MULȚIMIClasa a V-a

Realizat de prof. DEM MARIANA

MULȚIMI. ELEMENTEPrin mulțime, în viața de zi cu zi,

înțelegem o grupare, o grămadă, colecție, clasă, ansamblu etc.

Exemple:

- mulțimea elevilor din această clasă;

- mulțimea orașelor din ROMÂNIA;Mulțimile se notează cu litere mari din

alfabet: A, B, ….

MULȚIMI. ELEMENTE

N={0, 1, 2, 3, …….} se numeşte

mulţimea numerelor naturale.

N*={1, 2, 3, …….} se numeşte

mulţimea numerelor naturale nenule.

MULȚIMI. ELEMENTEObiectele ce alcătuiesc o mulțime

senumesc elemente.

Dacă între un element al unei mulţimi şi mulţimea însăşi scriem semnul , se spune că am scris relaţia de apartenenţă a acelui element la acea mulţime.

De exemplu: a A (elementul a aparţine mulţimii A) sau a A (elementul a nu aparţine mulţimii A).

REPREZENTAREA MULŢIMILOR

1. Prin enumerarea elementelor

Exemple: 1. A=mulţimea cifrelor impare

A={1; 3; 5; 7; 9}

2. B=mulţimea literelor ce alcătuies cuvântul

matematică

B={m; a; t; e; i; c; ă}

2. Prin proprietăţile caracteristice Exemple: 1. A={x/xN şi x<6}={0; 1; 2; 3; 4; 5}

2. B={x/xN, x=3k; kN, x15}=

={0; 3; 6; 9; 12; 15}

3. Prin reprezentare grafică (diagrame Venn-Euler) Exemple: 1. A={x/xN şi x≤8}

2. B={x/xN, x=3k; kN, x9}

REPREZENTAREA MULŢIMILOR

2 6

40 8

03

69

Cardinalul unei mulţimi finite

Numărul de elemente al unei mulţimi finite A se numeşte cardinalul lui A şi se notează cu card A.

Exemplu: A={1; 2; 3; 4; 5; 7; 9} card A= 7

MULŢIMEA VIDĂ

Mulţimea care nu are nici un element se numeşte mulţimea vidă şi se notează cu simbolul Ø.

Ø

RELAŢII ÎNTRE MULŢIMI

Când între două mulţimi există relaţia de incluziune BA sau AB, se mai spune că “B este submulţime a lui A” sau că “B este o parte a lui A”.

Exemplu: A={5; 6; 7; 8; 9} şi B={6; 8}

BA

6 8B

A

5

7

9

RELAŢII ÎNTRE MULŢIMI

Când între două mulţimi există relaţia de incluziune strictă BA sau AB se mai spune că “B este o submulţime proprie a lui A” sau că “B este o parte proprie a lui A”.

Exemplu: A={5; 6; 7; 8; 9} şi B={x/xN şi 5x9}

BA 5 9 7 8 6

RELAŢII ÎNTRE MULŢIMI Orice mulţime este inclusă în ea însăşi, AA. Mulţimea vidă este considerată o submulţime proprie a oricărei mulţimi nevide, ØA. Mulţimea formată din toate părţile unei mulţimi A se numeşte mulţimea părţilor lui A şi se notează P (A). Două mulţimi sunt egale dacă au aceleaşi elemente, A=B. Două mulţimi egale au acelaşi cardinal.Două mulţimi A şi B sunt egale dacă şi numai dacă avem simultan BA şi AB.

OPERAŢII CU MULŢIMIINTERSECŢIA

Intersecţia a două mulţimi A şi B este o mulţime formată din toate elementele comune celor două mulţimi.

Se notează AB şi se citeşte “A intersectat cu B”

AB = {x / x A şi x B}

Intersecţia este comutativă, AB=BA.

A B

AB

Exemplu: A={1,2, 5, 7, 9} B={1, 5, 9, 10, 15}

AB={1, 5, 9}

OPERAŢII CU MULŢIMIREUNIUNEA

Reuniunea a două mulţimi A şi B este o mulţime formată din elementele care aparţin cel puţin uneia din cele două mulţimi.

Se notează AB şi se citeşte “A reunit cu B”

A B = {x / x A sau x B}

Reuniunea este comutativă, AB=BA.

A B

A B

Exemplu: A={1, 3, 5, 7} B={0, 4, 8, 12}

A B={0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 12}

OPERAŢII CU MULŢIMIDIFERENŢA

Diferenţa a două mulţimi A şi B este o mulţime formată din elementele care aparţin mulţimii A şi nu aparţin mulţimii B.

Se notează A\B şi se citeşte “A minus cu B”

A \ B = {x / x A şi x B}

Diferenţa nu este comutativă, A\BB\A.A B

A \ B

Exemplu: A={1, 2, 5, 7, 9} B={1, 5, 9, 10, 15}

A \ B={2, 7}

AFLAREA ELEMENTELOR A DOUĂ MULŢIMI PORNIND

DE LA CONDIŢII DATESă se afle mulţimile A şi B ştiind că sunt îndeplinite simultan condiţiile:

a)AB={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

b)AB={2, 6, 7}

c)A\B={1, 4}

R: A={1, 2, 4, 6, 7}

B={2, 3, 5, 6, 7}