MULIMEA NUMERELOR NTREGI

Numerele ntregi sunt des ntlnite n viaa de zi cu zi: temperaturile pot fi pozitive (, ) sau pozitive (+, +), altitudinea Everestului este de +8848metri, adncimea maxim a Mediteranei este de 4594 metri fa de nivelul mrii, distanele pe o ax pe care se ia un punct numit ,,origine, o unitate de msur, un sens pozitiv (+) la dreapta originii i un sens negativ (-) la stnga originii etc.

Definirea mulmii numerelor ntregintre elementele produsului cartezian N x N definim urmtoarea relaie: ()a1, a2 NxN, a1 = (m,n), a2 = (p,q) spunem c a1a2 dac i numai dac m + q = n + p.Proprieti:1. Relaia ,, este reflexiv: a1a2, deoarece m + n = n + m.2. Relaia ,, este simetric: a1a2 m + q = n + p implic i p + n = q + m a2a1.3. Relaia ,, este tranzitiv: pentru a3 =(u,v) din a1a2 m + q = n + p i a2a3 p + v = q + u, rezult m+ q + p + v = n + p + q + u, de unde m + v = n + u, adic a1a3.4. Relaia ,,, avnd aceste proprieti, este o relaie de echivalen. Ea mparte mulimea N x N n clase. O clas de echivalen determinat de relaia ,,definete un numr ntreg. Mulimea (N x N/ ) este mulimea numerelor ntregi i se noteaz cu Z.

Numere ntregi pozitive i negativeTeorema 1. O clas de echivalen nu conine dect un singur element a = (p,q), n care q = 0.Demonstraie: Presupunem c exist ntr-o clas dou elemente care au q = 0. Din a1 = = (p1, 0) i a2 = (p2, 0) , a1a2 p1 + 0 = 0 + p2 p1 = p2 a1a2.Definiie: O clas care conine un element de forma a = (p, 0) definete un numr ntreg pozitiv.Consecin: Toate elementele p = (m,n) existente ntr-o clas care definesc un numr ntreg pozitiv au mn.Demonstraie: ntr-adevr, aceast clas conine elementul = (p,0) i avem a p = n = m + 0 mn.Teorema 2. O clas de echivalen nu conine dect cel mult un element de forma a = = (p,q) n care p = 0.Demonstraie: Presupunem c exist a1 = (0, q1) i a2 = (0, q2) n aceeai clas a1a2 0+ q2 = q1 + 0 q1 = q2 a1 = a2.Definiie: O clas care conine un element de forma a = (0,q) definete un numr ntreg negativ.Consecin: Toate elementele = (m,n) existente ntr-o clas care definete un numr ntreg negativ au m n. ntr-adevr aceast clas conine elementul a = (0,q) i avem a , m + q = n m n. Clasa care conine elementul a0 = (0,0) definete numrul ntreg zero.Orice element = (m,n) din clasa acre determin numrul zero are m = n, deoarece a0 = 0 + n = m + 0. Numrul ntreg zero este i pozitiv i negativ.Notm un numr ntreg printr-un element alclasei care l determin, barat.Exemplu:+3 = () =( );0 = ;-1 = .Mulimea numerelor ntregi notat cu Z este alctuit din mulimea numerelor ntregi pozitive, notat cu Z+, mulimea cu elementul zero, i mulimea numerelor ntregi negative notat cu Z- . Aadar, mulimea numerelor ntregi Z = Z+ Z - Notm Z* = Z \ , mulimea numerelor ntregi nenule. Mulimea numerelor ntregi va fi Z = .Definiie: Numim opusul unui numr ntreg nenul numrul ntreg ce se obine prin schimbarea semnului din fa ( din + n i sin n +). Opusul lui 0 este 0. Opusul numrului ntreg a este a.

Teorema fundamental a aritmeticii (teorema factorizrii unice):Orice numr natural n2 se descompune n factori primi, n mod unic, exceptnd ordinea factorilor.Demonstrm existena descompunerii pentru orice n N, n2.Verificare: Pentru n = 2 afirmaia este adevrat, deoarece 2 este numr prim.Demonstraie: Presupunem c pentru orice numr l cuprins ntre 2 i un numr k, 21k, numrul l se descompune n factori primi. Demonstrm c numrul l se descompune n factori primi i pentru k + 1. Dac l pentru k + 1 este prim, afirmaia are loc. Dac l pentru k + 1 este compus, atunci k + 1 = a b, unde 2 a k, 2 b k, i, conform ipotezei de inducie, a = p1 p2 ... pr i b = q1 q2 ...qr, deci k + 1 = p1 p2 ... pr q1 q2 ...qz.Teorema fundamental a aritmeticii precizeaz c oricare ar fi numrul ntreg a, astfel nct a 1, exist o descompunere unic a sa n produs finit de numere prime, adic exist numere prime p1, p2,...pm, nu neaprat distincte, astfel nct n = p1 p2 ... pm sau n = - p1 p2 ... pm.Observaie:n baza teoriei fundamentale a aritmeticii, se poate indica un alt procedeu de calcul pentru: c.m.m.d.c. pentru dou sau mai multe numere ntregi: se descompun numerele n factori primi i se efectueaz produsul factorilor primi comuni, fiecare cu exponentul su cel mai mic; c.m.m.m.c. pentru dou sau mai multe numere ntregi: se descompunnumerele n factori primi i se efectueaz produsul factorilor primi comuni i necomuni, fiecare cu exponentul su cel mai mare.Numrul total al divizorilor distinci i naturali (proprii i improprii) ai unui numr natural n este dat de formula: N = ( 1+ 1) ( 1 + 2) ( 1 + 3) ...(1 + m).

Teorema mpririi cu rest n mulimea numerelor ntregi:Fiind date dou numere a i b, cu b nenul, exist dou numere ntregi q i r unice, cu proprietatea: a = b q + r, unde r ). Aceast egalitate se numete identitatea mpririi cu rest pentru numere ntregi, iar numerele q i r se numesc ctul i respectiv restul mpririi numrului a la b. Numrul a se numete demprit, iar b se numete mpritor. Dac r = 0, se spune c a este divizibil cu b (a este multiplu de b), sau c b divide pe a (b este divizor al lui a) i se noteaz ba.Relaia de divizibilitate este relaie de ordine parial ( cci nu orice dou numere ntregi sunt n relaie: exemplu 3 i 4)n mulimea numerelor ntregi nenegative (xx, xy i yxx = y, xy i yz xz).Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) pentru dou numere ntregi a i b: este numit astfel un numr ntreg d avnd proprietile: da i db (d este divizor comun al numerelor a i b); orice alt divizor comun d al numerelor a i b divide pe d (adic da i db dd).

Teorem:Fie a i b dou numere ntregi. Atunci exist exact dou numere ntregi opuse d i d, cu statut de c.m.m.d.c. al numerelor a i b.Observaie: Numrul pozitiv dintre cele dou se noteaz (a;b), iar valoarea sa se calculeaz folosind algoritmul lui Euclid.

Teorem:Fie a i b dou numere ntregi i d c.m.m.d.c. al lor (oricare din cei doi). Atunci exist dou numere ntregi, k1i k2, astfel nct d = k1 a + k2b (ex. Dac -3 = (6;9), atunci exist numere ntregi -2 i 1, astfel nct -3 = (-2)6 + 19.Observaii: Dou numere ntregi a i b se numesc prime ntre ele dac (a;b) = 1.Deducem c cele dou numere ntregi a i b sunt prime ntre ele dac i numai dac exist dou numere ntregi, k1 i k2, astfel nct 1 = k1a + k2b.

Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) pentru dou numere ntregi a i b: este numit astfel un numr ntreg m avnd proprietile: am i bm (adic m este un multiplu comun al numerelor a i b); orice alt multiplu comun m' al numerelor a i b este multiplu al lui m (adic am' i bm mm'.

Teorem:Fie a i b dou numere ntregi nenule. Dac d este c.m.m.d.c. al numerelor a i b, atunci numrul ntreg m = (ab)/d este un c.m.m.m.c. al numerelor a i b.

Numere prime:Se numesc astfel toate numerele naturale p 1, care au exact patru divizori: -1; +1; -p i +p. Se spune c un numr prim nu admite dect divizori improprii. Un numr care admite i divizori proprii este un numr compus. Exemplu: numrul 13 este prim, iar numrul 12 este compus.

Modulul unui numr ntreg. ProprietiDefiniie: Numim modulul unui numr ntreg numrul natural obinut din acel numr ntreg prin nlturarea semnului + sau din fa. Modulul lui 0 este 0. Modulul numrului ntreg a se noteaz a. Exemple: 3 = 3; -3 = 3Scrierea explicit a modulului unui numr ntreg este: a = Spunem c numerele ntreg nenule a i b sunt egale dac au acelai semn i acelai modul. Relaia de egalitate pe Z este o relaie de echivalen.Proprieti:1. Modulul oricrui numr ntreg nenul este mai mare dect 0. () a Z*, : a 0.2. Modulul oricrui numr ntreg este egal cu 0 dac i numai dac numrul este egal cu 0. a = 0 a = 0.3. Dou numere opuse au modulele egale. () a Z, a = - a.4. Dac o sum de module este egal cu 0, atunci fiecare modul este egal cu 0.a1 + a2+ ... + an = 0 a1 =0, a2 =0, ..., an =0

Operaii cu numere ntregi1. Adunarea numerelor ntregin N x N definim adunarea elementelor astfel:()1, 2 N x N, 1= (p1,q1), 2= (p2,q2), 1 + 2 = (p1+p2, q1+q2). Se demonstreaz cu uurin c adunarea este o operaie intern, asociativ i comutativ. Numrul 0 = (0, 0) este element neutru, iar simetricul lui a = este a = .Fie a i b dou numere ntregi. Suma numerelor ntregi a i b, este exprimat de scrierea s = = a+b, iar a i b se numesc termenii adunrii. Suma s se obine astfel:1. Dac a, b Z-, atunci s = - (a + b);2. Dac a, b Z+, atunci s = a + b;3. Dac a i b au semne diferite i a b, atunci s va avea semnul numrului cu modulul mai mare, iar ca modul diferena dintre modulul mai mare si cel mai mic;4. Dac a = b i a i b au semne diferite, atunci s = 0.5. Dac unul din termeni este 0, atunci s este cellalt termen.Exemple:(-3) + (-4) = - (3+4) = -7; (+5) + (+1) = +6; (-8) + (+2) = - (8-2) = -6.n mulimea Z ,, este o relaie de ordine total. Relaia ,, este o relaie de ordine strict i dac ab, atunci a + c b + c.

2. Scderea numerelor ntregi poate fi vzut ca adunare cu opusul celui de al doilea termen.()1, 2 Z x Z, 1= (p1,q1), 2= (p2,q2), 1 - 2 = (p1,q2) (p2,q2) = (p1 q1, p2 q2). Scrierea a + (-b) se noteaz cu a b i spunem c este diferena dintre a i b. Deci a b = a + +(-b), de unde decurge regula practic pentru scderea numerelor ntregi, a se numete desczut, b scztor, iar c diferen. Scderea pe Z este ntotdeauna posibil.Exemple: (-2) ( -3) = (-2) + (+3) = 1; +8 (-5) = + (8+5) = 13.

3. nmulirea numerelor ntreginmulirea se definete astfel: ()1, 2 Z x Z, 1= (p1,q1), 2= (p2,q2), 1 2 = (p1p2 + q1q2, p1q2 + p2q1). nmulirea numerelor ntregi este o operaie intern, asociativ i comutativ. Numrul 1 = (1, 0) este element neutru. Singurele elemente care au simetrice n raport cu nmulirea sunt 1 i -1, care coincid cu propriile lor simetrice.nmulirea este distributiv fa de adunare: a (b + c) = () (( + () = ()() = ()),()) = (), (); (1) (ab + ac) = () () + ()() = () + () = = (), (); (2). Din (1) i (2) rezult a(b+c) = ab + +ac.Fie a i b dou numere ntregi. Exist un numr ntreg p, unic, astfel nct ab =p. Numerele ntregi a i b se numesc factorii nmulirii, iar p produsul numerelor a i b. Produsul p se obine astfel: Dac a i b sunt dou numere ntregi nenule, avem p = a b, semnul lui p fiind + sau -, dup cum a i b au acelai semn sau semne diferite. Dac cel puin unul din factori este 0, atunci produsul p este 0. Dac c Z+ i ab, atunci a c b c. Dac c Z- i ab, atunci a c b c. nmulirea confer mulimii numerelor ntregi Z o structur de monoid comutativ.

4. mprirea cu restFie a i b dou numere ntregi, b0. Exist n mod unic q , r Z, astfel nct a = b q +r, avnd condiia 0 r b. Numrul ntreg a se numete demprit, b este denumit mpritor, q este numit ct, iar r esre restul.Dac a Z+ , b Z-, aplicm mprirea cu rest pentru a i b, obinem ctul q + +1, iar restul b - r.

5. mprirea exact Fie a i b dou numere ntregi, b0. Scriind mprirea cu rest a = b q + r, pentru r = =0, obinem a = b q sau a : b = q.

Divizibilitatea n ZFie a i b dou numere ntregi, b0. tim c a b dac exist c Z, astfel nct b = =ac.

Proprieti:1. 1 a, oricare ar fi a Z;2. a a, oricare ar fi a Z;3. a 0, oricare ar fi a Z*;4. Dac a,b Z*, a b i b a, atunci a = b, oricare ar fi a,b Z*.5. Dac a b i b c, atunci a c, oricare ar fi a Z* i b,c Z.6. Dac a b i a c, atunci a b c, oricare ar fi a Z* i b,c Z.7. Dac a b i a c, atunci a b c, oricare ar fi a Z* i b,c Z.8. Dac a b sau b c i (a , b) =1, atunci a b c, oricare ar fi a,b Z* i c Z.9. Dac a 1 sau a -1, atunci a = 1.10. a b (-a) b a (-b) (-a) (-b).11. Dac Da este mulimea divizorilor ntregi ai lui a, atunci card(Da) = 2 card(Da), unde (Da) este Da N. 12. Dac d este c.m.m.d.c. al numerelor a i b, atunci i d are aceast proprietate. Se constat c d nu este unic pe Z. Not, (a , b) = max( -d,d).13. Dac d = (a , b), atunci exist k, l Z, astfel nct l = ka + lb.14. Dac m este c.m.m.m.c. al numerelor a i b, atunci i m are aceeai proprietate. Notm cu = max(-m,m). Avem relaia = .15. Dac a Z, a 2, avem a = ... , unde p1, p2,...pn sunt numere prime distincte , iar 1, 2,...n sunt din N.Definiia 1: Un numr ntreg d este divizor comun al numerelor a i b dac d a i d b.Definiia 2: Numrul ntreg d este cel mai mare divizor comun al numerelor a i b dac:1. d a i d b;2. orice divizor d' al lui a i b, comun, divide pe d.Definiia 3: Dou numere ntregi nenule a i b se numesc prime ntre ele dac (a;b) = 1.Definiia 4: Numrul ntreg m este cel mai mare divizor comun al numerelor a i b dac:1. a i b au multiplu comun pe m;2. orice alt multiplu comun al lui a i b este multiplu al lui m.