes, rezultă:

∫Γ

Γ ×= sd)B(misc ve (4.9)

sd

sdv

vB

Tensiunea electromotoare elementară indusă în elementul de contur

miscd Γesd care se deplasează cu viteza v

(fig. 4.1) este sd)B(d misc ⋅×=Γ ve . (4.10)

Sensul de referinţă al tensiunii electromotoare induse este sensul de înaintare al burghiului drept care se roteşte de la

miscd Γev spre B .

Fig. 4.1.

De exemplu, într-un conductor drept de lungime l care se deplasează cu viteza v într-un câmp magnetic uni-form de inducţie constantă B (fig. 4.2) tensiunea electro-motoare indusă este

l

α

β

B v

B×v

β⋅α cossin⋅⋅⋅=⋅×=Γ B)B(misc lvlve (4.11) Tensiunea electromotoare indusă, , se anulează

dacă doi dintre vectorii produsului mixt sunt paraleli: în consecinţă, tensiunea electromotoare indusă prin mişcare este nenulă numai dacă conductorul în mişcarea lui intersec-tează liniile câmpului magnetic.

miscΓe

Fig. 4.2.

- 48 -

4.2. GENERAREA TENSIUNILOR ELECTROMOTOARE ALTERNATIVE

Γ

ω

e

b

2a

Bα

A

O'

O

Γ

Se consideră o bobină dreptunghiulară cu laturile 2a şi b (fig. 4.3). Bobina se roteşte cu n rot/s în jurul axei proprii OO' într-un câmp magnetic omogen de inducţie B constantă în timp şi perpendiculară pe axa spirei.

Notând cu ω = 2πn viteza unghiulară, unghiul α format la un moment dat de normala la planul bobinei cu inducţia magnetică este: α = ωt. Fluxul magnetic fascicular φ este:

tcostcosab2 m ωφ=ωcosBAAdBS i

=α==φ ∫Γ

, (4.12)

unde este fluxul fascicular maxim. abB2m =φ Tensiunea electromotoare indusă în bobină este

NdtdN mωφ=φ−=e Fig. 4.3. (4.13) tsinEtsin m ω=ω

unde cu ωφ= mm NE s-a notat valoarea maximă sau amplitudinea acesteia. Tensiunea electromotoare e variază sinusoidal în timp cu frecvenţa

(fig. 4.4). Valoarea efectivă a tensiunii electromotoare este: πω= 2/f

mmm fN44,4fN

22

2EE φ⋅⋅⋅≅φ⋅⋅⋅π== (4.14)

Dispozitivul pune în evidenţă principiul alternatorului monofazat.

2

ω

1

4.5.

3

B

e, φ

eφ

23π 2

π π 2π

Fig. 4.4.

0 α = ωt

Dacă în loc de o bobină, dispozitivul conţine trei bobine dreptunghiulare

identice, dispuse simetric pe acelaşi ax (fig. 4.5), fluxurile magnetice fasciculare prin cele trei bobine vor fi:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −φ=φ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −φ=φ

ωφ=φ

34πtωcos

3π2tωcos

tsco

m3

m2

m1

(4.15)

- 49 -

iar tensiunile electromotoare rezultă:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π−ω=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π−ω=

ω=

34tsinE

32tsinE

tsinE

m3

m2

m1

e

e

e

(4.16)

Tensiunile electromotoare obţinute sunt sinusoidale (alternative) şi formează un sistem trifazat simetric (fig. 4.6).

Dispozitivul prezentat pune în evidenţă principiul de funcţionare al unui generator electric trifazat .

ωtπ

2π 3

4π3

2π

e1

0

e3 e2

Fig. 4.6.

4.3. INDUCTIVITĂŢILE CIRCUITELOR ELECTRICE

4.3.1. Inductivitatea proprie

Se consideră o spiră conductoare filiformă nedeformabilă, de contur Γ, parcursă

de curentul i, situată într-un mediu omogen, liniar, de permeabilitate µ (fig. 4.7). Dacă spira se află în afara zonei de influenţă a oricăror

fluxuri magnetice exterioare, se defineşte inductivitatea proprie a spirei ca fiind raportul pozitiv dintre fluxul magnetic

ΓφS prin orice suprafaţă deschisă SΓ care se sprijină pe curba Γ şi intensitatea curentului i prin spira de contur Γ:

i

ΓS AdB

Γ Fig. 4.7.

0L Sd

>φ= Γ i (4.17)

În cazul unei bobine cu N spire, conturul Γ se ia de-a lungul conductorului bobinei (fig. 4.8) şi fluxul magnetic total prin suprafaţa este dat de relaţia ψΓS SΓ = Nφ , φ fiind fluxul printr-o spiră (fluxul fascicular). Inductivitatea proprie a bobinei se defineşte prin raportul dintre fluxul magnetic total ψ şi intensitatea curentului i prin bobină:

i

Γ u L

iiφ== NψL

d (4.18)

Inductivitatea proprie a unei bobine având caracteristici liniare este independentă de valorile curentului şi fluxului, fiind o caracteristică a bobinei.

Fig. 4.8.

Unitatea de măsură în S. I. pentru inductivitate se numeşte henry(H): un henry fiind inductivitatea bobinei prin care curentul de un amper stabileşte fluxul magnetic de un weber.

- 50 -

4.3.2. Inductivităţi mutuale Se consideră două bobine având spirile filiforme, nedeformabile şi menţinute în

aceeaşi poziţie relativă în mediul de permeabilitate µ (fig. 4.9). Dacă o parte din fluxul magnetic produs de unul din circuite (bobina 1 sau bobina 2), trece prin suprafaţa delimitată de conturul celuilalt circuit, atunci circuitele sunt cuplate magnetic. Se spune că între cele două circuite (bobine) există un cuplaj magnetic mutual.

Dacă se presupune i1 ≠ 0 şi i2 = 0 şi se notează cu ψ11 fluxul total produs de curentul i1 care trece prin suprafaţa care se sprijină pe conturul Γ1SΓ 1 al circuitului 1 (fluxul propriu al bobinei 1) şi cu ψ12 fluxul total produs de curentul i1 ce trece prin suprafaţa care se sprijină pe conturul Γ

2SΓ

2 al circuitului 2, se definesc:

2

2

Γ1

Γ2

i1

1

1

Φσ12

N1

N

N1

N2

i2

Φ

Φ12=Φu12

inductivitatea proprie a bobinei 1

0NL00 22 1

111

1

11d

11ψ >φ==

== ii ii ; (4.19)

inductivitatea mutuală sau de cuplaj între bobina 1 şi bobina 2

002

><

=

iNL

02 12

1

d

121212ψ

=

φ== i ii . (4.20) Fig. 4.9.

În mod similar, dacă se presupune i2 ≠ 0 şi i1 = 0, se definesc:

inductivitatea proprie a bobinei 2

0NL00 11 2

222

2

22d

22ψ >φ==

== ii ii ; (4.21)

inductivitatea mutuală sau de cuplaj între bobina 2 şi bobina 1

0NL00 11 2

12

d

212121ψ >

<==

φ== ii ii . (4.22)

Inductivitatea proprie este totdeauna pozitivă, însă inductivitatea mutuală este pozitivă sau negativă, după cum sensurile de referinţă ale contururilor Γ1 şi Γ2 sunt asociate după regula burghiului drept în acelaşi sens, respectiv în sens opus în raport cu fluxul prin S şi prin S . 1Γ Γ2

În schemele electrice, bobinele cuplate magnetic au câte unul din capete marcate, de obicei cu "∗" ("polarizate"). Dacă sensurile curenţilor sunt la fel faţă de capetele marcate, inductivitatea mutuală este pozitivă (fig. 4.10).

Valorile inductivităţilor mutuale sunt în general egale şi valoarea lor comună se mai notează şi cu

. 2112 LLM ==

* *

L12 = L21>0

* *i1 i2

L12 = L21<0

L2L1

i1 i2

L2L1

Fig. 4.10.

- 51 -

4.3.3. Inductivităţi utile şi de dispersie În general, numai o parte din liniile de câmp ale fluxului magnetic fascicular

propriu produs de una dintre bobine trece prin cealaltă bobină cu care este cuplată magnetic – această parte se numeşte flux magnetic fascicular util (prescurtat flux fascicular util). Partea care se închide direct prin aer şi care nu înlănţuie cealaltă bobină, se numeşte flux de dispersie sau flux de scăpări.

Notând cu φ11 – fluxul fascicular propriu al bobinei 1, φ12 – fluxul fascicular produs de prima bobină printr-o spiră a bobinei 2 şi cu 12σφ – fluxul fascicular de dispersie al bobinei 1 faţă de bobina 2 rezultă relaţia:

121211 σφ+φ=φ (4.23)

Similar, fluxul fascicular propriu al bobinei 2 se scrie:

212122 σφ+φ=φ (4.24)

Liniile inducţiei magnetice care se închid prin alte domenii decât cele utile, se numesc linii de dispersie sau linii de scăpări.

Partea din inductivitatea proprie L11 a bobinei 1 corespunzătoare fluxului de dispersie faţă de bobina 2, se numeşte inductivitate de dispersie a bobinei 1 faţă de bobina 2:

1

121

1

111

1

121

d

12 iNiNiNL φ−φ=φ= σ

σ ,

respectiv:

0LNNLL 12

2

111

d12 >−=σ (4.25)

Similar, se dovedeşte că inductivitatea de dispersie a bobinei 2 faţă de bobina 1 este:

0LNNLiNL 21

1

222

2

212

d

21 >−=φ= σσ (4.26)

Din compararea relaţiilor (11.13) şi (11.14) rezultă că, în general, inductivităţile de dispersie sunt diferite, . 2112 LL σσ ≠

Termenii

0LNNL 12

2

112u >⋅= şi 0L

NN

L 2112

21u >⋅= (4.27)

se numesc inductivitatea utilă a bobinei 1 faţă de bobina 2, respectiv, inductivitatea utilă a bobinei 1 faţă de bobina 2. Prin urmare, inductivitatea proprie a fiecăreia dintre bobinele cuplate magnetic se compune din inductivităţile utilă şi de scăpări în raport cu cealaltă bobină:

21u212212u1211 LLL;LLL +=+= σσ . (4.28)

- 52 -

4.1. ENERGIA CÂMPULUI MAGNETIC

egk

egn

eg1

φn

ik

φ1

φk

in

i1

Se consideră un sistem de n circuite (bobine) parcurse de curenţii electrici ik (k = 1, 2, …,n), conţinând sursele de tensiune egk (fig. 4.11). Se consideră circuitele formate numai din conduc-toare liniare, izotope şi omogene, iar tensiunile electromotoare egk pot fi variabile în timp.

Dacă se admite că circuitele sunt mobile sau deformabile, în intervalul de timp de la t la t + dt ecuaţia bilanţului energetic este

(4.29) mg dWLQdW +δ+δ=Fig. 4.11. unde:

– suma energiilor elementare debitate de surse, ∑=

=n

1k

kgkg dtdW ie

– energia transformată ireversibil în căldură pe rezistenţele R∑=

=δn

1k

2kk dtiRQ k

ale circuitelor,

– lucrul mecanic efectuat de forţele generalizate X∑=

=δn

1i

iidxXL i la o variaţie

dxi a coordonatelor generalizate xi. dWm - variaţia energiei magnetice elementare localizată în câmpul magnetic al

celor n circuite.

Înlocuind în (4.29), se obţine:

m

n

1i

ii

n

1k

2kk

n

1k

kgk dWdxXdtiRdtie ++= ∑∑∑===

(4.30)

În afara tensiunilor electromotoare egk ale surselor, în circuite se induc tensiuni electromotoare ek date de legea inducţiei electromagnetice:

dtde k

kψ−= (4.31)

Prin aplicarea legii lui Ohm fiecărui circuit în parte, se poate scrie:

egk + ek = Rkik sau egk = Rkik + dtd kψ (4.32)

Înlocuind t.e.m. egk în ecuaţia (4.213), obţinem succesiv:

m

n

1i

ii

n

1k

2kk

n

1k

kk

2kk dWdxXdtiRdtdt

diiR ++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ψ+ ∑∑∑

===

,

∑∑==

−ψ=n

1i

ii

n

1k

kkm dxXdidW . (4.33)

- 53 -

Relaţia obţinută reprezintă variaţia energiei magnetice elementare la variaţia fluxurilor magnetice pentru circuite mobile.

Pentru calculul energiei magnetice, se consideră mediul liniar din punct de vedere magnetic şi circuitele imobile în câmp (dxi = 0). Variaţia energiei magnetice este dată exclusiv de variaţia fluxurilor magnetice:

∑=

ψ=n

1k

kkm ddW i (4.34)

Se presupune starea iniţială identic nulă ( 0k =i , 0ψk = ), iar starea finală este caracterizată de curenţii şi fluxurile magnetice notaţi cu ik şi . Dacă mediul este liniar din punct de vedere magnetic şi se notează cu şi curenţii şi fluxurile

magnetice pentru o stare intermediară, atunci raportul notat

kψ'ki '

kψ

k

'k

k

'k

ψψ

==λii este

subunitar, iar şi . Pentru această stare, relaţia (4.6) se scrie: k'k ii λ= λ= dψdψ k

'k

∑∑==

λλ==n

1k

kk

n

1k

'k

'k

'm dψdψdW ii (4.35)

Expresia energiei sistemului în starea finală se obţine prin integrare pentru λ variind de la 0 la 1:

∑∫∑==

ψ=λλψ=n

1k

kk

1

0

n

1k

kkm 21dW ii (4.36)

Relaţia ∑=

ψ=n

1k

kkm 21W i reprezintă expresia energiei magnetice a sistemului de

circuite (bobine) parcurse de curenţi electrici de conducţie sau, mai pe scurt, energia de interacţiune a curenţilor electrici.

Folosind relaţiile lui Maxwell, adică explicitând fluxurile magnetice funcţie de

inductivităţi, , expresia energiei magnetice devine: ∑=

=n

1j

jjkk Lψ i

∑∑∑∑<=== =

+==n

)kj(1k,j

kjjk

n

1j

2jjj

n

1k

n

1j

kjjkm LL21L

21W

iiiii (4.37)

Pentru n = 1, se deduc expresiile energiei magnetice ale bobinei funcţie de inductivitatea proprie L, fluxul magnetic ψ şi curentul i:

Lψ

21L

21ψ

21W

22

m ==⋅= ii . (4.38)

Pentru n = 2, se obţin expresiile energiei magnetice a două bobine cuplate magnetic:

212222

2111m ML2

1L21W iiii ++= . (4.39)

- 54 -

PARTEA A II - A

CIRCUITE ELECTRICE

Capitolul 1

CIRCUITE ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU

1.1. Structura şi clasificarea circuitelor electrice Un circuit electric este un ansamblu de generatoare (surse de energie) şi

receptoare cu legături electrice între ele. Un ansamblu de circuite cu legătură electrică între ele constituie o reţea electrică.

Un circuit electric de curent continuu este constituit, în general, dintr-un ansamblu de surse de energie şi rezistoare, parametrii care intervin în acest caz fiind rezistenţele rezistoarelor şi tensiunile electromotoare sau curenţii surselor de tensiune, respectiv de curent, precum şi rezistenţele sau conductanţele interioare ale acestor surse.

O latură a unei reţele electrice reprezintă o porţiune neramificată cuprinsă între două extremităţi numite noduri. O succesiune de laturi după un contur închis constituie un ochi sau o buclă a reţelei electrice.

Structura oricărei reţele electrice este complet determinată dacă se cunosc: numărul de laturi ( l) , numărul de noduri (n) şi numărul ochiurilor sau buclelor independente sau fundamentale (o).

Se numeşte ochi independent sau fundamental (buclă independentă sau fundamentală), acel ochi (buclă) care conţine cel puţin o latură necomună cu alte ochiuri

(bucle) ale reţelei. Există teorema lui Euler care dă numărul ochiurilor (buclelor) independente:

o = l – n + 1 (1.1)

Pe schema reţelei electrice de curent continuu din figura 1.1, s-au notat astfel:

- (1), (2), (3), (4) – noduri, n = 4; - 1, 2, ..., 6 – laturi, l = 6; - [1], [2], [3] – ochiuri independente; - R1, R2, ... , R6 – rezistoare, - E5, E6 – generatoare de tensiune.

Cu relaţia (1.1) se calculează numărul ochiurilor independente: o = 6 – 4 +1 = 3.

(3)

(4) [1]

R1

R5

E5

[2]

R2

R3R4

E6 R6[3]

(1)

(2)

Fig. 1.1.

- 55 -

Clasificarea circuitele electrice se poate face după mai multe criterii, cele mai importante fiind prezentate în continuare.

a) După natura elementelor ce intră în structura circuitelor există: - circuite liniare, - circuite neliniare, - circuite parametrice.

În circuitele neliniare, parametrii elementelor de circuit depind de curent (tensiune), iar în circuitele parametrice aceştia depind şi de timp.

b) După regimul de funcţionare se deosebesc: - circuite de curent continuu (c.c.), caracterizate de regimul staţionar în care

există numai curent electric de conducţie în conductoare; - circuite de curent alternativ (c.a.), caracterizate de regimul cvasistaţionar

în care există curent electric de conducţie în conductoare şi curent electric de deplasare în dielectricii condensatoarelor din circuit.

c) În raport cu sursele există: - circuite active – conţin surse de energie; - circuite pasive – nu conţin surse de energie.

Laturile de circuit care conţin surse se numesc laturi active (laturile 5 şi 6 din schema prezentată în fig. 1.1), iar cele care nu conţin surse se numesc laturi pasive.

d) După dimensiunile conductoarelor pot exista: - circuite filiforme – dimensiunile transversale ale conductoarelor sunt mult

mai mici decât cele longitudinale şi sunt caracterizate prin aceea că densitatea de curent este uniform repartizată pe secţiunea conductorului;

- circuite masive – dimensiunile transversale ale conductoarelor sunt comparabile cu cele longitudinale.

e) După localizarea parametrilor circuitului pot exista: - circuite cu parametri concentraţi; - circuite cu parametri distribuiţi.

f) După legătura cu exteriorul circuitele pot fi: - izolate – nu au borne de legătură cu exteriorul, - neizolate – au borne de legătură cu exteriorul).

Circuitul care are numai două borne de legătură cu exteriorul se numeşte dipol, circuitul care are 3 borne de legătură cu exteriorul se numeşte tripol, circuitul care are 4 borne de legătură cu exteriorul se numeşte tetrapol sau cuadripol, ş.a.m.d.

- 56 -

1.2. Aplicarea legii conducţiei electrice în studiul circuitelor electrice. Asocierea sensurilor de referinţă pentru tensiuni şi curenţi.

Latura de circuit pasivă

Se consideră un conductor filiform, omogen, respectiv o latură pasivă de circuit electric aşa ca în figura 1.2,a). Schema electrică echivalentă cu parametri concentraţi a laturii de circuit considerată se prezintă în figura 1.2,b).

Prin integrarea formei locale a legii conducţiei electrice ( JE ρ= ) de-a lungul conductorului laturii între extremităţile sale (1) şi (2), se obţine:

∫ρ=2

1AdsdsA i∫∫∫ ρ==

2

1

2

1

2

1A

JsdJρsdE

unde AJ ⋅=i este intensitatea curentului repartizat uniform pe secţiunea transversală

de arie A a conductorului, RAdsρ

2

1

=∫ este

rezistenţa acestuia şi 12

2

1

usdE =∫ este tensiunea electrică de-a lungul conductorului

laturii. S-a obţinut astfel relaţia lui Ohm

(1)

u12

(2) (2)

V1 i

⇔ u

(1) i

u

V2 a) b)

R

Fig. 1.2.

iu R12 = . (1.2)

Relaţia (1.2) este valabilă, atât în regim electrocinetic staţionar, cât şi în regim variabil în timp. În regim staţionar, câmpul fiind potenţial, tensiunea electrică nu depinde de curba de-a lungul căreia se face integrarea (de drum), ci numai de extremităţile acesteia. Dacă integrala de linie a intensităţii câmpului electric se face în lungul unei curbe care trece direct prin aer între bornele laturii de circuit, tensiunea electrică corespunzătoare, egală cu diferenţa potenţialelor bornelor respective, se numeşte tensiune la borne, notată simplu cu u:

u12 = u = V1 – V2 (1.3)

În cazul unui circuit de curent continuu (regim staţionar), forma integrală a legii conducţiei electrice se scrie sub forma:

U = RI (1.4)

În regim variabil când, în general, poate să intervină atât o componentă potenţială Ep, cât şi una solenoidală Es a câmpului electric, tensiunea la borne corespunde numai componentei potenţiale a intensităţii câmpului electric, nemaifiind egală cu tensiunea în lungul axei conductorului filiform. În acest caz, forma locală a legii conducţiei electrice pentru conductoare omogene este

JEE sp ρ=+ (1.5)

- 57 -

şi prin integrare, ( ) ∫∫ =+2

1

2

1

sp sdJρsdEE , se obţine:

u + e = R i (1.6)

unde ∫=2

1

p sdEu este tensiunea la borne, iar ∫=2

1

s sdEe este tensiunea electromotoare

corespunzătoare părţii solenoidale a câmpului electric.

Latura de circuit activă. Se consideră o porţiune filiformă, neramificată dintr-un circuit electric oarecare,

cuprinsă între bornele (1) şi (2) şi în care acţionează un câmp imprimat (Ei ≠ 0), respectiv o sursă de energie electrică (fig. 1.3). Forma integrală a legii conducţiei

electrice se scrie

e (Ei) ⇔

(2)

u

(1) i

(2)

(1)

b)

e R

( )AdssdEE

2

1

2

1

i ∫∫ ρ=+ i , respectiv

u12 + e = R i , (1.7)

sdE2

1

i∫=e fiind t.e.m. a sursei. a)

În figura 1.3,b) se prezintă schema echivalentă a laturii active cu rezistenţa

conductorului R ca parametru concentrat.

Fig. 1.3.

O problemă importantă la scrierea ecuaţiilor circuitelor electrice este asocierea sensurilor de referinţă pentru curenţi şi tensiuni. Pentru fiecare din aceste mărimi se pot alege independent câte un sens de referinţă, respectiv de integrare. Considerând curentul dintr-o latură de circuit şi tensiunea la bornele acestei laturi se pot adopta două convenţii de asociere a sensurilor de referinţă pentru aceste mărimi, după cum urmează:

1 Convenţia de la receptoare – faţă de una din bornele laturii, tensiunea la borne şi curentul au acelaşi sens sau, altfel spus, sensul tensiunii la borne este de la borna de intrare la borna de ieşire a curentului, aşa cum se arată în figura 1.4. Prin

aplicarea legii conducţiei electrice laturilor de circuit active prezentate în această figură, rezultă ecuaţiile:

e u

i (1)

(2)

R

e u

i (1)

(2)

R a) u + e = R i, a) b) b) u – e = R i. (1.8)

2 Convenţia de la generatoare – faţă de una din bornele laturii, tensiunea la borne şi curentul au sensuri opuse sau, altfel spus, sensul tensiunii la borne, este de la borna de ieşire la borna de intrare a curentului, aşa cum se arată în figura 1.5. Ecuaţiile care se obţin prin aplicarea legii conducţiei electrice în acest caz sunt:

Fig. 1.4.

u

(1)

R

i

b)

e (2)

e u

i

R

(1)

(2)

a)

a) – u + e = Ri, b) – u – e = Ri. (1.9) Fig. 1.5.

- 58 -

1.3. SURSE DE ENERGIE (GENERATOARE)

1.3.1. Generatorul de tensiune Generatorul independent de tensiune, numit şi generator ideal de tensiune, este

elementul activ de circuit a cărui tensiune la borne nu depinde de intensitatea curentului, ecuaţia caracteristică fiind, în general:

u = e(t) (1.10)

0

e(t) u

u

i

e(t)

i În planul (u,i), caracteristica de funcţionare este o dreaptă paralelă cu abscisa (fig. 1.6).

Ca element de circuit, generatorul independent de tensiune este caracterizat de modul de variaţie în timp a tensiunii electromotoare e(t).

Generatorul independent de tensiune continuă are tensiunea electromotoare constantă în timp: Fig. 1.6.

e(t) = E (1.11)

Generatorul real de tensiune continuă este caracterizat de tensiunea electromotoare E şi de rezistenţa interioară Rg (fig. 1.7). Variaţia tensiunii la borne cu intensitatea curentului se datorează căderii de tensiune pe rezistenţa interioară Rg.

Cu legea lui Ohm, se obţine:

E − U = RgI (1.12)

Caracteristica de funcţionare este o dreaptă ce nu trece prin origine. Dacă Rg = 0, avem generatorul ideal de tensiune.

Înmulţind ambii termeni ai ecuaţiei (1.12) cu I, se obţine relaţia dintre puterile generatorului real de tensiune continuă

0 I

E Rg

E U

E/Rg

UI

EI = UI + RgI2,

respectiv, Pg = P + PJ.

Puterea electrică totală Pg = EI produsă de generator este dată de suma dintre puterea electrică P = UI cedată pe la borne şi puterea electrică PJ = RgI2 pierdută prin efect Joule pe rezistenţa interioară a acestuia.

Fig. 1.7.

1.3.2. Generatorul de curent

Generatorul independent (ideal) de curent sau injectorul ideal de curent este elementul activ de circuit ce are intensitatea curentului independentă de tensiune, ecuaţia caracteristică fiind:

i = ig(t) (1.13)

- 59 -

În planul (u,i), caracteristica de funcţionare este o dreaptă paralelă la axa tensiunii (fig. 1.8).

Ig Gg U

I

i

ig(t)

u

0

ig(t) u

i

Ig I

U

0

Fig. 1.9. Fig. 1.8.

Ca element de circuit, generatorul independent de curent este complet caracterizat de modul de variaţie în timp a curentului injectat, ig(t).

Generatorul ideal de curent continuu are curentul constant în timp, independent de valoarea tensiunii:

ig(t) = Ig (1.14)

La generatorul real de curent continuu, curentul variază cu tensiunea la borne datorită conductanţei interioare Gg nenulă a acestuia (fig. 1.11). Aplicând teorema a I-a Kirchhoff schemei din figura 1.9, se obţine:

Ig − I = GgU (1.15)

Generatorul sau injectorul real de curent continuu este caracterizat de curentul injectat Ig şi de conductanţa sa interioară Gg.

Se poate observa că ecuaţiile căderii de tensiune la generatorul real de tensiune (1.11) şi reducerii curentului la generatorul real de curent (1.15) sunt duale, corespondenţa mărimilor duale fiind:

E ↔ Ig; U ↔ Ι; Rg ↔ Gg (1.16)

Ca elemente de circuit, sursele de energie electrică admit modelele duale ale generatorului de tensiune şi generatorului de curent.

1.3.3. Teoremele lui Kirchhoff Prima teoremă a lui Kirchhoff se referă la curenţii din nodurile unei reţele

electrice şi este o consecinţă a legii conservării sarcinii electrice libere în regim staţionar sau cvasistaţionar: intensitatea curentului electric printr-o suprafaţă închisă Σ este nulă,

∫Σ

Σ == 0AdJi

0)k(j

j =∑∈

i

Σ ij

i1

· · ·

i2

ip

Fig. 1.10. · · ·

(k)

. (1.17)

Dacă suprafaţa Σ conţine în interior un nod (k) al unei reţele electrice (fig.1.10), fiind străbătută de conductoarele parcurse de curenţii ij ce concură în nodul (k), relaţia (1.17) se scrie:

. (1.18)

- 60 -

Suma algebrică a intensităţilor curenţilor prin laturile j conectate la nodul (k) al unei reţele electrice este nulă.

În relaţia (1.18) suma este algebrică, adică curenţii ij se iau cu semnul ”+ “ sau ”– “ după cum sensul acestora coincide sau este opus sensului normalei pozitive la suprafaţa Σ. Altfel spus, curenţii ij se iau cu” + “ dacă sunt orientaţi de la nod şi cu ” – “ dacă sunt orientaţi către nod.

Într-un caz mai general, suprafaţa închisă Σ poate cuprinde o parte oarecare dintr-o reţea, intersectând un anumit număr de laturi ale acesteia. În acest caz suprafaţa Σ este numită şi secţiune. Pentru exemplul prezentat în figura 1.11, teorema a I-a Kirchhoff se scrie:

-i1 + i2 - i3 + i4 = 0.

Într-o reţea electrică cu n noduri, cu teorema a I-a Kirchhoff se poate obţine un sistem independent n –1 ecuaţii. Prin urmare, teorema a I-a Kirchhoff se aplică numai la n –1 noduri ale reţelei pentru a obţine un sistem independent de ecuaţii pentru curenţii din laturile reţelei.

A doua teoremă a lui Kirchhoff se referă la tensiunile în lungul laturilor unui ochi de reţea. Se alege un sens arbitrar de integrare, respectiv un sens de referinţă al ochiului, reprezentat printr-o săgeată (fig.1.12). Se integrează forma locală a legii conducţiei electrice pe conturul Γ trasat de-a lungul laturilor ochiului:

( )∫ ∫Γ Γ

ρ=+ sdJsdEE i . (1.19)

în care

∫Γ

= 0sdE , (1.20)

deoarece E este intensitatea câmpului electrostatic. În ecuaţia (1.19), despărţind conturul de integrare Γ pe porţiunile Cj corespunză-

tore laturilor ochiului, se obţine:

[ ][ ] [ ][ ]∫ ∑ ∑∫∑∫ ∑∫Γ ∈ ∈∈ ∈Γ

=ρ=ρ==mj mj

jj

Cjj

jj

mj C mj

jjiji RAdssdJ;sdEsdE

j

iie ,

şi ecuaţia devine

[ ][ ]∑ ∑∈ ∈

=mj mj

jjj R ie . (1.21)

Suma algebrică a tensiunilor electromotoare din laturile unui ochi de reţea este egală cu suma algebrică a căderilor de tensiune de pe rezistenţele laturilor ochiului. Atât tensiunile electromotoare ej, cât şi căderile de tensiune Rjij se iau cu semnul "+" dacă sensul lor coincide cu sensul de referinţă ales pentru ochi şi cu semnul "–" dacă sensul lor este opus sensului ochiului.

Pentru a obţine un sistem de ecuaţii independente, teorema a II-a Kirchhoff se aplică numai ochiurilor sau buclelor independente ale reţelei. Prin urmare, pentru o reţea cu n noduri şi l laturi, cu teorema a II-a Kirchhoff se obţin un număr de ecuaţii independente egal cu numărul ochiurilor independente: o = l – n +1.

i1

Σ

i2

i4 i3

Fig. 1.11.

e1R1i1

uj

[m] Γ

Fig. 1.12.

Γ

ij

u1

ejRj

- 61 -

1.6. TRANSFIGURAREA CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU

Prin transfigurarea unui circuit electric se înţelege înlocuirea acestuia cu un

circuit echivalent. Două circuite sunt echivalente şi se pot substitui unul altuia dacă au sisteme de ecuaţii echivalente. Pentru ca două sisteme de ecuaţii să fie echivalente este necesar ca ele să conţină aceleaşi necunoscute (variabile). Prin urmare, ca două circuite să fie echivalente este necesar ca acestea să aibă acelaşi număr de borne.

1.6.1. Echivalenţa surselor de tensiune şi de curent

Cum s-a văzut, un generator real de tensiune se compune dintr-o sursă ideală de tensiune electromotoare E, având tensiunea la borne independentă de curentul debitat I, în serie cu rezistenţa Rg reprezentând rezistenţa interioară a generatorului (fig.1.13).

Aplicând legea lui Ohm, tensiunea la borne este:

U = E – Rg I (1.22) De asemenea, generatorul real de curent poate fi

reprezentat de o sursă ideală de curent electric Ig, având intensitatea curentului independentă de tensiunea la borne, legată în derivaţie cu un rezistor de conductanţă Gg, repre-zentând conductanţa interioară a generatorului (fig. 1.14). Aplicând teorema a I-a Kirchhoff avem

I = Ig – Gg U (1.23) din care, tensiunea la borne rezultă:

IG1I

G1U

gg

g

−= (1.24)

Ecuaţia (1.24) a tensiunii la bornele generatorului de curent este echivalentă cu ecuaţia (1.22) a tensiunii la bornele generatorului de tensiune dacă şi numai dacă:

gg R

1G = şi g

g REI = . (1.25)

Prin urmare, orice sursă de energie are două scheme echivalente, una serie, ca sursă de tensiune (fig. 1.13) şi alta derivaţie, ca sursă de curent (fig. 1.14). Pentru ca sursa de tensiune să fie echivalentă cu cea de curent, este necesar şi suficient să fie satisfăcute condiţiile (1.25). Se observă că sursa de curent devine ideală dacă Gg = 0, rel.(1.23). De asemenea, se constată că curentul generatorului de curent Ig este egal cu curentul de scurtcircuit al generatorului de tensiune echivalent.

Schemele echivalente ale surselor de energie electrică din figurile 1.13 şi 1.14 se numesc şi schema echivalentă serie, respectiv schema echivalentă paralel (derivaţie).

1.6.2. Circuite serie

Circuitele ale căror elemente sunt conectate astfel încât toate sunt parcurse de acelaşi curent, se numesc circuite în conexiunea serie sau, prescurtat, circuite serie.

Pentru a obţine un rezultat cât mai general, se presupune că fiecare din cele n elemente ale circuitului serie este o sursă, deci are t.e.m. şi rezistenţă, reprezentată prin schema echivalentă serie (fig. 1.15).

U

I RgE

Fig. 1.13.

Ig

IGg

U Fig. 1.14.

- 62 -

UU1

I R1E1

U2

R2E2

Uk

RkEk

Un

RnEn

⇔

U

I ReEe

Fig. 1.15.

Se vede imediat că tensiunea la bornele circuitului serie este

∑=

=+++++=n

1k

knk21 UU...U...UUU . (1.26)

Aplicând legea conducţiei electrice, tensiunea la bornele elementului k al circuitului serie este:

Uk = RkI – Ek , k = 1, 2, …, n. (1.27)

Înlocuind în relaţia anterioară, rezultă:

∑∑==

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

n

1k

k

n

1k

k ERIU (1.28)

Pentru dipolul echivalent, legea conducţiei electrice dă:

ee ERIU −⋅= . (1.29)

Prin identificare, din ecuaţiile (1.30) şi (1.31) rezultă:

.EE;RRn

1k

ke

n

1k

ke ∑∑==

== (1.30)

Aşadar, circuitul serie are o rezistenţă echivalentă Re egală cu suma rezistenţelor elementelor înseriate şi o t.e.m. echivalentă Ee egală cu suma t.e.m. ale elementelor înseriate. În Ee însumarea se face algebric, luându-se cu semnul "+" t.e.m. care au acelaşi sens cu curentul şi cu semnul "–" cele care au sens contrar curentului.

În cazul particular al circuitului format din n rezistoare conectate în serie (fig. 1.16), rezultă evident:

∑=

=n

1kke RR (1.31)

U

I Re

UU1

I R1

U2

R2

Uk

Rk

Un

Rn⇔

Fig. 1.16.

- 63 -

1.6.3. Circuite paralel (derivaţie)

Circuitele formate din elemente cărora li se aplică aceeaşi tensiune ca urmare a faptului că sunt conectate la aceeaşi pereche de borne se numesc circuite în conexiunea derivaţie, prescurtat, circuite derivaţie sau paralel.

Considerăm circuitul format din n surse reale reprezentate prin surse de tensiune, figura 1.18.

U

I

R1E1 I1

R2E2 I2

RkEk Ik

RnEn In

U

I ReEe

⇔

Fig. 1.18.

Aplicând legea conducţiei electrice, curentul din latura k rezultă:

k

k

kkkkk R

ER1UIIREU +=⇒=+ . (1.35)

Cu teorema a I-a Kirchhoff se obţine:

∑∑∑===

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

n

1k k

kn

1k k

n

1kk R

ER1UII (1.36)

Pentru dipolul echivalent, expresia curentului este

.ER1U

R1I e

ee+= (1.37)

Prin identificarea ecuaţiilor (1.36) şi (1.37) rezultă:

.G

EGE;

R1

R1

n

1kk

n

1kkk

e

n

1k ke ∑

∑∑

=

=

=

== (1.38)

- 64 -

Capitolul 2

CIRCUITE ELECTRICE MONOFAZATE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

2.1. MĂRIMI VARIABILE, MĂRIMI PERIODICE, MĂRIMI ALTERNATIVE Fie y(t) o funcţie de timp reprezentând o mărime variabilă: tensiune, curent, etc. Se numeşte valoare instantanee, valoarea pe care o are mărimea variabilă la un

moment oarecare t. Prin convenţie valoarea instantanee se notează cu litera mică a simbolului stabilit pentru mărimea respectivă: i – curent, u – tensiune, v –potenţial electric, e – tensiune electromotoare (t.e.m.), p – putere instantanee.

Mărimea periodică este o mărime variabilă a cărei succesiune de valori se repetă la intervale egale de timp. Cel mai scurt interval de timp după care mărimea periodică îşi reia valoarea în aceeaşi ordine se numeşte perioadă (T).

Pentru mărimile periodice este satisfăcută relaţia:

y(t) = y(t + kT) (2.1)

unde k este un număr întreg oarecare (k = 0, ±1, ±2, …). Exemple: i(t) = i(t+kT), u(t) = u(t+kT), e(t) = e(t+kT)

Numărul de perioade cuprinse în unitatea de timp se numeşte frecvenţă (f), iar produsul 2πf = ω se numeşte pulsaţie, frecvenţă unghiulară sau frecvenţă ciclică.

T2f2 π=π=ω ,

πω== 2T

1f (2.2)

Pulsaţia ω se măsoară în radiani pe secundă (rad/s), iar frecvenţa f în hertz (Hz). Gama frecvenţelor utilizate în tehnică este foarte mare, cuprinsă între zeci si

milioane de hertzi (GHz). Curentul continuu poate fi considerat caz particular al unui curent variabil cu f = 0. În instalaţiile energetice se folosesc frecvente joase, standar-dizate la valoarea de 50 Hz în Europa si 60 Hz în America.

Se numeşte valoare de vârf a unei mărimi periodice, cea mai mare valoare instantanee (în modul) pe care o poate avea acea mărime în decursul unei perioade. Se notează cu: Ymax, Ym sau . y

Valoarea medie a unei mărimi variabile pe intervalul de timp t2 – t1 este media aritmetică a valorilor instantanee, notată cu Ymed sau y~ :

∫−==

−−

2

1

1212

t

ttttt ydttt

1Yy~12

med (2.3)

Valoarea medie a unei mărimi y(t) pe un interval de timp t2 – t1 este egală cu înălţimea dreptunghiului de lăţime t2 – t1, având aria egală cu aria cuprinsă între curba y(t) şi axa 0 – t în intervalul considerat.

- 65 -

În cazul mărimilor periodice, intervalul de timp pe care se calculează valoarea medie se ia egal cu o perioadă, t2 – t1 = T

∫+

==T1

1

t

t

ydtT1YY 0med (2.4)

Valoarea efectivă sau eficace a unei mărimi variabile pe intervalul de timp t2 – t1 este rădăcina pătrată a mediei pătratelor valorilor instantanee, notată cu Yef sau Y:

∫−=

−

2

1

12

t

ttt dtytt

1Y 2

12 (2.5)

Ca şi în cazul valorii medii, valoarea efectivă a mărimii periodice se calculează pe intervalul unei perioade:

∫+

==T

2ef

1

1

t

t

dtyT1YY (2.6)

Valoarea efectiva 12 ttI

−a intensităţii curentului variabil în timp i(t) este egală cu

intensitatea curentului continuu I care dezvoltă aceeaşi cantitate de căldură intr-un rezistor liniar in intervalul de timp t2 – t1. Într-adevăr, identificând expresiile cantităţilor de căldură dezvoltate de curentul variabil în timp i(t), Qi şi de curentul continuu I, QI, în acelaşi rezistor de valoare R, avem:

)tt 12 − ,i (RIQdtRQ 2I

2i

2

1

t

t

== ∫ y

şi din

i∫−

2

1

t

t

dtt1 2

1 =⇒=

− 12 tt tIQQ2

Ii

În figura 2.1 se prezintă curba unei mărimi periodice cu evidenţierea mărimilor definite mai sus.

Mărimea pulsatorie este o mărime periodică a cărei valoare instantanee nu schim-bă de semn. Se numeşte puls porţiunea din mărimea pulsatorie limitată de intervalul unei perioade (fig. 2.2). Prin urmare, mărimea pulsatorie este o succesiune de pulsuri identice.

Mărimea alternativă este mărimea peri-odică a cărei valoare medie calculată pe o perioadă este nulă:

0ydtT1y~

T1

1

t

t

== ∫+

(2.7)

Porţiunile de curbă pentru care mărimea este pozitivă (y > 0), respectiv negativă (y < 0) se numesc alternanţe: alternanţa pozitivă, respectiv negativă. Ariile delimitate de aceste alternanţe sunt egale (fig. 2.3).

Fig. 2.2. Exemplu de mărime pulsatorie.t0

y

T

puls

Fig. 2.1. Exemplu de mărime periodică.

Tt

Ymaxy(t) y(t+T) YefYmed

0 t

y

0 t1 t

T

Fig. 2.3. Exemplu de mărime alternativă.

- 66 -

2.2. MĂRIMI SINUSOIDALE Mărimea sinusoidală sau armonică este mărimea alternativă a cărei expresie

analitică poate fi pusă sub forma în ″sinus″,

)tsin(Y)t(y m γ+ω= (2.8)

sau în ″cosinus″, )tcos(Y)t(y m δ+ω= (2.9) în care, Ym este valoarea maximă sau amplitudinea, unghiul variabil in timp ωt + γ, respectiv ωt + δ este faza (măsurată în radiani), iar valoarea fazei la momentul t = 0 – γ, respectiv δ este faza iniţială.

Valoarea medie a unei mărimi sinusoidale calculată cu relaţia dată este nulă:

0dt)tcos(TYdt)tsin(T

YY1

1

1

1

t

Tt

mTt

t

mmed ∫∫

+

+

=γ+ωω

=γ+ω= (2.10)

Pentru mărimile alternative se utilizează valoarea medie calculată numai pe o alternanţă:

mm0

2/Tm

2/T

0

mmed Y636,0Y2tcosT

Y2tdtsin2TYY ≈π=ωω=ω= ∫ (2.11)

Valoarea efectivă rezultă:

2Ydt)]t(2cos1[T2

Ydt)t(sinTYY

2m

T2m

T2

2m2

1

1

1

1

t

t

t

t

=γ+ω+=γ+ω= ∫∫++

(2.12)

respectiv, mm Y707,02

YY ≈= (2.13)

Raportul dintre valoarea efectivă şi valoarea medie (calculată pentru semiunda pozitivă) a unei mărimi se numeşte factor de formă:

medf Y

Yk = . (2.14)

Raportul dintre valoarea maximă şi valoarea efectivă se numeşte factor de vârf:

YYk m

v = (2.15)

În cazul mărimilor sinusoidale rezultă:

2 k;11,122Y22

Yk vm

mf =≈π=π⋅= . (2.16)

În electrotehnică se operează cu valorile efective ale mărimilor sinusoidale şi din acest motiv, ele se scriu de obicei sub forma:

)tsin(Y2)t(y γ+ω= . (2.17) De exemplu: ).tsin(I2;)tsin(U2 β+ω=α+ω= (t)(t) i u

O mărime sinusoidală este deci complet determinată dacă i se cunosc valoarea efectiva Y, pulsaţia ω şi faza iniţială γ.

Două mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă )tsin(Y2)t(y);tsin(Y2)t(y 222111 γ+ω=γ+ω= ,

sunt defazate dacă diferenţa fazelor lor, egală cu diferenţa fazelor iniţiale, este nenulă:

0)t(t 2121 ≠ϕ=γ−γ=γ+ω−γ+ω . (2.18)

- 67 -

y

0 ωt γ1

γ2

φ

y1y2

b)

y

0 ωtγ1

γ2 φ

y1 y2

a)Fig. 2.4. Defazajul undelor sinusoidale: a) unda y1 defazată înaintea undei y2;

b) unda y1 defazată în urma undei y2;

Diferenţa fazelor iniţiale se numeşte defazaj şi se măsoară în radiani. Unghiul de defazaj se notează, de obicei, cu φ = γ1 – γ2. Pot exista următoarele situaţii:

a) dacă 021 >γ−γ mărimea y1 este defazată înaintea mărimii y2 (fig. 2.4,a); b) dacă 021 <γ−γ mărimea y1 este defazată în urma mărimii y2 (fig. 2.4,b);

c) dacă 221π±=γ−γ mărimile sunt defazate în cuadratură;

d) dacă π±=γ−γ 21 mărimile sunt în opoziţie de fază. Noţiunea de defazaj între mărimile sinusoidale (în general, periodice) are sens numai dacă acestea au aceeaşi frecvenţă. Astfel, dacă frecventele mărimilor y1(t) şi y2(t) sunt diferite, diferenţa fazelor este variabilă în timp:

21212211 t)()t(t γ−γ+ω−ω=γ+ω−γ+ω (2.19) şi noţiunile ″defazat înainte″ sau ″defazat în urmă″ nu mai au sens.

2.3. PUTERI ÎN CIRCUITE MONOFAZATE ÎN REGIM SINUSOIDAL

Se consideră tensiunea şi curentul mărimi sinusoidale de forma

⎩⎨⎧

β+ω=

α+ω=

)tsin(I2,)tsin(U2

(t)

(t)

i u

(2.20)

la bornele unui circuit dipolar. Pentru circuitele dipolare liniare funcţionând în regim permanent sinusoidal se definesc următoarele puteri:

1 Puterea instantanee p(t) dată de produsul valorilor instantanee ale tensiunii şi curentului:

iup(t ⋅=) (2.21)

Înlocuind tensiunea şi curentul date de rel. (2.20), se obţine

)t2cos(UI)cos(UI)tsin()tsin(UI2 β+α+ω−β−α=β+ω⋅α+ω=⋅= iup . (2.22)

Puterea instantanee în regim sinusoidal conţine doi termeni: un termen constant în timp UIcos(α – β) = UIcosφ şi un termen sinusoidal, de frecvenţă dublă

)2t2sin(UI)t2cos(UI π−β+α+ω=β+α+ω−=op , (2.23)

numită putere oscilantă sau fluctuantă.

- 68 -

Din reprezentarea grafică din figura 2.5 se constată că pentru puterea instantanee pot exista intervale pe care aceasta este negativă, ceea ce înseamnă de fapt că în aceste intervale de timp puterea nu este primită, ci este cedată de circuit pe la borne spre exterior. Puterea instantanee negativă apare în circuitele care conţin, pe lângă rezistoare şi bobine sau condensatoare şi pentru care unghiul de defazaj φ = α – β este nenul. Intervalele pe care puterea instantanee este negativă corespund intervalelor de timp când energia magnetică sau electrică acumulată în câmpul magnetic al bobinelor sau în câmpul electric al condensatoarelor se transformă în energie electrică furnizată de circuit pe la borne.

2 Puterea activă P este dată de valoarea medie a puterii instantanee pe un interval de timp de o perioadă sau un multiplu întreg de perioade:

∫=T

0

dtT1P p . (2.24)

Efectuând integrala pentru puterea instantanee p dată de rel. (2.22) în care se notează cu φ = α – β unghiul de defazaj dintre tensiune şi curent (unghiul de defazaj al tensiunii faţă de curent), expresia puterii active în regim sinusoidal rezultă:

ϕ= cosUIP (2.25)

ωt

Fig. 2.5.

u,i,p,po

UIcosφ

po 0

φ

i

up

Unitatea de măsură pentru puterea activă se numeşte watt şi se notează cu W. Se folosesc şi multiplii: 1kW=103W; 1MW=106W;1GW=109W.

Integrala în timp a puterii active reprezintă energia electrică activă:

(2.26) ∫=t

0

PdtW

Unitatea de măsură pentru energia activă este watt⋅secundă (Ws) cu multiplii kilowatt⋅oră (kWh), megawatt⋅oră (MWh) şi gigawatt⋅oră (GWh).

Puterea activă pozitivă e primită, iar cea negativă e cedată de dipol, dacă sensu-rile de referinţă ale tensiunilor şi curenţilor sunt asociate după regula de la receptoare. Invers, puterea activă pozitivă e cedată, iar cea negativă e absorbită, dacă sensurile de referinţa ale tensiunilor şi curenţilor sunt asociate după regula de la generatoare.

Din expresia (2.25) a puterii active se observă dependenţa acesteia de defazajul φ dintre curent şi tensiune. La aceleaşi valori efective ale tensiunii la borne şi curentului, puterea activă variază în limite largi cu φ. Pentru φ = 0, puterea activă este maximă, P = UI (circuit pur rezistiv – puterea instantanee are numai valori pozitive).

- 69 -

Dacă (circuit cu bobina ideală sau cu condensator ideal), P = 0 şi deci puterea instantanee, egală cu puterea fluctuantă, oscilează între circuit şi sursa de alimentare.

2/π±=ϕ

În raport cu puterea activă, pentru circuitele de curent alternativ se definesc: - rezistenţa

0cosIU

IPR 2 >ϕ== ; (2.27)

- conductanţa 0cosU

IUPG 2 >ϕ== . (2.28)

Observaţie. Spre deosebire de circuitele de c.c. unde G = 1/R, în general, în circuitele de c.a. G ≠ 1/R.

3 Puterea aparentă S este dată de produsul valorilor efective ale tensiunii şi curentului:

S = U I (2.29)

Unitatea de măsură pentru puterea aparentă este voltamper (VA) cu multiplii: kVA, MVA, GVA.

Puterea aparentă reprezintă valoarea maximă a puterii active. În raport cu puterea aparenta se definesc:

- impedanţa ][ΩI

UISZ 2 == ; (2.30)

- admitanţa ]S[Z

1UI

USY 2 === . (2.31)

Se numeşte factor de putere raportul pozitiv dintre puterea activă P şi puterea aparenta S:

0SPKP ≥= (2.32)

În regim sinusoidal, factorul de putere rezultă:

ϕ= cosKP (2.33)

Cum unghiul de defazaj ia valori în domeniul 2/2/ π≤ϕ≤π− , rezultă: . 1K0 P ≤≤

4 Puterea reactiva Q este definită în regim sinusoidal prin relaţia:

ϕ= sinUIQ (2.34)

Unitatea de măsură a puterii reactive se numeşte volt-amper-reactiv (VAR). Se utilizează multipli: KVAR, MVAR, GVAR.

Puterea reactivă poate fi pozitivă sau negativă după cum urmează:

- pentru defazaj inductiv, 20 π≤ϕ< , puterea reactivă pozitivă este primită de

dipolul receptor şi cedată de cel generator;

- pentru defazaj capacitiv, 02 <ϕ≤π− , puterea reactivă negativă e cedată de

dipolul receptor şi primită de cel generator

- 70 -

În raport cu puterea reactivă se definesc: - reactanţa

ϕ== sinIU

IQX 2 >< 0 [Ω ]; (2.35)

- susceptanţa

ϕ== sinUI

UQB 2 >< 0 [S]. (2.36)

5 Triunghiurile puterilor, impedanţei şi admitanţei În regim sinusoidal, între puterile aparentă, activă şi reactivă existând relaţiile

SPcos,QPS 222 =ϕ+= , (2.37)

acestea pot reprezentate prin laturile unui triunghi dreptunghic ca în figura 2.6,a) numit triunghiul puterilor.

Pe baza triunghiului puterilor pot fi scrise şi alte relaţii, de exemplu:

PQtg,sinSQ,cosSP =ϕϕ=ϕ= (2.38)

G

Y

φ X

Z

φ R

b)

Q S

φ P

a)

B

c)

Fig. 2.6. Triunghiurile puterilor (a), impedanţei (b) şi admitanţei (c).

Dacă se împarte fiecare latură a triunghiului puterilor prin valoarea efectivă a intensităţii curentului la pătrat I2, se obţine un triunghi asemenea, triunghiul impedanţei (fig. 2.6,b). Pe baza acestui triunghi pot fi scrise relaţiile:

RXt,XRZ,sinZX,cosZR 22 =ϕ+=ϕ=ϕ= g (2.39)

Dacă se împarte fiecare latură a triunghiului puterilor prin valoarea efectivă a tensiunii la pătrat U2, se obţine un triunghi asemenea, triunghiul admitanţei (fig. 2.6,c), pe baza căruia se pot scrie unele relaţii cum sunt:

GBt,BGY,sinYX,cosYG 22 =ϕ+=ϕ=ϕ= g . (2.40)

- 71 -

2.4. REPREZENTAREA SIMBOLICĂ A MĂRIMILOR SINUSOIDALE 2.4.1. Reprezentarea în complex Prin această reprezentare se asociază mărimii sinusoidale o mărime complexă,

notată Y, numită imagine în complex simplificat sau valoare efectivă complexă, având modul egal cu valoarea efectivă Y şi argumentul egal cu faza iniţială γ a mărimii sinusoidale:

γ=⇔γ+ω= jYeY)tsin(Y2)t(y . (2.41)

Mărimea complexă se reprezintă în planul complex (+1,+j) printr-un vector fix, numit fazor complex simplificat, având modul egal cu valoarea efectiva Y şi formând cu axa reală un unghi egal cu faza iniţială γ a mărimii sinusoidale (fig. 2.7).

Axa imaginară

Y

+j

0 γ

Fig. 2.7. +1

Axa reală

Y

Regula de trecere inversă, de la imaginea în complex la funcţia original – mărimea sinusoidală, este dată de relaţia:

Ye2)t(y tjω= Im . (2.42) Într-adevăr,

)t(y)tsin(Y2Ye2eYe2Ye2 )t(jjtjtj =γ+ω=== γ+ωγωω ImImIm .

Între operaţiile cu mărimi sinusoidale şi operaţiile cu imaginile lor în complex există următoarele corespondenţe:

a) Operaţiei de multiplicare a mărimii sinusoidale y(t) cu un scalar real λ >< 0 îi

corespunde multiplicarea cu λ a modulului fazorului complex:

γλ=λ→λ jYeYy )t( (2.43) b) Sumării a două mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă y1(t) + y2 (t) = y(t), îi

corespunde fazorul complex dat de suma fazorilor complecşi ai mărimilor (fig. 2.8): γγγ =+=+=→+= jj

2j

12121 Ye2eYeYYYYyyy 21)t()t( (2.44) în care,

2211

22112121

22

21 cosYcosY

sinYsinYarctgγ;)cos(YY2YYYγ+γγ+γ=γ−γ++= . (2.45)

c) Derivării în timp a mărimii sinusoidale y(t), îi corespunde multiplicarea cu jω a imaginii în complex, respectiv multiplicarea cu ω modulului fazorului complex şi rotirea acestuia cu π/2 (în sens trigonometric): ωt+γ1

ωt+γ2

ωt+γ

yy1

2 Y1

2 Y2 y2

0 +1

2 Y

+j

2jeYYj)π

ω=ω→2tsin(Y2dtdy π+γ+ωω= (2.46)

Aşadar, operatorului de derivare dtd îi corespunde în

complex operatorul jω. În general, există corespondenţa:

Fig. 2.8.

.)(jωdtd;jωdt

d nn

n →→ (2.47)

- 72 -

a) Integrării în timp a mărimii sinusoidale îi corespunde împărţirea cu jω a imaginii în complex, respectiv împărţirea cu ω modulului fazorului complex şi rotirea acestuia cu –π/2 (în sens invers trigonometric):

. 2jeY1Yj1)2tsin(Y2ydt

π−

ω=

ω→π−γ+ω

ω=∫ (2.48)

Prin urmare, operatorului de integrare îi corespunde, în complex, operatorul de divizare cu jω. În general, în condiţii iniţiale nule, corespondenţa operatorilor este:

n)(jω1dt;jω

1dt n

→∗→∗ ∫∫ ∫∫ 43421L . (2.49)

Observaţie: Metoda reprezentării în complex simplificat se poate aplica numai mărimilor sinusoidale care au aceeaşi pulsaţie (frecvenţă).

2.4.2. Caracterizarea în complex a circuitelor dipolare în regim permanent sinusoidal

Se consideră tensiunea şi curentul mărimi sinusoidale a bornele unui circuit dipolar.

β=⇔β+ω=

=⇔α+ω=j

jα

IeI)tsin(I2

UeU)tsin(U2

(t)

(t)

i

u (2.50)

În regim sinusoidal, circuitul dipolar este caracterizat de o mărime complexă după cum urmează.

1 Impedanţa complexă Z definită prin raportul dintre imaginile în complex ale tensiunii şi curentului,

ss jj)(j ZeeIUeI

UIUZ ϕϕβ−α ==== . (2.51)

în care φs = α – β = φ este unghiul de defazaj al tensiunii faţă de curent. Expresia impedanţei complexe poate fi scrisă şi sub forma:

jXRsinIUj +=ϕ+cosI

UeIUZ sj ϕ== ϕ (2.52)

+1

Z

0 φs

+j

Z X

R

Impedanţa complexă are modulul egal cu impedanţa Z şi argumentul egal cu unghiul de defazaj φs = φ al circuitului, respectiv are partea reală egală cu rezistenţa R şi partea imaginară egală cu reactanţa X. Rezistenţa fiind pozitiv definită, fazorul impedanţei complexe este situat numai în semiplanul drept al planului complex (fig. 2.9).

Fig. 2.9.

2 Admitanţa complexă Y definită prin raportul dintre imaginile în complex ale curentului şi tensiunii,

pp jj)(j YeeIUeU

IUIY ϕϕα−β ==== . (2.53)

în care φp = β – α = – φ este unghiul de defazaj al curentului faţă de tensiune. Expresia admitanţei complexe poate fi scrisă şi sub forma:

- 73 -

jBGsinUIjcosU

IeUIY j −=ϕ−ϕ== ϕ− . (2.54)

Admitanţa complexă are modulul egal cu admitanţa Y şi argumentul egal cu unghiul de defazaj cu semn schimbat, φp = –φ, al circuitului, respectiv are partea reală egală cu conductanţa G şi partea imaginară egală cu susceptanţa cu semn schimbat, –B. Conductanţa fiind pozitiv definită, fazorul admitanţei complexe este situat, ca şi cel al impedanţei complexe, numai în semiplanul drept al planului complex (fig. 2.10).

+1+j

Y

0 φp= –φ

Y

G

B

Fig. 2.10.

2.4.3. Puterea complexă

Puterea instantanee p, egală cu produsul valorilor instantanee ale tensiunii şi curentului sinusoidali în timp, nefiind o mărime sinusoidală, nu poate fi reprezentată în complex. Problema puterii complexe constă în stabilirea unei mărimi complexe a cărei modul să fie puterea aparentă, iar argumentul unghiul de defazaj al circuitului, respectiv a cărei parte reală să fie puterea activă, iar partea imaginară să fie puterea reactivă.

În aceste ipoteze, pentru puterea complexă, notată cu S şi numită uneori putere aparentă complexă, există două expresii după cum urmează.

∗⋅= IUS , (2.55) în care ∗I este conjugatul curentului complex I .

Imaginile în complex ale tensiunii şi respectiv curentului fiind βα == jj IeI;UeU , (2.56)

rezultă: ϕ+ϕ===⋅=⋅= ϕβ−αβ−α∗ sinjUIcosUIUIeUIeIeUeIUS j)(jjj (2.57)

respectiv, S = Sejφ = P + jQ (2.58)

Aşadar, în această formă, puterea complexă are modulul egal cu puterea aparentă, S = UI, şi argumentul egal cu unghiul de defazaj al circuitului, φ = α – β, respectiv are partea reală egală cu puterea activă, P = UIcosφ, şi partea imaginară egală cu puterea reactivă, Q = UIsinφ. În planul complex (+1, +j), puterea complexă se reprezintă printr-un fazor complex care are proiecţia pe axa reală egală cu puterea activă şi proiecţia pe axa imaginară egală cu puterea reactivă, aşa cum se arată în figura 2.11.

+1

+jS

0 φ

S Q

P Fig. 2.11.

Puterea complexă mai poate fi exprimată şi sub forma: 222 jXIRIIZIIZIUS +==⋅=⋅= ∗∗ . (2.59)

,IUS ∗= (2.60) în care ∗∗ u , respectivU sunt conjugatele tensiunii complexe U, respectiv u. Utilizând relaţiile (2.105), rezultă:

ϕ−ϕ===⋅=⋅= ϕ−β−α−βα−∗ sinjUIcosUIUIeUIeIeUeIUS j)(jjj (2.61)

respectiv, S = Se–jφ = P – jQ (2.62)

- 74 -

Definită cu rel. (2.60), puterea complexă are modulul egal cu puterea aparentă S = UI şi argumentul egal cu unghiul de defazaj al circuitului cu semn schimbat, φp = β – α = – φ, respectiv are partea reală egală cu puterea activă, P = UIcosφ şi partea ima-ginară egală cu puterea reactivă cu semn schimbat, – Q = – UIsinφ. În planul complex această putere se reprezintă printr-un fazor complex care are proiecţia pe axa reală egală cu puterea activă şi proiecţia pe axa imaginară negativă egală cu puterea reactivă, aşa cum se arată în figura 2.12.

+1

S

0 φp = –φ

+j

Q

P

Fig. 2.12.

Expresia (2.109) a puterii complexe poate fi explicitată şi sub forma: 222 jBUGUUYUYUIUS −==⋅=⋅= ∗∗ (2.63)

Utilizarea a două expresii pentru puterea complexă este justificată de posibili-tatea caracterizării circuitelor în regim sinusoidal în două moduri: prin impedanţa complexă (circuite de tip serie), sau prin admitanţa complexă (circuite de tip paralel).

2.4.4. Forma în complex a legii lui Ohm (ecuaţia lui Joubert) Fie o latură de circuit activă, liniară, cu rezistor Rj, bobină Lj şi condensator Cj,

parcursă de curentul sinusoidal ij şi conţinând un generator cu tensiunea electromotoare sinusoidală ej (fig. 2.13). Rj Lj Cj ij

uj

uR uL uC

ej

(5)

(4)(3)(2)

(1)

φsΓ

Γ

Se consideră curba închisă Γ trasată de-a lungul conductoarelor, prin dielectri-cul condensatorului şi care se închide după curba tensiunii uj la bornele laturii, (1)–(5). Conform legii inducţiei electromagnetice, t.e.m. indusă (autoindusă) în bobină este: Fig. 2.13.

dtdsdEee S

sLΓψ−=== ∫

Γ

Γ (2.64)

în care sE este intensitatea câmpului electric solenoidal. Se efectuează integrala după curba închisă Γ a intensităţii câmpului electric total,

jS

isC edtdsd)EEE(sdE +ψ−=++= Γ∫∫

ΓΓ

(2.65)

în care: cc E,0sdE =∫Γ

fiind câmpul electrostatic, iar ji esdE =∫Γ

este t.e.m. a sursei.

Integrala din membrul întâi a ec. (2.65) se descompune astfel:

jCR

1

5

5

2

2

1jjsdEsdEsdEsdE uuu −+=++= ∫∫∫ ∫

Γ

(2.66)

Se notează cu dtde S

LjLjΓψ=−=u căderea inductivă de tensiune (tensiunea la

bornele bobinei şi din rel. (2.65) şi (2.66) rezultă:

jjj CLRjj uuueu ++=+ (2.67)

- 75 -

în care: jjRjjR IRUR jj =→= iu – tensiunea la bornele rezistorului;

jjLj

jL ILjUL jj ω=→= dtdiu – tensiunea la bornele bobinei;

jj

Cjj

C ICj1UdtC

1jj ω=→= ∫ iu – tensiunea la bornele condensatorului.

În complex, ecuaţia (2.116) se scrie:

jjjjjj

jjjjjj IZEUsauICj1ILjIREU =+ω+ω+=+ (2.68)

unde, jjj

jjj jXRC1LjRZ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ω+ω+= (2.69)

este impedanţa complexă proprie a laturii. Dacă bobina este cuplată magnetic cu alte l bobine, căderea inductivă de

tensiune este:

∑∑≠==

+==l

kl

jk

dtdi

dtdi

dtdiu

)jk(1k

kj1k

jkjL LLLj (2.70)

care, în complex se scrie:

∑≠=

ω+ω=l

)jk(

1kkkjjjLj ILjILjU (2.71)

Ecuaţiile (2.117) se completează astfel:

,IZIZEU,sauILjICj1ILjIREU

)jk(1k

kkjjjjj

)jk(1k

kkjjj

jjjjjj ∑∑≠=

≠=

+=+ω+ω

+ω+=+l

l

(2.72)

în care kjkj LjZ ω= este impedanţa complexă mutuală dintre bobinele j şi k. Pentru latura de circuit analizată (fig. 2.13) s-a

considerat convenţia de sensuri pentru receptoare. Dacă sensurile pentru tensiunea la borne şi curent se iau după regula pentru generatoare ca în figura 2.14, legea lui Ohm în complex se scrie:

ZI

U

E

Fig. 2.14.IZEU ⋅=+− . (2.73)

- 76 -

2.5. STUDIUL CIRCUITELOR DIPOLARE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 2.5.1. Analiza în complex a circuitelor dipolare simple Se considera succesiv circuitele liniare cu rezistor ideal, bobină ideală şi respec-

tiv condensator ideal sub tensiune sinusoidală la borne, considerată origine de fază (faza iniţială nulă, ∝ = 0):

u(t) = 2 Usinωt → UU = (2.74) şi se determină, utilizând şi reprezentarea în complex, curentul,

i(t) = 2 I sin(ωt+φ) → ϕ= jIeI (2.75) adică se determină valoarea efectivă I a curentului şi unghiul de defazaj ϕ al acestuia faţă de tensiune.

1) Circuitul cu rezistor iR(t) Circuitul cu rezistor ideal (fig. 2.11,a) are ecuaţia caracteristică:

uR = R⋅iR (2.76) Expresia curentului rezultă, u(t) R

0jRR eIR

UItsinRU2 ==⇔ω=R R= ui ,

respectiv, valoarea efectivă a curentului şi unghiul de defazaj GUR

UR ==I ; φR = 0. (2.77)

Aşadar tensiunea şi curentul sunt în fază (fig. 2.15,b şi 2.16). Puterile pe rezistor în regim sinusoidal sunt:

PR = UIRcosφR = RU2

2RI= R > 0; QR = 0; S = PR; (2.78)

Puterea activă PR reprezintă puterea electrică disipată pe rezistor prin efect Joule – Lenz.

2) Circuitul cu bobină.

Circuitul cu bobină liniară ideală (fig. 2.17,a) are ecuaţia caracteristică

dtdiuu L

L L== , (2.79)

din care se deduce curentul bobinei,

2πj

L eωLU I )2t(sinL

U2dt−

=⇔π−ωω= L L1)t( = ∫ ui ,

cu valoarea efectivă şi respectiv unghiul de defazaj

LL X

UL

UI =ω=; 2L

π−=ϕ , (2.80)

unde XL = ωL este reactanţa inductivă. Curentul este defazat în urma tensiunii cu π/2 (fig. 2.17,b şi 2.18).

Expresiile puterilor se deduc având în vedere că unghiul φ din definiţia puterilor este unghiul de

Fig. 2.15.

IR

a) U

b)

Fig. 2.17.

iL

u L φL = –φ

U

IL

a) b)

uL

0 ωt

iRu

Fig. 2.16.

iL

0 ωt

u

2πππ

2

Fig. 2.18.

- 77 -

defazaj al tensiunii faţă de curent, curentul fiind considerat origine de fază: φ = – φL.

PL = UILcosφ = 0; QL = UILsinφ = UILsin(–φL) = XL2LI > 0; S = QL; KL = 0. (2.81)

Puterea reactivă a bobinei fiind totdeauna pozitivă, bobina absoarbe putere reactivă din reţeaua de alimentare.

3) Circuitul cu condensator.

Circuitul cu condensator liniar (fig. 2.19,a) are ecuaţia caracteristică

dtdui CC = (2.82)

din care rezultă curentul,

;CUe I )2πt(sinωCU2 2

jC

π

ω=⇔+ωCC )t( == dtdui

cu valoarea efectivă şi respectiv unghiul de defazaj

CC X

UCUI =ω= ; 2Cπ=ϕ , (2.83)

unde XC =1/(ωC) este reactanţa capacitivă. Curentul condensatorului este defazat înaintea tensiunii cu π/2 (fig. 2.20,b şi 2.21).

Expresiile puterilor se deduc având în vedere că φ = – φC:

PC = UIC cosφ = 0;

QC = UICsinφ = – UIC = – ωCU2 < 0; S = CQ ; (2.84)

Puterea reactivă a condensatorului fiind negativă, condensatorul debitează putere reactivă.

2.5.2. Analiza în complex a circuitului RLC serie.

Rezonanţa de tensiuni. Circuitul cu elemente liniare ideale – rezistor, bobină şi condensator – conectate

în serie (fig. 2.21) sub tensiune sinusoidală la borne ϕ= jUe⇔ϕ+ω= U)tsin(U)t(u 2 , (2.85)

va fi parcurs de un curent sinusoidal de aceeaşi frecvenţă 0jIeItsinI)t(i 2 =⇔ω= , (2.86)

considerat origine de fază (faza iniţială nulă). Valoarea efectivă U a tensiunii şi unghiul de

defazaj ϕs dintre tensiunea şi curentul la bornele circuitului se determină utilizând reprezentarea în complex. Ecuaţia de tensiuni a circuitului este

∫++=++= idtC1

dtdiLRiuuuu CLR (2.87

şi, având în vedere corespondenţa operaţiilor, în complex se scrie: I

Cj1ILjIRUUUU CLR ω

+ω+=++= . (2.88)

Fig. 2.19.

iC

u C IC

φC = –φ U

a) b)

0 ωtiC

u

π2

π

Fig. 2.20.

2π

Fig. 2.21.

R CLi

u

uR uL uC

- 78 -

Diagrama fazorială a tensiunilor prezentată în figura 2.22 se construieşte luând ca referinţă (origine de fază) un fazor arbitrar pentru curentul I în raport cu care se trasează succesiv fazorul tensiunii pe rezistor IRU R = în fază (coliniar) cu curentul, fazorul tensiunii la bornele bobinei

ILjU L ω= , defazat înaintea curentului cu

ϕ IUR

UL

UC

U2π şi fazorul tensiunii

la bornele condensatorului ICj

1U C ω= , defazat în urma

curentului (în sens invers trigonometric) cu − 2π . Fig. 2.22.

Atât din diagrama fazorială din figura 2.22, cât şi din ecuaţia circuitului (2.88), rezultă:

( ) IZIC1LjRUUUU CLR ⋅=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

ω−ω+=−+= (2.89)

unde

jXRC1LjRI

UZ +=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

ω−ω+== (2.90)

este impedanţa complexă a circuitului RLC serie, cu partea reală rezistenţa R şi partea imaginară reactanţa echivalentă CL XXX −= , LX L ω= fiind reactanţa inductivă şi

C1X C ω

= reactanţa capacitivă. .

Valoarea efectivă U a tensiunii şi unghiul de defazaj ϕs rezultă:

arctgarctg , RC

1ωLRXIXRIZUU s

22 ω−

==ϕ⋅+=⋅== . (2.91)

Puterile activă, reactivă şi respectiv aparentă se deduc pe baza puterii complexe pentru φ = φs:

.L1LjRIIZIIZSsaujQPUIeIUS 22j ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

ω−ω+=⋅=⋅=+==⋅= ∗ϕ∗ (2.92)

respectiv, .UIS;QQIC1LQ;RIP CL

22 =+=⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

ω−ω== (2.93)

Un regim particular de funcţionare a circuitului este regimul de rezonanţă care apare în situaţia în care reactanţa echivalentă a circuitului se anulează, adică când reactanţa inductivă XL este egală cu reactanţa capacitivă XC, la o pulsaţie ω0, respectiv frecvenţă f0, numite de rezonanţă:

LC2

1f ;LC1f2ωC

1LXX 0000

0CL π==π=⇒ω=ω⇒= (2.94)

Din aceste relaţii se constată că fenomenul de rezonanţă se poate obţine la variaţia uneia dintre mărimile L, C sau f.

La rezonanţă, se constată că tensiunile pe bobină şi pe condensator sunt egale în valoare efectivă (în modul), dar în opoziţie de fază, astfel că se anulează reciproc, iar tensiunea la bornele circuitului este egală cu tensiunea pe rezistor, fiind în fază cu curentul, ϕs = 0. Impedanţa circuitului are valoarea minimă, Z0 = R şi curentul are valoarea maximă I0 = Imax = U/R.

- 79 -

Din diagrama fazorială pentru rezonanţă, figura 2,23), rezultă că tensiunile pe bobină şi pe condensator, egale, pot avea valori oricât de mari, uneori mai mari decât tensiunea U aplicată la bornele circuitului (pot apare supratensiuni), de unde şi denumirea de rezonanţă de tensiuni pentru rezonanţa circuitului serie. ϕs = 0

Fig. 2.23.

IU = UR

UL

UC

Valoarea reactanţei bobinei sau condensatorului la rezonanţă reprezintă impedanţa caracteristică:

CL

C1LZo

oC =ω=ω= (2.95)

iar raportul

CL

R1

CR1

RL

RZQ

0

0Cs =ω=

ω== . (2.96)

este factorul de calitate al circuitului RLC serie. Factorul de calitate Qs al circuitului arată de câte ori, la rezonanţă, tensiunea pe bobină sau pe condensator este mai mare ca tensiunea aplicată la bornele circuitului.

La rezonanţă, puterea reactivă a bobinei este egală şi de semn contrar puterii reactive a condensatorului, astfel că puterea reactivă a circuitului (schimbată de circuit pe la borne) este nulă.

2.5.3. Analiza în complex a circuitului RLC paralel.

Rezonanţa de curenţi.

Se consideră circuitul cu elemente liniare ideale – rezistor, bobină şi condensator – conectate în paralel (fig. 2.24) sub tensiune sinusoidală la borne

Fig. 2.24.

R L C

i

iL iCiR

0jUe=UtsinU2 ⇔ω= (t)u , (2.97)

considerată origine de fază. Curentul la bornele circuitului este de forma: u

( ) pjIeI ϕ−=ptsinI2 ⇔ϕ+ω= (t)i , (2.98)

Ecuaţia de curenţi în mărimi instantanee este

∫ + dtdCdt uu+=++= L

1R1 uiiii CLR . (2.99)

care, în complex, se scrie

UCjULj1UGIIII CLR ω+ω+=++= , (2.100)

în care: UGIR = este curentul prin rezistor, în fază cu tensiunea, G = 1/R – conductanţa

rezistorului, ULj1IL ω= este curentul prin bobină, defazat în

urma tensiunii cu –π/2 (în sens invers trigonometric), UCjIC ω= este curentul condensatorului, defazat înaintea

tensiunii cu π/2. Dacă ecuaţia (2.100) se scrie sub forma ϕp

I

RI

LI

CI U

UYUL1 =⎟⎠⎞

ω CjUGI ⎜⎝⎛ −ω+= , (2.101)

Fig. 2.25.b)

- 80 -

se pune în evidenţă admitanţa complexă a circuitului RLC paralel,

jBGY += , (2.102)

având partea reală egală cu conductanţa G şi partea imaginară egală cu susceptanţa echi-

valentă a circuitului, B = BC – BL, BC = ωC – susceptanţa capacitivă, BL = L

1ω

–

susceptanţa inductivă. Din ecuaţia (2.101) şi din diagrama fazorială a curenţilor prezentată în figura

2.25,b), se determină valoarea efectivă I a curentului şi unghiul de defazaj ϕp al curentului faţă de tensiune:

.GL/1C

GB;UBGUYII p

22 ω−ω==ϕ⋅+=⋅== arctgarctg (2.103)

Fenomenul de rezonanţă la circuitul RLC paralel se produce la anularea susceptanţei echivalente a circuitului, adică atunci când susceptanţa capacitivă BC este egală cu susceptanţa inductivă BL, la o pulsaţie ω0, respectiv frecvenţă f0 de rezonanţă, astfel:

LC21f,LC

1f2ωL1CBB 000o

0LC π==π=⇒ω=ω⇒= . (2.104)

Şi în acest caz, ca şi la circuitul RLC serie, rezonanţa se poate obţine la modificarea uneia dintre mărimile L, C sau f . La rezonanţa circuitului RLC paralel, curenţii prin bobină şi prin condensator au valori efective egale, dar sunt în opoziţie de fază, admitanţa echivalentă a circuitului are valoarea minimă, egală cu conductanţa rezistorului, Y = G, astfel încât curentul luat de circuit pe la borne are valoarea minimă, egală cu curentul prin rezistor:

ϕp = 0 IR = I U

CI LI

I = Imin = IR = GU. (2.105)

Dacă conductanţa scade, curentul minim scade şi el şi pentru G = 0 ⇒ I = 0, adică, la rezonanţă, circuitul RL paralel este echivalent cu un circuit deschis, numit şi circuit buşon. Din diagrama fazorială pentru regimul de rezonanţă prezentată în figura 2.26, rezultă că, la rezonanţă, curenţii prin bobină şi condensator pot avea valori oricât de mari, în anumite condiţii mai mari decât curentul luat de circuit pe la borne, de unde şi denumirea de rezonanţă de curenţi pentru rezonanţa circuitului RLC paralel.

Fig. 3.26.

Valoarea comună a susceptanţei bobinei şi condensatorului la rezonanţă reprezintă admitanţa caracteristică:

LC

L1CY0

0C =ω=ω= , (2.106)

iar raportul

LC

G1

LG1

GC

GYQ

0

0Cp =ω=

ω== (2.107)

este factorul de calitate al circuitului RLC paralel. Factorul de calitate Qp al circuitului arată de câte ori, la rezonanţă, valoarea efectivă a curentului prin bobină sau prin condensator este mai mare ca valoarea efectivă a curentului luat de circuit pe la borne.

- 81 -

Capitolul 3

CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

În tehnica actuală de producere, transport şi distribuţie a energiei electrice se utilizează aproape în exclusivitate sistemul trifazat. În principiu, un sistem trifazat este constituit dintr-un generator care produce trei tensiuni electromotoare alternative, o linie alcătuită din trei conductoare principale (de fază) şi receptorul cu impedanţele de sarcină conectate în stea sau în triunghi.

Generator trifazat

Receptor trifazat

Linie trifazată

3.1. SISTEME TRIFAZATE SIMETRICE DE MĂRIMI SINUSOIDALE Un sistem trifazat simetric de mărimi periodice de succesiune directă este un ansamblu ordonat de trei mărimi periodice y1d, y2d, y3d de perioadă T, care se succed la un interval de timp de T/3, astfel că mărimea y2d este în urma mărimii y1d şi y3d în urma mărimii y2d:

y1d(t) = yd(t); y2d(t) = yd(t – T/3); y3d = yd(t – 2T/3) (3.1)

în care yd(t) = yd(t + nT), n = 1, 2, 3, … , este o funcţie periodică de perioadă T. Dacă funcţia yd(t) este sinusoidală, se obţine sistemul trifazat simetric de mărimi sinusoidale de succesiune directă, constituit din trei mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă, având valori efective egale şi fiind defazate între ele cu un unghi de 2π/3

( ) ( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π−γ+ω=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ γ+−ω=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π−γ+ω=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ γ+−ω=

γ+ω=

34tsinY2)3

T2t(sinY2ty

32tsinY2)3

Tt(sinY2ty

tsinY2ty

ddd3

ddd2

dd1

(3.2)

cu următoarea reprezentare în complex:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

==

==

π−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π−γ

π−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π−γ

γ

34j

d3

4jdd2

32j

d3

2jdd2

dj

dd1

eYeYY

eYeYY

YeYY

(3.3)

Se notează cu a operatorul complex de rotaţie cu unghiul3

2π ,

- 82 -

23j2

13

2sinj32cosea 3

2j+−=π⋅+π==

π

(3.4)

care are următoarele proprietăţi: 0aa1;aa;aaa;1a 22123 =++==== −∗− . Utilizând operatorul a, scris pentru simplitate nesubliniat, fazorii sistemului trifazat simetric (3.3) se pun sub forma:

dd3d2

d2dd1 YaY;YaY;YY === . (3.5)

Având în vedere că , rezultă: 0aa1 2 =++ 0YYY d3d2d1 =++ respectiv, în mărimi instantanee, , ceea ce înseamnă că suma mărimilor unui sistem trifazat simetric de mărimi sinusoidale este totdeauna nulă.

0yyy d3d2d1 =++

În figura 3.1, a) se prezintă curbele de variaţie în timp ale mărimilor sistemului trifazat pentru fază iniţială nulă (γ = 0), iar în figura 3.1, b) se prezintă diagrama fazorilor complecşi.

0

y1d y2d y3d y1d

tω

0=γ3

2π π

34π π2

sens direct

+1

γ

d3Y

d1Y

d2Y

32π

32π

32π

32π

32π−

32π

+j

a) b) Fig. 3.1.

Analog se defineşte sistemul trifazat simetric de mărimi periodice de succesiune

inversă , în care mărimile se succed la un interval de T/3, astfel că mărimea yi3i2i1 y,y,y 2i este înaintea mărimii y1i şi y3i înaintea mărimii y2i

y1i(t) = yi(t); y2i(t) = yi(t + T/3); y3i = yd(t + 2T/3) (3.6)

unde yi(t) = yi(t + nT), n = 1, 2, 3, … , este o funcţie periodică de perioadă T. Dacă funcţia yi(t) este sinusoidală, se obţine sistemul trifazat simetric de mărimi

sinusoidale de succesiune inversă

( ) ( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+γ+ω=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ γ++ω=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+γ+ω=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ γ++ω=

γ+ω=

34tsinY2)3

T2t(sinY2ty

32tsinY2)3

Tt(sinY2ty

tsinY2ty

iii3

iii2

ii1

(3.7)

cu imaginile în complex:

i2

d3id2ii1 YaY;YaY;YY === . (3.8)

- 83 -

În figura 3.2, a) se prezintă curbele de variaţie în timp ale mărimilor sistemului trifazat pentru fază iniţială nulă (γ = 0), iar în figura 3.2, b) se prezintă diagrama fazorilor complecşi.

sens invers

+j

i3Y

γ

i2Y

i1Y

32π

32π−

32π

32π

32π−

+1

y3i y2i y1i y3i

0 tω

0=γ3

2π π

34π π2

32π−

i3Y

a) b)Fig. 3.2.

În mod normal, sistemele trifazate simetrice de tensiuni şi curenţi sunt de succesiune directă. Pentru simplificare, se renunţă la indicele “d” şi se scriu sub forma:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

π−α+ω=

π−α+ω=

α+ω=

)34tsin(U2)t(u

)32tsin(U2)t(u

)tsin(U2)t(u

3

2

1

;

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

π−β+ω=

π−β+ω=

β+ω=

)34tsin(I2)t(i

)32tsin(I2)t(i

)tsin(I2)t(i

3

2

1

. (3.9)

3.2. CONEXIUNILE SISTEMELOR TRIFAZATE

Se consideră trei sisteme monofazate de transmisie a energiei constituite din:

gg ,Z ϕ rr ,Z ϕ eT iT

uT uC

Zl

0T

T C

NC

gg ,Z ϕ rr ,ZeR

R iR A ϕ

uR uA

Zl

0R NA

gg ,Z ϕ rr ,Z ϕ eS iS

uS uB

Zl S

0S

B

NB

Generatoare monofazate

Receptoare monofazate

Linii monofazate

- 84 -

– trei generatoare cu t.e.m. sinusoidale în timp alcătuind un sistem trifazat simetric

( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

π−α+ω=

π−α+ω=

α+ω=

)34tsin(E2te

)32tsin(E2te

)tsin(E2te

gT

gS

gR

şi având impedanţele interioare identice: gjgggTgSgR eZZZZZ ϕ==== ;

– trei linii bifilare cu impedanţele conductoarelor identice l

lllllϕ==== j

TSR eZZZZZ ;

– trei receptoare monofazate cu impedanţe identice rj

rrrCrBrA eZZZZZ ϕ==== .

Curenţii iR, iS, iT prin circuite sunt defazaţi cu acelaşi unghi faţă de t. e. m. ale generatoarelor şi formează un sistem trifazat simetric:

ϕ

iR(t) = );tsin(I2 g ϕ−α+ω

iS(t) = )32tsin(I2 gπ−ϕ−α+ω ;

iT(t) = )3

4tsin(I2 gπ

−ϕ−α+ω .

Tensiunile la bornele generatoarelor uR, uS, uT şi tensiunile la bornele receptoarelor uA, uB, uC alcătuiesc, de asemenea, sisteme simetrice:

uR(t)= )tsin(U2 1g α+ω ; uS(t)= )32tsin(U2 1gπ−α+ω ; uT(t)= )

34tsin(U2 1gπ

−α+ω .

uA(t)= )tsin(U2 2r α+ω ; uB(t)= )3

2tsin(U2 2rπ

−α+ω ; uC(t)= )3

4tsin(U2 2rπ

−α+ω .

Fiecare generator de tensiune se numeşte fază generatoare (prescurtat fază). Cele trei circuite monofazate izolate se numesc necatenate. Un sistem trifazat este catenat dacă are legături conductoare între circuitele monofazate. Sunt posibile două conexiuni ale fazelor: în stea (respectiv cu fir neutru) şi în triunghi.

Sistemele trifazate de transmisie a energiei obţinute în acest fel se numesc simetrice (din punct de vedere al tensiunilor şi curenţilor care formează fiecare sisteme trifazate simetrice) şi echilibrate (din punct de vedere al impedanţelor, identice pentru fiecare circuit monofazat).

- 85 -

3.2.1. CONEXIUNEA ÎN STEA A SISTEMELOR TRIFAZATE

Receptor trifazat stea

gg ,Z ϕrr ,Z ϕ eR

R iR A

uRS uAB

Zl,ϕl

0eS iS rr ,Z ϕ S Bgg ,Z ϕ

eT iT rr ,Z ϕ T C

Zl,ϕl

gg ,Z ϕ uST uBCuTR uCA

N

AZ,ϕl

Linie trifazatăGenerator trifazat stea

a)

Receptor trifazat stea

Generator trifazat stea

uAN

Zl,ϕl

iN

iT

iS

iR

uCA

uAB

uT0

uS0

uR0

0

uTR

uST

uRS

R

T S

A

Zr,ϕr

uCN

uBN

N

uBC C B

Zr,ϕr

Zr,ϕr

Zl,ϕl

Zl,ϕl

Linii trifazată

b) Fig. 3.3. În figura 3.3, a) şi b) se prezintă, aranjată în două moduri, schema sistemului trifazat

generator – linie – receptor în conexiunea stea cu fir neutru. S-au notat cu:

0 – neutrul sau nulul generatorului; N – neutrul sau nulul receptorului;

Prin conectarea în stea, curenţii prin fazele generatorului, prin conductoarele liniei şi prin impedanţele receptorului sunt neschimbaţi. Cei trei curenţi prin conductoarele principale (de fază) ale liniei formând un sistem trifazat simetric, au suma nulă. Rezultă că curentul iN prin conductorul N0, numit conductor de nul sau fir neutru, este nul, iN = iR + iS + iT = 0, şi acest conductor (trasat cu linie întreruptă în fig. 2.1) poate fi suprimat, obţinându-se astfel conexiune stea fără fir neutru. Se numesc tensiuni de linie sau compuse tensiunile dintre două borne ale generatorului sau ale receptorului, egale cu tensiunile dintre conductoarele liniei la generator, respectiv la receptor. Astfel, tensiunile uRS, uST şi uTR sunt tensiunile de linie la generator, iar tensiunile uAB, uBC şi uCA sunt tensiunile de linie la receptor.

- 86 -

Se numesc tensiuni de fază, simple sau stelate, tensiunile pe fazele generatorului sau pe impedanţele de fază ale receptorului, respectiv, la conectarea în stea, tensiunile dintre bornele generatului şi neutrul acestuia şi tensiunile dintre bornele receptorului şi neutrul acestuia. Astfel, tensiunile uR0, uS0 şi uT0 sunt tensiunile de fază la generator, iar tensiunile uAN, uBN şi uCN sunt tensiunile de fază la receptor. Curenţii de linie, sunt curenţii de pe conductoarele liniei, respectiv iR , iS şi iT, iar curenţii de fază sunt curenţii prin fazele generatorului sau prin impedanţele receptorului. Este evident că la conexiunea în stea a sistemelor trifazate, curenţii de linie coincid cu curenţii de fază. Notând cu Ifg şi respectiv Ifr valorile efective ale curenţilor prin fazele generatorului şi respectiv prin impedanţele de sarcină ale receptorului şi cu Il valoarea efectivă a curentului prin conductoarele liniei, rezultă:

Ifg = Ifr = Il

Fiecare tensiune de linie de la generator sau de la receptor se compune din câte două tensiuni de fază de la generator, respectiv de la receptor. Astfel tensiunile de linie la generator se pot scrie:

uRS = uR0 – uS0; uST = uS0 – uT0; uTR = uT0 – uR0. De exemplu:

uRS(t)= )6tsin(U2)32tsin(U2)tsin(U2 1

)g(1

)g(f1

)g(f

π+α+ω=π−α+ω−α+ω l

în care s-a notat cu = U)g(fU g valoarea efectivă a tensiunii de fază şi cu valoarea efectivă

a tensiunii de linie la generator

)g(U l

)g(f

)g(l U3U =

Se demonstrează astfel că tensiunile de linie la generator alcătuiesc un sistem trifazat simetric

)6tsin(U2u 1)g(

lRSπ+α+ω=

)32

6tsin(U2u 1)g(

lSTπ−π+α+ω=

)34

6tsin(U2u 1)g(

lTRπ−π+α+ω=

fiind defazate cu unghiul π/6 înaintea tensiunilor de fază. Similar, tensiunile de linie la receptor se scriu:

0A0CCA0C0BBC0B0AAB uuu;uuu;uuu −=−=−=

=π+α+ω=π−α+ω−α+ω= )6tsin(U32)32tsin(U2)tsin(U2)t(u 2

)r(f2

)r(f2

)r(fAB

)6tsin(U2 2)r(

lπ+α+ω= ,

în care s-a notat cu

r)r(

f UU = – valoarea efectivă a tensiunii de fază la receptor; )r(

f)r(

l U3U = – valoarea efectivă a tensiunii de linie la bornele receptorului. Prin conexiunea în stea a unui sistem trifazat echilibrat şi simetric la generator, respectiv la receptor, valoarea efectivă a curentului de linie este egală cu valoarea efectivă a curentului de fază, iar valoarea efectivă a tensiunii de linie este de 3 ori mai mare decât a tensiunii de fază.

.IIU3U ff == ll ,

- 87 -

3.2.2. CONEXIUNEA ÎN TRIUNGHI A SISTEMELOR TRIFAZATE

Receptor trifazat triunghi

Generator trifazat triunghi Linie trifazată

eR R iR A

uRS uAB

Zl,ϕl

eS iS S B

eT iT T C

uST uBCuTR

Zl,ϕl

Zl,ϕl

a)

iRS

iST

iTR

Zr,ϕr

Zr,ϕr

Zr,ϕr

uCA

iAB

iBC

iCA

Zg ,ϕg

Zg ,ϕg

Zg ,ϕg

uCA

Zl,ϕl

Zl,ϕl

Zl,ϕl

A

B S

R

uRS

uST

iRS

uAB

uBC

T

iAB

iR

iS

uTR

Zg ,ϕg

Zg ,ϕg

iBC

iCAiSTiTR

Generator trifazat în triunghi

Receptor trifazat în triunghiLinie trifazată

Zg ,ϕg

Zr,ϕrZr,ϕr

b)

iT

C

Fig. 3.4.

Schema sistemului trifazat generator – linie – receptor în conexiunea triunghi este prezentată, aranjata sub două forme, în figura 3.4, a) şi b), în care s-au notat astfel:

iRS, iST, iTR = curenţii prin fazele generatorului – curenţii de fază la generator;

iAB, iBC, iCA = curenţii prin impedanţele receptorului – curenţii de fază la receptor;

iR, iS, iT = curenţii prin conductoarele liniei – curenţii de linie.

Se observă că fiecare curent de linie se compune din doi curenţi de fază de la generator sau din doi curenţi de fază de la receptor. Astfel, funcţie de curenţii de fază de la generator, curenţii de linie sunt:

TRSTTRSSTSTRRSR iii;iii;iii −=−=−= De exemplu:

=π−ϕ−α+ω−ϕ−α+ω= )34tsin(I2)tsin(I2i g

)g(fg

)g(fR

)6

tsin(I2)6

tsin(I32 glg)g(

fπ

−ϕ−α+ω=π

−ϕ−α+ω=

unde s-a notat cu valoarea efectivă a curentului de fază la generator şi cu )g()g(f II = )g(

fl I3I = valoarea efectivă a curentului linie.

- 88 -

Curenţii de linie alcătuiesc sistem trifazat simetric )6tsin(I2)t(i glR

π−ϕ−α+ω= ;

)32

6tsin(I2)t(i glSπ−π−ϕ−α+ω= ;

)34

6tsin(I2)t(i glTπ−π−ϕ−α+ω= ;

fiind defazaţi în urma curenţilor de fază cu un unghi de π/6 şi având valoarea efectivă de 3 ori mai mare ca valoarea efectivă a curenţilor de fază de la generator. Relaţiile dintre curenţii de linie şi curenţii prin fazele receptorului sunt:

BCCATABBCSCAABR iii;iii;iii −=−=−= Procedând în mod similar, rezultă şi în acest caz că valoarea efectivă a curenţilor de

linie este de 3 ori mai mare ca valoarea efectivă a curenţilor de fază de la receptor )r(

fl I3I = .

Este evident că tensiunile de linie de la generatorul sau de la receptorul conectat în triunghi coincid cu tensiunile de fază, având deci valori efective egale:

.UU;UU )r(f

)r(l

)g(f

)g(l ==

unde tensiunile de linie la generator, respectiv la receptor. )r(l

)g(l U,U

Prin conexiunea triunghi a unui sistem trifazat simetric la generator, respectiv la

receptor, valoarea efectivă a tensiunii de linie este egală cu cea a tensiunii de fază şi valoarea efectivă a curentului de linie este de 3 ori mai mare decât valoarea efectivă curentului de fază

ff I3IUU ⋅== ll , .

2.3. PUTERI ÎN CIRCUITE TRIFAZATE ECHILIBRATE ALIMENTATE CU TENSIUNI SIMETRICE

Se consideră receptorul trifazat echilibrat alimentat cu un sistem trifazat simetric de

tensiuni sinusoidale: f0Tf2

0Sf0R UaU,UaU,UU === (fig. 3.5). Puterea instantanee la bornele circuitului poate fi

determinată aplicând unei suprafeţe închise care conţine în interior receptorul teorema energiei electromagnetice. Se obţine astfel:

IR VR

IS VS

IT VT

V0

UT0

US0

UR0

I0

R p = vRiR + vSiS + vTiT + v0i0

Potenţialele şi curenţii fiind sinusoidali, puterea complexă este:

∗∗ − 00TT IVIVS ∗∗ ++= SSRR IVIVDeoarece TSR0 IIII ++= , înlocuind I0 se obţine:

Fig. 3.5. ∗∗∗ −+−+−= T0TS0SR0R I)VV(I)VV(I)VV(S respectiv,

∗∗∗ ++= T0TS0SR0R IUIUIUS

- 89 -

Întrucât şi curenţii formează sistem trifazat simetric, f0Tf2

SfR IaI,IaI,II === , înlocuind tensiunile şi conjugaţii curenţilor complecşi, se obţine:

jQPIU3I)a(UaI)a(UaIUS fffff2

f2

ff +==++= ∗∗∗∗∗∗ ,

unde s-a ţinut cont că: 1a,aa,a)a( 322 === ∗∗ . Dacă ϕ este unghiul de defazaj dintre tensiune şi curent pe fiecare fază, separând părţile reală şi imaginară ale puterii complexe, se obţin expresiile puterii activă P şi respectiv reactivă Q:

ϕ= cosIU3P ff ,

ϕ= sinIU3Q ff .

Puterea aparentă este dată de modulul puterii complexe: ffIU3S= .

Dacă receptorul este conectat în stea, relaţiile dintre curenţii şi tensiunile de linie şi cei de fază sunt: ff II,U3U == ll , iar expresiile puterilor funcţie de mărimile compuse (de linie) devin:

.IU3S;sinIU3Q;cosIU3P llllll =ϕ=ϕ=

Dacă receptorul este conectat în triunghi, ff I3I,UU == ll şi înlocuind se obţin aceleaşi relaţii pentru puteri.

Se observă că pentru măsurarea puterii, de exemplu a puterii active, este suficient un singur wattmetru a cărei bobină de tensiune se montează între conductorul pe care este înseriată bobina de curent şi conductorul de nul (fig. 3.6,a).

Dacă neutrul receptorului nu este accesibil, se realizează un neutru artificial cu ajutorul a trei rezistoare de aceeaşi rezistenţă ca în figura 3.6,b).

Zs

R I *

Pw

a)

* U

S

RI*

Pw

P=3Pw

S

0

R R R

T

U *

Zs

0

T

b)

Fig. 3.6.

- 90 -

Partea a III-a

ELECTRONICA

SIMBOLURILE ŞI CARACTERISTICILE STATICE ALE ELEMENTELOR DE CIRCUIT

1. REZISTOARE 1.1. Rezistoare fixe

Simbolizare: R R R

Parametri: o Rezistenţa electrică R – se măsoară în ohmi (Ω) o Rezistenţa nominală Rn – valoarea marcată pe corpul rezistorului o Puterea disipată nominală Pn (W) – puterea maximă pe care o poate disipa

rezistorul la temperatura ambiantă de 70oC, în funcţionare continuă, când tensiunea nominală limită nu este depăşită: Pd = RI2 = GU2.

o Toleranţa – abaterea maximă, în procente (%), a rezistenţei de la valoarea nominală.

În funcţie de toleranţă, valorile rezistenţelor sunt împărţite în clase de valori:

E6 (± 20%); E12 (± 10%); E24 (± 5%); etc.

Numărul seriei arată câte valori sunt cuprinse într-o decadă de valori: 1 + 10, 10 + 100, 100 +1000, etc. De exemplu, clasa E6 conţine valorile: 1, 1.5, 2.2, 3.3, 4.7, 6.8 pe prima decadă, respectiv aceste valori multiplicate cu 10n ( n = 1, 2, …) pentru celelalte decade.

Marcarea rezistoarelor: se face în clar sau prin codul culorilor. Marcarea în clar: 10Ω 10, 10KΩ 10K, 10MΩ 10M, 1.5kΩ 1k5, 4.7MΩ 4M7. A B C D Marcarea prin codul culorilor se face prin benzi colorate:

A prima cifră semnificativă, B a doua cifră semnificativă, C multiplicator, D toleranţă.

Prima cifră semnificativă este dată de banda colorată cea mai apropiată de un terminal. Semnificaţia culorilor este prezentată în tabelul 1.1.

Tabelul 1.1.

Argin-tiu Auriu Negru Maro Roşu Porto-

caliu Gal- ben Verde Albas-

tru Violet Gri Alb

A - - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B - - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 10+2 10+1 1 10 102 103 104 105 106 107 D ± 10% ± 5% ± 2% fără culoare: ± 20%

- 91 -

În schemele electrice, valorile puterilor nominale se simbolizează astfel:

Variante constructive

0,25W 1W 10W 0,125W 0,25W 0,5W 5W

a) Rezistoare bobinate – bobinate cu fir rezistiv de manganină, constantan, aliaje Cu – Ni sau Cr – Ni, etc. Exemple:

o RBC – rezistoare bobinate cimentate – fir bobinat pe un suport elastic din fibră de sticlă, valori: (1 … 39) Ω, (2, 3, 5,7, 9)W;

o RBA, RBT – rezistoare bobinate în corp ceramic, (2 … 20)W. b) Rezistoare peliculare – cu peliculă de carbon (RCG) sau cu peliculă metalică

(RMG, RPM – peliculă de Cr, Ni, W, Tantal, etc.), valori: 10Ω + 10MΩ, (0.05 + 2)W. 1. 2. Rezistoare variabile – potenţiometre

Simbolizare:

R R R R

Variante constructive - după mişcarea cursorului: liniare, rotative, semireglabile (ajustabile); - tehnologie: bobinate, cu peliculă metalică, cu peliculă de carbon 2. TERMISTOARE

Simbolizare: R

to

R

to

Au o variaţie mare a rezistenţei cu temperatura. Se obţin prin sinterizare la peste 1000OC a pulberilor semiconductoare pe bază de oxizi de Fe, Cr, Mn, Co, Ni.

Coeficientul de temperatură al rezistenţei: TR

T1

T ∆∆=α . Uzual αT = (3+ 6)%/OC.

– NTC = termistoare cu αT < 0; – PTC = termistoare cu αT > 0. 3. VARISTOARE Rezistoare neliniare (semiconductoare) obţinute prin sinterizare la temperaturi

înalte (peste 1000OC) din pulberi de carbură de siliciu sau oxid de zinc. Rezistenţa este puternic neliniară, depinzând de tensiunea aplicată.

Simbolizare: Fig. 3.1. Caracteristica statică tensiune – curent U

I

-Ua

Ua 0

- 92 -

Varistoarele sunt utilizate pentru protecţia la supratensiuni. La creşterea tensiunii la bornele variatorului peste valoarea de amorsare Ua (fig. 3.1), rezistenţa dinamică scade brusc la zero, limitând supratensiunile la această valoare.

4. CONDENSATOARE

Simbolizare: C +

nepolarizate

+ +

polarizate(electrolitice)

semire-glabile

variabile de trecere

Parametri o Capacitatea electrică C – unitatea de măsură în S.I. se numeşte Farad (F); o Capacitatea nominală Cn – valoarea marcată pe condensator; o Tensiunea nominală Un – tensiunea continuă ce poate fi aplicată permanent

pe terminalele condensatorului, la temperatura maximă de 40OC; o Tensiunea de categorie Uc – tensiunea continuă sau alternativă ce poate fi

aplicată unui condensator la temperatura maximă a categoriei sale; o Toleranţa – abaterea maximă, în procente (%), a capacităţii de la valoarea

nominală. Ca şi în cazul rezistoarelor, condensatoarele sunt grupate în serii de valori: E6 (± 20%); E12 (± 10%); E24 (± 5%); etc.

Capacitatea nominală şi toleranţa pot fi marcate în clar sau, în cazul condensa-toarelor ceramice, prin codul culorilor, similar celui din cazul rezistoarelor.

Variante constructive a) Condensatoare cu dielectric hârtie – condensatoare cu hârtie împregnată

cu ulei, ceară, cu hârtie metalizată sau cu dielectric mixt (hârtie uleiată şi polipropilenă). Au diferite utilizări: condensatoare de c.a. (nepolarizate), de impulsuri, de deparazitare, auto, pentru pornirea motoarelor, pentru protecţia redresoarelor, etc.

b) Condensatoare cu dielectric film plastic – condensatoare cu film plastic de: polietilentereftalat (mylar), polistiren (styroflex), policarbonat sau polipropilenă.

c) Condensatoare polarizate – condensatoare electrolitice, condensatoare cu tantal şi electrolit solid.

d) Condensatoare ceramice – condensatoare ceramice fixe tip disc, plachetă, multistrat; condensatoare ceramice ajustabile de tip disc sau tubulare (trimer). Au valori cuprinse în domeniul 1,5 ÷ 1000 pF şi tensiuni înalte, 500V ÷ 3kV.

5. BOBINE ŞI TRANSFORMATOARE Bobinele pot fi fixe sau variabile (ajustabile), cu sau fără miez.

fixe, fără miez

L

L

L

Lfixe, cu miezferomagnetic

Lajustabile (de radiofrecvenţă)

Simbolizare:

Parametrii bobinelor: inductivitatea L [H, mH, µH], curentul nominal In [A], tensiunea nominală Un [V], frecvenţa f [Hz].

- 93 -

Transformatoarele pot fi: fără miez sau cu miez (feromagnetic sau de ferită), de tensiune (de alimentare), de impulsuri, de radiofrecvenţă, pentru separare galvanică, etc. Pot avea una sau mai multe înfăşurări primare şi secundare.

fixe reglabile

Autotransformatoare

fără miez

Simbolizare: Transformatoare

cu miezde ferită

cu miezferomagnetic

Autotransformatoarele sunt transformatoare speciale caracterizate prin faptul că au o singură înfăşurare utilizată, atât ca înfăşurare primară, cât şi ca înfăşurare secundară. Pot fi fixe sau reglabile. Dezavantajul principal al autotransformatoarelor este lipsa separării galvanice între circuitul primar şi cel secundar.

Parametrul caracteristic principal al transformatoarelor (autotransformatoarelor) este raportul de transformare dat de raportul numărului de spire din primar şi secundar, respectiv de raportul tensiunilor primară şi secundară:

2

1

2

1

UU

NNk ≅= . (5.1)

6. DIODE SEMICONDUCTOARE

6.1. Dioda redresoare Dioda semiconductoare convenţională – dioda redresoare – conţine două

straturi cu tip de conducţie diferit care formează joncţiunea p-n la care sunt conectate două terminale: anodul (A) conectat la stratul p şi catodul (C) conectat la stratul n.

A CSimbolizare

A C A Cp n C(Catod)(Anod)

A c

Structură

Caracteristica statică tensiune – curent (volt – amper, V–A) a diodei semiconductoare ideale este reprezentată grafic în figura 6.1. La polarizarea directă prin aplicarea pe anod a unei tensiuni pozitive faţă de catod, dioda intră în conducţie dacă tensiunea depăşeşte valoarea Vp, numită tensiune de prag:

Vp = (0,5 … 0,6)V – diode cu siliciu; Vp = (0,2 … 0,5)V – diode cu germaniu. VF = (0,7 … 1)V – căderea de tensiune

pe dioda (dioda cu Si) în conducţie directă. La polarizarea inversă (tensiunea pe

anod negativă faţă de catod), dacă tensiunea inversă VR nu depăşeşte valoarea de străpungere VBR (Breakdown Voltage), dioda este blocată, fiind parcursă de un curent invers foarte mic I0, numit şi curent rezidual, de fugă sau de saturaţie la polarizare inversă.

Fig. 6.1. Caracteristica statică V–A a diodei semiconductoare.

0 VVBR I0VR

Vp

VF

Stră

pung

ere

Polarizareinversă

(blocare)

VI I

Polarizaredirectă

(conducţie)

- 94 -

6.2. Dioda Zener (dioda stabilizatoare de tensiune) Dioda Zener este utilizată în regim de polarizare inversă (tensiune anodică

negativă faţă de catod), când tensiunea este constantă (stabilizată) pe o plajă largă de variaţie a curentului (fig. 6.2).

VVR

Vzmin

IVzn

Izmax

Izmin

Izn

A K

Simbolizare

A K

Fig. 6.2. Caracteristica statică a diodei Zener

KIz

+

A

VR

Parametri: o Vzn – tensiunea nominală de stabilizare (pentru un curent Izn specificat); o Izmax – curentul invers maxim în regim de stabilizare; o αvz – coeficient de variaţie a tensiunii stabilizate cu temperatura; o Pdmax – puterea disipată maximă.

Exemple DZ1 ÷ DZ51 : Pdmax = 0,4W, Vzn = (0,75 ÷ 51)V, αvz = (–20 ÷ 12)⋅10-4/oC; PL3V3Z ÷ PL200Z : Pdmax = 1W, Vzn = (3,3 ÷ 200)V, αvz = (–6 ÷ 10)⋅10-4/oC.

6.3. Diode cu efect de străpungere bidirecţional

Dioda bidirecţională (varistor)

Dioda supresoare (Zener bidirecţională)

V

I

1.6.4. Diode rapide de comutaţie Din această categorie, în electronica de putere se utilizează mai des:

o diode difuzate cu joncţiuni p-n (toff ≥ 5µs, In ≤ 1000A); o diode cu contact metal – semiconductor sau dioda Schottky

V

I

0VBR

VBO

KAK

Dioda Schottky foloseşte în locul joncţiunii semiconductoare p-n o joncţiune de tip metal – semiconductor. Este numită şi tiristor – diodă cu blocare în invers, caracteristica statică tensiune – curent (V–A) fiind similară celei a tiristoarelor. Timpii de comutaţie (de blocare) sunt foarte mici, toff = (0,05 ÷ 0,1)µs, curenţi între 1 ÷ 80A.

Cb

[pF]

0 5 10 15 20 25

12

43

Tens. inversă VR [V]

6.5. Dioda varicap Foloseşte proprietatea joncţiunii p-n

de a prezenta, la polarizare inversă, o capacitate dependentă de tensiunea inversă VR aplicată.

- 95 -

6.6. Fotodioda Fotodioda utilizează fenomenul generării perechilor de electron – gol al

joncţiunii p-n sub influenţa luminii. La polarizare inversă, intensitatea curentului (fotocurentului) IE fotodiodei este dependent de valoarea iluminării E.

Fotodioda

A K A K

IEhv

V

I

0

IE

E = 0 VR

E

6.7. Dioda electroluminiscentă (LED) Diodele electroluminiscente (LED – Light Emitting Diodes) sunt joncţiuni

semiconductoare care, polarizate direct, emit radiaţii optice (fotoni) în zonele de infraroşu ale radiaţiei electromagnetice.

LED

A K A K

50

Iφ [mW]

I[mA]0

4

2

100 7. TRANZISTOARE 7.1. Tranzistorul bipolar Tranzistorul bipolar este un dispozitiv semiconductor comandabil cu trei straturi

pnp sau npn, având trei terminale: colectorul – C, emitorul – E, baza – B.

Fig. 7.1. Caracteristicile statice

IC

Tranzistorul npn

0

Străpungerela polarizare

inversă

EC

+ – E

IB= 0

Dreapta de sarcină

IB crescător

ICmax

2

1

UCEsat

ICE0

UCEmaxUCEmin

Pdmax

UCE

E

C

B

E Tranzistorul pnp

C

C

ICRC

RB

IB

BUCE

B

Simboluri grafice

În regim liniar, curentul de colector IC este o funcţie de curentul de bază IB:

IC = βNIB + ICE0 (7.1)

în care βN (notat şi cu βF sau h21E) este coeficientul de amplificare în curent bază – emitor, ICE0 = (βN + 1)ICB0 este curentul rezidual direct colector – emitor, ICB0 – curentul rezidual al joncţiunii colector – bază la polarizare inversă.

- 96 -

Ecuaţia dreptei de sarcină este:

EC = RCIC + UCE (L1.3)

Pentru o anumită tensiune colector – emitor UCE la IB = 0, tranzistorul este blocat şi prin acesta circulă curentul rezidual ICE0 (punctul 1 din fig. 7.1). Prin creşterea curentului de bază IB se poate ajunge în zona de saturaţie (punctul 2 din fig. 7.1), când prin tranzistor circulă un curent de colector mare la o tensiune de saturaţie relativ mică (UCEsat ≅ 0,5V).

7.2. Tranzistorul unijoncţiune (TUJ)

Caracteristica statică

VP 0 VE

Saturaţie

VV

Rd<0

Blocare

I

Structură - polarizare Simbolul grafic

+-

B2 (Baza 2) B2

p

VE +-

I

Rs

EBB

n

B1 EE

E

REB1 (Baza 1)

E (Emitor)

7.3. Tranzistoare cu efect de câmp (TEC) a) Tranzistoare cu poartă joncţiune (TEC – J)

Caracteristici statice TEC–J canal n

+-

Simboluri grafice

D

SCanal p

G

D(Drenă)

S(Sursă)

Canal n

(Grilă)

Structură, polarizare

D

UGS+- E

S

Rs

ID

p n

0

ID

UDS

UGS<0

UGS=0

GG

b) Tranzistoare cu poartă izolată (TEC – MOS)

S

D

0 Canal p Canal n UDS

UGS>0

UGS=0

ID

G

S

D

G

TEC – MOS cu canal indus

S

D

0 Canal p Canal n

UGS>0

UGS=0

ID

UDSS

D

UGS<0G G

TEC – MOS cu canal iniţial

- 97 -

8. TIRISTOARE 8.1. Tiristorul convenţional (SCR)

Fig. L1.5. Caracteristici statice

0 V

I

VBR IR

Blocare la polarizare inversă

Conducţie directă

VBO

IH

IL

VF

IG1>IG2>IG3

VI

IG

-+

Simboluri grafice

(Catod)Kn

G (Poartă)Structura

n p A

(Anod) p

A

G

G

KA

K

Tiristoarele sunt dispozitive semiconductoare comandabile cu o structură formată din patru sau mai multe straturi semiconductoare cu tip de conducţie diferit. Astfel, structura tiristorului în construcţie normală, numit şi tiristor convenţional (SCR), conţine patru straturi semiconductoare în serie, p-n-p-n.

Tiristorul convenţional are trei electrozi: o nodul A conectat la stratul p marginal; o catodul K conectat la stratul n marginal; o electrodul de comandă G, numit poartă sau grilă (gate), conectat la stratul p

dinspre catod. În lipsa unui semnal de comandă pe poartă, tiristorul este blocat şi nu permite

trecerea curentului electric în ambele sensuri, indiferent de polaritatea tensiuni aplicată între anod şi catod. Dacă această tensiune nu depăşeşte o valoare limită de străpungere la polarizare inversă (VBR) sau de basculare la polarizare directă (VBO), prin tiristor, ca şi în cazul diodei, circulă un curent rezidual de valoare neglijabilă.

Caracteristica statică a tiristorului la polarizare inversă (anodul negativ faţă de catod, A–,K+) este asemănătoare cu cea a diodei. Pentru tensiuni mai mici ca tensiunea de străpungere VBR (Breakdown Voltage), prin tiristor circulă curentul rezidual IR.

În mod normal, amorsarea sau intrarea în conducţie a tiristorului se realizează la polarizarea directă (anodul pozitiv faţă de catod) prin aplicarea pe poartă a unei tensiuni pozitive faţă de catod, respectiv prin injectarea unui curent IG dinspre poartă spre catod. Rolul curentului de poartă IG este de a injecta goluri în stratul interior p care, împreună cu electronii stratului n de catod, provoacă avalanşa joncţiunii mediane de comandă şi aduce tiristorul în stare de conducţie. Dacă la comanda porţii curentul anodic depăşeşte o valoare limită IL, numit curent de agăţare (Latching current) sau curent de acroşare (IL < 0,01In), tiristorul rămâne în conducţie şi după anularea curentului de poartă. Creşterea curentului de poartă conduce la micşorarea tensiunii de amorsare a tiristorului aşa cum se arată în figura.

Pentru ca tiristorul aflat în conducţie la polarizare directă să nu se stingă (blocheze), trebuie ca curentul anodic să nu scadă sub o valoare minimă IH, numit curent de menţinere (Holding current).

Blocarea sau stingerea (dezamorsarea) tiristorului se face la scăderea curentului anodic sub valoarea IH şi, evident, la schimbarea polarităţii tensiunii anod – catod UAK.

- 98 -

8.2. Tiristorul cu blocare pe poartă (GTO)

Simboluri grafice

A A

K

G G

K

Tiristorul cu blocare pe poartă GTO (Gate Turn–Off Thyristor) este un dispozitiv semiconductor de putere cu structură pnpn denumit şi tiristor bioperaţional, care poate fi comandat integral (amorsat şi respectiv, blocat) prin aplicarea de semnale corespunzătoare pe poartă: cu semnal pozitiv poate fi trecut în conducţie şi cu semnal negativ poate fi blocat fără a fi necesară inversarea polarităţii tensiunii dintre anod şi catod.

9. TRIACUL Triacul (TRIode AC swich) este un dispozitiv semiconductor bidirecţional cu trei

terminale: electrozii M1, M2 şi poarta G. Spre deosebire de tiristor, triacul poate conduce în ambele sensuri, functie de polaritatea tensiunii aplicată între electrozii M1 şi M2.

Simbol grafic

M2

G

M1

Fig. 9.1. Caracteristici statice.

0 V

I

–VBO

Cadranul I (M1 +, M2 –)

VBO

IIG

M1

V

+ – IG1>IG2>IG3 = 0

Cadranul III(M1 –, M2 + )

M2

Caracteristica statică tensiune – curent a triacului este simetrică faţă de origine (fig. 9.1). Ramura din cadranul I corespunde situaţiei când tensiunea aplicată pe terminalul M1 este pozitivă faţă de terminalul M2, iar cea din cadranul III situaţiei inverse (M1 – , M2 +) . Dacă nu se aplică semnal de comandă pe poartă (IG = 0), triacul este blocat în ambele sensuri ale tensiunii aplicate terminalelor M1, M2, dacă aceasta nu depăşeşte valoare tensiunii de străpungere (basculare) VBO. Trecerea triacului din starea blocat în starea de conducţie se poate face, atât în cadranul I, cât şi în cadranul III, indiferent de polaritatea semnalului de comandă al porţii.

- 99 -