Universitatea OVIDIUS Constanta

Facultatea de Constructii

Specializarea ISC

M.E.F IN MECANICA STRUCTURILOR SI A FLUIDELOR

- REFERAT –

Masterand: PESCARU(Pătru)

VALENTINA

METODE NUMERICE PENTRU ANALIZA SISTEMELOR DINAMICE

Ecuatiile miscarii(vibratiilor sau oscilatiilor) unui sistem dinamic cu n grade de libertate sunt:

MD&&+ CD&+ KD = P(t) ( 1a) unde:

M-matricea(consistenta,semiconsistenta sau diagonala cu mase concentrate)de inertie,

C-este matricea de amortizare,

D&&,D&,D -vectorii deplasarilor gradelor de libertate (nodale),al vitezelor,respectiv alacceleratiilor

P(t)- vectorul actiunii dinamice

In general,matricea de amortizare se poate exprima ca o combinatie liniara de matrice a maselor si de rigiditate sub forma:

C=αM+βK ( 1b) unde:

α , β -constante numerice determinate experimental

Daca C=0 vibratiile sunt neamortizate,in caz contrar sunt amortizate.

Matricele M,C,K reprezinta caracteristicile primare ce descriu un sistem dinamic,care s-au stabili in capitolele precedente prin metoda elementului finit.

Actiunea dinamica poate fi si actiune seismica ,de forma:

P(t)=-MrQg ( 1c) unde

r- vector cu componentele proiectii ale unui vector unitar (versor),al seismului pe directia gradului de libertate corespunzator,

Qg -acceleratia seismica

Daca P(t)=0 vibratiile sunt libere,iar in caz contrar sunt fortate.

In sistemul de ecuatii ( 1a) se considera ca au fost introduse,deja,conditiile de rezemare ale structurii,dar pentru determinarea constantelor de integrare in raport cu timpul trebuie precizate conditiile initiale,care pot fi:

Dt=0=D0 , Dt=0 =0 ( 1d)

adica se cunosc la timpul initial valorile deplasarilor si vitezelor(daca sunt nule structura isi incepe vibratiile din repaos).

Sistemul de ecuatii ( 1a) are ecuatiile cuplate prin intermediul matricei de rigiditate ,chiar daca matricea maselor si de amortizare sunt matrice diagonale(deci exista si decuplare inertiala si de amortizare).

Variatiile in timp ale deplasarilor (D),vitezelor ( D&) si acceleratiilor ( D&&),care se numesc si coordonate dinamice,caracterizeaza raspunsul fortat total pe timpul istoric al aplicarii actiunii dinamice,P(t),evaluat in marimi absolute.Acest raspuns total poate fi determinat prin :

-suprapunere nodala,

-integrare directa

METODA SUPRAPUNERII MODALE

Stabilirea raspunsului dinamic liber sau fortat ,al unui sistem dinamic,prin analiza modala, consta in exprimarea celor n ecuatii dinamice cuplate de conditie ( 1a) printr un sistem de n ecuatii independente, in care intervin in exclusivitate caracteristicile dinamice proprii ale fiecarui mod de vibratie.

Se realizeaza deci o decuplare a ecuatiilor ( 1a),cu ajutorul unor coordonate independente,in care intervin in exclusivitate caracteristicile dinamice proprii ale fiecarui mod de vibratie.

Avantajele metodei consta in aceea ca:

-pune in evidenta contributia si efectul fiecarei componente nodale in estimarea raspunsului dinamic total

-da posibilitatea trierii modurilor de vibratie in functie de importanta lor calitativa si cantitativa.

Asa cum s-a prezentat anterior ,caracteristicile dinamice proprii ale unui sistem dinamic se obtin din problema generala valori si vectori proprii:

(K -ω3M)φ = 0 ( 2a) unde :

φ -vectorul formei de vibratie

Rezolvarea acestei probleme conduce la determinarea matricelor ce caracterizeaza sistemul dinamic:

-matricea speciala Ω =

-matricea modala [φ1...... φn ] = φ

In matricea modala fiecare coloana este un vector propriu.Cu ajutorul acestor matrice,problema de valori si vectori proprii ( 2a)se poate scrie si sub forma :

Kφ = MφΩ ( 2b)

Pe baza proprietatilor de ortogonalitate a vectorilor proprii din φ ,in raport cu matricele primare M,C,K, se obtin matricele generalizate ,diagonale,ce caracterizeaza un sistem dinamic si care se evalueaza cu relatiile:

-matricea generalizata de inertie sau matricea maselor nodale

( 3a)

-matricea generalizata de amortizare sau matricea de amortizare nodala:

( 3b)

-matricea generalizata de rigiditate sau matricea de rigiditate nodala:

( 3c)

De asemenea ,in vederea exprimarii rapunsului dinamic decuplat ,matricea modala φ este folosita ca o transformare liniara de coordonate:

D(t)=φη(t) ( 4a) unde:

η -vectorul coordonatelor generalizate (normale,principale sau modale).

Prin derivari succesive a relatiei ( 4a) se obtin vectorii vitezei ,respectiv acceleratiei:

D&(t) = φη&(t) , D&&(t) = φη&&(t) ( 4b)

Introducand relatiile( 4) in sistemul de ecuatii ( 1a)se obtine:

Mφη&&+ Cφη&+ Kφη = P(t) ( 5a)

sau prin premultiplicarea cu φ T si tinand seama de ( 3)rezulta:

M*η&&+C*η&+K*η=P(t) ( 5b) unde:

-vectorul actiunilor generalizate .

Forma ( 5b) a ecuatiilor miscarii unui sistem dinamic,exprimat in coordonate modale ,in care matricele generalizate sunt diagonale,pune in evidenta decuplarea ecuatiilor de miscare initiale din ( 1a) exprimate in coordonate dinamice totale .Prin aceasta decuplare s-a obtinut un sistem de n ecuatii independente ,care depind numai de caracteristicile modale proprii de vibratie asa cum rezulta din ( 3).

Din punct de vedere formal,ecuatia matriceala ( 5b )si oricare ecuatie din acest sistem,este identica cu ecuatia de miscare a unui sistem cu un grad de libertate.

Intrucat toate ecuatiile din sistemul decuplat sunt identice ca forma,in urma integrarii lor se va determina o solutie cu caracter general,care prin particularizare conduce la expresia coordonatei generalizate pentru fiecare mod propriu de vibratie.

Forma integrabila a ecuatiei modale ( 5b) se obtine prin premultiplicarea acesteia cu inversa matricei de inertie,obtinandu-se:

M*^-1M*η&&+M*^-1C*η&+M*^-1K*η=M*^-1P* ( 5d) care se mai poate simplifica.

Daca se considera cazul sistemelor dinamice cu amortizare vascoasa liniara slaba,atunci in relatia (1b) se poate considera β =0 si prin analogie cu sistemele dinamice cu un grad de libertate,matricea de amortizare se poate pune sub forma:

C=αM=2νωM ( 6a) unde :

ν -fractiunea din amortizarea critica.

Valoarea lui ν depinde de tipul structurii,mai ales de natura materialului din care este realizata si de modul propriu de vibratie si se obtine pe cale experimentala.

Fractiunea din amortizarea critica are o larga utilizare in dinamica structurilor si in special in ingineria seismica; ν este un numar adimensional si caracterizeaza capacitatea de amortizare a structurii.

In cazul ν=1 amortizarea se numeste critica si miscarea e aperiodica,pierzandu-si caracterul oscilator.

Daca ν>1 amortizarea este supracritica si de asemenea miscarea este aperiodica.

In aceste miscari aperiodice sistemul dinamic,care a fost scos din pozitia de echilibru revine la pozitia initiala fara a oscila(figura 1)

Din punct de vedere practic intereseaza cazul cand ν<1,iar miscarea e pseudoarmonica cu pulsatia:

si amplitudinea descrescand exponential.

In cazul ν=0,oscilatiile sunt neamortizate si miscarea este aromonica cu pulsatia ω1 .

In conformitate cu ( 3) produsele din ( 5d) devin:

unde s-a tinut seama si de ( 2b).In baza acestor relatii sistemul de ecuatii ( 5d) devine:

( 7a)

adica un sistem de n ecuatii independente (decuplate) de forma:

η∧¿1+2ν iωiη∧¿ i+ωi2=ηi=

Pi¿

M i¿ ¿

i=1,......n (7b)

La aceste ecuatii trebuie atasate conditii initiale in coordonate generalizate ,care se obtin din conditiile initiale( 1d) in coordonate dinamice.Relatia de transformare a coordonatelor ( 4a)este

premultiplicata cu obtinandu-se:

( 8a)

tinand seama de prima relatie de ortogonalitate ( 3); din aceasta relatie rezulta

( 8b)

care reprezinta transformarea inversa de coordonate si din care rezulta prin derivare:

( 8c)

Din relatiile ( 8b)si ( 8c) considerate la momentul initial,t=0,rezulta:

care reprezinta conditiile initiale pentru ecuatiile de miscare( 7)

Rezolvarea sistemului de ecuatii ( 7b) cu conditiile la limita ( 9b)se poate face prin doua clase de metode:

-exprimarea solutiei generale a sistemului de ecuatii decuplate ca o suma:

( 10) unde :

-solutia generala a ecuatiilor omogene,

-solutia particulara a ecuatiilor neomogene,a carei forma depinde de actiunea exterioara P(t)

-integrarea numerica a fiecarei ecuatii in parte si exprimarea fiecarei functii ( ) i η t prin valorile sale la intervale discrete de timp.

In cazul integrarii numerice algoritmii metodelor de integrare numerica realizeaza relatii de recurenta,care leaga valorile functiilor de raspuns modal de la un timp dat ,de cele precedente .Aceste metode pot fi aplicate insa direct sistemelor de ecuatii cuplate .

Dupa determinarea parametrilor de raspuns modal ,prin cele doua clase de metode,cu relatiile de transformare ( 4) se determina raspunsul dinamic in coordonate dinamice si apoi starea de eforturi.

METODE DE INTEGRARE DIRECTA A ECUATIILOR DINAMICE

Integrarea directa poate fi aplicata fie ecuatiilor cuplate ( 1a) cu conditiile initiale( 1d),fie ecuatiilor decuplate (in coordonate generalizate)( 7b) cu conditiile ( 9b).In general,se aplica ecuatiilor cuplate pentru ca se obtine direct raspunsul sistemului dinamic la intervale discrete de timp(valorile coordonatelor dinamice),care consta in determinarea deplasarilor D,vitezelor D& si acceleratiilor D&&.Aceasta constituie deci o analiza in timp a raspunsului dinamic numit si istoria in timp(time history).

Algoritmii de integrare se bazeaza pe stabilirea unor expresii aproximative,care leaga parametrii de raspuns la un timp dat,de valorile lor din unul sau mai multe momente de timp anterioare;se stabileste deci o evolutie in timp a acestor parametri pornind de la timpul initial,in care valorile acestora sunt cunoscute prin conditiile initiale(fig. 2)

Convergenta si stabilitatea unui algoritm depinde de expresiile selectate pentru legarea parametrilor de raspuns de la un timp dat de valorile istorice ale acestora precum si de finetea de discretizare a intervalelor de timp,in care se face analiza istorica.

Exista doua clase de metode de integrare directa a ecuatiilor miscarii:

-metode de integrare numerica a ecuatiilor diferentiale sau sitemelor de ecuatii diferentiale de ordinul I si care necesita deci transformarea ecuatiilor miscarii pentru aducerea lor la ordinul I

-metode de integrare a ecuatiilor diferentiale sau sistemelor de ecuatii diferentiale de ordinul al II-lea (ecuatiile miscarii oscilatorii).

Metodele din prima clasa sunt mai putin folosite pentru ca prin transformarea ecuatiilor miscarii se dubleaza numarul functiilor necunoscute.

a.Metode de integrare numerica a ecuatiilor diferentiale de ordinul I

Pentru a aplica astfel de metode ,ecuatiile diferentiale de ordinul al II-lea ale sistemului dinamic cu n grade de libertate,trebuie transformat intr-un sistem echivalent de 2n ecuatii diferentiale de ordinul I.

La sistemul de ecuatii de ordinul al II-lea se adauga o relatie evidenta,adica:

MD&-MD&=0

MD&&+CD&+KD=P(t) (14a)

care scrisa sub forma matriceala este:

( 14b)

Daca se introduce notatia:

( 14c)

care reprezinta vectorul necunoscutelor,viteze si deplasari,ale gradelor de libertate,cu 2n componente,atunci( 14b)se poate scrie sub forma:

AX&+ BX = P ( 14d)

Unde (14e)

reprezinta matrici de ordinul 2nx2n,care au ca elemente matriceale primare ale sistemului dinamic

(M,C,K),respectiv vectorul incarcarilor extins.

Sistemul de ecuatii diferentiale ( 14d) se paote pune sub forma:

( 14f) in care:

( 14g)

si caruia i se ataseaza conditiile initiale date:

( 14h)

Metodele cele mai utilizate pentru integrarea numerica a problemei ( 14f,h)sunt:

-metoda dezvoltarii in serii Taylor

-metoda Euler si Euler modificata

-metode de tip Runge-Kutta

-metode de tip predictor corector ca metodele Adams,Milne,etc...

b.Metode de integrare numerica directa a ecuatiilor miscarii.

Aceste metode se bazeaza pe alegerea unor legi de variatie a acceleratiei de raspuns pe durata subintervalelor (pasilor)de timp Δt.

Variatiile deplasarilor si vitezelor de raspuns,pe acelasi interval ,se determina prin integrare pe baza relatiilor din mecanica teoretica si vor depinde de valorile acceleratiilor de la extremitatile subintervalelor.

Valorile de raspuns de la sfarsitul pasului de calcul devin valori pentru pasul de calcul urmator.Metodele se aplica cu prioritate la structurile compleze cu multe grade de libertate dinamica actionate de incarcari dinamice de scurta durata,dar care tind sa excite multe moduri proprii de vibratie.Durata actiunii fiind redusa discretizarea are putine puncte nodale si efortul de calcul poate fi mai mic decat intr-o analiza modala,la care determinarea tuturor valorilor si vectorilor proprii necesita un efort de calcul insemnat.

Metodele de integrare directa au avantajul ca utilizeaza direct caracteristicile primare ale sistemului dinamic(M,C,K) cu elemente constante(calcul elastic liniar),dar pot fi extinse foarte usor la analiza dinamica neliniara a structurii in care matricea K are elemente variabile(depind de deplasari).

Exista mai multe metode de integrare numerica in functie de modul cum se considera ca variaza acceleratia pe un pas de timp Δt.