MR-2015-cursul-4

1. 2. Tensiunile primare aparente din masivul elastic 1.2.1. Cazul unui masiv terestru omogen. n cele ce urmeaz sunt prezentate legile de distribuie ale tensiunilor aparente primare pentru situaia unui masiv ce ndeplinete simultan urmtoarele condiii:

d1) Masivul este continuu, omogen, izotrop, lipsit de excavaii subterane i este format dintr-o roc liniar elastic, ce respect legea lui Hooke.

d2) Tensiunile din masiv sunt doar de origine gravitaional i variaz doar pe direcia vertical (cu adncimea).

d3) Deformaiile sunt infinit mici, iar n urma deformrii rocile se deplaseaz doar pe direcie vertical, n jos (prin deformare rocile se taseaz). Altfel spus, vectorul deplasare al fiecrui punct material este orientat pe direcie vertical, cu sensul descendent.

Se raporteaz masivul la un sistem de coordonate carteziene Oxyz orientat ca n Fig. 2 (cu axa Oz orientat vertical, cu sensul n jos i cu originea la suprafaa scoarei terestre).

Se consider un punct material arbitrar M(x, y, z), din interiorul masivului, pentru care starea de tensiune este cuantificat prin tensorul tensiunilor T, iar starea de deformare prin tensorul deformaiilor specifice T; forma i componentele acestor tensori sunt urmtoarele:

,(14)

.(15)

Tot pentru punctul M componentele vectorului deplasare dup direciile x, y i z se noteaz cu u, respectiv v i, respectiv w.

Implicaiile matematice ale condiiilor de mai sus (d1-d3) sunt urmtoarele:

e1) Deplasrile u i v sunt nule, iar w diferit de zero i dependent de adncime (u = 0; v = 0, w = w(z) 0).

e2) Derivatele pariale n raport cu x, y, z ale deplasrilor u, v, w sunt nule, mai puin w/z (w/z 0).

e3) Din ecuaiile aspectului geometric (relaiile difereniale dintre deformaii specifice i deplasri), innd seama de rezultatele de la (e2), se constat c singura deformaie specific nenul este cea dup direcia axei Oz notat cu z, iar aceasta variaz cu adncimea (z= w/z 0 i z= z(z)).

Prin urmare, rezult c starea de deformare gravitaional primar, a masivului considerat, este o stare de deformare liniar (antiplan), iar T are, corespunztor, urmtoarea form particular:

.(16)

e4) Aplicnd rezultatele de mai sus (valorile deformaiilor specifice din (16)) n legea generalizat a lui Hooke rezult c, dintre componentele lui T, doar tensiunile normale x, y, z sunt nenule, iar ntre acestea exist relaiile de legtur:

,(17)

unde este coeficientul de contracie transversal (coeficientul Poisson) al rocilor ce alctuiesc masivul.

Un parametru folosit frecvent pentru a caracteriza starea natural de tensiune a unui masiv, n general, este aa numitul coeficient de confinare sau coeficient de mpingere lateral, notat cu 0 i definit ca raport ntre tensiunea orizontal h i cea vertical v. Adic:

(18)

n general, i

,(19)

n cazul masivului analizat mai sus - n care v=z i h =x=y.

Tensorul tensiunilor n acest caz are forma diagonal

,(20)

n care toate tensiunile tangeniale sunt nule, ceea ce indic faptul c direciile x, y, z coincid cu direciile principale de tensiune, iar valorile tensiunilor principale

1, 2, 3 sunt cele ale tensiunilor x, y, z (1 = max{ x, y, z} i 3 = min{ x, y, z}).

e5) Ecuaia de echilibru mecanic (ecuaia Navier-Cauchy), scris pentru direcia vertical Oz i pentru situaia de mai sus, devine:

(21)

sau, innd cont c z variaz numai cu adncimea:

.(21)

Din rezolvarea acestei ecuaii difereniale rezult soluia z(z) = - z + C, unde constanta de integrare C se determin din condiia la limit z(0) = z0 i prin urmare are valoarea C = z0. n general z0 = 0 i asta cu att mai mult n cazul adncimilor mari (v. subcap. 1.1), unde valoarea lui z0 devine neglijabil fa de valoarea produsului z.

Aplicnd convenia de semne specific Mecanicii rocilor pentru tensiunile normale (valori pozitive pentru tensiunile de compresiune i negative pentru cele de traciune) rezult legea de distribuie a tensiunii verticale z, identic cu cea obinut pe alt cale n subcapitolul 1.1 (v. relaia (3)), adic:

(22)

sau

, cnd z0 = 0 .(22)

Teoretic coeficientul Poisson, notat cu , se situeaz n intervalul [0, 1/2] (afirmaie demonstrat n Teoria elasticitii) i rezult pentru coeficientul de confinare 0 conform relaiei (19), valori cuprinse n intervalul [0, 1], adic valori pozitive i subunitare. n consecin, din relaia (17), rezult c x = y z sau h v i h = 0 v. n aceste condiii valorile tensiunilor principale sunt:

1 = v, 2 = 3 = h, iar 2 = 3 = 0 1 .(23)

Cele trei tensiuni principale sunt pozitive (de compresiune), iar dou dintre ele sunt egale, ceea ce nseamn c starea de tensiune natural gravitaional a unui masiv elastic este o stare de compresiune triaxial de tip cilindric.

Odat cunoscut starea de tensiune a masivului prin tensiunile principale 1, 2, 3, se mai pot calcula:

f1) Tensiunile tangeniale extreme I, II, III:

,(24)

,(25)

.(26)

Expresia (1- 0)/2 se mai noteaz cu 1 i este cunoscut sub denumirea de coeficient de forfecare lateral (1 [0, 1/2]):

.(27)

f2) Tensiunea tangenial maxim:

.(28)

f3) Deformaia liniar specific vertical (z sau 1):

.(29)

f4) Deformaiile specifice unghiulare extreme I, II, III :

,(30)

,(31)

.(32)

f5) Deplasarea pe direcie vertical (tasarea) w: .(33)

In relaiile (29) - (32) s-a notat cu E modulul de elasticitate longitudinal (modulul lui Young), iar cu G - modulul de elasticitate transversal, numit si modulul de forfecare, pentru roca analizat. De reinut c, n general, pentru starea de deformare primar configuraia de referin nu este cunoscut i, n consecin, valorile primare ale deformaiilor specifice i ale deplasrilor nu prezint interes (valorile rezultate din calculele analitice nu au o semnificaie fizic prea clar); mai multe detalii n acest sens sunt prezentate n capitolul urmtor. Prin configuraia de referin a starii de deformare se ntelege forma i dimensiunile masivului de roc corespunztoare momentului de dinaintea deformrii. Pentru starea de deformare primar evaluarea acestor elemente ale configuraiei de referin (forma i dimensiunile masivului nainte de deformare) este dificil.

O

v , h , max

v - h

h

v

max

H

Fig. 5. Graficele de variaie cu adncimea H pentru tensiunile primare nenule v , h i max

n cazul unui masiv terestru omogen.Se constat, din relaiile de mai sus, c toate tensiunile i deformaiile nenule sunt proporionale cu tensiunea vertical v i, prin aceasta, - cu adncimea (z sau H) i cu greutatea specific aparent () sau densitatea aparent () a rocii. De asemenea, aceste tensiuni i deformaii mai depind i de constantele elastice , (prin 0 i 1) , E i G.

Graficele de variaie cu adncimea pentru tensiunile primare nenule v , h i max sunt prezentate n Fig. 5.

1.2.2. Cazul unui masiv terestru neomogen. Spre deosebire de cazul anterior, al masivului omogen, de data aceasta punctul material arbitrar M este situat la adncimea H sau z a unui masiv format dintr-o succesiune de strate orizontale, unde fiecare dintre ele ndeplinete condiiile (d1 d3), adic este omogen i izotrop, dar cu valori distincte fa de celelalte strate pentru constantele de material (, , , 0, 1, E, G, ).

Se noteaz cu n numrul stratelor distincte situate pn la adncimea H a punctului M i cu indicele i valorile constantelor de material (i, i, i, 0i, 1i, Ei, Gi, ) corespunztoare stratului i (i = ) delimitat pe vertical de adncimea acoperiului Hi-1 i adncimea culcuului Hi. Grosimea Hi a stratului i este dat de relaia (5), iar suma grosimilor celor n strate este egal cu adncimea H a punctului M (relaia (6)).

Un exemplu de variaie cu adncimea a constantelor de material i , pentru un asemenea masiv, este prezentat n Fig. 6.

O

O

(1)

(2)

Hi-1 (i), i , i ,HiHi

(n)

H

H Fig. 6. Exemplu de variaie cu adncimea a constantelor de material i pentru un masiv terestru multistrat. Pentru a stabili distribuia (variaia) pe adncime a tensiunilor primare, n cazul unui masiv multistrat, se aplic succesiv raionamentul de la paragraful 1.2.1 (cazul masivului omogen) pentru fiecare strat n parte, n ordine de la suprafa ctre adncime, ncepnd de la i = 1 i pn la i = n.

Particularitatea cea mai important - a masivului multistrat, este aceea c valoarea lui v de la baza (culcuul) fiecrui strat devine condiie la limit pentru acoperiul stratului urmtor. Prin urmare valorile tensiunilor primare nenule ntr-un punct arbitrar situat la adncimea H, cuprins ntre limitele de adncime ale stratului i (Hi-1 < H < Hi), se vor calcula cu relaiile:

,(34)

,(35)

.(36)

Valorile lui v (Hi-1) se poate calcula din aproape n aproape, succesiv pentru fiecare strat, sau direct cu relaia:

(37)

Relaiile de mai sus sunt echivalente cu (7), (23), (28) i respectiv (4), iar coeficienii de confinare (0i) i de forfecare lateral (1i,) ai stratului i se calculeaz cu relaiile (19) i, respectiv (27). Astfel:

,(38)

.(39)

Graficele de variaie cu adncimea ale tensiunilor primare nenule v , h i max - pentru exemplul din Fig. 6 - sunt prezentate n Fig. 7.Din relaiile i graficele de mai sus, pentru valorile aparente ale tensiunilor primare gravitaionale nenule v , h , max , rezult urmtoarele concluzii:

g1) Pe grosimea fiecrui strat omogen tensiunile primare cresc liniar cu adncimea, iar pantele graficelor (gradienii tensiunilor pe direcia vertical) difer de la un strat la altul n funcie de valorile lui i, 0i, 1i sau i i i. Astfel:

,(40)

,(41)

.(42)

g2) Pe ansamblul a n strate distincte i succesive graficul lui v crete continuu cu adncimea cu meniunea c i schimb panta la trecerea de la un strat la altul (la traversarea limitei de adncime dintre dou strate cu valori diferite pentru ).

n schimb graficele tensiunilor h i max , la limitele dintre strate, pe lng faptul c i modific panta, prezint i discontinuiti (salturi - cresctoare sau descresctoare - de valori). g3) Pentru stratele formate de roci elastice i lipsite de tensiuni negravitaionale (tectonice) direcia vertical este prima direcie principal de tensiune, iar 1 = v i 2 = 3 = h deoarece h < v (0 < 1) i tensiunile tangeniale xy, yz, zx sunt nule.

O

v , h , max (1)

(2)

Hi-1 (i), i , i ,HiHi

(n)

max

h

v

H Fig. 7. Graficele de variaie cu adncimea

ale tensiunilor primare nenule v , h , max pentru exemplul din figura 6.

Raionamentul de mai sus poate fi aplicat i n cazul unui masiv neomogen dup ce intervalul de adncime al acestuia, [Ha , Hb] cu Ha < Hb, se mparte n n subintervale numerotate, de sus n jos, de la 1 la n. n acest caz notaiile i, i, i, 0i, 1i, Ei, Gi, (i = ) reprezint valorile medii determinate pentru subintervalul notat cu indicele i, situat ntre adncimile Hi-1, Hi, de grosime Hi = Hi Hi-1. i aici avem o relaie similar cu (6) de forma: .(43)

Pentru un asemenea interval de adncime se poate calcula greutatea specific aparent ca medie ponderat cu grosimea () cu una dintre urmtoarele relaii: ,(44)

sau ,(45)

sau

.(46)

Relaia (44) se recomand n cazul masivelor multistrat, formate din mai multe strate omogene, distincte. 1.2.3. Cazul unui masiv subacvatic. Se consider masivele subacvatice prezentate mai sus, n paragrafele 1.1.3 i 1.1.4, doar ca de data aceasta, ele sunt formate din roci liniar elastice precum cele din paragrafele 1.2.1 i respectiv 1.2.2. Pentru un asemenea masiv - elastic, subacvatic i pentru o adncime H > Hm, tensiunile h i max se calculeaz tot cu relatiile (35), respectiv (36), doar c n acestea din urm, pentru v se introduce valoarea corespunztoare unui masiv situat sub o ap adnc. Astfel, pentru cazul unui masiv omogen v se calculeaz cu relatia (15) din cursul 3, iar n cazul unui masiv neomogen corespunzator cu una dintre relatiile (16), (17) sau (18), tot din cursul 3. PAGE 405

_1231870597.unknown

_1231870775.unknown

_1487596177.unknown

_1487596872.unknown

_1487597029.unknown

_1487596837.unknown

_1231871189.unknown

_1231871618.unknown

_1233518702.unknown

_1231871279.unknown

_1231870861.unknown

_1231870702.unknown

_1231870741.unknown

_1231870656.unknown

_1214130132.unknown

_1231870063.unknown

_1231870518.unknown

_1231870563.unknown

_1231870082.unknown

_1214130294.unknown

_1214130297.unknown

_1214130182.unknown

_1214130161.unknown

_1213386828.unknown

_1213816487.unknown

_1214079946.unknown

_1214130119.unknown

_1214130128.unknown

_1214080314.unknown

_1213817240.unknown

_1213471647.unknown

_1213471915.unknown

_1213471492.unknown

_1213383633.unknown

_1213383645.unknown

_1201950786.unknown

_1213383626.unknown

_1201950711.unknown