Mici Oscilatii Ale Unui Rigid Pe Suspensie Elastica Avand Incorporat Un Rotor

7/24/2019 Mici Oscilatii Ale Unui Rigid Pe Suspensie Elastica Avand Incorporat Un Rotor

1/6

MICI OSCILATII ALE UNUI RIGID PE SUSPENSIE ELASTICA AVANDINCORPORAT UN ROTOR

MICI OSCILATII ALE AXEI UNUI GIROSCOP CENTRAT

Giroscopul centrat este un rigid cu simetrie de revolutie in distributia masei

avand central de ma sa C fx si cu o miscare de rotatie cu viteza unghiulara

constanta in jurul axei sale de simetrie . Fie R*(C x!"!z!# un reper fx si R(C!

x"z#un reper solidar cu rigidul cu axa C!z orientate dupa axa de simertie. $xa

C

!

z ca axa principal de inertie este axa spontana de rotatie imprimand corpuluio rotatie cu viteza unghiulara in absenta oricaror %orte aplicate axa C !z

ramanand fxa in spatiu. &rmare actiunii unei perturbatii axa giroscopului

executa mici oscilatii vectorul viteza unghiulara ' avand proiectii sip e axele

perpendicularre pe axa C!z '('x '" 'z #. )omentele de inertie ale

giroscopului in raport cu axele reperului R sunt *x*"*+ *z*. ,cuatiile ,&-,

pentru rigidul cu punct fx conduc la /

( ) ( )10

0

01

10

0

00

0

0

=

+

y

x

y

xJJ

J

J

&nde 0x 0" sunt proiectiile pe axele Cx C" ale vectorului acceleratie

unghiulara.

1entru precizarea orientarii corpului giroscop in raport cu reperul fx se utilizeaza

sistemul unghiurilor ,&-, /

2rotatie cu unghiul de precesie 3 in jurul axei C!z! rezultand axa C!x4

2 rotatie cu unghiul de nutatie 5 in jurul axei C!x4 rezultand pozitia %inala a axei

C!z

2 rotatie cu unghiul de rotatie proprie 6 in jurul axei C!z

)icile oscilatii ale axei giroscopului presupun valori %oarte mici ale unghiului 5.

7ectorul 5 este in planul x! C! "! dupa axa C!x48 proiectiile sale 5x 5" pe axele

C!x! C!"! defnes complet orientarea axei giroscopului8 pentru valorile %oarte

mici ale unghiului 5 vectorii 3 si 6 pot %i considerate coliniari dupa axa C!z!

ast%el ca proiectiile vectorilor ' si 0 pe axele Cx C" pot %i exprimatecu

proiectiile lor pe axele Cx! C"! %olosind matricea de rotatie in jurul axei Cz!/


2/6

( )2

=

=

y

x

y

x

y

x

y

xRR

( ) ( )

( ) ( )

++

++=

cossin

sincosR

9ntroducand trans%ormarile (:# si (;# si preinmultind cu


3/6

ECUATIILE DIFERENTIALE DE MISCARE ALE RIGIDULUI SUPORT

eplasarile lui @ in raport cu R0 (deplasari mici# defnite in A sunt/

[ ] [ ] [ ]TzyxrT

zyxt

TT

r

T

t qtttqcuqqq ===

1entru @ %ara rotor ecuatiile di%erentiale ale micilor oscilatii sunt de tipul/

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

+=

=

=+

MRr

RtTsi

tFr

tFtQunde

tTtQKqqM

Cii

i

~~

40

&nde ri este matricea antisimetrica asociata vectorului ri si rC este matricea

antisimetrica asociata vectorului rC

ECUATIILE DIFERENTIALE DE MISCARE ALE ROTORULUI

1entru considerat separat de @ miscarea poate f descompusa in miscarea

centrului sau de masa C! si miscarea %ata de R* (miscare de rigid cu punct

fx#.1arametrii de pozitie in miscarea centrului de masa sunt deplasarile lui C!

masurate in raport cu R0.

[ ]Tzyxt tttq **** =

9ar ecuatiile di%erentiale ale miscarii centrului de masa se scriu/

)5(*RqmI t =

&nde meste masa rotorului 9 matricea de unitate ?x?.

$xa C!z!a rotorului este solidara cu @ ast%el ca deplasarile incluse in t!se pot

exprima in %unctie de deplasarile incluse in /

[ ] )6(~

*

C

t

rI

qq

=

=

9ntroducand trans%ormarea (H# in (I# si preinmultind cu 6


4/6

( )

( )( )

)7(~

0

0

0

0100

0010

0001

********

********

********

**

**

**

=

++

+

Rr

Rqm

C

1arametrii de pozitie ai rotorului in miscarea sa %ata de central maselor sunt 6x!

6"! t.7om nota 6z!6z unghiul de rotatie al unui plan solidar cu @ si

perpendicular pe axa lui in raport cu axa C!. )omentul Jinetic al lui care

oscileaza impreuna cu @ este *(6z!Kt# iar din teorema momentului Jinetic

pentru in raport cu axa C!z! rezulta /

0* =zJ

7om nota r! Lx! "! z!M


5/6

) este simetrica si pozitiv defnite8 P este matricea de rigiditate realizata de

suspensia elastica (simetrica si pozitiv defnita#8 G este matricea giroscopica

antisimetrica.

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

+

+

+

+

+=

+

=+=

*2*****

**2*2***

****2*2*

0

0

00

**

**

**

0

00

00

00~

)8(

0

0

0

0

0

0

~,~

m

J

J

J

JJ

mMSImMM

&nde ) este masa rigidului support DE coordonatele centrului sau de greutatein *+ este matricea de inertie a rigidului support in . )atricea G din relatia (Q#

este/

( )

=

==

=

000

001

010

0

00~~

0

00~

0JJg

ggcug

GG

)atricea de rigiditate P simetrica si pozitiv defnite este in general de %orma/

=

rrrt

trtt

KK

KKK

,cuatiile di%erentiale (Q# reprezinta sisteme liniare giroscopice.

$legand originea A a reperului in central de masa al ansamblulu"i @K se obtine

@++. aca in plus in acerasta raportare se obtine PtrPrt< + (decuplare

elastica# sistemul de ecuatii di%erentiale (Q# se descompune in ; sistemeindependente/

)10(~~~

~

0 MRrqKqGqJ

RqKqM

Crrrr

ttt

+=++

=+


6/6

7ibratiile pe gradele de libertate corespunzatoare translatiei sunt decuplate vde

vibratiile pe gradele de libertate de rotatie. ,%ectul g"roscopic cupleaza intre ele

vibratiile pe gradele de libertate de rotatie corespunzatoare rotatiilor in jurul

axelor perpendicular pe axa rotorului. 9n prezenta cuplajului elastic intre rotatii si

translatii inRuenta e%ectului g"roscopic se transmite si vibratiilor pe gradele de

libertate de translatie.

1&-@$

Mici Oscilatii Ale Unui Rigid Pe Suspensie Elastica Avand Incorporat Un Rotor

Documents

Transcript of Mici Oscilatii Ale Unui Rigid Pe Suspensie Elastica Avand Incorporat Un Rotor